TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technoloie, roep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysioloie deel A1 (8N074) maanda 3 oktober 2011, 9.00-10.30 uur Het tentamen bestaat uit 2 vraastukken die samen maximaal 40 punten opleveren. De verdelin van de punten is bij de vraen aaneeven. Geef bij alle antwoorden een arumentatie. 1. Een BMT-er zoekt op de afdelin cardioloie van een root ziekenhuis naar moelijkheden om de conditie van hart en hartkleppen te kwantificeren. Hij ziet hoe ultraeluid ebruikt wordt om zowel de diameter d van de aortaklep als de snelheid v, waarmee het bloed door de aortaklep stroomt, te bepalen. Hij vraat zich af of hij hieruit drukverlies p, uitedrukt in N m 2, tussen het bein en het eind van de klep kan schatten. Hij vermoedt dat ook de dichtheid ρ van het bloed een rol speelt en aat op zoek naar dimensieloze roepen π i van de vorm: π i = p a p ρ a ρ v a v d a d (a) Hoeveel dimensieloze roepen beschrijven het ezochte verband? (b) Bereken een moelijke dimensieloze roep die het ezochte verband beschrijft. Voor de werkelijke snelheid v, waarmee het bloed door de aortaklep stroomt, eldt v = v n, waarbij de vector n loodrecht op het klep-oppervlak staat en lente 1 heeft. Met ultraeluid kan alleen de snelheidscomponent in de richtin van de ultraeluidsbundel emeten worden. De emeten snelheidsvector is dus elijk aan v u = v u m, waarbij de vector m lente 1 heeft en ericht is lans de ultraeluidsbundel. Nevenstaande fiuur eeft de situatie rond de aortaklep weer. klepoppervlak a v b v u 2 pnt (c) Druk de rootte van de werkelijke snelheid v uit in de eeven rootheden v u, n en m. De richtin m volt uit de oriëntatie van de ultraeluidstransducent. De richtin n wordt bepaald uit twee vectoren a en b, die in het klepoppervlak lien: a = e x + e y ; b = ey + 2 e z (d) Bereken de vector n. 1
1. (vervol) Op de afdelin cardioloie wordt ultraeluid ook ebruikt om de diameter D van de linker hartkamer te meten edurende de hartcyclus. Uit deze diameter wordt het volume V van de hartkamer eschat worden volens: V = π 6 D3 Bij een patiënt worden voor de maximale diameter D max en de minimale diameter D min tijdens de hartcyclus de volende waarden bepaald: D max = (60 ± 2) mm en D min = (50 ± 2) mm. (e) Bereken met deze eevens de waarde en de nauwkeuriheid van het maximale volume V max en het minimale volume V min, met hierin het juiste aantal sinificante cijfers. De conditie van het hart van de patiënt wordt vervolens ekarakteriseerd met behulp van de parameter f, edefinieerd als: f = V max V min V max (f) Geef de dimensie van de parameter f. () Bereken de waarde en de nauwkeuriheid van de parameter f met hierin het juiste aantal sinificante cijfers.
2. Een schoonsprinster met massa m staat op een duikplank met hoote H. Op tijdstip t = 0 s verlaat zij de plank met een snelheid v 0 onder een hoek α, zie onderstaande fiuur. We schrijven haar positie ten opzichte van de oorspron O met coördinaten x en z ten opzichte van een Cartesische basis { e x, e z }. Tijdens haar baan is zij alleen onderhevi aan de ravitatiekracht, ekarakteriseerd door de ravitatieversnellin die met rootte werkt in de richtin e z. z v 0 3 pnt (a) Bereken de snelheidsvector v(t) van de schoonsprinster als functie van de tijd t. m α 3 pnt (b) Bereken de positievector r(t) van de schoonsprinster als functie van de tijd t. 3 pnt (c) Bereken de maximale hoote h max, die de schoonsprinster tijdens haar vlucht bereikt. H e z 2 pnt (d) Bereken het tijdstip t 1, waarop de schoonsprinster in het water belandt. We nemen nu aan dat de hoek α zo klein is, dat de snelheid v 1 op tijdstip t 1 uit onderdeel (d) eschreven kan worden als v 1 = v 1 e z. Nadat de schoonsprinster in het water is beland, maakt zij zelf een actieve bewein, waardoor haar bewein één-dimensionaal is. Haar dichtheid is elijk aan. De dichtheid van het water is elijk aan ρ w. In het water is de schoonsprinster onderhevi aan (onder andere) de wrijvinskracht F w, waarvoor eldt: F w = k v O e x x (e) Geef de dimensie van de constante k. (f) Laat zien dat toepassen van de tweede wet van Newton op de schoonsprinster leidt tot de volende differentiaalverelijkin voor de snelheidscomponent v z : dt = Av z + B met A = k m en B = ρ w De schoonsprinster ademt, net voordat zij in het water belandt, precies zoveel lucht in dat haar dichtheid tijdens de hele bewein onder water elijk is aan die van het water: = ρ w. 3 pnt () Laat zien dat de oplossin van de differentiaalverelijkin, die onder deze voorwaarde ontstaat, eschreven kan worden als: v z (t) = αe β(t t 1) waarin α en β positieve constanten zijn. Druk α en β uit in k, m en v 1. (h) Geef een fysische verklarin voor de limietsnelheid voor t, die volt uit de oplossin in onderdeel ().
1. Antwoorden: (a) Het aantal fysische rootheden n bedraat n = 4. Het aantal basisdimensies k bedraat k = 3. Volens het Buckinham Π-theorema wordt het probleem dan beschreven door n k = 1 dimensieloze roep. (b) We zoeken een roep π 1 van de vorm π 1 = p ap ρ aρ v av d a d. Invullen van de dimensies levert: 1 = (ML 1 T 2 ) a p (ML 3 ) a ρ (LT 1 ) a v L a d = M 0 L 0 T 0 Uitwerken levert: M : a p + a ρ = 0 L : a p 3a ρ + a v + a d = 0 T : 2a p a v = 0 Kiezen we a p = 1 dan volt a ρ = 1, a v = 2 en a d = 0. Een moelijke dimensieloze roep is dus: π 1 = p ρv 2 De diameter d speelt dus een rol. Zouden we a d 0 ekozen hebben, dan zouden we estuit zijn op een teenstrijdiheid. (c) Uit de fiuur volt v u = v cos α met α de hoek tussen v en v u. Met behulp van het inwendi product n m = n m cos α = cos α volt: v = v u n m. (d) We zoeken eerst een vector c = c x e x + c y e y + c z e z, waarvoor eldt a c = 0 en b c = 0. Deze voorwaarden leiden tot: a c = 0 c x + c y = 0 b c = 0 cy + 2c z = 0 Kiezen we c y = 2, dan volt c x = 2 en c z = 1. De ezochte vector n volt uit: n = c c = 1 c 2 x + c 2 y + c 2 z De vector n voldoet ook. c = 1 3 ( 2 e x + 2 e y e z ) (e) Voor de relatieve fout eldt V/V = 3( D/D). Invullen levert V max /V max = 0.10 en V min /V min = 0.12. Hiermee vinden we: V max = (11.3 ± 1.1) 10 5 m 3 en V min = (6.5 ± 0.8) 10 5 m 3. Een voorzichtier schattin luidt V max = (11 ± 1) 10 5 m 3 en V min = (7 ± 1) 10 5 m 3 (f) De parameter f is dimensieloos. 1 () Voor de parameter f eldt: f/f = ( T/T )+( N/N), waarin T = V max V min en N = V max. Met T = V max + V min vinden we: T/T = 0.4, f/f = 0.5 en f = 0.4 ± 0.2. 1 De rootheid V max V min stelt het slavolume van hart voor en de parameter f de ejectiefractie. Voor ezonde personen eldt f 2/3.
2. Antwoorden: (a) Voor de snelheid eldt: v(t) = v 0 + t (b) Voor de positie eldt: r(t) = r 0 + 0 t 0 adt = v 0 cos(α) e x + (v 0 sin(α) t) e z vdt = H e z + v 0 cos(α)t e x + (v 0 sin(α)t 1 2 t2 ) e z. (c) De maximale hoote h max wordt bereikt op tijdstip t max met v z (t max ) = 0. Dus: v 0 sin(α) t max = 0 t max = v 0 sin(α) h max = z(t max ) = H + v2 0 sin 2 (α) 2 (d) Het tijdstip t 1 wordt bepaald door de voorwaarde z(t 1 ) = 0. Dus: H + v 0 sin(α)t 1 1 2 t2 1 = 0 t 1 = v 0 sin(α) + v0 2 sin 2 (α) + 2H (e) Er eldt [F w ] = [kv] = [k][v] dus [k] = [F ][v] 1 = MLT 2 (LT 1 ) 1 = MT 1. (f) De tweede wet van Newton levert: kv z e z m e z + ρ w V e z = m a = m dt e z waarin V = m/ het volume van de schoonsprinster voorstelt. Uitwerken levert: dt = k m v z + ρ w = 0 dt = k m v z + ρ w = 0 A = k m ; B = ρ w () Als = ρ w heffen de ravitatiekracht en de opwaartse kracht elkaar dan op. In de verelijkin uit onderdeel (f) eldt dan B = 0. De oplossin moet dus voldoen aan de differentiaalverelijkin: dt = Av z αβe β(t t 1) = Aαe β(t t 1) Uit de voorwaarde v z (t 1 ) = v 1 volt α = v 1 > 0 omdat v 1 < 0. β = A = +k/m (h) Er eldt v(t ) = 0. De schoonsprinster zou (in dit theoretische eval) stil zweven in het water, aanezien er een netto kracht op haar werkt.