3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen V W met hom K (V, W ). Lemma 3.2 De verzameling hom K (V, W ) is een vectorruimte over K indien voorzien van de gebruikelijke optelling van L, K hom K (V, W ) middels L + K : V W : v L(v) + K(v) en de gebruikelijke vermenigvuldiging met scalairen k K middels k L : V W : v k L(v) waarbij de + en de in de rechterleden de vectorruimtebewerkingen op W zijn. Als speciaal geval van deze definitie en dit lemma bekijken we de keuze W = K. Definitie 3.3 (Duale vectorruimte (V, K) van (V, K)) De vectorruimte hom K (V, K) noteren we met (V, K) of kortweg met V en noemen we de duale vectorruimte van V. Elementen uit de duale vectorruimte staan bekend onder een veelvoud van namen. Definitie 3.4 (Lineaire functionaal, covector, -vorm) Een element v V wordt afhankelijk van context ook wel een lineaire functionaal genoemd, of een covector, of een -vorm. 3. Voorbeelden en eerste oriëntatie We geven hier voorbeelden van elementen uit de duale vectorruimte, en daarnaast ook wat resultaten die we verderop in meer algemeenheid zullen bewijzen. Eerst bekijken we (K n ). Voorbeeld 3.5 Beschouw de vectorruimte (K n, K). Dan is voor iedere vast gekozen y K n de afbeelding l y : K n K : x y x () een lineaire functionaal op K n en daarmee dus een element van (K n ). Opmerking 3.6 In Voorbeeld 3.5 is l y (K n ). De matrix y is geen element van (K n ). Het is slechts de matrix van de lineaire afbeelding l y ten opzichte van de standaardbasis. Stelling 3.7 De afbeelding met l y als in Voorbeeld 3.5 is een lineaire bijectie. L : K n (K n ) : y l y (2) Bewijs. De lineariteit is eenvoudig na te gaan. Omdat er voor iedere y een x K n bestaat met y x, geldt dat l y = y =. Dus is ker(l) = {}, en is L injectief. Ook is L surjectief, immers, laat l : K n K gegeven zijn en laat z K n de matrix zijn van l ten opzichte van de standaardbases van K n en van K. Dan is dus l(x) = zx voor alle x K en dus geldt met y = z dat l = l y. Dus iedere l (K n ) is van de vorm l y voor zekere y.
Gevolg 3.8 Er geldt dat (K n ) = K n. In het bijzonder is dim(k n ) = n. Bewijs. De afbeelding L uit Stelling 3.7 is een lineaire bijectie en dus een isomorfisme. Opmerking 3.9 Het voorgaande kan geherformuleerd worden als dat (K n ) = {l y y K n }, (3) waarbij iedere l (K n ) precies één y K n bestaat zo, dat l = l y. Opmerking 3. Als K = R dan is l y (x) = y x = y, x het standaardinproduct op R n met een vast gekozen vector y R n. Ook als K = C is l y (x) = y x = y x = y, x het standaardinproduct op C n met een vast gekozen vector, alleen nu is dat met y. Lineaire functionalen op een eindigdimensionale vectorruimte laten zich beschrijven middels de combinatie van Stelling 3.7 en de coördinaatafbeelding horende bij een basis van V. Opmerking 3. In het vervolg zullen we een willekeurig element uit V vaak aanduiden met v. Dit is slechts een notatie, in het bijzonder is de asterisk hier geen bewerking op v. Stelling 3.2 Gegeven een vectorruimte (V, K) met basis = {v,..., v n }. Dan bestaat er voor iedere v V precies één y K n zodat v = l y co (4) waarbij l y de afbeelding K n K : x y x is. De toevoeging K n V : y v is lineair. Bewijs. Laat v : V K gegeven zijn en beschouw daarnaast de coördinaatafbeelding co : V K n. Zie nu het diagram in Figuur 3.. V K v co : K n K co l y Figuur 3. Factorisatie van een element v V. K n = v = l y : K n K De samenstelling v co is een lineaire afbeelding K n K. Volgens Stelling 3.7 bestaat er een unieke y K n zo, dat v co = l y, en dus zo, dat v = l y co. Omdat volgens Stelling 3.7 de toevoeging y l y lineair is, is de samenstelling y l y co = v dat ook. Gevolg 3.3 Er geldt dat V = K n, en in het bijzonder dat V = V. We eindigen deze sectie met enkele explicietere voorbeelden van lineaire functionalen. Een bekend element uit de duale van de ruimte van vierkante matrices is het spoor. 2
Voorbeeld 3.4 De lineaire afbeelding Sp : K n n K : A Sp(A) (5) waarbij Sp(A) staat voor het spoor van A, is een covector uit (K n n ). Daarnaast is voor gegeven vast gekozen v, w K n ook K n n K : A v Aw (6) een lineaire functionaal op K n n en daarmee een element uit (K n n ). Oneindigdimensionale vectorruimtes leveren doorgaans interessantere duale vectorruimtes. Voorbeeld 3.5 Beschouw de vectorruimte (C(I), R) van continue functies op het interval I = [a, b] met a, b R. Dan is de afbeelding I b a : C(I) R : f b a f(x)dx, (7) waar b a de Riemann-integraal is, een lineaire functionaal op C(I), en dus is Ib a C(I). Daarnaast is de functie-evaluatie e x : C(I) R : f f(x) (8) ook een element van C(I) voor iedere vast gekozen x I. In het bijzonder is ook T b a : C(I) R : f(a) + f(b) f (b a) 2 een element van C(I), het is immers een lineaire combinatie van e a en e b uit (8). (9) De lineaire functionalen I b a en T b a uit vorig voorbeeld zijn als volgt aan elkaar gerelateerd. Opmerking 3.6 Definieer de zogeheten interpolatie-afbeelding π : C(I) R[X] : f π(f) () die aan f C(I) toevoegt het unieke lineaire polynoom π(f) R[X] dat waarde f(a) aanneemt in a en f(b) in b. Zie ook Figuur 3.2. Het polynoom π(f) heet de lineaire interpolant van f. Het is eenvoudig na te gaan dat dan voor alle f C(I), T b a(f) = I b a(π(f)), () dus T b a(f) is een approximatie van I b a(f) berekend door π(f) te integreren in plaats van f zelf. Definitie 3.7 (Trapeziumregel) T b a(f) heet de trapeziumregel-approximatie van I b a(f). De trapeziumregel is een voorbeeld van een zogeheten kwadratuurformule. 3
f f(b) f(b) π(f) 2 (f(a) + f(b)) f(a) T b a(f) f(a) T b a(f) a b a b Figuur 3.2 De trapeziumregel T b a(f) = 2 (f(a) + f(b))(b a) benadert Ib a(f). 3.2 De duale basis van V behorende bij een basis van V Veronderstel dat (V, K) een vectorruimte is van eindige dimensie. In Sectie 3. zagen we dat V isomorf is met V. We definiëren nu een basis voor V, gegeven een basis van V. Definitie 3.8 (Duale basis) Zij (V, K) een vectorruimte met basis = {v,..., v n }. Laat voor iedere j {,..., n} v j : V K : v e j co (v). (2) Hiermee is = {v,..., v n } een basis voor V, de duale basis genaamd. Opmerking 3.9 In Figuur 3.3 zien we hoe v j wordt gedefinieerd in termen van Figuur 3.. V v j K co l ej v j = l ej co K n = Figuur 3.3 De functionalen v j V uit Definitie 3.8 in termen van l ej uit Voorbeeld 3.5. Opmerking 3.2 Met Definitie 3.8 laat de coördinaatafbeelding zich als volgt herschrijven, v (v) co : V K n : v.. (3) v n (v) In het bijzonder zien we dus dat voor alle v V, en tevens dat v = v (v)v + + v n (v)v n, (4) v j (v i ) = δ ij = { als i = j als i j. (5) Merk op dat de karakterisering van v,..., v n in (5) equivalent is met Definitie 3.8. 4
We bewijzen nu dat inderdaad een basis is. Omdat we in Gevolg 3.3 al zagen dat dim(v ) = dim(v ) = n volstaat het om de lineaire onafhankelijkheid van aan te tonen. Lemma 3.2 De covectoren v,..., v n zijn lineair onafhankelijk. Bewijs. Laat α,..., α n K zodanig zijn dat α v + + α n v n = V, (6) waarbij het rechterlid het neutrale element van V is, oftewel de nulfunctionaal : V K : v K. Laat nu j {,..., n} en evalueer (6) in v j V. Wegens (5) is v j (v i ) = δ ij en dus impliceert (6) dat K = (v j ) = α v (v j ) + + α n v n (v j ) = α j v j (v j ) = α j. Omdat j willekeurig was, is α = = α n = en zijn v,..., v n dus lineair onafhankelijk. We kunnen vervolgens de bij horende coördinaatafbeelding co : V K n onderzoeken. Lemma 3.22 Zij V een vectorruimte met basis = {v,..., v n } en laat = {v,..., v n } de bij horende duale basis zijn voor V. Dan geldt dat v (v ) co : V K n : v., (7) v (v n ) oftewel, met andere woorden, dat voor alle v V. v = v (v )v + + v (v n )v n (8) Bewijs. Evalueer de beide lineaire functionalen in het linker- en rechterlid van (8) in v,..., v n met behulp van relatie (5) en concludeer gelijkheid. We illustreren de duale basis en Lemma 3.22 met twee voorbeelden. Voorbeeld 3.23 Beschouw R 2 voorzien van de standaardbasis ε = {e, e 2 }. De duale vectorruimte (R 2 ) bestaat volgens Stelling 3.7 uit alle afbeeldingen [ ] [ ] l y : R 2 x x R : [y, y 2 ], met y, y 2 R. We zien in het bijzonder dat l y = y e + y 2 e 2, waarbij x 2 e : R 2 R : x e x en e 2 : R 2 R : x e 2 x de individuele-coördinaatfunctionalen zijn. Het tupel {e, e 2 } is de duale basis ε voor (R 2 ). Merk op dat l y = l y (e )e + l y (e 2 )e 2, wat Lemma 3.22 illustreert. Het volgende voorbeeld speelt zich af in een polynoomruimte. x 2 5
Voorbeeld 3.24 Beschouw de vectorruimte (R[X] 2, R). Laat = {φ, φ, φ 2 }, waarbij φ : R R : X, φ : R R : X X, φ 2 : R R : X X 2. De duale basis = {φ, φ, φ 2 } voor (R[X] 2 ) bestaat per Definitie 3.8 en Opmerking 3.2 uit de individuele-coördinaatfunctionalen, die samen de coördinaatafbeelding co bepalen, φ ( ) co ( ) = φ ( ). φ 2 ( ) Beschouw nu de integratie-afbeelding I : R[X] 2 R : p p(x)dx. Dan is I (R[X] 2) en vertelt Lemma 3.22 dat I = I (φ )φ + I (φ )φ + I (φ 2 )φ 2 = φ + 2 φ + 3 φ2. Hiermee hebben we de integratie-functionaal I dus expliciet geschreven als lineaire combinatie van de individuele-coördinaatfunctionalen φ, φ 2, φ 3. Opmerking 3.25 In het voorgaande voorbeeld hebben we in feite niets anders laten zien dan dat a + bx + cx 2 dx = a + 2 b + 3 c (9) oftewel, we hebben de integraal uitgedrukt als lineaire combinatie van de coördinaten a, b, c. 3.3 De dubbelduale vectorruimte V en het natuurlijke isomorfisme In deze sectie bestuderen we de duale van de duale vectorruimte V, oftwel de dubbelduale vectorruimte V = (V ) van V. Volgens Definitie 3.3 is V = hom K (V, K) (2) en deze vectorruimte bestaat dus uit alle lineaire functionalen V K. Opmerking 3.26 Als V = R bestaat V = R uit de lineaire afbeeldingen van R naar R, en V uit de lineaire afbeeldingen, die aan dergelijke lineaire afbeeldingen scalairen toevoegen. Dus V lijkt doorgaans niet hetzelfde als V, tenzij we onze interpretatie van V subtiel herzien. Definitie 3.27 (Duale koppeling) Zij V een vectorruimte met duale V. Schrijf voor alle v V en v V v, v = v (v). (2) De afbeelding, : V V K heet de duale koppeling van het duale paar V, V. Opmerking 3.28 De uitdrukking v, v is geen inproduct. Als V een inproductruimte is, zullen we verschillende notaties nodig hebben voor inproduct en duale koppeling. 6
De charme van de notatie v, v en van het hele concept van duale koppeling is, dat het een perfecte symmetrie suggereert tussen wat v doet met v, en omgekeerd, wat v doet met v. Opmerking 3.29 Het is gebruikelijk om v (v) en dus v, v te lezen als v geëvalueerd in v. De symmetrie in de notatie v, v moedigt echter aan om dit ook te lezen als v geëvalueerd in v. Dit interpreteert v als lineaire functionaal V K : v v, v, als element van V. In Figuur 3.4 illustreren we de symmetrie tussen de gebruikelijke werking van V op V en de hier nieuw te beschouwen werking van V op V. v v 2 v v 2 v n v (v) = v, v = v(v ) v : V K : v v, v v n v : V K : v v, v Figuur 3.4. Dualiteit: het symbool v is zowel een element van V, als een element van V. We gebruiken in Figuur 3.4 voor de lineaire functionaal V K : v v, v uit de vectorruimte V hetzelfde symbool v als voor het element v uit V. De motivatie hiervoor is dat we voor de lineaire functionaal V K : v v, v standaard het symbool v gebruiken. Opmerking 3.3 Om de vraag te beantwoorden of het gebruik van het symbool v voor de afbeelding V K : v v, v geen mathematische inconsistentie oplevert, zullen we aantonen dat iedere v V op deze manier precies één element uit V voorstelt, en omgekeerd, dat ieder element uit V voor is te stellen middels precies één element uit V. In de volgende stelling gebruiken we daarom vooralsnog niet het symbool v maar H(v). Stelling 3.3 (Natuurlijk isomorfisme) Zij V, V een duaal paar met duale koppeling, : V V K. Laat H : V V de afbeelding zijn die aan v V de lineaire functionaal H(v) : V K : v v, v (22) uit V toevoegt. Dan is H een lineaire bijectie tussen V en V, het natuurlijke isomorfisme. Opmerking 3.32 We schrijven H(v)(v ) voor de functionaal H(v) V geëvalueerd in v. Het alternatief is om de duale koppeling tussen V en V te gebruiken, maar dat is wellicht verwarrend. In het bijzonder is dus H(v)(v ) = v, v. Bewijs. We bewijzen eerst de lineariteit van H. Laat α, K en v, w V. Dan geldt voor alle v V dat H(αv + w)(v ) = v, αv + w = α v, v + v, w = αh(v)(v ) + H(w)(v ), 7
en dus zijn H(αv + w) en αh(v) + H(w) gelijk als afbeeldingen op V. Vervolgens laten we zien dat H injectief is. Veronderstel hiertoe dat H(v) =. Dit betekent dat H(v)(v ) = v, v = K voor alle v V, en dus in het bijzonder voor de elementen v,..., v n van de duale basis van V horende bij een gekozen basis = {v,..., v n } van V. Dus is v j, v = v j (v) = voor alle j {,..., n}, en volgt met behulp van Opmerking 3.2 dat co (v) = en dus is v =. Dus is H injectief, en omdat dim(v ) = dim(v ) = n is H bijectief. Opmerking 3.33 Als we het symbool v gebruiken voor zowel het element uit V als voor het element V K : v v, v uit V dan valt te verdedigen dat V = V. 3.4 Het isomorfisme van Riesz In Opmerking 3.9 zagen we dat iedere lineaire functionaal l op R n op precies één manier kan worden geschreven als het nemen van het inproduct met een vast gekozen y R n. We bewijzen nu een overeenkomstig resultaat voor iedere eindigdimensionale inproductruimte. Opmerking 3.34 Ter onderscheid van de duale koppeling noteren we een inproduct als (, ). Stelling 3.35 (Riesz) Laat (V, R, (, )) een inproductruimte zijn van dimensie n N. Dan is voor iedere u V de afbeelding een element uit V. Definieer nu l u : V R : v (u, v) (23) J : V V : u l u (24) dan is J een lineaire bijectie en dus een isomorfisme, het Riesz-isomorfisme genaamd. Bewijs. De lineariteit van l u en van J volgen eenvoudig. Om injectiviteit van J te bewijzen, merk op dat l u (u) = (u, u) = u 2 en dus volgt uit een inproductaxioma dat l u = u =. Dus ker(j ) = {} en is J injectief. Gevolg 3.3 laat zien dat dim(v ) = dim(v ) = n en dus is J zelfs bijectief. We concluderen dat J een isomorfisme is. Opmerking 3.36 In de overeenkomstige Stelling 3.7 was nog niet bewezen dat dim(v ) = dim(v ) en dus moest daar de surjectiviteit van L nog expliciet worden bewezen. Frigyes Riesz (88-956) 8
Definitie 3.37 (Riesz-representant) Het unieke element v V zo, dat (v, w) = v (w) voor alle w V heet de Riesz-representant van v in V. Voorbeeld 3.38 Opmerking 3.9 laat zien dat y de Riesz-representant van l y is. Voorbeeld 3.39 Beschouw voor zekere a < b het standaardinproduct (q, r) = b a q(x)r(x)dx op de vectorruimte (R[X] n, R) van polynomen van graad ten hoogste n. De Riesz-representant van de integratie-afbeelding I b a (R[X] n ) gedefinieerd door I b a : R[X] n R : r b a r(x)dx is het polynoom R R : X. Immers, I b a(r) = (, r) voor alle r R[X] n. Voorbeeld 3.4 Op de ruimte (R n n, R) definiëren we het inproduct (X, Y ) = Sp(X Y ). De Riesz-representant van de lineaire functionaal Sp : R n n R : Y Sp(Y ) is de identiteitsmatrix I R n n. Immers, Sp(Y ) = Sp(I Y ) = (I, Y ) voor alle Y R n n. Het volgende voorbeeld is wellicht wat verrassender. Voorbeeld 3.4 Laat A GL n (R) gegeven zijn met A = A. Definieer voor alle y, z R n, (y, z) A = y Az. (25) Dan is (, ) A een inproduct op R n. Beschouw nu het stelsel Ax = b van lineaire vergelijkingen voor gegeven b R n. Omdat geldt dat (x, z) A = x Az = x A z = (Ax) z = b z (26) is de oplossing x van Ax = b de Riesz-representant van de lineaire functionaal z b z. Het Riesz-isomorfisme J is een lineaire afbeelding tussen vectorruimtes, en dus kunnen we de matrix J van J beschouwen ten opzichte van bases en. Lemma 3.42 Zij (V, R, (, )) een inproductruimte met basis = {v,..., v n }. Schrijf = {v,..., v n } voor de bijbehorende duale basis van V. Dan is (v, v )... (v n, v ) J =.. (27) (v, v n )... (v n, v n ) de matrix van het Riesz-isomorfisme J : V V ten opzichte van en. 9
Bewijs. Per definitie is J de matrix waarvoor geldt dat co (J (v)) = J co (v) (28) voor alle v V, zoals afgebeeld in Figuur 3.5. Dus is de j-de kolom van J co (J (v j )) = J (v j )(v ). J (v j )(v n ) = (v j, v ). (v j, v n ) gelijk aan, (29) waar we gebruik maakten van Lemma 3.22 en de definitie van J uit Stelling 3.35. In Figuur 3.5 vatten we één en ander schematisch samen. Definitie 3.8 van duale basis = {v,..., v n }, Opmerking 3.2 over de vorm van co in termen van v,..., v n, Lemma 3.22 voor de coördinaten ten opzichte van, en bovenstaand Lemma 3.42 voor de matrix van het Riesz-isomorfisme ten opzichte van en. v = = {v,..., v n } = {v,..., v n } J n V V n v j, v v v = v, v j v j j co co j= j= co (v) = v, v. v n, v R n J = R n (v, v )... (v n, v ).. (v, v n )... (v n, v n ) co (v ) = v, v. v, v n Figuur 3.5 Matrix van het Riesz-isomorfisme ten opzichte van basis en duale basis. Opmerking 3.43 De coördinaatvector co (J (v )) van de Riesz-representant J (v ) van v kan dus worden uitgerekend als oplossing x van het stelsel lineaire vergelijkingen waarbij de matrix J is als in Lemma 3.42. J x = co (v ), (3) Voorbeeld 3.44 Beschouw nogmaals Voorbeeld 3.39, met voor het gemak de expliciete keuzes n = 2 en verder a = en b =. We gaan de Riesz-representant p = J (I ) van I uitrekenen. Kies hiertoe = {, X, X 2 }. De coördinaten van I ten opzichte van hebben we reeds uitgerekend in Voorbeeld 3.24. Dan geeft Lemma 3.42 dat J co (p) = 2 2 3 3 4 3 4 5 co (p) = 2 3 = co (I ). (3) Hieruit volgt dat co (p) = e R 3 en dus dat p = I, in overeenstemming met Voorbeeld 3.39.
Opmerking 3.45 Als in Lemma 3.42 orthonormaal is, is J = I, de identiteitsmatrix. In dat geval geldt kennelijk co (J (v)) = co (v), oftewel, v = n α j v j J (v) = j= n α j v j. (32) In dat geval kan de Riesz-representant v = J (v ) van v het eenvoudigst worden bepaald. We geven nu een voorbeeld waaruit blijkt dat als de vectorruimte V geen eindige dimensie heeft, de representatiestelling van Riesz niet zonder meer geldig blijft. Voorbeeld 3.46 Beschouw de inproductruimte (C(I), R, (, )) van continue functies op het interval I = [, ], voorzien van het standaardinproduct (f, g) = j= f(x)g(x)dx. (33) We bekijken weer de lineaire functionaal I C(I). Net als in Voorbeeld 3.39 geldt ook hier dat (, g) = I (g) (34) voor alle g C(I). Dus I heeft een Riesz-representant in C(I). Bekijk nu echter de functieevaluatie in x =, ε : C(I) R : g g(). (35) Deze functionaal is lineair en dus ε C(I). Veronderstel nu dat er een f C(I) bestaat met de eigenschap dat (f, g) = ε (g) voor alle g C(I). (36) Dan is f niet de nulfunctie. Omdat f continu is, bestaat er een niet-leeg open interval K = (a, b) [, ] zo, dat f(x) voor alle x K. Laat nu g(x) = (x a)(b x) voor alle x K en g(x) = voor alle x [a, b]. Zie Figuur 3.6. f g a K b f(x)g(x) > op K f(x)g(x) = op I \ K (f, g) > ε (g) = Figuur 3.6 Voor iedere f C(I) is er een g C(I) met g() = en (f, g). Dan is g C(I) met ε (g) =. Ook is f(x)g(x) = voor alle x K. Omdat voor alle x K óf f(x)g(x) >, óf f(x)g(x) < is (f, g). Uit deze tegenspraak volgt dat er geen f C(I) bestaat zo, dat (f, g) = ε (g) voor alle g C(I). Opmerking 3.47 Dualiteit heeft in oneindig veel dimensies veel meer onverwachte wendingen dan in eidig veel dimensies. De representatiestelling van Riesz, maar bijvoorbeeld ook het natuurlijk isomorfisme hoeven daar niet meer van toepassing te zijn. Functie-evaluatie heeft wel een Riesz-representant op iedere polynoomruimte (R[X] n, R).
Voorbeeld 3.48 Beschouw de vectorruimte (R[X], R) van lineaire polynomen voorzien van het standaardinproduct (q, r) = q(x)r(x)dx. We bepalen de Riesz-representant van de evaluatie-functionaal ε : R[X] R : p p(). Hietoe kiezen we de basis = {, X} voor R[X]. We vinden middels Lemma 3.22 dat co (ε ) = Vervolgens berekenen we expliciet de matrix met als gevolg dat co (J (ε )) = J = [ ε () ε (X) [ 2 2 3 ] = ] [ ] [ [J co (ε ) = 2 ]. (37) (38) ], (39) en dus dat r = J (ε ) = 2 + X. En inderdaad, met p(x) = a + bx vinden we dat (r, p) = 2 (a + bx)dx = 2 (ax + 2 bx2 ) = a = p() = ε (p). (4) Dit bevestigt dat r de Riesz-representant is van ε (R[X] ). 3.5 De duale L van een lineaire afbeelding L Laat (V, K) en (W, K) vectorruimtes zijn over een lichaam K. Dan induceert iedere lineaire afbeelding L : V W op natuurlijke wijze een zogeheten duale afbeelding L : W V. Definitie 3.49 (Duale afbeelding en pull-back) Voor iedere L hom K (V, W ) definiëren we de duale afbeelding L hom K (W, V ) middels L : W V : w w L. (4) De functionaal L (w ) heet de pull-back van w in V onder L. Het is eenvoudig na te gaan dat L goedgedefinieerd en linear is. V V w L L K W w W L : W V : w w L L Figuur 3.6 Definitie van de duale afbeelding L en de pull-back w L van w. 2
Opmerking 3.5 In de context van complexe inproductruimtes gebruikten we de notatie L voor de geadjungeerde van een lineaire afbeelding L : V W. Dit is de afbeelding zo, dat (v, L (w)) V = (L(v), w) W (42) voor alle v V en w W. Hier is (, ) V het inproduct op V en (, ) W het inproduct op W. Ondanks dat we de duale van een afbeelding L ook met L aanduiden, is dit niet hetzelfde. Opmerking 3.5 De asterisk in L is een bewerking : hom K (V, W ) hom K (W, V ). Voorbeeld 3.52 Laat L : R R : x 2x. Dan beeldt L een functionaal w op R af op de functionaal v = L (w ) gedefinieerd door Deze v is dan de pull-back van w onder L. v : R R : x w (2x). (43) Voorbeeld 3.53 Laat (C(I), R) de vectorruimte van continue functies op I = [a, b] zijn. Beschouw de lineaire afbeelding π : C(I) R[X] : f π(f), (44) waarbij π(p) de lineaire interpolant is van f, oftewel, het unieke polynoom in R[X] dat waarde f(a) aanneemt in a en waarde f(b) in b. Laat vervolgens I b a : R[X] R : g b a g(x)dx. (45) Dan is Ia b (R[X] ) en is L (Ia) b gelijk aan de lineaire functionaal Ia b L, die we herkennen als T b a : C(I) R : f b a π(f)(x)dx = (f(a) + f(b)) (b a), (46) 2 oftewel, de trapeziumregel T b a (C(I)) is de pull-back van I b a onder π. Zie Figuur 3.7. C(I) C(I) T b a π R R[X] I b a (R[X] ) π (I b a) = T b a π Figuur 3.7 Relatie tussen I b a en T b a via de duale π van de lineaire-interpolatieafbeelding. De duale L van een lineaire afbeelding is zoals gezegd niet gelijk aan de geadjungeerde. Wel kunnen we het volgende onmiddellijk inzien. Vergelijk dit met Opmerking 3.5. Stelling 3.54 Laat L hom K (W, V ) de duale zijn van L hom K (V, W ). Dan geldt voor alle v V en w W, L (w ), v V = w, L(v) W (47) waarbij, V de duale koppeling tussen V en V en, W die tussen W en W is. 3
Bewijs. Er geldt per definitie van duale koppeling en van L dat w, L(v) W = w (L(v)) = (w L)(v) = L (w )(v) = L (w ), v V. (48) Dit bewijst de bewering. De matrix van L blijkt eenvoudigweg de getransponeerde te zijn van die van L, indien we V en W voorzien van de duale bases van die van V en W. Stelling 3.55 Laat V = {v,..., v n } een basis zijn van V en W = {w,..., w k } een basis voor W. Laat L hom K (W, V ) de duale zijn van L hom K (V, W ). Dan is (L ) V W waarbij V en W de duale bases van V en W zijn. = (L W V ), (49) Bewijs. Per definitie van de beide matrices geldt voor alle w W, en tevens dat voor alle v V, co V (L (w )) = (L ) V W co W (w ) (5) co W (L(v)) = L W V co V (v). (5) Laat nu i {,..., k} en j {,..., n} gegeven zijn. Dan geldt dat e i (L ) V W e j = e i (L ) V W co W (w j ) = e i co V (L (w j )) = L (w j ), v i V, waar de tweede gelijkheid (5) gebruikt en de derde gelijkheid Lemma 3.22. Idem vinden we e j L W V e i = e j L W V co V (v i ) = e j co W (L(v i )) = w j, L(v i ) W, waarbij de tweede gelijkheid (5) gebruikt en de derde Opmerking 3.2. Stelling 3.55 geldt dat w j, L(v i ) W = L (w j ), v i V vinden we dat Omdat wegens e i (L ) V W e j = e j L W V e i. (52) Dit bewijst de bewering. 3.6 De annihilator van een deelverzameling van V Het begrip annihilator in de duale vectorruimte is gerelateerd aan het begrip orthogonaal complement in een inproductruimte. Definitie 3.56 (Annihilator) Zij (V, K) een vectorruimte en S V. Dan heet de verzameling S = {v V v (s) = voor alle s S} (53) de annihilator van S in V. In het bijzonder geldt dus dat v S als en alleen als S ker(v ). 4
Opmerking 3.57 Als v nul is op S, is v ook nul op de deelruimte van V opgespannen door de elementen van S. In het bijzonder is S dus een lineaire deelruimte van V, ook als S dat niet is. Tot slot is eenvoudig in te zien dat V = {} en {} = V. Annihilatoren worden uiteraard kleiner naarmate de te annihileren verzameling groter wordt. Lemma 3.58 Laat (V, K) een vectorruimte zijn met duale V. Dan geldt S T V T S V. (54) Bewijs. Als v (t) = voor alle t T dan is v (s) = voor alle s S. De omgekeerde implicatie in (54) is niet geldig. De Canadese band Annihilator (984) Voorbeeld 3.59 Beschouw de deelverzameling {e } R 3. Ieder element van (R 3 ) is te schrijven als l y : R 3 R : x y x, en l y (e ) = als en alleen als e y =. Dus, {e } = {l y : R 3 R : x y x e y = }. (55) Merk op dat {e } ook gelijk is aan het opspansel van {e 2, e 3 }, waarbij ε = {e, e 2, e 3 } de duale basis is van de standaardbasis ε = {e, e 2, e 3 }. Het voorgaande voorbeeld illustreert het aangekondigde verband tussen orthogonale complementen en annihilatoren. Dit verband wordt expliciet gemaakt middels het Riesz-isomorfisme. Stelling 3.6 Zij (V, R, (, )) een inproductruimte en S V. Dan geldt waarbij J : V V het Riesz-isomorfisme is. span(s) = J (S ), (56) Bewijs. Laat v S. Dan is v (s) = voor alle s S. Per definitie van Riesz-representant is J (v ) de vector uit V waarvoor geldt dat (J (v ), v) = v (v) voor alle v V, (57) en dus staat J (v ) loodrecht op alle s S en daarmee ook loodrecht op alle lineaire combinaties van vectoren uit S. Dus J (v ) span(s). Omgekeerd, laat w span(s), dan geldt in het bijzonder dat (w, s) = voor alle s S, en dus is J (w) : V R : v (w, v) (58) een element is van S. Dit bewijst de bewering. 5