Era oefening ij hoofdsuk a Een goede venserinselling voor de funie f is : X min en X ma en Y min eny ma 0. Voor de funie g X min 0 en X ma 0 en Y min 0 eny ma 0. y 0 8 8 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Veriale asympoo, horizonale asympoo y 0. Bij de funie f mag nie worden ingevuld, dus D f,, en omda de reuk geen 0 kan worden is de uikoms nooi, dus B f,, De funie g is een paraool, dus D g, me de rekenmahine kun je vinden da de op van deze paraool he pun (, 7 )is, dus B g 7,. De funie h is een worelfunie. Onder he woreleken moe een geal groer of gelijk aan nul saan. Je kun zien of me de rekenmahine epalen da dan 80 moe zijn. D h,80 B h 0,. a PQ f () + 8 P(, + 8 ). Oppervlake OPQ A () OQ PQ ( + 8) +. 0 < <. d y 8 0 8 O 7 8 9 0 e De op van de grafiek lig ussen 0 en, dus maimale oppervlake OPQ A() 8 8 + 8. 90
Era oefening ij hoofdsuk a De noemer van de funie f is alijd groer dan 0, dus de funie f esaa voor alle. + 0 ( + )( ) 0 of. De veriale asympoen van de grafiek van g zijn dus en. Wanneer seeds groere posiieve of negaieve waarden aanneem, zal ij eide funies de funiewaarden seeds diher ij 0 komen. De horizonale asympoo is dus ij eide funies y 0. d Me de rekenmahine kun je de op van de funie f vinden, di is (, ). De op van de grafiek van de funie g is (, ). Dus B f 0, en B g, 0, a 9 ( 9 ), hieraan kun je zien da de funie f nul word als 0, of. Dus D f, 0,. Buien deze inervallen saa er onder he woreleken een negaief geal en da kan nie. Me rekenmahine epaal je dan de op en vind je: B f 0;, 9
Era oefening ij hoofdsuk a Neem als venserinselling: X min en X ma en Y min 00 eny ma 00. 00, 0 00 0 ( 00) 0 0 of 00 de nulpunen zijn 0, 0 en 0. Me de rekenmahine vind je: (, ; 00),( 0, 0) en (, ; 00) a 8p+ ( p+ ) ( p) 8p p+ 9 + p p + 9 + p p 7 p 7 ( ) of of 9 of. + 7 0 ( + 7) 0 ( )( 9) 0 0, of 9 d 8 ( 8) 0 8 + 0 0 + 8 0 8 8 0 8 Dus of 7 + + of 7 e + + 0 ( ) 0 ( )( + ) 0 0, of a + 7 7 7 of 7 Me de rekenmahine. Plo Y ( ) en Y en epaal he snijpun. De oplossing is 07, + + + Me de rekenmahine. Plo Y en Y + + en + epaal de snijpunen. De oplossing is,, 07, of, 7 d 8+ + 8+ 8+ 8+ 8 e 0, 8 + 0 Me de rekenmahine. Plo Y 0, 8 + en Y 0 en epaal he snijpun. De oplossing is, 9. a Wanneer je de venserinselling aanpas, ijvooreeld door in e zoomen, dan zie je da er wee snijpunen zijn. 0, +, 0+ 0, 0, +, 0 0, 0 De disriminan D 0, 0, 0, 0, 000 > 0, dus wee oplossingen. ( 0, en ) Eers de vergelijking en dan me een plo de ongelijkheid oplossen. a 8 + 8 de oplossing is dan, 9 + 9 8 0 0 ( )( + ) 0 of. De oplossing is dan,, 9
Era oefening ij hoofdsuk + + + 0 + 9+ 9 0 9 + 9 9 9 9 9 9 + 9 9 + of 9 9 9 de oplossing word dan, d + 7 7. De oplossing word dan (le op he randpun! ),. 9
Oefenoes ij de hoofdsukken en a Me de insellingen X min en X MAX en Y min 00 en Y ma 00 krijg je de grafiek zo in eeld. Plo de grafiek van de funie f.me de rekenmahine vind je de oppen (, 8) en (, 8). Plo ook nog de grafiek van y 9 en epaal me de rekenmahine de snijpunen. Je vind:,,, 0 en 77,. d Plo de grafiek van y. De snijpunen worden 798,,, 9 en 9,. De oplossing van f ()< is dan, 798,, 9; 9,. e f () 0 8 0 ( 8) 0 0 of 8 0, 8 of 8. a y 7 f g h O 7 Veriale asympoo, wan voor is de noemer gelijk aan 0, en horizonale asympoo y wan voor groe waarden van word de reuk zo goed als nul. f () Dus f () heef oplossing,,. Denk om de asympoo!! d Er zijn geen oplossingen voor p, wan dan zou de reuk gelijk moeen worden aan 0 en da kan nie. e Plo eide grafieken en epaal me de rekenmahine de snijpunen. De snijpunen zijn: (, 7;, 8) en ( 90, ;, ). f f () < g () < h () geld vanaf de asympoo o he snijpun van g en h. Dus ;, 90, maar de eponeniële funie h () sijg ij groe seeds sneller, dus h en g snijden elkaar nog een keer namelijk ij, 7. Dus f < g < h voor ;, 90, 7; a f( 0) 00, 0 9 Er moe gelden 00, 0 00, 00 0 0. Dus D f 0, 0. y 0 0 O 0 0 9
Oefenoes ij de hoofdsukken en d f () 0, 0 0, 0, e 00, 7, 7 7 of 7. Plo eide grafieken en ereken he snijpun. Lees he anwoord af ui de grafieken. f () > g () 00, 0, 07 00, 0, 00 0, 0 00 0 of 0. De oplossing van de ongelijkheid word dus: 0, 0 a + 0 8 8 C( 8, ). + D(, ). Nu is de -oördinaa van A en dus van D gegeven. Je moe nu invullen in y + y + D(, ). C heef dus y-oördinaa en lig op y + 0 + 0 C(, ). B lig reh onder C B(, 0) Oppervlake ABCD AB BC 0. Je moe nu a invullen in y + y a+ Da (, a + ). C heef dus y-oördinaa a + en lig op y + 0 + 0 a+ a 7 7 a C( 7 a, a + ). B lig reh onder C B( 7 a, 0 ). d ABCD is een vierkan als AB BC 7 a a a+ a+ 7 a+ a a e Oa () AB BC ( 7 a a) ( a+ ) ( 7 a)( a+ ) 7a+ a a a + a + f Er moe gelden: AB > 0 7 a > 0 a < 7 a < en BC > 0 a+ > 0 a > Dus he domein van O()is,. g Plo O() en epaal de op me de rekenmahine. Je vind (, ). 8 Voor a is de oppervlake maimaal. 8 a Bij al deze funies is de derde mah de hoogse mah van, en zijn de andere mahen wee en/of één en/of nul. Bij de funies f, g en h kun je de nulpunen ea epalen, ij de funie k nie. f () 0 + 0 ( + ) 0 0 of. g () 0 0 0. h () 0 ( )( + ) 0 0, of. k () 0 + 0 me de rekenmahine 07, a a f(). Top (, ), nulpunen 0 en y O 9
Oefenoes ij de hoofdsukken en a f() ; a f() ; a 0 f() ; a f() y a a O Alle grafieken gaan door he pun (, 0 0) d f () a 0 ( a ) 0 0of a e f () 0 ( + ) 0 0 of op voor. De op is (, ) f () 0 ( + ) 0 0 of op voor. De op is (, ) f () 0 0 op voor 0. De op is ( 0, 0) f () 0 ( ) 0 0 of op voor. De op is (, ) f Nulpunen zijn 0en a, dus de op daar ussen dus voor a. f( a) a a ( a) a a a dus de op ( a, a ). g a 0 a 0 9
Era oefening ij hoofdsuk a Toename % per jaar groeifaor, per jaar. Beginhoeveelheid 07. Dus f () 07,, in jaren. Rene,% per jaar groeifaor,0 per jaar. Inleg e 000,-. Dus f () 000, 0, in jaren Afname % per 0 jaar groeifaor per 0 jaar 0,7. Beginhoeveelheid 000 on. Dus f () 000 07, in perioden van 0 jaar. ( 0 Of: groeifaor 0,7 per 0 jaar groeifaor 07, ) 0, 9909 per jaar. f () 000 0, 9909 me in jaren. d Verdrievoudiging per dag groeifaor is per dag. eginhoeveelheid miljoen. Dus f () me in dagen en f() in miljoenen. a () () 0 7 d () + a a a a a () ( + ) + + + 8 ( ) d p p p p p p p ( ) ( ) + p a f () g 0 door (0, ) f() 0 g. f () g door (, ) f() g g 0, f () 0, h () g door (, 7) h() g 7 en door (, 8) h() g 8. Dus g 7 eerse in de weede invullen geef g 8 g g 8 7 8 8 g g g. () 7 7 0,. 7 Dus h () 0, ( ). 7 + a Fou wan + 8+ 8 Wel juis is Fou wan ( ) Fou wan ( ) : + d Fou wan 7 7 7 7 7 7 0 0 7 97
Era oefening ij hoofdsuk a, 00 Plo de grafieken Y, eny 00. Bepaal me de rekenmahine he snijpun. Je vind 8,. 0, < 0,. Plo de grafieken Y 0, eny 0,. Neem sherminselling X, X, Y 0 en Y 0 Bepaal me de rekenmahine he min ma min ma snijpun. Je vind. De oplossing is dan >. 0, > 0,. Me de rekenmahine kan, maar deze kan ook ea. + 0, > 0, () > () > > + > > >. d 0 0, 9. Plo de grafieken Y 0 0, eny 9. Bepaal me de rekenmahine he snijpun. Je vind 07,. 7a ( ) () ( ) 7 9 ( ) ( ) d (,) 0 00, (,) 0 ( 0, ) + e +. 9 9 f () () 7 ( ) ( ) 98
Era oefening ij hoofdsuk a Plo de grafieken: Y 0 en Y en epaal he snijpun. Je vind,. Plo de grafieken Y, en Y 77, en epaal he snijpun. Je vind 0, en 0,. Plo de grafieken Y en Y en epaal he snijpun. Je vind 0, en 0.. de oplossing is dan ; 0,, 0; d Plo de grafieken Y + en Y, en epaal he snijpun. Je vind 09, en 0, 9 De oplossing is dan ( denk om de veriale asympoo!) 09, ; 0 0; 0, 9. a + 9 7, 0, 9 of, 9 w + 9 w w w 08, 9 7 d 7,, 0, 7 9, e > eers de vergelijking oplossen 7 7 0 ( ) 0 0 of me de grafieken vind je de oplossing, 0 0,. f eers de vergelijking oplossen + 0 ( 8) 0 0 of. De oplossing is dan 0,. a Elke kuus heef zijvlakken. Door he egen elkaar plaasen vallen er vlakken af voor de oppervlake. Dus de oppervlake is O ( ) r 8r m De inhoud is V r m 0 0 O 0 8r 0 r r 7, m 8 8 0 0 0 0 De inhoud is dan V ( ) 8, m V 00 r 00 r r 9, m 8 De oppervklake is dan O 8 ( ) 8, 90 m 8 8 9 8 d O V 8r r r 8r 0 r ( r 9) 0 r 0 of r. He kan dus als r m. a y O g f D f 0, en B f 0, en D en B g g 99
Era oefening ij hoofdsuk 7 7 7 7 ( ) ( ) 0 ( ) 0 0of 0of. 7 7 f () en g () d f () 7 7 9 7 7 e g () ( ) 8 a f () In de uur van 0 is heel klein, de funie lijk dan dus he mees op. Voor groe waarden van is juis heel klein. De grafiek lijk dan dus he mees op die van 00
Oefenoes ij de hoofdsukken en a Toename me,% per jaar, dus de groeifaor is,0 per jaar C (),, 0 in miljarden, in jaren., juli 00 kom overeen me, C(, ),, 0, 07 miljard inwoners. Opgelos moe worden,, 0, 70.Plo eide grafieken en epaal he snijpun. Je vind 0, 7. Dus in he jaar 09 is de evolking,70 miljard. d --00 kom overeen me. De oename over he jaar 00 vind je me C() C(),, 0,, 0 0, 09 miljard, dus 9 miljoen. e Opgelos moe worden, 0 me de rekenmahine geef di 9, 8, dus na ongeveer 0 jaar. ( ) f Groeifaor per jaar is, dus de groeifaor per jaar is, 09. ( ) ( ) Op januari 999 was de Indiase evolking 8 9 miljoen De formule I () 0, 9, 09 g Plo eide grafieken en epaal he snijpun. Je vind,.dus in he jaar 00 heen ze evenveel inwoners. a y 0 8 O D f, 0 0, f () 8 0 0 0 of De grafiek van f heef veriale asympoo 0 en horizonale asympoo y 8. d f () 0 8 0 0 0 8,, of,. a f () + + g () + ( ) + ( ) h () ( ) 8 8 a y 0 g 8 f O ;,,, (, ), (), dus f () g (),, (),,,,, 0
Oefenoes ij de hoofdsukken en 0 g() 0, ( ), gdoor he pun (0;,) op de y-as, dus h door he pun (;,). g(), ( ) g door he pun (, ), dus h door he pun (, ). g(), ( ) g door he pun (,), dus h door he pun (,) 0 d g (), ( ) spiegelen in de veriale as geef k (), ( ), (),,, vervolgens naar rehs vershuiven geef h (),,,,,, Dus h (),. Snijpun me de veriale as, dus 0 h( 0) Snijpun me de veriale as is (,) 0. De groeifaor van h is, e h (), zie hieroven. 0 7 a 07, + 0 07,,0 of, 0 8,, 0, 0 0 0 d p 7 p p p 8778 + 7 + 7 + 7 7 7 ( ) ( ), e ( ) + 7 7 f geen oplossing wan he linkerlid is alijd groer dan 0. g, 0 7 7 h 0 ( ) 0 0 of 0 of of a De walvis eva ij leven 0,00000 mg per kilo, dus eva de walvis 0,0 mgc. Opgelos moe worden () 0, me in perioden van 70 jaar. me de rekenmahine geef di, 9. Dus na, 9 70 90 jaar is er nog 0 % over. Toen de mammoe overleed was er 700 0, 00000 0, 007 mg aanwezig. Er moe dus gelden 0 007, ( ) 0, 00 me de rekenmahine, 79. De mammoe is dus, 79 70 00 jaar geleden gesorven, dus ongeveer 0.000 jaar geleden. 7a Invullen van de gegevens geef: 0, 0, 7 0,, 0, 008 G 0, 0, 7 G 0, ( ) G 0,, G, 9 kg 0, 0, 7 0, H 0, 008 G 80 0, 88 G Dus 09,. 0, 0, 7 H hans 0, 008 7 80, 80 H 80 0 008 G 0 G,,, ( ) 0,,, 7, G 7, 0 kg. Frans Dus Frans weeg ongeveer 0 kg. d Voor: H 0 008 90, L,, 7 0, 0 L, voor Na: H 0 008 7, L,, 7 0, 0 L, 7 na Haar huidoppervlake is dus me 0, 0 0, 0 00% 9, % afgenomen. 0, 0 0
Era oefening ij hoofdsuk a C 00 A B Er zijn meerdere mogelijkheden, he vershil zi hem in de afmeingen, de vorm lijf hezelfde. Twee van de drie hoeken was genoeg gewees wan de drie hoeken samen zijn alijd 80. Ja, er is maar één driehoek mogelijk die voldoe aan deze gegevens. d Wanneer je één van de gegevens weglaa lig de driehoek nie meer eenduidig vas. a C F A B D E In een gelijkenige driehoek zijn de asishoeken gelijk. A B ( 80 C) ( 80 F) D E. Congrueniegeval HZH. a D E C S A B AE AS Driehoek ASE is gelijkzijdig EAD 0 DAS, AD AB driehoek ABD is gelijkzijdig SAB 0 DAS AE AS EAD SAB 0 DAS ( ZHZ) ADE ABS AD AB 0
Era oefening ij hoofdsuk Bewijs: ADE ABS DE BS BSCis gelijkzijdig BS CS DE CS a C A B P ABC is gelijkenig CAB CBA AP BQ CP CQ PBC en QAC d/e Te ewijzen PB QA Bewijs: CP CQ PCB QCA ( ZHZ) CPB CQA PB QA. CB CA Q 0
Era oefening ij hoofdsuk a 0 ( ) 0 0 of ( )( + 7) ( 7)( ) 0 of + 7 7 of 0 of ( )( + ) 0, of 0 ( )( ) + + 0 + ( ) + 9 + of ( ) 9 De oplossingen zijn dus of d ( ) of ( ) + 0 of + 0 + 0 ( ) 0 of + 0 + + 8 + + of 8 De oplossingen zijn dus, + of e 7 + 0Sel a Je krijg dan: a 7a+ 0 ( a )( a ) 0 a of a a 9 en a De oplossingen zijn dus 9 of. f 8 ( ) ( ) 0 of 8 of 8 ( ) of 8 Sel a Je krijg dan: 8 a a a a+ 8 0 ( a )( a ) 0 a of a a en a De oplossingen zijn dus of a D D f g 0, 0 0 of 0 of 0 (verval) of of 0 y 0 8 O 0
Era oefening ij hoofdsuk d 0 of 0 of of + 0 ( )( + ) 0 of (verval) of + 0 ( + )( ) 0 of (verval) De snijpunen zijn dan (, 0 0),(, ) en (, ). e Me de grafiek en de erekende snijpunen : f () g () 0 of. a a 0 de weede in de eerse invullen geef a a a 0( a ) a 0a+ 0 a 0a+ 9 ( a )( a 9) 0 a of a 9 a 0 0 en a 9 8 De oplossingen zijn dus a en 0 of a 9 en. a de weede in de eerse invullen geef a+ 7 a 7 ( 7 ) 8 8 + 0 + 9 8 + 00 9 8 00 + 0 of 0 a 7 of a 7 De oplossingen zijn dus a en of a en. a s 00 0 00 0 O s 9, s s 9, 9, s klop nie wan s g s g g g s klop wel wan s g s g g s g s g klop wan s g g s s s g s klop nie wan s g s s s g g g g 0 a TM + OM OT h + h h TM + OM OT h + ( ) h h
Era Hoofdsuk oefening - ij Ruimefiguren hoofdsuk h, 0 9 9 d N is he midden van AT. Teken de lijn NN evenwijdig aan TM, dan is N he midden van MA, dus ON '. Ook geld dan da NN ' h. T h N O M N A Dus N' N + ON ' ON ON ( h) + ( ) e Maak geruik van he resulaa van opdrah. ON ( h) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) 9 + 9 9 9 h ( 9 ) h 0 8 8 07
Oefenoes ij de hoofdsukken en C D P A B Gegeven: ABC, CAD DAB, CP CD Te ewijzen: APC ADB Bewijs: CP CD CPD CDP CPA BDA APC ADB CAP DAB a Te ewijzen: CED CDE Bewijs: AC CB CAE CBD 90 ( HZH) ACE BCD CE CD ACE BCD CED is gelijkenig CED CDE. CAB CBA ( 80 ACB) ( 80 ECD) CED CDE Dus alle hoeken van ABC en EDC zijn gelijk ABC EDC Op dezelfde wijze is BDC AEC a ( + )( + ) + + + + a ( + ) ( a+ )( a ) a+ + + a + a + a+ a + a+ a a a a a ( )( + + ) + + 8 8 d + + + ( + )( ) + + ( + ) ( + + ) ( + + )( ) ( + + )( ) ( + + )( ) + ( + + )( ) ( + + )( ) a De uispraken I, III en IV zijn juis. Uispraak II is onjuis, wan een gelijkenig rapezium heef ook één symmerieas en is geen vlieger. De uispraken I en IV zijn gelijkwaardig. Gegeven: een vierhoek ABCD, AC is symmerieas Te ewijzen: AB AD en BC CD Bewijs: ( Me S ( P ) Q word edoeld da Q he spiegeleeld is van pun P na AB spiegeling in de lijn AC). 08
Oefenoes ij de hoofdsukken en S ( D) B AC AC is symmerieas S ( AD) AB AD AB AC S ( A) A AC S ( C) C AC AC is symmerieas S ( CD) CB CD CB AC S ( D) B AC Gegeven vierhoek ABCD me AB AD en BC CD Te ewijzen: AC is symmerieas. Bewijs: AD AB CD CD ( ZZZ) ACD ACB DAC BAC AC is deellijn AC AC S ( D) B AC is symmerieas. AC Uispraak III Gegeven : vierhoek ABCD. AC en BD snijden elkaar in pun S. AS CS en BS DS. Te ewijzen: ABCD is een parallellogram. Bewijs; AS CS BS DS ( ZHZ) ASB CSD AB CD ASB CSD () AS CS BS DS ( ZHZ) ASD CSB AD CB ASD CSB () Ui () en () volg ABCD is een parallellogram. a y 0 of y eerse invullen in de weede vergelijking geef: y+ y 0 0 0 y+ y y y of y y + 0 ( ) 0 0 of De oplossingen zijn dus 0en y, 0 en y, en y + y p y+ p de eerse invullen in de weede geef: + y ( y+ p) + y y yp + p + y y yp+ p 0 He selsel heef preies één, oplossing als de diriminan van de weedegraads vergelijking gelijk is aan 0. Dus: ( p) ( p ) 0 p p + 88 0 8p 88 p p of p Invullen in de weedegraads vergelijking: p y + y+ 0 y p y y+ 0 y 09
Oefenoes ij de hoofdsukken en a P B m A S Ui de onsruie volg PA AS SB BP PASB is een rui PS AB m In da geval word PASB een vlieger wan dan is PA BP vanwege de eerse sap en AS SB vanwege de weede sap. Ook ij een vlieger saan de diagonalen loodreh op elkaar. 7a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 0 + + geen oplossing. ( ) < + splisen in wee ongelijkheden < ( ) < < < geen oplossing ( ) < + < + < 0 0 + + 8 + + + of + 8 De oplossing word dan < < +. + + + + ( ) + 0+ + 0 ( )( 8) 0 of 8 Conrole geef 8 voldoe nie. de oplossing is dus. d < < 0 < ( ) < + < 0 < ( ) < + < < geen oplossing > < ( ) < < > De oplossing is dus < of > e + ( + ) + + + log log log 0
Oefenoes ij de hoofdsukken en 8a V V C ( ) V 0, ( 0 ) 0, 0, 0, lier oevoegen. TOE B TOE C 8 Eindvolume is dan 0, lier zouoplossing. V V V V V C C + + ( ) V + EIND B TOE B B B C C V C B C 9a CAB CBA AD CD ACD CAD CAB ACB+ CAB + ABC 80 ACD + CAB+ CAB 80 CAB+ CAB + CAB 80 CAB 80 CAB 7 CAB ACD C ADB 80 DAB DBA 80 7 7 CAB ABD 7 ABC BDA ABC BDA 7 ADB ABD 7 BDA is gelijkenig AB AD q Gegeven was AD CD CD q en AC BC BC p BD BC CD p q () AB AC q p Ook geld: ABC BDA p BD q BD q () BD BA BD q q Ui () en () volg BD p q p q d p q pp ( q) q p pq q p pq q 0 Di is op e vaen als p een weedegraads vergelijking me variaele p en geef dan: p q q q q q q q p + + + q( + ) + q
Era oefening ij hoofdsuk 7 a Periode is π π He ampliude is Op he inerval 0, 0 snijpunen. π zijn er snijpunen dus op he inerval 0, 0 zijn er d De oppen zien ij 0, enz. De oppen zijn: (, 0 ),(, ),(, ),(, ),( 8, ),( 0, ) a De periode is π π 7, uur, dus 7 minuen uur en minuen. 0, He geijdevershil is 80 0 m. y 80 0 0 0 0 0 7 8 9 0 0 0 80 d De formule voor Den Helder word dan: h 0 0 sin(, ( )). a De periode is π π seonden. DH Plo de grafiek en de lijnen y, en y, en epaal de snijpunen. Je vind: 07, ; 0, 8 ; 7, en, 8 op de eerse periode. De andere snijpunen zijn dan seeds een periode verder, dus: 7, ;, 8 ; 7, ;, 8 ; 7, ;, 8 ; 7, ;, 8 ; 7, ; 8, ; 7, 7 ; 78, ; 8, 7 ; 88, ; 9, 7 en 98,. a Plo de grafiek van f en de lijn y op he inerval π, π en epaal de snijpunen. je vind: 09, ; 0;, 9 en Plo de grafiek van f en de lijn y op he inerval π, π en epaal de snijpunen. je vind: π; 0, ; π; 7, en π. De oplossing van de ongelijkheid is dan : 0, ; π 7, ; π. a Plo de grafiek van Y sin( ) op he domein π, π en epaal me je rekenmahine de nulpunen. Je vind: 8, ;, 7; 07, ; 0, ; 8, ;, ; 7, ;, ; en 7, De oplossing van de ongelijkheid word dan: π;, 8, 7; 0, 7 0, ;, 8, ;, 7, ;, 7 Plo de grafiek van Y + sin( + ) en Y, op he domein π, π en epaal me je rekenmahine de nulpunen. Je vind: 0, ;, 8;, De oplossing van de ongelijkheid word: 0, ;, 8, ; π.
Era oefening ij hoofdsuk 7 Plo de grafiek van Y os en Y op he domein π, π en epaal me je rekenmahine de nulpunen. Je vind:, ;, ; ; 0, 8; 08, ; ;, ;, ; 7, ;, ; 9, en, 7 De oplossing van de ongelijkheid word dan: π,,, ; 0, 8; 0, 8 ;,, ;, 7 9, ;, 7, ; π d < sin sin < sin < oplossing π, π π, π
Era oefening ij hoofdsuk 8 a De hooge vind je door e kijken ij 0. De oren is dus 0 meer. Plo de grafiek en epaal he maimum, je vind da de maimale hooge meer is na seonden. He differeniequoiën op ;, is h(,) h( ) 0, 9 0 0, 0, m/s 0, 0, 0, He differeniequoiën op ;, 0 is h(, 0 ) h( ) 0, 799 0 00, 00, 0, 00 d h () + 0 + 0 h'( ) 0 + 0 0, 0 m/s 0, 0 h'( ) 0 + 0 0 m/s. He anwoord is negaief omda er sprake is van een snelheid omlaag. de uikomsen van opdrah zijn dus een goede enadering. hoe kleiner he inerval hoe eer de enadering. a f () + f'( ) 8 + 0 hellingf () 9 7 7 9 Zoals ui ovensaande ael lijk is de helling 7 voor, dus in he pun (, ). Helling gelijk aan, da wil zeggen da de hellingsfunie, f'( ) + 079, a f () + f'( ) 8 f '() 8. df df f d '( ) 8 d f'( ) 8 8 d Helling gelijk aan f'( ) 8. f( ) ( ) + 9+ Dus in he pun (, ) is de helling gelijk aan. e De raaklijn in he pun (, ) is van de vorm y a+ a f'( ) y +. De lijn gaa door he pun (, ), dus + De raaklijn is : y 7 a f () 0 f'( ) 0 7 f () 0 + f'( ) 7 f () 8 8 f'( ) d g () g'( ) e hu ( ) u + h'( u) u f j () 7 j'( ) 0 a f () + snijpun me de y-as: f( 0) dus B( 0, ) Snijpun me de -as: f () 0 + 0 7 He snijpun me de -as is dus A(, 0) f'( ) f'() 0 0Dus de helling in B is 0. f '( ) ( ). dus de helling in A is. y + heef helling, dezelfde helling als in A. De lijn gaa ook door A(, 0 ), wan + 0 d Raaklijn in pun B heef helling 0 en is dus horizonaal, de lijn gaa door B( 0, ). Die raaklijn is dus de lijn y.
Oefenoes ij de hoofdsukken 7 en 8 a y 0 0 0 0, 0, 0, 0,8 Plo evens de lijn Y en epaal de snijpunen. Je vind j 0, 79 en j 0, 80. He groeiseizoen duur dus 0, 80 0, 79 0, deel van een jaar da is 0, dagen. Op dezelfde wijze als ij opdrah duur he groeiseizoen nu 0,08 deel van een jaar en da is ongeveer dagen. he groeiseizoen is nu dagen korer. a Funie f: ampliude en periode π. Funie g: ampliude en periode π. Funie h: ampliude en periode π. De grafiek van de funie f onsaa ui die van y sin door vermenigvuldiging me en opzihe van de -as, gevolgd door een vershuiving omhoog. f () + sin. d De grafiek van de funie g onsaa ui die van y os door vermenigvuldiging me en opzihe van de y-as, gevolgd door een vermenigvuldiging me en opzihe van de -as. e g () os f De evenwihssand van de grafiek van de funie h is y. ampliude en periode π. Ook is er nog een vershuiving naar links van π. h () + sin( + π ) g h () da zijn de minima. De punen op he inerval 0, 0 zijn ( π, );( π, ) en ( π, ). a Plo de grafieken van Y os en Y en epaal de snijpunen. Je vind 0, ;, ; 7, en, 7. Plo de grafieken van Y + sin en Y en epaal de snijpunen. Je vind 8, ;, 88; 97, en, 0. De oplossing van de ongelijkheid word dan 0;, 8 88, ;, 97 0, ; sin os 0 sin 0 of os 0 0 ; π; π; π; π; π; π d sin ( + os ) 0 sin 0 of os 0; π; π; π; π De oplossing van de ongelijkheid word: 0, π π, π π, π π, π a f () asin( ) en f heef ampliude, dan is a of a. de periode is π. π f () asin( ) en f heef ampliude π, dan is a π of a π. de periode is π π f () asin( ) en f heef periode π π. Dus f () asin( ) π. Door he pun (, ) asin( π ) a. Dus a en π
Oefenoes ij de hoofdsukken 7 en 8 Maak eers een ael. 0 7 f() 0 0 Teken nu de punen in een assenselsel en verind deze. y 7 8 9 a h 0 00 80 0 0 0 O 7 8 9 d Voor 0 en 9 word de funiewaarde 0, dus 0 9 De funie is een ergparaool. De op lig dus midden ussen de nulpunen, dus voor. h( ) ( ) 0, meer is de maimum hooge. De seen val omlaag van o 9. De gemiddelde snelheid in die ijd is. h() 9 h(, ) 0 0,,, dus de gemiddelde snelheid is, m/s.,, h h() 9 h() 0 70 0 7 7 9, ; h h() 9 h() 0 00 9, h h() 9 h() 7 0 70 79, ; h h() 9 h() 8 0 0 0 89, e f h 0 00 80 0 0 0 0 7 8 9 De seen kom na 9 seonden op de grond. h'( ) 0. De snelheid warmee de seen op de grond kom is dan h'( 9) 0 9 m/s.
Oefenoes ij de hoofdsukken 7 en 8 9 9 8 7a f () 0 0 f'( ) g () ( + )( + ) + + + + g'( ) d h () ( )( ) + + + h'( ) + h'() + k () + + k'( ) 8 8a Na kwarier heef hij s( ) 0, 00,, km gelopen. De gemiddelde snelheid is dan km/u. s'( ) v () 00, Beginsnelheid : v( 0) 0km/kwarier 0 km/uur Eindsnelheid: v( ) 00, 0 km/kwarier 0 km/uur. De maimale snelheid; plo Y 00, en epaal me je rekenmahne he maimum. Je vind maimale snelheid,9 km/kwarier 7,7 km/u. 9a De oprengs is eers lager dan de kosen, maar de oprengs sijg sneller dan de kosen. Nada de produie voldoende is gesegen zijn de kosen lager dan de oprengs. Op een gegeven momen daal de oprengs weer en worden de kosen uieindelijk hoger dan de oprengs. De helling geef de snelheid waarmee de kosen en de oprengs sijgen aan. wanneer die hellingen gelijk zijn sijgen zij dus even snel. Da is he geval ij een produie van ongeveer 0 à uinkaouers. De wins is he vershil ussen de oprengs en de kosen. Dus waar da vershil he groos is is de wins he groos. d De wins is eers negaief, dus verlies. daarna neem de wins oe en vervolgens weer af om ensloe weer in verlies e eindigen. Maimale wins zal er zijn als eide grafieken even serk sijgen, dus ij een produie van 0 à uinkaouers. e Voor de oprengs geld : Oprengs verkohe hoeveelheid prijs. Dus O q p q( 0, q) f O q( 0, q) en K 0, q + 0. Voor de winsfunie geld dus: W q( 0, q) ( 0, q + 0) q 0, q 0, q 0 0, q + q 0 W'( q), q +. De wins is maimal als W'( q) 0, q+ 0, q q 0 Er is dus inderdaad maimale wins ij een produie en verkoop van 0 uinkaouers per dag. 7