Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen en Aftrekken Een ezelsbruggetje om dit lijstje te onthouden is: Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen? Als twee bewerkingen op hetzelfde niveau staan, moet je de berekening gewoon van links naar rechts uitvoeren. Pas op met mintekens, want 5 2 = 1 5 2 = 25 en ( 5) 2 = 25. De notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet. Bijvoorbeeld 10 + 9 + 1 = 25 2 = 1 12 = 12 2 Vergelijkingen Terugwerken Als je in een vergelijking op één plek een x ziet, kun je terugwerken. 7(x ) 2 + 2 = 0 7(x ) 2 = 28 (x ) 2 = 4 x = 2 x = 2 x = 5 x = 1 Soms moet je eerst herleiden om terug te kunnen werken. x + 2 = 2(x ) x + 2 = 2x 12 x = 14 1
Weglaten Als je in het linker- en rechterlid van de vergelijking dezelfde bewerking weglaat, kun je de vergelijking versimpelen. (x + ) = (2 x) x + = 2 x 2x = 1 x = 1 2 In het linker- en rechterlid moet het wel om de buitenste bewerking gaan. 2 5 x = 2 x + 2 x 2 5 x = 2 2 x 2 5 x = 2 x+1 5 x = x + 1 4 = 2x x = 2 Let op dat je niet mag delen door nul. Daarom is x + 4 = 0 een aparte oplossing in het volgende voorbeeld. 2(x + 4) = (x + 4)(5 x) 2 = 5 x x + 4 = 0 x = x = 4 Je kunt niet altijd zomaar weglaten. Dan hangt het van de situatie hoe het weglaten moet worden uitgevoerd. (2x 7) 2 = (2 x) 2 2x 7 = 2 x 2x 7 = (2 x) x = 9 2x 7 = 2 + x x = x = 5 Product is nul Een vergelijking van de vorm A B = 0 kun herleiden tot A = 0 B = 0. (x 2)(2x 8)(x 2 9) = 0 x 2 = 0 2x 8 = 0 x 2 9 = 0 x = 2 x = 4 x = x = Soms moet je een uitdrukking eerst herleiden tot een product. x 2x = 0 x(x 2 2) = 0 x 2 = 2 x = 0 x = 2 x = 2 x = 0 2
Met ontbinden in factoren gebruik je ook de methode product-is-nul. Bijvoorbeeld x 2 + 7x + 10 = 0. Zoek getallen met product 10 en bekijk of de som 7 is. 10 Som x 2 + 7x + 10 = 0 1 10 11 1 10 11 (x + 2)(x + 5) = 0 2 5 7 x = 2 x = 5 2 5 7 Een vergelijking van de vorm A B = A C hebben we al gezien bij de categorie weglaten. Delen door A geeft B = C en de extra mogelijkheid A = 0. Eigenlijk gebruiken we dan de volgende oplosmethode. A B = A C A B A C = 0 A(B C) = 0 A = 0 B = C abc-formule De abc-formule werkt alleen voor tweedegraadsvergelijkingen. De formule werkt altijd, maar is niet altijd de snelste manier om een kwadratische vergelijking op te lossen. Herleid eerst tot de vorm ax 2 + bx + c = 0. Bereken dan de de zogenaamde discriminant D = b 2 4ac. Als D < 0 bestaan er geen oplossingen. Als D = 0 is er één oplossing: x = b 2a. Als D > 0 zijn er twee oplossingen: Namelijk x = b+ D 2a x(x 7) + 8 = x 2 7x + 2 = 0 D = ( 7) 2 4 2 = 25 x = 7 + 25 2 x = 7 + 5 x = 7 25 2 x = 7 5 x = 2 x = 1 x = b D 2a Substitutie Substitutie is geen oplosmethode, maar een manier om een vergelijking te herleiden tot een simpeler vorm. Daarna kan een van de andere methoden worden toegepast.
x 4 1x 2 + = 0 p 2 1p + = 0 met p = x 2 (p 4)(p 9) = 0 p = 4 p = 9 x 2 = 4 x 2 = 9 x = 2 x = 2 x = x = x = 11x x + 10 x 11x 2 10 = 0 p 2 11p 10 = 0 met p = x 2 (p 1)(p 10) = 0 p = 1 p = 10 x 2 = 1 x 2 = 10 x = 1 x = 10 2 = 100 2x 2 x = 0 ( x ) 2 2 x = 0 p 2 2p = 0 met p = x p(p 2) = 0 p = 0 p = 2 x = 0 x = 2 geen opl. x = log 2 Blikvangers Vergelijkingen die niet direct lijken op te lossen, omdat er specifieke rekenregels van toepassing zijn vallen in deze categorie. Denk aan vergelijkingen met breuken, logaritmes, wortels of goniometrie. Met de juiste rekenregels kun je toewerken naar één van de bovenstaande oploscategorieën. Hieronder volgen enkele voorbeelden. 4
Breuken kunnen meestal herleid worden tot bekende vormen. x+2 = 1 + 5 x x x+2 = 1 + x Maak gelijknamig. 5 x x x x+2 = 1+x 5 x x Vermenigvuldig de noemers weg. x(x + 2) = (1 + x)(5 x) Nu is het een kwadratische vergelijking. x 2 + 2x = 5 x + 0x x 2 7x 2 27x 5 = 0 D = ( 27) 2 4 7 5 = 89 x = 27+ 89 x = 27 89 14 14 Direct kwadrateren geeft bij vergelijkingen met een wortel weer nieuwe wortels. Daarom moet je eerst de wortelterm isoleren voordat je kwadrateert. x + 2 x = 1 2 x = 1 x 4x = (1 x) 2 4x = 1 x + 9x 2 0 = 9x 2 10x + 1 D = 100 4 9 = 4 D = 8 x = 10 + 8 = 1 x = 10 8 = 1 18 18 9 voldoet niet ( voldoet ) 1 1 9 + 2 9 = 1 + 2 ( 1 + 2 1 = 5 1 = 1 Dus klopt. ) Door het kwadrateren zijn er extra oplossingen in de vergelijking mogelijk, die in de oorspronkelijke vergelijking niet geldig hoeven te zijn. Controleer daarom de antwoorden door deze in de oorspronkelijke vergelijkingen in te vullen en na te rekenen of de vergelijking nog steeds klopt. 5
Je kunt ook de substitutie p = x gebruiken om de vergelijking op te lossen. x + 2 x = 1 p 2 + 2p = 1 met p = x, p 2 = x p 2 + 2p 1 = 0 D = 2 2 4 1 = 1 p = 2 + 4 = 1 p = 2 4 = 1 1 x = x = 1 x = 1 9 kan niet Logaritmische vergelijkingen vragen ook om een controle van de antwoorden, omdat de oplossing buiten het domein van de aanvankelijke logaritmes kan vallen. log(x + 1) = 1 log(x 2) log(x + 1) + log(x 2) = 1 log((x + 1)(x 2)) = log(10) (x + 1)(x 2) = 10 x 2 x 2 = 10 x 2 x 12 = 0 (x + )(x 4) = 0 x = x = 4 voldoet niet (log( + 1) = log( 2) bestaat niet) voldoet (1 log(4 2) = log(10) log(2) = log(5)) Goniometrische functies maken vaak gebruik van de exacte waarden voor sin, cos en tan en speciale formules. cos(x) = 1 2 met domein [0, 2π] x = 1 π + k 2π x = 1 π + k 2π x = 1 18 π + k 2 π x = 1 18 π + k 2 π x = 1 18 π x = 1 18 π x = 25 18 π x = 11 18 π x = 2 18 π x = 5 18 π sin(2x) = cos(x + 1 π) Maak van cos een sin. 2 sin(2x) = sin(x + π) Laat de sinus weg. 2x = x + π + k 2π 2x = π (x + π) + k 2π Dat geeft twee oplossingen. x = π + k 2π 2x = x + k 2π x = π + k 2π x = k 2π x = π + k 2π x = k 2 π met k = 0, 1, 1, 2, 2,...