Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen als de punten van een vlak waarin een rechthoekig coördinatenstelsel is gekozen. Een punt met coördinaten (x; y) noteren we daarbij als x + iy (of x + yi). Hier zijn wat voorbeelden: 5+3i (5; 3) 4+2i ( 4; 2) 3+0i =3 (3; 0) 0+2i =2i (0; 2) 0+0i =0 (0; 0) 0 +( 1)i = i (0; 1) iy x + iy i 2 1 0 1 2 x i Figuur 1. De symbolen +" en i" in x+iy hebben voorlopig geen andere functie dan de haakjes en de komma in (x; y), namelijk het uit elkaar houden van de twee coördinaten x en y. We korten de schrijfwijze soms wat in, zoals je boven al zag. Op die manier kunnen we het reële getal r identiceren met het punt (r; 0) op de horizontale as van ons coördinatenstelsel, die daarom de reële as wordt genoemd. We zullen nog zien waarom het nuttig is deze identicatie te maken. De complexe getallen van de vorm (0;r) =0+ri = ri, dus de getallen die op de verticale as liggen, heten imaginaire getallen. De verticale as zelf heet de imaginaire as. De verzameling van alle complexe getallen noteert men als C, de reële getallen als R en de imaginaire getallen als ir. 2 Optellen en vermenigvuldigen De complexe getallen heten getallen omdat men er (onder andere) twee vertrouwde bewerkingen voor kan deniëren, de optelling en de vermenigvuldiging. Dit gaan we nu doen, en wel op zo'n manier, dat de getallen op de reële as onderling voldoen aan dezelfde regels voor onze bewerkingen als de ons al bekende reële getallen. We hebben dan de reële getallen als rekensysteem als het ware `ingebed' in de complexe getallen. Nu eerst de denities voor de bewerkingen: 1
Denitie 2.1 Als a =(x 1 ;y 1 ) en b =(x 2 ;y 2 ) complexe getallen zijn, dan deniëren we hun som a + b en hun product a b = ab door: (x 1 ;y 1 )+(x 2 ;y 2 ) = (x 1 + x 2 ;y 1 + y 2 ) (x 1 ;y 1 ) (x 2 ;y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ;x 1 y 2 + y 1 x 2 ) De optelling is zoals je misschien al hebt opgemerkt de gewone vectoroptelling van de R 2. De vermenigvuldiging ziet er een beetje merkwaardig uit.... Allereerst merken we op, dat bij reële getallen (x 1 ; 0) en (x 2 ; 0) de som en het product weer reëel zijn en overeenkomen met de som en het product uit R zoals we diealkenden. Verder geldt (0; 1) (0; 1) = ( 1; 0). In onze `+,i' notatie wordt dit i i = 1. Dit had je misschien al wel eens gezien: i is een `wortel uit 1'. Merk echter op dat ook ( i) ( i) = 1, dus i is niet de unieke wortel. Als we nu de vermenigvuldigingsregel in onze notatie schrijven, ziet die er uit als: (x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i)=(x 1 x 2 y 1 y 2 )+(x 1 y 2 + x 2 y 1 )i: We zien dat het vermenigvuldigen gewoon het wegwerken van de haakjes aan de linkerkant is, daarbij gebruikmakend van i i = 1. Overigens blijkt de notatie x+i y echtovereen te komen met bovenstaande denitie voor de rekenregels. Er geldt voor alle x; y R dat i y =(0; 1) (y; 0)=(0;y)endusx + i y =(x; 0) + (0;y)=(x; y). Hierbij vatten we y dus op als (y; 0). 3 Poolcoördinaten De plaats van een punt z = x+iy in het complexe vlak is vastgelegd door zijn rechthoekige coördinaten (x; y). Mits (x; y) (0; 0), kan dit ook met poolcoördinaten p r en '. Daarbij is r = x 2 + y 2 de afstand van z tot de oorsprong O = (0; 0) en is ' de hoek die het lijnstuk Oz maakt met de positieve reële as, gemeten tegen de klok in. Deze hoek ' heet het argument van z, notatie ' = arg(z). Het argument meten we in radialen en is dus bepaald op veelvouden van 2ß na. Het getal r heet de modulus of absolute waarde van z, notatie r = z. Als z 0, dan hebben we het volgende: ρ x = r cos ' y = r sin ' i 0 8 >< >: ϕ 1 r Figuur 2. p r = z = x 2 + y 2 x cos ' = sin ' = x 2 +y 2 y x 2 +y 2 x + iy Er geldt z = x+iy = r(cos '+i sin '). Men noemt x het reële deel van z, genoteerd als R(z) of Re(z), en y (dus niet iy) het imaginaire deel, genoteerd als I(z) of Im(z). 2
4 Euler's formule Als je de kennis die je hebt van de reële getallen en de reële analyse (leer van de reële functies) uit gaat breiden naar het complexe vlak, kan je niet alles wat je zou willen weten direct afleiden uit stellingen over de reële getallen, omdat nog niet alles vastligt. Het complexe vlak is een uitbreiding, en je zult dus zelf ook een aantal denities moeten uitbreiden. Hierbij moet je er natuurlijk op letten dat deze op de reële lijn overeenkomen met je oude, reële denities. Daarna kun je uit de nieuwe denities `complexe' stellingen afleiden. We hebben de optelling en vermenigvuldiging al uitgebreid van reële functies naar complexe functies: ze krijgen nu complexe invoerwaarden en geven een complex getal terug. We gaan nog een aantal reële functies uitbreiden naar complexe functies. We nemen de functie exp : R R gegeven door x e x (met e 2; 71828 :::)en maken deze tot een complexe functie. We zullen e tot elk complex getal willen kunnen verheffen, dus zeker tot een imaginair getal. Daarom moeten we e iy deniëren voor reële y. De volgende denitie lijkt misschien wat willekeurig, maar blijkt van groot nut te zijn en kan ook op een natuurlijke wijze uit andere, simpelere denities worden bewezen. We stellen e iy = cos y + i sin y: Deze denitie heet ook wel de formule van Euler. Er geldt nu dat e i(y1+y2) = e iy1 e iy2 voor alle y 1 ;y 2 R : Dit volgt uit de denitie van complexe vermenigvuldiging en de optelregels voor de reële sinus- en cosinusfuncties: sin(y 1 + y 2 ) = sin y 1 cos y 2 +cosy 1 sin y 2 cos(y 1 + y 2 ) = cos y 1 cos y 2 sin y 1 sin y 2 Ga dit verder zelf na. Nu ligt e z voor een willekeurig complex getal z = x + iy vast en is gelijk aan: e x+iy = e x e iy = e x (cos x + i sin x) : Ook voldoet de complexe e-macht heel natuurlijk aan e z1+z2 = e z1 e z2 voor alle z 1 ;z 2 C : Bovendien kunnen we nog opmerken dat geldt cos y = eiy + e iy 2 sin y = eiy e iy voor alle y R. Met deze denitie kunnen we dan, door y C te nemen, ook de sinus en de cosinus uitbreiden. Ook die blijven op heel C aan de al bekende regels voldoen, zoals de bovengenoemde optelregels. 2i 5 De meetkunde van som en product De som van z 1 ;z 2 C bepaal je op dezelfde manier als je in de R 2 de vectoren z 1 en z 2 zou optellen, door een parallellogram te construeren. Het product z 1 z 2 kunnen 3
we ook meetkundig construeren. Hiervoor gebruiken we dat we een complex getal ongelijk aan nul in poolcoördinaten kunnen schrijven. Als we dan nog Euler's formule toepassen, vinden we: z 1 z 2 = r 1 e i'1 r 2 e i'2 = r 1 r 2 e i('1+'2) De modulus van het product is dus het product van de moduli: z 1 z 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 = z 1 z 2 : En het argument van het product is de som van de argumenten: r 1 r 2 arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 )+arg(z 2 ) : Je ziet dat het argument als een soort logaritme werkt. Als we nu het volgende plaatje met de punten z 1 en z 2 in het complexe vlak tekenen, dan zien we dat 01z 1 0z 2 (z 1 z 2 ). Dit levert ons de gezochte constructiemethode. (Voer die zelf verder uit.) r 2 0 1 z 2 z 1 r 1 6 Verschil en quotiënt Figuur 3. Aftrekken en delen zijn de omgekeerde bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen. Er geldt z 1 z 2 =(x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 )=(x 1 x 2 )+i(y 1 y 2 ). Voor het quotiënt z1 met z 2 0werkt de verkorte poolcoördinatennotatie weer het handigst: als ook z2 z 1 0,danis z1 = r1 z2 r2 ei('1 '2), en natuurlijk is 0 =0voor alle z 2 0. We kunnen z2 het quotiënt van z 1 = x 1 + iy 1 en z 2 = x 2 + iy 2 ook in cartesische (rechthoekige) coördinaten uitdrukken. Hiertoe maken we gebruik van de geconjugeerde van een complex getal. Voor z = x + iy is dit per denitie z = x iy. Je kent waarschijnlijk wel de ontbinding x 2 y 2 =(x + y)(x y). Met behulp hiervan kun je schrijven x 2 + y 2 = x 2 (iy) 2 =(x + iy)(x iy) : Als je de linkerkant herkent als het kwadraat van z, zie je dat er staat: Hieruit volgt meteen dat 1 z = z 2 = zz : z,voor z 0,dus z 2 x 1 + iy 1 =(x 1 + iy 1 ) x 2 iy 2 x 2 + iy 2 x 2 + = x 1x 2 + y 1 y 2 2 y2 2 x 2 + + i x 2y 1 x 1 y 2 2 y2 2 x 2 + 2 y2 2 Merk verder nog op dat voor alle z 1 ;z 2 C geldt: z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 : 4
Opgave 6.1 (a) Teken elk van de volgende complexe getallen in het complexe vlak en bepaal hun modulus en argument: 3, 2i, 1+i en 3 i. (b) Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm x + iy (x; y R) enteken ze in het complexe vlak: e 4ßi, e 1 2 ßi,2e ßi en 2e 9 4 ßi. Opgave 6.2 Teken in het complexe vlak telkens de getallen z die voldoen aan (a) arg(z) = ß 6 en R(z) =2. (b) I(z) = 3 en z =5. (c) arg(z) = 3 4 ß en z2 =16. (d) z 3i =5. (e) z 3i = 4+2i z. (f) z 4 = R(z). Opgave 6.3 Bewijs dat voor alle z 1 ;z 2 C geldt: (a) z 1 + z 2 z 1 + z 2. (de zogenaamde driehoeksongelijkheid) (b) z 1 z 2 z1 z 2. (c) z 1 z 1 + z arg(z). Wanneer geldt het gelijkteken? Opgave 6.4 Bewijs dat voor alle z 1 ;z 2 C z 1 + z 2 2 + z 1 z 2 2 =2 z 1 2 + z 2 2 : Dit heet de parallellogramwet. Waarom, denk je? Opgave 6.5 Bewijs: als z 1 = z 2 = z 3 =1enz 1 + z 2 + z 3 = 0, dan zijn z 1, z 2 en z 3 de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek in het complexe vlak. Opgave 6.6 Schrijf de volgende getallen in de vorm x + iy (x; y R): (a) 1 i. (b) 2. 1 3i (c) 1 i 1+i. (d) (1 + i 3) 3. Opgave 6.7 Bewijs met inductie dat (cos ' + i sin ') k =cosk' + i sin k' voor alle k N. Opgave 6.8 Bereken de som van de meetkundige reeks P n k=0 eik'. 5
Opgave 6.9 Bewijs dat en nx k=1 nx k=0 sin k' = sin 1 2 (n +1)' sin 1 2 n' sin 1 2 ' cos k' = sin 1 2 (n +1)' cos 1 2 n' sin 1 2 ' : P n Opgave 6.10 Bepaal k=0 cos(a + kb) enp n k=0 sin(a + kb), (a; b R). Opgave 6.11 Teken in het complexe vlak de verzameling van alle complexe getallen die voldoen aan (a) arg (b) arg (c) z 1 z+1 z 1 z+1 z+i z i =2. = ß 2. = ß 3. 7 Vierkantsvergelijkingen Bij elk complex getal z = re i' 0 zijn er precies twee getallen w met w 2 = z, namelijk w 1 = re i 2 1 ' en w 2 = re i( 2 1 '+ß) = w 1. Hierbij is r de gewone positieve reële wortel uit het positieve reële getal r. We noteren beide getallen w 1 en w 2 als z; het is niet zinvol om, zoals bij de reële getallen, één van de twee de voorkeur te geven. Daarom is z eigenlijk geen complex getal, maar is het een uitdrukking voor twee complexe getallen tegelijk. De complexe-wortelfunctie is een zogenaamde meerwaardige functie. Als je het over een specieke wortel van het getal z C wilt hebben, zul je dus niet deze wortel notatie kunnen gebruiken, of je moet extra informatie erbij geven, bijvoorbeeld dat het reële deel van de wortel die je bedoelt positief is. Een algemene vierkantsvergelijking az 2 + bz + c =0 met a; b; c C en a 0 heeft altijd twee (eventueel samenvallende) wortels, want bovenstaande vergelijking met de voorwaarden is equivalent met dus met a(z + b 2a )2 = b 2 4ac ; 4a z 1;2 = b + b 2 4ac ; 2a waarbij de dus eigenlijk twee getallen aanduidt. De wortels vallen samen precies als b 2 4ac =0. In het bijzonder heeft elke vierkantsvergelijking met reële coëfciënten a; b; c altijd twee (eventueel samenvallende) complexe wortels. Als b 2 4ac 0, dan zijn dit de 6
gewone reële wortels. Als b 2 4ac < 0, dan is 4ac b 2 > 0 en geldt b 2 4ac = ±i 4ac b 2. (Hierin is de laatste wortel de bekende enkelwaardige functie op R 0.) De twee wortels zijn dan elkaars complex geconjugeerden en beide imaginair. Voorbeeld: z 2 +4z + 13 heeft als wortels 2 ± i 3. Opgave 7.1 Bepaal alle wortels van de volgende vergelijkingen en teken ze in het complexe vlak: z 2 = i z 3 =1 z 2 +4z +8=0 (z +1) 2 = i z 3 = 1 z 2 + z +1=0 (z +2 i) 2 = i z n =1(n N) z 3 z 2 + z 1=0 z 2 = 1 i 1+i z n = 1 (n N) z 4 + z 2 6=0 Opgave 7.2 Waar zit de fout in de volgende redenering? 1= 1= p ( 1)( 1) = 1 1=( 1) 2 = 1 : 8 Polynomen Vrijwel alles wat in de lesbrief Polynomen over deze objecten gezegd is als ze reële coëfciënten hebben, geldt ook als ze complexe coëfciënten mogen hebben. In het bijzonder geldt: als P (z) =a n z n + a n 1 z n 1 + + a 0 met a i C, a n 0enn>0 een niet-constant polynoom van graad n is en z 0 is een gegeven complex getal, dan zijn er een polynoom Q(z) en een complex getal r zo, dat P (z) =(z z 0 )Q(z)+r: Natuurlijk is P (z 0 )=r, dus r = 0 desda P (z 0 )=0. Als z = z 0 een nulpunt van P (z) is, kan je daarom van P (z) een factor (z z 0 ) afsplitsen. Omdat de graad van het quotiënt Q(z) n 1is,kan ook een complex polynoom met positieve graad niet meer nulpunten hebben dan zijn graad bedraagt. Er zijn reële polynomen (dus met domein van de variabele gelijk aan R) zonder reële nulpunten, zoals bijvoorbeeld x 2 +5of x 16 +4x 8 +5. In C heeft echter elk polynoom van positieve graad een nulpunt! Dit is de inhoud van de zogenaamde hoofdstelling van de algebra, waarvan we verderop een bewijs schetsen. Ga na waarom hier direct uit volgt dat elk polynoom van graad n met coëfciënten uit C precies n (niet noodzakelijk verschillende) nulpunten in C heeft. We kunnen de hoofdstelling dus ook zo formuleren: Stelling 8.1 Als P (z) =a n z n + a n 1 z n 1 + + a 0 een polynoom is met n>0, a n 0en a i C, dan zijn er complexe getallen z 1 ;z 2 ;:::;z n zo, dat P (z) =a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) : Natuurlijk zijn er relaties tussen de coëfciënten a i en de nulpunten z i,bijvoorbeeld a n 1 a n = (z 1 + z 2 + + z n ) a 0 a n = ( 1) n z 1 z 2 z n : 7
We geven nog één belangrijke eigenschap van polynomen met reële coëfciënten. Alle niet-reële nulpunten van zo'n polynoom komen voor in paren van geconjugeerde complexe getallen. Als namelijk voor zekere z C geldt 0=P (z) =a n z n + a n 1 z n 1 + + a 0 met a i R voor alle i, dan geldt a i = a i,dus P (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 0 = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 0 = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 0 = P (z) = 0 9 De hoofdstelling van de algebra Hier volgt een schets van een bewijs van de hoofdstelling van de algebra. We gaan zoals gezegd bewijzen dat als P (z) =a n z n + a n 1 z n 1 + + a 0 met n>0, a i C, a n 0, dan is er een z 0 C met P (z 0 )=0. Om in het bewijs duidelijk uit te laten komen dat n afhangt van P (z), schrijven we in het bewijs verder P n (z) voor P (z). We merken eerst op dat als z = re i' in het complexe vlak de cirkel z = r met straal r om de oorsprong doorloopt, dan doorloopt w = z k = r k e ik' de cirkel met straal r k. Het beeld van de cirkel z = r onder de afbeelding z w = z k is dus de cirkel w = r k. Bovendien wordt de beeldcirkel k-voudig bedekt: als z één maal de cirkel z = r doorloopt, dan doorloopt w = z k de beeldcirkel w = r k wegens de factor e ik' precies k maal. Nu het bestaan van een nulpunt. Als a 0 =0,danisz = 0 een nulpunt. We nemen daarom aan a 0 0. Verder kunnen we veronderstellen dat a n =1. We kunnen ons de afbeelding z w = P n (z) =z n + a n 1 z n 1 + + a 0 voorstellen als een afbeelding van een complex z-vlak naar een complex w-vlak, zoals aangegeven in g. 4. z-vlak w-vlak i i 0 1 z = r w = P n (z) 0 1 a 0 Figuur 4. We bekijken die afbeelding op een cirkel z = r. Voor zeer kleine r is P n (z) = (z n 1 + + a 1 )z + a 0 vrijwel gelijk aan a 0,want P n (z) a 0 = z z n 1 + + a 1 8
z z n 1 + + a 1 = r(r n 1 + + a 1 ) en dit gaat naar 0 als r naar 0 gaat. Het beeld van een kleine cirkel z = r in het z-vlak ligt dus vlak bij a 0 in het w-vlak en dus, omdat a 0 0,voor r voldoende klein zeker geheel buiten w =0. (Zie weer g. 4.) Nu nemen we een zeer grote cirkel z = R. Er geldt a n 1z n 1 + + a 0 z n = voor R voldoende groot, dus a n 1 + + a 0 a n 1 + + a 0 1 z z n z z < n 2 P n (z) z n < 1 2 z n = 1 2 Rn : Als z de cirkel z = R doorloopt, dan doorloopt z n de cirkel w = R n in het w-vlak n maal en omdat voortdurend geldt dat P n (z) z n < 1 2 Rn doorloopt P n (z) een kromme in het w-vlak die ook n maal om de oorsprong heen loopt. P n (z) wordt als het ware door z n meegesleept aan een touw van variabele lengte (nl. P n (z) z n ), dat echter altijd kleiner dan 1 2 Rn is. Dit is ge llustreerd in g. 5. z z-vlak w-vlak i w = P n (z) 0 1 R 0 1 2 Rn R n z n P n(z) Figuur 5. Laten we nuinhetz-vlak de straal van de cirkel continu toenemen van r naar R, dan zal de beeldkromme in het w-vlak van het kleine kringetje rond a 0 continu overgaan in de grote kring die n maal rond de oorsprong loopt. Bij die overgang moet de beeldkromme de oorsprong ergens passeren, dus er moet minstens één punt z 0 in het z-vlak zijn waarvoor het beeld P n (z 0 ) gelijk is aan 0. Om de laatste stap exact te maken moet je eigenlijk nog wat meer werk doen, maar dat voert te ver. Afgezien daarvan zijn we klaar. Opgave 9.1 Een n-de graads polynoom P (z) met complexe coëfciënten voldoet aan (i) als z R, danookp (z) R; (ii) als z = R, danookp (z) = R. Bewijs dat n =1. Opgave 9.2 Gegeven zijn positieve reële getallen a en b. Bepaal de minimale en de maximale waarde die aangenomen kan worden door w + z 1+wz ; 9
waarbij w; z C en w = a, z = b. Opgave 9.3 Bewijs dat voor alle z 1 ;z 2 ;:::;z n C qz R 1 2 + z2 + + 2 z2 n R(z 1) + + R(z n ) : Opgave 9.4 In het vlak zijn de driehoeken ABP en CDQ direct gelijkvormig met een gegeven driehoek ff, en de driehoeken ACR, BDS en PQT direct gelijkvormig met een gegeven driehoek. Bewijs met behulp van complexe getallen dat driehoek RST direct gelijkvormig is met ff. 10