Vereenvoudigen van samengestelde wortels

Transcriptie

1 Vereenvoudigen van samengestelde wortels Niels Wardenier 85 Studierichting: Wiskunde Titel: Vereenvoudigen van samengestelde wortels Begeleider: Prof. Dr. F. Beukers september 0

2 Inhoudsopgave Inleiding Eerste verkenning: a + b vereenvoudigen Voorkennis en Diepte Existentiestelling en resultaten 5. Existentiestelling Resultaten voor a + b Resultaten voor n a + b Gevolgen voor a + b Resultaten voor a + b Resultaten voor 5 a + b Resultaten voor 7 a + b Opmerkingen Samengestelde Ramanujan Wortels 5. Srinivasa Ramanujan Vereenvoudigen van a + b Uitwerking voor ɛ = Vereenvoudigen van hogere machtswortels van de som van derdemachtswortels 6. Vereenvoudigen van derdemachtswortels van de som van derdemachtswortels. 6.. Geval : ɛ = Geval : ɛ = Geval : ɛ = Vereenvoudigen van vierdemachtswortels van de som van derdemachtswortels Vereenvoudigen van vijfdemachtswortels van de som van derdemachtswortels. 9 7 Conclusie 0

3 Inleiding In de wiskunde willen we graag dat antwoorden op vraagstukken maximaal vereenvoudingd zijn. We vereenvoudigen bijvoorbeeld breuken, werken haakjes weg en maken breuken gelijknamig. Maar we kunnen bijvoorbeeld ook kijken naar wortel uitdrukkingen. Neem bijvoorbeeld 6 +. Deze worteluitdrukking noemen we samengesteld, omdat we een wortel onder een wortel hebben. We kunnen echter aantonen dat dit getal gelijk is aan +, waarbij we dus een andere representatie hebben voor hetzelfde getal met een wortelteken minder. Dit geval zal behandeld worden in hoofdstuk. De aanleiding voor deze scriptie is dat na het lezen een van artikel van Susan Landau [] waarin we zien dat 8 7 = ( 98 8 ). De rechterkant bestaat uit enkelvoudige wortels, wortels waar niet de wortel van een wortel wordt genomen. De vraag rees wanneer we samengestelde wortels kunnen schrijven als een som van enkelvoudige wortels. We zijn niet de eerste die naar dit probleem kijkt. Newton en Euler hebben in de achttiende eeuw methodes ontwikkelt, waarbij Euler aantoonde dat de manier van Newton verkeerd was. [] []. Verder heeft ook Ramanujan zich bezig gehouden met samengestelde wortels, hierover meer in hoofdstuk 5. De hoofdvraag in deze scriptie waar antwoord op wordt gegeven luidt als volgt: Kunnen we worteluitdrukkingen van de vorm n m a + m b schrijven als de som van enkelvoudige wortels voor m = en m =? Niet alle uitdrukkingen van deze vorm zullen we kunnen vereenvoudigen. We hebben condities nodig om te kunnen vaststellen of een uitdrukking te vereenvoudigen is of niet. In deze scriptie zal duidelijk worden dat we oneindig veel voorbeelden kunnen vinden voor m =, n N en voor m =, n 5 en hooguit eindig veel voorbeelden als m =, n 6. Om de hoofdvraag te kunnen we beantwoorden zullen we in hoofdstuk eerst een aantal begrippen introduceren die hierbij van belang zijn. In de daaropvolgende hoofdstukken zullen we verslag doen van onze resultaten. (Een afspraak die we maken is de volgende: wanneer we n x lezen bedoelen we de positieve n de reële wortel van x, met x > 0. Oftewel het unieke positieve reële getal a zodat a n = x.)

4 Eerste verkenning: a + b vereenvoudigen We willen de uitdrukking a + b graag schrijven in de vorm p + q met a, b, p, q N. Hierbij raken we dus een wortelteken kwijt. We zagen hiervan al een voorbeeld in de inleiding. In de handout van binomen van wortels [] zien we dat als we kwadrateren vinden: a + b = p + p q + q. Dus er moeten gelden dat a = p + q en b = p q. Het voorbeeld in de inleiding was 6 +, dus a = 6 en b =. Oplossen van de vergelijkingen levert inderdaad p = q =. We kunnen op deze manier nog veel meer vereenvoudigingen vinden. Hieronder geven we enkele voorbeelden: + 7, = p + q, 7 = p q levert p =, q =, dus + +, = p + q, = p q levert p =, q =, dus , 0 = p + q, 96 = p q levert p =, q = 6, dus + 6 We zien dat deze methode niet algemeen werkt voor alle paren a, b. Neem bijvoorbeeld Dan a = en b = 70. We krijgen de volgende vergelijkingen: = p + q en 70 = p q. Alleen p =, q = 0; p =, q = 7; p =, q = voldoen aan de eerste vergelijking. Deze paren voldoen echter niet aan de tweede vergelijking. We zullen namelijk later zien dat er ook paren a, b zijn die we kunnen schrijven als de som van wortels, zoals = +. Een algemene manier wordt gegeven in hoofdstuk.

5 Voorkennis en Diepte In het volgende hoofdstuk hebben we enige voorkennis van ringentheorie nodig. De meest belangrijke voorkennis zijn de definities van lichaam en lichaamsuitbreiding. Verder is het begrip diepte van belang. De diepte van een uitdrukking over een lichaam is als volgt gedefinieerd, kies hierbij eerst een grondlichaam, wij zullen kiezen voor Q. Definitie (Diepte). Een element a Q heeft diepte 0 Een n de machtswortel van A heeft diepte + Diepte(A) Wanneer we formules A en B bij elkaar optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen, dan heeft het resultaat Diepte = max(diepte(a), Diepte(B)) Dus heeft diepte over Q, want 5 heeft diepte 0 over Q, 6 heeft diepte over Q, de som heeft diepte over Q. Opnieuw de wortel nemen levert diepte. We noemen een worteluitdrukking A vereenvoudigbaar wanneer we een uitdrukking A gelijkwaardig aan A kunnen vinden met Diepte(A ) < Diepte(A).

6 Existentiestelling en resultaten. Existentiestelling We beschouwen dus definities van lichaam en lichaamsuitbreiding als voorkennis. Een uitbreiding van het lichaam Q is Q rad = Q( n a, n a,..., nr a r ) met a i Q >0, n i Z, n i. Dit noemen we de radicaaluitbreiding van Q. Q rad is het kleinste lichaam dat alle elementen van die vorm bevat. Deze uitbreiding gebruiken we in de volgende stelling, die een speciaal geval is van Stelling 5 in het werk van Johannes Blömer, How to Denest Ramanujan s Nested Radicals [5] n Stelling (Hoofdstelling). Zij m, n N en d Q >0. Dan geldt dat + d /m in de radicaaluitbreiding van Q ligt dan en slechts dan als er a i Q met 0 i m, A Q en ɛ {0,,..., m } bestaan zodat + d m = A d ɛ m (a 0 + a d m a m d m m ) n. We zullen deze stelling in het vervolg zonder bewijs aannemen. We kunnen n m a + m b herleiden tot n + m d met d = b a. In deze paragraaf kiezen we m =. Verder kiezen we a, b > 0 zodat we geen complexe gevallen tegenkomen. We zullen het volgende gevolg gebruiken. Gevolg. De uitdrukking n + d is vereenvoudigbaar dan en slechts dan als d of d van de vorm ( t)n A n(t) is, met ( + t) n = (A n (t) + B n (t) t) en t Q. Bewijs. Uit de hoofdstelling volgt dat + d = Ad ɛ ( + α d) n. We onderscheiden gevallen, ɛ = 0 en ɛ =. Stel ɛ = 0 dan + d = A( + α d) n en substitueer α d = t. Dan + d = + α t en A( + α d) n = A( + t) n. Dus + α t = A( + t) n = A(A n (t) + B n (t) t) Vanwege gelijkheid moet gelden dat A = A en n(t) α = Bn(t) A n(t). Hieruit volgt dat Dus d = α t = B n(t) t A n (t) d = A n(t) B n (t) t A n (t) We zagen eerder dat ( + t) n = (A n (t) + B n (t) t), verder geldt ook ( t) n = (A n (t) B n (t) t). Het product levert nu ( t) n = A n (t) B n (t) t, dit levert het gewenste resultaat d = ( t)n A n (t) 5

7 Stel nu ɛ =, dan + d = A d( + α d) n en substitueer α d = t. Dan + d = + α t en A d( + α d) n = Aα t( + t) n. Dus + α t = Aα t( + t) n = Aα (B n (t)t + A n (t) t) Vanwege gelijkheid moet gelden dat A = B n(t)α t en α = An(t) B n(t)t. Hieruit volgt dat Dus d = α t = A n(t) t B n (t) t = A n(t) B n (t) t d = A n(t) B n (t) t A n (t) We zagen eerder dat ( + t) n = (A n (t) + B n (t) t), verder geldt ook ( t) n = (A n (t) B n (t) t). Het product levert nu ( t) n = A n (t) B n (t) t, dit levert het gewenste resultaat d = ( t)n A n (t). Resultaten voor a + b (q p) Vanwege het gevolg van de hoofdstelling weten we dat n + d alleen kan worden vereenvoudigd als d of ( t)n d van de vorm A n(t) is. Voor n = betekent dit dus dat d of d van de vorm ( t) moet zijn. Uitwerken levert dat d = t. Stel t = p (+t) (+t) q, dan laten p en q in Mathematica lopen van tot en met 00 en berekenen we de bijbehorende d. Verder stellen we dat ggd(p, q) =, zodat we breuken vinden in vereenvoudigde vorm. Dan printen we vervolgens een lijst van p en q zodanig dat d Q. Stel d = b a. Dan gelden nu de volgende verbanden tussen p, q, a en b: ( q + p) = ±λ( a + b) en ( q p) = ±λ( a b). Vermenigvuldigen levert (q p) = λ (a b). Dus λ = a b. Met dit gegven zijn we nu in staat om staat om + a d te vereenvoudigen en dus ook + b kunnen vereenvoudigen door te vermenigvuldigen met a. Hierboven hebben we opgemerkt dat ( q+ p) = ±λ ( b+ a). Dus a ( q + p) p + q + b = = ±λ ±λ We voegen hieronder een screenshot toe van het gebruikte Mathematica notebook en een tabel met alle resultaten waarbij 0 < a, b < 0. 6

8 Figuur : Mathematica Notebook vereenvoudigen wortels van som van wortels a b Beginvorm p q λ Resultaat ( + 6) ( + 0) ( + ) 6 + ( + ) ( 6 + 0) ( 6 + ) ( + 0) Tabel : Waarden van a en b met 0 < a, b < 0 waarvoor a + b vereenvoudigd kan worden 7

9 . Resultaten voor n a + b We kunnen het idee van paragraaf. ook voor n N, n toepassen. We moeten alleen A n (t) bepalen voor de bijbehorende n, we weten dat ( + t) n = A n (t) + B n (t) t, dus met het binonmium van Newton kunnen we A n (t) berekenen: ( + t) n = n ( n k=0 k) n k t k. Verder geldt nu dat ( q + p) n = ±λ( a + b) en ( q p) n = ±λ( a b). Weer het product nemen levert (q p) n = λ (a b). We vinden nu dus de formule n a p + q + b = n λ In de volgende deelparagrafen geven we nu resultaten voor n =,, 5, 7. We kijken naar n = 7 omdat we graag een voorbeeld: = 7 6 uit de handout van binomen [] willen terug vinden... Gevolgen voor a + b We bepalen A (t): ( + t) = + t + t + t t levert A (t) = + t. Opnieuw met Mathematica vinden we nu 9 resultaten met 0 < a, b < 00 hieronder in een tabel weergegeven: a b Beginvorm p q λ Resultaat ( 6 + ) ( + 5) ( + 7) ( + 5) ( 7 + ) ( + ) ( + ) Tabel : Waarden van a en b met 0 < a, b < 00 waarvoor a + b vereenvoudigd kan worden 8

10 .. Resultaten voor a + b We bepalen A (t): ( + t) = + 6t + t + t + t t levert A (t) = + 6t + t. Opnieuw met Mathematica vinden we nu 8 resultaten met 0 < a, b < 000 hieronder in een tabel weergegeven: a b Beginvorm p q λ Resultaat ( + 6) ( + 5) ( + ) ( + ) ( 0 + 6) ( 7 + ) ( + ) Tabel : Waarden van a en b met 0 < a, b < 000 waarvoor a + b vereenvoudigd kan worden.. Resultaten voor 5 a + b We bepalen A 5 (t): ( + t) 5 = + 0t + 5t + 5 t + 0t t + t t levert A 5 (t) = + 0t + 5t. Opnieuw met Mathematica vinden we nu 0 resultaten met 0 < a, b < 000 waarvan enkele hieronder in een tabel weergegeven: a b Beginvorm p q λ Resultaat ( + 5) ( 7 + ) 5 5 Tabel : Waarden van a en b met 0 < a, b < 000 waarvoor 5 a + b vereenvoudigd kan worden 9

11 .. Resultaten voor 7 a + b We bepalen A 7 (t): ( + t) 7 = + t + 5t + 7t + 7 t + 5t t + t t + 7t t + t t levert A 7 (t) = + t + 5t + 7t. Opnieuw met Mathematica vinden we nu 5 resultaten met 0 < a, b < hieronder in een tabel weergegeven: a b Beginvorm p q λ Resultaat Tabel 5: Waarden van a en b met 0 < a, b < waarvoor 7 a + b vereenvoudigd kan worden. Opmerkingen In de kolom Beginvorm hebben kwadraten uit de worteltermen gehaald bijvoorbeeld: 68 = 8 = 9. In de kolom Resultaten hebben we uitdrukkingen vereenvoudigd: = en = =. Verder zien we steeds de vorm + elke keer terugkomt. Dit is echter niet zo vreemd want ( + ) n = k + l met k, l N. Zo ook voor + en + 5. We kunnen dus oneindig veel voorbeelden vinden van de vorm m k + l, bijvoorbeeld = + 0

12 5 Samengestelde Ramanujan Wortels 5. Srinivasa Ramanujan Srinivasa Ramanujan(887-90) heeft een belangrijke rol gespeeld bij het vereenvoudigen van samengestelde wortels. Hij kwam namelijk met de volgende stelling voor de wortel van een som van derdemachtswortels: Stelling. Voor m, n Z willekeurig geldt: m (m n) + n m + n = ± ( (m + n) + (m n)(m + n) (m n) Voor bijvoorbeeld m =, n = vinden we dus dat = ( ) Deze identiteit kunnen we simpel nagaan door te kwadrateren. We willen echter weten of deze identiteit alle gevallen afdekt. Hiervoor zullen we de eerder genoemde hoofdstelling gebruiken. 5. Vereenvoudigen van a + b De hoofdstelling vertelt nu dat + d vereenvoudigbaar is dan en slechts dan als we dit kunnen schrijven in de volgende vorm (A( d ɛ )) (α + β d + γ d ) met α, β, γ, A Q, ɛ {0,, }. Zoals eerder opgemerkt kunnen we dan ook vereenvoudigen. Verder kunnen we α uit de vergelijking halen. We vinden a + b (Aα ( d ɛ )) ( + x d + y d ) met x = β α en y = γ α. Noem Aα = A We onderscheiden nu drie gevallen: ɛ = 0, ɛ = en ɛ =. We kunnen deze gevallen echter terugbrengen naar het geval ɛ = 0, want (A d ɛ ) = ((A d ɛ )d ɛ ) = (A ) d ɛ. Met A = A d ɛ en A Q. Wanner we nu (A ) d ɛ met ( + x d + y d ) vermenigvuldigen vinden we opnieuw een uitdrukking van de vorm zoals voor ɛ = 0. Deze andere manier van schrijven werkt als de gcd(n, m) =, dus als m en n co-priem zijn. Dit zullen we in het vervolg gebruiken. 5.. Uitwerking voor ɛ = 0 We vullen in ɛ = 0, dan + d = (A ) ( + x d + y d ) Substitueer nu x d = t, dit levert: + x t = (A ) ( + t + y x t )

13 Nu kwadrateren levert: + x t = A (( + ty x ) + ( + y t x ) t + ( y x + ) t ) Hieruit volgt dus dat y + = 0 en dus y = x x. We vullen deze y in: A ( t + ( + t) t) Merk nu op dat A = t, x = (+ t) t. Dus d = x t = (8+t)t. We maken nu opnieuw 6( t) een Mathematica notebook waarbij we t = p q invullen met (p, q) 000, gcd(p, q) =. Deze t vullen we dus in bij d, we zijn namelijk opzoek naar de eerste paar gevallen dus kijken alleen we naar a, b < 500. (Met deze keuze voor p, q is het aannemelijk dat we alle gevallen vinden.) We voegen hieronder een screenshot toe van het gebruikte Mathematica notebook. Figuur : Mathematica Notebook vereenvoudigen wortels van som van derdemachtswortels We hebben nu dus dat + d = (A ) (+ t t ). We willen graag vereenvoudigingen vinden met aan de gehele getallen aan de rechterkant dus we passen de coëffiecient A aan door te delen door q en ( + t t ) te vermenigvuldigen met q. De resultaten die we gevonden hebben voor a + b met ɛ = 0 zien er als volgt uit: a + b = c ( q + p q + p ) met c R, die we steeds numeriek hebben bepaald met de Mathematica functie N, bijvoorbeeld N( ) =,. We hebben 9 resultaten gevonden, waarrvan er 7 paren zijn (bijv. a =, b = 5 en a = 5, b = ), waarbij de ene reëel en de ander complex. In dat geval is alleen het reële geval weergegeven in de onderstaande tabellen.

14 a b Beginvorm p q c q + p q p Resultaat ( + ) ( + 0 5) ( 98 8 ) ( + ) ( ) ) ( ) ) ( 9 + Tabel 6: Waarden van 500 < a < 0 en 0 < b < 500 waarvoor a + b vervoudigd kan worden Bij de overige resultaten zijn a, b beide negatief, dus zal a + b complex zijn. We lossen dit op door beide kanten met i te vermenigvuldigen. Deze resultaten staan in de tabel hieronder: a b Beginvorm p q c i i i q + p q p i i i i Tabel 7: Waarden van 500 < a, b < 0 waarvoor Resultaat ( ) ( + ) 6 ( ) a + b vervoudigd kan worden

15 6 Vereenvoudigen van hogere machtswortels van de som van derdemachtswortels In dit hoofdstuk zullen we de methode van het vorige hoofdstuk toepassen voor hogere machtswortels. We zullen dit doen voor derde-, vierde- en vijfdemachtswortels. Bij zesde en hogere machtswortels zal onze methode helaas niet meer werken. We komen hier later op terug. 6. Vereenvoudigen van derdemachtswortels van de som van derdemachtswortels We proberen nu dus een methode om uitdrukkingen van de volgende vorm te vereenvoudigen: a + b We herhalen ons argument uit het vorige hoofdstuk dat als we + d met d = b a kunnen vereenvoudigen dat we dan ook a + b kunnen vereenvoudigen. Uit de hoofdstelling volgt: + d is vereenvoudigbaar dan en slechts dan als dit te schrijven is als (A( d ɛ )) (α + β d + γ d ) met α, β, γ, A Q, ɛ {0,, }. Verder kunnen α uit de vergelijking halen. We vinden (Aα ( d ɛ )) ( + z d + y d ) met z = β α en y = γ α. Noem Aα = A. Substitueer nu (z ) d = δ We vinden de volgende uitdrukking: + (z ) δ = (A ( d ɛ )) ( + δ + x δ ) Met x = y (z ). We onderscheiden nu drie gevallen: ɛ = 0, ɛ = en ɛ =. 6.. Geval : ɛ = 0 We vullen in ɛ = 0: + (z ) δ = (A ) ( + δ + x δ ) Tot de derde macht verheffen levert: + (z ) δ = A ( + δ + 6δx + δ x ) + ( + δx + x δ) δ + ( + x + δx ) δ Hieruit volgt dat + x + δx = 0, dus δ = x. We hebben nu een uitdrukking voor δ x in x. Tevens A = x 6 x, (z ) = x x x x x x 6x

16 Met Mathematica gaan we nu op zoek naar x Q, dus van de vorm x = p q. We vinden erg veel oplossingen dus we kiezen 0 p 0 en q 0. Verder kiezen we gcd(p, q) =, om vereenvoudigde breuken te vinden. Ook sluiten we uit dat a, b beiden derdemacht zijn van een natuurlijk getal. Op de manier vinden 8 gevallen. Hieronder werken we enkele expliciet uit, we hebben in drie van vier gevallen gekomen voor een geval met gehele δ, dit omdat het er mooier uitziet, helaas is dit niet altijd het geval. We hebben + (z ) δ = (A ) (+ δ+x δ ). We vinden p = q = als oplossing. Dus x =, δ =, (z ) = en A = 9. Invullen levert + = 9 ( + + ) Vermenigvuldig nu met en we vinden = Een van de voorbeelden van Landau. [] We hebben + (z ) δ = (A ) ( + δ + x δ ). We vinden p = en q = als oplossing. Dus x =, δ =, (z ) = 7 en A = 7. Invullen levert + 7 = 7 ( ) Vermenigvuldig nu met en we vinden 9 7 = Om gehele getallen in de wortels te verkrijgen vermenigvuldigen we met, we vinden 8 = We hebben + (z ) δ = (A ) ( + δ + x δ ). We vinden p = en q = als oplossing. Dus x =, δ =, (z ) = 9 89 en A = 89. Invullen levert + 9 = ( + + ) Vermenigvuldig nu met en we vinden =

17 We vermenigvuldigen nu met 89: 9 89 = 6 + We hebben + (z ) δ = (A ) ( + δ + x δ ). We vinden p = en q = als oplossing. Dus x =, δ = 6, (z ) = 7 en A = 7. Invullen levert + = 7 7 ( ) Vermenigvuldig nu met en we vinden 7 6 = We vermenigvuldigen nu met 7: 6 7 = Geval : ɛ = Voor het geval ɛ = hebben we de formule + (z ) δ = (A ( δ ɛ )) ( + δ + x δ ) We vullen in ɛ =, we vinden: + (z ) δ = (A ( d)) ( + δ + x δ ) Delen door δ levert: (z ) + δ = (A ) ( + δ + x δ ). We kunnen nu zien dat we voor δ precies de inverse vinden van δ voor ɛ = 0. Dit betekent dus dat we a en b moeten omdraaien. Dit levert geen nieuwe resultaten omdat a en b precies dezelfde rol spelen.( a + b = b + a). 6.. Geval : ɛ = Voor het geval ɛ = hebben we formule + (z ) δ = (A ( δ ɛ )) ( + δ + x δ ) We vullen in ɛ =, we vinden: + (z ) δ = (A ( d )) ( + δ + x δ ) 6

18 Tot de derde macht verheffen levert: + (z ) δ = A ( + δx + x δ)δ + ( + x + δx )δ δ + ( + δ + 6δx + δ x )δ δ Hieruit volgt dat + δ + 6δx + δ x = 0. We merken op dat deze formule kwadratisch is in δ. We passen de abc-formule toe. Dus a = x, b = 6x + en c =. Hieruit volgt dat de discriminant gelijk is aan b ac = x +6x +x+. Omdat δ Q moet liggen, zoeken we naar x zodat -x + 6x + x + een kwadraat in Q is. We lossen op met Mathematica: z = x + 6x + x + met x Q. Noem x = p q, we laten 000 p 000 en q 000 lopen, met gcd(p, q) =. We vinden alleen de triviale oplossing x = 0, z =. Hieruit concluderen we dus dat we voor ɛ = zeer waarschijnlijk geen oplossingen vinden. 6. Vereenvoudigen van vierdemachtswortels van de som van derdemachtswortels We gebruiken exact dezelfde methode als in de vorige paragraaf, dus deze zullen we niet opnieuw uitleggen. We kijken in deze paragraaf alleen naar het geval ɛ = 0 omdat de gcd(n, m) = gcd(, ) =. We vullen dus in ɛ = 0: Tot de vierde macht verheffen levert: + (z ) δ = (A ) ( + δ + x δ ) + (z ) δ = A ( + δ + δx + 6δ x + δ x ) + ( + δ + δx + 6δx + δ x ) δ +(6 + x + δx + δx + δ x ) δ Hieruit volgt dat 6 + x + δx + δx + δ x = 0, dus met de abc-formule volgt dat δ = x + x ± (x + x ) x (x + 6) x We hebben nu een uitdrukking voor δ in x. Verder A = + δ + δx + 6δ x + δ x, (z ) = + δ + δx + 6δx + δ x + δ + δx + 6δ x + δ x Omdat δ Q moet liggen, zoeken we naar x zodat ( x + x ) x (x + 6) = 6x 5 + 0x + 96x + 6x een kwadraat in Q is. We lossen op : u = 6x 5 + 0x + 96x + 6x met x Q. Dit is precies hezelfde als (u ) = 6x + 0x + 96x + 6 oplossen met (u ) = u, we doen dit met Mathematica. De theorie van elliptische krommen vertelt nu dat x als we een oplossing vinden, dan bestaan er oneindig veel oplossingen voor deze vergelijking. Noem x = p q, we laten 000 p 000 en q 000 lopen, met gcd(p, q) =. We vinden de volgende resultaten: 7

19 p q x u Opmerkingen 0 0 Triviaal Triviaal Tabel 8: x zodat u Q met u = 6x 5 + 0x + 96x + 6x We hebben 5 bruikbare resultaten gevonden waarvan we er uitwerken: x =, invullen in de formule voor δ, we vinden δ = 8 en δ = 6. δ levert A = en dus geen vereenvouding op. δ levert A = 8 05 en (z ) = 5 6. Invullen levert: = 05 ( ) Vermenigvuldigen met 6 levert: = 8 ( ) = 6 + x =, invullen in de formule voor δ, we vinden δ = 7 en δ = 0. δ levert A = en (z ) = δ levert geen vereenvoudiging op. Invullen levert: = ( + 7 ( 7 ) ) Vermenigvuldigen met 595 en derdemachten uitdelen levert: = 7( 96) x =, invullen in de formule voor δ, we vinden δ = 6 en δ = 80. δ levert A = 05 en (z ) = 6 5. δ levert A = en (z ) = Invullen voor δ levert: = 05 ( ( 6 ) )

20 Vermenigvuldigen met 5 en derdemachten uitdelen levert: = 6 ( 56 ) Invullen voor δ levert: = ( + ( 80 ) Vermenigvuldigen met achtereenvolgens en 59 levert: = ( ) 6. Vereenvoudigen van vijfdemachtswortels van de som van derdemachtswortels Voor vijfdemachtswortels van de som van derdemachtswortels geldt gcd(n, m) = gcd(5, ) =, dus het is voldoende om te kijken naar ɛ = 0. We hebben de volgende forumle: 5 + (z ) δ = (A ) 5 ( + δ + x δ ) Tot de machts vijf verheffen levert: + (z ) δ = A (( + δ(0 + 0x) + δ (5x + 0x + 0x ) + δ (5x + 0x + 0x ))+ (5+δ x 5 +δ(5+0x+0x )+δ (0x +0x )) δ+(0+5x+δ(+0x+0x )+δ (0x +5x )) δ ) De coëfficient voor δ moet dus gelijk zijn aan 0. Uit de abc-forumle volgt dat + 0x + 60x + 800x + 500x 00x 5 kwadratisch moet zijn in Q. Dus z = + 0x + 60x + 800x + 500x 00x 5. Dit kunnen we weer checken met Mathematica. Noem x = p q, we laten 000 p 000 en q 000 lopen, met gcd(p, q) =. We vinden de triviale oplossing x = 0 en x =. Echter wanneer de in de formule van δ invoeren vinden we dat de noemer gelijk is aan 0. Dus we vinden daarvoor geen oplossingen. Uit de theorie van hyper-elliptische krommen volgt dat z = + 0x + 60x + 800x + 500x 00x 5 hooguit eindig veel oplossingen heeft. Omdat we de grenzen van 000 tot 000 hebben laten lopen weten we niet of we alle oplossingen hebben maar het duurt erg lang met Mathematica als we de grenzen nog groter laten worden. Tegen dit probleem gaan we ook voor n > 5 oplopen, dus hier zullen we onze zoektocht naar vereenvoudigingen van worteluitdrukkingen stoppen. 9

21 7 Conclusie Het doel van deze scriptie was antwoord geven op de hoofdvraag: Kunnen we worteluitdrukkingen van de vorm n m a + m b schrijven als de som van enkelvoudige wortels voor m = en m =? Uit de hoofstelling en de gevolgen van deze stelling volgt dat we inderdaad kunnen aangeven welke samengestelde wortels als een som van enkelvoudige wortels geschreven kan worden. Bij elk van deze gevallen hebben een vereenvoudige worteluitdrukking gegeven. De meest in het oogspringende resultaten zijn voor ons: 8 7= ( 98 8 ) 5 = ( + 0 5) = Vereenvoudigen die ook in het artikel van Landau [] genoemd worden. We hebben dus een methode gevonden om n de machtswortels van twee wortels te vereenvoudigen en een methode om k de machtswortels van derdemachtswortels te vereenvoudigen voor k =, en. Verder volgt dus uit theorie van elliptische krommen dat we oneindig veel voorbeelden kunnnen vinden in deze gevallen. Voor de vijfdemachtswortel van de som van twee derdemachtswortels hebben we wel een methode gevonden, we weten alleen niet of de hyper-elliptische kromme uit deze paragraaf oplossingen geeft die bruikbaar zijn voor vereenvoudigen van deze gevallen. 0

22 Referenties [] Landau,S. How to Tangle with a Nested Radical. The Mathematical Intelligencer Vol. 6 NO. (99), p [] Newton, I. and Raphson, J. Universal Arithmetick: or treatise of Arithmetical Composition and Resolution, 70 [] Euler, L. De extractione radicum ex quantitatibus irrationalibus, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (75) p [] Wepster, S.Handout bij de workshop Wortels van Binomen. Nationale Wiskunde Dagen(0), p. [5] Blömer, J. How to Denest Ramanujan s Nested Radicals. Proceedings of the rd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science(99) p. 9