Wiskundige Analyse I

Transcriptie

1 Universiteit Gent Faculteit Ingenieurswetenschappen Wiskundige Analyse I F Brackx H De Schepper Vakgroep Wiskundige Analyse Academiejaar

2 Voorwoord Het leermateriaal voor het vak Wiskundige Analyse I van de 1ste bachelor ingenieurswetenschappen, academiejaar , omvat: onderhavige syllabus [met uitzondering van de paragraaf over fourierreeksen]; de Maple-werkbladen van de contactsessies; een verzameling opgaven van oefeningen, met i.h.b. de opgaven voor de sessies in de PC-klassen; De opgaven van de oefeningen en de Maple-werkbladen zijn beschikbaar op het web: fb/wa1/ ook bereikbaar via Minerva. Het staat de student bovendien vrij - en we moedigen hem ertoe aan - alle contactsessies die voor dit vak worden georganiseerd, bij te wonen. De kalender ervan staat ook op het net. Belangrijk om weten is dat in de hoorcolleges de leerstof niet wordt gedoceerd, m.a.w. de tekst van de syllabus wordt niet nog eens op het bord geschreven. Wel wordt een aantal onderwerpen geïllustreerd en toegelicht aan de hand van voorbeelden en oefeningen. Voor de inhoud van het vak verwijzen we naar de studiefiche; daarin staat ook de doelstellingen vermeld en wat aanvullende informatie. F. Brackx, H. De Schepper ii

3 Inhoudsopgave 1 GETALLEN 1 1 Algebraische eigenschappen van de reële getallen Rationale en irrationale getallen Orde-eigenschappen van de reële getallen Absolute waarde van een reëel getal De reële-getallenas Het volledigheidsaxioma van de reële getallen Het compleet geordend veld van de reële getallen Het archimedisch karakter van de reële getallen Het bestaan van tenminste één irrationaal getal De dichtheid van Q in R Intervallen Binaire voorstelling van reële getallen Decimale representatie van reële getallen Complexe getallen: definitie en bewerkingen Complexe getallen: toevoeging en modulus Complexe getallen: meetkundige voorstelling Complexe getallen: bewerkingen (bis) Het complexe vlak: afstand en omgeving iii

4 Hoofdstuk 1 GETALLEN 1 Algebraische eigenschappen van de reële getallen. Op de verzameling R van de reële getallen zijn twee binaire bewerkingen gedefinieerd, de optelling, genoteerd d.m.v. het teken +, en de vermenigvuldiging, genoteerd d.m.v. het teken.. Een binaire bewerking doet met elk koppel van reële getallen een uniek getal overeenstemmen. De optelling en de vermenigvuldiging van reële getallen voldoen aan de volgende axioma s, die van R +,. een zg. veld maken: (R1) a + b = b + a, voor alle a en b in R; (R2) (a + b) + c = a + (b + c), voor alle a, b en c in R; (R3) er bestaat een reëel getal 0 waarvoor geldt dat 0 + a = a en a + 0 = a, voor alle a in R; (R4) voor elke a in R bestaat er een reëel getal a waarvoor geldt dat a + ( a) = 0 en ( a) + a = 0 ; (R5) a.b = b.a, voor alle a en b in R; (R6) (a.b).c = a.(b.c), voor alle a, b en c in R; (R7) er bestaat een reëel getal 1, verschillend van 0, waarvoor geldt dat 1.a = a en a.1 = a, voor alle a in R; (R8) voor elk reëel getal a 0 bestaat er een reëel getal 1 a waarvoor geldt dat a.1 a = 1 en 1.a = 1; a (R9) a.(b + c) = (a.b) + (a.c) en (b + c).a = (b.a) + (c.a) voor alle a, b en c in R. Deze axioma s kunnen als volgt worden omschreven: 1

5 (R1) : de optelling is commutatief; (R2) : de optelling is associatief; (R3) : er bestaat een zg. nul-element; (R4) : elk reëel getal bezit een tegengestelde; (R5) : de vermenigvuldiging is commutatief; (R6) : de vermenigvuldiging is associatief; (R7) : er bestaat een zg. eenheidselement; (R8) : elk reëel getal dat niet nul is, bezit een omgekeerde; (R9) : de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling. Alle algebraische eigenschappen van de reële getallen kunnen uit deze axioma s worden afgeleid. We geven hiervan een paar voorbeelden. Stelling 1.1 (i) als voor reële getallen a en x geldt dat a + x = a, dan is x = 0; (ii) als voor b 0 en y in R geldt dat y.b = b, dan is y = 1; (iii) voor elk reëel getal a geldt a.0 = 0. (i) gebruik (R3), (R4), (R2); (ii) gebruik (R7), (R8), (R6); (iii) a + a.0 = a.1 + a.0 = a.(1 + 0) = a.1 = a, zodat wegens (i) a.0 = 0 Stelling 1.2 (i) als voor a 0 en b in R geldt dat a.b = 1, dan is b = 1 a ; (ii) als voor reële getallen a en b geldt dat a.b = 0, dan is ofwel a = 0, ofwel b = 0 2

6 (i) gebruik (R7), (R8), (R6); (ii) onderstel dat a 0, dan tonen we aan dat b = 0; inderdaad: b = 1.b = = ( 1 a (( ) ) 1.a.b = a ).0 = 0 ( ) 1.(a.b) a Opmerkingen (i) de aftrekking in het veld van de reële getallen wordt gedefinieerd door: a b := a + ( b), voor alle a en b R; (ii) de deling van a door b 0 is gedefinieerd door: ( ) 1 a/b := a. ; b (iii) de natuurlijke machten van een reëel getal a worden gedefinieerd door inductie: a 1 := a, a n+1 = (a n ).a, n : natuurlijk getal; (iv) als a 0 dan stelt men per definitie: a 0 := 1; (v) de negatieve (natuurlijke) machten van een reëel getal a 0 worden gedefinieerd door: a 1 := 1 ( ) n 1 a, a n :=, n : natuurlijk getal. a 2 Rationale en irrationale getallen De verzameling N van de natuurlijke getallen wordt beschouwd als een deelverzameling van R, door het natuurlijk getal n te vereenzelvigen met de som van n termen 1. De verzameling Z van de gehele getallen wordt beschouwd als een deelverzameling van R, door het geheel getal 0 te vereenzelvigen met het nulelement van R, en het geheel getal n, n N te vereenzelvigen met de som van n termen 1. 3

7 Reële getallen die in de vorm b, met a 0 en b in Z, kunnen worden geschreven, noemt a men rationale getallen. De verzameling van de rationale getallen noteert men Q. Toon aan dat de som en het product van twee rationale getallen opnieuw een rationaal getal is. Toon eveneens aan dat Q voorzien van de optelling en vermenigvuldiging aan de veldaxioma s (R1) t.e.m. (R9) voldoet. Reële getallen die niet rationaal zijn, noemt men irrationaal. Dat er inderdaad irrationale getallen bestaan zal blijken uit stelling 9.1. We bewijzen nu reeds: Stelling 2.1 Er bestaat geen rationaal getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 2. Onderstel dat er gehele getallen p en q bestaan waarvoor (p/q) 2 = 2; we mogen onderstellen dat p en q positief zijn en onderling ondeelbaar. Uit p 2 = 2q 2 volgt dat p 2 even is; p is dus ook even (waarom?). Aangezien p en q onderling ondeelbaar zijn, volgt hieruit dat q oneven is. Vermits p even is, kan men stellen p = 2m met m in N. Aldus is 4m 2 = 2q 2 of q 2 = 2m 2, m.a.w. q 2 is even. Dus is q even. Uit de hypothese dat (p/q) 2 = 2 volgt dus terzelfdertijd dat q oneven is, en dat q even is, een contradictie. De gemaakte hypothese is dus vals. 3 Orde-eigenschappen van de reële getallen De zg. orde-eigenschappen van de reële getallen slaan op de begrippen positief en ongelijkheid. De orde-eigenschappen kunnen alle afgeleid worden uit het volgende orde-axioma: (R10) Er bestaat een niet-ledige deelverzameling P R, de verzameling van de positieve getallen, die voldoet aan: (i) als a en b tot P behoren dan is ook a + b P; (ii) als a en b tot P behoren dan is ook a.b P; (iii) voor elk reëel getal a geldt één en slechts één van de volgende drie mogelijkheden: ofwel a P, ofwel a = 0, ofwel a P. Als a tot P behoort, noemen we a positief en noteren: a > 0; als a tot P behoort, noemen we a negatief en noteren: a < 0. Ongelijkheid van reële getallen wordt nu gedefinieerd m.b.v. de verzameling P van de positieve getallen. 4

8 Definitie 3.1 Als voor twee reële getallen a en b geldt dat a b P, dan noemen we a groter dan b en noteren a > b of b < a; synoniem is b kleiner dan a. Als a b P {o} dan noemen we a groter dan of gelijk aan b (of b kleiner dan of gelijk aan a) en noteren a b of b a. Opmerkingen (i) Voor twee reële getallen a en b geldt één en slechts één van de volgende uitdrukkingen: ofwel is a < b, ofwel is a = b, ofwel is a > b. (ii) Als terzelfdertijd a b en a b dan is a = b. Er volgen nu enkele stellingen over ongelijkheden die kunnen worden bewezen m.b.v. het orde-axioma (R10). Stelling 3.1 Beschouw drie reële getallen a, b en c. (i) Als a > b en b > c, dan is a > c. (ii) Als a > b dan is a + c > b + c. (iii) Als a > b en c > 0, dan is ac > bc; als a > b en c < 0, dan is ac < bc. stelling 3.1 als oefening. Dat natuurlijke getallen positief zijn, volgt uit Stelling 3.2 (i) Als a R en a 0, dan is a 2 > 0; (ii) 1 > 0; (iii) voor elk natuurlijk getal n geldt n > 0. (i) Aangezien a 0 is ofwel a P, ofwel a P. Als a P, dan is a.a P. Als a P, dan is ( a).( a) = a 2 P. (ii) Uit (i) volgt dat 1 = 1.1 > 0. (iii) door volledige inductie. Het gestelde is waar voor n = 1 (zie (ii)). Onderstel dat het gestelde waar is voor het natuurlijk getal k; dan is k P en dus k + 1 P. Het gestelde is dus waar voor alle natuurlijke getallen. 5

9 De volgende stelling wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat een bepaald reëel getal nul is. Stelling 3.3 Onderstel dat voor het reëel getal a geldt dat 0 a < ɛ, voor elke ɛ > 0. Dan is a = 0. (uit het ongerijmde) Onderstel dat a > 0. Neem ɛ 0 = 1 2 a; dan is 0 < ɛ 0 < a, in tegenspraak met het onderstelde. De gemaakte hypothese is dus vals. Oefening Toon aan dat als voor het reëel getal a geldt dat 0 a ɛ, voor elke ɛ > 0, dan a = 0. Stelling 3.4 Als ab > 0 dan is ofwel a > 0 en b > 0, ofwel a < 0 en b < 0. Uit ab > 0 volgt meteen dat a 0 en dat b 0. Aldus is ofwel a > 0, ofwel a < 0. Als a > 0 dan is 1 ( ) 1 a > 0 en dus ook b = (ab) > 0. Als daarentegen a < 0, dan is 1 a a < 0 ( ) 1 en dus b = (ab) < 0. a Gevolg 3.1 Als ab < 0 dan is ofwel a < 0 en b > 0, ofwel a > 0 en b < 0. 4 Absolute waarde van een reëel getal Definitie 4.1 De absolute waarde van het reëel getal a, genoteerd a, is gedefinieerd door a als a > 0, a := 0 als a = 0, a als a < 0. Uit deze definitie volgt dat a 0 voor alle a in R. Ook is a = 0 als en slechts dan als a = 0. Verder is ook a = a voor alle reële a. 6

10 Stelling 4.1 Beschouw de reële getallen a, b en c. Er geldt: (i) ab = a b ; (ii) a 2 = a 2 ; (iii) als c 0 dan is a c als en slechts dan als c a c; (iv) a a a. (i) Als ofwel a = 0 ofwel b = 0, dan zijn linker- en rechterlid nul. Er zijn dan nog vier andere gevallen mogelijk. Als a > 0 en b > 0 dan is ab > 0 zodat ab = ab = a. b. Als a > 0 en b < 0 dan is ab < 0 zodat ab = ab = a( b) = a. b. Analoog voor de andere gevallen. (ii) Aangezien a 2 0 geldt a 2 = a 2 = aa = a a = a 2. (iii) Als a c dan geldt zowel a c als a c, of dus a c en a c. Omgekeerd, als c a c dan is zowel a c als a c en dus a c. (iv) Stel c = a in (iii). Stelling 4.2 (driehoeksongelijkheid) Voor reële getallen a en b geldt a + b a + b. Uit stelling 4.1 weten we dat a a a en b b b. Tel deze ongelijkheden op: ( a + b ) a + b a + b. Het gestelde volgt nu uit stelling 4.1 (iii). Gevolg 4.1 Voor reële getallen a en b geldt: (i) a b a b ; (ii) a b a + b. (i) Pas de driehoeksongelijkheid toe op a = a b+b en bekom aldus a = (a b)+b a b + b, waaruit volgt dat a b a b. Wissel de rol van a en b om en bekom analoog: b a b a. Het gestelde volgt dat uit stelling 4.1 (iii). 7

11 (ii) Vervang b door b in de driehoeksongelijkheid. Gevolg 4.2 Voor reële getallen a 1, a 2,..., a n geldt: door volledige inductie. 5 De reële-getallenas a 1 + a a n a 1 + a a n. Een nuttige meetkundige interpretatie van het systeem van de reële getallen is de zg. reële-getallenas. Hierbij wordt de absolute waarde van een reëel getal a beschouwd als de afstand van het punt a tot de oorsprong 0. De afstand tussen twee reële getallen a en b is a b. Zeggen dat het reëel getal x dicht bij een gegeven reëel getal a ligt, betekent dat hun onderlinge afstand x a klein is. Een precieze formulering maakt gebruik van het begrip omgeving. Definitie 5.1 Gegeven het reëel getal a en het reëel getal ɛ > 0. De ɛ-omgeving van a is de verzameling {x R : x a < ɛ} = {x R : ɛ < x a < ɛ} = {x R : a ɛ < x < a + ɛ}. Stelling 5.1 Als het reëel getal x behoort tot de ɛ-omgeving van het reëel getal a, voor alle ɛ > 0, dan is x = a. Neem x in de ɛ-omgeving van a, dan is x a < ɛ. Als dit geldt voor elke ɛ > 0, dan volgt uit stelling 3.3 dat x = a. 6 Het volledigheidsaxioma van de reële getallen We hebben reeds vermeld dat de verzameling Q van de rationale getallen voldoet aan de veld-axioma s (R1) t.e.m. (R9). Ook het orde-axioma (R10) is vervuld door Q (toon dit aan als oefening). Anderzijds zullen we in stelling 9.1 aantonen dat er irrationele getallen bestaan. Er zijn dus nog axioma s van doen om het reële-getallen-systeem te 8

12 karakteriseren. Het blijkt dat nog één axioma daartoe volstaat, het zg. volledigheidsaxioma. Men zegt dan dat de verzameling van de reële getallen uitgerust met de optelling, de vermenigvuldiging en de ordening, een compleet geordend veld is. De verzameling Q van de rationale getallen, op dezelfde wijze uitgerust, is dan wel een geordend veld, dat echter niet compleet is. Definitie 6.1 Beschouw een niet-ledige verzameling reële getallen S R. (i) Men zegt dat S naar boven begrensd is als er een reëel getal b bestaat waarvoor s b voor alle s in S; dergelijk getal b heet dan een bovengrens van S. (ii) Men zegt dat S naar beneden begrensd is als er een reëel getal a bestaat waarvoor a s voor alle s in S; dergelijk getal a heet dan een benedengrens van S. (iii) Men zegt dat S begrensd is als S terzelfdertijd naar boven en naar beneden begrensd is. Men zegt dat S onbegrensd is als S niet begrensd is. Merk op dat als een verzameling S van reële getallen naar boven (beneden) begrensd is, en oneindig veel boven-(beneden-)grenzen van S bestaan. Definitie 6.2 Beschouw een niet-ledige verzameling reële getallen S R. (i) Indien er een reëel getal ξ bestaat dat voldoet aan de volgende twee voorwaarden: * ξ is een bovengrens van S * voor elke bovengrens b van S geldt b ξ, dan zegt men dat ξ het supremum van S is, notatie ξ = sup S. (ii) Indien er een reëel getal η bestaat dat voldoet aan de volgende twee voorwaarden: * η is een benedengrens van S * voor elke benedengrens a van S geldt a η, dan zegt men dat η het infimum van S is, notatie η = inf S. Opmerkingen (i) Als het supremum (infimum) van een verzameling reële getallen bestaat, is het uniek. (ii) Niet elke verzameling reële getallen heeft een supremum (infimum). Voor een nietledige verzameling S reële getallen zijn er vier mogelijkheden: 9

13 * sup S en inf S bestaan beide * sup S bestaat, maar inf S bestaat niet * sup S bestaat niet, maar inf S bestaat wel * sup S en inf S bestaan beide niet De condities die het bestaan van een supremum (infimum) regelen kunnen geparafrazeerd worden als volgt. Lemma 6.1 Het reëel getal ξ is het supremum van de niet-ledige verzameling S van reële getallen als en slechts dan als * s ξ, voor alle s S * als y < ξ dan bestaat er een s in S waarvoor y < s. Lemma 6.2 Een bovengrens ξ van de niet-ledige verzameling S R is het supremum van S als en slechts dan als voor elke ɛ > 0 er een s ɛ S bestaat waarvoor ξ ɛ < s ɛ. deze lemmata als oefening. infimum. Formuleer en bewijs de analoge lemmata voor het Opmerking 6.1 Het supremum (infimum) van een verzameling reële getallen behoort niet noodzakelijk tot deze verzameling. Zo is voor de verzameling S 1 = {x R : 0 x 1} en S 2 = {x R : 0 < x < 1}, sup S 1 = sup S 2 = 1 en inf S 1 = inf S 2 = 0, maar sup S 1 S 1, inf S 1 S 1, terwijl sup S 2 / S 2 en inf S 2 / S 2. Het is een fundamentele karakteristiek van het reële-getallensysteem dat elke niet-ledige verzameling van reële getallen die naar boven begrensd is, een supremum bezit. Nochtans kan deze uitspraak niet worden bewezen op basis van de axioma s (R1) t.e.m. (R10). (R11) Het volledigheidsaxioma van de reële getallen: Elke niet-ledige verzameling reële getallen die naar boven begrensd is, heeft een supremum. Op basis van dit axioma (R11) kan dan bewezen worden: Elke niet-ledige verzameling reële getallen die naar beneden begrensd is, heeft een infimum. dit laatste als oefening; beschouw daartoe de verzameling S = { s : s S}. 10

14 7 Het compleet geordend veld van de reële getallen De bewerkingen (optelling en vermenigvuldiging), de ordening (ongelijkheden) en het supremum en infimum nemen van een verzameling, gaan nu onderling interageren. Dit geeft aanleiding tot een rij eigenschappen, waarvan we er twee bewijzen. Eigenschap 7.1 Als S een niet-ledige verzameling reële getallen is die naar boven is begrensd, en a een willekeurig reëel getal, dan definieert men a + S := {a + s : s S}. Er geldt: sup(a + S) = a + sup S. S is naar boven begrensd; volgens (R11) bestaat het supremum sup S = ξ. Voor alle s S geldt s ξ, en dus ook a + s a + ξ. Dit betekent dat a + ξ een bovengrens is van de verzameling a + S; deze laatste verzameling heeft dus een supremum sup(a + S) dat voldoet aan sup(a + S) a + ξ. Neem nu een willekeurige bovengrens b van a + S; dan is a + x b voor alle x S. Hieruit volgt dat x b a, voor alle x S, m.a.w. b a is een bovengrens van S, waarvoor dus geldt: b a sup S. Dus is a + ξ b. Aangezien b een willekeurige bovengrens van a + S is, geldt i.h.b. a + ξ sup(a + S). Uit de beide bekomen ongelijkheden samen volgt het gestelde. Eigenschap 7.2 Onderstel dat A en B niet-ledige deelverzamelingen van R zijn waarvoor geldt dat a b voor alle a in A en alle b B. Dan is sup A inf B. Neem b B; dan is a b voor alle a A, m.a.w. b is een bovengrens van A en aldus sup A b. Deze laatste ongelijkheid is geldig voor alle b B, m.a.w. sup A is een benedengrens van B, zodat sup A inf B. Toon nu zelf, als oefening, de volgende eigenschappen aan. Eigenschap 7.3 Als S een niet-ledige begrensde deelverzameling van R is, a > 0, b < 0, as = {as : s S}, dan is (i) inf(as) = a inf S; (ii) sup(as) = a sup S; (iii) inf(bs) = b sup S; 11

15 (iv) sup(bs) = b inf S. Eigenschap 7.4 Als A en B begrensde niet-ledige deelverzamelingen van R zijn en A + B = {a + b : a A en b B}, dan is sup(a + B) = sup A + sup B en inf(a + B) = inf A + inf B. Vooruitlopend op de studie van functies behandelen we hier reeds de toepassingen van de noties boven- en benedengrens op de waardenverzameling van deze functies, die we onderstellen deelverzameling van R te zijn. Definitie 7.1 (i) Men zegt dat de functie f : Ω R naar boven begrensd is op de verzameling Ω als de verzameling f(ω) = {f(x) : x Ω} een naar boven begrensde deelverzameling van R is, m.a.w. als er een reëel getal b bestaat waarvoor f(x) b voor alle x Ω. (ii) Men zegt dat de functie f : Ω R naar beneden begrensd is op de verzameling Ω als de verzameling f(ω) een naar beneden begrensde deelverzameling van R is, m.a.w. als er een reëel getal a bestaat waarvoor a f(x) voor alle x Ω. (iii) Men zegt dat de functie f : Ω R begrensd is op de verzameling Ω als f zowel naar boven als naar beneden begrensd is, m.a.w. als er een reëel getal r bestaat waarvoor f(x) r voor alle x Ω. Eigenschap 7.5 Onderstel dat de functies f : Ω R en g : Ω R beide begrensd zijn op Ω. (i) Als f(x) g(x) voor alle x Ω, dan is sup x Ω f(x) sup x Ω g(x). (ii) Als f(x) g(y) voor alle x Ω en alle y Ω, dan is sup x Ω f(x) inf y Ω g(y). Eigenschap 7.6 Als de functies f : Ω R en g : Ω R begrensd zijn, dan geldt: (i) sup{f(x) + g(x) : x Ω} sup{f(x) : x Ω} + sup{g(x) : x Ω} (ii) inf{f(x) + g(x) : x Ω} inf{f(x) : x Ω} + inf{g(x) : x Ω} eigenschappen 7.5 en 7.6 als oefening. 12

16 8 Het archimedisch karakter van de reële getallen Het lijkt vanzelfsprekend dat de verzameling van de natuurlijke getallen niet begrensd is in R. Dit valt echter niet te bewijzen met enkel de axioma s (R1) t.e.m. (R10). Men moet beroep doen op het volledigheidsaxioma (R11) en de inductie-eigenschap van N [i.e. als n N dan is n + 1 N]. Stelling 8.1 (R is archimedisch) Voor elk reëel getal x bestaat er een natuurlijk getal n x dat groter is dan x. (uit het ongerijmde) Onderstel dat dit gestelde vals is, dan is n x voor alle n N, m.a.w. x is een bovengrens van N. De niet-ledige verzameling N heeft dan een supremum ξ R. Het reëel getal ξ 1 is kleiner dan het supremum ξ van N; het is dus geen bovengrens van N, m.a.w. er bestaat een natuurlijk getal m > ξ 1. Hieruit volgt ξ < m +1, m.a.w. het natuurlijk getal m +1 is groter dan ξ = sup N, wat onmogelijk is. Gevolg 8.1 Het infimum van de verzameling S = { } 1 n : n N is nul. De verzameling S is niet-ledig en naar beneden begrensd door 0; aldus bestaat inf S = η, waarvoor geldt η 0. Onderstel dat η > 0; dan bestaat er, dankzij het archimedisch karakter van R, een natuurlijk geval n η waarvoor 1 η < n 1 η of < η. Maar dan is η geen n η ondergrens van S. Dus moet η = 0. Gevolg 8.2 Voor elk reëel getal x > 0 bestaat er een natuurlijk getal n x N waarvoor 0 < 1 n x < x. Als x > 0 is dan kan x geen benedengrens zijn voor de verzameling S = { } 1 n : n N waarvan het infimum nul is. Er bestaat dus een element 1 n x in S waarvoor 0 < 1 n x < x. Gevolg 8.3 Voor elk reëel getal x > 0 bestaat er een natuurlijk getal n x waarvoor n x 1 x < n x. 13

17 Beschouw de verzameling S x = {m N : x < m}; dankzij het archimedisch karakter van R is de verzameling S x niet-ledig. Nu bezit elke niet-ledige deelverzameling van N een kleinste element [de zg. wel-ordeningseigenschap van N]. Noem n x het kleinste element van S x ; dan behoort n x 1 niet tot S x, zodat x n x 1. Aangezien n x tot S x behoort is ook x < n x. 9 Het bestaan van tenminste één irrationaal getal We hebben reeds aangetoond in stelling 2.1 dat er geen rationaal getal bestaat waarvan het kwadraat 2 is. Steunend op het volledigheidsaxioma van R bewijzen we nu dat er een positief getal bestaat waarvan het kwadraat gelijk is aan 2; dit positief getal moet dan wel irrationaal zijn. Stelling 9.1 Er bestaat een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 2. Beschouw de verzameling S := {s R : 0 s, s 2 < 2}; deze verzameling is niet-ledig want 1 S. Een bovengrens van S is 2; S heeft dus een supremum: x := sup S; bemerk dat x > 1. We tonen aan dat x 2 = 2. Onderstel eerst dat x 2 < 2; beschouw het reëel getal 2 x2, dat duidelijk positief is. Het 2x + 1 archimedisch karakter van R stelt ons in staat een natuurlijk getal n te vinden waarvoor of 1 n < 2 x2 2x n (2x + 1) < 2 x2, of nog x (2x + 1) < 2 n ( zodat x + 1 ) 2 = x 2 + 2x n n + 1 n 2 x2 + 1 (2x + 1) < 2. n ( Uit x + 1 ) 2 < 2 volgt dat het reëel getal x + 1 behoort tot S, wat in tegenspraak is n n met het feit dat x = sup S. Het is dus uitgesloten dat x 2 < 2. Onderstel nu dat x 2 > 2; dan is x 2 2 > 0 en kunnen we een natuurlijk getal m vinden waarvoor 1 m < x2 2 2x 14

18 of 1 m 2x < x2 2, of nog x 2 2x m > 2 ( zodat x 1 ) 2 = x 2 2x m m + 1 m > 2 x2 2x m > 2. ( Als s S dan is s 2 < 2 < x 1 ) 2 en dus ook s < x 1 m m, wat betekent dat x 1 m een bovengrens van S is. Dit is in tegenspraak met het feit dat x het supremum van S is. Het is dus uitgesloten dat x 2 > 2. Aangezien het uitgesloten is dat zowel x 2 < 2 als x 2 > 2, is x 2 = 2. Met een analoge redenering kan men bewijzen dat als a > 0 er een unieke b bestaat waarvoor b 2 = a. Men noemt b de vierkantswortel van a en noteert b = a. Op analoge, maar iets ingewikkelder, wijze toont men het bestaan aan van een unieke k-de machtswortel k a uit a > 0 aan, voor alle k N. Opmerking 9.1 Als we in het bewijs van stelling 9.1 de verzameling S vervangen door de verzameling T = {q Q : 0 q, q 2 < 2}, dan bewijst men dat y := sup T voldoet aan y 2 = 2. Maar we weten reeds uit stelling 2.1 dat y niet rationaal is, zodat de verzameling T van rationale getallen geen supremum heeft dat tot Q behoort. Het geordend veld Q bezit dus de compleetheid-eigenschap niet. 10 De dichtheid van Q in R Stelling 10.1 Voor de reële getallen x en y waarvoor x < y, bestaat er steeds een rationaal getal r waarvoor x < r < y. Zonder de algemeenheid te schaden kunnen we onderstellen dat x > 0. Nu is y x > 0 zodat er een natuurlijk getal n bestaat waarvoor 1 < y x, of nx + 1 < ny. Voor het n positieve getal nx kan er een natuurlijk getal m worden gevonden waarvoor m 1 nx < m. Aldus is m nx + 1 < ny en dus nx < m < ny. Het rationaal getal r := m n voldoet aan x < r < y. Gevolg 10.1 Voor reële getallen x en y waarvoor x < y, bestaat er steeds een irrationaal getal z waarvoor x < z < y. 15

19 Pas stelling 10.1 toe op de reële getallen x 2 en y 2 ; er bestaat dus een rationaal getal r waarvoor x 2 < r < y 2. Het getal z := r 2 is irrationaal en voldoet aan x < z < y. 11 Intervallen Met behulp van de ordening in R kunnen specifieke deelverzamelingen reële getallen gedefinieerd worden die als fundamentele deelverzamelingen kunnen worden beschouwd: (i) het open interval ]a, b[:= {x R : a < x < b} (ii) het gesloten interval [a, b] := {x R : a x b} (iii) de half-open (of half-gesloten) intervallen [a, b[:= {x R : a x < b} en ]a, b] := {x R : a < x b}. Daarnaast kunnen ook de volgende onbegrensde intervallen worden gedefinieerd: (iv) ]a, + [:= {x R : a < x}; (v) [a, + [:= {x R : a x}; (vi) ], b[:= {x R : x < b}; (vii) ], b] := {x R : x b}; (viii) ], + [:= R. Men hoede zich ervoor de loutere symbolen en + als reële getallen te beschouwen! Het is een voor de hand liggende eigenschap van een interval I dat als x en y tot I behoren, het interval [x, y] bevat is in I. Deze eigenschap is in feite een karakterisering van het begrip interval, zoals blijkt uit de volgende stelling Stelling 11.1 Als de verzameling S van reële getallen ten minste twee punten omvat en voldoet aan de eigenschap: als x, y S en x < y dan is [x, y] S, dan is S een interval. 16

20 Onderstel dat S begrensd is en stel a := inf S en b := sup S. Dan is S [a, b]. Als a < z < b dan is z geen benedengrens van S; er bestaat dus een x S waarvoor x < z. Maar z is ook geen bovengrens van S, zodat er een y S bestaat waarvoor z < y. Dus is z [x, y] zodat wegens het onderstelde z S. Aldus is ]a, b[ S. We hebben terzelfdertijd dat S [a, b] en ]a, b[ S, zodat wel S =]a, b[ of ]a, b] of [a, b[ of [a, b]. Onderstel nu dat S naar boven begrensd is, maar niet naar beneden. Stel b := sup S, dan is S ], b]. Neem z < b, dan bestaan er x en y in S waarvoor z [x, y]. Dus is ], b] S. We concluderen dat S een onbegrensd interval is. De gevallen waarbij S naar beneden begrensd is en niet naar boven, of noch naar boven noch naar beneden begrensd, worden op analoge manier behandeld. Definitie 11.1 Een rij I n, n N van intervallen wordt genest genoemd als I 1 I 2... I n I n+1... [ Een voorbeeld van een geneste rij intervallen is I n = 0, 1 ], n N. Het is duidelijk dat n 0 tot alle intervallen van de rij behoort. Met behulp van het archimedisch karakter van R wordt aangetoond dat 0 het enige gemeenschappelijke punt is. Dat een geneste rij intervallen] niet noodzakelijk een gemeenschappelijk punt bezit, wordt geïllustreerd door de rij I n = 0, 1 [, n N; immers voor elke x > 0 bestaat er een natu- n urlijk getal m waarvoor 1 m < x, zodat x / I m. Nochtans geldt de volgende stelling. Stelling 11.2 (i) Een geneste rij gesloten en begrensde intervallen bezit ten minste één gemeenschappelijke punt. (ii) Een geneste rij gesloten en begrensde intervallen waarvoor het infimum van de lengten ervan nul is, bezit een uniek gemeenschappelijk punt. Met behulp van deze stelling kan worden aangetoond dat de verzameling van de reële getallen niet aftelbaar is, d.w.z. dat er geen één-één-afbeelding bestaat tussen R en N. De verzameling Q van de rationale getallen wel aftelbaar zijnde, is het duidelijk dat ook de verzameling van de irrationale getallen niet aftelbaar is. 17

21 12 Binaire voorstelling van reële getallen Beschouw de reële getallen tussen 0 en 1. Neem x [ [0, 1]. Als x 0, 1 [ ] ] 1 neem dan a 1 = 0; als x 2 2, 1 neem a 1 = 1; als x = 1 2 neem a 1, ofwel 0 ofwel 1; er geldt steeds: a 1 2 x a [ a1 Deel het interval 2, a ] middendoor. Als x behoort tot het linker deelinterval, 2 neem dan a 2 = 0; behoort x tot het rechter deelinterval, neem a 2 = 1; als x = 1 4 of x = 3 4, neem dan a 2 ofwel 0 ofwel 1; er geldt steeds: a a x a a Door op analoge wijze deze procedure verder te zetten onstaat er een rij a n, n N van nullen of éénen. Voor elke n N geldt: a a a n 2 n x a a a n n. Als op een bepaald ogenblik in de procedure x samenvalt met het midden van het interval dat dan wordt middendoor gedeeld, dan gaat de rij verder met enkel nullen of enkel éénen. De binaire representatie van x is dan (.a 1 a 2...a n...) 2 ; deze is uniek tenzij x = m (m oneven) 2n waarvoor er twee representaties bestaan: x = (.a 1 a 2...a n ) 2 en x = (.a 1 a 2...a n ) 2. Omgekeerd, bepaalt een rij van nullen en éénen een uniek reëel getal in [0, 1]. Immers de corresponderende ongelijkheid bepaalt een gesloten interval met lengte 1. De geneste rij 2n gesloten en begrensde intervallen waarvan het infimum van de lengten dus nul is, bepaalt het unieke reële getal dat aan bewuste ongelijkheid voldoet voor alle n N. 13 Decimale representatie van reële getallen Een analoge constructie als voor de binaire representatie van reële getallen, maar dit keer met verdeling van de intervallen in 10 gelijke deelintervallen, leidt tot de decimale representatie van reële getallen. Neem x [0, 1] en verdeel het interval [0, 1] in 10 gelijke deelintervallen; dan bestaat er een geheel getal b 1 {0, 1,..., 9} waarvoor x [ b1 10, b ]. Op analoge wijze als in 18

22 paragraaf 12, onstaat een rij b n, n N van gehele getallen waarbij 0 b n 9 voor alle n N en waarvoor b b b n 2 10 x b 1 n 10 + b b n n Het reëel getal x wordt dan decimaal gerepresenteerd door: x :=.b 1 b 2...b n.... Als x 1 dan bestaat er een natuurlijk getal B waarvoor B x < B + 1; de decimale representatie van x luidt dan: x = B.b 1 b 2...b n.... Negatieve getallen worden analoog behandeld. Dat elke decimale representatie een uniek reëel getal bepaalt, is een gevolg van stelling 11.2(ii), aangezien de corresponderende ongelijkheid een geneste rij van intervallen vastlegt 1 met lengte 10. n Als x = m 10 n, m en n natuurlijke getallen waarbij 1 m 10n en m niet deelbaar door 10, dan zal x samenvallen met een van de verdelingspunten en is de decimale representatie van x niet uniek. Immers op het ogenblik dat x op een verdelingspunt valt, kan men ofwel voor het linker deelinterval kiezen, waardoor alle volgende decimalen 9 zullen zijn, ofwel kiezen voor het rechter deelinterval waardoor alle volgende decimalen 0 zullen zijn. Uiteraard stellen beide decimale representaties hetzelfde reëel getal voor. Een decimaal getal B.b 1...b n... noemt men periodiek als er een blok van opeenvolgende decimalen herhaald wordt vanaf een zeker rang: b n = b n+m voor alle n k. Het kleinste natuurlijk getal m waarvoor dit geldt, noemt men de periode. Het afbreken van een decimale representatie komt overeen met het constant herhalen van 0 vanaf een zekere rang. Men kan bewijzen dat een positief getal rationaal is als en slechts dan als zijn decimale representatie periodiek is. 14 Complexe getallen: definitie en bewerkingen We beschouwen de verzameling van de koppels (a, b) reële getallen a en b, waarop we de volgende bewerkingen definiëren: * gelijkheid: (a, b) = (c, d) a = c en b = d; * optelling: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); * vermenigvuldiging: (a, b).(c, d) = (ac bd, ad + bc). Een dergelijk koppel (a, b) van reële getallen noemt men een complex getal, en de verzameling van de complexe getallen wordt C genoteerd. Het is een eenvoudige oefening aan te tonen dat C uitgerust met de hierboven vermelde bewerkingen, de volgende eigenschappen bezit: 19

23 (C1) de optelling is commutatief; (C2) de optelling is associatief; (C3) er bestaat een nul-element, nl. (0, 0) voor de optelling; (C4) elk complex getal (a, b) bezit een tegengestelde, nl. ( a, b); (C5) de vermenigvuldiging is commutatief; (C6) de vermenigvuldiging is associatief; (C7) er bestaat een eenheidselement, nl. (1, 0), voor de vermenigvuldiging; ( a (C8) elk complex getal (a, b) (0, 0) bezit een omgekeerde, nl. a 2 + b, 2 (C9) de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling. b a 2 + b 2 Dit kan worden samengevat als de verzameling van de complexe getallen uitgerust met de (hierboven gedefinieerde) optelling en vermenigvuldiging, is een veld Beschouw nu de volgende deelverzameling van C: RD = {(a, 0) : a R}. Ga na dat RD uitgerust met optelling en vermenigvuldiging voldoet aan de axioma s (R1) t.e.m. (R9) van de reële getallen. Door met elk koppel (a, b) RD het reëel getal a te laten overeenstemmen, wordt een één-één-correspondentie gelegd tussen RD en R. Men zegt dat op deze wijze R ingebed is in C. Daarom ook noemt men het eerste element a van het koppel (a, b) het reële deel van het complex getal (a, b) en men noteert a = R(a, b). De deelverzameling van C gedefinieerd door ID = {(0, b) : b R} is de deelverzameling van de zg. imaginaire getallen; het tweede element b van het koppel (a, b) noemt men overeenkomstig het imaginaire deel van het complex getal (a, b) en men noteert b = I(a, b). Het woord imaginair heeft te maken met het feit dat (0, 1).(0, 1) = ( , ) = ( 1, 0), m.a.w. het produkt van het imaginair getal (0, 1) met zichzelf, is te identificeren met het reëel getal 1, iets wat inderdaad ondenkbaar is in de reële wereld. Een elegantere, nuttiger en praktischer notatie voor complexe getallen bestaat erin het reële getal (1, 0) te schrijven als 1 en het zuiver imaginair getal (0, 1) te schrijven als i. Het koppel (a, b) wordt aldus geschreven als (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + ib. 20 ) ;

24 Een complex getal kan dus gezien worden als de som van een reëel getal en een imaginair getal. Met deze nieuwe notatie worden de elementaire bewerkingen inderdaad eenvoudiger van uitzicht en gemakkelijker uit te voeren: * gelijkheid: a + ib = c + id a = c en b = d; * optelling: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d); * vermenigvuldiging: (a + ib).(c + id) = ac + iad + ibc + i 2 db = ac bd + i(ad + bc). Bij de laatste overgang hebben we gebruik gemaakt van de beroemde betrekking i 2 = 1 die de parafrazering is in de nieuwe notatie van (0, 1).(0, 1) = ( 1, 0). Men hoede zich ervoor zich te laten verleiden tot het populaire gezegde dat i de vierkantswortel uit 1 is ; dit is pure nonsens. 15 Complexe getallen: toevoeging en modulus We stellen het complex getal a + ib kortweg voor door z; het nulelement voor de optelling 0 + i0 noteren we kortweg 0, en het eenheidselement 1 + i0 als 1. Het complex getal dat tegengesteld is aan z = a+ib (eigenschap C4) is dan z = a ib; het omgekeerde van z is 1 z = 1 a + ib = a a 2 + b + i b (z / 0 ondersteld). 2 a 2 + b2 Met behulp van een nieuwe bewerking kan deze laatste gelijkheid eenvoudig bekomen worden; deze nieuwe bewerking is de (complexe) toevoeging. Definitie 15.1 De (complex) toegevoegde van het complex getal z = a+ib is het complex getal z = a ib. Merk op dat de complex toegevoegde van een reëel getal dit getal zelf is. Uit z + z = 2a volgt Rz = 1 2 (z + z), terwijl uit z z = 2ib volgt dat Iz = 1 (z z). 2i Ook is z.z = z.z = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2, een positief getal. Het product zz kan enkel nul zijn als z = 0 (en dan is uiteraard ook z = 0). Dit leidt tot 21

25 Definitie 15.2 De modulus van het complex getal z = a + ib is z = a 2 + b 2. De modulus van een complex getal is dus nul als en slechts dan als het complex getal nul is. We hebben dus meteen: zz = zz = z 2. En dit leidt tot een eenvoudige berekening van de omgekeerde van z 0: 1 z = 1 z.z z = z z = a ib 2 a 2 + b. 2 Merk ook nog op dat de modulus van een reëel getal (opgevat als een bijzonder complex getal) samenvalt met het begrip absolute waarde van dit reëel getal: a = a = a 2 = aa = a 2 ; vandaar ook dat hetzelfde symbool kan worden gebruikt. Toon aan, als oefening, dat de modulus van een complex getal de volgende eigenschappen bezit: (i) z 1 z 2 = z 1 z 2 ; (ii) z 1 + z 2 z 1 + z 2 (driehoeksongelijkheid); (iii) z 1 z 2 z 1 + z 2 ; (iv) z 1 z 2 z 1 z 2. De modulus stelt ons in staat ook in C het begrip begrensde verzameling te definiëren: een verzameling S van complexe getallen is begrensd als de verzameling { z : z S} een begrensde verzameling reële getallen is. 16 Complexe getallen: meetkundige voorstelling Beschouw het complex getal z = a + ib = (a, b). Het koppel reële getallen kan worden beschouwd als het stel coördinaten van een punt in het vlak betrokken op een cartesiaans assenstelsel. We kunnen het complex getal z = a + ib vereenzelvigen met het punt met coördinaten (a, b). Een reëel getal heeft dan een beeldpunt op de X-as, terwijl een zuiver imaginair getal een beeldpunt op de Y -as heeft. Om die reden spreekt men vaak van het complexe vlak met de reële as (de X-as) en de zuiver imaginaire as (de Y -as). De oorsprong is dan het beeldpunt van het complex getal 0. Op die manier ontstaat een één-één-correspondentie tussen de verzameling van de punten van het gecoördinatiseerde vlak en de verzameling van de complexe getallen. Merk op dat tegengestelde complexe getallen beeldpunten bezitten die symmetrisch liggen t.o.v. de oorsprong, terwijl een complex getal en zijn toegevoegde symmetrisch liggen 22

26 t.o.v. de reële as. Hetzelfde complex getal z = a + ib kunnen we ook vereenzelvigen met de vector die aangrijpt in de oorsprong en als eindpunt het punt met coördinaten (a, b) bezit. Alle vectoren die complexe getallen voorstellen grijpen steeds aan in de oorsprong; men spreekt van gebonden vectoren. Met het complex getal 0 correspondeert de nulvector in de oorsprong. Op deze wijze ontstaat een één-één-correspondentie tussen de verzameling van de complexe getallen en de verzameling van de gebonden vectoren in het vlak. Ga na dat met de som van twee complexe getallen de som van de corresponderende gebonden vectoren overeenstemt. Berekenen we de lengte van de gebonden vector die overeenstemt met het complex getal z = a + ib, dan bekomen we: lengte vector z = a 2 + b 2 = z ; de lengte van deze vector is dus precies de modulus van het beschouwde complex getal; een notatie ervoor is r. Een gebonden vector kunnen we volkomen karakteriseren door haar lengte r en de hoek die ze insluit met de reële as (de X-as); noem die hoek θ. Gegeven r en θ dan stemt hiermee precies één gebonden vector, en dus één complex getal overeen. Maar omgekeerd, bij een gegeven complex getal of corresponderende gebonden vector, is r wel volkomen bepaald, maar θ is bepaald op een veelvoud van 2π radialen na. Samengevat r en θ z r en θ + 2kπ, k Z. Deze hoek θ wordt vaak het argument van z genoemd; met elk complex getal z / 0 stemmen dus oneindig veel argumenten overeen, die onderling een veelvoud van 2π radialen van elkaar verschillen. Het argument van het complex getal 0 is niet gedefinieerd. Vertrek van het complex getal z = a + ib / 0. Bepaal zijn modulus: r = z = a 2 + b 2 en één waarde van zijn argument, i.e. een hoek θ die voldoet aan: a = r cos θ, b = r sin θ. Dit leidt tot de zg. polaire vorm van het complex getal z: z = a + ib = r cos θ + i r sin θ = r(cos θ + i sin θ) 23

27 Maken we gebruik van de exponentiële functie, dan kunnen we beroep doen op de - later te bewijzen - zg. formule van Euler: exp(iθ) = cos θ + i sin θ, om de polaire vorm van het complex getal z te herschrijven als: z = r exp(iθ). 17 Complexe getallen: bewerkingen (bis) De polaire vorm van complexe getallen is uiterst geschikt voor de vermenigvuldiging en de machtsverheffing. Zo is: z 1 z 2 = (r 1 exp(iθ 1 ))(r 2 exp(iθ 2 )) = r 1 r 2 exp(i(θ 1 + θ 2 )) = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )); z 1 = r 1 exp(iθ 1 ) z 2 r 2 exp(iθ 2 ) = r 1 r 2 exp(i(θ 1 θ 2 )) = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )); z n = (r exp(iθ)) n = r n exp(inθ) = r n (cos nθ + i sin nθ), n N. Voor de inverse bewerking van de (natuurlijke) machtsverheffing gaan we omzichtig te werk, en stellen de vraag: gegeven het complex getal z, welke complexe getallen w, zo die er zijn, voldoen aan: w n = z. Stel w = ρ exp(iϕ), dan moet gelden: (ρ exp(iϕ)) n = z = r exp(iθ) of ρ n exp(inϕ) = r exp(iθ) waaruit volgt dat ρ = n r en ϕ = θ + 2kπ, k = 0, 1, 2,..., n 1; n er bestaan dus n complexe getallen w waarvan de nde macht gelijk is aan het gegeven complex getal z / 0. Deze n complexe getallen w 0, w 1,..., w n 1 liggen alle op dezelfde 24

28 afstand ρ = n r van de oorsprong; ze zijn de hoekpunten van een regelmatige n-hoek ingeschreven in de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal ρ. Nemen we i.h.b. z = 1, dan zijn er n complexe getallen w 0, w 1,..., w n 1, gegeven door ( w k = exp i 2kπ ), k = 0, 1, 2,..., n 1 n waarvan de nde macht gelijk is aan 1: w n k = 1, k = 0, 1, 2,..., n 1. De beeldpunten ervan zijn de hoekpunten van een regelmatige n-hoek ingeschreven in de zg. eenheidscirkel, dit is de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal 1. Merk op dat w 0 = 1 op de reële as ligt; als n oneven is, is dit ook het enige van deze getallen w k dat op de reële as ligt. Als n = 2m even is, dan ligt ook w m = exp(iπ) = 1 op de reële as. 18 Het complexe vlak: afstand en omgeving De modulus z van het complexe getal z is de afstand van het beeldpunt van z tot de oorsprong. Beschouw nu twee complexe getallen z 1 en z 2, en hun verschil waarvan we de modulus berekenen: z 1 z 2 = (a 1 + ib 1 ) (a 2 + ib 2 ) = (a 1 a 2 ) + i(b 1 b 2 ) = (a 1 a 2 ) 2 + (b 1 b 2 ) 2. Het resultaat is de afstand in het cartesiaans vlak tussen de punten met respectieve coördinaten (a 1, b 1 ) en (a 2, b 2 ), m.a.w. tussen de beeldpunten van z 1 en z 2 in het complexe vlak. Gegeven het complex getal z 0 en het reëel getal ɛ > 0, dan is de zg. ɛ-omgeving van z 0 de verzameling van de complexe getallen (of hun beeldpunten) die op een afstand kleiner dan ɛ van z 0 zijn gelegen: {z C : z z 0 < ɛ}, m.a.w. een open schijf met middelpunt z 0 en straal ɛ. Als x 0 reëel is, dan is de doorsnede van de ɛ-omgeving van x 0 in het complexe vlak, met de reële as precies de reële ɛ-omgeving van x 0 (zie definitie 5.1.). 25