Waarom kleintjes niet altijd voor moeten gaan (maar vaak wel)

Transcriptie

1 Waarom kleintjes niet altijd voor moeten gaan (maar vaak wel) Sindo Núñez Queija Universiteit van Amsterdam & Centrum voor Wiskunde en Informatica + Maaike Verloop en Sem Borst OVERZICHT: Wachtrijen en bedieningsdisciplines Data-netwerken Benaderingen van optimale strategieën

2 Wachtrijen Voorbeeld: masseur van een grote voetbalclub Aankomsten : gemiddeld λ per minuut Massageduur hangt af van de lichaamsgrootte: gemiddeld β (minuten), variantie σ 2 Belasting: ρ := λβ < 1 Bedienen in volgorde van aankomst? 1

3 Bedieningsdiscipline Bedienen in volgorde van aankomst: gemiddeld aantal klanten = ρ 1 ρ ρ 1 + ( σ 2 β 2 1 ) 2 Alternatieven: Processor sharing of laatste eerst : ρ 1 ρ Wat is het best? Als je de bedieningsduur kent: Kleinste Eerst! [Schrage 68] 2

4 Waarom eerst de kleinste? Werkvoorraad: Volgorde van bediening doet er niet toe voor de werklast! Concentreer het werk in de grootste klanten, door de kleinsten eerst te bedienen! 3

5 Illustratie Werkvoorraad Aantal klanten op gegeven moment Reduceer aantal klanten zonder werkvoorraad te veranderen... 4

6 Volgorde van bediening bepalen in de praktijk De exacte grootte van een klant kennen we vaak niet Als we de reeds verkregen bedieningsduur weten en de bedieningsduurverdeling dan is het optimaal om te bedienen volgens de volgorde van aankomst: verdelingen voor bijvoorbeeld Gamma de minst verkregen bediening: voor bijvoorbeeld Pareto en hyperexponentiële verdelingen Klimov indexen: in het algemeen 5

7 Data-netwerken capaciteit van meerdere knooppunten tegelijk nodig , VoIP (telefonie), video, muziek, live streaming IDEE: laat de knooppunten eerst de kleintjes doorsturen 6

8 Data-netwerken Concentreer je op het pad dat door een collectie van stromen wordt doorkruist 6-1

9 Data-netwerken Concentreer je op het pad dat door een collectie van stromen wordt doorkruist lineair netwerk 6-2

10 Lineair netwerk gerepresenteerd door wachtrijen S 0 (t) + S i (t) 1, i = 1,..., L. Klasse i: elke klant in rij i vertegenwoordigt een stroom door route i 7

11 Stabiliteit in het netwerk Zeker nodig: ρ 0 + ρ i < 1 voor alle i = 1,..., L Niet voldoende! Bijv.: prioriteit voor klassen 1 & 2: Nodig: ρ 0 < (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) Ook als 1 & 2 kleiner zijn Op lange paden: ρ 0 < Li=1 (1 ρ i ) 8

12 Stabiliteit in het netwerk Zeker nodig: ρ 0 + ρ i < 1 voor alle i = 1,..., L Niet voldoende! Bijvoorbeeld: prioriteit voor klassen 1 & 2: Nodig: ρ 0 < (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) Ook als 1 & 2 kleiner zijn Op lange paden: ρ 0 < Li=1 (1 ρ i ) 8-1

13 Stabiliteit in het netwerk Zeker nodig: ρ 0 + ρ i < 1 voor alle i = 1,..., L Niet voldoende! Bijvoorbeeld: prioriteit voor klassen 1 & 2: Nodig: ρ 0 < (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) Ook als 1 & 2 kleiner zijn Op lange paden: ρ 0 < Li=1 (1 ρ i ) 8-2

14 Wat nu? Zoek naar de structuur van optimale strategieën Bepaal goede benaderingen Speciaal geval: exponentiële bedieningsduur verdelingen σ 2 = β 2 Geheugenloos: P (B > x + y B > x) = P (B > y) P (x < B < x + δ B > x) δ E[B] 9

15 Bedieningsdiscipline Bedienen in volgorde van aankomst: gemiddeld aantal klanten = ρ 1 ρ ρ 1 + ( σ 2 β 2 1 ) 2 Alternatieven: Processor sharing of laatste eerst : ρ 1 ρ Wat is het best? Als je de bedieningsduur kent: Kleinste Eerst! [Schrage 68] 9-1

16 Wat nu? Zoek naar de structuur van optimale strategieën Bepaal goede benaderingen Speciaal geval: exponentiële bedieningsduur verdelingen σ 2 = β 2 Geheugenloos: P (B > x + y B > x) = P (B > y) P (x < B < x + δ B > x) δ E[B] 9-2

17 Wat nu? Zoek naar de structuur van optimale strategieën Bepaal goede benaderingen Speciaal geval: exponentiële bedieningsduur verdelingen σ 2 = β 2 Geheugenloos: P (B > x + y B > x) = P (B > y) P (x < B < x + δ B > x) δ E[B] 9-3

18 Wat nu? Zoek naar de structuur van optimale strategieën Bepaal goede benaderingen Speciaal geval: exponentiële bedieningsduur verdelingen σ 2 = β 2 Geheugenloos: P (B > x + y B > x) = P (B > y) P (x < B < x + δ B > x) δ E[B] µ = 1 E[B] 9-4

19 Naïeve aanpak Maximaliseer de vertrekintensiteit: Vergelijk µ 0 1 N0 (t)>0 met µ 1 1 N1 (t)>0 + µ 2 1 N2 (t)>0 en kies het maximum alle capaciteit naar 0 alle capaciteit naar 1 & 2 Optimaal op de korte termijn: kleintjes eerst! Wat kan er dan mis gaan? bijvoorbeeld: als µ 1 > µ 0 en N 2 (t) = 0 capaciteit in knooppunt 2 wordt helemaal niet gebruikt als N 0 (t) > 0 een strategie die 0 bedient heeft dan altijd minder werk in knooppunt 2 en zal dus eerder het systeem leeg hebben! Hebben al gezien dat dit instabiel kan zijn als zowel µ 1 > µ 0 µ 2 > µ 0 (prioriteit voor 1 & 2) en Goede balans vinden tussen het concentreren van werk in de grote klanten en het verlagen van de totale hoeveelheid werk! 10

20 Naïeve aanpak Maximaliseer de vertrekintensiteit: Vergelijk µ 0 1 N0 (t)>0 met µ 1 1 N1 (t)>0 + µ 2 1 N2 (t)>0 en kies het maximum alle capaciteit naar 0 alle capaciteit naar 1 & 2 Optimaal op de korte termijn: kleintjes eerst! Wat kan er dan mis gaan? bijvoorbeeld: als µ 1 > µ 0 en N 2 (t) = 0 capaciteit in knooppunt 2 wordt helemaal niet gebruikt als N 0 (t) > 0 een strategie die 0 bedient heeft dan altijd minder werk in knooppunt 2 en zal dus eerder het systeem leeg hebben! Hebben al gezien dat dit instabiel kan zijn als zowel µ 1 > µ 0 µ 2 > µ 0 (prioriteit voor 1 & 2) en Goede balans vinden tussen het concentreren van werk in de grote klanten en het verlagen van de totale hoeveelheid werk! 10-1

21 Naïeve aanpak Maximaliseer de vertrekintensiteit: Vergelijk µ 0 1 N0 (t)>0 met µ 1 1 N1 (t)>0 + µ 2 1 N2 (t)>0 en kies het maximum alle capaciteit naar 0 alle capaciteit naar 1 & 2 Optimaal op de korte termijn: kleintjes eerst! Wat kan er dan mis gaan? bijvoorbeeld: als µ 1 > µ 0 en N 2 (t) = 0 capaciteit in knooppunt 2 wordt helemaal niet gebruikt als N 0 (t) > 0 een strategie die 0 bedient heeft dan altijd minder werk in knooppunt 2 en zal dus eerder het systeem leeg hebben! Hebben al gezien dat dit instabiel kan zijn als zowel µ 1 > µ 0 µ 2 > µ 0 (prioriteit voor 1 & 2) en Goede balans vinden tussen het concentreren van werk in de grote klanten en het verlagen van de totale hoeveelheid werk! 10-2

22 Wanneer is de keuze makkelijk? Propositie Klasse 0 bedienen is altijd optimaal als µ 1 + µ 2 µ 0 Propositie Klasse i = 1, 2, bedienen als ze er beide zijn, en anders klasse 0 bedienen is optimaal als µ 1 + µ 2 µ 0 max{µ 1, µ 2 } 11

23 Algemene structuur van de optimale keuze I Focus op µ 0 < µ 1 Makkelijk: Als zowel klasse 1 en 2 er zijn, moeten die worden bediend want µ 0 µ 1 + µ 2 Op een gegeven moment is N 2 (t) = 0: klasse 0 bedienen verlaagt de werklast het meest klasse 1 bedienen concentreert het werk in de groten Doel: het gemiddelde minimaliseren 12

24 Algemene structuur van de optimale keuze II Propositie Als klasse 2 leeg is, curve dan is er een optimale switching Het precies bepalen van de switching curve is vaak ondoenlijk 13

25 Kijk naar de fluid limiet dw i dt (t) = ρ i s i (t), for i = 0, 1, 2, w i (t) 0, for i = 0, 1, 2, s 0 (t) + s i (t) 1, for i = 1, 2, s i (t) 0, for i = 0, 1, 2. 14

26 De makkelijke gevallen in de fluid limiet (ρ 1 ρ 2 ) Als µ 1 + µ 2 µ 0 : triviaal Als µ 1 + µ 2 µ 0 µ 1, µ 2 15

27 Moeilijkere gevallen (ρ 1 ρ 2 ) µ 1 µ 0 µ 2 switching curve n 1 = µ 2 µ 1 +µ 2 µ 0 µ 1 µ 0 ρ 2 ρ 1 1 ρ 0 ρ 2 n 0 16

28 Moeilijkere gevallen (ρ 1 ρ 2 ) µ 1 µ 0 µ 2 switching curve n 1 = µ 2 µ 1 +µ 2 µ 0 µ 1 µ 0 ρ 2 ρ 1 1 ρ 0 ρ 2 n 0 µ 1, µ 2 µ 0 switching-curve n 1 = ρ 2 ρ 1 1 ρ 0 ρ 2 n 0 or if n 2 > 0 (stricte prioriteit voor 2!) 16-1

29 Lineaire benaderingen als ρ 1 ρ 2 Optimale strategie en lineaire fluid approximatie 17

30 Lineaire benaderingen als ρ 1 ρ 2 Optimale strategie en lineaire fluid approximatie Hoe goed doet de fluid approximatie het: 17-1

31 Is het altijd mooi lineair? 18

32 Is het altijd mooi lineair? NEE

33 Wat als ρ 1 = ρ 2? (Centrale Limiet Stelling) De lineaire strategie is misschien niet eens stabiel!!! µ 1, µ 2 µ 0 beide fluid switching curves liggen op de horizontale as probleem als 0 de grootste is... 19

34 Wat als ρ 1 = ρ 2? (Centrale Limiet Stelling) De lineaire strategie is misschien niet eens stabiel!!! µ 1, µ 2 µ 0 beide fluid switching curves liggen op de horizontale as probleem als 0 de grootste is... onder de switching curve heeft N 1 geen drift in het uitgezoomde proces lineaire drift voor N 0 Brownse beweging voor N 2 de switching curve kan vele keren van onder worden geraakt en elke keer verliest knooppunt 2 capaciteit 19-1

35 Lastiger dan de lineaire gevallen maar soms heel relevant 20

36 CLT scaling below the switching curve lim n w 0 (t) = w 0 (0) (1 ρ 0 ρ 1 )t W 1 n (nt) n = lim 1 n ( W n(nt) 1 W n(nt))( W 1 n (nt) W 2 n (nt)) 2 = 1 b (BM(t)+ 1 0) (BM(t) + b 1 ), µ 1 µ 1 W 2 n lim (nt) n n = lim 1 n ( W n(nt) 2 W n(nt))( W 1 n (nt) W 2 n (nt)) 1 BM(t) is a Brownian motion with = 1 (BM(t)+ b 1 µ 1 0) (BM(t) + b 1 µ 1 ), variance θ 2 := λ 1 θ1 2 + λ 2θ2 2 θj 2 = Var(B j) Main ingredient in the proof: W i n (t) = W i n (0) + A i (0, t) B i (0, t) B 1 (0, t) = B 2 (0, t), 21

37 CLT scaling below the switching curve lim n w 0 (t) = w 0 (0) (1 ρ 0 ρ 1 )t W 1 n (nt) n = lim 1 n ( W n(nt) 1 W n(nt))( W 1 n (nt) W 2 n (nt)) 2 = 1 b (BM(t)+ 1 0) (BM(t) + b 1 ), µ 1 µ 1 W 2 n lim (nt) n n = lim 1 n ( W n(nt) 2 W n(nt))( W 1 n (nt) W 2 n (nt)) 1 BM(t) is a Brownian motion with = 1 (BM(t)+ b 1 µ 1 0) (BM(t) + b 1 µ 1 ), variance θ 2 := λ 1 θ1 2 + λ 2θ2 2 θj 2 = Var(B j) Main ingredient in the proof: W i n (t) = W i n (0) + A i (0, t) B i (0, t) B 1 (0, t) = B 2 (0, t), 21-1

38 Illustratie Optimale strategie en de wortel strategie 22

39 Illustratie Optimale strategie en de wortel strategie Pad voor een wortel strategie 22-1

40 Waarom kleintjes niet altijd voor moeten gaan (maar vaak wel) Sindo Núñez Queija Universiteit van Amsterdam & Centrum voor Wiskunde en Informatica Dank u wel!