Wachttijdtheorie. Prof. dr N.M. van Dijk Dr H.J. van der Sluis
|
|
- Maarten Smit
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Wachttijdtheorie Beo-cases Prof. dr N.M. van Dijk Dr H.J. van der Sluis
2 Een ogenblik geduld a.u.b. Een ogenblik geduld... (Uit Trouw artikel, 26 augustus 1998) Zeker een jaar van ons leven verdoen we onze tijd aan wachten. Bij de supermarkt, in de file of aan de telefoon: 'Al onze lijnen zijn bezet; een ogenblik geduld alstublieft'. Een verspild jaar, vindt iedereen. Nog enkele weken geleden lag half Nederland weliswaar te niksen aan het strand of in de achtertuin, maar nu de onthaasting weer voorbij is, is elke wachtminuut er één teveel. Dus zigzaggen we weer in de file en tussen de rijen voor de loketten. Natuurlijk is bij onze kassa altijd de papierrol op en blijken we achter een toerist te staan die geen kleingeld op zak heeft en geen Nederlands spreekt. En de trein vertrekt alleen dan op tijd wanneer wij een minuutje verlaat zijn. Over de psychologie van het wachten zijn hele verhandelingen te houden. Het is vooral een kwestie van beleving. De tijdschriften bij de kapper of het aperitiefje in het restaurant kunnen ertoe bijdragen dat men niet het idee heeft zijn tijd te verdoen. Maar de irritatie komt ook voort uit machteloosheid, uit het gevoel te zijn overgeleverd aan 'het systeem'. Niet weten bijvoorbeeld hoelang het nog gaat duren. In Londen is sinds een jaar of zes op bushaltes te lezen wanneer de volgende bus er aankomt. Enig effect op de wachttijden heeft dat niet gehad: die is nog steeds zo'n minuut of vijf. Maar vroeger dachten de Londenaren dat ze wel twaalf minuten stonden te wachten en sinds de meldingen zijn het er voor hun gevoel nog maar achteneenhalf. Ook pretparken hebben hun wachtrijen, maar daar heeft men de zaak omgedraaid en van de nood een deugd gemaakt. In het hoogseizoen staan bezoekers van de Efteling een groot deel van hun tijd in de rij voor de Python of andere topattracties. Markeringen langs de route geven aan hoe lang het nog wachten is. Hier heeft iedereen juist prima uitzicht op wat komen gaat. Soms zijn er voorprogramma's om de gasten in de goede stemming te brengen. En dat werkt: 85 procent vindt de attracties een wachttijd van soms anderhalf uur de moeite waard. Sterker nog, bij een vergelijkbaar Brits pretpark vond men de attracties mét wacht-voorpret leuker dan zonder. Alle psychologische verhandelingen draaien om die ene brandende vraag heen: waarom moeten wij überhaupt wachten? Waarom zorgt zo'n supermarkt of postkantoor niet gewoon voor voldoende kassa's of loketten? Men houdt daar toch wel bij hoeveel klanten per uur binnenkomen, en hoeveel tijd ieder vraagt? Stel dat een klant gemiddeld drie minuten nodig heeft; dan kan een lokettist er twintig per uur bedienen. Als er tweehonderd klanten per uur zijn, heb je dus aan tien loketten voldoende. Tenminste, dat zou je denken. Maar deze aanpak is een gegarandeerd recept voor lange wachtrijen, leert de queueing theory, de wiskunde van wachten. Een vreemd vakgebied waarin de intuïtie het regelmatig moet afleggen tegen de logica. Terug naar de wachtende rij van het postkantoor. De gestaag doorwerkende lokettist bedient twintig klanten per uur. Zoveel klanten komen er gemiddeld ook binnen, maar ze komen niet exact om de drie minuten. Bovendien zijn sommigen na een halve minuut al geholpen terwijl de eerder genoemde toerist tien minuten nodig heeft. Gevolg: het ene moment zijn er geen klanten en zit de brave medewerker uit zijn neus te peuteren en juist als die toerist aan de beurt is, komt er een groepje klanten. Er ontstaat een niet meer weg te werken rij - de lokettist kan zijn neuspeuter-minuutjes niet meer inhalen. Dat kan hij echter wel als de manager van het postkantoor daar tijd voor reserveert, als hij extra mensen aan het werk zet. Dus niet, bij tweehonderd klanten per uur, tien loketten van twintig per uur, maar bijvoorbeeld twaalf loketten. Daarmee verschaft hij de lokettisten adempauzes. Als de lokettist structureel pauzes krijgt ingelast tussen twee klanten, heeft hij niet alleen de mogelijkheid wachtrijen weg te werken, maar kan de klant ook variëren. Zoals gezegd, als Universiteit van Amsterdam 1 Operationele Research & Management
3 iedereen op gezette tijden zou komen en evenveel servicetijd vroeg, waren er geen wachtrijen. Die ontstaan door de variaties. Maar zolang de klant tijdens pauzes van de lokettist arriveert, is hij meteen aan de beurt. En de pauzes staan ook toe dat klanten meer servicetijd dan gemiddeld vragen. Hoe groter de pauzes, des te groter is de kans dat de wachtrijen uitblijven. Een paar jaar geleden besloot de PTT om in de hoofdpostkantoren het systeem van afzonderlijke rijen voor afzonderlijke loketten af te schaffen. Dat leidde maar tot frustratie en ergernis: die andere rij die altijd sneller ging en die vervelende klant die voortdurend wisde. Tegenwoordig is er nog maar één wachtrij. Klanten trekken nummertjes en wie aan de beurt is, voegt zich bij het loket dat zojuist is vrijgekomen. Dat is eerlijker, vond de PTT. Iedereen wordt in volgorde van binnenkomst behandeld en er is geen snellere rij. Bovendien lijkt één lange rij sneller op te schieten. Het is echter de vraag of het ook daadwerkelijk sneller gaat. Bij een experiment op een postkantoor in Schiedam werden de klanten in vijf groepen ingedeeld: korte en lange geldhandelingen, korte en lange posthandelingen en andere handelingen. Iedereen trok nummertjes voor zijn 'eigen' loket, met die nuancering dat als één loket tijdelijk geen clientèle had, de medewerkers ook andere rijen zouden bedienen. In het één-rij-systeem was de wachttijd gemiddeld ruim vier minuten. Volgens (wachttijd)analyse kon iedereen erop vooruitgaan: de meesten een paar seconden tot een minuutje, maar de grote groep klanten met korte geldtransacties opnemen en storten zou al na anderhalve minuut weer buiten staan. Hoe kan dit? Laat U meenemen in de intrigerende wiskunde van het wachten. Prof. dr. N.M. van Dijk Wachten!!! AAAARGH!!! Onderzoek (NIPO) wijst uit dat wachten ergernis nummer 1 is. Waar(op) moeten we al niet wachten: In postkantoren / banken In het ziekenhuis / op artsen In het verkeer (files) Informatie nummers In de supermarkt Op de levering van een nieuwe auto Bij reisorganisaties In pretparken Op vrienden Universiteit van Amsterdam 2 Operationele Research & Management
4 Psychologische factoren De belangrijkste psychologische factoren die een rol spelen bij wachten zijn: Eerlijkheid (één rij systeem, geen voordringen, dus iedereen dezelfde gemiddelde wachttijd) Informatie (nog 78 wachtenden voor u, de trein komt over 10 minuten) Animatie (omgeving, muziek, literatuur, TV-scherm) Iets te doen hebben (neem een boek mee) Bezorgdheid (bij de dokter, mis ik nu niet mijn aansluiting) Deze psychologische factoren beïnvloeden echter alleen de beleving tijdens het wachten maar niet de wachttijd zelf. Daarvoor zijn kwantitatieve factoren van belang. Kwantitatieve factoren Waarom moet er überhaupt gewacht worden? Er is toch voldoende capaciteit. Hoe kun je wachttijd verkorten? Wachten kan in essentie verklaard worden met behulp van onderstaande twee kwantitatieve factoren. 1. Capaciteit 2.variabiliteit Universiteit van Amsterdam 3 Operationele Research & Management
5 Capaciteit Wachttijd formules Voor de meest eenvoudige situatie van een enkel loket gelden de volgende formules voor de gemiddelde verblijf- en wachttijd: W q: gemiddelde wachttijd W: gemiddelde verblijftijd (= W q + S) met 1 F W= en W q = S C A 1 F S: gemiddelde bedieningstijd F: gemiddelde bezettingsgraad (= A / C) A: gemiddeldeaantal aankomsten per minuut C: bedieningscapaciteit (voltooiingen) per minuut De afleiding van deze formules is in onderstaand kader te vinden. Wachttijd voorbeeld I Één server (loket) Random aankomsten A (per 10 min) Één minuut gemiddelde servicetijd per klant (S = 1 minuut) A W W q F % % % % % % Universiteit van Amsterdam 4 Operationele Research & Management
6 Wachten op één bediende D e formule voor de wachttijd, of preciezer de verblijfstijd (= wachttijd + bedieningstijd), voor een faciliteit met een bediende luidt: Waarbij: 1 W = C A W: gemiddelde verblijftijd in minuten per klant, A: aantal klanten dat per minuut arriveert, C: bedieningscapaciteit (aantal bedieningen dat gemiddeld maximaal voltooid kan worden) per minuut. Hierbij wordt natuurlijkerwijze verondersteld dat A < C. de formule is volledig gebaseerd op gemiddelden A en C en doet een uitspraak over de gemiddelde verblijfstijd W. Bij een gemiddelde aankomstintensiteit van 9 klanten per 10 minuten en een gemiddelde bedieningstijd van 1 minuut per klant geldt: A = 0.9 en C = 1 zodat W = 1 / (1-0.9) = 10 minuten. In dit vrij realistische geval waarbij de bediende voor 90% van zijn tijd met werk belast is, geldt dus dat een klant voor 1 minuut bediening 9 minuten moet wachten. Een formele afleiding van de wachttijdformule vereist in feite een nadere bespreking van impliciet veronderstelde zogenaamde exponentiële randomness alsmede stellingen uit de kansrekening. Een intuïtief inzichtelijk bewijs is echter vrij eenvoudig te geven. Essentieel hiertoe is de beroemde formule van Little: L = A x W L: gemiddeld aantal klanten dat zich in het systeem bevindt Deze relatie is eenvoudig in te zien als men L als werklast opvat en A als in- of outputintensiteit. Bijvoorbeeld, als gemiddeld per week A = 100 patiënten het ziekenhuis ingaan (en dus ook verlaten) en de gemiddelde verblijfsduur per patiënt W = 2.5 weken bedraagt, dan zullen op een willekeurig moment gemiddeld L = = 250 patiënten in het ziekenhuis verblijven. Voor de afleiding van de wachttijdformule merk nu vervolgens op dat een arriverende klant moet wachten totdat alle aanwezige klanten, L, geholpen zijn. De totale verblijfstijd, inclusief zijn eigen bediening, bedraagt voor een zojuist gearriveerde klant dus: (Uit natuur en Techniek, december 1996, door prof. dr N.M. van Dijk) Met W = (L+1) S S: gemiddelde bedieningsduur per klant = (A W + 1) S. S = 1/C en F = A S F: de aangeboden werklast per minuut = bezettingsgraad geldt dus: W = A W S + S = F W + S Omdat F = A / C < 1 als fractie kan worden gezien, geldt eveneens: W = F x W + (1- F) x W, Als men de laatste twee gelijkheden vergelijkt, blijkt dus dat van de totale verblijfstijd W slechts de fractie (1-F) wordt besteed aan de eigen bedieningstijd S, zoals ook in het rekenvoorbeeld met A = 0.9 en C = 1 en dus F = 0.9 (90%). Oftewel, S / W = 1-F. Omgezet betekent dit: Voor W q : volgt nu S 1 / C 1 W= = = 1 - F 1 - A/ C C-A Samenvattend: de gemiddelde wachttijd (de q staat voor queue) 1 A Wq = W S = W = C C( C A) 1 A/ C F = = S C (1 A/ C) 1 F 1 F L = AW, W = en Wq = S C A 1 F Dus de bezettingsgraad F leidt tot een vergrotingsfactor F / ( 1- F) voor de gemiddelde wachttijd W q t.o.v. de gemiddelde bedieningstijd S. Universiteit van Amsterdam 5 Operationele Research & Management
7 Variabiliteit Wachttijd voorbeeld II Dit voor beeld illustreert het effect van variabiliteit in tussenaankomsttijden. Zo kan men terecht afvragen waarom zich bij een loket in bijvoorbeeld een postkantoor wachtrijen voordoen indien er gemiddeld per 5 minuten 4 klanten arriveren en elke klant gemiddeld 1 minuut bedieningstijd vergt. Er zou gemiddeld gezien zelfs nog één klant bij kunnen. Een eerste inzicht in deze vraagstelling wordt verschaft in Kader 1 aan de hand van drie situaties. Situatie 1 Veronderstel dat de klanten precies na 1.15 minuut van elkaar binnenkomen en dat de bedieningstijd van elke klant exact 1 minuut bedraagt. In dit geval bedraagt de gemiddelde wachttijd W = 0 minuten. Situatie 2 Veronderstel dat de klanten onafhankelijk van elkaar, dus at random arriveren, zodat met gerede kans twee klanten binnen 1 minuut van elkaar kunnen arriveren. Met nog steeds een bedieningstijd van exact 1 minuut zal in een dergelijk geval minstens één van de klanten op de voorganger moeten wachten zodat in ieder geval W > 0 (in dit specifieke geval kan bepaald worden dat W = 2 minuten) als gevolg van de variatie (variabiliteit) in de tussen aankomsttijden. Situatie 3 Indien naast de tussenaankomsttijden ook de bedieningstijden zelf, zoals natuurlijkerwijze, variaties vertonen zal de verwachte wachttijd toenemen naarmate deze variaties sterker zijn ondanks gelijkblijvende gemiddelden. (Bij zogenaamde exponentiele bedieningstijden zoals standaard in de wachttijdtheorie gebruikt- zou die gemiddelde wachttijd in dit geval W = 4 minuten bedragen.) Kort samengevat: Één server (loket) Aankomsten: 4 klanten per 5 minuten Één minuut gemiddelde servicetijd per klant 1. Aankomsten precies na 1.25 minuten W q = 0 minuten (D / D / 1 model) Servicetijd precies 1 minuut 2. Aankomsten random (willekeurig) W q = 2 minuten (M / D / 1 model) Servicetijd precies 1 minuut 3. Aankomsten random (willekeurig) W q = 4 minuten (M / M / 1 model) Servicetijd: exponentieel Conclusie: De essentie van wachttijden is gelegen in de variabiliteit in aankomstpatronen en serviceduren. Een voorbeeld waarmee dit nog sterker kan worden geïllustreerd is het voorbeeld van een bushalte. Universiteit van Amsterdam 6 Operationele Research & Management
8 Busvoorbeeld Stel 3 bussen per uur langs een bushalte Veronderstel dat bij een bushalte gemiddeld per uur 3 bussen arriveren. Gevraagd naar de gemiddelde wachttijd bij aankomst op een willekeurig moment is het intuïtief voor de hand liggende antwoord: 10 minuten. Deze 10 minuten zullen echter alleen met de werkelijkheid overeenkomen indien de bussen strikt om de twintig minuten arriveren. Bij de minst mogelijke variatie in tussenaankomsttijden, daarentegen, is het enige juiste antwoord: in ieder geval méér dan 10 minuten. Het bekende gevoel dat de bus altijd langer op zich laat wachten dan men mocht verwachten, blijkt wiskundig verklaarbaar. Stel bijvoorbeeld, puur fictief, dat twee op de drie bussen reeds na drie minuten arriveren, maar één op de drie pas na 54 minuten, dus gemiddeld nog steeds om de 20 minuten. Een statistisch representatieve situatie is dan bijvoorbeeld een opeenvolging van tussenaankomsttijden voor 6 bussen van 3, 54, 3, 54, 3, 3 minuten (dus nog steeds gemiddeld 20) Bij aankomst in een kort tusseninterval zal de gemiddelde wachttijd 1 ½ minuut zijn, terwijl dit voor een lang tijdsinterval de gemiddelde wachttijd 27 minuten bedraagt. Alleen is de kans om in zo n lang interval te arriveren is aanzienlijk groter, 18 keer om precies te zijn. Aldus wordt de gemiddelde wachttijd 2 * 3/60 * 1 ½ + 54/60 * 27 = 25 minuten. Samenvattend De gemiddelde wachttijd is precies 10 minuten als de bussen strikt om de 20 minuten aankomen. Als de bussen volgens een andere dienstregeling rijden dan zal 100% zeker de gemiddelde wachttijd > 10 minuten zijn. Universiteit van Amsterdam 7 Operationele Research & Management
9 Enkele wachttijdmodellen Onderstaand figuur bevat wachttijdformules voor de volgende modellen M/M/1, M/D/1 en M/M/s. M / M /1 model M / D/1 model M / M / s model 2 2 Lq = Lq = Lq = ( grafiek) µ ( µ ) 2 µ ( µ ) L= L= Lq + L= Lq + µ µ µ Lq Wq = Wq = Wq = µ ( µ ) 2 µ ( µ ) W = W = Wq + W = Wq + µ µ µ ρ = ρ = ρ = µ µ s µ n ( µ ) ( µ ) P = 1 n Legenda : aankomstintensiteit (= A in het 1-loket model) µ: bedieningscapaciteit per server (= C in het 1-loket model) s: aantal ingezette servers W q : gemiddelde wachttijd W: gemiddelde doorlooptijd (verblijftijd) L q : gemiddeld aantal klanten in de wachtrij L: gemiddeld aantal klanten in het systeem ρ: efficiëntie van het systeem (= F) P n : kans op n klanten Tevens geldt altijd: W = W q + 1/µ L q = W q L = W Universiteit van Amsterdam 8 Operationele Research & Management
10 Opdrachten Opgave 1 Een 0900-informatielijn dient te worden geopend. De vaste all-in kosten, inclusief de loonkosten, voor een benodigde telefonist, bedragen 60,- p.u. De gemiddelde gespreksduur is 3 minuten. Door de aanschaf van speciale script programmatuur kan deze worden teruggebracht tot 2½ minuut per gesprek. Tijdens het wachten en het in gesprek zijn worden de telefoonkosten doorberekend tegen 5,- per uur. Adviseer over de al dan niet te gebruiken programmatuur tegen 20,- per uur als het aantal telefoontjes op 18 per uur wordt geschat. Opgave 2 Door toenemende groei in de luchtvaart wordt de aanleg van een nieuwe landingsbaan overwogen. Omdat de extreme kosten voor de aanleg van deze baan een belangrijke factor spelen, worden ook de wacht kosten van vliegtuigen in aanmerking genomen. Het gemiddelde brandstof verbruik per minuut voor een wachtend (rondcirkelend) vliegtuig bedraagt 40 liter tegen 0,50 per liter. De gemiddelde landingsduur, inclusief opvolgtijd i.v.m. veiligheidsmaatregelen, kan gesteld worden op 3 minuten. Alleen de 3 piekuren (hubs) per dag worden in acht genomen en andere kosten (personeel, goodwill) worden buiten beschouwing gelaten. a) Bepaal de met deze landingsbaan gepaard gaande landingskosten op jaarbasis bij een verwachte vluchtintensiteit gedurende piekuren van 5 vluchten per uur 10 vluchten per uur 15 vluchten per uur 17 vluchten per uur 18 vluchten per uur b) De aanlegkosten van een tweede (vijfde) baan worden geraamd op 30 miljoen Euro. Deze dienen in 10 jaar terugverdiend te zijn, waarbij de opbrengsten van een vlucht buiten beschouwing worden gelaten. Bij welke drukte prognose voor de komende 10 jaar (constant verondersteld gedurende 10 jaar) zou U de aanleg van een tweede baan adviseren? Universiteit van Amsterdam 9 Operationele Research & Management
11 Opgave 3 De polikliniek van Medisch Centrum West heeft thans één arts voor niet-urgente patiënten. Dergelijke patiënten komen at random binnen volgens gemiddeld 2 ½ per uur en vereisen een behandelingstijd van gemiddeld 20 minuten. 1. Bepaal de gemiddelde tijd die en patiënt moet wachten voordat hij behandeld wordt, indien de behandelingsduur exponentieel wordt verondersteld. Wat is het aantal patiënten dat gemiddeld aanwezig is, hetzij in behandeling dan wel wachtend? 2. Men overweegt een tweede en eventueel zelfs eren derde arts toe te voegen om de wachttijden terug te brengen. Vergelijk m.b.v. onderstaand figuur, daartoe de wachttijden in elk van de drie gevallen. 3. De salariskosten per arts bedragen 200,- per uur. De kosten van wachten als maat voor goodwill en toekomstige clientèle (zie Elsevier, juni 1995) worden geschat op 75,- per patiënt per uur. Breng op basis van een kostenvergelijking uw advies uit. Universiteit van Amsterdam 10 Operationele Research & Management
Stochastische Modellen in Operations Management (153088)
S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
Nadere informatieWachten in de supermarkt
Wachten in de supermarkt Rik Schepens 0772841 Rob Wu 0787817 22 juni 2012 Begeleider: Marko Boon Modelleren A Vakcode: 2WH01 Inhoudsopgave Samenvatting 1 1 Inleiding 1 2 Theorie 1 3 Model 3 4 Resultaten
Nadere informatieStochastische Modellen in Operations Management (153088)
S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html
Nadere informatiePracticum wachtrijtheorie
SPM0001 1e week Technische Bestuurskunde Woensdag 5 september 2012, 10:30 12:30 uur Plaats: TBM begane grond (zalen B, C, D1, D2, computerzaal A en studielandschap) Practicum wachtrijtheorie Het practicum
Nadere informatieWachten of niet wachten: Dat is de vraag
Wachten of niet wachten: Dat is de vraag Sindo Núñez-Queija Centrum voor Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Wachten of niet wachten: Dat is de vraag Wanneer heeft u voor het laatst
Nadere informatieModel: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2.
Het M/G/1 model In veel toepassingen is de aanname van exponentiële bedieningstijden niet realistisch (denk bijv. aan produktietijden). Daarom zullen we nu naar het model kijken met willekeurig verdeelde
Nadere informatieEindexamen wiskunde A 1-2 havo 2002-II
Wereldrecords nattigheid Wie loopt de 5000 meter in de kortste tijd? Die atleet mag zich wereldrecordhouder op de 5000 meter noemen. Op welke plaats op aarde valt in een regenbui van 7 uur het meeste water?
Nadere informatieHoofdstuk 20 Wachtrijentheorie
Hoofdstuk 20 Wachtrijentheorie Beschrijving Iedereen van ons heeft al tijd gespendeerd in een wachtrij: b.v. aanschuiven in de Alma restaurants. In dit hoofdstuk onwikkelen we mathematische modellen voor
Nadere informatieExamen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit
Nadere informatieWe zullen de volgende modellen bekijken: Het M/M/ model 1/14
De analyse en resultaten van de voorgaande twee modellen (het M/M/1/K model en het M/M/1 model) kunnen uitgebreid worden naar modellen met meerdere bediendes. We zullen de volgende modellen bekijken: Het
Nadere informatieS n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.
VERNIEUWINGSPROCESSEN In hoofdstuk 3 hebben we gezien wat een Poisson proces is. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson proces met intensiteit λ (notatie P P (λ)) is een stochastisch proces {N(t),
Nadere informatieWACHTRIJMODELLEN. aankomstproces van klanten; wachtruimte (met eindige of oneindige capaciteit); bedieningsstation (met één of meerdere bediendes).
Verschillende soorten toepassingen WACHTRIJMODELLEN alledaagse toepassingen; toepassingen uit produktieomgeving; toepassingen in de communicatiesfeer. Typische onderdelen van een wachtrijmodel aankomstproces
Nadere informatieWaarom wachten voor verkeerslichten? Inhoud 2/16/2010. Introductie Wachtrijtheorie Simpel model: een opengebroken weg
Waarom wachten voor verkeerslichten? Marko Boon Nationale Wiskunde Dagen 2010 Inhoud Introductie Simpel model: een opengebroken weg Met vaste afstellingen Met dynamische afstellingen Ingewikkeldere kruispunten
Nadere informatieUitwerkingen oefenopdrachten WEX6
Uitwerkingen oefenopdrachten WEX6 Marc Bremer August 9, 2009 Serie : Wachttijdtheorie Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van
Nadere informatieWACHTRIJMODELLEN. aankomstproces van klanten; wachtruimte (met eindige of oneindige capaciteit); bedieningsstation (met één of meerdere bediendes).
Verschillende soorten toepassingen WACHTRIJMODELLEN alledaagse toepassingen; toepassingen uit produktieomgeving; toepassingen in de communicatiesfeer. Typische onderdelen van een wachtrijmodel aankomstproces
Nadere informatieWachtrijtheorie. Hester Vogels en Franziska van Dalen. 11 juni 2013
Wachtrijtheorie Hester Vogels en Franziska van Dalen 11 juni 2013 1 1 Inleiding Een mens wacht gemiddeld 15.000 uur in zijn leven. Dit is bijvoorbeeld in de rij bij de kassa van een winkel, aan de telefoon
Nadere informatieDe Wachttijd-paradox
De Wachttijd-paradox Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Mastercourse 15 november 25 Peter Spreij spreij@science.uva.nl 1 Het probleem In deze mastercourse behandelen
Nadere informatieStochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Operations Management (53088) S S Ack X ms X ms S0 40 ms R R R3 L L 0 ms 0 ms D0 Internet D D Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 9 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/53088/53088.html
Nadere informatieEindexamen wiskunde A 1-2 havo 2002-II
Wereldrecords nattigheid Wie loopt de 5000 meter in de kortste tijd? Die atleet mag zich wereldrecordhouder op de 5000 meter noemen. Op welke plaats op aarde valt in een regenbui van 7 uur het meeste water?
Nadere informatieInleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 M/M/1/N Afsluiti.
11 juni 2013 Maartje van de Vrugt, CHOIR Wat is het belang van wachtrijtheorie? Inleiding Modelmatige beschrijving Kansverdelingen Het overgangsdiagram De stellingen van Little M/M/1 Evenwichtskansen Wachtrij
Nadere informatieStochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Operations Management (53088) S S Ack X ms X ms S0 40 ms R R R3 L L 0 ms 0 ms D0 Internet D D Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 9 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/53088/53088.html
Nadere informatieWaarom kleintjes niet altijd voor moeten gaan (maar vaak wel)
Waarom kleintjes niet altijd voor moeten gaan (maar vaak wel) Sindo Núñez Queija Universiteit van Amsterdam & Centrum voor Wiskunde en Informatica + Maaike Verloop en Sem Borst OVERZICHT: Wachtrijen en
Nadere informatieDeeltentamen Vraag 1 (0.25 punten) Vraag 2 (0.25 punten) Vraag 3 (0.25 punten) Vraag 4 (0.25 punten) *-vragen ( relatief simpel 2 punten)
Deeltentamen 2013 *-vragen ( relatief simpel 2 punten) Vraag 1 (0.25 punten) In wachtrijtheorie (blz. 226) wordt het symbool λ gebruikt voor: A. De gemiddelde tijd tussen twee aankomsten B. Het gemiddeld
Nadere informatieBenaderingen voor wachttijden in k-gelimiteerde polling modellen
TU/e Technische Universiteit Eindhoven Bachelor technische wiskunde Bachelor project 28 januari 2016 Benaderingen voor wachttijden in k-gelimiteerde polling modellen Auteur: Iris Theeuwes 0828283, i.theeuwes@student.tue.nl
Nadere informatieBouwplaat. Datastructuren Opgave 6, Voorjaar
1 Achtergrond Bouwplaat Datastructuren Opgave 6, Voorjaar 2016 1 Het bedrijf Mijn Bouwplaat BV levert gepersonaliseerde bouwplaten Klaar terwijl u wacht. Nadat klanten thuis een ontwerp hebben gemaakt
Nadere informatieEindexamen wiskunde A 1-2 havo 2002-II
Eindexamen wiskunde A - havo 00-II 4 Antwoordmodel Wereldrecords nattigheid De bui duurde 5 minuten De hoeveelheid regen is ongeveer 8 inch het antwoord 0 ( 0,3 0,3) Bij 000 minuten hoort volgens de grafiek
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A1,2
wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 2 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor
Nadere informatieS n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.
HET POISSON PROCES In veel praktische toepassingen kan het aaankomstproces van personen, orders,..., gemodelleerd worden door een zogenaamd Poisson proces. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson
Nadere informatieTEST 1: Eerst denken of eerst doen? Kruis steeds het antwoord aan dat het best bij jou past. Probeer zo eerlijk mogelijk te antwoorden.
TEST 1: Eerst denken of eerst doen? Kruis steeds het antwoord aan dat het best bij jou past. Probeer zo eerlijk mogelijk te antwoorden. 5. Onderweg naar een feestje doe je nog even snel een boodschap.
Nadere informatieEindexamen wiskunde A 1-2 havo 2005-I
Er zijn nog drie wachtenden voor u Een callcenter verleent telefonische diensten voor bedrijven, zoals het opnemen van bestellingen of het afhandelen van vragen. Het telefoontjes en de gespreksduur per
Nadere informatieNETWERKEN VAN WACHTRIJEN
NETWERKEN VAN WACHTRIJEN Tot nog toe keken we naar wachtrijmodellen bestaande uit 1 station. Klanten komen aan bij het station,... staan (al dan niet) een tijdje in de wachtrij,... worden bediend door
Nadere informatieWACHTTIJDTHEORIE. Rob Bosch. Jan van de Craats
WACHTTIJDTHEORIE Rob Bosch Jan van de Craats Inhoudsopgave 1 Het Poissonproces 1 1.1 De Poissonverdeling......................... 2 1.2 Voorbeelden.............................. 4 1.3 Van binomiaal naar
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei totale examentijd 3 uur
wiskunde A1 Examen VWO - Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei totale examentijd 3 uur 20 05 Vragen 1 tot en met 13 In dit deel staan de vragen waarbij de computer niet
Nadere informatieEindexamen wiskunde A havo 2011 - I
Zuinig rijden Tijdens rijlessen leer je om in de auto bij foto 20 km per uur van de eerste naar de tweede versnelling te schakelen. Daarna ga je bij 40 km per uur naar de derde versnelling, bij 60 km per
Nadere informatiemei 16 19:37 Iedere keer is de groeifactor gelijk. (een factor is een getal in een vermenigvuldiging)
Wiskunde 3VWO Hoofdstuk 8 par 8.1 par 8.2 Procenten en groeifactoren Niet par 8.3 Periodieke verbanden par 8.4 Machtsfuncties par 8.5 Grafieken veranderen par 8.6 Extreme waarden mei 16 19:37 Maandag zitten
Nadere informatieo Dit tentamen bestaat uit vier opgaven o Beantwoord de opgaven 1 en 2 enerzijds, en de opgaven 3 en 4 anderzijds op aparte vellen papier
Toets Stochastic Models (theorie) Maandag 22 rnei 2OL7 van 8.45-1-1-.45 uur Onderdeel van de modules: o Modelling and analysis of stochastic processes for MATH (20L400434) o Modelling and analysis of stochastic
Nadere informatieWelke Wiskunde moet ik kiezen?
Welke Wiskunde moet ik kiezen? Welke Wiskundes zijn er? Welke Wiskunde past bij mij? Welke Wiskunde heb ik nodig? Welke Wiskunde kan ik op het Erasmiaans volgen? Welke Wiskundes zijn er? Wiskunde A Wiskunde
Nadere informatieMoney Management. Wat is nodig om uitzonderlijke rendementen te behalen? Gebruikersbijeenkomst 16 november 2005
Money Management Gebruikersbijeenkomst 16 november 2005 Wat is nodig om uitzonderlijke rendementen te behalen? Superiour timing Veel discipline Goed money management.. 1 Zet de volgende items in volgorde
Nadere informatieMaak Bezorging Op Dezelfde Dag Winstgevend Zodat U Kunt Concurreren Met De Besten
Maak Bezorging Op Dezelfde Dag Winstgevend Zodat U Kunt Concurreren Met De Besten Copyright Route4Me Inc. Doen De Eisen Van Klanten Een Aanslag Op Uw Bedrijf Extreme Eisen: De eisen van klanten zijn uitgegroeid
Nadere informatieCONSTANT ONDERHANDEN WERK ZORGT VOOR STABIELE DOORLOOPTIJDEN
CONSTANT ONDERHANDEN WERK ZORGT VOOR STABIELE DOORLOOPTIJDEN Klanten verwachten tegenwoordig een grotere leverbetrouwbaarheid, tegen lagere kosten, met betere kwaliteit en dat allemaal tegelijk. Diegenen
Nadere informatieCompex wiskunde A1-2 vwo 2004-I
KoersSprint In deze opgave gebruiken we enkele Excelbestanden. Het kan zijn dat de uitkomsten van de berekeningen in de bestanden iets verschillen van de exacte waarden door afrondingen. Verder kunnen
Nadere informatiePARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN Dr. Luc Gheysens SPELEN MET ONEINDIG Historische nota De Griekse filosoof Zeno (ca. 90-0 v. Chr.) bedacht een aantal paradoen om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde A1 (nieuwe stijl)
Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 28 mei 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen; het examen bestaat uit
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A1
wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor
Nadere informatieLaurentius Cliëntenpanel Onderzoek bereikbaarheid. Cliëntenraad Laurentius Ziekenhuis
Laurentius Cliëntenpanel Onderzoek bereikbaarheid Cliëntenraad Laurentius Ziekenhuis Rapportage auteur: Jos Beerens / november 2013 Respons Respons: 69% Laurentius Cliëntenpanel: Onderzoek bereikbaarheid
Nadere informatieExamen HAVO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit 20
Nadere informatieLaurentius Cliëntenpanel Onderwerp: Ontvangst en beleving. Cliëntenraad Laurentius Ziekenhuis, februari 2016
Laurentius Cliëntenpanel Onderwerp: Ontvangst en beleving Cliëntenraad Laurentius Ziekenhuis, februari 2016 Respons 67% 33% Ingevuld 67% Niet ingevuld Welke aspecten vindt u belangrijk bij een prettige
Nadere informatieU leert in deze les "toestemming vragen". Toestemming vragen is vragen of u iets mag doen.
TOESTEMMING VRAGEN les 1 spreken inleiding en doel U leert in deze les "toestemming vragen". Toestemming vragen is vragen of u iets mag doen. Bij toestemming vragen is het belangrijk dat je het op een
Nadere informatiede aanbieding reclame, korting De appels zijn in de a Ze zijn vandaag extra goedkoop.
Woordenlijst bij hoofdstuk 4 de aanbieding reclame, korting De appels zijn in de a Ze zijn vandaag extra goedkoop. alleen zonder andere mensen Hij is niet getrouwd. Hij woont helemaal a, zonder familie.
Nadere informatieDurft u het risico aan?
Durft u het risico aan? Hoe het uitkeringspercentage van de vernieuwde Nederlandse Lotto te schatten? Ton Dieker en Henk Tijms De Lotto is in Nederland een grote speler op de kansspelmarkt. Met onderdelen
Nadere informatieb. de aantallen aankomsten in disjuncte tijdsintervallen zijn onafhankelijk van elkaar
APPENDIX: HET POISSON PROCES Een stochastisch proces dat onlosmakelijk verbonden is met de Poisson verdeling is het Poisson proces. Dit is een telproces dat het aantal optredens van een bepaalde gebeurtenis
Nadere informatieOnderzoek De keuzes in een keuzemenu
Onderzoek De keuzes in een keuzemenu Inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 Voorwoord 3 1 Categorie Klantherkenning 4 1.1 Telefonisch keuzemenu 4 1.2 Spraakgestuurd 5 2 Categorie Attitude/Inrichting 6 2.1 Volgorde
Nadere informatie1. De benodigde hoeveelheid arbeidskrachten blijft gelijk. 2. De opbrengst voor komend jaar moet meer dan 140 miljoen euro bedragen.
Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van bijlessen en trainingen in de exacte vakken, van VMBO tot universiteit. Zowel voor individuele
Nadere informatieExamen HAVO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.30 16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen; het examen bestaat uit 19
Nadere informatieExamen HAVO. Wiskunde A1,2
Wiskunde A1,2 Examen AVO oger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 1.0 16.0 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed
Nadere informatieExamen HAVO. Wiskunde A1,2
Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieAan de Schrans in Leeuwarden is één van de meest opvallende orthodontiepraktijken. van Noord-Nederland gevestigd. Daarin werkt
Aan de Schrans in Leeuwarden is één van de meest opvallende orthodontiepraktijken van Noord-Nederland gevestigd. Daarin werkt orthodontist Daniël van der Meulen samen met veertien assistentes intensief
Nadere informatieLIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS
LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over limietgedrag van continue-tijd Markov ketens. Stelling: Een irreducibele, continue-tijd Markov keten met toestandsruimte S = {1, 2,..., N}
Nadere informatieMARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN?
MARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN? KARMA DAJANI In deze lezing gaan we over een bijzonder model in kansrekening spreken Maar eerst een paar woorden vooraf Wat doen we
Nadere informatie6.1 Wat doet de senior bij een plotse verslechtering van de gezondheid? Meerdere mogelijkheden konden aangekruist worden.
40 6. Gezondheid. 6.1 Wat doet de senior bij een plotse verslechtering van de gezondheid? Meerdere mogelijkheden konden aangekruist worden. Ik heb daar nog niet over nagedacht. 148x Ik vraag raad aan mijn
Nadere informatie6.1 De Net Promoter Score voor de Publieke Sector
6.1 De Net Promoter Score voor de Publieke Sector Hoe kun je dienstverleners het beste betrekken bij klantonderzoek? Ik ben de afgelopen jaren onder de indruk geraakt van een specifieke vorm van 3 e generatie
Nadere informatieReserveringssystemen
I. Verstraten Reserveringssystemen Bachelorscriptie, 26 juli 203 Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave Inleiding 3 2 Twee systemen 4 2. Zonder
Nadere informatieVEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN
VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN 4 Soorten berekeningen 12 AUGUSTUS 2013 IR. PAUL DURLINGER Durlinger Consultancy Management Summary In dit paper worden vier methoden behandeld om veiligheidsvoorraden te
Nadere informatieTabel 1: De bijdrage van RtHA aan de regionale economie op basis van 2,4 miljoen passagiers
Prognose 2020 Door Alexander Otgaar, RHV Erasmus Universiteit Rotterdam Diverse studies zijn in het verleden uitgevoerd met als doel om de economische bijdrage van Rotterdam the Hague Airport (hierna aan
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A (pilot) tijdvak 1 woensdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 2011 tijdvak 1 woensdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde A (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Nadere informatieMilieustraat Project Modelleren C
Den Dolech 2, 5612 AZ Eindhoven Postbus 513, 5600 MB Eindhoven www.tue.nl Auteur Wouter van der Heide & Thomas Beekenkamp ID (resp.): 0739052 & 0743557 Begeleider: J.A.C. Resing Opdrachtgever: M. Boon
Nadere informatieWerkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA)
Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA) Theorie In werkblad 1 heb je geleerd dat krachten een snelheid willen veranderen. Je kunt het ook omdraaien, als er geen kracht werkt, dan verandert
Nadere informatieLaurentius Cliëntenpanel Informatievoorziening en openingstijden. Cliëntenraad Laurentius Ziekenhuis
Laurentius Cliëntenpanel Informatievoorziening en openingstijden Cliëntenraad Laurentius Ziekenhuis Rapportage auteur: Jos Beerens / juni 2014 Respons Respons: 67% 33% 67% ingevuld niet ingevuld Laurentius
Nadere informatieWerkdocument Hotel t Koningsbed Versie 16 mei 2012
Werkdocument Hotel t Koningsbed Versie 16 mei 2012 1 Inleiding 1.1 Achtergrond Hotel Het Koningsbed is gelegen aan de Prinsenlaan te Groenekan. Het is een van oorsprong agrarisch bedrijf, waar enkele jaren
Nadere informatieR.B. Kappetein. Callcenters. Bachelorscriptie, 5 juli 2011. Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
R.B. Kappetein Callcenters Bachelorscriptie, 5 juli 2011 Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding: callcenters met ongeduldige klanten
Nadere informatieGaat het nu wat beter, dokter? Oratie prof.dr.ir. Erwin W. Hans
Gaat het nu wat beter, dokter? Oratie prof.dr.ir. Erwin W. Hans Hoogleraar Operations Management in Healthcare CTIT onderzoekscentrum CHOIR Wachtlijsten 2 Heb jij geen wachtlijst?? dan ben jij vast geen
Nadere informatieOMNIBUSENQUETE 2012. Deelrapport: elektrisch rijden. Mei 2013. Simon Arndt, Directie BV, afdeling FB/Onderzoek en Statistiek
Omnibusenquête 2012 deelrapport elektrisch rijden OMNIBUSENQUETE 2012 Deelrapport: elektrisch rijden Mei 2013 Samenstelling rapport: Enquête-organisatie In opdracht van: Josée Boormans, Directie BV, afdeling
Nadere informatieBEREIKBAARHEID ZANDVOORT TIJDENS DTM RACES
BEREIKBAARHEID ZANDVOORT TIJDENS DTM RACES Het DTM Circus is voor de negende maal op rij aanwezig op Circuit Park Zandvoort. Ook dit jaar wordt de nodige drukte weer verwacht. Gelukkig zijn er meerdere
Nadere informatiePersoneelsplanning in een schoolkantine
Personeelsplanning in een schoolkantine BWI werkstuk Januari 212 Petra Vis Begeleider: prof. dr. R.D. van der Mei Vrije Universiteit Faculteit der Exacte Wetenschappen Bedrijfswiskunde en Informatica De
Nadere informatieEindexamen wiskunde A havo 2000-I
Opgave 1 Seychellenzangers Seychellenzangers zijn kleine vogeltjes die nauwelijks kunnen vliegen. Rond 1968 kwamen ze alleen nog voor op het eilandje Cousin in de Indische Oceaan. Hun aantal was zo klein
Nadere informatieHawk update zondag 26 oktober
Hawk update zondag 26 oktober Deze update is in alle opzichten een vervolg op de vorige editie. In Update 5 sprak ik over drie zaken: de pilot van het project; het eerste signaal wat gebruikt zou worden
Nadere informatiep j r j = LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over het limietgedrag van continue-tijd Markov ketens formuleren.
LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over het limietgedrag van continue-tijd Markov ketens formuleren. Stelling: Een irreducibele, continue-tijd Markov keten met toestandsruimte S
Nadere informatieLaurentius Cliëntenpanel Bejegening en gastvrijheid Cliëntenraad Laurentius Ziekenhuis
Laurentius Cliëntenpanel Bejegening en gastvrijheid Cliëntenraad Laurentius Ziekenhuis Rapportage auteur: Jos Beerens / augustus 2014 Respons Respons 62% 38% 62% ingevuld niet ingevuld Bent u als bezoeker
Nadere informatieOCV trucks. Een lange natte en winderige winter is net voorbij en iedereen is dan ook weer blij.
OCV trucks Oldtimer Contactgroep Veluwe Stroe, april 2016 Verslag van de lenterit 2016. Een lange natte en winderige winter is net voorbij en iedereen is dan ook weer blij. Wat duurt dan zo n winterperiode
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen VWO 2015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde C (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde C (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Nadere informatieHoofdstuk 7. Elektronische dienstverlening en website
Hoofdstuk 7. Elektronische dienstverlening en website Samenvatting Van de Leidenaren heeft inmiddels 95% de beschikking over internet. Ruwweg betekent dit dat vrijwel alle Leidenaren tot 65 jaar over internet
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 2 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 009 tijdvak dinsdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieBEREIKBAARHEID ZANDVOORT TIJDENS A1GP World Cup of Motorsport
BEREIKBAARHEID ZANDVOORT TIJDENS A1GP World Cup of Motorsport De A1GP World Cup of Motorsport is een van de grootste evenementen op Circuit Park Zandvoort. Ook dit jaar wordt de nodige drukte weer verwacht.
Nadere informatieWachtrijen; statistiek voor de onderbouw havo/vwo en vmbo
Wachtrijen; statistiek voor de onderbouw havo/vwo en vmbo Inleiding Bert Zwaneveld 1 We spreken in het onderwijs over statistiek, maar misschien is statistisch modelleren een betere benaming. Bij modelleren
Nadere informatieExamen HAVO. tijdvak 1 vrijdag 19 mei uur
Examen HAVO 2017 tijdvak 1 vrijdag 19 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde A Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1 vwo 2002-I
Vogels die voedsel zoeken Vogels die voedsel zoeken op de grond vertonen vaak een karakteristiek patroon van lopen en stilstaan. In figuur 1 is dit patroon voor twee vogelsoorten schematisch weergegeven.
Nadere informatieVan mij. Een gezicht is geen muur. Jan Bransen, Universiteit Utrecht
[Gepubliceerd in Erik Heijerman & Paul Wouters (red.) Praktische Filosofie. Utrecht: TELEAC/NOT, 1997, pp. 117-119.] Van mij Een gezicht is geen muur Jan Bransen, Universiteit Utrecht Wij hechten veel
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Wiskunde B (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 9 punten te behalen; het eamen bestaat uit 7 vragen. Voor
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde A (oude stijl)
Wiskunde A (oude stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen.
Nadere informatieExamen H111 Verkeerskunde Basis
pagina 1 van 5 Examen H111 Verkeerskunde Basis Katholieke Universiteit Leuven Departement Burgerlijke Bouwkunde Datum: donderdag 30 augustus 2001 Tijd: 8u30 11u30 Instructies: Er zijn 5 vragen; start de
Nadere informatieBacheloropdracht 2012/2013 Het bloed beter laten stromen
Bacheloropdracht 202/203 Het bloed beter laten stromen Leerstoel Stochastic Operation Research Universiteit Twente Studenten: Edwin Booltink s960692, Rien Lagerwerf s006665, Yvonne Prins s03785. Begeleiders:
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde A1 (nieuwe stijl)
Wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.30 16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit
Nadere informatieLes 4: Les conversatie + grammatica Nederlands Conversatie Les 2 A-klas
Les 4: Les conversatie + grammatica Nederlands Conversatie Les 2 A-klas Leraar: Dag Jef. Jef: Dag mevrouw. Hoe gaat het met u? Leraar: Goed, dank je. En met jou? Jef: Ook goed. ----------- Mark: Hallo
Nadere informatieVIER IN EEN RIJ. Voorronde opdracht van de 24 e Wiskunde Alympiade
VIER IN EEN RIJ Voorronde opdracht van de 24 e Wiskunde Alympiade 16 November 2012 1 Colofon De Wiskunde Alympiade is een initiatief van het Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht De Alympiade commissie
Nadere informatieVragen die je wilt beantwoorden zijn:
Net als bij een discrete-tijd Markov keten is men bij de bestudering van een continue-tijd Markov keten zowel geïnteresseerd in het korte-termijn gedrag als in het lange-termijn gedrag. Vragen die je wilt
Nadere informatieTen slotte wens ik je veel plezier bij het lezen. Hopelijk geeft het de kennis en de inspiratie om ook zelf met je kinderen aan de slag te gaan!
inleiding Voor al mijn kinderen schrijf ik hun ontwikkelingen op in een schrift. Ik schrijf op wanneer en hoelang ze sliepen, wat ze aten, hoe ze speelden en hoe we samen de dag doorbrachten. Dat lijkt
Nadere informatieZo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door
APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1
Nadere informatieGelukkig ondanks pijn: een online behandelprogramma voor mensen die lijden aan fibromyalgie of andere vormen van chronische pijn
Gelukkig ondanks pijn: een online behandelprogramma voor mensen die lijden aan fibromyalgie of andere vormen van chronische pijn Algemene informatie Dag in dag uit geconfronteerd worden met aanhoudende
Nadere informatieLes 35. Een nieuw paspoort
http://www.edusom.nl Thema Het stadhuis Les 35. Een nieuw paspoort Wat leert u in deze les? Informatie over het aanvragen en verlengen van uw paspoort of identiteitskaart. Vragen stellen bij het loket.
Nadere informatie