Benaderingen voor wachttijden in k-gelimiteerde polling modellen

Transcriptie

1 TU/e Technische Universiteit Eindhoven Bachelor technische wiskunde Bachelor project 28 januari 2016 Benaderingen voor wachttijden in k-gelimiteerde polling modellen Auteur: Iris Theeuwes , Begeleider: M.A.A. Boon

2 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Modelbeschrijving M/G/1 wachtrijsysteem Het k-gelimiteerde vakantiemodel Het k-gelimiteerde polling model Het k-gelimiteerde polling model met twee rijen Het k-gelimiteerde polling model met N rijen Benaderingen k-gelimiteerde vakantie model Lineaire benadering Parabolische benadering Benadering met behulp van een hogere-machtsfunctie Exponentiële benadering k-gelimiteerde polling-model met twee rijen Benadering van de wachttijden voor rij Wachttijden voor rij k-gelimiteerde polling-model met N rijen Resultaten Vakantie model Exponentiële B en S Deterministische B en S Polling model met twee rijen Wachttijden van rij Wachttijden van rij Conclusie en discussie 36 A Simulatie 38 B Wiskundige afleiding 40 B.1 Het k-gelimiteerde vakantiemodel B.1.1 Light Traffic B.1.2 Lineaire benadering B.1.3 Parabolische benadering B.1.4 Benadering met behulp van een hogere-machtsfunctie B.1.5 Exponentiële benadering B.2 Het k-gelimiteerde polling model met twee rijen B.2.1 Light Traffic B.2.2 Benaderingen voor de wachttijden in rij C Relatieve afwijkingspercentage 46 C.1 Vakantie model C.1.1 Exponentiële B en S

3 C.1.2 Deterministische B en S D Code 48 2

4 1 Inleiding Het doel van dit project is om een goede benadering te vinden voor de wachttijden van klanten in k-gelimiteerde polling modellen. Een polling model bestaat uit N wachtrijen en slechts één server. De server bedient de rijen één voor één. Als de server een bepaalde rij bediend heeft, switcht deze naar de volgende rij. Het switchen van de server naar een andere rij kost een bepaalde tijd, de zogenoemde switch-over tijd. K-gelimiteerd staat er voor dat de server per rij een maximaal aantal klanten bedient. Polling modellen hebben veel toepassingen, onder andere in computernetwerken, in productieomgevingen waar één machine verschillende producten maakt, en in het wegverkeer waar de doorstroom van het verkeer geregeld wordt door verkeerslichten. In Figuur 1 is een polling model met 2 rijen schematisch weergegeven. Figuur 1: Polling model met twee rijen Een polling model met 2 rijen kan in de toepassing van het wegverkeer gezien worden als een weg met verkeer dat van twee kanten kan komen en op een punt in de weg is één van de twee weghelften om een bepaalde reden geblokkeerd. Op dit punt kan dus slechts verkeer van één van beide richtingen passeren. Om ongelukken te voorkomen, wordt het verkeer op dit punt geregeld met behulp van verkeerslichten. Gedurende de tijd dat het licht op groen staat, mag een maximaal aantal bestuurders door rijden en dan springt het licht op rood. Als er al eerder geen verkeer meer op de weghelft staat, krijgt deze weghelft op dat moment al rood licht. Voor een korte tijd staan alle lichten op rood, en vervolgens krijgt de andere weghelft groen licht. Dit probleem kan uitgebreid worden met meerdere wegen die elkaar kruisen. Voor dit project zijn we met name geïnteresseerd in de wachttijden van klanten. Een exacte analyse voor de wachttijden is in veel wachtrijmodellen, onder andere in polling modellen, erg lastig, of zelfs onmogelijk. Om deze reden is het belangrijk dat er goede benaderingen ontwikkeld worden. In Hoofdstuk 2 wordt het polling model verder uitgewerkt, samen met twee andere basismodellen voor de behandeling van wachtrijen. Vervolgens worden in Hoofdstuk 3 verschillende benaderingsmodellen uitgewerkt die gebruikt gaan worden voor de benadering van wachttijden bij verschillende wachtrijmodellen. In Hoofdstuk 4 zijn de resultaten te zien en in Hoofstuk 5 worden de conclusie en discussie besproken. 3

5 2 Modelbeschrijving Hier zullen drie basismodellen besproken worden. Allereerst komt het M/G/1 wachtrijsysteem aan bod, waarin beschreven wordt hoe rijen over het algemeen behandeld worden. Vervolgens wordt een uitbreiding van een M/G/1 wachtrijsysteem besproken, waarin de server steeds na een bepaalde tijd voor een poos op vakantie gaat, het vakantiemodel. Dit model is een logische stap in de richting van het polling model, welke tot slot aan bod komt. Aangezien we willen kijken naar een functie voor de wachttijden afhankelijk van λ, zal de aankomstintensiteit λ gevarieerd worden, terwijl de andere parameters constant blijven. Om deze reden wordt ook bij ieder model aangegeven wat de maximale waarde is die λ aan kan nemen. Deze maximale waarde wordt λ genoemd. 2.1 M/G/1 wachtrijsysteem De notatie M/G/1 wordt Kendall s notatie genoemd en wordt gebruikt voor de classificatie van wachtrijtypes. De eerste letter in deze notatie geeft aan welke verdeling de tussenaankomsttijden hebben. De M geeft aan dat deze verdeling exponentieel is. De tweede letter geeft de verdeling van de bedieningstijden. De G geeft aan dat hier een willekeurige verdeling voor gebruikt kan worden. De 1 geeft aan dat er slechts één server is. De M/G/1 wachtrij is dus een systeem met één rij, waarin klanten arriveren volgens een Poisson proces met intensiteit λ. De server bedient de klanten één voor één. Dit is schematisch weergegeven in Figuur 2. De bedieningstijden B zijn identiek verdeeld en onderling onafhankelijk. De tijd vanaf het moment dat de klant in het systeem aankomt, totdat deze bedient wordt, wordt de wachttijd W genoemd. De rijlengte wordt genoteerd als N. Zo lang er klanten in het systeem zijn, is de server klanten aan het bedienen. Om ervoor te zorgen dat de wachtrijen niet oneindig lang worden, moet het systeem stabiel zijn. Voor een stabiel systeem moet de server niet meer hoeven te bedienen dan dat mogelijk is. De fractie van de totale tijd dat de server bezig is, wordt gegeven door ρ = λe[b]. Om de stabiliteit van het systeem te garanderen, moet er gelden dat ρ < 1. In dit geval geldt dat λ < 1 E[B]. De maximale waarde die λ aan kan nemen wordt λ genoemd, en dus λ = 1 E[B]. Figuur 2: M/G/1 wachtrij In de literatuur is er al veel bekend over dit wachtrijsysteem. Zo is er een gesloten uitdrukking voor E[W ] en E[N]. Zoals eerder vermeld, zijn we in dit project geïnteresseerd in de wachttijden van klanten. De gesloten uitdrukking voor de wachttijden van klanten in een M/G/1 4

6 wachtrijsysteem, wordt gegeven door: E[W ] = ρ 1 ρ E[Bres ] (1) In dit systeem kan een klant namelijk binnen komen als er geen andere klanten in het systeem staan, of gedurende de bediening van een andere klant. In het eerste geval wordt de klant meteen in bediening genomen. Als een klant binnenkomt gedurende de bediening van een andere klant, moet de klant de resterende duur van de bediening van die klant afwachten en de bedieningstijden van eventuele andere klanten die al in de rij staan te wachten. Deze tijd duurt E[L]E[B]. Hierbij is L het aantal wachtende klanten. De verwachting van de resterende duur van stochast X wordt genoteerd als E[X res ], en E[X res ] = Var[X]+(E[X])2 2E[X]. Verder geldt dat P[aankomst tijdens bediening] = ρ. Voor de gemiddelde wachttijd van een klant geldt dan: E[W ] = ρe[b res ] + E[L]E[B] Waarin E[L] = λe[w ] = ρe[w ] E[B], volgens Little s Law. [2] Hieruit kan de gesloten uitdrukking voor de wachttijden van klanten verkregen worden. 2.2 Het k-gelimiteerde vakantiemodel Een vakantiemodel bestaat, net zoals de M/G/1 wachtrij, uit één wachtrij en één server. De aankomst van klanten is ook weer een Poisson proces met aankomstintensiteit λ. Figuur 3: Vakantiemodel De service is k-gelimiteerd, dat wil zeggen dat de server per bedieningsperiode maximaal k klanten bedient met onderling onafhankelijke en identiek verdeelde bedieningstijd B. Na de bediening van deze k klanten, of als het systeem leeg is, gaat de server op vakantie. Dit is schematisch weergegeven in Figuur 3. De lengte van deze vakantie S heeft een algemene verdeling en is onafhankelijk van alle andere variabelen in het systeem. Gedurende een vakantieperiode worden geen klanten bediend. De periode dat de server achtereenvolgens aan het bedienen is, wordt de visitperiode V genoemd. Verder staat W voor de wachttijd van een willekeurige klant. Een cyclus bestaat uit een bedieningsperiode en een vakantieperiode. 5

7 Voor de cyclustijd C geldt E[C] = E[S] (1 ρ). Klanten kunnen tijdens iedere cyclus binnenkomen gedurende de visitperiode of gedurende de vakantieperiode, zie Figuur 4. Figuur 4: Een cyclus in een vakantie model Ook bij dit model moet voor een stabiel systeem gelden dat ρ < 1. Bovendien moet gelden dat het totaal aantal aangekomen klanten in een cyclus niet meer is dan het maximaal aantal klanten dat per cyclus geholpen kan worden, dus λe[c] k. Hieruit volgt een beperking voor de aankomstintensiteit λ: λ 1 E[B]+ E[S] k. Deze bovengrens voor λ wordt λ genoemd. Voor het vakantiemodel is er geen expliciete, gesloten uitdrukking meer voor E[W ]. Wel kan gekeken worden naar wat er gebeurt in het geval van Light Traffic en in het geval van Heavy Traffic. Light Traffic is de situatie waarin er nauwelijks verkeer arriveert. Heavy Traffic is de situatie waarin het model zwaar belast is en er dus erg veel verkeer arriveert. De verwachte wachttijden in het geval van Light Traffic en Heavy Traffic worden genoteerd als E[W LT ] en E[W HT ] respectievelijk. In Hoofdstuk 3 zal aan de hand van E[W LT ] en E[W HT ] gekeken worden naar verschillende benaderingsmodellen voor E[W ]. Light Traffic (λ 0) E[W LT ] = ρe[b res ] + E[S res ] + O(ρ 2 ) (2) Tijdens Light Traffic geldt dat λ 0, en dus ook ρ 0. In Sectie B.1.1 staan de kansen dat een klant in een bepaalde periode binnenkomt in het vakantiemodel en de bijbehorende E[W ], tijdens Light Traffic. Hiermee is E[W LT ] bepaald. Heavy Traffic (λ λ ) E[W HT 1 ] = lim λ λ ( λ λ )( (λ ) 2 (Var[B] + Var[S] )) (3) k Dit volgt uit de Heavy Traffic limiet die gegeven is door Tedijanto (1990). 6

8 2.3 Het k-gelimiteerde polling model Een polling model is een systeem met meerdere rijen (N rijen) en één server. Klanten komen aan volgens een Poisson proces met aankomstintensiteit λ i (i = 0, 1,..., N) en gaan in rij i staan. De server bedient de verschillende rijen één voor één. Dit is schematisch weergegeven in Figuur 5. Figuur 5: Polling model Ook in dit model bedient de server maximaal per rij een k i aantal klanten met onderling onafhankelijke en identiek verdeelde bedieningstijd B i,j, met i = 1,..., N en j is de index van een klant in de rij. V i is de visitperiode van rij i, met V i = n j B i,j. Hierbij is n het aantal klanten dat gedurende die periode bediend is en n k i. Na de bediening van deze k i klanten, of als de rij eerder leeg is, switcht de server naar de volgende rij. Het switchen naar een andere rij kost tijd, de switch-over tijd S i, met i = 1,..., N. Deze is algemeen verdeeld en onafhankelijk van alle andere variabelen in het systeem. In het geval van de verkeerslichten, kan dit gezien worden als het voor een poosje tegelijkertijd op rood staan van alle verkeers- i=1 S i. Verder geldt nog dat lichten. Bovendien geldt dat ρ i = λ i E[B i ], ρ = N i=1 ρ i, S = N E[V i ] = ρ i E[C i ] en E[C i ] = E[S] N rijen te zien. 1 ρ. In Figuur 6 is een cyclus van rij 1 in een polling model met Figuur 6: Een cyclus in een polling model Voor een stabiel systeem moet ook voor dit model gelden dat ρ < 1 en dat het totaal aantal aangekomen klanten in een cyclus in een bepaalde rij niet meer is dan het maximaal aantal klanten dat per cyclus geholpen kan worden, dus λ i E[C i ] k i. Uit deze laatste eis volgt ook weer een beperking voor de aankomstintensiteit λ i : λ i 1 j i ρ j. Deze bovengrens voor λ i 7 E[B i ]+ E[S] k i

9 wordt λ i genoemd. Ook voor dit model is er nog geen expliciete, gesloten uitdrukking voor E[W ]. Om deze reden willen we weer gaan kijken naar E[W LT ] en E[W HT ], om vervolgens aan de hand hiervan naar verschillende benaderingsmodellen voor E[W ] te gaan kijken. Voor een polling model met twee rijen zijn E[W LT ] en E[W HT ] voor beide rijen bekend. Voor een polling model met meer dan twee rijen, is E[W HT ] niet meer voor alle rijen bekend. Er is voor de analyse van de pollingmodellen dan ook een onderscheid gemaakt tussen polling modellen met twee rijen, en polling modellen met N > 2 rijen Het k-gelimiteerde polling model met twee rijen Een klant kan in dit model binnen komen gedurende de visitperiode van de rij waarin deze binnenkomt, de switchperiode van de rij waarin deze binnenkomt, de visitperiode van de andere rij, of de switchperiode van de andere rij. Dit is te zien in Figuur 7. Figuur 7: Een cyclus van een polling model met twee rijen Er wordt gekeken naar de gevallen, waarin niet beide rijen tegelijkertijd instabiel worden. Dit wordt gedaan, omdat er anders niets bekend is over de limiet in het geval van Heavy Traffic. Één van de twee rijen wordt dus eerder instabiel dan de andere. Zonder verlies van algemeenheid wordt er van uitgegaan dat dit rij 2 is. Als dit niet het geval is worden de rijen omgewisseld. Bij de onderstaande verwachte wachttijden, wordt dan ook aangenomen dat de klant in rij 2 aankomt. Als dit rij 1 zou zijn, zou het bepalen van de verwachte wachttijden op een gelijke manier gaan, maar dan omgekeerd. Hiervoor geldt dan dat: λ 1 E[C] < k 1 en λ 2 E[C] > k 2 E[C] < k 1 λ 1 en E[C] > k 2 k 2 λ 2 < E[C] < k 1 k 2 λ 2 < k 1 λ 1 λ 1 k 1 < λ 2 k 2 λ 1 λ 2 In deze sectie wordt er van uitgegaan dat λ 1 en λ 2 beide stijgen van 0 tot λ 1 en λ 2 respectievelijk. De verhouding tussen λ 1 en λ 2 is echter constant. λ 1 en λ 2 worden gedefinieerd als fracties van één λ die opgehoogd wordt, namelijk: λ 1 = ˆλ 1 λ λ 2 = ˆλ 2 λ 8

10 Waarbij ˆλ 1 + ˆλ 2 = 1 en λ stijgt van 0 tot λ en λ = min(λ 1 (1 + ˆλ 2 ˆλ 1 ), λ 2 (1 + ˆλ 1 ˆλ 2 )). λ 1 (1 + ˆλ 2 ) is nameljk de plaats waar rij 1 instabiel wordt en λ ˆλ 1 2 (1 + ˆλ 1 )) is de plaats waar rij ˆλ 2 2 instabiel wordt. Om er in dit geval voor te zorgen dat rij 2 onstabiel wordt, moet gelden dat λ 2 (1 + ˆλ 1 ) < λ ˆλ 2 1 (1 + ˆλ 2 ). ˆλ 1 λ 1 en λ 2 volgen uit de stabiliteitseis, gegeven in Sectie 2.3. Deze zijn respectievelijk: 1 en 1 λ E[B 2 ]+ ˆ 1. λ ˆ E[B 1 ]+ E[S] 2 k 2 λ E[B 1 ]+ ˆ 2 λ ˆ E[B 2 ]+ E[S] 1 k 1 Light Traffic (λ 0) Voor de wachttijd moet onderscheid gemaakt worden in k = 1 en k > 1, aangezien voor k = 1 de kans erg groot is dat er al een andere klant geholpen is in V 2 gedurende die cyclus en de klant dus een cyclus moet wachten. E[W2 LT ] = E[S res ]+ρe[b res ]+(ρ ρ 2 )(E[S] E[S res ])+ 1 { E[S] ρ 1Var[S 2 ]+O(ρ 2 ρ2 E[S] als k = 1 )+ 0 als k > 1 In Sectie B.2.1 staan de kansen om tijdens verschillende perioden binnen te komen en de bijbehorende E[W 2 ] in Light Traffic. Hiermee is E[W2 LT ] bepaald. Bovendien zijn in die Sectie de afleidingen van E[W2 LT ] verder uitgewerkt. Heavy Traffic (λ λ ) Boon en Winands (2014) hebben de verwachting van de Heavy Traffic limiet bepaald van de E[S] geschaalde rijlengte (1 u 2 )N 2, waarin u 2 = ρ+λ 2 k 2 en voor Heavy Traffic geldt dat u 2 1. Aangezien we in dit project geïnteresseerd zijn in de wachttijden en niet in de rijlengtes, moet deze omgeschreven worden. Dit wordt gedaan door gebruik te maken van Little s Law voor wachtrijsystemen (Adan & Resing, 2002). Er volgt dan dat: E[N 2 ] = λ 2 (E[W 2 ] + E[B 2 ]), en dus: (1 u 2 )E[N 2 ] = (1 u 2 )λ 2 (E[W 2 ] + E[B 2 ]), oftewel: (1 u 2 )E[N 2 ] = (1 u 2 )λ 2 E[W 2 ] + (1 u 2 )λ 2 E[B 2 ]. E[B 2 ] is constant, λ 2 is begrensd en E[W 2 ] wordt erg groot tijdens Heavy Traffic. (1 u 2 ) 0 voor u 2 1. Dus (1 u 2 )λ 2 E[B 2 ] 0 in Heavy Traffic, maar (1 u 2 )λ 2 E[W 2 ] niet. Hieruit volgt dat: lim u2 1(1 u 2 )E[N 2 ] = lim u2 1(1 u 2 )λ 2 E[W 2 ], oftewel: lim λ λ ( ˆλ 2 (E[B 2 ] + ˆλ 1 E[B ˆλ 1 ] + E[S] 2 k 2 ))(λ λ)e[n 2 ] = 9

11 lim λ λ ( ˆλ 2 (E[B 2 ] + ˆλ 1 ˆλ 2 E[B 1 ] + E[S] k 2 ))(λ λ)λ 2 E[W 2 ]. Definieer verder: E[B i ] = E[B i] + E[S] k i Var[B i ] = Var[B i] + Var[S] k i Dit in combinatie met de gevonden verwachting van de Heavy Traffic limiet door Boon en Winands (2014), geeft dat: lim λ λ ( ˆλ 2 (E[B 2 ] + ˆλ 1 E[B ˆλ 1 ]))(λ λ)λ 2 E[W HT ] = lim λ λ 2(E[B 2 ])(λ 1(Var[B 1 ] + (E[B 1 ]) 2 ) + λ 2 (Var[B 2 ] + (E[B 2 ])2 )) Beide kanten delen door ( ˆλ 2 (E[B 2 ] + ˆλ 1 ˆλ 2 E[B 1 ]))λ 2 geeft: lim λ λ (λ λ)e[w HT 2 ] = lim λ λ (E[B 2 ])2 )) 1 2λ 2 ( ˆλ 2 (E[B 2 ]+ λ ˆ 1 ˆ λ 2 E[B 1 ]))(E[B 2 ]) (λ 1 (Var[B 1 ]+(E[B 1 ]) 2 )+λ 2 (Var[B 2 ]+ Hierbij ingevuld dat λ 1 = ˆλ 1 λ en λ 2 = ˆλ 2 λ en beide kanten delen door (λ λ), geeft: E[W HT 2 ] = lim λ λ (E[B 2 ])2 )) 1 1 (λ λ) 2( ˆλ 2 ) 2 λ (E[B 2 ]+ λ ˆ 1 ˆ λ 2 E[B 1 ])(E[B 2 ]) ( ˆλ 1 λ (Var[B 1 ]+(E[B 1 ]) 2 )+ ˆλ 2 λ (Var[B 2 ]+ Aangezien aangenomen wordt dat rij 2 instabiel wordt, geldt dat λ = λ 2 (1+ ˆλ 1 ˆλ 2 ) = Hierbij is λ 2 de limiet voor λ 2, uitgedrukt in ˆλ 1 en ˆλ 2. λ 1+ ˆ 1 λ ˆ 2 λˆ 1. λ ˆ E[B 1 ]+E[B 2 ]+ E[S] 2 k Het k-gelimiteerde polling model met N rijen Bij het polling model met N rijen wordt er steeds vanuit gegaan dat rij N eerst instabiel wordt, vervolgens rij N 1 enzovoorts. Bovendien wordt ervan uitgegaan dat de aankomst intensiteiten van alle rijen stijgen. De verhoudingen tussen de aankomstintensiteiten is echter constant. Net als bij het polling model met twee rijen wordt λ i gedefinieerd als een fractie van een algemene λ die opgehoogd wordt, namelijk: λ i = ˆλ i λ, waarbij N ˆλ i=1 i = 1. λ stijgt van 0 tot λ, waarbij λ = min i (λ i (1 + ˆλ j i j )). ˆλ i λ i volgt uit de stabiliteitseis gegeven in Sectie 2.3, λ i = 1 j i ρ j E[B i ]+ E[S] k i. Light Traffic (λ 0) 10

12 Op een zelfde manier als bij het k-gelimiteerde polling-model met 2 rijen, kan bij het model met N rijen ook E[W LT ] bepaald worden (Boon, 2011). Er volgt dan dat: E[Wi LT ] =E[S res ] + ρe[b res ] + (ρ ρ i )(E[S] E[S res ])+ i+n 1 1 E[S] k=i+1 Var[S j ] + O(ρ 2 ) + ρ k k 1 j=1 { ρi E[S] als k = 1 0 als k > 1 Heavy Traffic λ λ Op een zelfde manier als bij het k-gelimiteerde polling-model met 2 rijen, kan bij het model met N rijen ook lim λ λ E[WN HT ] bepaald worden. Er volgt dan dat: E[WN HT 1 ( N 1 i=1 ] = lim λ λ (λ λ) ˆλ i λ (Var[B i ] + (E[B i ]) 2 ) + λ ˆ N λ (Var[B N ] + (E[B N ])2 )) 2( λ ˆ N ) 2 λ (E[B N ] + N 1 ˆλ i i=1 λˆ E[B i ])(E[B N N ]) Als rij N instabiel is geworden, worden tijden V N steeds k N klanten bediend. Het systeem gaat zich dan gedragen als een polling model met N 1 rijen met een extra lange switch. Hierdoor zijn de wachttijden voor dit systeem lastig te analyseren. 11

13 3 Benaderingen Om een zo goed mogelijke benadering te vinden voor de wachttijden van klanten in het vakantiemodel en het pollingmodel, is gekeken naar verschillende benaderingsmodellen. De benaderingsmodellen waar naar gekeken zal worden, zijn de lineaire benadering, parabolische benadering, hogere-orde benadering, positief exponentiële benadering en negatief exponentiële benadering. De wachttijden van klanten zijn verkregen door een simulatie, waarbij de aankomstintensiteit λ van klanten steeds opgehoogd wordt van 0 (Light Traffic) tot λ (Heavy Traffic). Het verloop van E[W ], waarbij λ op deze manier wordt verhoogd, is schematisch weergegeven in Figuur 8. Figuur 8: Wachttijden van klanten, waarbij 0 λ < λ. Bovendien is te zien waar sprake is van Light Traffic(LT) en waar sprake is van Heavy Traffic (HT) Allereerst is gekeken naar het geval, waarin B en S exponentieel verdeeld zijn met bepaalde verwachtingswaarden. Vervolgens is gekeken naar het geval, waarin B en S deterministisch verdeeld zijn, aangezien dit meer overeen komt met de werkelijkheid. Om te bepalen hoe goed de benadering is, wordt gekeken naar een relatieve afwijkingspercentage, die berekend wordt met de formule 1 n n i=1 d i E[W i ] 100%, waarbij n het aantal stappen is waarin λ opgehoogd wordt van 0 tot λ, d i het absolute verschil tussen de benaderde wachttijd en de gesimuleerde wachttijd is en E[W i ] de gesimuleerde wachttijd is. De coëfficiënten van de benaderingsfuncties zijn gevonden, door te kijken wat er gebeurt in het geval van Light Traffic en in het geval van Heavy Traffic. Bij iedere benadering worden de vorm van de benadering en de bijbehorende coëfficiënten gegeven. In Bijlage B wordt de afleiding van iedere benaderingsfunctie gegeven. 12

14 3.1 k-gelimiteerde vakantie model Allereerst is gekeken naar een benadering van de wachttijden van de klanten in een k- gelimiteerd vakantie model. In deze sectie worden de coëfficiënten gegeven van verschillende benaderingsfuncties voor de wachttijden in dit model. De coéfficiënten zijn verkregen door de functies te laten voldoen aan de Light Traffic en Heavy Traffic limieten. Bij de parabolische benadering en de benadering met behulp van een hogere-machtsfunctie zijn de O(ρ) termen in Light Traffic ook meegenomen om de richting van de functie in Light Traffic vast te leggen. De afleidingen van de benaderingsfuncties zijn gegeven in Sectie B Lineaire benadering De eerste benadering waar naar gekeken wordt, is van de vorm W lin (λ) = A+Dλ λ λ. A = λ E[S res ] Parabolische benadering D = 1 2λ + λ Var[S] (Var[B] + ) E[S res ] 2 k De tweede benadering waar naar gekeken wordt, is van de vorm W par (λ) = A+Dλ+Eλ2 λ λ. A = λ E[S res ] D = λ 2 ((E[B])2 + Var[B]) E[S res ] E = 1 2(λ ) (Var[S] (E[B]) 2 ) k Benadering met behulp van een hogere-machtsfunctie De derde benadering waar naar gekeken wordt, is van de vorm W hm (λ) = A+Dλ+λE λ λ. A = λ E[S res ] 13

15 D = λ 2 ((E[B])2 + Var[B]) E[S res ] E = log( (λ )2 2 ( Var[S] k (E[B]) 2 )) log(λ ) dw (λ) Deze benadering is toepasbaar, indien E 1, aangezien dλ anders een 1 λ-term heeft en deze gaat naar voor λ 0. Als E < 0 gaat zelfs W (λ) naar voor λ 0. Om ervoor te zorgen dat E 1, moet (λ ) 2 2 ( Var[S] k (E[B]) 2 ) Exponentiële benadering De vierde benadering waar naar gekeken wordt, is van de vorm W pexp (λ) = A+Dλ λ λ. A = λ E[S res ] 1 D = ( (λ ) 2 2 Var[S] (Var[B] + ) λ E[S res ]) 1 λ k Als de benadering waar naar gekeken wordt, van de vorm W nexp (λ) = A+D λ λ λ A hetzelfde, maar: D = ( (λ ) 2 2 (Var[B] + Var[S] k ) λ E[S res ]) 1 λ. is, dan blijft Als ( (λ ) 2 2 (Var[B] + Var[S] k ) k(var[s]+(e[s])2 ) 2E[S](E[S]+kE[B]) ) < 0, dan is D complex. Om dit te voorkomen, wordt D in dat geval voor de positief exponentiële benadering: D = ( ( (λ ) 2 En voor de negatief exponentiële benadering: 2 Var[S] (Var[B] + ) λ E[S res ])) 1 λ k D = ( ( (λ ) 2 2 Var[S] (Var[B] + ) λ E[S res ])) 1 λ k 3.2 k-gelimiteerde polling-model met twee rijen In deze sectie worden de coëffiënten gegeven van verschillende benaderingsfuncties voor de wachttijden van klanten in een k-gelimiteerd polling model met twee rijen. 14

16 Allereerst wordt gekeken naar een benadering voor de wachttijden in rij 2, de rij die als eerste instabiel wordt. Vervolgens wordt gekeken naar een benadering voor de wachttijden in rij 1, de rij die als tweede instabiel wordt Benadering van de wachttijden voor rij 2 Voor de benadering van de wachttijden in rij 2, wordt ook weer gekeken naar de lineaire benadering (W lin (λ)), de parabolische benadering (W par (λ)), de hogere-orde benadering (W hm (λ)) en de exponentiële benadering (W pexp (λ) en W nexp (λ)). De afleiding van de coëfficiënten van de benaderingsfuncties gaat op een gelijke manier als bij het k-gelimiteerde vakantiemodel. De afleidingen zijn gegeven in Sectie B.2. Lineaire benadering A = λ ( E[S 2] E[S] (E[Sres 2 ] + E[S 1 ]) + E[S 1] E[S] (E[Sres 1 ])) 1 D = 2( ˆλ 2 λ ) 2 (E[B 2 ] + ˆλ ( ˆλ 1 λ (Var[B 1 ] + (E[B 1 ]) 2 )+ 1 E[B ˆλ 1 ])(E[B 2 2 ]) ˆλ 2 λ (Var[B 2] + (E[B 2]) 2 )) E[S 2] E[S] (E[Sres 2 ] + E[S 1 ]) E[S 1 ] E[S] (E[Sres 1 ]) Parabolische benadering A = λ ( E[S 2] E[S] (E[Sres 2 ] + E[S 1 ]) + E[S 1] E[S] (E[Sres 1 ])) D =λ (( ˆλ 1 E[B 1 ] + ˆλ 2 E[B 2 ])E[B res ] + ˆλ 1 E[B 1 ](E[S] + E[S res ]) + 1 E[S] ˆλ 1 E[B 1 ]Var[S 2 ]) E[S 2 ] E[S] (E[Sres 2 ] E[S 1 ]) + E[S { 1] λ ˆλ2 E[S] als k = 1 E[S] (E[Sres 1 ]) + 0 als k > 1 1 E = 2( ˆλ 2 ) 2 (λ ) 3 (E[B 2 ] + ˆλ ( ˆλ 1 λ (Var[B 1 ] + (E[B 1 ]) 2 ) + ˆλ 2 λ (Var[B 1 2] + (E[B 2]) 2 )) E[B ˆλ 1 ])(E[B 2 2 ]) (( ˆλ 1 E[B 1 ] + ˆλ 2 E[B 2 ])E[B res ] + ˆλ 1 E[B 1 ](E[S] + E[S res ]) + 1 E[S] ˆλ 1 E[B 1 ]Var[S 2 ]) + { ˆλ2 E[S] als k = 1 0 als k > 1 15

17 Benadering met behulp van een hogere-machtsfunctie A = λ ( E[S 2] E[S] (E[Sres 2 ] + E[S 1 ]) + E[S 1] E[S] (E[Sres 1 ])) D =λ (( ˆλ 1 E[B 1 ] + ˆλ 2 E[B 2 ])E[B res ] + ˆλ 1 E[B 1 ](E[S] + E[S res ]) + 1 E[S] ˆλ 1 E[B 1 ]Var[S 2 ]) E[S 2 ] E[S] (E[Sres 2 ] E[S 1 ]) + E[S { 1] λ ˆλ2 E[S] als k = 1 E[S] (E[Sres 1 ]) + 0 als k > 1 E = 1 log(λ ) (log( 1 2( ˆλ 2 ) 2 λ (E[B 2 ] + ˆλ ( ˆλ 1 λ (Var[B 1 ] + (E[B 1 ]) 2 )+ 1 E[B ˆλ 1 ])(E[B 2 2 ]) ˆλ 2 λ (Var[B 2] + (E[B 2]) 2 )) (λ ) 2 (( ˆλ 1 E[B 1 ] + ˆλ 2 E[B 2 ])E[B res ] + ˆλ 1 E[B 1 ](E[S] + E[S res ])+ { 1 E[S] ˆλ ˆλ2 E[S] als k = 1 1 E[B 1 ]Var[S 2 ] + 0 als k > 1 ))) dw (λ) Deze benadering is toepasbaar, indien E 1, aangezien dλ anders een 1 λ-term heeft en deze gaat naar voor λ 0. Als E < 0 gaat zelfs W (λ) naar voor λ 0. Exponentiële benadering A = λ ( E[S 2] E[S] (Var[S 2] + (E[S 2 ]) 2 + E[S 1 ]) + E[S 1] 2E[S 2 ] E[S] (Var[S 1] + (E[S 1 ]) 2 )) 1 2E[S 1 ] D =( 1 2( ˆλ 2 ) 2 λ (E[B 2 ] + ˆλ 1 ˆλ 2 E[B 1 ])(E[B 2 ]) ( ˆλ 1 λ (Var[B 1 ] + (E[B 1 ]) 2 ) + ˆλ 2 λ (Var[B 2] + (E[B 2]) 2 )) λ ( E[S 2] E[S] (Var[S 2] + (E[S 2 ]) 2 + E[S 1 ]) + E[S 1] 2E[S 2 ] E[S] (Var[S 1] + (E[S 1 ]) 2 2E[S 1 ] )) 1) 1 λ Als de benadering waar naar gekeken wordt, van de vorm W (λ) = A+D λ λ λ hetzelfde, maar: is, dan blijft A D =( 1 2( ˆλ 2 ) 2 λ (E[B 2 ] + ˆλ 1 ˆλ 2 E[B 1 ])(E[B 2 ]) ( ˆλ 1 λ (Var[B 1 ] + (E[B 1 ]) 2 ) + ˆλ 2 λ (Var[B 2] + (E[B 2]) 2 )) λ ( E[S 2] E[S] (Var[S 2] + (E[S 2 ]) 2 + E[S 1 ]) + E[S 1] 2E[S 2 ] E[S] (Var[S 1] + (E[S 1 ]) 2 2E[S 1 ] )) 1) 1 λ 16

18 1 Als ( 2( ˆλ 2 ) 2 λ (E[B 2 ]+ λ ˆ 1 ( ˆλ 1 λ (Var[B 1 ] + (E[B 1 ]) 2 ) + ˆλ 2 λ (Var[B λ ˆ E[B 1 ])(E[B 2 ]) 2 ] + (E[B 2 ])2 )) 2 λ ( E[S 2] E[S] ( Var[S 2]+(E[S 2 ]) 2 2E[S 2 ] + E[S 1 ]) + E[S 1] E[S] ( Var[S 1]+(E[S 1 ]) 2 2E[S 1 ] )) 1) < 0 dan wordt D complex. Om dit te voorkomen, wordt D in dat geval voor de positiefexponentiële benadering: D = ( ( 1 2( ˆλ 2 ) 2 λ (E[B 2 ] + ˆλ 1 ˆλ 2 E[B 1 ])(E[B 2 ]) ( ˆλ 1 λ (Var[B 1 ] + (E[B 1 ]) 2 ) + ˆλ 2 λ (Var[B 2] + (E[B 2]) 2 )) λ ( E[S 2] E[S] (Var[S 2] + (E[S 2 ]) 2 + E[S 1 ]) + E[S 1] 2E[S 2 ] En voor de negatief exponentiële benadering: E[S] (Var[S 1] + (E[S 1 ]) 2 2E[S 1 ] )) 1)) 1 λ D = ( ( 1 2( ˆλ 2 ) 2 λ (E[B 2 ] + ˆλ 1 ˆλ 2 E[B 1 ])(E[B 2 ]) ( ˆλ 1 λ (Var[B 1 ] + (E[B 1 ]) 2 ) + ˆλ 2 λ (Var[B 2] + (E[B 2]) 2 )) λ ( E[S 2] E[S] (Var[S 2] + (E[S 2 ]) 2 + E[S 1 ]) + E[S 1] 2E[S 2 ] E[S] (Var[S 1] + (E[S 1 ]) 2 2E[S 1 ] )) 1)) 1 λ Wachttijden voor rij 1 Er is aangenomen dat rij 2 eerder instabiel wordt dan rij 1. Als rij 2 instabiel wordt, worden er tijdens V 2 steeds k 2 klanten bediend. Het systeem gaat zich dan gedragen als een k-gelimiteerd vakantiemodel met V = V 1, S = S 1 = S 1 + k 2 i=1 B 2,i + S 2 en k = k 1. De cyclus van rij 1 in een polling systeem met twee rijen, in het geval rij 2 instabiel is geworden, is te zien in Figuur 9. Figuur 9: Cyclus van rij 1 in een polling systeem met twee rijen, in het geval dat rij 2 instabiel is. De gemiddelde wachttijden van rij 1 en 2 in een polling model met 2 rijen, is schematisch weergegeven in Figuur 10. De rode lijn stelt het verloop van de gemiddelde wachttijden in rij 1 voor en de zwarte lijn het verloop van de gemiddelde wachttijden in rij 2. 17

19 Figuur 10: Schematisch verloop van de wachttijden in rij 1 en 2 in een pollingmodel met 2 rijen. E[W 1 ] loopt niet geheel vloeiend door. Op het moment dat rij 2 instabiel wordt, zit er een soort knik in het verloop van de wachttijden in rij 1. Dit is weergegeven in Figuur 10. De oranje, gestippelde lijn zou het verloop van de wachttijden in rij 1 zijn, als rij 1 zich geheel als vakantiemodel zou gedragen met V = V 1, S = S 1 + k 2 i=1 B 2,i + S 2 en k = k 1. Het gearceerde gedeelte in Figuur 10 gedraagt zich als een vakantiemodel met de zojuist gegeven V, S en k. In deze sectie worden de waarden voor λ waar rij 1 en 2 instabiel worden genoteerd door Λ 1 en Λ 2 respectievelijk. Deze zijn ook weergegeven in Figuur 10. Λ 2 = λ 2 (1 + ˆλ 1 ). Dit is de plaats waar rij 2 instabiel wordt, met λ ˆλ 2 2 de maximale aankomstintensiteit in een pollingmodel met 2 rijen. Deze is gegeven in Sectie Λ 1 = λ 1 (1 + ˆλ 2 ˆλ 1 ). Dit is de plaats waar rij 1 instabiel wordt, met λ 1 = 1ˆλ1 k 1 k 1 E[B 1 ]+k 2 E[B 2 ]+E[S]. Dit is de maximale aankomstintensiteit in een vakantiemodel, gegeven in Sectie 2.2, met E[B] = E[B 1 ], E[S] = E[S 1 ] + E[S 2 ] + k 2 E[B 2 ], k = k 1. In deze sectie wordt aangenomen dat λ = Λ 1 Wachttijden in rij 1, waarbij het systeem zich gedraagt als een vakantiemodel, met V = V 1, S = S 1 + k 2 i=1 B 2,i + S 2 en k = k 1 Zoals eerder aangegeven gedraagt het polling model met twee rijen zich voor Λ 2 < λ < λ als een vakantiemodel met V = V 1, S = S 1 + k 2 i=1 B 2,i + S 2 en k = k 1. In deze paragaaf is gekeken naar de Light Traffic limiet en de Heavy Traffic limiet van de wachttijden, indien het systeem zich voor 0 λ < λ zou gedragen als een vakantiemodel met bovenstaande V, S en k. 18

20 Light Traffic E[W LT 1 ] =λ 1 E[B 1 ](E[B res 1 ] + λ 1 E[S 1]) + E[S 1 res ] + O(ρ 2 ) = λ 1 E[B 1 ](E[B res 1 ] + λ 1 (E[S 1 ] + k 2 E[B 2 ] + E[S 2 ]))+ Var[S 1 ] + k 2 Var[B 2 ] + (E[S 1 ] + k 2 E[B 2 ] + E[S 2 ]) 2 2(E[S 2 ] + k 2 E[B 2 ] + E[S 2 ]) Heavy Traffic E[W1 HT 1 ] = lim λ λ ( λ 1 λ )( (λ 1) 2 (Var[B 1 ] + Var[S 1] + Var[S 2 ] + k 2 Var[B 2 ] )) k 1 Als dit in termen van λ en λ geschreven wordt, krijgen we: E[W HT 1 ] = lim λ λ 1 (λ λ) ( 1 2 ˆλ 1 + ˆλ 1 2 (λ ) 2 (Var[B 1 ] + Var[S 1] + Var[S 2 ] + k 2 Var[B 2 ] k 1 )) Wachttijden in rij 1, waarbij het systeem zich gedraagt als een polling model met 2 rijen Voor 0 λ Λ 2 gedraagt het systeem zich gewoon als een polling model met twee rijen. Er is in deze paragraaf alleen gekeken naar de Light Traffic limiet voor de wachttijden in rij 1, aangezien het systeem zich in Heavy Traffic dus gaat gedragen als een vakantiemodel. Dit limiet is in de vorige paragraaf gegeven. Light Traffic In Light Traffic is er sprake van een polling model met twee rijen. In Sectie is E[W2 LT ] gegeven, welke in Sectie B.2 bepaald is. E[W1 LT ] gaat op op een gelijke manier. Er volgt dan dat: E[W1 LT ] = E[S res ]+ρe[b res ]+(ρ ρ 1 )(E[S] E[S res ])+ 1 { E[S] ρ 2Var[S 1 ]+O(ρ 2 ρ1 E[S] als k = 1 )+ 0 als k > 1 Benadering voor de wachttijden in rij 1 Om toch een goede benadering te vinden voor de wachttijden in rij 1, zal er eerst met behulp van W par (λ) een benaderingsformule opgesteld worden, voor het geval rij 1 zich geheel gedraagt als vakantiemodel met V = V 1, S = S 1 + k 2 i=1 B 2,i en k = k 1. Deze benaderingsfunctie wordt W vak (λ) genoemd. Vervolgens wordt met behulp van deze formule de benaderde 19

21 waarde bepaald van de wachttijd, indien λ = Λ 2. Deze waarde wordt W vak (Λ 2 ) genoemd (zie Figuur 10). Tot slot wordt met behulp van W par (λ) een benaderingsformule opgesteld voor de wachttijden van rij 1, in het geval rij 2 stabiel is, dus voor 0 λ Λ 2. Voor λ 0 gaat E[W1 LT ] naar de LT-limiet van het polling model met 2 rijen. Voor λ Λ 2 gaan de wachttijden van rij 1 naar W vak (Λ 2 ). De benaderingsfunctie die de wachttijden in rij 1 benadert voor het geval rij 1 en 2 zich gedragen als een polling model voor 0 λ < λ wordt genoteerd als W pol (λ). De benaderingsfunctie die de wachttijden in rij 1 benadert, wordt genoteerd als W ben (λ). Hierbij wordt ervan uitgegaan dat rij 1 en 2 zich gedragen als een polling model met 2 rijen voor 0 λ Λ 2 en dat rij 1 zich gedraagt als een vakantiemodel (met V = V 1 en S = S 1 + k 2 i=1 B 2,i + S 2, k = k 1 ) voor Λ 2 < λ < λ. Dus W ben (λ) = W vak (λ) voor 0 λ Λ 2 en W ben (λ) = W pol (λ) voor Λ 2 < λ < λ. Er wordt alleen gekeken naar W par (λ) als benaderingsfunctie. Rij 1 voor Λ 2 < λ < λ Voor Λ 2 < λ < λ gedraagt rij 1 zich geheel als vakantiemodel met V = V 1 en S = S 1 + k2 i=1 B 2,i + S 2, k = k 1. In een vakantiemodel met de zojuist gegeven V en B geldt: E[B] = E[B 1 ], E[S] = E[S 1 ] + E[S 2 ] + k 2 E[B 2 ], k = k 1 A = λ 2(E[S 1 ] + E[S 2 ] + k 2 E[B 2 ]) ((E[S 1] + E[S 2 ] + k 2 E[B 2 ]) 2 + Var[S 1 ] + Var[S 2 ] + k 2 Var[B 2 ]) D = ˆλ 1 λ 2 ((E[B 1]) 2 + Var[B 1 ]) 1 2(E[S 1 ] + E[S 2 ] + k 2 E[B 2 ]) ((E[S 1] + E[S 2 ] + k 2 E[B 2 ]) 2 + Var[S 1 ] + Var[S 2 ] + k 2 Var[B 2 ]) 1 E = 2 ˆλ 1 (λ ) + ˆλ (Var[S 1] + k 2 Var[B 2 ] + Var[S 2 ] (E[B 1 ]) 2 ) k 1 Rij 1 voor 0 λ Λ 2 A = λ E[S res ] D =λ (( ˆλ 1 E[B 1 ] + ˆλ 2 E[B 2 ])E[B res ] + ˆλ 2 E[B 2 ](E[S] E[S res ]) + 1 E[S] ˆλ 2 E[B 2 ]Var[S 1 ]) E[S res ]+ { λ ˆλ1 E[B 1 ]E[S] als k = 1 0 als k > 1 20

22 E =W vak (Λ 2 ) (( ˆλ 1 E[B 1 ] + ˆλ 2 E[B 2 ])E[B res ] + ˆλ 2 E[B 2 ](E[S] E[S res ]) + 1 E[S] ˆλ 2 E[B 2 ]Var[S 1 ]+ { ˆλ1 E[B 1 ]E[S] als k = 1 0 als k > 1 ) 3.3 k-gelimiteerde polling-model met N rijen In deze sectie wordt gekeken wat er gebeurt bij de wachttijden van klanten in een k-gelimiteerd polling-model met N-rijen. Zonder verlies van algemeenheid wordt aangenomen dat rij N als eerst instabiel wordt, vervolgens rij N 1, enzovoorts. De wachttijden in de verschillende rijen zijn schematisch weergegeven in Figuur 11 Figuur 11: Wachttijden in de verschillende rijen E(W N 1 ), E(W N 2 ),... E(W 2 ) en E(W 1 ) lopen niet vloeiend door. Op het moment dat rij N instabiel wordt, zit er een soort knik in het verloop van de wachttijden van de rijen N 1, N 2,..., 2, 1. Hieronder staat het gedrag van het systeem in het geval van Light Traffic en Heavy Traffic. Light Traffic In Light Traffic is er sprake van een polling model met N rijen. In Sectie is E[W LT N ] gegeven. 21

23 Heavy Traffic Als rij N instabiel wordt, worden er tijdens V N steeds k N klanten behandeld. Het systeem gaat zich dan gedragen als een een k-gelimiteerd polling-model met N 1 rijen, waarbij S N 1 = S N 1 + V N + S N = S N 1 + k N i=1 B N,i + S N. Dit is te zien in Figuur 12. lim λ λ E[WN HT ] is dus gelijk aan lim λ λ E[W HT N 1 ], gegeven in Sectie met bovenstaande V en S. Figuur 12: Cyclus in een polling systeem, in het geval dat rij N instabiel is. Vervolgens, als rij N 1 instabiel wordt, worden er tijdens V N 1 steeds k N 1 klanten behandeld. Het systeem gaat zich dan gedragen als een een k-gelimiteerd polling-model met N 2 rijen, waarbij S N 2 = S N 2 + V N 1 + S N 1 = S N 2 + k N 1 i=1 B N 1,i + S N 1. Dit gaat zo door, totdat er nog 2 stabiele rijen over zijn. Als rij 2 dan instabiel wordt, geldt dat het systeem zich gaat gedragen als een k-gelimiteerd vakantiemodel met V = V 1 en S = S 1 = S 1 + S 2. lim λ λ (λ λ)e[w HT 1 ] is dus gelijk aan lim λ λ (λ λ)e[w HT ] gegeven in Sectie 2.2 met bovenstaande V en S. Voor meerdere rijen is dit systeem dus lastig te analyseren. Er is dan ook verder niet naar approximaties gekeken voor het polling model met N > 2 rijen. 22

24 4 Resultaten Voor verschillende verdelingen van B en S en verschillende waarden van k, is λ verhoogd van 0 tot λ. Hierbij zijn de (relatief) gesimuleerde wachttijden uitgezet tegen λ. Met relatief gesimuleerde wachttijden wordt W (λ)(λ λ) bedoeld, en met gesimuleerde wachttijden wordt W (λ) bedoeld. Hier onder zijn bij verschillende gegeven input-waarden de plots te zien, waarbij de zwarte lijn steeds de (relatief) gesimuleerde wachttijden voorstelt, de orangje lijn de (relatief) benaderde wachttijden met behulp van W lin (λ), de rode lijn die met behulp van W par (λ), de paarse lijn die met behulp van W hm (λ), de blauwe lijn die met behulp van W pexp (λ) en de groene lijn die met behulp van W nexp (λ). 4.1 Vakantie model Exponentiële B en S In Figuur 13 is te zien dat bij de gegeven input-waarden de gesimuleerde verwachte wachttijden het beste benaderd worden met behulp van W par (λ). W pexp (λ) en W nexp (λ) vallen vrijwel over elkaar heen, daarom is de blauwe lijn van W pexp (λ) niet te zien in Figuur 13b, maar alleen de groene lijn van W nexp (λ). Bij alle plots waar de blauwe lijn van W pexp (λ) niet te zien is, ligt deze onder de groene lijn van W nexp (λ). (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 13: Input: E[B] = 1 10, E[S] = 4, k = 6. In Figuur 14 is te zien dat W lin (λ) en W par (λ) bij de gegeven input-waarden de beste benaderingen geven voor de gesimuleerde verwachte wachttijden. Deze benaderingsfuncties vallen over de relatieve gesimuleerde wachttijden in Figuur 14b heen. W hm (λ) geeft de minst goede benadering (hierbij is E < 1). 23

25 (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 14: Input: E[B] = 1 2, E[S] = 1 15, k = 15. Als naar Figuur 15a gekeken wordt, is te zien dat de gesimuleerde verwachte wachttijden en de benaderde wachttijden bij alle benaderingsfuncties vrij goed overeenkomen. In Figuur 15b is te zien dat W hm (λ) de beste benadering lijkt te geven voor de gesimuleerde verwachte wachttijden. Niet alleen W pexp (λ en W nexp (λ) vallen over elkaar heen, maar ook W lin (λ) valt hiermee samen. Daarom dat in Figuur 15b alleen de groene lijn van W nexp (λ) te zien is. (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 15: Input: E[B] = 1, E[S] = 1, k = 20. In Figuur 16 is te zien dat W lin (λ), W par (λ) en W hm (λ) de beste benaderingen geven voor de gesimuleerde verwachte wachttijden bij die gegeven input-waarden. Deze benaderingsfunc- 24

26 ties vallen over de relatieve gesimuleerde wachttijden in Figuur 16a heen. De exponentiële benaderingen geven een minder goede benadering. (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 16: Input: E[B] = 4, E[S] = 1 10, k = 20. Relatieve afwijkingspercentages De bovenstaande waarnemingen uit de plots, over de afwijkingen van de gesimuleerde verwachte wachttijden en de benaderde wachttijden, komen overeen met de relatieve afwijkingspercentages die te zien zijn in Tabel 1. In deze tabel zijn voor de verschillende benaderingsvormen, bij verschillende input-waarden de relatieve afwijkingspercentages gegeven. Hierbij zijn de kleinste percentages per input rood gekleurd. Bovendien zijn er nog een aantal extra simulaties gedaan, waarvan de input-waarden en de relatieve afwijkingspercentages te zien zijn in Bijlage C.1.1. Te zien is dat W par (λ) in de meeste gevallen de beste benadering geeft. Dit was ook te zien in de plots. Als W hm(λ) voldoet aan de eis dat E > 1, is deze benaderingsfunctie vaak de beste. Dit is vooral te zien in Tabel 5. Tabel 1: Relatieve afwijkingspercentages bij verschillende input-waarden en benaderingsvormen, waarbij B en S exponentieel verdeeld zijn. Input Lineair Parabolisch Hogere-orde Positief-exponentieel Negatief-exponentieel Input % 3.2% 13.8% 933.2% % Input 2 1.4% 1.3% %(E < 0) 8.1% 7.0% Input 3 4.2% 2.9% 1.7% 6.1% 5.4% Input 4 0.7% 0.9% 1.0% 11.7% 12.3% 25

27 4.1.2 Deterministische B en S Voor de input zijn alleen de verdelingen van B en S veranderd van exponentieel naar deterministisch, met dezelfde verwachtingswaarden. Uit Figuur 17 valt af te lezen dat W par (λ) de beste benadering voor de gesimuleerde verwachte wachttijden met die gegeven input-waarden geeft. W hm (λ) is in dit geval erg slecht (hierbij is E < 0). Ook hier vallen W pexp (λ) en W nexp (λ) in alle plots over elkaar heen, waardoor alleen de groene lijn van W nexp (λ) te zien is. (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 17: Input: E[B] = 1 10, E[S] = 4, k = 6. In Figuur 18 is te zien dat op W hm (λ) na, alle modellen een vrij goede benadering geven voor de gesimuleerde verwachte wachttijden bij de gegeven input-waarden. Bij W hm (λ)geldt dat E < 0. In Figuur 18b is te zien dat W par (λ) en W lin (λ) de beste benaderingen lijken te geven. W par (λ)(λ λ) en W lin (λ)(λ λ) vallen over de relatieve gesimuleerde wachttijden heen. 26

28 (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 18: Input: E[B] = 1 2, E[S] = 1 15, k = 15. Als naar Figuur 19 gekeken wordt, is te zien dat alle benaderingsfuncties de gesimuleerde verwachte wachttijden vrij goed benaderen. Met name W hm (λ) geeft een goede benadering voor de wachttijden. (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 19: Input: E[B] = 1, E[S] = 1, k = 20. Als naar Figuur 20 gekeken wordt, lijken alle benaderingsfuncties voor de wachttijden vrij goed. In Figuur 20b is te zien dat W par (λ), W hm (λ) en W lin (λ) de beste benaderingen geven. Deze benaderingsfuncties vallen over de relatieve gesimuleerde wachttijden heen. 27

29 (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 20: Input: E[B] = 4, E[S] = 1 10, k = 20. Relatieve afwijkingspercentages In Tabel 2 zijn voor de verschillende benaderingsvormen, bij de verschillende input-waarden de relatieve afwijkingspercentages te zien. Bovendien zijn er nog een aantal simulaties gedaan, waarvan de input-waarden en de relatieve afwijkingspercentages te zien zijn in Bijlage C.1.2. De kleinste percentages per input zijn rood gekleurd. Te zien is dat W par (λ) in de meeste gevallen de beste benadering geeft. Dit was ook te zien in de plots. Als W hm(λ) voldoet aan de eis dat E > 1, is deze benaderingsfunctie vaak de beste. Dit is vooral te zien in Tabel 6. Tabel 2: Relatieve afwijkingspercentages bij verschillende input-waarden, waarbij B en S deterministisch verdeeld zijn. Input Lineair Parabolisch Hogere-orde Positief exponentieel Negatief exponentieel Input % 3.6% % (E < 0) 24.5% 26.0% Input 2 2.0% 1.2% % (E < 0) 3.6% 3.8% Input 3 6.0% 4.2% 1.7% 5.7% 6.2% Input 4 0.4% 0.5% 0.6% 6.3% 6.8% 4.2 Polling model met twee rijen Wachttijden van rij 2 Exponentiële B en S 28

30 In Figuur 21 is te zien dat W par (λ) de beste benadering geeft voor de verwachte gesimuleerde wachttijden bij de gegeven input-waarden, en W hm (λ) de minst goede (hierbij is E < 1). Bij alle plots vallen W pexp (λ) en W nexp (λ) weer over elkaar, waardoor alleen de groene lijn van W nexp (λ) te zien is. (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 21: Input: E[B 1 ] = 2, E[B 2 ] = 2, E[S 1 ] = 3, E[S 2 ] = 3, k 1 = 4, k 2 = 3, ˆλ 1 = 1 3, ˆλ 2 = 2 3 In Figuur 22 is te zien dat W par (λ) de beste benadering geeft voor de gesimuleerde verwachte wachttijden bij die gegeven input-waarden, en W hm (λ) de minst goede (hierbij is E < 0). (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 22: Input: E[B 1 ] = 1 5, E[B 2] = 1 5, E[S 1] = 1 3, E[S 2] = 1 3, k 1 = 4, k 2 = 3, ˆλ 1 = 0.32, ˆλ 2 =

31 In Figuur 23 is te zien dat W pexp (λ) en W nexp (λ) de beste benaderingen geven voor de gesimuleerde verwachte wachttijden. W par (λ) geeft ook een vrij goede benadering. W hm (λ) geeft de minst goede benadering (hierbij is 0 < E < 1). (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 23: Input: E[B 1 ] = 9, E[B 2 ] = 8, E[S 1 ] = 1 3, E[S 2] = 1 2, k 1 = 15, k 2 = 2, ˆλ 1 = 1 4, ˆλ 2 = 3 4 In Figuur 24 is te zien dat de W par (λ) de beste benadering geeft voor de gesimuleerde verwachte wachttijden bij de gegeven input-waarden, en W hm (λ) een erg slechte benadering (hierbij is E < 0). (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 24: Input: E[B 1 ] = 1 3, E[B 2] = 1 4, E[S 1] = 10, E[S 2 ] = 8, k 1 = 5, k 2 = 3, ˆλ 1 = 1 3, ˆλ 2 =

32 . Relatieve afwijkingspercentages In Tabel 3 zijn de relatieve afwijkingspercentages te zien van de verschillende benaderingsfuncties, bij verschillende input-waarden met exponentieel verdeelde B en S. Te zien is, dat W par (λ) meestal de beste benadering geeft voor de wachttijden. Dit is ook wat te zien was in de plots. Tabel 3: Relatieve afwijkingspercentages bij verschillende input-waarden, waarbij B en S exponentieel verdeeld zijn. Input Lineair Parabolisch Hogere-orde Positief exponentieel Negatief exponentieel Input 1 8.5% 2.5% 18.2% (0 < E < 1) 8.4% 8.4% Input % 3.2% 67.5% (E < 0) 9.3% 10.0% Input % 5.3% 29.7% (0 < E < 1) 2.0% 6.5% Input 4 8.5% 5.5% 69.7% (E < 0) 12.5% 12.8% Deterministische B en S In Figuur 25 is te zien dat W par (λ) de beste benaderingsfunctie lijkt te zijn voor de gesimuleerde verwachte wachttijden bij de gegeven input-waarden. W pexp (λ) en W nexp (λ) vallen weer voor alle plots samen, waardoor alleen de groene lijn van W nexp (λ) te zien is. (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 25: Input: E[B 1 ] = 2, E[B 2 ] = 2, E[S 1 ] = 3, E[S 2 ] = 3, k 1 = 4, k 2 = 3, ˆλ 1 = 1 3, ˆλ 2 = 2 3 In Figuur 26 is te zien dat W par (λ) de beste benaderingsfunctie lijkt te zijn voor de gesimuleerde verwachte wachttijden bij de gegeven input-waarden. W hm (λ) geeft een slechte benadering voor de gesimuleerde verwachte wachttijden (hierbij is E < 0). 31

33 (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 26: Input: E[B 1 ] = 1 5, E[B 2] = 1 5, E[S 1] = 1 3, E[S 2] = 1 3, k 1 = 4, k 2 = 3, ˆλ 1 = 0.32, ˆλ 2 = 0.68 In Figuur 27 is te zien dat W par (λ) de beste benaderingsfunctie lijkt te zijn voor de gesimuleerde verwachte wachttijden bij de gegeven input-waarden. W hm (λ) geeft de minst goede benadering (hierbij is 0 < E < 1). (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 27: Input: E[B 1 ] = 9, E[B 2 ] = 8, E[S 1 ] = 1 3, E[S 2] = 1 2, k 1 = 15, k 2 = 2, ˆλ 1 = 1 4, ˆλ 2 = 3 4 In Figuur 28 is te zien dat W par (λ) de beste benaderingsfunctie lijkt te zijn voor de gesimuleerde verwachte wachttijden bij de gegeven input-waarden. In Figuur 28b valt W par (λ)(λ λ) over de relatieve gesimuleerde wachttijden. W hm (λ) lijkt de minst goede benadering te 32

34 geven (hierbij is 0 < E < 1). (a) W (λ) (b) W (λ)(λ λ) Figuur 28: Input: E[B 1 ] = 1 3, E[B 2] = 1 4, E[S 1] = 10, E[S 2 ] = 8, k 1 = 5, k 2 = 3, ˆλ 1 = 1 3, ˆλ 2 = 2 3 Relatieve afwijkingspercentages In Tabel 4 zijn de relatieve afwijkingspercentages te zien van de verschillende benaderingsfuncties bij verschillende Input-waarden. De kleinste afwijkingen zijn rood gekleurd. Te zien is dat W par (λ) vaak de beste benadering geeft. Dit was ook te zien bij de plots. Tabel 4: Relatieve afwijkingspercentages bij verschillende input-waarden, waarbij B en S deterministisch verdeeld zijn. Input Lineair Parabolisch Hogere-orde Positief exponentieel Negatief exponentieel Input 1 8.7% 3.3% 9.0% (0 < E < 1) 8.9% 7.9% Input 2 8.7% 2.9% 361.2% (E < 0) 8.7% 9.2% Input % 6.2% 21.1% (0 < E < 1) 7.3% 7.7% Input 4 7.7% 1.2% 19.8% (0 < E < 1) 16.1% 16.6% Te zien is, dat de parabolische benaderingsfunctie bij alle input-waarden de kleinste afwijking geeft met de gesimuleerde wachttijden Wachttijden van rij 1 In de Figuren 29a en 30a is duidelijk een knik te zien in het verloop van W (λ)(λ λ) op de plaats waar rij 2 instabiel wordt (λ = Λ 2 ). In de Figuren 29c en 30c is te zien dat voor 0 λ Λ 2 W pol (λ) een vrij goede benadering geeft voor W (λ). In de Figuren 29d en 30d is te zien dat voor Λ 2 λ λ W vak (λ) een vrij goede benadering geeft voor W (λ). 33

35 In de Figuren 29b en 30b is te zien dat W ben (λ) een goede benadering geeft voor W (λ). Het relatieve afwijkingspercentage van W ben (λ) bij exponentiële B en S is 1.9% en bij deterministische B en S is die afwijking 3.0%. (a) W (λ)(λ λ) (b) Zwart:W (λ), Blauw:W ben (λ) (c) Zwart:W (λ), Paars:W pol (λ) (d) Zwart:W (λ), Rood:W vak (λ) Figuur 29: E[B 1 ] = 2, E[B 2 ] = 2, E[S 1 ] = 3, E[S 2 ] = 3, k 1 = 4, k 2 = 3, ˆλ1 = 1 3, ˆλ2 = 2 3, B en S exponentieel verdeeld. 34

36 (a) W (λ)(λ λ) (b) Zwart:W (λ), Blauw:W ben (λ) (c) Zwart:W (λ), Paars:W pol (λ) (d) Zwart:W (λ), Rood:W vak (λ) Figuur 30: E[B 1 ] = 2, E[B 2 ] = 2, E[S 1 ] = 3, E[S 2 ] = 3, k 1 = 4, k 2 = 3, ˆλ1 = 1 3, ˆλ2 = 2 3, B en S deterministisch verdeeld. 35

37 5 Conclusie en discussie De parabolische benaderingsfunctie is in veel gevallen een erg goede benaderingsfunctie voor de gemiddelde gesimuleerde wachttijden. Als de hogere-orde benaderingsfunctie aan de voorwaarden voldoet, zodat E > 1, dan is deze benaderingsfunctie vaak de beste benadering voor de wachttijden. Deze twee benaderingsfuncties zijn waarschijnlijk het nauwkeurigste, doordat deze ook rekening houden met de richting van de wachttijden tijdens Light Traffic. De lineaire en de exponentiële benaderingsfuncties houden hier geen rekening mee, waardoor ze de wachttijden minder goed benaderen. Indien bij de hogere-orde benaderingsfunctie E < 1 zijn de benaderingen vaak echter erg slecht, met afwijkingspercentages boven de 100%. De parabolische benaderingsfunctie geeft in alle gevallen een vrij betrouwbare benadering. Hierdoor kan de parabolische benaderingsfunctie het beste gebruikt worden voor de benadering van wachttijden in polling modellen. In een polling model met twee rijen, zijn de wachttijden van de rij die als tweede instabiel wordt ook goed te benaderen met de parabolische benaderingsfuncite. De afwijking met de gesimuleerde verwachte wachttijden is vrij klein. Er is niet veel verschil in de afwijkingswaarden voor exponentiële of deterministische B en S. Voor beide modellen zijn de benaderingsfuncties dus goed te gebruiken. Door deze benadering toe te passen, in bijvoorbeeld de afstelling van stoplichten, zal de afstelling vele malen sneller gaan dan door gebruik te maken van een simulatie en de wachttijden zijn betrouwbaar genoeg om een goede afstelling te krijgen. In een volgend onderzoek kan nog gekeken worden naar een benadering voor de wachttijden in een polling model met N rijen. Deze benadering zal voor iedere rij in het systeem weer anders zijn. Bovendien kan gekeken worden of er een algemene benadering te vinden is, welke voor iedere N toepasbaar is. 36