Verkeerslichten. Ton Godtschalk 13 juni Lengte van de wachtrij Inleiding Variabelen Aannames... 3

Transcriptie

1 Verkeerslichten Ton Godtschalk 13 juni 2008 Inhoudsopgave 1 Lengte van de wachtrij Inleiding Variabelen Aannames Kansgenererende functie voor de wachtrij Zonder doorrijden Met doorrijden Verwachtingswaarde en variantie Zonder doorrijden Met doorrijden Gemiddelde wachtrij Zonder doorrijden Met doorrijden Verbanden tussen de beide modellen 17 6 Numerieke resultaten Vast aankomstproces Model zonder doorrijden Model met doorrijden Verschillende aankomstprocessen Nawoord 32 1

2 1 Lengte van de wachtrij 1.1 Inleiding Iedereen wil in het verkeer het liefst zo snel mogelijk van A naar B komen. Echter als er in het verkeer geen regels zouden zijn, zou het een grote chaos op de weg worden. Zeker op punten waar wegen samenkomen, zullen er regels moeten zijn over in welke volgorde verschillende automobilisten dit kruispunt over mogen steken. Met behulp van voorrangswegen en dergelijke gebeurt dit soms. Echter wordt er soms besloten om op kruispunten gebruik te maken van verkeerslichten. Dit kan zijn uit veiligheidsoverwegingen of uit het feit dat een bepaalde auto soms heel veel tijd moet wachten om ertussen gelaten te worden door andere auto s. Echter zullen de verkeerslichten wel zo afgesteld moeten worden, zodat de gemiddelde wachttijd hiervoor zo klein mogelijk is. Bovendien als er meerdere verkeerslichten achter elkaar staan, worden de verkeerslichten het liefst zo afgesteld zodat er sprake zal zijn van een zogenaamde groene golf. Om verkeerslichten af te stellen zijn er verschillende scenario s denkbaar. Zo wordt er bij verkeerslichten waar relatief weinig verkeer komt vaak gebruik gemaakt van censoren in de weg. Enkele tientallen meters voor het verkeerslicht wordt er dan een censor geplaatst die in de gaten houdt of er een auto aankomt. Wanneer dit het geval is, zal het verkeerslicht zo spoedig mogelijk op groen springen. Er is ook een scenario denkbaar, waarbij de verkeerslichten op een vaste manier afgesteld staan. Hiermee wordt bedoeld dat een verkeerslicht eerst een vast aantal seconden op rood zal staan en vervolgens een vast aantal seconden op groen. Daarna zal dit scenario zich steeds weer herhalen. Eenmaal een roodperiode gevolgd door een groenperiode wordt in het vervolg een cyclus genoemd. In dit verslag zal het scenario met vaste rood- en groentijden worden behandeld. Centraal hierin zal staan wat de gemiddelde wachtrij in aantal auto s voor een verkeerslicht is, waarbij voor ieder tijdslot (er wordt gewerkt met een discreet model) een verschillende kans is dat er een auto aankomt. Dit om te kunnen onderzoeken wat er gebeurt met de gemiddelde wachtrij als de verkeerslichten bijvoorbeeld net niet goed genoeg staan afgesteld als er een groep auto s (een zogenaamde batch) aankomt bij een verkeerslicht en zodoende dus niet direct kan doorrijden. Echter zal er langzaam naar dit model toegewerkt worden. Om te beginnen dienen er echter wel eerst een aantal variabelen te worden geïntroduceerd en een aantal aannames te worden gemaakt. Hieronder zullen eerst de variabelen geïntroduceerd worden, gevolgd door de aannames. Vervolgens wordt er in eerste instantie gekeken naar een model, dat vergelijkbaar is met een model dat beschreven staat in de literatuur. Om precies te zijn in het proefschrift Queueing Models for Cable Access Networks van Johan van Leeuwaarden. Het vergelijkbare model voor verkeerslichten is een model waarin voor ieder tijdslot de kans dat er een auto aankomt gegeven is en dat auto s niet meteen in de cyclus waarin ze aankomen door groen kunnen rijden. Ook niet als er geen wachtende auto s voor deze auto staan en het verkeerslicht op groen staat. Deze auto zal altijd minimaal de volgende cyclus pas door kunnen rijden. Voor dit model zal achtereenvolgens de kansgenererende functie, de verwachtingswaarde en de variantie van de gemiddelde wachtrij aan het 2

3 begin van de cyclus bepaald worden. Deze zullen dan afhangen van het aantal tijdsloten dat het verkeerslicht op rood staat, het aantal tijdsloten dat het verkeerslicht op groen staat en de kans dat er een auto aankomt in een tijdslot. Vervolgens zal er voor dit model ook berekend worden wat de gemiddelde wachtrij is op een willekeurig moment in de cyclus. Omdat de aanname dat auto s niet direct door groen kunnen rijden wanneer dit mogelijk is een niet erg realistische aanname is, zal ook steeds de berekening van de kansgenerende functie, de verwachtingswaarde en de variantie voor de gemiddelde wachtrij aan het begin van de cyclus en de gemiddelde wachtrij op een willekeurig moment hieraan analoog beschreven worden. Vervolgens zal blijken dat er een verband tussen de kansgenererende functies, verwachtingswaarden en varianties van de beide modellen is en dat dit verband te verklaren is met behulp met de vergelijkingen van Lindley. Dan zullen de numerieke resultaten te bewonderen zijn van verschillende configuraties van het aankomstpoces, de lengte van de rood- en groenperioden. Tot slot is het geschreven Mathematicaprogramma terug te vinden in de bijlage. 1.2 Variabelen X n,i : aantal wachtende auto s na het i e tijdslot van de n e cyclus X n : aantal wachtende auto s aan het begin van de n e cyclus. Dus geldt X n = X n,0 = X n 1,c X [i] : aantal wachtende auto s na het i e tijdslot in een willekeurige cyclus X(z): kansgenererende functie voor aantal wachtende auto s aan het begin van een cyclus X(z) = j=0 x jz j x j : P (X = j) = lim n P (X n = j) x i,j : kans dat er na j tijdsloten i auto s staan te wachten in een willekeurige cyclus A n : aantal auto s dat aankomt gedurende de n e cyclus A(z): kansgenererende functie voor het aantal aankomende auto s gedurende een cyclus A(z) = j=0 a jz j a j : P (A = j) = P (A n = j) voor willekeurige n p i : kans dat er een auto aankomt in het i e tijdslot in een willekeurige cyclus µ A : verwachtingswaarde van het aantal auto s dat aankomt gedurende een cyclus σ 2 A : variantie van het aantal auto s dat aankomt gedurende een cyclus g: aantal tijdsloten dat het verkeerslicht op groen staat r: aantal tijdsloten dat het verkeerslicht op rood staat c: aantal tijdsloten voor een cyclus van het verkeerslicht (g+r) 1.3 Aannames Een cyclus begint met een periode waarop het verkeerslicht op rood staat, gevolgd door een periode waarop het verkeerslicht op groen staat Een auto rijdt niet door rood 3

4 c j=1 p j < g. Dat wil zeggen: er komen gemiddeld minder auto s aan dan er kunnen vertrekken: wanneer dit niet het geval is zal het systeem niet in evenwicht zijn Er wordt gewerkt met behulp van tijdsloten. De tijdsloten hebben een lengte van 2 seconde De kans dat een auto aankomt in tijdslot i is onafhankelijk van het aantal auto s dat aangekomen is in tijdslot j voor alle i, jɛn Voor ieder tijdslot geldt dat er maximaal 1 aankomst is. De kansgenererende functie van het aantal aankomsten is hierdoor van de vorm 1 p i + p i z Per tijdslot kan er 1 auto door groen rijden Figuur 1: Plaatje van een cyclus met r=1 en g=2 Doordat alle aankomsten identiek en onafhankelijk zijn van elkaar en voor ieder tijdslot geldt dat de functie waarmee het aantal auto s aankomt een polynoom van de graad 1 is, geldt nu dat A(z) een polynoom van de graad c is en in formulevorm geschreven kan worden als c i=1 (1 p i + p i z). 2 Kansgenererende functie voor de wachtrij Om te beginnen wordt er een model gemaakt met een ietwat onwerkelijke aanname. Echter door deze aanname is het mogelijk gebruik te maken van wat er in de literatuur bekend is over wachtrijen. Dit model is vergelijkbaar met een model in het proefschrift Queueing models for cable access models van Johan van Leeuwaarden. Daarin wordt de discrete bulk service queue besproken en wordt als voorbeeld hiervan het aantal bellers bij een telefooncentrale besproken. Met X n wordt in dit systeem dan het aantal bellers in het systeem (zowel bellers die in behandeling zijn als de bellers in de wacht) bedoeld. Op het moment dat een beller geholpen wordt door een kanaal duurt dit altijd een holding time. Tijdens een holding time komen er A n nieuwe bellers het systeem binnen. Er zijn g kanalen dus dat resulteert in de recursieve vergelijking (1). De link met het model van de verkeerslichten is daardoor de volgende. Tijdens een holding time (cyclus) kunnen er g bellers geholpen worden/g auto s wegrijden. Echter de bellers die binnenkomen worden op zijn vroegst pas de volgende holding time geholpen. Dit komt 4

5 overeen met auto s die aankomen gedurende een cyclus pas op zijn vroegst de volgende cyclus door groen kunnen rijden. Daarom eerst deze ietwat onwerkelijke aanname waarin auto s dus niet direct door groen kunnen rijden, waarna er in de volgende subsectie een stap dichter naar de werkelijkheid wordt gemaakt waarin auto s wel direct in dezelfde cyclus nog door groen kunnen rijden waarin ze aankomen. Achtereenvolgens wordt voor beide modellen de kansgenerende functie, de verwachtingswaarde en variantie van de wachtrij aan het begin van de cyclus en de gemiddelde wachtrij op een willekeurig moment bepaald. 2.1 Zonder doorrijden De aanname die in deze subsectie gemaakt wordt is de volgende: auto s die aankomen kunnen niet in de cyclus waarin ze zijn aangekomen door het groene verkeerslicht rijden; ook niet als er geen wachtende auto s voor hun staan en het verkeerslicht staat op groen. Door groen rijden kan eventueel pas in de volgende cyclus. Deze aanname levert de volgende recursieve betrekking voor het aantal auto s aan het begin van de n e cyclus: X n+1 = (X n g) + + A n (1) Deze formule zegt dus dat het aantal wachtende auto s aan het begin van de (n+1) e cyclus gelijk is aan het aantal auto s dat al stond te wachten aan het begin van de n e cyclus min het aantal auto s wat maximaal door groen kan rijden en daarmee de wachtrij verlaat. Merk op dat als X n kleiner is dan g dat X n g nul oplevert omdat er geen negatieve wachtrij bestaat. De auto s die tijdens de n e cyclus aankomen komen hier logischerwijs nog bij. Aangezien de gemiddelde wachtrij gezocht wordt, is het van belang om te weten wat de kans is dat er j auto s staan te wachten voor een verkeerslicht. Hierbij is het niet van belang in welke cyclus je zit; hetgeen gezocht wordt is de limietverdeling x j. Er is hier sprake van een Markov-keten. X n+1 is alleen afhankelijk van de vorige toestand X n. Met andere woorden: de waarde van X n is alleen belangrijk voor de bepaling van X n+1 ; niet hoe die X n tot stand is gekomen. Doordat de A n identiek en onderling onafhankelijk verdeeld zijn kan nu gesproken worden over een Markov-keten. De balansvergelijking levert nu de volgende formule voor x k : x k = Σ g+k j=g x ja k j+g + Σ g 1 j=0 x ja k, k = 0, 1, 2,... (2) Deze formule werkt in woorden als volgt: de kans dat er k auto s staan aan het begin van een cyclus is gelijk aan de kans dat er j auto s stonden aan het begin van de vorige cyclus en er in die cyclus k j + g auto s bij zijn gekomen als j > g. Als j < g dan moeten er k auto s aangekomen zijn, omdat alle auto s die er al stonden aan het begin van de vorige cyclus al door groen zijn gereden dan en niet meer deel uitmaken van de wachtrij. Voor de kansgenererende functie voor het aantal wachtende auto s geldt nu de volgende uitdrukking: 5

6 Herschrijven levert: X(z) = Σ k=0x k z k = Σ k=0σ g+k j=g x ja k j+g z k + Σ k=0σ g 1 j=0 x ja k z k = z g Σ j=gx j z j Σ k=j ga k j+g z k j+g + Σ g 1 j=0 x jσ k=0a k z k = z g X(z)A(z) z g Σ g 1 j=0 x jz j A(z) + Σ g 1 j=0 x ja(z) (3) X(z) = A(z)Σg 1 j=0 x j(z g z j ), z 1 (4) z g A(z) Dit is dus een vergelijking in g onbekenden, te weten x 0, x 1,..., x g 1. Omdat X(z) naar boven begrensd wordt door 1 voor z 1 mag de noemer nooit gelijk zijn aan 0 voor z 1, omdat anders X(z) een onbegrensde functie zou zijn. Dat X(z) naar boven begrensd is door 1 is in te zien met vergelijking (5): X(z) = E(z X ) = Σ k=0p k z k Σ k=0p k z k Σ k=0p k = 1 (5) De teller moet dus 0 zijn op het moment dat de noemer 0 wordt voor z binnen de eenheidscirkel. De nulpunten van z g A(z) binnen de eenheidscirkel worden in het vervolg aangeduid met z 0 = 1, z 1,..., z g 1. Omdat c i=1 (1 p i + p i z) (meest algemene eerstegraads kansgenererende functie) absoluut strikt kleiner is dan z g binnen de eenheidscirkel en z g in totaal g nulpunten heeft, heeft z g c i=1 (1 p i + p i z) volgens de uit de literatuur bekende stelling van Rouché ook g nulpunten die binnen de eenheidscirkel vallen. Voor z 0 = 1 is het duidelijk dat de noemer nul is, daar A(1) = 1. Voor de resterende g 1 nulpunten die nu binnen de eenheidscirkel vallen kan nu de volgende uitdrukking afgeleid worden: g 1 j=0 x j(z g z j ) = γ 1 (z 1) (z z k ) (6) Σ g 1 Door nu beide kanten te differentiëren naar z volgt nu: Σ g 1 k=1 g 1 j=0 x j(gz g 1 jz j 1 ) = γ 1 ( (z z k ) + (z 1)Σ g 1 z = 1 invullen levert nu: k=1 j=1 ( g 1 k=1,k j (z z k ))) (7) Dus g 1 Σ g 1 j=0 x j(g j) = γ 1 (1 z k ) (8) k=1 6

7 γ 1 = Σg 1 j=0 x j(g j) g 1 k=1 (1 z k) Wanneer gekeken wordt naar de interpretatie van Σ g 1 j=0 x j(g j) is dit te zien als het verwachte aantal tijdsloten dat er geen auto door het groene verkeerslicht rijdt. Wanneer er j auto s staan aan het begin van een cyclus zullen er, onder de aanname dat aankomende auto s pas de eerstvolgende cyclus weer kunnen vertrekken, dus g j tijdsloten zijn waarin geen auto meer door groen rijdt tijdens de groenperiode. De fractie van de tijd dat er j auto s staan te wachten is x j, waardoor het verwachte aantal tijdsloten dat er geen auto door het groene verkeerslicht rijdt inderdaad gelijk is aan Σ g 1 j=0 x j(g j). Echter is het verwachte aantal tijdsloten dat er geen auto door groen rijdt tijdens een groenperiode logischerwijs ook gelijk aan g µ A. Dat levert dan dus de volgende vergelijking voor γ 1 : (9) g µ A γ 1 = g 1 k=1 (1 z k) Hiermee is nu dus de volgende uitdrukking gevonden voor X(z): (10) X(z) = A(z)(z 1)(g µ A) z g A(z) g 1 k=1 z z k 1 z k, z 1 (11) Voor de c g nulpunten die buiten de eenheidscirkel vallen kan X(z) nu ook na enkele bewerkingen uitgedrukt worden in de nulpunten van z g A(z). Nu geldt het volgende: Σ g 1 j=0 x j(z g z j ) z g A(z) Met behulp van X(1) = 1 volgt nu dat = γ g 1 2 k=0 (z z k) c 1 k=0 (z z k) = γ 2 c 1 k=g (z z k) (12) c 1 γ 2 = (1 z k ) (13) Hiermee is nu dus de volgende uitdrukking gevonden voor X(z): k=g c 1 1 z k X(z) = A(z), z 1 (14) z z k k=g 7

8 2.2 Met doorrijden In de vorige subsectie was er de aanname gemaakt dat auto s niet direct door konden rijden wanneer ze zich nog in dezelfde cyclus bevonden als in de cyclus waarin ze aangekomen waren. Deze werd gemaakt om literatuurstudie te kunnen doen. Echter is deze aanname natuurlijk niet zeer realistisch, daar het regelmatig voor zal komen dat een auto die naar een verkeerslicht toe komt rijden nog wel de kans heeft om door het verkeerslicht te rijden alvorens deze op rood is gesprongen. In deze subsectie zal dan ook de kansgenerende functie berekend worden voor het geval dat auto s altijd direct door groen rijden wanneer dit mogelijk is. Doordat de auto s nu meteen door kunnen rijden als dat mogelijk is ontstaat er dus direct al een nieuwe recursieve betrekking: X n+1 = (X n + A n g) + (15) Het verschil met de vorige recursieve betrekking is dat de A n nu ook tussen de haken staat. De wachtrij is nu namelijk (in theorie) pas negatief als X n + A n < g. Dit komt doordat de auto s die nu aankomen meteen door groen kunnen rijden als dit mogelijk is voor deze auto s. Omdat er maximaal een auto kan aankomen per tijdslot zal dit ook altijd gebeuren. Het is dus niet mogelijk dat er twee auto s aankomen in het laatste tijdslot van een cyclus en dat er maar een door kan rijden. Wederom wordt de wachtrij gedefinieerd als zijnde nul als X n + A n g negatief is. Ook hier is hetgeen dat gezocht wordt de kansgenererende functie voor het aantal auto s dat staat te wachten voor een verkeerslicht aan het begin van een cyclus. Wederom wordt dus onderzocht wat de kans is dat er j auto s voor een verkeerslicht staan te wachten. Ook hier is met dezelfde argumenten als in de vorige subsectie weer sprake van een Markovketen. De balansvergelijking levert hier de volgende uitdrukking voor x k : x 0 = Σ g j=0 x jσ g j k=0 a k (16) x k = Σ g+k j=0 x ja g+k j (17) In vergelijking met vergelijking (2) zijn er 2 verschillen te ontdekken. Het eerste verschil is er voor x 0. Omdat de aankomende auto s nu direct door kunnen rijden, is de wachtrij aan het begin van een cyclus nu gelijk aan 0 op het moment dat de som van het aantal aangekomen auto s in de cyclus ervoor en de wachtrij aan het begin van de cyclus ervoor kleiner of gelijk is aan g. Dit resulteert dus in vergelijking (16). Het tweede verschil is er voor x k met k 0. Het verschil hier is dat de som nu begint bij j = 0 in plaats van bij j = g. Op het moment namelijk dat er minder dan g auto s (j in aantal) stonden aan het begin van de cyclus ervoor moeten er nu dus g + k j auto s aankomen gedurende de cyclus, waar dat in het andere model k auto s waren. In het vorige submodel stond er hierdoor a k, maar nu dus a g+k j. Dit komt natuurlijk doordat de auto s 8

9 in eerste instantie niet direct door konden rijden en dat dat nu wel het geval is. Met behulp van vergelijking (16) en vergelijking (17) is nu de volgende uitdrukking voor de kansgenererende functie te verkrijgen: X(z) = Σ k=0x k z k = Σ g j=0 x jσ g j k=0 a k + Σ k=1σ g+k j=0 x ja g+k j z k = Σ g j=0 x jσ g j 1 k=0 a k + Σ k=0σ g+k j=0 x ja g+k j z k = Σ g 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k + Σ g 1 j=0 Σ k=0x j a g+k j z k + Σ j=gσ k=j gx j a g+k j z k = Σ g 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k + Σ g 1 j=0 zj g Σ k=0x j a g+k j z g+k j + z g A(z)(X(z) Σ g 1 j=0 x jz j ) Herschrijven levert: (18) X(z) = Σg 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k (z g z k+j ), z 1 (19) z g A(z) Dit is dus weer een vergelijking in g onbekende x 0, x 1,..., x g 1. Om dezelfde reden als in de vorige sectie geldt nu dat er g nulpunten (aangeduid met z 0 = 1, z 1,..., z g 1 ) zijn van z g A(z) die binnen de eenheidscirkel vallen, waarbij de oplossing z 0 = 1 triviaal is. Voor de g 1 nulpunten die nu binnen de eenheidscirkel vallen kan nu de volgende uitdrukking afgeleid worden: g 1 γ 1 (z 1) (z z k ) = Σ g 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k (z g z k+j ) (20) k=1 Door nu beide kanten te differentiëren naar z volgt nu: (z z k )+γ 1 (z 1)Σ g 1 g 1 γ 1 g 1 k=1 ( k=1 j=1,j k z = 1 invullen levert: (z z k )) = Σ g 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k (gz g 1 (k+j)z k+j 1 ) (21) Dus (1 z k ) = Σ g 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k (g (k + j)) (22) γ 1 g 1 k=1 γ 1 = Σg 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k (g k j) g 1 k=1 (1 z k) Wanneer gekeken wordt naar de interpretatie van Σ g 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k (g k j) is dit wederom te zien als het verwachte aantal tijdsloten dat er geen auto s door het groene licht rijden. 9 (23)

10 Wanneer er j auto s al stonden aan het begin van de cyclus en er k auto s gedurende deze cyclus bij zijn gekomen en geldt dat j+k < g, dan zijn er dus g k j tijdsloten geweest dat er geen auto door het groene verkeerslicht reed. De kans dat er j auto s staan te wachten aan het begin van de cyclus is x j en de kans dat er k auto s aankomen gedurende de n e cyclus is a k, waardoor het verwachte aantal tijdsloten dat er geen auto door het groene verkeerslicht rijdt inderdaad gelijk is aan Σ g 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k (g k j). Echter is het verwachte aantal tijdsloten dat er geen auto door groen rijdt tijdens een groenperiode logischerwijs ook gelijk aan g µ A. Dat levert dan dus de volgende vergelijking voor γ 1 : Dus γ 1 = g µ A g 1 k=1 (1 z k) (24) X(z) = (g µ A)(z 1) z g A(z) g 1 k=1 z z k 1 z k, z 1 (25) Voor de c g nulpunten die buiten de eenheidscirkel vallen kan X(z) nu ook na enkele bewerkingen uitgedrukt worden in de nulpunten van z g A(z). Nu geldt het volgende: Σ g 1 j=0 x jσ g j 1 k=0 a k (z g z k+j ) z g A(z) Met behulp van X(1) = 1 volgt nu dat = γ g 1 2 k=0 (z z k) c 1 k=0 (z z k) = γ 2 c 1 k=g (z z k) (26) c 1 γ 2 = (1 z k ) (27) Hiermee is nu dus de volgende uitdrukking gevonden voor X(z): X(z) = c 1 k=g k=g 1 z k z z k, z 1 (28) Het valt op dat voor de kansgererende functie van beide modellen er een verband te vinden is en wel het volgende. V ergelijking(25) = A(z)V ergelijking(11) (29) V ergelijking(28) = A(z)V ergelijking(14) (30) Dat dit geen toeval is, wordt besproken in sectie 5. 10

11 3 Verwachtingswaarde en variantie 3.1 Zonder doorrijden Uit vergelijking (11) kan nu ook de verwachtingswaarde en de variantie bepaald worden. Er geldt immers µ X = X (1) en σ 2 X = X (1) + X (1) X (1) 2. Dit levert via (11): σa 2 µ X[0] = 2(g µ A ) µ A 1 1 (g 1) + Σg 1 k=1 (31) 2 1 z k Het is duidelijk dat hier de productregel is gebruikt voor het uitrekenen van de eerste afgeleide van X(z). Bij enkele delen hiervan ontstaat er wel een probleem. Bij het differentiëren van alle termen, met uitzondering van de term z 1, blijft namelijk de term z 1 z g A(z) staan. Het invullen van 1 levert nu een probleem op, omdat er dan 0 staat in zowel de teller als de noemer. Echter met behulp van l Hôpital volgt dat lim z 1 µ X[0] = µ A + Σ c 1 1 k=g z k 1 z 1 = 1 z g A(z) g µ A. Deze verwachtingswaarde voor de wachtrij is nog eenvoudiger te verklaren. De eerste term ontstaat door het differentiëren van A(z) en de som ontstaat door het een voor een differentiëren van de termen in het product in (14). De variantie kan ook op twee manieren bepaald worden. Via vergelijking (11) levert dit σ 2 X [0] = σ 2 A+ A (1) g(g 1)(g 2) + A 3(g µ A ) (1) g(g 1) +( A 2(g µ A ) (1) g(g 1) 2(g µ A ) ) 2 Σ g 1 Dit is te vinden door het uitschrijven van de termen X (1) en X (1). Via vergelijking (14) kan ook de verwachtingswaarde bepaald worden. Dit levert: k=1 (32) z k (1 z k ) 2 (33) σx 2 [0] = σa 2 + Σ c 1 1 k=g (z k 1) Σc 1 k=g (z k 1) Om analoge redenen volgt deze vergelijking voor de variantie van de wachtrij. (34) 3.2 Met doorrijden Uit vergelijking (25) kan nu ook de verwachtingswaarde en de variantie bepaald worden. Er geldt immers µ X = X (1) en σ 2 X = X (1) + X (1) X (1) 2. Na een keer differentiëren van vergelijking (25) volgt nu: 11

12 X (z) = (zg A(z))(g µ A ) (g µ A )(z 1)(gz g 1 A (z)) (z g A(z)) 2 z = 1 invullen levert nu dus: + (g µ A)(z 1) z g A(z) Σ g k=1 1 1 z k g k=1 g 1 j=1,j k z z k 1 z k z z j 1 z j Dus X (1) = µ X[0] = Σ g 1 k=1 + g g2 + A [1] 1 z k 2(g µ A ) (35) σa 2 µ X[0] = 2(g µ A ) 1 2 µ A 1 1 (g 1) + Σg 1 k=1 (36) 2 1 z k Vervolgens kan er ook weer uitgegegaan worden van vergelijking (28): Na een keer differentiëren volgt nu: z = 1 invullen levert: X (z) = Σ c 1 1 z j j=g (z z j ) 2 c 1 k=g,k j 1 z k z z k (37) X (1) = µ X[0] = Σ c 1 1 k=g z k 1 De variantie is te vinden door het uitschrijven van de termen X (1) en X (1). Vanuit vergelijking (25) levert dit: (38) σ 2 X [0] = A (1) g(g 1)(g 2) + A 3(g µ A ) (1) g(g 1) +( A 2(g µ A ) (1) g(g 1) 2(g µ A ) ) 2 Σ g 1 k=1 z k (1 z k ) 2 (39) Vanuit vergelijking (28) levert dit eerst X (1) en daarmee vervolgens een uitdrukking voor σ 2 X. X (1) = Σ c 1 j=g Σc 1 p=g,p j ( 2 (1 z j ) z j z p 1 ) (40) σx 2 [0] = Σ c 1 1 k=g (z k 1) Σc 1 k=g (z k 1) (41) 12

13 4 Gemiddelde wachtrij De voorgaande kansgenererende functies, verwachtingswaarden en varianties hadden betrekking op het begin van de cyclus. Dat wil zeggen op het moment dat het verkeerslicht van groen op rood springt. Echter de gemiddelde wachtrij zal niet op elk moment van de cyclus gelijk zijn. Aan het eind van een roodperiode zullen er naar verwachting meer auto s staan dan aan het begin van een roodperiode. Om de gemiddelde wachtrij te bepalen moet er dus voor elk tijdslot in de cyclus bepaald worden wat de gemiddelde wachtrij is. Vervolgens moeten al deze waarden dan bij elkaar opgeteld worden om ze vervolgens te delen door het aantal tijdsloten. Op deze manier wordt dan dus de gemiddelde wachtrij op een willekeurig moment bepaald. Eerst wordt er weer een subsectie besteed aan het model waarin auto s nog niet meteen door groen kunnen rijden in de cyclus waarin ze aankomen als dat eventueel wel de mogelijkheid is. Vervolgens het model waarin direct doorrijden wel mogelijk is. 4.1 Zonder doorrijden Wanneer het bekend is wat de verwachting is aan het begin van de roodperiode is voor de volgende r tijdsloten de verwachtingswaarde: E(X [n] ) = E(X [0] ) + Σ n i=1p i, n = 1,..., r (42) Hierbij is E(X [n] ) de verwachtingswaarde van de wachtrij in het n e tijdslot en E(X [0] ) de verwachtingswaarde aan het begin van de cyclus. Voor de eerste r tijdsloten geldt namelijk dat daar in ieder tijdslot geen auto weg kan rijden dus dat de verwachtingswaarde van de wachtrij daar gelijk is aan de verwachtingswaarde van het vorige tijdslot (n 1) plus het verwachte aantal auto s dat er in het n e tijdslot is aangekomen: p n. Voor het n e tijdslot geldt dus E(X [n] ) = E(X [n 1] )+p n = E(X [n 2] )+p n +p n 1 =... = E(X [0] )+Σ n i=1p i, n = 1,..., r (43) Voor de volgende g tijdsloten geldt het volgende E(X [r+n] ) = E(X [0] ) + Σ r+n i=1 p i Σ n 1 k=0 kx k nσ j=nx j (44) = E(X [0] ) + Σ r+n i=1 p i Σ n 1 k=0 kx k n(1 Σ n 1 j=0 x j) = E(X [0] ) + Σ r+n i=1 p i n + Σ n 1 k=0 x k(n k), n = 1,.., g (45) Vergelijking (44) is als volgt in te zien. Het verwachte aantal wachtende auto s aan het begin van tijdslot r + n is gelijk aan het verwachtte aantal auto s dat aan het begin van de cyclus al stond te wachten(e(x [0] )) plus het aantal auto s dat er naar verwachting in die tijd is aangekomen (Σ r+n i=1 p i) min het verwachte aantal auto s dat weggereden is. Omdat 13

14 alleen auto s weg kunnen rijden die er aan het begin van de cyclus al stonden is het voor het verwachte aantal auto s dat wegrijdt dan ook alleen van belang om daarnaar te kijken. Auto s die gedurende de cyclus aankomen kunnen immers niet wegrijden in dit model. Wanneer gekeken wordt naar het (r +n) e tijdslot is de kans dat er k auto s zijn weggereden gelijk aan de kans dat er k auto s aan het begin van de cyclus stonden (x k ), mits k < n. Aangezien er maximaal n auto s weg kunnen rijden in n groene tijdsloten zullen er voor k > n ook maar n auto s weg rijden. Sommerend over alle mogelijke waarden van k geeft dit inderdaad vergelijking (44). Voor ieder tijdslot is nu dus bekend wat de gemiddelde wachtrij is. De gemiddelde wachtrij op een willekeurig moment is nu dus E(X) = Σr+g 1 n=0 E(X [n] ) (46) c Er is nu dus een uitdrukking gevonden in de bekende variabelen r, g, p 1,..., p n, E(X [0] ) en x 0,..., x g 1. De x k zijn nog niet bekend, maar zijn op te lossen uit het stelsel vergelijkingen Σ g 1 j=0 x j(z g k zj k ) = 0, k = 0, 1,..., g 1 (47) Dit stelsel was er vanwege het feit dat als de noemer 0 was in vergelijking (4) de teller dan ook 0 moest zijn. Dit zijn dus g onafhankelijke vergelijkingen met g onbekenden en is dus oplosbaar, daar de z k bekend zijn. Bij een gegeven aantal tijdsloten dat het verkeerslicht op rood staat, een gegeven aantal tijdsloten dat het verkeerslicht op groen staat en een gegeven kans dat een auto aankomt in een tijdslot is dus de gemiddelde wachtrij op een willekeurig moment te bepalen. De gemiddelde wachttijd voor een auto is hieruit ook te bepalen met behulp van de formule van Little: E(W ) = E(X) (48) λ Hierbij is E(W ) de gemiddelde wachttijd voor een auto, λ de aankomstintensiteit van auto s per tijdslot en E(X) de gemiddelde wachtrij op een willekeurig moment zoals zojuist berekend. De gemiddelde wachttijd voor een een auto is dus E(W ) = Σr+g 1 n=0 E(X [n] ) Σ c i=1 p i Dus bij een gegeven aantal tijdsloten dat het verkeerslicht op rood staat, een gegeven aantal tijdsloten dat het verkeerslicht op groen staat en een gegeven kans dat een auto aankomt in een tijdslot is dus de gemiddelde wachttijd voor een auto op een willekeurig moment te bepalen. (49) 14

15 4.2 Met doorrijden In deze subsectie wordt gekeken naar het model dat dichterbij de werkelijkheid lag, dus het model dat eerst een roodperiode van r tijdsloten heeft en vervolgens een groenperiode van g tijdsloten en waarbij de auto s die gedurende de cyclus aangekomen zijn dus eventueel ook nog door kunnen rijden. Ook hier geldt weer om dezelfde redenen dat de verwachtingswaarde voor de eerste r tijdsloten gelijk is aan: E(X [n] ) = E(X [0] ) + Σ n i=1p i, n = 1,..., r (50) Voor de volgende g tijdsloten wordt gebruik gemaakt van de volgende recursieve betrekking: E(X [n+1] ) = E(X [n] ) + p n P (in tijdslot n rijdt een auto weg) = E(X [n] ) + p n (1 x 0,n + x 0,n p n ) = E(X [n] ) + p n (1 x 0,n (1 p n )) (51) In woorden komt deze recursieve betrekking neer op het volgende: de gemiddelde wachtrij in het (n + 1) e tijdslot is gelijk aan de gemiddelde wachtrij in het n e tijdslot plus het gemiddelde aantal auto s dat aankomt in het n e tijdslot min de kans dat er in tijdslot n een auto wegrijdt. In tijdslot n rijdt een auto weg als ofwel in tijdslot n de wachtrij niet nul is ofwel de wachtrij in tijdslot n nul is en er in dat tijdslot een auto is aangekomen. In deze recursieve betrekking is E(X [0] ) en de p 1,..., p c bekend. Als nu de x 0,0,..., x 0,c 1 ook bekend zouden zijn, dan zijn de E(X [1] ),..., E(X [c 1] ) ook bekend. Met behulp van figuur 2 is in te zien dat er een recurrente betrekking is af te leiden voor de x i,j met i {0,..., g 1} en j {0,..., c 1}: Figuur 2: Relaties tussen verschillende x i,j met i {0,..., g} en j {0,..., c 1} 15

16 Om x 0,c 1 te berekenen zijn er twee gevallen te onderscheiden hoe deze x 0,c 1 tot stand is gekomen. De eerste mogelijkheid is dat in het tijdslot ervoor er al geen auto s meer stonden. Ongeacht of er dan een auto aankomt of niet zal de wachtrij in tijdslot c 1 ook leeg zijn. De tweede mogelijkheid is dat in het tijdslot ervoor er nog een auto in de wachtrij stond. Als er in dat tijdslot dan geen auto aankomt, wat met kans 1 p c 1 gebeurd, zal de wachtrij in tijdslot c 1 weer nul zijn. Het probleem van het vinden van x 0,c 1 is nu dus verlegd naar het probleem van het vinden van x 0,c 2 en x 1,c 2. Nu geldt voor x 0,c 2 met eenzelfde argument dat het exact zo afhangt van x 0,c 3 en x 1,c 3 als x 0,c 1 dat deed van x 0,c 2 en x 1,c 2. Voor x 0,j met j {r + 1,..., c 1} geldt dus de volgende recursieve betrekking: x 0,j = x 0,j 1 + (1 p j )x 1,j 1 (52) Voor x i,j met i {1,..., g 1} en j {r + 1,..., c 1} geldt nu het volgende: x i,j = p j x i,j 1 + (1 p j )x i+1,j 1 (53) Deze recursieve betrekking is als volgt in te zien. Tijdens de groenperiode geldt dat bij een wachtrij van i auto s in een tijdslot (mits i 0)deze op twee manieren tot stand gekomen kan zijn. In het tijdslot ervoor stonden ook i auto s en in dat tijdslot is er een auto aangekomen. Dit gebeurt met kans p j. Wat ook kan is dat er in het tijdslot ervoor i + 1 auto s stonden en er in dat tijdslot geen auto is aangekomen. Dit gebeurt met kans 1 p j. Dit resulteert dus inderdaad in vergelijking (53) voor i {1,..., g 1} en j {r + 1,..., c 1}. Dat dit niet geldt voor i {1,..., g 1} en j {1,..., r} komt doordat in een roodperiode andere afhankelijkheden bestaan. Immers geldt in een roodperiode dat een wachtrij van i auto s met i 0 ook op twee manieren tot stand kan zijn gekomen. Echter zijn dit niet dezelfde twee mogelijkheden. Het kan namelijk voorkomen dat er in het tijdslot ervoor i 1 auto s stonden en er in dat tijdslot een auto bij is gekomen. Dit gebeurt met kans p j. Wat ook kan voorkomen is dat er in het tijdslot ervoor i auto s stonden en dat er in dat tijdslot geen auto meer bij is gekomen. Dit gebeurd met kans 1 p j. Dit levert dan dus de volgende recursieve betrekking voor i {1,..., g 1} en j {1,..., r}: x i,j = p j x i 1,j 1 + (1 p j )x i,j 1 (54) Ook in de roodperiode geldt dat voor i = 0 een andere recursieve betrekking geldt. Het kan immers niet voorkomen dat er 0 1 = 1 auto s in de wachtrij stonden. Daarom geldt dat tijdens een roodperiode er alleen 0 auto s in tijdslot j staan als er dat tijdslot ervoor ook al geen auto s stonden en er in dat tijdslot geen auto meer is aangekomen. Dit levert dus de volgende recursieve betrekking voor i = 0 en j {1,..., r}: x 0,j = (1 p j )x 0,j 1 (55) Uit figuur (4.2) zijn deze recurrente betrekkingen terug af te leiden. Hieruit blijkt ook dat dus voor het vinden van x 0,c 1 via onder andere x 0,1,..., x 0,c 2 uiteindelijk x 0,0,..., x g 1,0 16

17 nodig zijn. Daar deze bekend zijn, zijn nu dus x 0,0,..., x 0,c 1 bekend en daarmee dus ook E(X [0] ),..., E ( X [c 1] ). Voor de gemiddelde wachtrij op een willekeurig moment in de cyclus geldt nu weer met dezelfde argumenten als in het model zonder doorrijden dat deze gelijk is aan vergelijking (49). 5 Verbanden tussen de beide modellen Voor de twee verschillende modellen die behandeld zijn, zijn achtereenvolgens de kansgenererende functie, de verwachtingswaarde en de variantie aan het begin van de cyclus bepaald. Wanneer gekeken wordt naar de verschillen in deze kansgenerende functies, verwachtingswaarden en varianties dan is daar een verband te ontdekken. Voor de X(z) in het model waarin de auto s niet direct door konden rijden wanneer ze aankwamen voor een verkeerslicht(x I (z)) en voor de X(z) in het model waarin de auto s wel direct door konden rijden als dat eventueel mogelijk was (X II (z)) geldt het volgende Zo ook is er een verband in de verwachtingswaarde Ook voor de variantie is een dergelijk verband X I (z) = X II (z)a(z) (56) E(X I ) = E(X II ) + µ A (57) σ X I = σ X II + σ A (58) Dat deze verbanden er zijn is niet toevallig; ze zijn te verklaren met de vergelijking van Lindley. Voor een algemeen wachtrijmodel zijn er recursieve betrekkingen af te leiden voor de wachttijd die de n e klant die aankomt heeft (W n ) en de verblijftijd die de n e klant die aankomt heeft (S n ). De vergelijkingen van Lindley zijn nu de volgende: W n+1 = (W n + B n A n ) + (59) S n+1 = (S n A n ) + + B n+1 (60) Hierbij is A n de tijd tussen de n e en de (n + 1) e aankomst en B n de bedieningstijd van de n e klant. Deze verbanden zijn in te zien met behulp van figuur 3. Hierbij is het vergelijking (61) af te leiden: S n = W n + B n (61) Wanneer nu gekeken wordt naar de modellen van de verkeerslichten is het model zonder doorrijden te interpreteren als de verblijftijd van de n e auto in het systeem en het model 17

18 Figuur 3: Voorbeeld voor hoeveelheid werk van een server in een willekeurig wachtrijmodel afgezet tegen de tijd met doorrijden te interpreteren als de wachttijd van de n e auto en het aantal auto s dat aankomt als B n. A n is te interpreteren als het aantal groene tijdsloten in een cyclus. Wanneer dan aan allebei de kanten de kansgenererende functie berekend wordt, volgt inderdaad verband (56). Zo geldt ook dat verband (57) volgt wanneer aan beide kanten de verwachtingswaarde genomen wordt en (58) volgt wanneer aan beide kanten de variantie genomen wordt. 18

19 6 Numerieke resultaten In de vorige secties is berekend hoe bij de twee verschillende modellen de gemiddelde wachtrij op een willekeurig moment bepaald kan worden. Nu is het echter ook interessant om te bekijken wat er nu precies gebeurt bij verschillende configuraties van de rood- en groenperioden. Om hierin verbanden te ontdekken is er gebruik gemaakt van het programma Mathematica. Het geschreven programma is te vinden in de bijlage. In deze sectie zullen eerst resultaten aan bod komen, waarbij er uitgegaan wordt van een vast aankomstproces. Dat wil zeggen dat voor ieder tijdslot geldt dat de kans dat daarin een auto aankomt voor alle tijdsloten hetzelfde is. In de daaropvolgende subsectie zal er bekeken worden wat er gebeurt als deze tijdsloten niet allemaal dezelfde kans hebben op een aankomst van een auto. Zo wordt er ook gekeken wat er gebeurt als er sprake is van zogenaamde batches, auto s die vlak achter elkaar aan (dus een aantal opeenvolgende tijdsloten met kans 1 er een auto aankomt) naar een verkeerslicht toerijden. 6.1 Vast aankomstproces Ook hier wordt weer onderscheid gemaakt tussen de twee verschillende modellen. Eerst zal het model waarbij de auto s niet direct door het groene licht kunnen rijden bij aankomst in een cyclus besproken worden en vervolgens het model waarbij de auto s wel direct door kunnen rijden Model zonder doorrijden Zo is het interessant om te kijken wat er gebeurt als er iedere keer een rood tijdslot bijkomt. In figuur 4 is bij verschillende waarden van p te zien wat er gebeurt met de gemiddelde wachtrij, wanneer er rode tijdsloten aan het model worden toegevoegd. De groene tijdsloten (in deze configuratie is g gelijk aan 30) blijven hierin dan gelijk. Hier is te zien dat er bij toevoeging van rode tijdsloten de gemiddelde wachtrij oploopt. Ook is te zien dat de gemiddelde wachtrij in een rechte lijn stijgt met een richtingscoëfficient van 0,32 bij een p van 0,2. Dit is geen toeval. Er geldt immers in een wachtrijmodel, waarin de kans dat de wachtrij leeg is aan het einde van de groenperiode zeer groot is, vergelijking (62): E(X) = E(W ) p 3r + g + cp p (62) 2 Vergelijking (62) is in te zien met behulp van figuur 6: 19

20 Figuur 4: Grafiek van de gemiddelde wachtrij afgezet tegen de cyclustijd, waarbij de groentijd gelijk blijft aan 30 tijdsloten Figuur 5: Grafiek van de gemiddelde wachtrij afgezet tegen de cyclustijd, waarbij de groentijd gelijk blijft aan 30 tijdsloten 20

21 Figuur 6: Wachttijd voor een auto aan het begin van de cyclus en aan het eind van de cyclus als er voldoende groene tijdsloten zijn Omdat de oorspronkelijke wachtrij dus zeer regelmatig leeg is aan het begin van de rode cyclus, zal een auto die vlak na het einde van de groenperiode aankomt eerst nog moeten wachten tot de cyclus voorbij is (bij aankomst in een cyclus kan een auto immers pas in dit model de volgende cyclus vertrekken) en vervolgens in de volgende cyclus nog tot de roodperiode voorbij is. Hierdoor is de wachttijd voor deze auto gelijk aan r+g+r = 2r+g. Voor een auto die vlak voor het einde van de groenperiode aankomt geldt dat deze wel al de volgende cyclus mag gaan rijden. Dit mag hij dan nadat het verkeerslicht weer op groen is gesprongen en het verwachte aantal auto s dat tijdens de cyclus ervoor is aangekomen (cp) ook door groen is gereden. Hierdoor is de wachttijd voor deze auto gelijk aan cp + r. De gemiddelde wachttijd voor een auto is nu gelijk aan 3r+g+cp 2, doordat de wachttijd lineair afneemt gedurende de cylus. De gemiddelde wachtrij is dus volgens vergelijking (48) gelijk aan 3r+g+cp 2 p. Dat dit geldt alleen wanneer er voldoende groene tijdsloten zijn, is waar te nemen aan het einde van figuur 5 voor p = 0, 3. Hier is namelijk een flinke stijging waar te nemen en is er totaal geen sprake meer van lineariteit. Dit komt doordat er steeds dichterbij in de buurt gekomen wordt van de voorwaarde om een stabiel systeem te hebben (cp < g). Wanneer er steeds dichterbij deze stabiliteitsvoorwaarde gekomen wordt explodeert het systeem naar oneindig. Deze stijging is ook waar te nemen bij andere configuraties van de rood- en groenperioden. Zo is er ook onderzocht wat er gebeurt wanneer de cyclustijd gelijk blijft en er steeds meer groene tijdsloten komen (en er dus rode tijdsloten vanaf gaan). Figuur 7 illustreert dit: Hierbij is het tegenovergestelde waar te nemen. Hoe meer groene tijdsloten des te kleiner de gemiddelde wachtrij zal worden. Ook hier is weer een rechte lijn, ditmaal dalend, waar te nemen met ditmaal een richtingscoëfficient van 0,2. Dit is wederom te verklaren met behulp van vergelijking (62). Wat ook nog interessant is om te bestuderen is het gedrag van de gemiddelde wachtrij door de cyclus heen. In figuur 8 is voor ieder tijdslot de gemiddelde wachtrij gegeven voor het geval dat g = 10 en c =

22 Figuur 7: Grafiek van de gemiddelde wachtrij afgezet tegen de groentijd, waarbij de cyclustijd gelijk blijft aan 60 tijdsloten Figuur 8: Grafiek van de gemiddelde wachtrij door een gehele cyclus, waarbij de groentijd gelijk is aan 10 tijdsloten en de cyclustijd gelijk is aan 15 tijdsloten 22

23 In het begin van de cyclus stijgt de gemiddelde wachtrij met een richtingscoëfficient van p. Dit gaat net zo lang door tot het verkeerslicht op groen springt. Op dat moment gaat de gemiddelde wachtrij eerst vrij snel naar beneden, om vervolgens wat langzamer te dalen en vervolgens zelfs nog te stijgen. Dit komt doordat er van de oorspronkelijke wachtrij steeds minder auto s over blijven. Omdat de auto s die tijdens de cyclus aankomen ook niet direct door kunnen rijden, komt het dus zelfs voor dat er van de oorspronkelijke wachtrij zo weinig auto s wegrijden dat de gemiddelde wachtrij zelfs stijgt doordat er meer auto s aankomen dan wegrijden Model met doorrijden Ook in dit model is het interessant om te kijken wat er gebeurt als er iedere keer een rood tijdslot bijkomt. In figuur 9 is bij verschillende waarden van p te zien wat er gebeurt met de gemiddelde wachtrij, wanneer er rode tijdsloten aan het model worden toegevoegd. De groene tijdsloten (in deze configuratie is g gelijk aan 30) blijven hierin dan gelijk. Uit deze grafiek zijn verschillende conclusies te trekken. Om te beginnen logischerwijs dat wanneer er rode tijdsloten bijkomen dat dan de gemiddelde wachtrij op een willekeurig moment hoger wordt. Bovendien is te zien dat het effect van rode tijdsloten toevoegen groter wordt naarmate de kans dat er een auto aankomt in een tijdslot ook groter wordt. Daarbij geldt dan ook nog eens dat dit effect bij ieder rood tijdslot dat erbij komt ook steeds groter wordt. Dit komt doordat het laatste rode tijdslot de hoogste gemiddelde wachtrij heeft. Wanneer er dan een rood tijdslot bijkomt, komt er dus een tijdslot bij dat zelfs boven de hoogste gemiddelde wachtrij uitkomt. Hierdoor wordt het effect van rode tijdsloten toevoegen dus steeds groter. Net als in het model waarin de auto s niet direct in dezelfde cyclus nog door konden rijden, is ook hier een flinke stijging waar te nemen naarmate de stabiliteitsvoorwaarde (cp < g) genaderd wordt. Ook in figuur 10 is dit weer waar te nemen. Bij de volgende resultaten is dit ook weer waar te nemen. Zo is er ook onderzocht wat er gebeurt wanneer de cyclustijd gelijk blijft en er steeds meer groene tijdsloten komen (en er dus rode tijdsloten vanaf gaan). Figuur 11 illustreert dit. Hierbij is het tegenovergestelde waar te nemen. Hoe meer groene tijdsloten hoe lager de gemiddelde wachtrij zal worden. Bovendien: des te meer groene tijdsloten erbij komen, des te kleiner wordt het effect van de toevoeging ervan. Wat ook op te merken is is dat bij 60 groene tijdsloten de gemiddelde wachtrij gelijk is aan 0. Dit komt natuurlijk door het feit dat er alleen maar groene tijdsloten zijn en geen rode tijdsloten waardoor de auto s altijd direct door kunnen rijden. 23

24 Figuur 9: Grafiek van de gemiddelde wachtrij afgezet tegen de cyclustijd, waarbij de groentijd gelijk blijft aan 30 tijdsloten Figuur 10: Grafiek van de gemiddelde wachtrij afgezet tegen de cyclustijd, waarbij de groentijd gelijk blijft aan 30 tijdsloten 24

25 Figuur 11: Grafiek van de gemiddelde wachtrij afgezet tegen de groentijd, waarbij de cyclustijd gelijk blijft aan 60 tijdsloten Wat ook nog interessant is om te bestuderen is het gedrag van de gemiddelde wachtrij door de cyclus heen. In figuur 12 is voor ieder tijdslot de gemiddelde wachtrij gegeven voor het geval dat g = 10 en c = 15. Het is te zien dat bij deze configuratie geldt, dat er voor de waarden p = 0, 1, p = 0, 2 en p = 0, 3 genoeg groene tijdsloten zijn om aan het eind van de cyclus niet nog een wachtrij te hebben. Hierdoor begint voor deze drie waarden van p de grafiek met een gemiddelde wachtrij van 0 auto s. Gemiddeld komen er per rood tijdslot p auto s bij, wat resulteert in een rechte lijn met richtingscoëfficient p tot het moment dat de groenperiode begint. Dan zullen er eerst veel auto s wegrijden (richtingscoëfficient van bijna 1) en vervolgens komt het steeds minder vaak voor dat een auto wegrijdt. Dit komt doordat de kans dat er in het vorige (groene) tijdslot nog een auto stond natuurlijk steeds kleiner wordt. Het is duidelijk dat dit model veel dichterbij de werkelijkheid komt dan het model waarin de auto s niet direct door konden rijden. Dat er niet altijd genoeg groene tijdsloten zijn om de wachtrij altijd weg te werken blijkt uit figuur 13, waarin g = 5 en c = 15. Aan het begin van de cyclus staan er voor p = 0, 3 gemiddeld rond de 2,36 auto s. Ook hier is nog steeds de rechte lijn gedurende de roodperiode te zien. Ook een steeds minder hard dalende gemiddelde wachtrij gedurende de groenperiode is weer waar te nemen. Dat dit systeem toch in evenwicht is, komt zoals eerder vermeld doordat cp < g. Het kan dus voorkomen dat het heel vaak zo is dat aan het einde van de groenperiode er nog steeds auto s staan en het systeem dus nog steeds in evenwicht is. 25

26 Figuur 12: Grafiek van de gemiddelde wachtrij door een gehele cyclus, waarbij de groentijd gelijk is aan 10 tijdsloten en de cyclustijd gelijk is aan 15 tijdsloten Figuur 13: Grafiek van de gemiddelde wachtrij door een gehele cyclus, waarbij de groentijd gelijk is aan 5 tijdsloten en de cyclustijd gelijk is aan 15 tijdsloten 26

27 6.2 Verschillende aankomstprocessen In de voorgaande subsectie is er onderzocht wat er gebeurt met de wachttijd wanneer de groen- en de roodperioden gevarieerd worden. Hierbij werd echter wel steeds verondersteld dat de kans dat er bij een tijdslot een auto aankomt bij alle tijdsloten hetzelfde is. Dat zal echter niet altijd het geval zijn. Een voorbeeld waarbij dat zeker niet het geval zal zijn, is wanneer er auto s aankomen bij een verkeerslicht, terwijl ze allemaal net van een verkeerslicht vandaan komen dat daar vlak voor stond. Het ideale scenario zou dan zijn dat wanneer deze auto s aankomen bij het tweede verkeerslicht dat ze dan een zo kort mogelijke wachttijd hebben daar. Logischerwijs zou deze wachttijd het kortste zijn wanneer het verkeerslicht juist dan op groen staat wanneer deze auto s aankomen. Dat dit ook het geval is blijkt uit de resultaten die verkregen zijn met behulp van het geschreven programma in Mathematica. Op de volgende pagina zijn tabellen te vinden met daarin de resultaten van verschillende configuraties van in welke tijdsloten de auto s aankomen. De eerste drie tijdsloten zijn rood en de tweede drie tijdsloten zijn groen. Wat uit tabel 1 is op te maken is dat het inderdaad belangrijk is dat auto s niet onnodig lang hoeven te wachten. Wanneer namelijk de auto s vanuit het vorige verkeerslicht aankomen en het verkeerslicht waar ze aankomen springt net op rood, zullen de auto s ongeveer drie tijdsloten onnodig lang moeten wachten. Omdat er in de groene tijdsloten vervolgens geen auto meer bijkomt in de eerste configuratie zal de wachtrij daarna steeds met 1 afnemen. Dit resulteert dan ook in een gemiddelde wachtrij van 1,48 tijdsloten. Dit terwijl wanneer de verkeerslichten zo afgesteld zouden staan dat wanneer de auto s die aankomen van het vorige verkeerslicht zo door zouden kunnen rijden, de gemiddelde wachtrij logischerwijs zelfs gelijk is aan nul. Echter als er ook maar een kleine verschuiving is van het aankomstproces in de groen- en roodperiode resulteert dit direct in een verhoging van de gemiddelde wachtrij van 0,5. Dat deze verhoging iets onder de 0,5 ligt, is echter niet verwonderlijk. In deze configuratie komt er namelijk meestal (met kans 0,99) een auto aan en moet het nog een tijdslot voor het rode verkeerslicht wachten. Voor de volgende auto geldt echter (wederom met kans 0,99) dat deze eerst moet wachten tot de wachtrij weer leeg is, voordat deze weer door kan rijden. Voor de derde aankomende auto geldt exact hetzelfde, waardoor de gemiddelde wachttijd van die drie aankomende auto s iets onder de 1 ligt. Omdat er ook in drie tijdsloten geen auto aankomt en voor deze auto s de wachtrij dus nul is, geldt dat de gemiddelde wachtrij dan inderdaad iets onder de 0,5 ligt. Zo is ook te verklaren dat in de eerste tabel de gemiddelde wachtrij 1,48 is. Vervolgens is het interessant om te bestuderen wat er gebeurt, wanneer de aankomstintensiteiten dichter bij elkaar komen te liggen, waarbij het verwachte aantal auto s dat aankomt gedurende de gehele cyclus wel gelijk blijft. Hierbij zal ook dan nog steeds uitgegaan worden van het gunstigste geval, waarbij de hoogste drie aankomstintensiteiten in de groene tijdsloten vallen. In dat geval valt op te maken dat hoe dichter de aankomstintensiteiten bij elkaar komen te liggen, hoe hoger de gemiddelde wachtrij ook zal worden. Dit is het gevolg van het feit dat het lang niet altijd voorkomt dat de wachtrij aan het einde van een cyclus nu leeg is. Sterker nog: in het bijna uiterste geval dat de eerste drie aankomstintensiteiten gelijk zijn aan 0,49 en de laatste 3 gelijk zijn aan 0,50, zal het regelmatig voorkomen dat er in een cyclus meer auto s aankomen dan er vertrekken. Wanneer dit gebeurt, zal deze extra wachtende auto ook niet meteen weggewerkt zijn, daar de kans dat er 3 of meer auto s aankomen in een cyclus dan boven de 50 % ligt. Naarmate de aankomstintensiteiten dichter bij elkaar komen te liggen, zal dit verschijnsel ook steeds vaker voorkomen, waardoor de gemiddelde wachtrij dus stijgt naarmate de aankomstintensteiten dichter bij elkaar komen te liggen. Dit is ook waar te nemen in tabel 2. 27

28 Tabel 1 Tijdslot Kans op aankomst Gemiddelde Wachtrij 1 0,99 0,99 2 0,99 1,98 3 0,99 2, , , Gemiddeld - 1,48 Tijdslot Kans op aankomst Gemiddelde Wachtrij ,99 0,99 3 0,99 1,98 4 0,99 1, , Gemiddeld - 0, Tijdslot Kans op aankomst Gemiddelde Wachtrij ,99 0,99 4 0,99 0,98 5 0,99 0, Gemiddeld - 0, Tijdslot Kans op aankomst Gemiddelde Wachtrij , , ,99 0 Gemiddeld