Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Transcriptie

1 S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H D2

2 Definitie Poisson proces (1) indien aankomstproces een vernieuwingsproces is en de tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld zijn, dan is het aankomstproces een Poisson proces Telprocess aantal aankomsten N(t) in (0,t]

3 Eigenschappen Poisson proces (3) de aankomstenprocessen in twee willekeurige disjuncte intervallen zijn onderling onafhankelijk, en alleen afhankelijk van lengte intervallen De superpositie van twee Poisson processen met intensiteiten λ 1 en λ 2, levert wederom een Poisson proces, met intensiteit λ 1 + λ 2 het willekeurig uitdunnen van een Poisson proces met intensiteit λ (klanten gaan met kans p<1 het systeem binnen) levert wederom een Poisson proces met intensiteit p λ.

4 4 Een eenvoudig wachtsysteem Klanten arriveren volgens Poisson proces Klanten wachten op hun beurt Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele Een bediende Gemiddelde wachttijd? Kans op wachten? Dimensionering systeem?

5 5 Wachttijdtheorie Herhaling: aankomstproces Notatie M/M/1 queue of Single server queue Wachttijden en de Formule van Little

6 Algemeen : A B S N Notatie voor wachtsystemen wijkt af van Winston, zie dictaat OR II A de tussenaankomsttijdverdeling, B de bedieningsduurverdeling, S het aantal (parallelle) servers, en N de capaciteit van de wachtruimte (indien N < ) Standaardsymbolen voor A en B M : exponentiële verdeling (Markov) D : deterministische verdeling (constant) E n : Erlang verdeling met n fasen GI : niet nader gespecificeerde verdeling (GI = General Independent), aankomstproces is vernieuwingsproces G : niet nader gespecificeerde (bedieningsduur)verdeling

7 7 Wachttijdtheorie Herhaling: aankomstproces Notatie M/M/1 queue of Single server queue Wachttijden en de Formule van Little

8 aankomsten (Poisson λ) Het M M 1 model (1) oneindige Wachtruimte FCFS vertrekken (exponentieel µ)

9 aankomsten (Poisson λ) Het M M 1 model (2) oneindige Wachtruimte FCFS vertrekken (exponentieel µ)

10 Het M M 1 model (3)

11 Het M M 1 model (4)

12 Het M M 1 model (5)

13 Het M M 1 model (6)

14 Het M M 1 model (7) Kolmogorov s diff. vergelijkingen d P (t) = λ P (t) + µ P (t) dt d P dt n(t) = λ P n 1 (t) (λ + µ) P n (t) + µ P n +1 (t) waarbij P n (t) =1, t 0 n= 0 Stationaire verdeling P n = lim t P n (t) stationariteitsvoorwaarde ρ = λ µ <1

15 Het M M 1 model (8) Globale evenwichtsvergelijkingen interpretatie Stationaire verdeling µ P n +1 = λ P n P n = ρ n P 0 = (1 ρ) ρ n n = 0,1,2,...

16 Transitiediagram 0 Het M M 1 model (9) λ 1 µ λ P 0 = µ P 1 λ λ 2 3 µ µ λ µ λ P 1 = µ P 2 λ P 2 = µ P 3 λ P 3 = µ P 4 (etcetera)

17 Het M M 1 model (10) Bezettingsgraad Aantal klanten in het systeem n=1 P n =1 P 0 = ρ Aantal klanten in de wachtrij Gemiddelde wachttijd?

18 18 Wachttijdtheorie Herhaling: aankomstproces Notatie M/M/1 queue of Single server queue Wachttijden en de Formule van Little

19 Notatie Formule van Little (1) E{L} : gemiddelde aantal klanten in systeem E{L w } : gemiddelde aantal klanten in wachtrij E{F} : gemiddelde verblijftijd per klant E{W} : gemiddelde wachttijd per klant Onderlinge relaties

20 Formule van Little (2) de formule van Little geldt ongeacht de volgorde waarin klanten worden bediend Intuitieve verklaring veronderstel dat iedere klant 1 euro betaalt voor iedere tijdseenheid dat hij in het systeem resp. in de wachtrij is Betaling per tijdseenheid van verblijf E{L} per tijdseenheid bij binnenkomst voor gehele verblijftijd: E{F} per klant aantal aankomsten per tijdseenheid λ Betaling binnenkomst voor geh verbftijd λ E{F} per tijdseenh

21 21 Wachttijdtheorie Herhaling: aankomstproces Notatie M/M/1 queue of Single server queue Wachttijden en de Formule van Little

22 Het M M 1 model (11) Aantal klanten in wachtrij ; in systeem Verblijftijd en wachttijd (Little)

23 Het M M 1 model (12) Verdeling van de verblijftijd µ (1 ρ ) t P(F t) =1 e E{F} = 1 µ (1 ρ) Verdeling van de wachttijd µ (1 ρ ) t P(W t) =1 ρ e E{W } = ρ µ (1 ρ) Formule van Little

24 Wachttijdtheorie Hoe hoog mag de belasting van een machine zijn? EF/EB=1/(1- ) F= verblijftijd B = bedieningsduur = bezettingsgraad En hier al 100 x je staat hier 10 x je bedieningstijd te wachten

25 25 Een eenvoudig wachtsysteem Klanten arriveren volgens Poisson proces Klanten wachten op hun beurt Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele Een bediende Gemiddelde wachttijd? Kans op wachten? Dimensionering systeem? Andere wachtsystemen?

26 26 Geboorte sterfte processen M M 1 M M 1 K M M s M M s 0 M M Geboorte sterfte processen PASTA Wachttijdverdeling M M 1

27 Het M M 1 model (1) aankomsten (Poisson λ) oneindige wachtruimte server vertrekken (exponentieel µ)

28 Het M M 1 model (2) Transitiediagram 0 λ 1 µ λ P 0 = µ P 1 λ 2 µ λ P 1 = µ P 2 λ 3 µ λ P 2 = µ P 3 λ µ λ P 3 = µ P 4 µ P n +1 = λ P n P n = ρ n P 0 = (1 ρ) ρ n n = 0,1,2,...

29 Situatieschets Een netwerkprinter bij een netwerk-printer arriveren jobs volgens een Poisson proces met een gemiddelde van 1 per minuut de lengte van een job is bij benadering exponentieel verdeeld met een gemiddelde van 10 pagina s de verwerkingscapaciteit van de printer bedraagt 20 ppm Interessante grootheden de aankomst- en vertrekintensiteit zijn resp. λ = 1 en µ = 2 de bezettingsgraad bedraagt ρ = λ/µ = ½ het gem aantal jobs bij de printer bedraagt ρ / (1-ρ) = 1, de gemiddelde verblijftijd 1/λ = 1 minuut per job (Little) het gem aantal jobs in de wachtrij bedraagt ρ 2 / (1-ρ) = ½, de gemiddelde wachttijd ½/λ = ½ minuut per job (Little) de kans dat een job niet binnen twee minuten is afgedrukt is e -2µ(1-ρ) = e

30 30 Geboorte sterfte processen M M 1 M M 1 K M M s M M s 0 M M Geboorte sterfte processen PASTA Wachttijdverdeling M M 1

31 Het M M 1 K model (1) aankomsten (Poisson λ) eindige wachtruimte (capaciteit K) server vertrekken (exponentieel µ)

32 Transitiediagram 0 Het M M 1 K model (2) λ 1 µ λ P 0 = µ P 1 λ λ µ K λ 1 K+1 µ µ λ P 1 = µ P 2 λ P K 1 = µ P K λ P K = µ P K +1

33 Het M M 1 K model (3) Stationaire verdeling (ρ=λ/µ) Aantal klanten in het systeem Verblijftijd en wachttijd (Little) Aantal binnengekomen klanten E{W } = E{F} 1 µ

34 Situatieschets Een wasstraat bij een wasstraat arriveren auto s voor een (eventuele) wasbeurt met een gemiddelde van 12 per uur een auto rijdt door indien er drie auto s staan te wachten de lengte van een wasbeurt bezit een exponentiële verdeling met een gemiddelde van 4 minuten Interessante grootheden de aankomst- en vertrekintensiteiten bedragen resp. λ = 12 en µ = 15, de capaciteit van de wachtruimte K=3 de bezettingsgraad van de wasstraat bedraagt 1-P 0 =0.70 de blokkeringskans d.w.z. de kans op een volle wasserette bedraagt P 4 = 0.12 er zijn gemiddeld 1.56 auto s in de wasstraat aanwezig dit komt overeen met =0.86 wachtenden gemiddelde doorlooptijd bedraagt 1.56/(0.20*0.88) = 8.90 min

35 35 Geboorte sterfte processen M M 1 M M 1 K M M s M M s 0 M M Geboorte sterfte processen PASTA Wachttijdverdeling M M 1

36 Het M M s model (1) aankomsten (Poisson λ) oneindige wachtruimte server server vertrekken (exponentieel µ) vertrekken (exponentieel µ)

37 Het M M s model (2) Transitiediagram λ λ µ 2 µ λ P 0 = µ P 1 λ P 1 = 2 µ P 2 λ s-1 (s-1) µ λ P s 1 = s µ P s λ s s µ λ 1 s µ λ P s = s µ P s+1 (etcetera)

38 Stationaire verdeling (ρ=λ/µ<s) : Het M M s model (3) Kans alle servers bezet Gem aantal bezette servers Aantal in wachtrij P(Z s) = P n = P 0 (s ρ) (s 1)! s 1 n= 0 E{N w } = (n s) P n = ρ P(Z s) s ρ n= s+1 n= s n P n ρ s + s P(Z s) = ρ

39 Situatieschets 1 Euro per minuut bij een 0900-informatienummer, waar maar liefst 12 telefonistes werken, komen klanten aan volgens een Poisson proces met een gemiddelde van 600 per uur de bedieningsduur per klant bezit een exponentiële verdeling met een gemiddelde van 1 minuut, gesprekskosten E 1 / min Interessante grootheden de aankomst- en vertrekintensiteit bedragen λ = 10 en µ = 1 het aantal servers is s=12 het gem aantal bezette telefonistes is gelijk aan ρ=λ/µ=10 kans alle telefonistes bezet 0.45, kans op directe bediening =0.55 er zijn gem 2.25 wachtenden voor u; de gemiddelde wachttijd bedraagt daarmee minuut 13.5 seconden per klant inkomsten bedragen gemiddeld 600 ( ) is 735 euro per uur; dit komt overeen met E per telefoniste

40 40 Geboorte sterfte processen M M 1 M M 1 K M M s M M s 0 M M Geboorte sterfte processen PASTA Wachttijdverdeling M M 1

41 Het M M s 0 model (1) aankomsten (Poisson λ) geen wachtruimte server server vertrekken (exponentieel µ) vertrekken (exponentieel µ)

42 Transitiediagram 0 Het M M s 0 model (2) λ 1 µ λ P 0 = µ P 1 λ 1 2 µ λ P 1 = 2 µ P 2 λ s-1 (s-1) µ λ P s 2 = (s 1) µ P s 1 λ s s µ λ P s 1 = s µ P s

43 Het M M s 0 model (3) Stationaire verdeling : Erlang verlies formule

44 Situatieschets GSM een GSM cel op de campus met 2 frequenties heeft 15 kanalen beschikbaar voor communicatie; in de pauze tussen hoorcolleges komen gesprekken aan volgens een Poisson proces met een gemiddelde van 600 per uur de gespreksduur per gesprek bezit een exponentiële verdeling met een gemiddelde van 1 minuut Interessante grootheden Blokkeringskans voor een nieuw gesprek: 3.6% het gemiddelde aantal bezette kanalen=10*(1-3.6%)=9.64

45 45 Geboorte sterfte processen M M 1 M M 1 K M M s M M s 0 M M Geboorte sterfte processen PASTA Wachttijdverdeling M M 1

46 Het M M model (1) aankomsten (Poisson λ) geen wachtruimte nodig server server vertrekken (exponentieel µ) vertrekken (exponentieel µ)

47 Het M M model (2) Transitiediagram λ 0 1 µ λ P 0 = µ P 1 λ 1 2 µ λ P 1 = 2 µ P 2 λ s-1 (s-1) µ λ P s 2 = (s 1) µ P s 1 λ s s µ λ P s 1 = s µ P s λ (s+1) µ (etcetera)

48 Stationaire verdeling : Het M M model (3) Bijvoorbeeld via limiet s Gemiddelde aantal bezette servers Uitdunningsargument

49 49 Geboorte sterfte processen M M 1 M M 1 K M M s M M s 0 M M Geboorte sterfte processen