Wachten of niet wachten: Dat is de vraag

Transcriptie

1 Wachten of niet wachten: Dat is de vraag Sindo Núñez-Queija Centrum voor Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

2 Wachten of niet wachten: Dat is de vraag Wanneer heeft u voor het laatst een dag lang niet gewacht? Postkantoor, supermarkt, bushalte, station, stoplicht, rotonde, snelweg, lift, douche, kantine... Water in stuwmeer Telefoongesprek, datapakketjes in het Internet telefonie, data- Wachtrijtheorie en telecommunicatie: communicatie, multimedia De wachtrijtheorie beschrijft, bestudeert en verklaart congestieverschijnselen m.b.v. wiskundige technieken Andere technieken voor bijvoorbeeld wegverkeer 1

3 Overzicht Wachttijdparadox: de klant in bediening heeft een meer dan gemiddelde bedieningstijd Basismodel van de wachtrijtheorie Braess paradox: capaciteitsuitbreiding leidt tot toename van de vertraging van alle klanten 2

4 De wachttijdparadox: een voorbeeld Shuttle bus rijdt dag en nacht een vast rondje Rondje duurt gemiddeld 20 minuten Gemiddelde wachttijd? 10 minuten... 3

5 wachttijdparadox als de bus precies 20 minuten over elk rondje doet! Cyclustijden fluctueren rond het gemiddelde Voorbeeld: 50% kans 30 minuten (brug open) en 50% kans 10 minuten Gemiddelde wachttijd 12.5 minuten 4

6 Illustratie wachttijdparadox... Gedurende 4 uur: 30-minuten intervallen: totaal 3 uur; 10-minuten intervallen: totaal 1 uur Met 75% kans een 30-minuten interval en met 25% kans een 10-minuten interval Gegeven 30-minuten (10-minuten) interval: resterende wachttijd gemiddeld 15 minuten (5 minuten) Gemiddelde wachttijd = 12.5 (ook voor oneindige periode) 5

7 Wachttijdparadox Algemeen Cyclustijd X = k minuten met kans p k, k=1 p k = 1 Verwachting E[X] = k=1 kp k ; tweede moment E[X 2 ] = k=1 k 2 p k q k = kans dat k-minuten cyclustijd gaande is = fractie die k-minuten cycli van de totale tijd vullen q k proportioneel met k en ook met p k q k = kp k k=1 kp k = kp k E[X] In een k-minuten cyclus: resterende wachttijd 1 2 k Gemiddelde wachttijd: k=1 1 2 kq k = E[X2 ] 2E[X] 6

8 De wachttijdparadox Gemiddelde wachttijd = k=1 1 2 kq k = E[X2 ] 2E[X] minstens zo groot is als de halve cyclustijd groter dan de gemiddelde (totale!) E[X 2 ] > 2E[X] 2 (grote variantie) cyclustijd als Voorbeeld 90%kans 10 minuten 10% kans 110 minuten gemiddelde cyclustijd blijft 20 minuten gemiddelde wachttijd is 32.5 minuten! 7

9 M/G/1 wachtrij Wachttijd van een klant vaak ook bepaald door bediening van eerdere klanten klanten bediende Aankomsten: Poisson proces, gemiddelde 1/λ (λ klanten per tijdseenheid) Bedieningstijden: algemene verdeling, gemiddelde E[B] 1 bediende Verkeersintensiteit: ρ := λe[b] < 1 Generalisaties... 8

10 Gemiddelde wachttijd E[W ] en rijlengte E[L] 1. Bediende aan het werk met kans ρ = λe[b] 2. Poisson Arrivals See Time Averages: kansverdelingen op aankomsttijdstippen en op willekeurige momenten zijn gelijk 3. Formule van Little: E[L] = λe[w ] 1&2: E[W ] = ρ E[B2 ] + E[L] E[B] 2E[B] want de klant in bediening heeft gemiddeld nog 1 2 E[B2 ]/E[B]! + Little: Pollaczek-Khintchine formule 9

11 Zware staarten en zware belasting Pollaczek-Khintchine formule Zware staarten: E[W ] = E[L] = ρe[b 2 ] 2(1 ρ)e[b] ρ 2 E[B 2 ] 2(1 ρ)e[b] 2 Variabiliteit leidt tot lange wachtrijen en -tijden Telecommunicatie: bestandsgrootte op het Internet hebben oneindige variantie! Zware belasting: Als ρ van 90% naar 95% (+5,6%) dan verdubbelen E[W ] en E[L]! 10

12 Braess paradox (1968) Capaciteitsuitbreiding kan leiden tot een toename van de vertraging van alle klanten Aankomsten: bij a, Poisson met intensiteit λ Via b of c naar d; wachtrijen ab, ac, bd en cd Identieke bedieningen (B 1 ) bij ab en cd Evenzo staat B 2 voor bedieningen bij ac en bd 11

13 11-1

14 ab en cd zijn M/M/1 wachtrijen, ONEINDIG veel bedienden bij ac en bd zijn Aankomsten λ ab = λ bd en λ ac = λ cd Verblijftijd ab: E[S ab ] = λ abe[b 1 ] 2 1 λ ab E[B 1 ] + E[B 1] = (gebruik E[(B 1 ) 2 ] = 2E[B 1 ] 2 ) E[B 1 ] 1 λ ab E[B 1 ]. 50%-50%: λ ab = λ ac = 1 2 λ 12

15 Stel λ = 0.8, E[B 1 ] = 1 en E[B 2 ] = 10: Reistijd (beide routes ) M/M/1 wachtrij bc, bedieningen E[B 3 ] = 1 Sluiproute wordt gebruikt want < Nieuw evenwicht als alle routes gelijke reistijd hebben, dit is zo als alle klanten van de sluiproute gebruik maken! De gemiddelde reistijd is voor alle klanten toegenomen tot 15 tijdseenheden! 13

16 Constructie In het begin ab sneller dan ac; dus E[B 1 ] λe[b 1] < E[B 2] Met sluiproute: fractie α naar ab en dus 1 α naar ac Evenwicht: fractie 1 α bij bd, fractie α bij cd en fractie 2α 1 bij bc (Als er bij bd minder dan 1 α komen, dan moet er bij cd meer dan α komen. Elke rij op de route a b d is dan minder belast en dus sneller dan de route a c d.) In het evenwicht moet gelden: E[B 1 ] 1 αλe[b 1 ] + E[B 3 ] 1 (2α 1)λE[B 3 ] = E[B 2] (elke route even lang) 14

17 Totale reistijd langer dan in oorspronkelijke netwerk (route a b d) E[B 1 ] 1 αλe[b 1 ] + E[B 2] > E[B 1 ] λe[b 1] + E[B 2] Dit geldt voor iedere 1 2 < α < 1/(λE[B 1]) Zo lang E[B 1 ] 1 αλe[b 1 ] < E[B 2] is er bij α een E[B 3 ] te vinden uit E[B 1 ] 1 αλe[b 1 ] + E[B 3 ] 1 (2α 1)λE[B 3 ] = E[B 2]

18 Bespreking Braess paradox berust op het feit dat de knooppunten die zwaarder belast worden sterker reageren dan de knooppunt die minder belast worden Zijn alle rijen M/M/1, dan is toevoeging van de sluiproute nooit een verslechtering: E[B 1 ] 1 αλe[b 1 ] + E[B 3 ] 1 (2α 1)λE[B 3 ] = E[B 2 ] 1 (1 α)λe[b 2 ] Dus: E[B 1 ] 1 αλe[b 1 ] E[B 2 ] 1 (1 α)λe[b 2 ] Voor α > 1 2 Dit impliceert is dit het geval als α ( 1 2λ E[B 1 ] 1 E[B 2 E[B 1 ] 1 αλe[b 1 ] + E[B 2 ] 1 (1 α)λe[b 2 ] E[B 1 ] λe[b 1] + E[B 2] λe[b 2] ) 15

19 Samenvatting Wachttijdparadox: Klanten in bediening hebben een meer dan gemiddelde bediening M/G/1 wachtrij; zware staarten en zware belasting Netwerk: Braess paradox; Capaciteitsuitbreiding kan leiden tot verslechtering van iedereen 16

20 Wachten of niet wachten: Dat is de vraag Sindo Núñez-Queija sindo