Optimale regeling van de bedieningscapaciteit van een wachtlijnsysteem

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR Optimale regeling van de bedieningscapaciteit van een wachtlijnsysteem Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Karel Snauwaert onder leiding van Prof. Sabine Wittevrongel

2 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR Optimale regeling van de bedieningscapaciteit van een wachtlijnsysteem Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Karel Snauwaert onder leiding van Prof. Sabine Wittevrongel

3 i De auteur en promotor geven de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen ervan te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting uitdrukkelijk de bron te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. The author and promoter give the permission to use this thesis for consultation and to copy parts of it for personal use. Every other use is subject to the copyright laws, more specifically the source must be extensively specified when using from this thesis. Gent, mei 200 De auteur Karel Snauwaert De promotor Prof. S. Wittevrongel

4 Voorwoord Het schrijven van deze masterproef was een leerrijke ervaring. Het betekent niet enkel het einde van mijn opleiding aan de universiteit, maar ook het afsluiten van een boeiende periode op de schoolbanken. Na een mijlpaal als deze, is het goed om vooruit te blikken naar wat nog komen zal, maar ook om eens achterom te kijken en stil te staan bij wat geweest is. Dit voorwoord is de uitgelezen kans om die mensen te bedanken die mij niet alleen geholpen hebben met het tot stand brengen van deze masterproef, maar die mij ook gemaakt hebben tot de persoon die ik nu ben. In de eerste plaats wil ik mijn promotor Prof. S. Wittevrongel en mijn begeleiders K. De Turck en J. Walraevens bedanken. Zij hebben me de kans geboden om mijn opleiding te voltooien met een werk waar ik trots op kan zijn. Bedankt voor alle hulp, uitleg en tips gedurende het hele jaar. Verder wil ik ook mijn ouders en vrienden bedanken die ondanks hun eigen drukke agenda, steeds de nodige tijd voor mij vrijmaakten. Mijn ontwikkeling, opleiding en studie, waarvan dit werk getuige is, werd ondersteund door verschillende mensen. Mijn ouders en familie gaven mij de kans te geraken waar ik nu ben. Ook uit vriendenkring kreeg ik onuitputtelijke steun en plezier. Zonder deze mensen was deze periode ongetwijfeld minder speciaal en memorabel geweest. Karel Snauwaert, mei 200. ii

5 Inhoudsopgave Voorwoord ii Inleiding. Structuur van wachtlijnsystemen De klanten)populatie of bron Het aankomstproces De service-eenheid Capaciteit Beschrijving onderwerp Probleemstelling Voorbeelden Aanpak eenvoudig model Uitbreiding eenvoudig model Basismodel 8 2. Uitleg belangrijkste variabelen Toestandsdiagram Berekening normeringsvoorwaarde Berekening p k Berekening p Berekening gemiddeld aantal klanten Genererende functies Gemiddeld aantal klanten Berekening variantie van het aantal klanten iii

6 Inhoudsopgave iv 2.6 Bespreking resultaten Scenario : λ << µ Scenario 2: λ < µ Scenario 3: µ < λ < µ Scenario 4: µ < λ << µ Scenario 5: µ << λ < µ Scenario 6: λ > µ Model 2: T < Model Uitleg belangrijkste variabelen Toestandsdiagram Berekening normeringsvoorwaarde Berekening p k Berekening p Berekening gemiddeld aantal klanten Genererende functies Gemiddeld aantal klanten Berekening variantie van het aantal klanten Model 2: < T < 8 4. Uitleg belangrijkste variabelen Toestandsdiagram Berekening normeringsvoorwaarde Berekening p k Berekening p Berekening gemiddeld aantal klanten Genererende functies Gemiddeld aantal klanten Berekening variantie van het aantal klanten

7 Inhoudsopgave v 5 Model 2: T > Uitleg belangrijkste variabelen Toestandsdiagram Berekening normeringsvoorwaarde Berekening p k Berekening p Berekening gemiddeld aantal klanten Genererende functies Gemiddeld aantal klanten Berekening variantie van het aantal klanten Bespreking resultaten Scenario : λ = 9 >> µ = 6; = en = Scenario 2: λ = 9 << µ = 2; = en = Scenario 3: λ = 9 >> µ = 2; = 3 en = Scenario 4: λ = 9 >> µ = 4; = 3 en = Scenario s 5, 6, 7 en Model Uitleg belangrijkste variabelen Toestandsdiagram Balansvergelijkingen Conclusie 6

8 Lijst van figuren. Elementaire structuur van een wachtlijnsysteem Toestandsdiagram basismodel De scenario s die besproken worden Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Totale kostengrafiek Verschil tussen de wachtkost en de meerkost voor het werken met de snellere server Totale kostengrafiek Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde kleiner Totale kostengrafiek Totale kostengrafiek Verschil tussen de wachtkost en de meerkost voor het werken met de snellere server Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Totale kostengrafiek Verschil in totale wachtkost, bij een kost per eenheid wachten van 25, tussen scenario en Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde kleiner Totale kostengrafiek Totale kostengrafiek vi

9 Lijst van figuren vii 2.7 Totale kostengrafiek Totale kosten opgesplitst in de wachtkost en de meerkost voor het werken met de snellere server Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Totale kostengrafiek Grafiek van wachttijd Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde kleiner Totale kostengrafiek Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde kleiner Totale kostengrafiek Totale kostengrafiek Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde eronder Totale kosten opgesplitst in de wachtkost en de meerkost voor het werken met de snellere server Verschil in het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij tussen scenario 3b en scenario Verschil in de wachttijd tussen scenario 3b en scenario Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario Verschil in de wachtkost tussen scenario 3b en scenario Verschil in de meerkost voor het werken met de snellere server tussen scenario 3b en scenario Verschil in de dalende meerkost voor het werken met de snellere server tussen scenario 3b en scenario Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario Verschil in de wachtkost tussen kostenscenario waarbij de kost voor een eenheid wachten β = 50 en kostenscenario 2 waarbij de kost voor een eenheid wachten β =

10 Lijst van figuren viii 2.37 Verschil in de totale kosten tussen scenario 4b en scenario Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario Verschil in het gemiddelde aantal klanten tussen scenario 3b en scenario Verschil in de wachttijd tussen scenario 3b en scenario Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario Verschil in de wachtkost tussen scenario 3b en scenario Verschil in de meerkost voor het werken met de snellere server tussen scenario 3b en scenario Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario Verschil in de wachtkost tussen kostenscenario waarbij de kost voor een eenheid wachten β = 50 en kostenscenario 2 waarbij de kost voor een eenheid wachten β = Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario Overzicht van de deelmodellen van model Toestandsdiagram model 2a Toestandsdiagram model 2b Toestandsdiagram model 2c De scenario s die besproken worden Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Grafiek van de wachttijd Totale kostengrafiek Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Totale kostengrafiek Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Grafiek van de wachttijd Totale kostengrafiek Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Totale kostengrafiek

11 Lijst van figuren ix 5.4 Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Grafiek van de wachttijd Totale kostengrafiek Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Totale kostengrafiek Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Grafiek van de wachttijd Totale kostengrafiek Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Totale kostengrafiek Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Overzicht van scenario s 5, 6, 7 en Toestandsdiagram model

12 Hoofdstuk Inleiding Wachtlijntheorie is de wetenschap die zich bezighoudt met het beschrijven, bestuderen en verklaren van de fenomenen die zich voordoen in wachtrijsystemen. Het doel van de wachtlijntheorie is het voorspellen en het controleren van de wachttijden en het wachtgedrag van wachtrijsystemen. Wachtrijsystemen zijn systemen waarin klanten mogelijk moeten wachten op bediening. Aangezien de mechanismen die de fenomenen in wachtrijsystemen veroorzaken gewoonlijk van niet-deterministische aard zijn, worden deze fenomenen beschreven aan de hand van probabilistische of stochastische modellen. Wachtlijntheorie is vanwege deze reden een onderdeel van de toegepaste probabiliteitstheorie. Het is een tak van de probabiliteitstheorie die zich bezighoudt met de studie van wachtlijnen. Wachtlijnen zijn een bekend fenomeen dat we dagelijks tegenkomen is ons leven. Denk maar aan de rijen die zich vormen aan de kassa van grootwarenhuizen of mensen die staan aan te schuiven aan een betaalautomaat om geld af te halen.. Structuur van wachtlijnsystemen Een wachtlijnsysteem is een systeem waarbij klanten een vorm van dienstverlening wensen van een service-eenheid. Door de onvoorspelbaarheid van het aankomstpatroon van de klanten kan er een conflict ontstaan tussen de hoeveelheid service die geleverd kan worden per tijdseenheid en het aantal klanten die service verlangen. Het gevolg van dit conflict is het ontstaan van een rij van wachtende klanten, ook wel een wachtlijn genoemd. De oorzaak van het fenomeen wachtlijn is dat er tijdelijk meer aanvragen voor een bepaalde vorm van dienstverlening het systeem binnenkomen dan het systeem kan verwerken. Het geheel van de service-eenheid en de bijhorende wachtlijn, wordt een wachtlijnsysteem genoemd.

13 .. Structuur van wachtlijnsystemen 2 Figuur.: Elementaire structuur van een wachtlijnsysteem Nu volgt een korte bespreking van de verschillende elementen van een wachtlijnsysteem. Als belangrijkste bron voor deze bespreking werd de cursus Wachtlijntheorie van Prof. dr. ir. Herwig Bruneel gebruikt... De klanten)populatie of bron De klantenpopulatie of de bron van een wachtlijnsysteem is de verzameling van alle mogelijke klanten van het wachtlijnsysteem. De populatie van een wachtlijnsysteem kan zowel eindig als oneindig zijn. Bij een eindige populatie hebben de klanten die zich reeds in het wachtlijnsysteem bevinden een invloed op de aankomststroom van nieuwe klanten. Bij een oneindige populatie is dit niet het geval...2 Het aankomstproces Het aankomstproces van een wachtlijnsysteem beschrijft de snelheid waarmee en de manier waarop de klanten toekomen in het systeem. Een belangrijke kenmerkende parameter voor het aankomstproces is het gemiddelde aantal aankomsten per tijdseenheid of de aankomstintensiteit. Bij wachtlijnen in continue tijd wordt tevens het patroon van de aankomsttijdstippen gespecificeerd. Meestal modelleert men deze interarrivaltijd als een continue toevalsveranderlijke waarvan de waarschijnlijkheidsdistributie onafhankelijk is van de klanten in kwestie...3 De service-eenheid Het serviceproces wordt door 3 kenmerken gekarakteriseerd: de servicetijd, het aantal servers en de wachtlijndiscipline.

14 .. Structuur van wachtlijnsystemen 3 Het eerste typerende kenmerk voor een service-eenheid is de verwerkings- of servicetijd. Dit is de tijd die de service-eenheid van het wachtlijnsysteem nodig heeft om een klant volledig te bedienen. Deze servicetijd is afhankelijk van de hoeveelheid werk die de klant vraagt en van de snelheid waarmee de service-eenheid werkt. Een tweede belangrijk gegeven voor een service-eenheid is het aantal servers of servicestations die in de service-eenheid aanwezig zijn. Het aantal servers is een indicatie voor het aantal klanten die parallel bediend kunnen worden. Meestal veronderstelt men dat, ingeval er meer dan één server is, de servers equivalent zijn. Dit wil zeggen dat alle servers dezelfde distributie van de verwerkingstijd hebben. Natuurlijk kan het ook zijn dat de verschillende servers niet equivalent zijn. De derde en laatste karakteristiek van de service-eenheid is de wachtlijndiscipline of servicediscipline. De wachtlijndiscipline beschrijft de manier en de volgorde waarop klanten uit de wachtlijn in de service-eenheid worden binnengelaten. Er zijn enkele standaardwachtlijndisciplines: FCFS: first-come-first-served: klanten worden uit de wachtlijn geselecteerd volgens de volgorde van aankomst. LCFS: last-come-first-served: de laatst aangekomen klant wordt eerst bediend. RSS: random-order-of-service: elke klant in de wachtlijn heeft een even grote kans om uit de wachtlijn geselecteerd te worden, ongeacht de volgorde van aankomst. PR: prioriteitswachtlijndiscipline: klant met hoge prioriteit krijgt voorrang op lagere prioriteitsklant. RR: round-robin: alle klanten in de wachtlijn ontvangen om de beurt een deel van de bediening. PS: processor-sharing: alle klanten worden tegelijk, maar met gereduceerde snelheid bediend...4 Capaciteit De bufferruimte van een wachtlijnsysteem is het aantal klanten die maximaal tegelijk kunnen opgevangen worden in het wachtlijnsysteem. Hiermee bedoelt men het aantal klanten in de service-eenheid zelf en de klanten in de wachtlijn. De capaciteit van een systeem wordt dikwijls verondersteld oneindig te zijn. Dit wil zeggen dat elke klant die aankomt, toelating krijgt om te wachten tot hij bediend kan worden. In het geval dat er uitgegaan wordt van een eindige capaciteit, kan het gebeuren dat de wachtlijn volledig volzit en men klanten moet weigeren. Men spreekt dan van verlies of overflow.

15 .2. Beschrijving onderwerp 4.2 Beschrijving onderwerp.2. Probleemstelling Algemeen gesproken is een wachtlijnsysteem een systeem waar klanten wachten op een zekere vorm van bediening door een bedieningseenheid. In klassieke wachtlijnmodellen wordt de capaciteit van het bedieningsstation gewoonlijk vast verondersteld. In deze masterproef daarentegen worden wachtlijnsystemen beschouwd waarbij de bedieningscapaciteit van het bedieningsstation varieert in de tijd. De bedoeling van deze masterproef is het gedrag van wachtlijnen met een variabele bedieningscapaciteit te bestuderen aan de hand van de systeembezetting en de tijdsvertraging die klanten in het systeem kunnen oplopen. De nadruk hierbij ligt op een bedieningscapaciteit die varieert op basis van het in het wachtlijnsysteem aanwezige klanten. Zo zou men de capaciteit kunnen verhogen of extra bedieningseenheden inzetten als het aantal wachtende klanten een drempelwaarde overschrijdt..2.2 Voorbeelden Het typische voorbeeld van een wachtlijnsysteem met variërende bedieningscapaciteit is een grootwarenhuis. In een grootwarenhuis kan de capaciteit gedurende een gewone dag grote variaties vertonen. Zo kan men op de niet-piekmomenten ervoor kiezen om 3 kassa s =servers) te openen. Als het grootwarenhuis gedurende een hele dag slechts 3 kassa s zou openen, zouden gedurende de piekmomenten lange wachtlijnen verschijnen aan elk van de 3 kassa s. Om dit probleem te vermijden, kan het grootwarenhuis gedurende de piekmomenten ervoor kiezen om 2 extra kassa s te openen. Hierdoor zullen de wachtlijnen niet of slechts in veel mindere mate verschijnen. Dit is duidelijk een voorbeeld van een systeem waarbij het mogelijk is tijdelijk de capaciteit van de service-eenheid te verhogen. Andere voorbeelden zijn winkels, restaurants waar ze in de piekmomenten extra personeel inschakelen zodat de klanten sneller bediend worden en minder lang moeten wachten..3 Aanpak eenvoudig model Er wordt gekozen om de studie te doen via wachtlijnmodellen in continue tijd. Dat wil zeggen dat de tijd een continue grootheid is. Het vertrekpunt van de masterproef is een zeer eenvoudig model, nl. een wachtlijnsysteem met server die kan werken aan 2 snelheden. Het wachtlijnsysteem zal overschakelen van de lage snelheid naar de hogere snelheid 2 als het aantal in de wachtrij groter is dan een bepaalde waarde T. Deze waarde T is de drempelwaarde van het systeem. Snelheid

16 .3. Aanpak eenvoudig model 5 zal dus gebruikt worden als het aantal wachtende klanten onder de drempelwaarde T blijft. Overschrijdt het aantal wachtende klanten de drempelwaarde T, dan zal de service-eenheid overschakelen op een hogere snelheid en zal het systeem tijdelijk overschakelen op een hogere capaciteit. De service-eenheid zal door deze hogere capaciteit meer klanten kunnen bedienen per tijdseenheid. Hierdoor kan het aantal wachtende klanten onder controle gehouden worden of zelf worden verkleind. Om te beginnen wordt een toestandsdiagram van dit eenvoudig model opgesteld, gevolgd door de formules. De analysemethode zal gebaseerd zijn op het M/M/-systeem. Een M/M/-wachtlijnsysteem is het meest eenvoudige wachtlijnsysteem met één enkele server, onderling onafhankelijke exponentieel verdeelde interarrivaltijden en onderlings onafhankelijke exponentieel verdeelde servicetijden. De interarrivaltijden en servicetijdens zijn ook onderling onafhankelijk. Het doel is om uiteindelijk voor het eenvoudige model formules te vinden voor: Aantal klanten in het systeem Variantie van het aantal klanten Wachttijd van de klanten Bezettingsgraad... Aan de hand van deze formules wordt het model dan bestudeerd en geëvalueerd voor verschillende waarden van de drempelwaarde T. Het is de bedoeling te kijken welke invloed de waarde T op de verschillende grootheden van het systeem aantal wachtende klanten, wachttijd klanten,... ) heeft. Naast de evaluatie van het model aan de hand van verschillende waarden voor de drempelwaarde T, is het ook interessant om het kostenplaatje in rekening te brengen. Mensen wachten niet graag. Door te wachten verliezen mensen hun tijd, waardoor wachten als een kost wordt beschouwd. Deze wachtkost zal daarom gelinkt worden aan de wachttijd van de klant. Naast een wachtkost voor de klant, is er ook een kost voor het systeem. Zoals reeds vermeld kan de server van het systeem in dit eenvoudig model aan 2 snelheden werken. Eigenlijk kan het systeem dus werken met een trage server en met een snellere server =dezelfde server die werkt aan de hogere snelheid). Het werken met de snellere server brengt natuurlijk een meerkost voor het systeem mee. Werken met de snellere server is duurder dan werken met de trage server en dus zal het systeem extra kosten moeten dragen als met de snellere server gewerkt wordt. Deze extra kost of meerkost zal gelinkt worden aan de kans dat het aantal klanten in de wachtrij een bepaalde drempelwaarde T overschrijdt. Dit is tevens de kans dat het systeem zal moeten werken met de snellere server en dus de meerkost zal moeten dragen. Op deze manier kan voor elke drempelwaarde een totale kost berekend worden. Deze

17 .4. Uitbreiding eenvoudig model 6 totale kost bestaat dan uit een wachtkost en uit een meerkost voor het werken met de snellere server. Het uiteindelijk doel zal dan zijn om te komen tot een optimale drempelwaarde T waarbij de totale kost van het systeem minimaal is. We zoeken dus voor het systeem een optimale drempelwaarde T waarbij, als het systeem bij die waarde omschakelt van de trage naar de snellere server, de totale kosten voor het systeem minimaal zijn. Uiteraard zal de berekening van de verschillende grootheden, zoals het aantal klanten in de wachtrij en de wachttijd, en van de optimale drempelwaarde T afhangen van de verschillende variabelen die de structuur van het systeem bepalen zie.). Daarom zal om een volledig beeld te krijgen van het model meer dan één scenario uitgewerkt worden. Bij elk scenario zullen de verschillende variabelen in het systeem andere waarden of andere verhoudingen krijgen en zal gekeken worden wat de invloed op de totale kost en op de optimale drempelwaarde van het systeem is..4 Uitbreiding eenvoudig model Na het bestuderen van het eenvoudig model met server, wordt het model uitgebreid naar een wachtlijnsysteem met meerdere servers. Het principe zal hetzelfde zijn als in model. Deze keer zal het systeem echter overschakelen op een hoger aantal servers en niet op een hogere snelheid als de drempelwaarde T overschreden wordt. Zolang het aantal klanten in de wachtrij lager blijft dan de drempelwaarde T zal het systeem maximaal werken met het initieel aantal servers. Als het aantal klanten in de wachtrij echter de drempelwaarde T overschrijdt, dan zal het systeem het aantal open servers opdrijven van naar het hogere aantal. De uitwerking van dit model 2 is vanzelfsprekend niet zo eenvoudig als de uitwerking van het basismodel. Net als in het basismodel zal ook voor model 2 het toestandsdiagram opgesteld worden. Daarna zal aan de hand van de analysemethode van een M/M/m-systeem de formule van een aantal belangrijke grootheden berekend worden. Een M/M/m-wachtlijnsysteem is een wachtlijnsysteem met een eindig aantal, m, equivalente servers, onderling onafhankelijke exponentieel verdeelde interarrivaltijden en onderlings onafhankelijke exponentieel verdeelde servicetijden. De interarrivaltijden en servicetijdens zijn ook onderling onafhankelijk. In dit model wordt een ander toestandsdiagram en andere formules bekomen, afhankelijk van waar de drempelwaarde T ligt ten opzichte van het mogelijk aantal servers en. Vandaar dat het model zal opgesplitst worden in 3 deelmodellen. Een bespreking van de resultaten zal zich wel beperken tot één van deze 3 deelmodellen aangezien slechts van de 3 deelmodellen echt een realistische situatie weergeeft. De andere 2 deelmodellen zullen in de realiteit nooit voorkomen. Voor het meest realistische deelmodel wordt dan op ongeveer dezelfde manier als bij het eenvoudig model opnieuw het kostenplaatje

18 .4. Uitbreiding eenvoudig model 7 in rekening gebracht. Voor elke drempelwaarde wordt deze keer een wachtkost en een serverkost berekend. De serverkost zal afhankelijk zijn van het gemiddeld aantal servers waarmee het systeem werkt. Voor elke drempelwaarde wordt dan een totale kost berekend zodat voor het systeem opnieuw een optimale drempelwaarde gevonden kan worden waarbij de totale kost minimaal is. Uiteraard zal de berekening van de verschillende grootheden en van de optimale drempelwaarde T opnieuw afhangen van de verschillende variabelen die de structuur van het systeem bepalen. Om een volledig beeld van het besproken deelmodel te krijgen zal opnieuw meer dan één scenario uitgewerkt worden. Bij elk scenario zullen de verschillende variabelen in het systeem andere waarden of andere verhoudingen krijgen en zal gekeken worden wat de invloed is op de totale kost en op de optimale drempelwaarde van het systeem. Om te eindigen wordt dan nog kort een beeld geschetst en worden een aantal berekeningen gemaakt van een laatste model. Een zeer realistisch model waardoor de moeilijkheidsgraad veel hoger ligt. In de vorige twee modellen wordt de capaciteit van het systeem opgedreven enerzijds door een snellere server te gebruiken en anderzijds door meer servers in te schakelen, als het aantal klanten in de wachtrij een bepaalde drempelwaarde overschrijdt. Door te werken aan de hogere capaciteit slaagt het systeem erin het aantal klanten in de wachtrij terug te drijven naar een waarde lager dan de drempelwaarde. Als het aantal wachtende klanten terug onder de drempelwaarde komt te liggen, schakelt het systeem terug op de lagere capaciteit. Dit kan leiden tot een systeem dat constant overschakelt van de lage naar de hogere capaciteit. Om dit te vermijden zal in dit laatste model gewerkt worden met een overgangsperiode. Als het aantal klanten in de wachtrij in dit model een bepaalde drempelwaarde T 2 overschrijdt zal het systeem omschakelen en werken aan de hogere capaciteit. De omschakeling naar de lage capaciteit zal nu echter niet gebeuren als het aantal wachtende klanten terug lager wordt dan de drempelwaarde T 2, maar als het aantal wachtende klanten lager wordt dan de kleinere drempelwaarde T. Door te werken met 2 drempelwaarden is er dus eigenlijk een overgangsperiode en zal er dus niet constant moeten omgeschakeld worden van de lage naar de hogere capaciteit. Het is dus een veel realistischer model.

19 Hoofdstuk 2 Basismodel Het eerste hoofdstuk en tevens het vertrekpunt van de thesis, is een zeer eenvoudig model van een wachtlijnsysteem met één server die aan twee snelheden kan werken. Snelheid zal gebruikt worden als het aantal wachtende klanten onder een bepaalde drempelwaarde blijft. Overschrijdt het aantal wachtende klanten de drempelwaarde, dan zal de service-eenheid overschakelen op de hogere snelheid 2 en zal het systeem tijdelijk overschakelen op een hogere capaciteit. Om te beginnen wordt het toestandsdiagram opgesteld. Dit toestandsdiagram wordt gebruikt als hulpmiddel bij het opstellen van de formules van de belangrijkste grootheden van het model. De analysemethode is gebaseerd op het M/M/ systeem. De notatie M/M/ is de Kendall-notatie van een wachtlijnsysteem, ze wordt gebruikt ter specificatie van een type wachtlijnsysteem: A/B/m. Deze lettercode duidt een wachtlijnsysteem aan met m servers, waarbij de letters A en B de distributies van interarrivaltijden en servicetijden beschrijven. Een M binnen deze lettercode staat voor een exponentiële distributie; waarbij de M afkomstig is van memoryless. Een M/M/-wachtlijnsysteem is het meest eenvoudige wachtlijnsysteem. Een dergelijk wachtlijnsysteem heeft één enkele server, onderling onafhankelijke exponentieel verdeelde interarrivaltijden en onderling onafhankelijke exponentieel verdeelde servicetijden. De interarrivaltijden en servicetijden zijn ook onderling onafhankelijk. Het uiteindelijke doel zal zijn om formules te vinden voor enkele basisgrootheden van zo n M/M/ model. Aan de hand van deze formules wordt het model bestudeerd en geëvalueerd voor verschillende waarden van de drempelwaarde T. Op die manier wordt de invloed bekeken die de drempelwaarde T op de verschillende grootheden aantal wachtende klanten, wachttijd klanten,... ) van het systeem uitoefent. Naast de evaluatie van het model aan de hand van verschillende waarden voor de drempelwaarde T, is het ook interessant om het kostenplaatje in rekening te brengen. Zoals in de inleiding reeds vermeld zal dit gebeuren door voor elke drempelwaarde een totale kost te berekenen. Deze totale kost zal voor elke drempelwaarde bestaan uit een wachtkost en uit 8

20 2.. Uitleg belangrijkste variabelen 9 een meerkost voor het werken met de snellere server. De wachtkost wordt veroorzaakt door het laten wachten van klanten. Wachten staat voor de klant gelijk aan tijdsverlies en wordt daarom als kost beschouwd. Om deze reden is de wachtkost gekoppeld aan de wachttijd. De meerkost voor het werken met de snellere server ontstaat omdat werken aan de hogere snelheid duurder is dan werken aan de lage snelheid. Als het aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarde overschrijdt en het systeem overschakelt op de hogere snelheid, zal het systeem een extra kost of meerkost moeten dragen in vergelijking met werken aan de trage snelheid. Deze meerkost wordt gelinkt aan de kans dat het aantal klanten in de wachtrij een bepaalde drempelwaarde overschrijdt of dus aan de kans dat het systeem aan de hogere snelheid zal werken. Het berekenen van een totale kost voor elke drempelwaarde zorgt ervoor dat de optimale drempelwaarde kan bepaald worden. Als het systeem bij deze optimale drempelwaarde omschakelt van de trage naar de snellere server server, is de totale kost voor het systeem minimaal. Het doel van het onderzoeken van de kosten, is dan ook het vinden van deze optimale drempelwaarde. Uiteraard zal de berekening van de verschillende grootheden, zoals het aantal klanten in de wachtrij en de wachttijd, en van de optimale drempelwaarde T afhangen van de verschillende variabelen die de structuur van het systeem bepalen zie inleiding). Daarom zal om een volledig beeld te krijgen van het model meer dan één scenario uitgewerkt worden. Bij elk scenario zullen de verschillende variabelen in het systeem andere waarden of andere verhoudingen krijgen en zal gekeken worden wat de invloed is op de totale kost en op de optimale drempelwaarde van het systeem. 2. Uitleg belangrijkste variabelen Voor begonnen wordt met het berekenen van de formules, worden in dit deel even kort de belangrijkste en meest gebruikte variabelen van het wachtlijnsysteem en enkele andere symbolen uitgelegd. Eerst worden de variabelen die het wachtlijnsysteem zelf beinvloeden uitgelegd: λ = de gemiddelde) aankomstintensiteit en geeft het gemiddelde aantal aankomsten per tijdseenheid aan. Anders verwoord is dit het gemiddelde aantal klanten dat per tijdseenheid in het systeem binnenkomt. µ = de gemiddelde) verwerkingsintensiteit als de server aan de lage snelheid werkt en geeft het gemiddelde aantal klanten weer dat door een server, werkend aan deze lage snelheid, per tijdseenheid bediend kan worden. µ 2 = de gemiddelde) verwerkingsintensiteit als de server aan de hogere snelheid 2 werkt en geeft dus het gemiddelde aantal klanten weer dat door een server, werkend aan deze hogere snelheid, per tijdseenheid bediend kan worden.

21 2.2. Toestandsdiagra0 ρ = de gemiddelde) bezettingsgraad van het systeem, dit is de verhouding van de snelheid waarmee werk het systeem binnenkomt tot de maximale snelheid waarmee het systeem dit werk kan uitvoeren. De bezettingsgraad ρ geeft de verhouding weer van het aantal klanten die gemiddeld per tijdseenheid in het systeem binnenkomen, tot het maximale) aantal klanten die het systeem gemiddeld per tijdseenheid kan bedienen. Dit is het aantal klanten die het systeem gemiddeld per tijdseenheid zou bedienen wanneer het voortdurend voorzien zou worden van nieuwe klanten. ρ = λ µ in een systeem met server en ρ = λ mµ in een systeem met m servers. De drempelwaarde T wordt ook kort uitgelegd: T = de waarde T is de drempelwaarde van het wachtlijnsysteem. Deze waarde geeft de maximale lengte weer die een wachtrij mag zijn in het systeem. Eens de wachtrij of het aantal wachtende klanten gelijk wordt aan deze drempelwaarde, zal het systeem omschakelen van werken met de lagere naar werken met de hogere capaciteit om zo de wachtrij onder controle te houden. In dit model wil dit zeggen dat het systeem zal beginnen werken met de snellere server eens het aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarde T bereikt. Als laatste nog een opmerking. In de volgende delen zal geregeld gebruikt gemaakt worden van de benamingen trage en snellere server. De trage server is de server van het systeem die werkt aan de trage snelheid of dus met lage verwerkingsintensiteit µ. De snellere server is dezelfde server die werkt aan de hogere snelheid of dus met hoge verwerkingsintensiteit µ Toestandsdiagram Figuur 2.: Toestandsdiagram basismodel 2.3 Berekening normeringsvoorwaarde In deze thesis wordt het regimegedrag van een aantal wachtlijnsystemen in continue tijd bestudeerd. Deze wachtlijnsystemen behoren tot de speciale klasse der zogenaamde birthdeath-wachtlijnsystemen of afgekort BD-wachtlijnsystemen. Een wachtlijnsysteem wordt

22 2.3. Berekening normeringsvoorwaarde een BD-wachtlijnsysteem genoemd indien klanten in dat systeem aankomen arrivals ) en uit dat systeem weggaan departures ) op een zodanige manier dat het proces Nt), dat de systeembevolking op tijdstip t aanduidt, een birth-death-proces vormt. De kenmerkende eigenschap van BD-processen is dat zij op ieder ogenblik) van een bepaalde toestand alleen maar kunnen overgaan naar een naburige toestand. Dit wil zeggen dat toestandtransacties alleen mogelijk zijn tussen naburige toestanden. De naam birth-death is ontstaan omdat een transactie naar een hogere toestand een geboorte birth ) wordt genoemd en een transactie naar een lagere toestand een overlijden death ). Het regimegedrag van de meeste in praktijk voorkomende BD-processen wordt beheerst door de evenwichtsvergelijkingen of balansvergelijkingen van het BD-proces. Dit zijn vergelijkingen die bekomen worden door in de bewegingsvergelijkingen P k t) door p k en dp kt) dt door 0 te vervangen, samen met de normeringsvoorwaarde: p k = Hierbij is Xt) de toestand van het proces of wachtlijnsysteem op tijdstip t. Dit is het aantal klanten in het wachtlijnsysteem op tijdstip t. P k t) is de kans dat de toestand van het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, of dat het aantal klanten in het systeem gelijk is aan k. Dit kan ook als volgt geschreven worden P k t) = P rob [Xt) = k]. Als laatste is er nog p k. p k = lim t P k t) p k is de kans is dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, als het systeem in regime is. Hierna wordt kort uitgelegd wat een systeem in regime betekent. Een wachtlijnsysteem wordt stabiel genoemd als er limietdistributies bestaan voor al de belangrijke toevalsgrootheden die het systeemgedrag beschrijven, en indien alle binnengekomen klanten uiteindelijk) bediend worden. Wanneer deze limietdistributies bereikt worden, zegt men dat het systeem zich in regimetoestand) of evenwichtstoestand) bevindt. De voorwaarde opdat een evenwichtstoestand zou bestaan wordt de evenwichtsvoorwaarde of de stabiliteitsvoorwaarde van het wachtlijnsysteem genoemd, en wordt in het algemeen gegeven door de ongelijkheid λ <. Uiteraard wordt deze evenwichtsvoorwaarde in een systeem met meerdere equivalente servers λ < mµ. Deze ongelijkheid betekent dat het aantal klanten dat gemiddelde per tijdseenheid het systeem binnenkomt λ) strikt kleiner moet zijn dan het maximale) aantal klanten dat door de m servers samen gemiddeld per tijdseenheid kan afgewerkt worden mµ). Toegepast op het vorige is het duidelijk dat de kans p k, zoals duidelijk in de formule te zien is, een limietdistributie is. De kans p k is bijgevolg de kans is dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, als het systeem in regime is.

23 2.3. Berekening normeringsvoorwaarde Berekening p k Zoals reeds gezien is p k de kans dat het aantal klanten in een wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan k. Via de balansvergelijkingen, die inhouden dat tussen 2 opeenvolgende toestanden de stroom naar rechts gelijk is aan de stroom naar links, zullen alle mogelijke waarden van p k berekend worden in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. Deze waarschijnlijkheid is p 0, de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is. De balansvergelijkingen in dit basismodel zijn: p k = λ p k ; T k µ p k = λ µ 2 p k ; k T Vanuit deze balansvergelijkingen wordt voor elke waarde van k, p k berekend in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. λp 0 = µ p p = λ µ p 0 λp = µ p 2 p 2 = λ µ p p 2 = λ µ ) 2 p 0... λp T 2 = µ p T p T = λ µ p T 2 p T = λ µ ) T p 0 λp T = µ 2 p T p T = λ µ 2 p T p T = λ µ 2 ) λ µ ) T p 0

24 2.3. Berekening normeringsvoorwaarde 3 λp T = µ 2 p T + p T + = λ µ 2 p T p T + = λ µ 2 ) 2 λ µ ) T p 0 λp T + = µ 2 p T +2 p T +2 = λ µ 2 p T + p T +2 = λ µ 2 ) 3 λ µ ) T p 0... Uit deze berekeningen wordt de formule voor de waarschijnlijkheid om het proces in toestand k aan te treffen afgeleid. De berekeningen tonen dat de waarde p k niet voor alle waarden van k op dezelfde manier kan berekend worden. Afhankelijk van de waarde van k wordt een andere formule verkregen: p k = λ µ ) k p 0, 0 k T p k = λ µ 2 ) k T + λ µ ) T p 0, k T Via deze 2 formules is het mogelijke alle waarden van p k te berekenen in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. Aangezien het doel is om via de normeringsvoorwaarde de kans te berekenen dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is, zal aan de hand van vorige 2 formules de som van p k van 0 tot opgesplitst worden in 2 delen: T p k = p k + p k = Eerst wordt de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand kleiner is dan T berekend. Dit gebeurt door de som te nemen van alle waarschijnlijkheden p k waarbij k groter is dan 0 maar kleiner is dan T. k=t T T p k = λ ) k p 0 µ

25 2.3. Berekening normeringsvoorwaarde 4 De tweede som duidt de kans aan dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand groter of gelijk is aan T. Deze kans wordt gevonden door, voor alle k waarden groter dan of gelijk aan T, de p k s te sommeren. p k = λ ) k T + λ ) T p 0 µ 2 µ k=t k=t Deze 2 sommen zullen van belang zijn in de berekening van de kans p Berekening p 0 Zoals reeds gezien is p k de kans dat het aantal klanten in een wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan k. Via de balansvergelijkingen wordt voor elke waarde van k, de kans p k in functie van de waarschijnlijkheid een proces aan te treffen in toestand 0, gevonden. Dit is eigenlijk p 0 of de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is. De kans p 0 kan vervolgens berekend worden aan de hand van de normeringsvoorwaarde. De kans p 0 zal van groot belang zijn aangezien via deze kans ook de kans berekend kan worden dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan 2,3 of een andere waarde voor k. Daarbovenop zal de kans p 0 belangrijk zijn voor de berekening van het gemiddelde aantal klanten E[X]. volgt: De berekening van de kans p 0 aan de hand van de normeringsvoorwaarde verloopt als p k = T T [ T p k + p k = k=t λ µ ) k p 0 + λ ) k + µ λ ) k T + λ ) T p 0 = µ 2 µ k=t ] λ ) k T + λ ) T p 0 = µ 2 µ k=t Ter vereenvoudiging wordt gebruikt gemaakt van de notaties α en α 2 : λ µ = α λ µ 2 = α 2

26 2.3. Berekening normeringsvoorwaarde 5 Met behulp van de formule van de meetkundige reeks wordt de eerste sommatie uitgerekend: De normeringsvoorwaarde vereist dan dat [ T α k + k=t k T + α2 α T ] p 0 = n i=m a i = an+ a m a Met behulp van deze formule wordt de eerste sommatie uitgewerkt: T α k = αt α0 α = αt α De tweede sommatie wordt uitgewerkt met behulp van volgende formule: α k = α n k=n α k n k=n = α n i=0 α i = α n α Deze manier om een som weg te werken wordt toegepast op de tweede sommatie: k=t k T + α2 α T = α T k=t = α T α 2 = α T α 2 = αt α 2 α 2 k T + α2 k=t i=0 α k T 2 Door beide uitgewerkte sommaties samen te brengen in de normeringsvoorwaarde, kan p 0 berekend worden: α i 2

27 2.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 6 [ T α k + k=t k T ) α2 α T ] p 0 = [ ] α T α + αt α 2 p 0 = α 2 [ ] α T ) α 2) + α T α 2 )α ) p 0 = α ) α 2 ) [ ] α T αt α 2 + α 2 + α T α 2 α T α 2 p 0 = α α α 2 + α 2 [ ] α T + α 2 α T α 2 p 0 = α α α 2 + α 2 p 0 = α α α 2 + α 2 α T + α 2 α T α 2 α ) α 2 ) p 0 = α T + α 2 α T α Berekening gemiddeld aantal klanten Voor de berekening van het gemiddeld aantal klanten in het wachtlijnsysteem wordt gebruik gemaakt van genererende functies Genererende functies p k = Pr [X = k] Hierbij is p k de kans is dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, als het systeem in regime is. X is het aantal klanten in het systeem in regime. De genererende functie Xz) van X is gedefinieerd als volgt: Xz) = p k z k De momentengenererende eigenschap van genererende functies levert: E[X] = X ) E[X 2 ] = X ) + X )

28 2.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 7 Via genererende functies is het dus eenvoudiger om de gemiddelde waarde en de variantie van het aantal klanten in een wachtlijnsysteem te berekenen. Een ander belangrijk kenmerk van een genererende functie is dat X) = Gemiddeld aantal klanten Zoals te zien was in het deel over genererende functies is de waarschijnlijkheid om een proces in een bepaalde toestand k aan te treffen, p k, essentieel om gebruik te maken van genererende functies. De kans p k werd al berekend en wordt hier nog eens vermeld: p k = α k p 0, 0 k T p k = α 2 ) k T + α ) T p 0, k T Om gebruik te kunnen maken van genererende functies dient eerst Xz) berekend te worden. Door deze formule Xz) af te leiden en de waarde z te vervangen door, kan op vrij eenvoudige wijze de formule voor het gemiddelde aantal klanten van het wachtlijnsysteem gevonden worden. T Xz) = αp k 0 z k + α 2 ) k T + α ) T p 0 z k k=t T = p 0 α z) k + α 2 )α ) T p 0 α 2 ) k T z k De eerste sommatie van deze formule wordt uitgewerkt door gebruik te maken van de formule van de meetkundige reeks: n i=m Toegepast op de eerst sommatie wordt dit: a i = an+ a m a k=t T α z) k α z) T α z) 0 = p 0 α z) [ α z) T ] = p 0 α z

29 2.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 8 De tweede sommatie van de formule kan herschreven worden gebruik makende van: α k = α Om deze formule toe te kunnen passen op de tweede sommatie, wordt de sommatie eerst herschreven: α 2 α T p 0 k=t α k T 2 z k = α T 2 α T p 0 α2z k k Om net zoals in de formule een som van 0 tot te bekomen, wordt deze som opgesplitst in 2 delen: k=t α2z k k = k=t = T α2z k k α2z k k T α 2 z) k α 2 z) k Via de formule van de meetkundige reeks en de formule hierboven kunnen beide sommen uitgewerkt worden: T α 2 z) k α 2 z) k = α 2 z α 2z) T α 2 z De tweede sommatie wordt nu: [ α2 T α T p 0 α2z k k = α2 T α T p 0 α 2 z α 2z) T ] α 2 z k=t [ = α2 T α T p 0 α 2 z + α 2z) T ] α 2 z [ = α2 T α T α2 z) T ] p 0 α 2 z Door de 2 uitgewerkte sommaties samen te brengen kan Xz) gevonden worden: [ α z) T ] [ Xz) = p 0 + α2 T α T α2 z) T ] p 0 α z α 2 z Het gemiddeld aantal klanten van dit wachtlijnsysteem wordt gevonden door de formule van Xz) af te leiden naar z en in de afgeleide z gelijk te stellen aan.

30 2.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 9 E[X] = X ) met Xz) = p 0 [ α z) T α z ] [ + α2 T α ) T α2 z) T ] p 0 α 2 z Deze vergelijking bevat 2 delen die afzonderlijk afgeleid zullen worden. Voor alle duidelijkheid krijgen beide delen een eigen naam. De namen werden gekozen om verwarring met Xz) te vermijden. X z) = α z) T α z X 2 z) = α 2z) T α 2 z X z) en X 2 z) worden nu achtereenvolgens afgeleid. Als na afleiding beide delen samengebracht worden vinden we X z) en dus de formule voor het gemiddeld aantal klanten. d dz [X z)] = d dz = d dz [ α z) T ] α z [ α T z T ] α z = αt T zt α z ) α α T zt ) α z ) 2 = αt + T z T α T T zt α T + z T + α α z ) 2 = αt zt α T z T α z) + α α z ) 2 d dz [X 2z)] = d [ α T 2 z T ] dz α 2 z De eerste afgeleide van Xz) wordt: = αt 2 T zt α 2 z) α 2 )α T 2 zt α 2 z) 2 = αt 2 T zt α T + 2 T z T + α T + 2 z T α 2 z) 2 = αt 2 zt T α 2 T z + α 2 z) α 2 z) 2

31 2.5. Berekening variantie van het aantal klanten 20 X z) = p 0 d dz [X 2z)] + α T 2 α ) T p 0 d = p 0 [ α T z T α T z T α z) + α α z ) 2 dz [X 2z)] ] + α 2 ) T α ) T p 0 [ α T 2 z T T α 2 T z + α 2 z) α 2 z) 2 Het gemiddeld aantal klanten vinden we dan door z te vervangen door : ] E[X] = X ) = p 0 [ α T α T T α ) + α α ) 2 = p 0 [ α T α T ) T ) + α α ) 2 ] [ α + α 2 ) T α ) T T p 2 T α 2 T + α 2 ) 0 α 2 ) 2 ] + α 2 )α ) T p 0 [ α2 T ) + T α 2 ) Berekening variantie van het aantal klanten ] ] Om de variantie van het aantal klanten te berekenen is zoals gezien in het deel van genererende functies de tweede afgeleide van de functie Xz) nodig. De berekening gebeurt als volgt: X z) = X z)) [ d α T = p z T ] [ α T z T α z) + α 0 dz α z ) 2 + α 2 ) T α ) T d α T p 2 z T ] T α 2 T z + α 2 z) 0 dz α 2 z) 2 Deze vergelijking bevat 2 delen die afzonderlijk afgeleid zullen worden. Voor alle duidelijkheid krijgen beide delen een eigen naam. De namen werden gekozen om verwarring met X z) te vermijden. [ α X z) T = z T ] α T z T α z) + α α z ) 2 [ X 2z) zt T α 2 T z T + α 2 z T ] = α 2 z) 2 Berekening van de afgeleide van het eerste deel X z) :

32 2.5. Berekening variantie van het aantal klanten 2 X z) = X z)) = d [ α T z T ] α T z T α z) + α dz α z ) [ 2 ] = d α T + T z T α T T zt α T + z T + α dz α z ) 2 = αt + T T z T α T T T )zt 2 α T + T z T )α z ) 2 α z ) 4 2α z )α α T + T z T α T T zt α T + z T + α ) α z ) 4 Door z gelijk te stellen aan moeten we geen rekening meer houden met z in de formules en wordt de berekening eenvoudiger. X ) = X )) α T T α T T + α )α ) 2) 2α 2 2α ) α T α ) T T α ) + α = α z ) 4 α T = T T )α )α ) 2) 2α α ) α T T α ) ) α ) + α α z ) 4 α T = T T )α ) 2) ) 2α α T T α ) α ) + α α z ) 3 = K Deze formule krijgt voor de eenvoud de naam K. Het superscript verwijst naar het model waartoe deze K-waarde behoort. Nu volgt de berekening van de afgeleide van het tweede deel X 2 z) : X 2 z) = X 2z)) = d [ zt T α 2 T z T + α 2 z T ] dz α 2 z) [ 2 T )z T 2 T α 2 T T z T + α 2 T z T ] α 2 z) 2 2 α 2 z) α 2 )z T T α 2 T z T + α 2 z T ) = α 2 z) 4 Door z gelijk te stellen aan moeten we geen rekening meer houden met z in de formules en wordt de berekening eenvoudiger.

33 2.5. Berekening variantie van het aantal klanten 22 X 2 ) = X 2)) = [T )T + α 2T T )] α 2 ) 2 + 2α 2 α 2 ) [T α 2 ) + α 2 ] α 2 ) 4 = T T ) α 2) 3 + 2α 2 T α 2 ) 2 + 2α 2 2 α 2) α 2 ) 4 = T T ) α 2) 2 + 2α 2 [T α 2 ) + α 2 ] α 2 ) 3 = K 2 Deze formule krijgt voor de eenvoud de naam K 2. De tweede afgeleide van Xz) wordt gevonden door beide delen weer samen te brengen: X ) = p 0 X ) + α T α 2 p 0 X 2 ) = p 0 K + α T α 2 p 0 K 2 De variantie van het aantal klaten wordt dan uiteindelijk gevonden via V ar[x] = X )+ X ) [X )] 2. Aangezien elk deel van deze vergelijking nu gekend is, is de berekening gewoon een optelsom van de verschillende delen.

34 2.6. Bespreking resultaten Bespreking resultaten Nu de formules voor de belangrijkste grootheden van het basismodel berekend zijn, kan gestart worden met de bespreking van de resultaten. Uit de formules blijkt onmiddellijk dat enkele variabelen een grote invloed zullen uitoefenen op deze grootheden. Deze invloedrijke variabelen zijn de aankomstintensiteit λ, de verwerkingsintensiteit µ van de server werkend aan de lage snelheid en de verwerkingsintensiteit µ 2 van de server werkend aan de hogere snelheid 2. Deze variabelen zijn namelijk terug te vinden in de formule voor de berekening van de kans p 0 of de waarschijnlijkheid dat er zich 0 klanten in het wachtlijnsysteem bevinden, als dit systeem in regime is. Deze variabelen oefenen niet alleen een invloed uit op de kans p 0 maar tevens op E[X] of het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij van het systeem. Op deze grootheid speelt ook nog een andere variabele een belangrijke invloed. Zoals in de formule te zien is, komt de drempelwaarde T, waarbij het systeem zal overschakelen van de lagere snelheid naar de hogere snelheid, voor in de berekening van het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij. Aangezien deze verschillende variabelen een zeer grote invloed hebben op de resultaten, zullen we verschillende scenario s bekijken waarbij deze variabelen een andere waarde aannemen. Door deze variabelen verschillende waarden te geven, kunnen we ook kijken wat hun invloed is op het resultaat en de resultaten vergelijken. Naast het berekenen van deze basisgrootheden van het model, zullen we ook een kostenfunctie invoeren. Deze kostenfunctie zal gebruikt worden om een drempelwaarde T te bepalen waarbij de kosten minimaal zijn. De kostenfunctie zal opgebouwd worden uit 2 delen. Enerzijds wordt de wachtkost en anderszijds de meerkost voor het werken met de snellere server in rekening genomen. De redenering hierachter is dat mensen niet graag wachten. Mensen vinden wachten vervelend. Wachten kan dus beschouwd worden als een kost voor een klant. Daartegenover staat dat wachtlijnsystemen door te werken met een snellere server of door te werken met meer servers model 2) de wachttijd van hun klanten kunnen beperken. Natuurlijk brengt het werken met een snellere server een meerkost met zich mee ten opzichte van het werken met een tragere server. De totale kost K van een wachtlijnsysteem bestaat bijgevolg uit een wachtkost en een meerkost voor het werken met de snellere server of K = β wachttijd + γ P E[X] > T ). Hierbij is β wachttijd de wachtkost en is γ P E[X] > T ) de meerkost voor het werken met de snellere server. De andere symbolen worden hieronder uitgebreid uitgelegd. Vanaf hier wordt veelvuldig gebruik gemaakt van de notie aantal wachtende klanten of aantal klanten in de wachtrij. De waarde achter deze 2 termen is dezelfde als aantal klanten in het systeem E[X]. Het aantal klanten in het systeem wordt met andere woorden gelijkgesteld aan het aantal wachtende klanten. Het gelijkstellen van deze 2 waarden gebeurt omdat klanten die bediend worden ook aan het wachten zijn. De tijd dat klanten zich in het systeem bevinden of de systeemtijd wordt daardoor gelijkgesteld aan de wachttijd.

35 2.6. Bespreking resultaten 24 De wachtkost zal berekend worden door een vaste kost per eenheid wachten β te vermenigvuldigen met de gemiddelde wachttijd van een klant in het systeem. Doordat het aantal klanten in het systeem gelijkgesteld wordt aan het aantal wachtende klanten, zal de wachttijd berekend kunnen worden via de formule van Little. De formule van Little zegt dat E[X] = λ wachttijd. De gemiddelde wachttijd kan gemakkelijk via deze formules berekend worden. De kost per eenheid wachten oefent een belangrijke invloed uit op de totale wachtkost. Vandaar dat binnen elk scenario zal gewerkt worden met 4 verschillende kostenscenario s waarbij binnen elk kostenscenario de kost per eenheid wachten β een andere waarde zal aannemen. In het eerste kostenscenario zal uitgegaan worden van een zeer lage kost per eenheid wachten in vergelijking met de extra kost voor het werken met snellere server). Dit is een kostenscenario waarbij klanten wachten vervelend vinden, maar niet zo vervelend dat ze de volgende keer een ander systeem =bv. winkel) zullen opzoeken. De klanten blijven ondanks het wachten loyaal aan het syteem. In kostenscenario s 2 en 3 zal de kost per eenheid wachten oplopen zodat deze kost in één van deze 2 kostenscenario s gelijk zal worden met de extra kost voor het werken met een snellere server. Dit zijn dus kostenscenario s waarbij de klant wachten steeds minder apprecieert. De klant zal wachten meer dan in kostenscenario als een kost zien en een aantal klanten zullen de volgende keer niet meer naar het systeem komen. Dit zorgt dus voor een verlies van cliënteel en dus ook voor een verlies aan opbrengst voor het systeem. Daardoor kan de kost voor een klant een eenheid te laten wachten voor het systeem veel hoger komen te liggen. Als laatste kostenscenario wordt steeds gekeken wat de invloed is als de kost per eenheid wachten groter is dan de extra kost voor het werken met een snellere server. Dit is ook een realistisch geval. Er bestaan namelijk systemen waarbij als de klant moet wachten, hij onmiddellijk weggaat en waarbij het laten wachten van een klant dus gelijk staat met een verlies aan opbrengst. Hierdoor kan de kost per eenheid wachten zeer groot worden. De totale meerkost door het werken met de snellere server wordt berekend door P E[X] > T ) te vermenigvuldigen met een meerkost γ om te werken met deze snellere server. De kans P E[X] > T ) is de kans dat het gemiddelde aantal klanten groter is dan de drempelwaarde T of de kans dat het systeem zal moeten overschakelen op de snellere server. Door deze kans te vermenigvuldigen met de meerkost, wordt de totale meerkost voor het werken met de snellere server bepaald. De meerkost om te werken met de snellere server zal afhangen van het verschil in verwerkingsintensiteiten µ en µ 2. Hoe groter het verschil tussen de verwerkingsintensiteit van de server werkend aan de lage snelheid en de verwerkingsintensiteit van de server werkend aan de hogere snelheid, hoe groter de meerkost zal zijn. In dit model wordt aangenomen dat de meerkost voor het werken met de snellere server gelijk is aan het verschil tussen de verwerkingsintensiteiten µ en µ 2 vermenigvuldigt met 25. Dit wil dus zeggen dat γ = µ 2 µ ) 25. Hierna volgt een tabel met de verschillende scenario s die besproken zullen worden.

36 2.6. Bespreking resultaten 25 Figuur 2.2: De scenario s die besproken worden

37 2.6. Bespreking resultaten 26 Uit de tabel blijkt duidelijk dat eerst 2 scenario s besproken worden waarbij de aankomstintensiteit λ lager ligt dan de verwerkingsintensiteit µ van de server als die aan de lage snelheid werkt. Er werd gekozen o van deze scenario s te bekijken om vast te stellen of er een verschil is tussen de optimale drempelwaarde als de waarde van λ veel kleiner is dan de waarde van µ of als deze maar net kleiner is dan de waarde van µ. In scenario 3 wordt onderzocht wat de invloed is op de minimale kosten en de optimale drempelwaarde als de aankomstintensiteit λ zich bevindt in het midden tussen de verwerkingsintensiteit van de server werkend aan de lage snelheid en de verwerkingsintensiteit van de server werkend aan de hoge snelheid, respectievelijk µ en µ 2. In scenario s 4 en 5 worden 2 randgevallen van scenario 3 besproken. In scenario 4 ligt de waarde van λ net boven de waarde van µ en veel onder de waarde van µ 2. In scenario 5 wordt het andere geval bekeken, namelijk dat de waarde van λ veel groter is dan µ en maar net onder µ 2 ligt. Als laatste scenario wordt bekeken wat er gebeurt als de aankomstintensiteit λ groter is dan verwerkingsintensiteit van de server werkend aan de hoge snelheid µ 2. Voor elk van deze modellen worden zoals hiervoor al gemeld verschillende kostenscenario s besproken. Nog even kort ter herhaling. De kostenfunctie is K = β wachttijd + γ P E[X] > T ). Hierbij is K de totale kost en is β wachttijd de totale wachtkost met β de kost per eenheid wachten. De laatste factor γ P E[X] > T ) is de totale meerkost voor het werken met de snellere server. In dit product is γ de meerkost om te werken met de snellere server en is P E[X] > T ) de kans dat moet overgeschakeld worden op de snellere server. Het uiteindelijke doel van de bespreking is verklaringen vinden en conclusies trekken die gelden over de verschillende scenario s heen of die gelden over verschillende kostenscenario s heen Scenario : λ << µ In scenario is de gemiddelde) aankomstintensiteit λ kleiner dan de gemiddelde) verwerkingsintensiteit µ van de server, zelfs als die aan de lage snelheid werkt. Het is in deze situatie duidelijk dat bij verschillende waarden van de drempelwaarde T, het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij nooit deze drempelwaarde zal overschrijden. Dit is duidelijk te zien op figuur 2.3, de drempelwaarden op de horizontale as zijn duidelijk altijd hoger dan het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij op de verticale as. In dit scenario zal de server zelden moeten overschakelen van de lagere verwerkingssnelheid µ naar de hogere verwerkingssnelheid µ 2. Bij de hele lage drempelwaarden zal toch af en toe de omschakeling gemaakt moeten worden naar de snellere server aangezien in die gevallen het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij zeer dicht bij de lage drempelwaarden ligt. Aangezien intensiteiten steeds gemiddelden zijn, kan het dus gebeuren dat in uitzonderlijke gevallen de aankomstintensiteit toch de verwerkingsintensiteit µ overschrijdt. In deze gevallen kan een

38 2.6. Bespreking resultaten 27 Figuur 2.3: Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij drempelwaarde T = of heel misschien T = 2 toch overschreden worden waardoor het systeem de omschakeling zal maken naar de server met de hogere verwerkingsintensiteit. Op deze manier zal de wachtrij onder controle gehouden en zelfs terug afgebouwd worden. De omschakeling naar de server met de hogere verwerkingsintensiteit zal maar van korte duur zijn, en zal zoals eerder gezegd maar zelden voorkomen. Zoals vermeld in de inleiding van de resultatenbespreking, zullen voor elk scenario verschillende kostenscenario s bekeken worden. De kostenfunctie is: K = β wachttijd + γ P E[X] > T ). Hierbij is K de totale kost en is β wachttijd de totale wachtkost met β de kost per eenheid wachten. De laatste factor γ P E[X] > T ) is de totale meerkost voor het werken met de snellere server. In dit product is γ de meerkost om te werken met de snellere server en is P E[X] > T ) de kans dat zal moeten overgeschakeld worden op de snellere server. Kostenscenario : β = 20 << γ = 00 In dit eerste kostenscenario is de kost per eenheid wachten veel kleiner dan de meerkost om te werken met de snellere server. Dit is een situatie waar wachten slechts een heel kleine negatieve invloed heeft op de klant. De klant verliest door te wachten tijd, waardoor hij wachten als een kost beschouwt. Er is geen verlies van opbrengst voor het systeem aangezien de klant loyaal blijft aan het systeem. Door het zeer groot verschil tussen de kost per eenheid wachten en de meerkost voor het werken met de snellere server, mag verwacht worden dat de drempelwaarde bij een zeer hoge waarde zal liggen. In figuur 2.4 zien we dat de minimale kost en de optimale drempelwaarde ligt bij een waarde van T = 5 Het echte optimum zal waarschijnlijk nog hoger liggen, maar er wordt hier uitgegaan van een maximale drempelwaarde van T = 5). Het is logisch dat de optimale drempelwaarde hoog ligt bij een groot kostenverschil. De kans dat er zal omgeschakeld moeten worden op de snellere server is vele malen lager bij een grote drempelwaarde dan de kans dat er zal moeten omgeschakeld worden bij een kleine drempelwaarde. De totale meerkost voor het werken met de snellere server zal hierdoor zeer snel dalen bij groter wordende drempelwaarden.

39 2.6. Bespreking resultaten 28 Figuur 2.4: Totale kostengrafiek Daartegenover is de stijging van de totale wachtkost, veroorzaakt door de stijgende wachttijd bij groter wordende drempelwaarden, slechts zeer beperkt. Dit is duidelijk te zien in figuur 2.5. Figuur 2.5: Verschil tussen de wachtkost en de meerkost voor het werken met de snellere server Kostenscenario 2: β = 50 < γ = 00 Als de kost per eenheid wachten en de meerkost voor het werken met de snellere server dichter bij elkaar liggen, met name β = 50 en γ = 00, dan wordt het laten wachten van klanten relatief duurder ten opzichte van de meerkost voor het werken met de snellere server. Hierdoor wordt de totale kostencurve ook anders. Zoals op figuur 2.6 te zien is, is de minimale kost te vinden bij een drempelwaarde van T = 9. Bij een groter wordende drempelwaarde stijgen de totale kosten opnieuw. De oorzaak van deze stijgende totale kosten na de waarde T = 9 valt gemakkelijk te verklaren. Zoals reeds gezegd stijgen de wachttijden en dus de totale wachtkosten bij groter wordende drempelwaarden. De meerkost door het werken met de snellere server daalt doordat bij grotere wordende drempelwaarden de kans dat het aantal wachtende klanten de drempelwaarde overschrijdt kleiner wordt. Figuur 2.7 toont dit duidelijk aan. Het valt op de figuur niet goed te zien, maar tot de waarde T = 9 is bij elke drempelwaarde de daling van

40 2.6. Bespreking resultaten 29 Figuur 2.6: Totale kostengrafiek de meerkost voor het werken met de snellere server groter dan de stijging van de wachtkost. Het gevolg is dat de totale kosten blijven zakken tot de waarde T = 9. Bij drempelwaarden groter dan T = 9 stijgen de totale kosten omdat de stijging van de wachtkost nu de daling van de meerkost voor het werken met de snellere server overtreft. Vandaar dat de optimale drempelwaarde waarbij minimale kosten bekomen worden, ligt bij de drempelwaarde van T = 9. Figuur 2.7: Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde kleiner. Kostenscenario 3: β = 00 = γ = 00 In dit derde kostenscenario is de kost per eenheid wachten gelijk aan de meerkost voor het werken met de snellere server, beide zijn in dit kostenscenario 00. Er kan verwacht worden dat de minimale kost bij een nog kleinere drempelwaarde zal liggen, omdat de meerkost voor het werken met de snellere server relatief goedkoop wordt ten opzichte van de kost per eenheid wachten. In deze situatie heeft wachten dus een zeer negatieve invloed op de klant. De klant zal ontevreden zijn en zal misschien niet loyaal blijven aan het systeem. Het mogelijks verlies aan opbrengst van het systeem wordt dus verrekend in de hoge kost per

41 2.6. Bespreking resultaten 30 eenheid wachten. Het is duidelijk dat de wachttijd in dit kostenscenario van groter belang wordt. Lagere drempelwaarden die sneller overschakelen op de snellere server en kleinere wachttijden hebben, zullen een lagere totale kost hebben. Dit is duidelijk te zien in figuur 2.8. Figuur 2.8: Totale kostengrafiek De minimale kost ligt bij drempelwaarde T = 5. Bij een hogere drempelwaarde stijgt de totale kost weer. De oorzaak is dezelfde als in het vorige kostenscenario, namelijk dat tot en met een drempelwaarde T = 5 bij groter wordende drempelwaarden de daling van de meerkost voor het werken met de snellere server de stijging van de wachtkost overtreft. Na de drempelwaarde T = 5 gaan bij groter wordende drempelwaarden de stijging van de wachtkosten echter de daling van de meerkost overtreffen waardoor de totale kosten opnieuw zullen toenemen. Kostenscenario 4: β = 50 > γ = 00 Als laatste kostenscenario kan aangenomen worden dat de kost per eenheid wachten groter is dan de meerkost voor het werken met de snellere server. In dit laatste kostenscenario wordt een geval bekeken waarbij de kost per eenheid wachten 50 is en de meerkost voor het werken met de snellere server 00 is. Ook dit is een realistisch kostenscenario aangezien de kost van het laten wachten van een klant voor het systeem hoog kan oplopen. Indien klanten te veel en te lang moeten, worden ze ontevreden en kan het zijn dat deze klanten verloren gaan. De daling van de totale opbrengst kan als kost beschouwd worden. In vergelijking met deze grote kost per eenheid wachten, zal de meerkost voor het werken met de snellere server relatief klein zijn. De optimale drempelwaarde, waarbij de kosten minimaal zijn, zal nog lager liggen dan in het vorig kostenscenario. Uit figuur 2.9 blijkt dat de verwachting juist was. De optimale drempelwaarde ligt nu bij een waarde T = 4. Dit is het gevolg van de kost per eenheid wachten die duurder is dan in het vorige kostenscenario. Door de stijging van de kost per eenheid wachten wordt de meerkost voor het werken met een snellere server goedkoper. Er zal nu eerder geopteerd wordt om te

42 2.6. Bespreking resultaten 3 Figuur 2.9: Totale kostengrafiek werken met de snellere server dan om de klanten te laten wachten. Door vlugger om te schakelen naar de snellere server zal de totale meerkost oplopen. Deze snelle omschakeling zorgt er tevens voor dat de wachttijd klein gehouden wordt. Hierdoor zal de duurdere wachtkost min of meer beperkt blijven. Het gevolg is dat, zoals in figuur 2.9 te zien is, de optimale drempelwaarde lager komt te liggen. Dit komt doordat bij lagere drempelwaarden minder klanten in de wachtrij geduld worden en er vlugger gekozen wordt om te werken met de snellere server. Zoals te zien in figuur 2.0 zorgen de kortere wachttijden bij de lagere drempelwaarden ervoor dat de totale wachtkost, die duidelijk de belangrijkste kostenfactor is, beduidend lager ligt dan bij hogere drempelwaarden. Op deze figuur valt ook op dat de totale meerkost voor het werken met de snellere server veel hoger ligt bij de lagere drempelwaarden. Figuur 2.0: Verschil tussen de wachtkost en de meerkost voor het werken met de snellere server Conclusie Afhankelijk van de kosten, zal een andere drempelwaarde optimaal zijn. In dit scenario zal zelden of nooit gewerkt worden met de snellere server aangezien de aankomstintensiteit lager ligt dan de verwerkingssnelheid van de server werkend aan de lage snelheid en het gemiddelde aantal wachtende klanten dus altijd beperkt zal zijn. Bij een hoge drempelwaarde mag geconcludeerd worden dat er nooit omgeschakeld moeten worden op de snellere server.

43 2.6. Bespreking resultaten 32 Enkel bij de laagste drempelwaarden zal er misschien soms omgeschakeld worden op de snellere server. Ook valt op dat naarmate we de kost per eenheid wachten laten toenemen, en dus de wachttijd van groter belang maken, dat de optimale drempelwaarde steeds lager ligt. Dit is logisch aangezien bij groter wordende kost per eenheid wachten, de stijgende wachtkost de dalende meerkost voor het werken met de snellere server vlugger zullen overtreffen. Nog opvallend is dat bij een groter wordende kost per eenheid wachten het aandeel van de stijgende wachtkost in de totale kost steeds toeneemt. Aangezien de meerkost voor het werken met de snellere server gelijkblijft over de verschillende kostenscenario s, zullen de totale kosten dus toenemen naarmate de kost per eenheid wachten toeneemt. Dit is duidelijk te zien op de verschillende figuren. Als laatste wordt het belang van de optimale drempelwaarde besproken. Zoals te zien was in de verschillende kostengrafieken is het optimum relatief stabiel. Dit wil zeggen dat bij een afwijking van het optimum de kosten slechts in beperkte mate stijgen. Het systeem hoeft dus niet de optimale drempelwaarde na te streven. Als het systeem werkt met een drempelwaarde die de optimale benadert, zal de totale kost ook laag gehouden kunnen worden Scenario 2: λ < µ Als tweede scenario wordt een model onderzocht waarbij de gemiddelde) aankomstintensiteit λ kleiner is dan de gemiddelde) verwerkingsintensiteit µ van de server, zelfs als die aan de lage snelheid werkt. Het verschil met scenario is dat het verschil tussen de verwerkingsintensiteiten µ en µ 2 veel kleiner is. In het vorige model was de aankomstintensiteit 5 en waren de verwerkingsintensiteiten waaraan de server van het systeem kon werken 8 en 2. In scenario 2 zijn de gemiddelde verwerkingsintensiteiten 6 en 7; de aankomstintensiteit blijft 5. Door het kleine verschil tussen beide verwerkingsintensiteiten ligt de meerkost voor het werken met de snellere server lager. In plaats van een meerkost van 00 voor het werken met de snellere server, komt deze kost via de formule te liggen op 7 6) 25 = 25. Naast het kostenverschil zal de kans om de omschakeling te moeten maken naar de snellere server ook hoger liggen. De oorzaak hiervan is te vinden bij de verwerkingssnelheid van de server werkend aan de lage snelheid. Deze is maar net hoger dan de aankomstintensiteit van het wachtlijnsysteem. Er is dus een grotere kans dat op bepaalde momenten de klanten zullen toekomen aan een tempo dat de trage server niet kan volgen, waardoor er dus effectief een wachtrij zal ontstaan. Aangezien deze intensiteiten gemiddelden zijn, kan, gemiddeld gezien, de trage server het tempo van de aankomende klanten wel volgen. Het ontstaan van een wachtrij zal dus eerder een uitzondering blijven. Uit de berekeningen van het gemiddelde aantal klanten zie figuur 2.) valt onmiddellijk op dat bij de lage drempelwaarden, het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij hoger ligt dan

44 2.6. Bespreking resultaten 33 de drempelwaarde. Als het systeem dus werkt met zo n lage drempelwaarde, zal dat systeem waarschijnlijk bij momenten moeten omschakelen op het werken met de snellere server. Figuur 2.: Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij In figuur 2. zien we dat vanaf drempelwaarde T = 3 het gemiddeld aantal wachtende klanten weer lager is dan de drempelwaarde. Maar aangezien het gemiddeld aantal klanten zeer dicht bij de drempelwaarde ligt, zal ook bij de drempelwaarden T = 3, T = 4 en T = 5 bij momenten moeten omgeschakeld worden naar de snellere server. Vanaf T = 6 mag er verondersteld worden dat de drempelwaarde zelden of nooit overschreden zal worden en dat er dus constant met de trage server met verwerkingsintensiteit µ gewerkt zal worden. Nu zullen er net zoals in scenario weer enkele verschillende kostenscenario s uitgewerkt worden, om een brede kijk te krijgen op wanneer welke drempelwaarde optimaal is. Zoals hiervoor al vermeld, zal deze keer de meerkost voor het werken met de snellere server liggen op 25. Voor de kost per eenheid wachten zal per kostenscenario een andere waarde gebruikt worden. Ter herhaling nog even de kostenfunctie: K = β wachttijd + γ P E[X] > T ). Kostenscenario : β = 20 < γ = 25 Eerst wordt een kostenscenario bekeken waarbij de kost per eenheid wachten kleiner is dan de meerkost voor het werken met de snellere server. De kost per eenheid wachten wordt in dit kostenscenario gelijkgesteld aan 20 terwijl de meerkost voor het werken met de snellere server zoals eerder vermeld 25 is. In dit kostenscenario is het voor het systeem duurder om te werken met de snellere server dan om de klant te laten wachten. In scenario, bleek dat als de meerkost voor het werken met de snellere server vele malen hoger lag dan de kost voor het wachten, dat de optimale drempelwaarde heel hoog lag. Er werd ook vastgesteld dat naarmate beide kosten dichter bijeen liggen, de optimale drempelwaarde steeds lager ligt. Aangezien de meerkost voor het werken met de snellere server in dit kostenscenario van scenario 2 ook hoger ligt dan de kost per eenheid wachten mag verwacht worden dat de optimale drempelwaarde hoog zal zijn. Doordat het verschil beperkt is, slechts 5, zal de optimale drempelwaarde natuurlijk niet zo hoog liggen als in kostenscenario van scenario. We verwachten eerder

45 2.6. Bespreking resultaten 34 een optimale drempelwaarde zoals in kostenscenario 2 van scenario waarbij de optimale drempelwaarde gevonden werd bij de waarde T = 9. Figuur 2.2: Totale kostengrafiek In figuur 2.2 zien we dat de verwachtingen juist waren. De optimale drempelwaarde ligt bij de waarde T = 9. Dit komt zoals eerder vermeld door het kleinere verschil tussen beide kostenfactoren. Figuur 2.3: Verschil in totale wachtkost, bij een kost per eenheid wachten van 25, tussen scenario en 2 Door het kleiner kostenverschil zal de gemiddelde wachttijd een veel grotere invloed hebben op de totale kosten dan in kostenscenario bij scenario het geval was. Deze grotere invloed plus het feit dat de gemiddelde wachttijd door het minieme verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit van de trage server sowieso al hoger is, zorgt ervoor dat de minimale kost ligt bij een drempelwaarde die lager is dan in kostenscenario van scenario. In figuur 2.3 is te zien dat de totale wachtkost in vergelijking met vorig scenario bij elke drempelwaarde veel hoger ligt. Net zoals in scenario kan eenvoudig verklaard worden waarom de optimale drempelwaarde ligt bij de waarde T = 9. Bij groter wordende drempelwaarden stijgen de wachtkosten door de groter wordende wachttijd. De totale meerkost voor het werken met de snellere server daalt echter doordat de kans dat de drempelwaarde overschreden wordt steeds kleiner wordt. De

46 2.6. Bespreking resultaten 35 optimale drempelwaarde ligt bij T = 9 omdat bij kleinere drempelwaarden de dalende meerkost voor het werken met de snellere server steeds de stijgende wachtkost overtreft. Hierdoor daalt de totale kost. Voor waarden groter dan T = 9 geldt het omgekeerde. Nu overtreft de stijgende wachtkost de dalende meerkost waardoor de totale kost stijgt. Dit wordt getoond in figuur 2.4. Figuur 2.4: Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde kleiner. Kostenscenario 2: β = 25 = γ = 25 Net als in scenario stijgt de kost per eenheid wachten per kostenscenario. In dit tweede kostenscenario zal de kost per eenheid wachten gelijkgesteld worden aan de meerkost voor het werken met de snellere server beide 25). De kost voor klanten te laten wachten zal in vergelijking met kostenscenario duurder worden ten opzichte van de meerkost voor het werken met de snellere server. Het gevolg is dat de optimale drempelwaarde waarbij de totale kost minimaal is lager ligt. Figuur 2.5: Totale kostengrafiek Zoals te zien is in figuur 2.5 wordt in dit kostenscenario de minimale totale kost bereikt bij een drempelwaarde T = 7. Bij een hogere drempelwaarde zijn de extra wachtkosten, ver-

47 2.6. Bespreking resultaten 36 oorzaakt door de langere wachttijd, groter dan de daling van de totale meerkost doordat er minder kans is dat er zal gewerkt moeten worden met de snellere server. Bij een lagere drempelwaarde vinden we het tegenovergestelde, de mindere wachtkost door de kortere wachttijd weegt niet op tegen de grotere meerkost. Deze grotere meerkost wordt veroorzaakt door de grotere kans dat de gemiddelde wachtrij de drempelwaarde zal overschrijden of dus de grotere kans dat er met de duurdere snellere server gewerkt zal moeten worden. Kostenscenario 3: β = 50 > γ = 25 De kost per eenheid wachten kan nog verhoogd worden door rekening te houden met het feit dat de kost per eenheid wachten niet alleen de kost voor het effectief laten wachten van de klant zelf kan zijn, maar ook de kost van het verlies aan cliënteel en opbrengst. Daarom wordt in dit kostenscenario de kost per eenheid wachten gelijkgesteld aan 50. De hogere kost per eenheid wachten zal er bij een gelijkblijvende meerkost voor het werken met de snellere server voor zorgen dat de optimale drempelwaarde nog lager komt te liggen. Doordat het goedkoper wordt om de meerkost te betalen voor het werken met de snellere server dan om klanten te laten wachten, zal de optimale drempelwaarde een drempelwaarde zijn waarbij de wachttijd laag ligt. Zoals eerder al vermeld zal door het beperkte verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit van de trage server de wachttijd zeer snel oplopen. Een lage wachttijd is dus enkel te vinden bij de lage drempelwaarden. Figuur 2.6: Totale kostengrafiek T = 4. Op figuur 2.6 zien we dat de optimale drempelwaarde nu komt te liggen bij een waarde Kostenscenario 4: β = 00 >> γ = 25 Als laatste kostenscenario, wordt nog een kostenscenario bekeken waarbij de kost per eenheid wachten gelijk wordt gesteld aan 00. Dit kostenscenario houdt nog meer rekening met de mogelijke daling van de opbrengst door het verlies aan klanten, ontstaan door te lange

48 2.6. Bespreking resultaten 37 wachttijden. Door deze zeer hoge kost per eenheid wachten, wordt de totale meerkost voor het werken met de snellere server eigenlijk verwaarloosbaar. Dit heeft als gevolg dat er zeer snel zal omgeschakeld worden van werken met de trage server naar werken met de snellere server. De minimale totale kosten zullen bereikt worden bij een drempelwaarde met een zeer lage wachttijd. Net zoals in kostenscenario 3 kan verwacht worden dat de optimale drempelwaarde een zeer lage waarde zal hebben. Figuur 2.7: Totale kostengrafiek Zoals te zien is in figuur 2.7 ligt de optimale drempelwaarde nu bij T = 3 of T = 2). In figuur 2.8 wordt aangetoond dat de totale meerkost voor het werken met de snellere server ten opzichte van de totale wachtkost zo goed als verwaarloosbaar is. Enkel bij de zeer lage drempelwaarden heeft de totale meerkost een niet te verwaarlozen aandeel in de totale kosten. Bij de grotere drempelwaarden is duidelijk te zien dat de totale kosten gelijk mogen gesteld worden aan de totale wachtkosten. Figuur 2.8: Totale kosten opgesplitst in de wachtkost en de meerkost voor het werken met de snellere server Het is logisch dat de optimale drempelwaarde in situaties waar de kost per eenheid wachten veel groter is dan de meerkost voor het werken met de snellere server, ligt bij een lage drempelwaarde. Bij een lage drempelwaarde zal er namelijk snel gekozen worden voor het betalen van de meerkost en dus te werken met de snellere server. Door snel te kiezen voor het werken met de snellere server zal de wachttijd van de klanten beperkt zijn, waardoor

49 2.6. Bespreking resultaten 38 de belangrijkste kostenverhogende factor, de totale wachtkost, ook onder controle gehouden wordt. Conclusie De optimale drempelwaarde zal weer afhankelijk zijn van de twee kosten, namelijk van de kost per eenheid wachten en de meerkost voor het werken met de snellere server. In dit scenario zal de optimale drempelwaarde weliswaar nooit heel hoog liggen, omdat in vergelijking met scenario, de meerkost voor het werken met de snellere server veel kleiner is. Doordat de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit zeer dicht bij elkaar liggen, is de kans dat er een wachtrij zal ontstaan reëel. In het geval van een lage drempelwaarde zal deze drempelwaarde dan ook snel overschreden worden door het aantal klanten in die wachtrij. Vandaar dat bij een hoge kost per eenheid wachten zal geopteerd worden voor een lagere drempelwaarde waarbij snel gewerkt zal worden met de snellere server maar waarbij ook de wachttijd en dus de totale wachtkost beperkt blijft. Bij een lage kost per eenheid wachten zal geopteerd worden voor een hogere drempelwaarde. De lagere kost per eenheid wachten zorgt er in zo n situatie namelijk voor dat zelfs bij lange wachttijden de totale wachtkost relatief beperkt blijft. Net als in scenario, zal de optimale drempelwaarde bij T = of T = 2 liggen als we de kost per eenheid wachten nog hoger leggen dan in kostenscenario 4. In zo n situatie zal de totale wachtkost in vergelijking met de totale meerkost voor het werken met de snellere server zo groot zijn dat het systeem alles zal doen om de klanten zo weinig mogelijk te laten wachten. In zo n situatie zal zeer snel gekozen worden om te werken met de snellere server. Wat ook opvalt is dat de minimale totale kost in scenario 2 veel hoger ligt dan in scenario, omdat de gemiddelde wachttijden en de kans dat een drempelwaarden overschreden wordt door het aantal klanten in de wachtrij veel groter zijn. Dit komt omdat het verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit zeer klein is. Het kleine verschil zorgt ervoor dat er veel sneller wachtrijen zullen ontstaan, waardoor de wachttijden hoger liggen. Het kleine verschil en het ontstaan van de wachtrijen zorgt er tenslotte voor dat de kans dat een drempelwaarde overschreden wordt, hoger is. Aangezien de wachttijden en de kans dat een drempelwaarde overschreden wordt de 2 kostenverhogende factoren zijn, is het logisch dat de kost hoger ligt. Net als in scenario geldt ook in scenario 2 dat naarmate de kost per eenheid wachten toeneemt, de optimale drempelwaarde bij een lagere waarde komt te liggen. De oorzaak is dezelfde als in scenario, namelijk dat bij een groter wordende wachtkost de stijgende wachtkosten sneller de dalende meerkosten voor het werken met de snellere server zullen overtreffen. Eigenlijk wil dit zeggen dat bij een stijgende kost per eenheid wachten, een systeem rapper bereid is om de meerkost voor het werken met de snellere server te dragen.

50 2.6. Bespreking resultaten 39 Het systeem zal bij een kortere wachtrij overschakelen op de snellere server waardoor de wachttijden en ook de totale wachtkost beperkt blijft. Als laatste wordt het belang van de optimale drempelwaarde besproken. Zoals te zien was in de verschillende kostengrafieken is het optimum opnieuw relatief stabiel. Dit wil zeggen dat een afwijking van het optimum de totale kost slechts in beperkte mate laat stijgen. Wat wel opvalt is dat bij een lager liggende optimale drempelwaarde deze stabiliteit minder is dan bij een hogere optimale drempelwaarde. De oorzaak hiervan is te vinden in het feit dat de aankomstintensiteit zeer dicht bij de verwerkingsintensiteit ligt. Hierdoor lopen de wachttijden zeer snel op. Zoals hiervoor vermeld zijn lage optimale drempelwaarden meestal het gevolg van een hoge kost per eenheid wachten. De combinatie van snel oplopende wachttijden en de hoge kost per eenheid wachten zorgt ervoor dat de totale kosten zeer snel oplopen. Hierdoor zal bij een lage optimale drempelwaarde de stabiliteit rond het optimum minder groot zijn dan bij een hoge optimale drempelwaarde Scenario 3: µ < λ < µ 2 In het derde scenario wordt een model onderzocht waarbij de aankomstintensiteit λ groter is dan de verwerkingsintensiteit µ van de server werkend aan de lage snelheid, maar kleiner is dan de verwerkingsintensiteit µ 2 van de server werkend aan de hoge snelheid. De aankomstintensiteit λ is 0, terwijl de verwerkingsintensiteiten µ en µ 2 8 en 2 zijn. In dit scenario is het verschil tussen beiden verwerkingsintensiteiten van de server terug groter. Hierdoor komt de meerkost voor het werken met de snellere server hoger te liggen. Via de formule µ 2 µ ) 25 vinden we dat de meerkost voor het werken met de snellere server 00 is. Eerst wordt het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij berekend. Aangezien de aankomstintensiteit van de server groter is dan de verwerkingsintensiteit van de server werkend aan de lage snelheid, is het logisch dat de server dikwijls het aantal aankomende klanten niet zal kunnen verwerken. Eigenlijk wil dit zeggen dat als er gewerkt wordt met de tragere server dat die server gemiddeld genomen de klanten die toekomen niet zal kunnen bedienen. Het gevolg is dat er wachtrijen zullen ontstaan. Uiteraard zullen deze wachtrijen kunnen weggewerkt worden door te werken met de snellere server. In wachtlijnsystemen met een lage drempelwaarde zal het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij deze lage drempelwaarde snel overschrijden. Er zal dikwijls gewerkt moeten worden met de snellere server om de wachtrijen onder de drempelwaarde te houden. Na het berekenen van het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij valt op dat de drempelwaarde steeds overschreden wordt. In figuur 2.9 valt op dat niet enkel bij de lage drempelwaarden, maar ook bij de hoge drempelwaarden veel gewerkt zal worden met de snellere server. Dit is normaal, wat de drempelwaarde ook is, zolang de server op de lage snelheid werkt, zullen er gemiddeld genomen meer klanten toekomen dan de server aankan. Wat de drempelwaarde ook is, door te werken

51 2.6. Bespreking resultaten 40 Figuur 2.9: Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij met de trage server zal de wachtrij blijven groeien. Op termijn zal het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij dus steeds de drempelwaarde overschrijden. Dit wil zeggen dat na verloop van tijd bij elke drempelwaarde omgeschakeld zal moeten worden van werken met de trage server naar werken met de snellere server. Wat wel opvalt is dat bij kleine drempelwaarden, de drempelwaarden in veel grotere mate overschreden worden dan de mate van overschrijding bij grote drempelwaarden. Ook dit is logisch, bij een aankomstintensiteit van 0 en een verwerkingsintensiteit van 8, zal het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij een drempelwaarde tot en met T = 5 zeer snel overschrijden. Drempelwaarden boven de 0 zullen gemiddeld gezien niet snel overschreden worden doordat er ook perioden zullen voorkomen waarbij er gemiddeld minder dan 0 klanten toekomen waardoor de wachtrij niet zal groeien zelfs als met de trage server gewerkt wordt. Nu zullen er net zoals in de vorige 2 scenario s verschillende kostenscenario s uitgewerkt worden om een brede kijk te krijgen op wanneer welke drempelwaarde optimaal is. Zoals hiervoor al vermeld, zal deze keer de meerkost voor het werken met de snellere server liggen op 00. Voor de kost per eenheid wachten zal per kostenscenario een andere waarde gebruikt worden. Ter herhaling nog even de kostenfunctie: K = β wachttijd + γ P E[X] > T ). Kostenscenario : β = 20 << γ = 00 Er wordt opnieuw gestart met een kostenscenario waarbij de kost per eenheid wachten 20 wordt verondersteld. Dit kostenscenario geldt in situaties waarbij enkel rekening gehouden worden met het negatieve effect dat wachten op de klant heeft. Klanten die wachten zullen wel loyaal blijven en blijven terugkomen naar het systeem. Van een negatieve invloed op de totale opbrengst is dus geen sprake. Aangezien de kost per eenheid wachten in deze situatie klein is ten opzichte van de meerkost voor het werken met de snellere server, zal men in deze situatie liever de klanten laten wachten dan de meerkost te betalen om te werken met de snellere server. Het is dan ook geen verrassing dat in deze situatie de minimale totale kost waarschijnlijkt bereikt wordt bij een hoge drempelwaarde. Een hoge drempelwaarde gaat wel

52 2.6. Bespreking resultaten 4 gepaard met langere wachttijden maar ook met een lagere kans om de omschakeling naar de snellere server te moeten maken. Hierdoor zullen de totale meerkosten beperkt blijven. Figuur 2.20: Totale kostengrafiek Zoals te zien op figuur 2.20 wordt de optimale drempelwaarde al bereikt bij de waarde T = 7. Dit komt omdat de wachttijd heel snel oploopt. Zo zullen de klanten bij een drempelwaarde van T = 9 dubbel zolang wachten als bij een drempelwaarde T =. De langere wachttijd wordt veroorzaakt doordat bij een hogere drempelwaarde, pas zal gewerkt worden met de snellere server als het aantal klanten in de wachtrij die hoge drempelwaarde overschrijdt. Dit zorgt ervoor dat er relatief lange wachtrijen kunnen ontstaan, die zorgen dat de wachttijd snel toeneemt. Dit is duidelijk te zien in figuur 2.2. Figuur 2.2: Grafiek van wachttijd Door de zeer snelle toename van de wachttijd, zal ook de totale wachtkost heel snel oplopen bij groter wordende drempelwaarden. Met een groter wordende drempelwaarde stijgt niet alleen de totale wachtkost, de totale meerkost voor het werken met de snellere server daalt ondertussen ook. Dit is logisch, hoe groter de drempelwaarde, hoe langer de gemiddelde wachtrij mag zijn voor het systeem zal overschakelen op de snellere server en dus hoe lager de kans dat de meerkost voor het werken met de snellere server gedragen zal worden. Op figuur 2.22 zien we waarom de optimale drempelwaarde bij T = 7 ligt. Bij een drempelwaarde tot en met T = 7, overheerst de daling van de totale meerkost voor het

53 2.6. Bespreking resultaten 42 Figuur 2.22: Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde kleiner. werken met de snellere server ten opzichte van de stijging van de totale wachtkost door de extra wachttijd. Vanaf drempelwaarden boven T = 7 gaat de daling van de totale meerkost niet meer opwegen tegen de stijging van de totale wachtkost en zal de totale kost dus toenemen. De optimale drempelwaarde waarbij minimale kosten bekomen worden, wordt bereikt bij T = 7. Bij deze optimale drempelwaarde zal het systeem grote delen van de tijd met de trage server werken. Ook al ligt de verwerkingsintensiteit van de trage server lager dan de aankomstintensiteit, een gemiddeld wachtrij van 7 klanten zal gemiddelde niet heel snel overschreden worden. Kostenscenario 2: β = 50 < γ = 00 Om duidelijk de invloed te zien die de kost per eenheid wachten heeft op de totale kost en dus op de optimale drempelwaarde zullen we de kost per eenheid wachten opnieuw opdrijven. In dit tweede kostenscenario wordt de kost per eenheid wachten gelijk gesteld aan 50, de helft van de meerkost voor het werken met de snellere server. Het wordt in vergelijking met kostenscenario duurder voor het systeem om klanten te laten wachten. Doordat de wachttijd heel snel oploopt, zal de totale wachtkost ook heel snel oplopen. De stijging van de totale wachtkost bij groter wordende drempelwaarden zal nog sneller de daling van de totale meerkost, veroorzaakt door de kleinere kans om de omschakeling te moeten maken van de trage naar de snellere server, overschrijden. Daardoor zal de minimale kost liggen bij een lagere drempelwaarde dan in het vorig kostenscenario. Uit de berekeningen en in figuur 2.23 zien we duidelijk dat de optimale drempelwaarde in deze situatie bij de waarde T = 4 ligt. Vanaf een drempelwaarde hoger dan T = 4, overtreft de stijgende totale wachtkost de dalende totale meerkost voor het werken met de snellere server. Hierdoor zullen bij drempelwaarden hoger dan T = 4 de totale kosten stijgen. Om dit aan te tonen werden de stijgende

54 2.6. Bespreking resultaten 43 Figuur 2.23: Totale kostengrafiek Figuur 2.24: Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde kleiner. totale wachtkost en dalende totale meerkost uitgezet in een grafiek die te zien is in figuur Als we de drempelwaarde verhogen bij zeer kleine drempelwaarde zakt de kans om de omschakeling van de trage naar de snellere server te moeten maken veel meer dan bij grotere drempelwaarden. Hierdoor daalt de totale meerkost voor het werken met de snellere server ook veel meer bij lagere drempelwaarden. Daartegenover zien we duidelijk de invloed van de snel stijgende wachttijd die ervoor zorgt dat bij lage drempelwaarden een verhoging van de drempelwaarde slechts een relatief kleine kostenverhoging met zich meebrengt ten opzichte van een verhoging van de drempelwaarde bij een reeds hoge drempelwaarde. In dit kostenscenario zal veel meer met de snellere server gewerkt worden omdat de aankomstintensiteit groter is dan de verwerkingsintensiteit van de trage server. Hierdoor zal er snel een wachtrij ontstaan en zal het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij zelfs relatief snel de optimale drempelwaarde van T = 4 overschrijden waarna dus zal overgeschakeld worden van de trage naar de snellere server.

55 2.6. Bespreking resultaten 44 Kostenscenario 3: β = 00 = γ = 00 Als derde kostenscenario wordt de kost per eenheid wachten gelijkgesteld aan de meerkost voor het werken met de snellere server, beide liggen nu op 00. Zoals in andere scenario s al vermeld is dit een kostenscenario waarbij het laten wachten van klanten mogelijk gepaard gaat met het verlies van de klanten zelf. Hierdoor zal de totale opbrengst van het systeem lager liggen en is een hoge wachtkost gerechtvaardigd. In deze situatie zal het systeem sneller kiezen om de meerkost voor het werken met de snellere server te betalen, om op die manier de wachtrij en de wachttijd onder controle te houden en de klanten te behouden. Door de zeer grote kost per eenheid wachten zal de totale wachtkost vermoedelijk een zeer groot aandeel hebben in de totale kost. Figuur 2.25: Totale kostengrafiek Zoals te verwachten was, is in figuur 2.25 te zien dat de minimale kosten bekomen worden bij een drempelwaarde die nog lager ligt dan in het vorige kostenscenario. De optimale drempelwaarde ligt bij de waarde T = 3. Door deze lagere drempelwaarde, zal het gebruik van de snellere server nog meer toenemen omdat de wachtrij sneller groter is dan 3 klanten als groter dan 4 klanten. De stijging van de minimale totale kost is ook normaal. In vergelijking met het eerste kostenscenario, is de kans dat de drempelwaarde overschreden wordt door het aantal klanten in de wachtrij en dus tevens de kans dat er gewerkt moet worden met de snellere server dezelfde. Daarnaast blijven ook de wachttijden en de meerkost voor het werken met de snellere server gelijk. Enkel de kost per eenheid wachten is hoger en daardoor komt de totale kost ook hoger te liggen. Kostenscenario 4: β = 50 > γ = 00 Als laatste bekijken we nog een kostenscenario waarbij de kost per eenheid wachten groter is dan de meerkost voor het werken met de snellere server. De kost per eenheid wachten wordt 50. In dit kostenscenario wordt er vanuit gegaan dat er een grote kans is dat als klanten moeten wachten, deze klanten niet loyaal zullen blijven en dus niet meer zullen terugkomen. Dit gaat gepaard met een daling van de totale opbrengsten, waardoor een zeer hoge kost per

56 2.6. Bespreking resultaten 45 eenheid wachten gerechtvaardigd is. De zeer hoge kost per eenheid wachten zal er voor zorgen dat er nog sneller omgeschakeld wordt van de trage naar de snellere server. Dit gebeurt om de gemiddelde wachtrij en dus ook de wachttijd beperkt te houden. De wachttijd is namelijk de aandrijver van de totale wachtkost en zoals reeds gezien loopt in dit scenario de wachttijd zeer snel op. De combinatie van het snel oplopen van de wachttijd en de zeer grote kost per eenheid wachten zal ervoor zorgen dat de totale wachtkost bij een groter wordende drempelwaarde zeer snel zal oplopen. Figuur 2.26: Totale kostengrafiek Op figuur 2.26 zien we dat de optimale drempelwaarde in dit geval gevonden wordt bij een drempelwaarde T = 2, met andere woorden vanaf er 2 klanten in de wachtrij staan, zal het systeem omschakelen van de trage naar de snellere server. De oorzaak is duidelijk te zien in figuur Figuur 2.27: Verschil tussen de stijgende wachtkost en de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Bij elke drempelwaarde staat het verschil tussen de kost van de drempelwaarde zelf en de drempelwaarde eronder. De zeer hoge kost per eenheid wachten samen met de zeer snel stijgende wachttijden, zorgen ervoor dat vanaf T = 2 de stijging in de totale wachtkost bij een groter wordende drempelwaarde de daling van de totale meerkost voor het werken met de snellere server overtreft. Dit betekent dat de totale kosten zullen stijgen als de drempelwaarde groter wordt dan T = 2. Vanaf een drempelwaarde T = 0 worden de totale meerkosten voor het werken

57 2.6. Bespreking resultaten 46 met de snellere server zelfs zo klein in vergelijking met de totale wachtkost, dat ze bijna te verwaarlozen zijn. Er dient toch vermeld te worden dat ze niet, zoals in scenario 2, volledig te verwaarlozen zijn. In het laatste kostenscenario van scenario 2 werd gezien dat de totale meerkost bij grote drempelwaarden zeer klein was, maar in dit scenario blijft de totale meerkost zelfs bij grote drempelwaarden toch een 20 procent van de totale kost. Dit komt natuurlijk door het grotere verschil tussen de verwerkingsintensiteiten van de trage en de snelle server waardoor de meerkost voor het werken met de snellere server γ op 00 in plaats van op 25 ligt. Dit valt ook te zien op figuur Figuur 2.28: Totale kosten opgesplitst in de wachtkost en de meerkost voor het werken met de snellere server In figuur 2.28 valt duidelijk op dat bij de hogere drempelwaarden de totale kost bijna volledig veroorzaakt wordt door de totale wachtkost. Vandaar dat de optimale drempelwaarde gevonden wordt bij een drempelwaarde waarbij de totale wachtkost beperkt is. Deze beperkte totale wachtkost ligt bij een zeer lage drempelwaarde. Een lage drempelwaarde en het feit dat de aankomstintensiteit hoger ligt dan de verwerkingsintensiteit van de trage server zorgen er immers voor dat er heel snel gewerkt zal worden met de snellere server waardoor de wachttijden, die de totale wachtkost bepalen, klein blijven. Eigenlijk zal in dit geval het systeem bijna constant met de snellere server werken. Als er terug overgeschakeld wordt op de trage server, zal de drempelwaarde weer zeer snel overschreden worden, waardoor het systeem opnieuw zal overschakelen op de snellere server. Conclusie De optimale drempelwaarde blijkt weer afhankelijk te zijn van de kost per eenheid wachten. Het verschil is echter dat doordat de aankomstintensiteit hoger ligt dan de verwerkingsintensiteit van de trage server dat de wachtrijen en wachttijden veel hoger liggen. Daardoor wordt bij elk kostenscenario de invloed van de totale wachtkost op de totale kost veel groter en daardoor zal de optimale drempelwaarde nooit zeer hoog komen te liggen. Bij een zeer lage kost per eenheid wachten, zal het systeem omschakelen van de trage naar de snelle server als er meer dan 7 klanten in de wachtrij staan. Bij een grotere kost per eenheid wachten zal deze

58 2.6. Bespreking resultaten 47 omschakeling naar de snellere server al gebeuren als het aantal klanten in wachtrij groter is dan 2, 3 of 4. Als we de kost per eenheid wachten blijven opdrijven, zal de optimale drempelwaarde bij T = komen te liggen. Daarvoor moet de kost per eenheid wachten ongeveer gelijkgesteld worden aan 350, wat natuurlijk heel hoog is. In zo n geval zal vanaf het moment dat een klant aan het wachten is, onmiddellijk gekozen worden om te werken met de snellere server. In dit geval wordt bijna altijd aan de hogere snelheid gewerkt aangezien de aankomstintensiteit groter is dan de verwerkingsintensiteit van de trage server. Met andere woorden gemiddeld gezien kan de trage server het aantal aankomende klanten niet verwerken waardoor het ontstaan van wachtrijen onvermijdelijk is. In deze situatie geldt dat van het moment dat een wachtrij ontstaat, het systeem zal overschakelen van de trage naar de snellere server. Hieruit kan geconcludeerd worden dat het systeem in zo n geval constant zal werken met de snellere server. Zoals de minimale totale kosten in scenario 2 hoger lagen dan in scenario, zullen de totale minimale kosten in scenario 3 nog hoger liggen dan in scenario 2. Dit komt omdat de meerkost voor het werken met de snellere server groter is dan in vorig geval. Hierdoor blijft de totale meerkost voor het werken met de snellere server steeds een niet te verwaarlozen percentage van de totale kosten uitmaken. Naast de grotere totale meerkost zal ook de totale wachtkost hoger liggen omdat de aankomstintensiteit groter is dan de verwerkingsintensiteit van de trage server. Hierdoor zullen de wachttijden voor elke drempelwaarde hoger zijn in scenario 3 dan in scenario 2 en zal bij eenzelfde kost per eenheid wachten de totale wachtkost groter zijn. Net als in scenario en 2 kan de conclusie getrokken worden dat naarmate de kost per eenheid wachten toeneemt, de optimale drempelwaarde bij een lagere waarde komt te liggen. De oorzaak is dezelfde als bij scenario en 2, namelijk bij een grotere kost per eenheid wachten overtreft de stijgende wachtkost sneller de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. Eigenlijk betekent dit dat bij een stijgende kost per eenheid wachten, een systeem rapper bereid is om de meerkost voor het werken met de snellere server te dragen. Het systeem zal bij een kortere wachtrij omschakelen op werken met de snellere server waardoor de wachttijden en ook de totale wachtkost beperkt blijven. Als laatste conclusie wordt het belang van de optimale drempelwaarde besproken. Zoals te zien was in de verschillende kostengrafieken is het optimum relatief stabiel. Als van het optimum afgeweken wordt, stijgen de kosten slechts in beperkte mate. Deze stabiliteit vermindert naarmate de optimale drempelwaarde lager ligt. De oorzaak ligt bij de aankomstintensiteit die groter is dan de verwerkingsintensiteit van de trage server. Hierdoor lopen de wachttijden zeer snel op. Zoals vermeld in het eerste puntje in de conclusie zijn lage optimale drempelwaarden meestal het gevolg van een hoge kost per eenheid wachten. Nu zorgt de combinatie van snel oplopende wachttijden en een hoge kost per eenheid wachten ervoor

59 2.6. Bespreking resultaten 48 dat de totale kosten zeer snel oplopen. Hierdoor zal bij een lage optimale drempelwaarde de stabiliteit rond het optimum minder groot zijn dan bij een hoge optimale drempelwaarde Scenario 4: µ < λ << µ 2 In scenario 3 was de gemiddelde) aankomstintensiteit groter dan de gemiddelde) verwerkingsintensiteit van de trage server, maar kleiner dan de verwerkingsintensiteit van de snellere server. De aankomstintensiteit lag juist tussen beide verwerkingsintensiteiten. Nu wordt nagegaan of er andere optimale drempelwaarden bekomen worden als de aankomstintensiteit maar net boven de verwerkingsintensiteit van de trage server ligt. Er wordt gekozen voor een aankomstintensiteit λ = 7 en verwerkingsintensiteiten µ = 6 en µ 2 = 2. Aangezien het verschil tussen beide verwerkingsintensiteiten in dit geval zeer groot is, zal de meerkost voor het werken met de snellere server ook hoger liggen. Uit de formule µ 2 µ ) 25 wordt gevonden dat de meerkost voor het werken met de snellere server in dit scenario 2 6) 25 of dus 50 is. Om scenario 3 vergelijkbaar te maken met scenario 4, werd er tevens een scenario 3b ingevoerd. Scenario 3b wordt niet besproken omdat het exact hetzelfde scenario is als scenario 3. De resultaten en conclusies zullen gelijk zijn. Het enige verschil met scenario 3 is dat in scenario 3b de verwerkingsintensiteiten net zoals in scenario 4 µ = 6 en µ 2 = 2 zijn. De gemiddelde aankomstintensiteit is λ = 9 bij scenario 3b en λ = 9 bij scenario 4. De verwachting is dat in scenario 4 veel minder snel zal gewerkt worden met de snellere server, omdat de aankomstintensiteit maar net boven de verwerkingsintensiteit van de trage server ligt. Door dit minieme verschil ontstaat niet snel een lange wachtrij en loopt de wachttijd minder snel op dan in scenario 3b. Bij elke drempelwaarde is de kans kleiner dat het aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarde zal overschrijden, waardoor minder snel gebruik gemaakt zal worden van de snellere server. De verwachting dat er minder snel gewerkt zal worden met de snellere server, brengt de verwachting met zich mee dat de optimale drempelwaarden hoger zullen liggen. Uit de berekeningen van het gemiddelde aantal klanten valt onmiddellijk op dat het verschil met scenario 3b zeer groot is. Het verschil in het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij tussen scenario 3b en scenario 4 is te zien in figuur Waar in scenario 3b, bij elke drempelwaarde het gemiddelde aantal klanten deze drempelwaarde overschreed, is dit in scenario 4 enkel het geval bij drempelwaarde T =. Dit is te wijten aan het kleine verschil tussen aankomst- en verwerkingsintensiteit waardoor de wachtrij niet zo snel oploopt als in scenario 3b. Dit betekent niet dat enkel bij de drempelwaarde T = het aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarde zal overschrijden. Ook bij hogere drempelwaarden zal het aantal klanten in de wachtrij de hogere drempelwaarde bij momenten overschrijden. Elke drempelwaarde wordt minder snel overschreden in scenario 4. In scenario 4 zal het bij elke drempelwaarde langer duren voor het systeem zal werken met de snellere server. Natuurlijk zal net zoals in scenario 3b bij vele drempelwaarden wel gebruik

60 2.6. Bespreking resultaten 49 Figuur 2.29: Verschil in het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij tussen scenario 3b en scenario 4 gemaakt worden van de snellere server, omdat gemiddeld gezien de trage server nog steeds het aantal aankomende klanten niet zal kunnen verwerken waardoor een wachtrij ontstaat. Deze wachtrij zal langzaam groeien. Afhankelijk van de drempelwaarde zal overgeschakeld worden op de snellere server als een bepaald aantal klanten in de wachtrij overschreden wordt. Op die manier wordt de wachtrij onder controle gehouden. In figuur 2.30 zien we het verschil in wachttijd tussen scenario s 3b en 4. Figuur 2.30: Verschil in de wachttijd tussen scenario 3b en scenario 4 Doordat het verschil tussen beide intensiteiten in scenario 4 klein is, ontstaan er zoals verwacht minder snel wachtrijen. Daardoor zijn bij elke drempelwaarde de wachttijden kleiner. Wat opvalt is dat de wachttijden aan eenzelfde snelle tempo oplopen. De wachttijd bij elke drempelwaarde is kleiner, maar over alle drempelwaarden heen blijft het verschil ongeveer steeds hetzelfde. Hierdoor is relatief gezien het verschil tussen de wachttijden veel groter bij de lage drempelwaarden dan bij de grotere drempelwaarden. Nu zullen er net zoals in de vorige 3 scenario s verschillende kostenscenario s uitgewerkt worden, om een brede kijk te krijgen op wanneer welke drempelwaarde optimaal is. Zoals hiervoor al vermeld, zal deze keer de meerkost voor het werken met de snellere server liggen op 50. Voor de kost per eenheid wachten zal per kostenscenario een andere waarde gebruikt worden. Ter herhaling nog even de kostenfunctie: K = β wachttijd + γ P E[X] > T ).

61 2.6. Bespreking resultaten 50 Kostenscenario : β = 50 >> γ = 50 Eerst wordt een kostenscenario bekeken waarbij de kost per eenheid wachten gelijkgesteld wordt aan 50. Zoals hiervoor al enkele malen vermeld is dit een situatie waarbij de klant wachten niet apprecieert, maar toch loyaal zal blijven aan het systeem. Klanten laten wachten zorgt dus niet voor een daling van de totale opbrengst. Door de zeer hoge meerkost voor het werken met de snellere server verwachten we dat de optimale drempelwaarde bij een relatief hoge waarde zal liggen. Zo zal de totale meerkost voor het werken met de snellere server beperkt blijven. Daartegenover staat dat, zoals te zien was in figuur 2.30, de wachttijden aan een zeer hoog tempo oplopen, waardoor de totale wachtkost zeer snel oploopt. De combinatie van de zeer snel oplopende totale wachtkost en de hoge meerkost voor het werken met de snellere server zal er waarschijnlijk voor zorgen dat het minimale kostenniveau bereikt zal worden bij een middelhoge optimale drempelwaarde. Figuur 2.3: Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario 4 Uit figuur 2.3 blijkt dat de verwachtingen correct waren. In scenario 4 ligt de optimale drempelwaarde hoger dan in scenario 3b. In scenario 3b vinden we de optimale drempelwaarde bij een waarde T = 4 terwijl de optimale drempelwaarde in scenario 4 ligt bij een waarde T = 5. Wat op de figuur opvalt, is het zeer grote kostenverschil tussen beide scenario s. Scenario 4 komt in vergelijking met scenario 3b zeer voordelig uit. Zoals al vermeld is één van de redenen van het grote kostenverschil het verschil in wachttijd tussen beide scenario s. In scenario 3b liggen de wachttijden voortdurend hoger dan in scenario 4. Figuur 2.32 toont echter aan dat het verschil in de totale kost veroorzaakt door het verschil in wachttijden, beperkt is. Het grootste deel van het kostenverschil is te wijten aan de andere kostenfactor, de meerkost voor het werken met de snellere server. Zoals te zien is in figuur 2.33 is er een groot verschil tussen de totale meerkost voor het werken met de snellere server in scenario 3b en in scenario 4. Het verschil tussen de totale meerkosten wordt groter naarmate de drempelwaarde groter wordt. Dit is logisch want in scenario 3b ligt de verwerkingsintensiteit van de trage server

62 2.6. Bespreking resultaten 5 Figuur 2.32: Verschil in de wachtkost tussen scenario 3b en scenario 4 Figuur 2.33: Verschil in de meerkost voor het werken met de snellere server tussen scenario 3b en scenario 4 veel lager dan de aankomstintensiteit, waardoor het aantal klanten in de wachtrij veel sneller zal toenemen dan in scenario 4. De kans dat het aantal klanten in de wachtrij een drempelwaarde zal overschrijden ligt dus ook veel hoger. Nu geldt dat hoe groter de kans is dat de drempelwaarde overschreden wordt, hoe groter de totale meerkosten zullen zijn. De totale meerkost voor het werken met de snellere server is namelijk het product van de kans dat de drempelwaarde overschreden is en de meerkost γ voor het werken met de snellere server. In scenario 4 is het verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit van de trage server klein. Het aantal klanten in de wachtrij zal niet zo snel groeien als in scenario 3b. De kans dat het aantal klanten in de wachtrij groter is dan een drempelwaarde is dus ook kleiner. Hierdoor zal de totale meerkost voor het werken met de snellere server lager zijn dan in scenario 4. Het steeds groter wordend verschil in de totale meerkost voor het werken met de snellere server tussen beide scenario s kan ook eenvoudig verklaard worden. In scenario 4 zal het beperkte verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit ervoor zorgen dat bij groter wordende drempelwaarden, de kans dat deze drempelwaarde overschreden wordt veel sneller zakt dan in scenario 3b. Hierdoor zal het verschil tussen de totale meerkost toenemen naarmate de drempelwaarde groter wordt. Zoals te zien in figuur 2.34 daalt de totale meerkost voor het werken met de snellere server

63 2.6. Bespreking resultaten 52 Figuur 2.34: Verschil in de dalende meerkost voor het werken met de snellere server tussen scenario 3b en scenario 4 bij groter wordende drempelwaarden heel snel. In scenario 3b daarentegen zal de kans dat een groter wordende drempelwaarde overschreden wordt, slecht met mondjesmaat verkleinen. Hierdoor is de daling van de totale meerkost bij groter wordende drempelwaarden zeker bij kleine drempelwaarden veel beperkter in vergelijking met scenario 4. Deze veel sterkere daling van de totale meerkost voor het werken met de snellere server zorgt ervoor dat bij scenario 4 de minimale kosten bij een hogere drempelwaarde liggen. Het zal in scenario 4 langer duren vooraleer de stijgende totale wachtkost de meer dalende totale meerkost overtreft. Hierdoor blijft de totale kost langer dalen bij groter wordende drempelwaarden. Kostenscenario 2: β = 00 > γ = 50 Als tweede kostenscenario wordt de kost per eenheid wachten gelijkgesteld aan 00. Dit is het kostenscenario waarbij het laten wachten van klanten mogelijk gepaard gaat met verlies van klanten en een verlies aan opbrengst. Aangezien het verschil tussen de kost per eenheid wachten en de meerkost voor het werken met de snellere server, die nog steeds 50 is, nu veel kleiner is, zal de optimale drempelwaarde normaal lager komen te liggen dan in het vorig kostenscenario. Dit kan verwacht worden omdat het duurder wordt om klanten te laten wachten. Zoals gezien in het begin van dit scenario loopt de wachttijd en dus ook de totale wachtkost zeer snel op bij groter wordende drempelwaarden. We zullen in de resultaten opnieuw de vergelijking maken tussen scenario 3b en scenario 4, om te kijken wat de invloed is van de lagere aankomstintensiteit. In figuur 2.35 worden de totale kosten getoond. Wat opvalt is dat in deze situatie de optimale drempelwaarde in beide scenario s gelijk is, namelijk T = 3. Opnieuw is er een groot kostenverschil tussen beide scenario s. De oorzaak is, net zoals in het vorige kostenscenario, te vinden in het grote verschil tussen de kans dat het aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarden zal overschrijden. Deze kans ligt namelijk veel hoger in scenario 3b dan in scenario 4. Aangezien deze kans de factor is achter de totale meerkost voor het werken met de snellere server, zal de totale meerkost veel groter zijn in scenario 3b. De kost per eenheid

64 2.6. Bespreking resultaten 53 Figuur 2.35: Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario 4 wachten oefent een grotere invloed uit waardoor het kostenverschil tussen beide scenario s nog groter is. Dit is logisch want het verschil tussen de totale meerkost voor het werken met de snellere server blijft in beide scenario s juist hetzelfde, omdat de meerkost voor het werken met de snellere server vastligt op 50. De kostenverhogende factor van de totale meerkost is zoals gezegd de kans dat het aantal klanten in de wachtrij groter is dan de drempelwaarde, en ook deze kans blijft hetzelfde. Deze kans hangt niet af van de kost per eenheid wachten, maar zoals we gezien hebben in het begin, ligt de wachttijd voor elke drempelwaarde in scenario 3b hoger dan in scenario 4. Door de hogere kost per eenheid wachten in dit kostenscenario zal het kostenverschil veroorzaakt door het laten wachten van klanten groter zijn in het vorige kostenscenario. Figuur 2.36: Verschil in de wachtkost tussen kostenscenario waarbij de kost voor een eenheid wachten β = 50 en kostenscenario 2 waarbij de kost voor een eenheid wachten β = 00 Figuur 2.36 toont aan wat hierboven vermeld is. We zien in de figuur duidelijk dat het verschil in totale wachtkost tussen beide scenario s veel groter is in kostenscenario 2 met een kost per eenheid wachten van 00 dan in kostenscenario met een kost per eenheid wachten van 50.

65 2.6. Bespreking resultaten 54 Kostenscenario 3: β = 50 = γ = 50 Als derde kostenscenario wordt bekeken wat de invloed is als de kost per eenheid wachten even groot is als de meerkost voor het werken met de snellere server. Beide zijn 50. Dit is het kostenscenario waarbij het laten wachten van klanten mogelijk gepaard gaat met verlies van klanten en een verlies aan opbrengst. Vandaar de hoge wachtkost. De verwachtingen zijn dat in beide scenario s de optimale drempelwaarde opnieuw bij een lagere waarde zal liggen, dus bij een waarde T = 2 of T = 3. Uiteraard zal het kostenverschil tussen beiden scenario s opnieuw toenemen. De reden hiervoor is weer dezelfde als vermeld in kostenscenario 2. De wachttijd in scenario 3b is groter dan die in scenario 4, en bij een grotere wordende kost per eenheid wachten zal het verschil tussen de totale wachtkost en dus ook het verschil tussen de totale kost toenemen. Figuur 2.37: Verschil in de totale kosten tussen scenario 4b en scenario 5 Uit de berekeningen en in figuur 2.37 zien we dat in scenario 3b de minimale kosten bereikt worden bij een optimale drempelwaarde T = 2 en dat in scenario 4 de minimale kosten bereikt worden bij een optimale drempelwaarde van T = 3. Het verschil in drempelwaarde wordt veroorzaakt door het feit dat in scenario 4, bij groter wordende drempelwaarden, de dalende totale meerkost voor het werken met de snellere server langer de stijgende totale wachtkost overtreft dan in scenario 3b het geval is. Kostenscenario 4: β = 200 = γ = 50 Als laatste wordt nog een kostenscenario bekeken waarbij de kost per eenheid wachten groter is dan de meerkost voor het werken met de snellere server. De kost per eenheid wachten wordt nu 200. In dit scenario wordt er vanuit gegaan dat als een klant in het systeem moet wachten, deze klant niet loyaal zal blijven en dus niet meer zal terugkomen. Het laten wachten van de klant zorgt niet enkel voor een kost van de negatieve invloed die wachten heeft op de klant zelf, maar tevens voor een kost veroorzaakt door de daling van de totale opbrengst omdat cliënteel verloren gaat. Hierdoor wordt de zeer hoge wachtkost gerechtvaardigd.

66 2.6. Bespreking resultaten 55 Figuur 2.38: Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario 4 Zoals kan gezien worden op figuur 2.38 liggen de optimale drempelwaarden van scenario 3b en scenario 4 in beide gevallen op T = 2. Het zakken van de optimale drempelwaarde is logisch. Aangezien de kost om klanten te laten wachten stijgt, zal het systeem sneller overschakelen op het werken met de snellere server om zo de wachtrij en de wachttijd te beperken. Vanaf het moment dat de wachtrij bestaat uit 2 klanten, zal het systeem omschakelen van de trage naar de snellere server. Op die manier worden de wachtrijen en de wachttijden en ook de totale wachtkost min of meer beperkt. Het kostenverschil tussen beide scenario s is door de grotere kost per eenheid wachten ook weer toegenomen. Conclusie De optimale drempelwaarde blijkt opnieuw afhankelijk te zijn van de kost per eenheid wachten. Zoals in het begin gezegd was het doel in dit scenario nagaan of er andere optimale drempelwaarden bekomen worden en eventueel andere conclusies kunnen getrokken worden als de aankomstintensiteit net boven de verwerkingsintensiteit van de trage server ligt en veel onder de verwerkingsintensiteit van de snellere server. De conclusie is dat naarmate het verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit van de trage server kleiner is, de optimale drempelwaarde in bepaalde gevallen stijgt in vergelijking met scenario 3b. Deze stijging is weliswaar heel beperkt. Een andere conclusie die getrokken kan worden is dat in scenario 4 de minimale kosten steeds lager liggen dan bij scenario 3b. Dit wil dus zeggen dat als het verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit van de trage server kleiner wordt, de totale kost ook daalt. Dit geldt voor alle mogelijke waarden van de kost per eenheid wachten. De verklaring is logisch: als de aankomstintensiteit verder afwijkt van de verwerkingsintensiteit van de trage server, zal de server het moeilijker hebben om de aankomende klanten te bedienen dan als het verschil tussen beide intensiteiten miniem is. Bij een groter verschil zal dus veel sneller een wachtrij ontstaan waardoor de wachttijden en de totale wachtkost veel hoger liggen. Een ander gevolg van het klein verschil tussen beide intensiteiten is dat de kans dat het aantal klanten in de wachtrij een drempelwaarde overschrijdt, lager is.

67 2.6. Bespreking resultaten 56 Hierdoor is de totale meerkost voor het werken met de snellere server lager bij een kleiner verschil tussen de aankomst- en de verwerkingsintensiteit van de trage server. Aangezien beide kostenfactoren lager liggen, zijn de totale kosten bij een kleiner verschil tussen aankomsten de verwerkingsintensiteit van de trage server logischerwijs ook lager. Natuurlijk blijft in scenario 4 zoals in de andere scenario s ook gelden dat als de kost per eenheid wachten groter wordt, de optimale drempelwaarde lager ligt. De oorzaak is dezelfde als bij de vorige scenario s, namelijk dat bij een groter wordende wachtkost, de stijgende wachtkost sneller de dalende meerkost voor het werken met de snellere server zullen overtreffen. Dit betekent dat bij een stijgende kost per eenheid wachten, een systeem rapper bereid zal zijn om de meerkost voor het werken met de snellere server te dragen. Het systeem zal bij een kortere wachtrij omschakelen op de snellere server waardoor de wachttijden en de totale wachtkost beperkt blijven. Qua stabiliteit van het optimum wordt dezelfde conclusie gemaakt als bij scenario 3. Naarmate de kost per eenheid wachten groter is en de optimale drempelwaarde lager ligt, vermindert de stabiliteit Scenario 5: µ << λ < µ 2 In scenario 3 was de gemiddelde) aankomstintensiteit groter dan de gemiddelde) verwerkingsintensiteit van de trage server, maar kleiner dan verwerkingsintensiteit van de snellere server. Hierbij lag de aankomstintensiteit juist tussen beide verwerkingsintensiteiten. In scenario 4 was de aankomstintensiteit maar net groter was dan de verwerkingsintensiteit van de trage server maar veel kleiner dan de verwerkingsintensiteit van de snellere server. Nu wordt nagegaan of er andere optimale drempelwaarden bekomen worden als de aankomstintensiteit veel boven de verwerkingsintensiteit van de trage server en maar net onder de gemiddelde verwerkingsintensiteit van de snellere server ligt. We zullen als aankomstintensiteit λ = nemen en als verwerkingsintensiteiten µ = 6 en µ 2 = 2. Aangezien het verschil tussen beide verwerkingsintensiteiten in dit geval zeer groot is, zal de meerkost voor het werken met de snellere server hoger liggen. Uit de formule µ 2 µ ) 25 wordt gevonden dat de meerkost voor het werken met de snellere server in dit scenario 2 6) 25 of dus 50 is. Om scenario 3 vergelijkbaar te maken met scenario 5, wordt gebruik gemaakt van scenario 3b waarbij de verwerkingsintensiteiten net zoals in scenario 4 en 5 µ = 6 en µ 2 = 2 zijn, terwijl de aankomstintensiteit λ = 9 is. De verwachting is dat in scenario 5 veel sneller de omschakeling zal gemaakt worden op het werken met de snellere server omdat de aankomstintensiteit veel groter is dan de verwerkingsintensiteit van de trage server. Door het grote verschil zal snel een lange wachtrij ontstaan en zal de wachttijd sneller oplopen dan in scenario 3b en scenario 4. Waarom sneller gekozen zal worden voor het werken met de snellere server, is de veel grotere kans dat het aantal klanten in de wachtrij groter zal zijn dan een drempelwaarde. Deze kans wordt beïnvloed door de wachtrijen, en aangezien deze veel sneller zullen oplopen

68 2.6. Bespreking resultaten 57 zal de kans dat de wachtrij de drempelwaarden overschrijdt vanzelfsprekend ook groter zijn. De verwachting dat er sneller gewerkt zal worden met de snellere server brengt de verwachting met zich mee dat de optimale drempelwaarden in dit scenario lager zullen liggen dan in scenario 3b. Deze verwachting kan gestaafd worden door logisch denkwerk. Aangezien de aankomstintensiteit veel hoger ligt dan de verwerkingsintensiteit van de trage server zal de trage server het zeer moeilijk hebben om de aankomende klanten te verwerken. Er zal zeer snel een wachtrij ontstaan die zeer snel zal groeien. De wachttijden zullen dus zeer groot zijn. Door deze zeer hoge wachttijd zal de totale wachtkost, ongeacht de kost per eenheid wachten, sowieso zeer groot zijn. We kunnen dus verwachten dat het systeem zal willen vermijden dat de wachtrijen en wachttijden groot worden door zeer snel te beginnen werken met de snellere server. Dit wil zeggen dat de optimale drempelwaarde in elk kostenscenario zeer laag zal liggen. Figuur 2.39 geeft het gemiddelde aantal klanten weer. Het valt op dat het verschil tussen dit scenario en scenario 3b zeer groot is. Figuur 2.39: Verschil in het gemiddelde aantal klanten tussen scenario 3b en scenario 5 Net als in scenario 3b kan ook in scenario 5 vastgesteld worden dat voor elke drempelwaarde het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarde overschrijdt. Deze keer worden de drempelwaarden weliswaar niet net, maar heel duidelijk overschreden. De aankomstintensiteit is in dit scenario zoveel groter dan de verwerkingssnelheid van de server werkend aan de lage snelheid, dat de wachtrij zeer snel zal toenemen. De wachttijd zal bij elke drempelwaarde ook veel groter zijn dan in de vorige scenario s. De gevolgen zijn duidelijk. De kans dat het aantal klanten in de wachtrij groter is dan een drempelwaarde is veel groter dan in de vorige scenario s. Hierdoor zal de kans dat gewerkt wordt met de snellere server ook veel groter zijn. Daarnaast zal de wachttijd met hoger wordende drempelwaarde zeer snel oplopen. De totale meerkost voor het werken met de snellere server zal heel hoog zijn en slechts beperkt afnemen, terwijl de totale wachtkost bij groter wordende drempelwaarden zeer snel zal toenemen. Daardoor zal de totale kost in dit scenario veel hoger zijn dan in scenario 3b, en zal de minimale kost in dit scenario bij een zeer lage drempelwaarde liggen. Als gevolg daarvan zal in dit scenario eigenlijk constant met de snellere server gewerkt worden. Indien er

69 2.6. Bespreking resultaten 58 gewerkt wordt met de trage server, zullen de wachtrij en de wachttijd snel oplopen en zal de omschakeling naar de snellere server snel gemaakt worden. Natuurlijk zal in dit scenario de wachtrij maar zeer traag verkleinen doordat de verwerkingsintensiteit van de snellere server maar net hoger ligt dan de aankomstintensiteit. Figuur 2.40: Verschil in de wachttijd tussen scenario 3b en scenario 5 In figuur 2.40 wordt het zeer grote verschil tussen de wachttijd aangetoond. Door het zeer grote verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit wordt de wachttijd zeer snel zeer hoog. Zoals op de grafiek te zien is, verkleint dit verschil met groter wordende drempelwaarden. In dit scenario worden opnieuw verschillende kostenscenario s uitgewerkt, zodat er een brede kijk ontstaat op wanneer welke drempelwaarde optimaal is. Nu ligt de meerkost voor het werken met de snellere server op 50. Voor de kost per eenheid wachten wordt per kostenscenario een andere waarde gebruikt. Ter herhaling nog even de kostenfunctie: K = β wachttijd + γ P E[X] > T ). Kostenscenario : β = 50 >> γ = 50 In dit kostenscenario wordt de kost per eenheid wachten gelijkgesteld aan 50. Zoals hiervoor al vermeld, is dit een situatie waarbij de klant wachten niet apprecieert, maar toch loyaal zal blijven aan diegene die de service aanbiedt. Klanten laten wachten zorgt dus niet voor een daling van de totale opbrengst. Door de extreem hoge wachttijden in dit scenario 5, wordt verwacht dat de optimale drempelwaarde zeer laag zal liggen. De meerkost voor het werken met de snellere server is zeer hoog, maar door de grootte van de wachttijden zal de totale wachtkost waarschijnlijk zelfs in dit kostenscenario al een doorslaggevende rol spelen. Zoals verwacht toont figuur 2.4 dat de optimale drempelwaarde in scenario 5 lager ligt dan in scenario 3b. Net als tussen scenario 4 en scenario 3b valt ook bij de vergelijking tussen scenario 5 en scenario 3b op dat het verschil tussen beide kosten zeer groot is. De grootste reden voor dit kostenverschil is het verschil in wachttijden. Zelfs bij een kost per eenheid wachten die slechts 50 is, is het verschil tussen de totale wachtkost in beide scenario s zeer

70 2.6. Bespreking resultaten 59 Figuur 2.4: Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario 5 groot. De zeer snelle stijging van de totale wachtkost is zoals al eerder vermeld te wijten aan de zeer snel stijgende wachttijden. In figuur 2.42 is het zeer grote wachtkostenverschil tussen scenario s 3b en scenario 5 te zien. Figuur 2.42: Verschil in de wachtkost tussen scenario 3b en scenario 5 Het verschil tussen de totale meerkost voor het werken met de snellere server is, tegenover het grote verschil in totale wachtkost, niet te verwaarlozen, het is zelf zeer groot. Het verschil in totale meerkost voor het werken met de snellere server tussen beide scenario s neemt opnieuw toe naarmate de drempelwaarde groter wordt. Het grote kostenverschil is te wijten aan het feit dat in scenario 5 de kans dat het aantal klanten in de wachtrij een drempelwaarde overschrijdt veel groter is dan de kans dat eenzelfde drempelwaarde overschreden wordt in scenario 3b. De oorzaak ligt in het feit dat de aankomstintensiteit in dit scenario niet een beetje, maar zeer veel hoger ligt dan de verwerkingsintensiteit van de trage server. De zeer grote kans dat om het even welke drempelwaarde overschreden wordt, is ook de oorzaak van het groter wordend verschil tussen de totale meerkost in beide scenario s. Daar waar in scenario 3b de kans dat het aantal klanten in de wachtrij een hoge drempelwaarde overschrijdt veel kleiner is dan de kans dat het aantal klanten in de wachtrij een lage drempelwaarde overschrijdt, is deze kans in scenario 5 bij elk drempelwaarde zeer groot en daalt die kans zo goed als niet bij groter wordende drempelwaarden. Hierdoor

71 2.6. Bespreking resultaten 60 Figuur 2.43: Verschil in de meerkost voor het werken met de snellere server tussen scenario 3b en scenario 5 neemt het verschil tussen de totale meerkost van scenario 3b en scenario 5 toe met groter wordende drempelwaarden. Kostenscenario 2: β = 00 > γ = 50 Als tweede kostenscenario wordt nu een kostenscenario bekeken waarbij de kost per eenheid wachten groter is dan 50. Deze keer wordt de kost per eenheid wachten gelijkgesteld aan 00. Hier gaat het laten wachten van klanten mogelijk gepaard met het verlies van de klanten en dus een verlies aan opbrengst. Aangezien het verschil tussen de kost per eenheid wachten en de meerkost voor het werken met de snellere server nu veel kleiner is, zal de optimale drempelwaarde normaal lager liggen dan in het vorig kostenscenario. Aangezien de optimale drempelwaarde in kostenscenario al op T = 2 lag, kan het moeilijk nog meer zakken. Figuur 2.44: Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario 5 In figuur 2.44 zien we dat de optimale drempelwaarde van scenario 5 nog steeds op waarde T = 2 ligt. De optimale drempelwaarde blijft dus gelijk en blijft lager dan de optimale drempelwaarde van scenario 3b. Het kostenverschil tussen beide scenario s is ook hoger, wat logisch is. Het verschil tussen de totale meerkost voor het werken met de snellere server blijft

72 2.6. Bespreking resultaten 6 in beide scenario s juist hetzelfde. De totale meerkost blijft uiteraard omdat de meerkost, voor het werken met de snellere server, en de kans dat het aantal klanten in de wachtrij een bepaalde drempelwaarde zal overschrijden, gelijk blijven. De oorzaak voor het groter totaal kostenverschil ligt bij de wachttijd die voor elke drempelwaarde in scenario 5 groter is dan in scenario 3b. Figuur 2.45: Verschil in de wachtkost tussen kostenscenario waarbij de kost voor een eenheid wachten β = 50 en kostenscenario 2 waarbij de kost voor een eenheid wachten β = 00 Door de hogere kost per eenheid wachten in dit kostenscenario zal het kostenverschil voor het laten wachten van klanten groter zijn dan in het vorige kostenscenario. Dit is ook te zien op figuur Het verschil in de totale wachtkost tussen scenario 3b en scenario 5 is groter bij de hogere kost per eenheid wachten. De drempelwaarde van T = 2 is, door het grote verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit van de server werkend aan de lage snelheid, een indicatie voor het feit dat het systeem voor het grootste deel van de tijd met de snellere server zal werken. Kostenscenario 3: β = 50 = γ = 50 Als derde kostenscenario wordt bekeken wat de invloed is als de kost per eenheid wachten even groot is als de meerkost voor het werken met de snellere server. Dit is het kostenscenario waarbij het laten wachten van klanten mogelijk gepaard gaat met verlies van klanten en dus een verlies aan opbrengst. Vandaar dat de kost per eenheid wachten oploopt tot 50. De verwachtingen zijn dat in beide scenario s de optimale drempelwaarde zal liggen op T =. Uiteraard zal het kostenverschil tussen beiden scenario s opnieuw toenemen. De reden hiervoor is dezelfde als vermeld in het vorige kostenscenario. De wachttijd in scenario 5 is groter dan in scenario 3b, en bij een grotere wordende kost per eenheid wachten zal het verschil in de totale wachtkost en dus ook het verschil in de totale kost toenemen. In figuur 2.46 zien we dat in scenario 5 de minimale kosten bereikt worden bij een optimale drempelwaarde T = en dat in scenario 3b de minimale kosten bereikt worden bij een optimale drempelwaarde van T = 2. Dit verschil in drempelwaarde ligt in het feit dat in

73 2.6. Bespreking resultaten 62 Figuur 2.46: Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario 5 scenario 5, bij hoger wordende drempelwaarden, de dalende totale meerkost voor het werken met de snellere server minder lang de stijgende totale wachtkost overtreft dan in scenario 3b. Wat nog op te merken valt is dat voor de eerste maal de optimale drempelwaarde ligt bij de waarde T =. Dit wil zeggen dat vanaf het moment dat er klant in de wachtrij staat, het systeem de omschakeling zal maken van werken met de trage naar werken met de snellere server. Aangezien de aankomstintensiteit hoger ligt dan de verwerkingsintensiteit van de server werkend aan de lage snelheid, zal er zeer snel een wachtrij ontstaan en zal er eigenlijk alleen maar gewerkt worden met de snellere server. Dit is logisch want de verwerkingsintensiteit van de snellere server ligt maar net boven de aankomstintensiteit van het systeem. Gemiddeld gezien kan de snellere server maar net het aantal aankomende klanten bedienen. Bij momenten zal de snellere server zelfs niet in staat zijn om alle klanten tijdig te bedienen en kan er zelf bij het werken met de snellere server een wachtrij ontstaan. Kostenscenario 4: β = 200 > γ = 50 Als laatste wordt een kostenscenario bekeken waarbij de kost per eenheid wachten groter is dan de meerkost voor het werken met de snellere server. De kost per eenheid wachten wordt 200. In dit scenario wordt er vanuit gegaan dat de kans zeer groot is dat klanten die moeten wachten niet loyaal zullen blijven en dus niet meer zullen terugkomen. Dit zal een daling van de totale opbrengsten veroorzaken waardoor de zeer hoge kost per eenheid wachten gerechtvaardigd is. De optimale drempelwaarden veranderen, zoals in figuur 2.47 te zien is, in vergelijking met het vorige kostenscenario niet. De optimale drempelwaarde blijft T = in scenario 5 en blijft T = 2 in scenario 3b. De lage optimale drempelwaarden zijn logisch. Net zoals in vorig kostenscenario is de kost per eenheid wachten zo groot dat het systeem snel met de snellere server zal beginnen werken om zo de wachtrij en de wachttijd te beperken. Ook in dit kostenscenario zal er constant met de snellere server gewerkt worden omdat bij werken met de trage server onmiddellijk een wachtrij ontstaat. Bij een optimale drempelwaarde van

74 2.6. Bespreking resultaten 63 Figuur 2.47: Verschil in de totale kosten tussen scenario 3b en scenario 5 T = geldt dat het ontstaan van de wachtrij ervoor zorgt dat de drempelwaarde overschreden wordt, waardoor omgeschakeld wordt op werken met de snellere server. Conclusie De optimale drempelwaarde blijkt opnieuw afhankelijk te zijn van de kost per eenheid wachten. In dit scenario wordt opnieuw nagegaan of er andere optimale drempelwaarden bekomen worden en eventueel andere conclusies kunnen getrokken worden als de aankomstintensiteit veel boven de verwerkingsintensiteit van de trage server en maar net onder de verwerkingsintensiteit van de snellere server ligt. Er kan geconcludeerd worden dat naarmate het verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit van de trage server groter is, de optimale drempelwaarde in alle gevallen lager ligt dan in scenario 3b. Deze daling is beperkt omdat ook in scenario 3b de optimale drempelwaarde te vinden was bij een lage waarde van T. Een andere conclusie is dat in scenario 5 de minimale kost steeds hoger ligt dan bij scenario 3b. Dit wil zeggen dat als het verschil tussen de aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit van de trage server groter wordt, de totale kost ook stijgt. Dit geldt trouwens voor alle mogelijke waarden van de kost per eenheid wachten. De verklaring is logisch: als de aankomstintensiteit verder afwijkt van de verwerkingsintensiteit van de trage server, zal de server het moeilijker hebben om de aankomende klanten te bedienen dan als het verschil tussen beide intensiteiten miniem is. Bij een groter verschil zal veel sneller een wachtrij ontstaan waardoor de wachttijden en de totale wachtkost veel hoger liggen. Een ander gevolg van het groter verschil tussen beide intensiteiten is dat de kans, dat het aantal klanten in de wachtrij een drempelwaarde overschrijdt groter is. Hierdoor is ook de totale meerkost voor het werken met de snellere server hoger bij een groter verschil tussen de aankomst- en de verwerkingsintensiteit van de trage server. Aangezien beide kostenfactoren hoger liggen, zijn de totale kosten bij een groter verschil tussen aankomst- en de verwerkingsintensiteit van de trage server logischerwijs ook hoger. Natuurlijk blijft ook in scenario 5 zoals in de andere scenario s gelden dat de optimale

75 2.6. Bespreking resultaten 64 drempelwaarde lager ligt als de kost per eenheid wachten groter wordt. De oorzaak is dezelfde als bij de vorige scenario s, bij een groter wordende wachtkost overtreft de stijgende wachtkost sneller de dalende meerkost voor het werken met de snellere server. De conclusie is dat bij een stijgende kost per eenheid wachten, een systeem rapper bereid zal zijn om de meerkost voor het werken met de snellere server te dragen. Het systeem zal bij een kortere wachtrij overschakelen op de snellere server waardoor de wachttijden en ook de totale wachtkost beperkt blijft. In dit scenario is de stabiliteit van het optimum bij elk kostenscenario relatief laag isomdat in dit scenario elke optimale drempelwaarde een zeer lage waarde heeft. Zoals reeds gezien is de stabiliteit rond het optimum steeds kleiner bij een lage optimale drempelwaarde. In scenario 5 kunnen we dus besluiten dat een afwijking van de optimale drempelwaarde steeds zorgt voor een toch wel relatief grote stijging van de totale kosten Scenario 6: λ > µ 2 Een scenario waarbij de gemiddelde) aankomstintensiteit hoger wordt gelegd dan de gemiddelde) verwerkingsintensiteit van de server werkend aan de hoge snelheid is uiteraard niet mogelijk, omdat een wachtlijnsysteem in het algemeen slechts stabiel kan zijn als de bezettingsgraad ρ = λ µ strikt kleiner is dan. Indien ρ groter dan zou zijn, dan zou er gemiddelde gezien per tijdseenheid meer werk in het systeem toekomen dan het systeem kan uitvoeren, zodat de hoeveelheid onuitgevoerd werk zich steeds meer opstapelt, hetgeen uiteindelijk aanleiding zal geven tot oneindig lange wachttijden en wachtrijen van klanten. In zo n geval wordt het wachtlijnsysteem instabiel genoemd. Dit is duidelijk het geval als λ > µ 2. De bezettingsgraad ρ is in deze situatie groter dan waardoor het systeem instabiel is.

76 Hoofdstuk 3 Model 2: T < In dit hoofdstuk wordt het eerste deel van model 2 bekeken, een model waarbij de drempelwaarde T kleiner is dan het maximaal aantal initieel open servers. 3. Model 2 In het eerst punt van dit hoofdstuk wordt model 2 nog eens uitgelegd. Zoals reeds besproken in de inleiding is model 2 een wachtlijnsysteem dat bestaat uit meerdere servers. Het principe is hetzelfde als in model. Als het aantal klanten in de wachtrij een bepaalde drempelwaarde overschrijdt, zal het model werken aan een hogere capaciteit om de ontstane wachtrij weg te werken. Het verschil met model is dat het systeem niet zal omschakelen van het werken met een trage server naar het werken met een snellere server. Het wachtlijnsysteem zal in model 2 in plaats van met het lage aantal servers werken met een hoger aantal servers, als het aantal wachtende klanten de drempelwaarde overschrijdt. Het maximaal aantal servers waar het systeem mee kan werken is. Net als in het basismodel wordt voor model 2 het toestandsdiagram opgesteld. Dit toestandsdiagram wordt gebruikt als hulpmiddel bij het opstellen van de formules van de belangrijkste grootheden van het model. De analysemethode is deze keer gebaseerd op het M/M/m-systeem. De notatie M/M/m is zoals gezien in model de Kendall-notatie van een wachtlijnsysteem en wordt gebruikt ter specificatie van een type wachtlijnsysteem: A/B/m. Deze lettercode duidt een wachtlijnsysteem aan met m servers, waarbij de letters A en B de distributies van interarrivaltijden en servicetijden beschrijven. Een M binnen deze lettercode staat voor een exponentiële distributie; waarbij de M afkomstig is van memoryless. Een M/M/m-wachtlijnsysteem is dus een wachtlijnsysteem met een eindig aantal, m, equivalente servers, onderling onafhankelijke exponentieel verdeelde interarrivaltijden en onderlings onafhankelijke exponentieel verdeelde servicetijden. De interarrivaltijden en servicetijdens zijn 65

77 3.. Model 2 66 ook onderling onafhankelijk. In dit model worden een ander toestandsdiagram en andere formules bekomen afhankelijk van waar de drempelwaarde T ligt ten opzichte van het mogelijk aantal servers en. Vandaar dat het model wordt opgesplitst in 3 deelmodellen. In hoofdstuk 3 wordt model 2 bekeken als de drempelwaarde T steeds lager ligt dan het initieel aantal servers waarmee het systeem werkt. In hoofdstuk 4 wordt model 2 bekeken vanuit het standpunt dat de drempelwaarde T tussen het initieel aantal servers en het grotere aantal servers ligt. In hoofdstuk 5 tenslotte wordt bekeken hoe het model 2 er zal uitzien als de drempelwaarde T groter is dan het maximaal aantal servers die het systeem ter beschikking heeft. Het komt er dus op neer dat het wachtlijnsysteem bij elk van de drie deelmodellen van model 2 op een ander moment zal omschakelen naar de hogere capaciteit. Figuur 3.: Overzicht van de deelmodellen van model 2 Een bespreking van de resultaten zal zich beperken tot één van deze 3 deelmodellen aangezien slechts van de 3 deelmodellen een realistische situatie weergeeft. De andere 2 deelmodellen zullen in de realiteit nooit voorkomen. Voor dit deelmodel zal op dezelfde manier als bij het basismodel opnieuw het kostenplaatje in rekening gebracht worden. Voor elke drempelwaarde wordt een totale kost berekend, die deze keer bestaat uit een wachtkost en serverkost. Voor het systeem zal opnieuw een optimale drempelwaarde gevonden worden waarbij de totale kost minimaal is. Uiteraard zal de berekening van de verschillende grootheden en van de optimale drempelwaarde T afhangen van de verschillende variabelen die de structuur van het systeem bepalen. Om een volledig beeld te krijgen van het model zal meer dan één scenario uitgewerkt worden. Bij elk scenario zullen de verschillende variabelen in het systeem andere waarden of andere verhoudingen krijgen en zal gekeken worden wat de invloed is op de totale kost en op de optimale drempelwaarde van het systeem. Enkele belangrijke variabelen worden opnieuw kort uitgelegd. Daarna wordt het toe-

78 3.2. Uitleg belangrijkste variabelen 67 standsdiagram van model 2a opgesteld en worden de formules van dat model berekend. 3.2 Uitleg belangrijkste variabelen Voor begonnen wordt met het berekenen van de formules, worden in dit deel even kort de belangrijkste en meest gebruikte variabelen van het wachtlijnsysteem en enkele andere symbolen uitgelegd. Eerst worden de variabelen die het wachtlijnsysteem zelf beïnvloeden uitgelegd: λ = de gemiddelde) aankomstintensiteit en geeft het gemiddelde aantal aankomsten per tijdseenheid aan. Anders verwoord is dit het gemiddelde aantal klanten dat per tijdseenheid in het systeem binnenkomt. µ = de gemiddelde) verwerkingsintensiteit van de server en geeft het gemiddeld aantal klanten weer dat door een server per tijdseenheid bediend kan worden. Zoals reeds vermeld kan het systeem in dit model beroep doen op meerdere equivalente servers. Dit wil zeggen dat de verwerkingsintensiteit µ dezelfde is voor elk van de servers die door het systeem gebruikt wordt. ρ = de gemiddelde) bezettingsgraad van het systeem, dit is de verhouding van de snelheid waarmee werk het systeem binnenkomt tot de maximale snelheid waarmee het systeem dit werk kan uitvoeren. De bezettingsgraad ρ geeft de verhouding weer van het aantal klanten die gemiddeld per tijdseenheid in het systeem binnenkomen, tot het maximale) aantal klanten die het systeem gemiddeld per tijdseenheid kan bedienen. Dit is het aantal klanten die het systeem gemiddeld per tijdseenheid zou bedienen wanneer het voortdurend voorzien zou worden van nieuwe klanten. ρ = λ µ in een systeem met server en ρ = λ mµ in een systeem met m servers. = het initieel aantal servers waar het wachtlijnsysteem mee kan werken. = het maximaal aantal servers waar het wachtlijnsysteem een beroep op kan doen. De drempelwaarde T wordt ook kort uitgelegd: T = de waarde T is de drempelwaarde van het wachtlijnsysteem. Deze waarde geeft de maximale lengte weer die een wachtrij mag zijn in het systeem. Eens de wachtrij of het aantal wachtende klanten gelijk wordt aan deze drempelwaarde, zal het systeem

79 3.3. Toestandsdiagram 68 omschakelen van werken met de lagere naar werken met de hogere capaciteit om zo de wachtrij onder controle te houden. In dit model wil dit zeggen dat het systeem zal beginnen werken met meer servers eens het aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarde T bereikt. 3.3 Toestandsdiagram Figuur 3.2: Toestandsdiagram model 2a 3.4 Berekening normeringsvoorwaarde Zoals in model wordt ook in model 2 het regimegedrag bekeken van wachtlijnsystemen in continue tijd. Deze wachtlijnsystemen behoren tot de speciale klasse der zogenaamde birthdeath-wachtlijnsystemen of afgekort BD-wachtlijnsystemen. Een wachtlijnsysteem wordt een BD-wachtlijnsysteem genoemd als klanten in dat systeem aankomen arrivals ) en uit dat systeem weggaan departures ) op een zodanige manier dat het proces Nt), dat de systeembevolking op tijdstip t aanduidt, een birth-death-proces vormt. De kenmerkende eigenschap van BD-processen is dat zij op ieder ogenblik) van een bepaalde toestand alleen maar kunnen overgaan naar een naburige toestand. Dit wil zeggen dat toestandtransacties alleen mogelijk zijn tussen naburige toestanden. Het regimegedrag van de meeste in de praktijk voorkomende BD-processen wordt beheerst door de evenwichtsvergelijkingen of balansvergelijkingen van het BD-proces. Dit zijn vergelijkingen die men bekomt door in de bewegingsvergelijkingen P k t) door p k en dp kt) dt door 0 te vervangen, samen met de normeringsvoorwaarde: p k =

80 3.4. Berekening normeringsvoorwaarde 69 Hierbij is Xt) de toestand van het proces of wachtlijnsysteem op tijdstip t. Dit is het aantal klanten in het wachtlijnsysteem op tijdstip t. P k t) is de kans dat de toestand van het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, of dat het aantal klanten in het systeem gelijk is aan k. Dit kan ook als volgt geschreven worden P k t) = P rob [Xt) = k]. Als laatste is er nog p k. p k = lim t P k t) p k is de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, als het systeem in regime is. Meer uitleg over een systeem in regime is te vinden in hoofdstuk Berekening p k Zoals reeds gezien is p k de kans dat het aantal klanten in een wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan k. Via de balansvergelijkingen, die inhouden dat tussen 2 opeenvolgende toestanden de stroom naar rechts gelijk is aan de stroom naar links, zullen alle mogelijke waarden van p k berekend worden in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. Deze waarschijnlijkheid is p 0, de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is. De balansvergelijkingen in dit model zijn: p k = λ kµ p k ; k p k = λ µ p k ; k + Vanuit deze balansvergelijkingen wordt voor elke waarde van k, p k berekend in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. λp 0 = µp p = λ µ p 0 λp = 2µp 2 p 2 = λ 2µ p p 2 = ) λ 2 p 0 2! µ...

81 3.4. Berekening normeringsvoorwaarde 70 λp T = T µp T p T = λ T µ p T p T = ) λ T p 0 T! µ λp T = T + )µp T + λ p T + = T + )µ p T ) λ T + p T + = p 0 T + )! µ... λp m2 2 = )µp m2 λ p m2 = )µ p 2 ) λ p m2 = ) m2 p 0 )! µ λp m2 = µp m2 p m2 = λ µ p p m2 = ) λ m2 p 0! µ λp m2 = µp m2 + p m2 + = λ µ p p m2 + =! λ µ ) m2 + p 0 λp m2 + = µp m2 +2 p m2 +2 = λ µ p + ) 2 ) λ m2 +2 p m2 +2 = p 0! µ

82 3.4. Berekening normeringsvoorwaarde 7... Uit deze berekeningen wordt de formule voor de waarschijnlijkheid om het proces in toestand k aan te treffen afgeleid. De berekeningen tonen dat de waarde p k niet voor alle waarden van k op dezelfde manier kan berekend worden. Afhankelijk van de waarde van k wordt een andere formule verkregen: p k = k! λ µ )k p 0, 0 k p k = ) λ k ) k m2 µ! p 0, k + Via deze 2 formules is het mogelijke alle waarden van p k te berekenen in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. Aangezien het doel is om via de normeringsvoorwaarde de kans te berekenen dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is, zal aan de hand van vorige 2 formules de som van p k van 0 tot opgesplitst worden in 2 delen: p k = p k + p k = k= + Eerst wordt de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand kleiner of gelijk is aan berekend. Dit gebeurt door de som te nemen van alle waarschijnlijkheden p k waarbij k groter is dan 0 maar kleiner is dan +. p k = k! ) λ k p 0 µ De tweede som duidt de kans aan dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand groter is dan. groter dan, de p k s te sommeren. Deze kans wordt gevonden door, voor alle k waarden k= + p k = k= + ) k m2 ) λ k p 0! µ Deze 2 sommen zullen van belang zijn in de berekening van de kans p 0.

83 3.4. Berekening normeringsvoorwaarde Berekening p 0 Zoals reeds gezien is p k de kans dat het aantal klanten in een wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan k. Via de balansvergelijkingen wordt voor elke waarde van k, de kans p k in functie van de waarschijnlijkheid een proces aan te treffen in toestand 0, gevonden. Dit is eigenlijk p 0 of de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is. De kans p 0 kan vervolgens berekend worden aan de hand van de normeringsvoorwaarde. De kans p 0 is van groot belang aangezien via deze kans ook de kans berekend kan worden dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan 2,3 of een andere waarde voor k. Daarbovenop zal de kans p 0 belangrijk zijn voor de berekening van het gemiddelde aantal klanten E[X]. volgt: De berekening van de kans p 0 aan de hand van de normeringsvoorwaarde verloopt als p k = p k + k! λ µ k= + ) k p 0 + p k = k= + ) k m2 ) λ k p 0 =! µ Ter vereenvoudiging wordt gebruikt gemaakt van de notaties α: λ µ = α De normeringsvoorwaarde vereist dan dat ) k m2 k! αk + α k p 0 =! k= + De normeringsvoorwaarde wordt opgesplitst in 2 delen om de uitwerking gemakkelijker te maken: k! αk = ) k= + ) k m2 α k = 2)! Als eerste wordt vergelijking ) uitgewerkt. Aangezien vergelijking ) een eindige som is, is het niet nodig om de sommatie weg te werken. Met behulp van een computer zal het

84 3.5. Berekening gemiddeld aantal klanten 73 resultaat van deze eindige som zeer gemakkelijk te berekenen zijn. Deze som krijgt wel een specifieke naam die in het vervolg steeds gebruikt wordt als verwijzing naar de som: k! αk = S De naam S komt van som die gaat tot. De is gekozen omdat dit de eerst eindige som is die een naam krijgt. Vergelijking 2) bevat een oneindige som en kan als volgt vereenvoudigd worden: k= + ) k m2 α k =!! α + k= + α ) i = α + α! m i=0 2 ) = α +! α ) k m2 +) Door beide uitgewerkte vergelijkingen samen te brengen in de normeringsvoorwaarde, kan p 0 berekend worden: p k = k! αk + p 0 [S + p 0 = [ ) k m2 α k p 0 =! k= + )] α +! α = )] α +! α S Berekening gemiddeld aantal klanten Voor de berekening van het gemiddeld aantal klanten in het wachtlijnsysteem wordt gebruik gemaakt van genererende functies Genererende functies p k = Pr [X = k]

85 3.5. Berekening gemiddeld aantal klanten 74 Hierbij is p k de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, als het systeem in regime is. X is het aantal klanten in het systeem in regime. De genererende functie Xz) van X is gedefinieerd als: Xz) = p k z k De momentengenererende eigenschap van genererende functies levert: E[X] = X ) E[X 2 ] = X ) + X ) Via genererende functies is het dus eenvoudiger om de gemiddelde waarde en de variantie van het aantal klanten in een wachtlijnsysteem te berekenen. Een ander belangrijk kenmerk van een genererende functie is dat X) = Gemiddeld aantal klanten Zoals te zien was in het deel over genererende functies is de waarschijnlijkheid om een proces in een bepaalde toestand k aan te treffen, p k, essentieel om gebruik te maken van genererende functies. De kans p k werd al berekend en wordt hier nog eens vermeld: p k = k! αk p 0, 0 k ) k m2 p k =! αk p 0, k + Om gebruik te kunnen maken van genererende functies dient eerst Xz) berekend te worden. Door deze formule Xz) af te leiden en de waarde z te vervangen door, kan op vrij eenvoudige wijze de formule voor het gemiddelde aantal klanten van het wachtlijnsysteem gevonden worden. Xz) = k! αk p 0 z k + k= + ) k m2 α k p 0 z k! Deze vergelijking Xz) wordt opnieuw opgesplitst om het uitwerken te vereenvoudigen:

86 3.5. Berekening gemiddeld aantal klanten 75 k! αk p 0 z k = 3) k= +! ) k m2 α k p 0 z k = 4) Vergelijking 3) wordt als eerste uitgewerkt. Aangezien vergelijking 3) een eindige som is, zal de sommatie niet weggewerkt worden. Met behulp van een computer zal het resultaat van deze eindige som gemakkelijk te berekenen zijn. Deze som krijgt opnieuw een specifieke naam die in het vervolg steeds gebruikt wordt als verwijzing naar de som: k! αk z k = S 2 z) Deze keer staat er achter de naam van de som nog een verwijzing naar het feit dat deze eindige som een functie is van z. De 2 toont aan dat dit de tweede eindige som is die een naam krijgt. Vergelijking 3) wordt: k! αk p 0 z k = p 0 = S 2 z)p 0 k! αk z k Vervolgens wordt vergelijking 4) uitgewerkt. Om de oneindige som makkelijk te kunnen uitwerken wordt deze som eerst opsplitst in 2: k= + ) k m2 α k p 0 z k = ) m2 ) αz k p 0!! k= + = ) [ m2 ) αz k p 0! Via de volgende 2 formules kan de som in beide delen weggewerkt worden: n k=m α k = α α k = an+ a n a ) ] αz k De tweede formule is, zoals gezien in model, de formule van de meetkundige reeks. Door beide formules toe te passen op de vergelijking 4), wordt deze vergelijking vereenvoudigd.

87 3.5. Berekening gemiddeld aantal klanten 76 ) [ m2 ) αz k ) ] αz k p 0! =! =! =! =! ) m2 p 0 ) m2 p 0 ) m2 p 0 ) m2 p 0 αz αz αz + αz [ ] = αz) + p 0! αz ) m2 + αz Door de 2 uitgewerkte vergelijkingen samen te brengen kan Xz) gevonden worden: Xz) = S 2 z)p 0 +! [ p 0 ] αz) + αz αz ) m2 + αz αz αz ) m2 + αz αz ) 0 ) m2 + αz Het gemiddeld aantal klanten van dit wachtlijnsysteem wordt gevonden door de formule van Xz) af te leiden naar z en in de afgeleide z gelijk te stellen aan. E[X] = X ) [p 0 X z) = d dz S 2 z) +! )] αz) m2+ αz Deze vergelijking bevat 2 delen die afzonderlijk afgeleid zullen worden. d dz S 2 z)) = 5) ) d αz) m2+ dz! αz = 6) Voor het afleiden van vergelijking 5) zal de afgekorte naam van de som terug vervangen worden door de som zelf.

88 3.5. Berekening gemiddeld aantal klanten 77 5) d dz S 2 z)) = d m2 ) dz k! αk z k = k! αk kz k Aangezien deze formule voor de waarde k = 0, 0 wordt kan de grens van de som verlegd worden naar k = = k= k! αk kz k De k bovenaan kan weggedeeld worden met de k uit de faculteit = k= k )! αk z k Door k gelijk te stellen aan k wordt volgende vergelijking verkregen = m 2 k =0 k! αk + z k Door α voorop te zetten en k te vervangen door k wordt opnieuw de oorspronkelijke som verkregen weliswaar met andere grenswaarden m 2 = α k! αk z k = αs 2 z) Vergelijking 6) wordt als volgt afgeleid: 6) d dz! ) αz) + αz = α +! = α +! = α +! ) d z + dz αz ) ) + ) z αz α m2 + ) z αz ) 2 +)αzm2+ αz + z + + α z + ) 2 De eerste afgeleide van Xz) wordt gevonden door de 2 uitgewerkte vergelijkingen samen te brengen:

89 3.6. Berekening variantie van het aantal klanten 78 X z) = p 0 X ) = p 0 αs 2 z) +! αs 2 +! α + α + + ) z m2+)αzm2+ + α z + ) 2 right] αz + + ) +)α + α ) 2 α m2 3.6 Berekening variantie van het aantal klanten Om de variantie van het aantal klanten te berekenen is, zoals gezien in het deel van genererende functies, de tweede afgeleide van de functie Xz) nodig. De berekening gebeurt als volgt: X z) = X z)) = d p 0 dz αs 2 z) +! α + + ) z m2+)αzm2+ + α z + ) 2 αz + Deze vergelijking zal opgesplitst worden om het afleiden te vereenvoudigen: d ) αs 2 z) = 7) dz d α + + ) z m2+)αzm2+ + α z + ) dz! = 8) 2 αz + De tweede afgeleide van Xz) zal gevonden worden door vergelijkingen 7) en 8) af te

90 3.6. Berekening variantie van het aantal klanten 79 leiden. Vergelijking 7) wordt afgeleid op dezelfde wijze als vergelijking 5). 7) d dz ) 2 z) αs = d dz = α d dz α m 2 m2 ) k! αk z k k! αk z k m 2 = α k! αk kz k ) aangezien deze formule voor de waarde k = 0, 0 wordt, kan de grens van de som verlegd worden naar k = m 2 = α k! αk kz k k= m 2 = α k )! αk z k k= m 2 2 = α + k! αk z k k =0 m 2 2 = α 2 k! αk z k = α 2 S 2 2 z) 8) d α + + ) z m2+)αzm2+ + α z + ) dz! 2 αz + = α + d + ) z m2+)αzm2+ + α z + )! dz 2 [ = α +! αz ) 2 2 αz ) αz + ] + ) z m2 α + ) + ) z + α + ) z ) 4 αz ) ) α + ) z α + ) z m2+ + α z + ) 4 αz

91 3.6. Berekening variantie van het aantal klanten 80 Om het uitwerken te vereenvoudigen wordt z gelijkgesteld aan. [ )] ) 2 = α + + ) α m m2 2 + ) + α α m2 + 2 α )! m 4 2 α m2 ] ) 2 = α + + ) [ α m m2 2 α + 2 α )! m 4 2 α m2 [ ] ) 2 = α + + ) α ) α + 2 α )! m 4 2 α m2 ) ) α + ) α ) ) α + ) α ) ) α + ) α ) 3 ) ) = α + + ) ) α + 2 α α + ) α )! m 4 2 α m2 ) 2 = α + + ) ) α + 2 α )! m 3 2 α m2 + ) α ) De tweede afgeleide van Xz) wordt gevonden door beide delen weer samen te brengen: ) 2 ) X ) = α 2 S α + + ) ) α + 2 α + ) α )! m 3 p 0 2 α m2 De variantie van het aantal klanten wordt dan uiteindelijk gevonden via V ar[x] = X )+ X ) [X )] 2. Aangezien elk deel van deze vergelijking nu gekend is, is de berekening gewoon een optelsom van de verschillende delen.

92 Hoofdstuk 4 Model 2: < T < Ter herhaling wordt eerst model 2 nog eens uitgelegd. Zoals reeds besproken in de inleiding is model 2 een wachtlijnsysteem dat bestaat uit meerdere servers. Het principe is hier als volgt: als het aantal klanten in de wachtrij een bepaalde drempelwaarde overschrijdt dan zal het systeem overschakelen op werken aan een hogere capaciteit om de ontstane wachtrij weg te werken. Het verschil met model is dat het systeem niet zal omschakelen van het werken met een trage server naar het werken met een snellere server. Het wachtlijnsysteem zal in model 2 als het aantal wachtende klanten de drempelwaarde overschrijdt in plaats van met het lage aantal servers werken met een hoger aantal servers. Het maximaal aantal servers waar het systeem mee kan werken is. Hier wordt het tweede deel van model 2 bekeken, het model waarbij de drempelwaarde T groter is dan het initiële aantal servers, maar kleiner dan het maximale aantal servers. 4. Uitleg belangrijkste variabelen Voor begonnen wordt met het berekenen van de formules, worden in dit deel even kort de belangrijkste en meest gebruikte variabelen van het wachtlijnsysteem en enkele andere symbolen uitgelegd. Eerst worden de variabelen die het wachtlijnsysteem zelf beïnvloeden uitgelegd: λ = de gemiddelde) aankomstintensiteit en geeft het gemiddelde aantal aankomsten per tijdseenheid aan. Anders verwoord is dit het gemiddelde aantal klanten dat per tijdseenheid in het systeem binnenkomt. µ = de gemiddelde) verwerkingsintensiteit van de server en geeft het gemiddeld aantal klanten weer dat door een server per tijdseenheid bediend kan worden. Zoals reeds vermeld kan het systeem in dit model beroep doen op meerdere equivalente servers met 8

93 4.. Uitleg belangrijkste variabelen 82 andere woorden de verwerkingsintensiteit µ is dezelfde voor elk van de servers die door het systeem gebruikt wordt. ρ = de gemiddelde) bezettingsgraad van het systeem, dit is de verhouding van de snelheid waarmee werk het systeem binnenkomt tot de maximale snelheid waarmee het systeem dit werk kan uitvoeren. De bezettingsgraad ρ geeft de verhouding weer van het aantal klanten die gemiddeld per tijdseenheid in het systeem binnenkomen, tot het maximale) aantal klanten die het systeem gemiddeld per tijdseenheid kan bedienen. Dit is het aantal klanten die het systeem gemiddeld per tijdseenheid zou bedienen wanneer het voortdurend voorzien zou worden van nieuwe klanten. ρ = λ µ in een systeem met server en ρ = λ mµ in een systeem met m servers. = het initieel aantal servers waar het wachtlijnsysteem mee kan werken. = het maximaal aantal servers waar het wachtlijnsysteem een beroep op kan doen. De drempelwaarde T wordt ook kort uitgelegd: T = de waarde T is de drempelwaarde van het wachtlijnsysteem. Deze waarde geeft de maximale lengte weer die een wachtrij mag zijn in het systeem. Eens de wachtrij of het aantal wachtende klanten gelijk wordt aan deze drempelwaarde, zal het systeem omschakelen van werken met de lagere naar werken met de hogere capaciteit om zo de wachtrij onder controle te houden. In dit model wil dit zeggen dat het systeem zal beginnen werken met meer servers eens het aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarde T bereikt.

94 4.2. Toestandsdiagram Toestandsdiagram Figuur 4.: Toestandsdiagram model 2b 4.3 Berekening normeringsvoorwaarde In model 2b wordt opnieuw het regimegedrag bekeken van een wachtlijnsysteem in continue tijd. Het wachtlijnsysteem behoort dus tot de klasse der birth-death-wachtlijnsystemen. Dit wil zeggen dat van een bepaalde toestand alleen maar kan overgegaan worden naar een naburige toestand. Dit is ook duidelijk te zien op het toestandsdiagram. Het regimegedrag van de meeste in praktijk voorkomende BD-processen wordt beheerst door de evenwichtsvergelijkingen of balansvergelijkingen van het BD-proces. Dit zijn vergelijkingen die men bekomt door in de bewegingsvergelijkingen P k t) door p k en dp kt) dt door 0 te vervangen, samen met de normeringsvoorwaarde: p k = Hierbij is Xt) de toestand van het proces of wachtlijnsysteem op tijdstip t. Dit is het aantal klanten in het wachtlijnsysteem op tijdstip t. P k t) is de kans dat de toestand van het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, of dat het aantal klanten in het systeem gelijk is aan k. Dit kan ook als volgt geschreven worden P k t) = P rob [Xt) = k]. Als laatste is er nog p k. p k = lim t P k t) p k is de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, als het systeem in regime is. Meer uitleg over een systeem in regime is te vinden in hoofdstuk 2.

95 4.3. Berekening normeringsvoorwaarde Berekening p k Zoals reeds gezien is p k de kans dat het aantal klanten in een wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan k. Via de balansvergelijkingen, die inhouden dat tussen 2 opeenvolgende toestanden de stroom naar rechts gelijk is aan de stroom naar links, zullen alle mogelijke waarden van p k berekend worden in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. Deze waarschijnlijkheid is p 0, de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is. De balansvergelijkingen in dit model zijn: p k = λ kµ p k ; k p k = λ µ p k ; T k + p k = λ kµ p k ; k T p k = λ µ p k ; k + Vanuit deze balansvergelijkingen wordt voor elke waarde van k, p k berekend in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. λp 0 = µp p = λ µ p 0 λp = 2µp 2 p 2 = λ 2µ p p 2 = ) λ 2 p 0 2! µ... λp m = µp m p m = λ µ p p m = ) λ m p 0! µ

96 4.3. Berekening normeringsvoorwaarde 85 λp m = µp m + p m + = λ µ p p m + = λ ) λ m p 0 µ! µ p m + = ) λ m + p 0! µ λp m + = µp m +2 p m +2 = λ µ p + ) λ 2 ) λ m p m +2 = p 0 µ! µ ) 2 ) λ m +2 p m +2 = p 0! µ... λp T 2 = µp T p T = λ µ p T 2 ) λ T ) m ) λ m p T = p 0 µ! µ ) T ) m ) λ T p m +2 = p 0! µ λp T = T µ p T p T = λ T µ p T p T = λ ) λ T ) T m T µ µ! p 0 p T = ) T m ) λ T p 0 T! µ

97 4.3. Berekening normeringsvoorwaarde 86 λp T = T + ) µ p T + λ p T + = T + )µ p T ) λ T m ) λ T p T + = p 0 T + )µ T! µ p T + = ) T m ) λ T + p 0 T T +! µ... λp m2 = µ p m2 p m2 = λ µ p p m2 = x! x=t ) T m ) λ m2 p 0 µ λp m2 = µ p m2 + p m2 + = λ µ p p m2 + = λ ) T m ) λ m2 p 0 µ x! µ x=t p m2 + = ) T m ) λ m2 + x! µ x=t p 0 λp m2 + = µ p m2 +2 p m2 +2 = λ µ p + p m2 +2 = λ µ ) 2 p m2 +2 = x=t x=t ) T m λ x! µ x! ) m2 + p 0 ) T m ) λ m2 +2 µ p 0

98 4.3. Berekening normeringsvoorwaarde Uit deze berekeningen wordt de formule voor de waarschijnlijkheid om het proces in toestand k aan te treffen afgeleid. De berekeningen tonen dat de waarde p k niet voor alle waarden van k op dezelfde manier kan berekend worden. Afhankelijk van de waarde van k wordt een andere formule verkregen: p k = ) λ k p 0, 0 k k! µ p k = ) k m ) λ k p 0, + k T! µ p k = ) T m k ) λ k p 0, T k! x µ x=t p k = ) T m ) k m2 ) λ k p 0, k T! x µ Via deze 2 formules is het mogelijke alle waarden van p k te berekenen in functie van de x=t waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. Aangezien het doel is om via de normeringsvoorwaarde de kans te berekenen dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is, zal aan de hand van vorige 4 formules de som van p k van 0 tot opgesplitst worden in 4 delen: p k = p k + T k= + p k + k=t p k + k= + p k = Deze 4 sommen kunnen nu gevonden worden door de verschillende waarden van p k in elk som op te tellen. Eerst wordt de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand kleiner of gelijk is aan berekend. Dit gebeurt door de som te nemen van alle waarschijnlijkheden p k waarbij k groter is dan 0 maar kleiner is dan +. p k = k! ) λ k p 0 µ Hierna gebeurt hetzelfde voor de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand kleiner of gelijk aan T en groter dan + is.

99 4.3. Berekening normeringsvoorwaarde 88 T k= + p k = T k= + ) k m ) λ k p 0! µ De derde som duidt de kans aan dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand groter dan T en kleiner of gelijk aan is. k=t p k = k=t ) T m k! x=t x ) λ k p 0 µ Tenslotte wordt de kans berekend dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand groter is dan. k= + p k = k= + ) T m ) k m2! x=t Deze 4 sommen zullen van belang zijn in de berekening van de kans p 0. x ) λ k p 0 µ Berekening p 0 Zoals reeds gezien is p k de kans dat het aantal klanten in een wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan k. Via de balansvergelijkingen wordt voor elke waarde van k, de kans p k in functie van de waarschijnlijkheid een proces aan te treffen in toestand 0, gevonden. Dit is eigenlijk p 0 of de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is. De kans p 0 kan vervolgens berekend worden aan de hand van de normeringsvoorwaarde. De kans p 0 is van groot belang aangezien via deze kans ook de kans berekend kan worden dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan 2,3 of een andere waarde voor k. Daarbovenop zal de kans p 0 belangrijk zijn voor de berekening van het gemiddelde aantal klanten E[X]. volgt: De berekening van de kans p 0 aan de hand van de normeringsvoorwaarde verloopt als p k = p k + + k! λ µ k= + T k= + ) k p 0 +! p k + k=t T k= + p k + k= +! ) T m p k = ) k m λ µ ) k m2 x=t ) k p 0 + x λ µ k=t ) k p 0 = ) T m k! x=t x ) λ k p 0 µ

100 4.3. Berekening normeringsvoorwaarde 89 De normeringsvoorwaarde wordt opgesplitst in 4 delen om de uitwerking gemakkelijker te maken: k! T k= + k=t! k= + ) λ k p 0 = ) µ ) k m ) λ k p 0 = 2)! µ! ) T m k x=t x ) T m ) λ k p 0 = 3) µ ) k m2 x=t x ) λ k p 0 = 4) µ Als eerste wordt vergelijking ) uitgewerkt. Aangezien vergelijking ) een eindige som is, is het niet nodig om de sommatie weg te werken. Met behulp van een computer zal het resultaat van deze eindige som zeer gemakkelijk te berekenen zijn. Deze som krijgt wel een specifieke naam die in het vervolg steeds gebruikt wordt als verwijzing naar de som: k! αk p 0 = S 3 p 0 De naam S 3 komt van som van 0 tot. De 3 komt omdat dit de derde eindige som is die een naam krijgt. Vergelijking 2) wordt uitgewerkt door eerst het constante deel buiten de som te brengen en dan de formule van de meetkundige reeks toe te passen op de som. T k= + ) k m ) λ k p 0 =! µ! p 0 T k= + ) k m ) λ k µ Ter herhaling volgt hier de formule van de meetkundige reeks waarmee de som van de vergelijking kan omgezet worden: n i=m a i = an+ a m a

101 4.3. Berekening normeringsvoorwaarde 90 Door de formule van de meetkundige reeks op de som toe te passen, vinden we:! p 0 T k= + ) k m ) λ k = ) m T p 0 µ! k= + =! ) m p 0 T k= + = ) m λ µ p 0! λ ) k µ ) T λ µ λ µ ) k ) λ k µ ) m + In de derde vergelijking zit een eindige som. Deze som zal niet verder uitgewerkt worden maar zal opnieuw een naam krijgen: k=t ) T m k! x=t x ) λ k p 0 = µ! =! ) T m p 0 k k=t x=t ) T m p 0 S T 4 De naam komt in dit geval van de som die loopt niet van 0 maar van T tot Als laatste wordt vergelijking 4) uitgewerkt: x ) λ k µ k= + =! =! =! =!! ) T m ) T m x p 0 x=t ) T m x=t ) T m x=t ) T m x p 0 ) k m2 k= + x p 0 x p 0 x=t x=t ) λ k p 0 µ x ) k m2 λ µ ) λ m2 + µ ) λ m2 + µ λ µ i=0 ) m2 + k= + ) k ) λ k m2 +) µ λ µ λ µ ) i ) k m2 +) Door de 4 uitgewerkte vergelijkingen samen te brengen in de normeringsvoorwaarde, kan

102 4.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 9 p 0 berekend worden: p k = + k! ) λ k p 0 + µ k= +! p 0 S 3 +! [ + p 0! p 0 = S 3 +! [ +! T k= +! ) T m ) k m ) λ k p 0 + µ ) k m2 x x=t ) m + λ µ ) ) T m λ µ λ µ λ µ + ) T m ) T m k=t ) k p 0 =! ) T m k! x=t ) ] x p λ m2 + 0 µ λ x=t µ ) ) T ) m + m λ µ λ µ λ µ +! x=t x p 0 ) ] λ m2 + µ λ µ 4.4 Berekening gemiddeld aantal klanten ) T m S T 4 x ) T m S T 4 ) λ k p 0 µ Voor de berekening van het gemiddeld aantal klanten in het wachtlijnsysteem wordt gebruik gemaakt van genererende functies Genererende functies p k = Pr [X = k] Hierbij is p k de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, als het systeem in regime is. X is het aantal klanten in het systeem in regime. De genererende functie Xz) van X is gedefinieerd als: Xz) = p k z k De momentengenererende eigenschap van genererende functies levert:

103 4.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 92 E[X] = X ) E[X 2 ] = X ) + X ) Via genererende functies is het dus eenvoudiger om de gemiddelde waarde en de variantie van het aantal klanten in een wachtlijnsysteem te berekenen. Een ander belangrijk kenmerk van een genererende functie is dat X) = Gemiddeld aantal klanten Zoals te zien was in het deel over genererende functies is de waarschijnlijkheid om een proces in een bepaalde toestand k aan te treffen, p k, essentieel om gebruik te maken van genererende functies. De kans p k werd al berekend en wordt hier nog eens vermeld: p k = ) λ k p 0, 0 k k! µ p k = ) k m ) λ k p 0, + k T! µ p k = ) T m k ) λ k p 0, T k! x µ x=t ) T m ) k m2 p k =! x=t x ) λ k p 0, k T µ Om gebruik te kunnen maken van genererende functies dient eerst Xz) berekend te worden. Door deze formule Xz) af te leiden en de waarde z te vervangen door, kan op vrij eenvoudige wijze de formule voor het gemiddelde aantal klanten van het wachtlijnsysteem gevonden worden. Xz) = + + k=t k! ) λ k p 0 z k + µ! k= +! T k= + ) T m k x=t x ) T m ) k m ) λ k p 0 z k! µ ) λ k p 0 z k µ ) k m2 x=t x ) λ k p 0 z k µ Deze vergelijking Xz) wordt opnieuw opgesplitst om het uitwerken te vereenvoudigen:

104 4.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 93 k! T k= + k=t! k= + ) λ k p 0 z k = 5) µ ) k m ) λ k p 0 z k = 6)! µ! ) T m k x=t x ) T m ) λ k p 0 z k = 7) µ ) k m2 x=t x ) λ k p 0 z k = 8) µ Vergelijking 5) wordt als eerste uitgewerkt. Aangezien vergelijking 5) een eindige som is, zal de sommatie niet weggewerkt worden. Met behulp van een computer zal het resultaat van deze eindige som gemakkelijk te berekenen zijn. Deze som krijgt opnieuw een specifieke naam die in het vervolg steeds gebruikt wordt als verwijzing naar de som: k! ) λ k p 0 z k = S 5 z)p 0 µ Deze keer staat er achter de naam van de som nog een verwijzing naar het feit dat deze eindige som een functie is van z. Vergelijking 6) wordt uitgewerkt door eerst het constante deel buiten de som te brengen en dan de formule van de meetkundige reeks toe te passen op de som. T k= + ) k m ) λ k p 0 z k =! µ! p 0 T k= + ) k m ) λ k z k µ Ter herhaling volgt hier de formule van de meetkundige reeks waarmee de som van de vergelijking kan omgezet worden: n i=m a i = an+ a m a

105 4.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 94 Door de formule van de meetkundige reeks op de som toe te passen, vinden we:! p 0 T k= + ) k m ) λ k z k = ) m T p 0 µ! k= + =! ) m p 0 T k= + = ) m λz µ p 0! ) λz k µ ) T λz µ λz µ ) k ) λz k µ ) m + De volgende vergelijking die uitgewerkt wordt is vergelijking 7). In vergelijking 7) zit een eindige som. Deze som zal niet verder uitgewerkt worden maar zal opnieuw een naam krijgen: k=t ) T m k! x=t x ) λ k p 0 z k = µ! Als laatste wordt vergelijking 8) uitgewerkt: =! ) T m p 0 k=t ) T m p 0 S T 6 z) ) λz k k µ x=t x k= + =! =! =! =!! ) T m ) T m x p 0 x=t ) T m x=t ) T m x=t ) T m x p 0 ) k m2 k= + x p 0 x p 0 x=t x=t ) λ k p 0 z k µ x ) k m2 λz µ ) λz m2 + µ ) λz m2 + µ λz µ i=0 ) m2 + k= + ) k λz µ λz µ ) i ) k m2 +) ) λz k m2 +) µ Door de 4 uitgewerkte vergelijkingen samen te brengen kan Xz) gevonden worden. Eerst wordt notatie α ingevoerd. α = λ µ Xz) wordt dan:

106 4.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 95 Xz) = p 0 S 5 z) +! +p 0! ) T m x=t ) m αz ) T αz ) m + αz ) αz) + x αz + ) T m S T 6 z)! Het gemiddeld aantal klanten van dit wachtlijnsysteem wordt gevonden door de formule van Xz) af te leiden naar z en in de afgeleide z gelijk te stellen aan. E[X] = X ) X z) = d p 0 S 5 z) + dz! + [p d 0 dz! ) T m x=t ) m αz ) T αz ) m + αz )] αz) + x αz + ) T m S T 6 z)! Deze vergelijking wordt opgesplitst in 5 delen die afzonderlijk afgeleid zullen worden: d dz S 5 z)) = 9) ) d ) T m αz αz = 0) dz! ) d ) m + m αz αz = ) dz! d dz! d dz! ) T m S T 6 z) ) T m x=t ) = 2) ) αz) + x αz = 3) Vergelijkingen 9) tot 3) worden achtereenvolgens afgeleid:

107 4.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 96 9) d dz S 5 z)) = d dz = m ) k! αk z k k! αk kz k aangezien deze formule voor de waarde k = 0,0 wordt kan de grens van de som verlegd worden naar k = = k= k! αk kz k De k bovenaan kan weggedeeld worden met de k uit de faculteit = k= k )! αk z k Door k gelijk te stellen aan k wordt volgende vergelijking verkregen = m k =0 k! αk + z k Door α voorop te zetten en k te vervangen door k wordt opnieuw de oorspronkelijke som verkregen weliswaar met andere grenswaarden m = α k! αk z k = αs 5 z)

108 4.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 97 0) d dz! ) ) T m αz αz = ) T m α T d! dz ) T m α T =! = ) T m α T! ) z T αz ) T z T αz α )z T ) 2 αz T zt + α T z T α )z T ) 2 αz ) ) d ) m + m αz αz dz! ) = α + d z + αz! dz ) = α + + ) z αz α )z + )! αz = α +! [ + ) ] z + α z + α z + ) 2 αz

109 4.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 98 2) d dz! ) T m S T 6 z) = ) T m d! dz = ) T m! k=t m2 ) αz) k k=t kα k z k k x=t k x=t x ) x De k bovenaan kan van de waarden van het product wegwerken = ) T m k α k z k! x k=t k +=T x=t Substitutie van k = k en k = k + = ) T m k α k + k z! x x=t Als laatste wordt k = k en worden de grenzen aangepast = ) T m m 2 k α α k z k! x k=t x=t = ) T m αs T 6 z)! 3) d ) ) T m αz) + dz! x αz x=t = ) ) T m α + d z +! x dz αz x=t ) ) = ) T m α + + ) z αz α m2 )! x 2 x=t αz = ) T m α + + ) z m2+)αzm2+ )! x 2 x=t αz z + + αz + De eerste afgeleide van Xz) wordt gevonden door de 5 uitgewerkte vergelijkingen samen te brengen:

110 4.5. Berekening variantie van het aantal klanten 99 X z) = p 0 αs 5 z) + ) T m α T T zt + α T z T α )z T )! αz [ ] p 0 α + + ) z + α z + α z + )! αz [ ) ] T m + p 0 αs T 6 z)! + p 0 ) T m α m2+ αz) + + ) z )! x 2 x=t αz [ X ) = p 0 αs 5 + ) )] T m T + α α T T α )! α ) 2 ] p 0 α + m + ) [ + α α m! α ) 2 [ ) ] T m + p 0 αs T 6! [ ) T m m2 + p 0 α m + ) m )] 2+)α 2+ + α! x α ) 2 x=t m2+)αzm2+ + αz Berekening variantie van het aantal klanten Om de variantie van het aantal klanten te berekenen is, zoals gezien in het deel van genererende functies, de tweede afgeleide van de functie Xz) nodig. De berekening gebeurt als volgt:

111 4.5. Berekening variantie van het aantal klanten 00 X Z) = X z)) = d p 0 αs 5 z) + ) T m α T T zt + α T z T α )z T ) dz! αz [ ] d p 0 α + + ) z + α z + α z + ) dz! αz [ + p d ) ]) T m 0 αs T 6 z) dz! + d p 0 ) T m α + + ) z m2+)αzm2+ ) dz! x 2 x=t αz + αz + Deze vergelijking zal opgesplitst worden om het afleiden te vereenvoudigen: d dz d dz αs! d dz d dz d dz ) 5 z) = 4) ) T m α T T zt + α T z T α )z T ) = 5) αz!!! α+ + ) [ z + α z + αz ) T m αs T 6 z) ) T m x=t ) 2 ) = 7) ] α z + = 6) α + + ) z ) x 2 αz Vergelijkingen 4) tot 8) worden achtereenvolgens afgeleid: m2+)αzm2+ + αz + = 8)

112 4.5. Berekening variantie van het aantal klanten 0 4) d dz = d dz = α d dz αs 5 α ) m m ) k! αk z k k! αk z k m = α k! αk kz k ) aangezien deze formule voor de waarde k = 0, 0 wordt kan de grens van de som verlegd worden naar k = m = α k! αk kz k k= m = α k )! αk z k k= m 2 = α + k! αk z k k =0 m 2 = α 2 k! αk z k = α 2 S 2 5 z) 5) d dz! ) T m α T ) T z T + α T z T α m [ αt z T = ) T m α T d! dz = ) [ T m [ αt T z T α T! 2! αz ) 2 T z T αzt αz ) 2 ) [ T m αz α T ) α αt zt ) ) ] z T T T )z T 2 αt zt ] ] αz ) 2 ) αz ) 4 ] T z T αzt )) αz ) 4 Om het uitwerken te vereenvoudigen wordt z gelijkgesteld aan.

113 4.5. Berekening variantie van het aantal klanten 02 [ )] ) = ) T m T αt α T m T ) α α ) 2 ) 2 α ) α ) α T ) T m! α ) 4 ) ) = ) T m α T [T α T ) T ) ] α ) 2 ) 2 α ) α ) α T ) T m! α ) 4 ) = ) T m α T [T α )T )] α ) 2 ) 2 α ) α ) α T ) T m! α ) 4 ) = ) T m α T T T ) α ) 3 2 α ) α ) α T ) T m! α ) 4 ) = ) T m α T T T ) α ) 2 2 α ) α T ) T m! α ) 3 = K 2b Deze formule wordt nu gelijkgesteld aan K 2b. Het superscript duidt het model aan waarin deze formule zich bevindt. 6) d dz! α+ =! α+ d dz [ + ) ] z + α z + α z + ) 2 αz + ) αzm+ + ) z αz + ) 2 αz =! α+ + ) + ) α z + ) z m + ) α z ) m αz ) 4 αz 2! α+ ) 2 αz α + ) αz + ) + ) z αz + ) 4 αz ) ) 2 Nu zal voor de eenvoud z gelijkgesteld worden aan :

114 4.5. Berekening variantie van het aantal klanten 03 [ )] =! α+ + ) + ) α α α ) 4 α m ) 2 α! α+ ) α m + ) + ) ) 4 α m [ =! α+ + ) ) 2 )] ) 2 α m m + ) m α m α m ) 4 ) 2 α α! α+ ) α m + ) ) 4 α m [ )] ) 2 =! α+ + ) α m m α m 2 α α ) α m + ) ) 4 α m [ ) 2 =! α+ + ) α m m α )] m 2 α α ) α m + ) ) 4 α m 3 ) =! α+ + ) m α ) 2 α α ) α m + ) + ) ) 4 α m 2 ) =! α+ + ) m α ) 2 α α + ) ) 3 α m = K 2b 2 Deze formule wordt gelijkgesteld aan K 2b 2. ) )

115 4.5. Berekening variantie van het aantal klanten 04 7) d dz! = ) T m α d! dz = ) T m α! ) T m αs T 6 z) m2 m 2 k=t k=t αz) k kα k z k ) k x=t k x=t x ) x De k bovenaan kan van de waarden van het product wegwerken = ) T m m 2 k α α k z k! x k = k en k = k + = ) T m α! k=t m 2 k +=T x=t k α k + k z k = k en de grenzen aanpassen = ) T m m 2 2 k αα α k z k! k=t 2 x=t = ) T m α 2 S T z)! x=t x x 8) d dz! ) T m = ) T m! x=t = ) T m! x=t + ) T m! x=t x=t 2 ) T m! x=t m2+)αzm2+ + αz + α + + ) z ) x 2 αz α + d + )z m2+)zm2+ α ) x dz 2 αz α + x α + x + αz + [ + ) z + ) + ) αz [ ] + ) αz αz ) 4 αz ) 4 αz ) 2 ] αz α + m 2 ) α ) + )z + ) αz + ) x m 4 2 αz ) 2 αz + αz + )

116 4.5. Berekening variantie van het aantal klanten 05 Nu zal voor de eenvoud z gelijkgesteld worden aan : = ) T m! x=t + 2 ) T m! x=t = ) T m! x=t + 2 ) T m! x=t = ) T m! x=t + 2 ) T m! x=t = ) T m! x=t + 2 ) T m! x=t = ) T m! x=t + 2 ) T m! x=t = K 2b 3 α + x [ + ) )] ) 2 ) + ) α + α α m2 m2 m2 α m2 ) 4 ) ) α α + α α + )) + + ) ) x m 4 2 α m2 α + x [ + ) )] ) 2 α m m2 2 α m2 α m2 ) 4 ) ) α α + α α + )) + + ) ) x m 4 2 α m2 α + x [ ) ] ) 2 + ) α right) α m2 m2 α m2 ) 4 ) ) α α + α α + )) + + ) ) x m 4 2 α m2 α + x ) ] 3 [ + ) αm2 α m2 ) 4 ) ) α α + α α + )) + + ) ) x m 4 2 α m2 α + x α + x ) ] 2 [ + ) αm2 α Deze formule wordt nu gelijkgesteld aan K 2b 3 α m2 ) 4 ) + ) α ) 4 α m2

117 4.5. Berekening variantie van het aantal klanten 06 De tweede afgeleide van Xz) wordt gevonden door beide delen weer samen te brengen: X ) = [ α 2 S K 2b K 2b 2 +! ) T m α 2 S T K3 2b ] p 0 De variantie van het aantal klanten wordt dan uiteindelijk gevonden via V ar[x] = X )+ X ) [X )] 2. Aangezien elk deel van deze vergelijking nu gekend is, is de berekening gewoon een optelsom van de verschillende delen.

118 Hoofdstuk 5 Model 2: T > Ter herhaling wordt eerst model 2 nog eens uitgelegd. Zoals reeds besproken in de inleiding is model 2 een wachtlijnsysteem dat bestaat uit meerdere servers. Het principe is hier als volgt: als het aantal klanten in de wachtrij een bepaalde drempelwaarde overschrijdt dan zal het systeem overschakelen op werken aan een hogere capaciteit om de ontstane wachtrij weg te werken. Het verschil met model is dat het systeem niet zal omschakelen van het werken met een trage server naar het werken met een snellere server. Het wachtlijnsysteem zal in model 2 als het aantal wachtende klanten de drempelwaarde overschrijdt in plaats van met het lage aantal servers werken met een hoger aantal servers. Het maximaal aantal servers waar het systeem mee kan werken is. Hier wordt het derde deel van model 2 bekeken, het model waarbij de drempelwaarde T groter is dan servers. 5. Uitleg belangrijkste variabelen Voor begonnen wordt met het berekenen van de formules, worden in dit deel even kort de belangrijkste en meest gebruikte variabelen van het wachtlijnsysteem en enkele andere symbolen uitgelegd. Eerst worden de variabelen die het wachtlijnsysteem zelf beïnvloeden uitgelegd: λ = de gemiddelde) aankomstintensiteit en geeft het gemiddelde aantal aankomsten per tijdseenheid aan. Anders verwoord is dit het gemiddelde aantal klanten dat per tijdseenheid in het systeem binnenkomt. µ = de gemiddelde) verwerkingsintensiteit van de server en geeft het gemiddeld aantal klanten weer dat door een server per tijdseenheid bediend kan worden. Zoals reeds vermeld kan het systeem in dit model beroep doen op meerdere equivalentes server met 07

119 5.. Uitleg belangrijkste variabelen 08 andere woorden de verwerkingsintensiteit µ is dezelfde voor elk van de servers die door het systeem gebruikt wordt. ρ = de gemiddelde) bezettingsgraad van het systeem, dit is de verhouding van de snelheid waarmee werk het systeem binnenkomt tot de maximale snelheid waarmee het systeem dit werk kan uitvoeren. De bezettingsgraad ρ geeft de verhouding weer van het aantal klanten die gemiddeld per tijdseenheid in het systeem binnenkomen, tot het maximale) aantal klanten die het systeem gemiddeld per tijdseenheid kan bedienen. Dit is het aantal klanten die het systeem gemiddeld per tijdseenheid zou bedienen wanneer het voortdurend voorzien zou worden van nieuwe klanten. ρ = λ µ in een systeem met server en ρ = λ mµ in een systeem met m servers. = het initieel aantal servers waar het wachtlijnsysteem mee kan werken. = het maximaal aantal servers waar het wachtlijnsysteem een beroep op kan doen. De drempelwaarde T wordt ook kort uitgelegd: T = de waarde T is de drempelwaarde van het wachtlijnsysteem. Deze waarde geeft de maximale lengte weer die een wachtrij mag zijn in het systeem. Eens de wachtrij of het aantal wachtende klanten gelijk wordt aan deze drempelwaarde, zal het systeem omschakelen van werken met de lagere naar werken met de hogere capaciteit om zo de wachtrij onder controle te houden. In dit model wil dit zeggen dat het systeem zal beginnen werken met meer servers eens het aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarde T bereikt.

120 5.2. Toestandsdiagra Toestandsdiagram Figuur 5.: Toestandsdiagram model 2c 5.3 Berekening normeringsvoorwaarde In model 2c wordt opnieuw het regimegedrag bekeken van een wachtlijnsysteem in continue tijd. Het wachtlijnsysteem behoort dus tot de klasse der birth-death-wachtlijnsystemen. Dit wil zeggen dat van een bepaalde toestand alleen maar kan overgegaan worden naar een naburige toestand. Dit is ook duidelijk te zien op het toestandsdiagram. Het regimegedrag van de meeste in praktijk voorkomende BD-processen wordt beheerst door de evenwichtsvergelijkingen of balansvergelijkingen van het BD-proces. Dit zijn vergelijkingen die men bekomt door in de bewegingsvergelijkingen P k t) door p k en dp kt) dt door 0 te vervangen, samen met de normeringsvoorwaarde: p k = Hierbij is Xt) de toestand van het proces of wachtlijnsysteem op tijdstip t. Dit is het aantal klanten in het wachtlijnsysteem op tijdstip t. P k t) is de kans dat de toestand van het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, of dat het aantal klanten in het systeem gelijk is aan k. Dit kan ook als volgt geschreven worden P k t) = P rob [Xt) = k]. Als laatste is er nog p k. p k = lim t P k t) p k is de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, als het systeem in regime is. Meer uitleg over een systeem in regime is te vinden in hoofdstuk 2.

121 5.3. Berekening normeringsvoorwaarde Berekening p k Zoals reeds gezien is p k de kans dat het aantal klanten in een wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan k. Via de balansvergelijkingen, die inhouden dat tussen 2 opeenvolgende toestanden de stroom naar rechts gelijk is aan de stroom naar links, zullen alle mogelijke waarden van p k berekend worden in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. Deze waarschijnlijkheid is p 0, de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is. De balansvergelijkingen in dit model zijn: p k = λ kµ p k ; k p k = λ µ p k ; T k + p k = λ µ p k ; k T Vanuit deze balansvergelijkingen wordt voor elke waarde van k, p k berekend in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. λp 0 = µp p = λ µ p 0 λp = 2µp 2 p 2 = λ 2µ p p 2 = ) λ 2 p 0 2! µ... λp m = µp m p m = λ µ p p m = ) λ m p 0! µ

122 5.3. Berekening normeringsvoorwaarde λp m = µp m + p m + = λ µ p p m + = λ ) λ m p 0 µ! µ p m + = ) λ m + p 0! µ λp m + = µp m +2 p m +2 = λ µ p + p m +2 = λ λ µ! µ ) 2 λ p m +2 =! µ ) m + p 0 ) m +2 p 0... λp T 2 = µp T p T = λ µ p T 2 p T = λ ) T 2 m ) λ T 2 p 0 µ! µ ) T m ) λ T p T = p 0! µ λp T = µp T p T = λ µ p T p T = λ ) T m ) λ T p 0 µ! µ p T = ) T m ) λ T p 0! µ

123 5.3. Berekening normeringsvoorwaarde 2 λp T = µp T + p T + = λ µ p T p T + = λ ) T m ) λ T p 0 µ! µ ) 2 ) T m ) λ T + p T + = p 0! µ... Uit deze berekeningen wordt de formule voor de waarschijnlijkheid om het proces in toestand k aan te treffen afgeleid. De berekeningen tonen dat de waarde p k niet voor alle waarden van k op dezelfde manier kan berekend worden. Afhankelijk van de waarde van k wordt een andere formule verkregen: p k = ) λ k p 0, 0 k k! µ ) λ k ) k m p k = µ! p 0, + k T ) λ k ) T ) m ) k T ) p k = µ! p 0, k T. Via deze 2 formules is het mogelijke alle waarden van p k te berekenen in functie van de waarschijnlijkheid om een proces in toestand 0 aan te treffen. Aangezien het doel is om via de normeringsvoorwaarde de kans te berekenen dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is, zal aan de hand van vorige 4 formules de som van p k van 0 tot opgesplitst worden in 3 delen: p k = p k + T k= + p k + p k = Deze 3 sommen kunnen nu gevonden worden door de verschillende waarden van p k in elk som op te tellen. Eerst wordt de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand k=t kleiner of gelijk is aan berekend. Dit gebeurt door de som te nemen van alle waarschijnlijkheden p k waarbij k groter is dan 0 maar kleiner is dan +.

124 5.3. Berekening normeringsvoorwaarde 3 p k = k! ) λ k p 0 µ Hierna gebeurt hetzelfde voor de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand kleiner of gelijk aan T en groter dan + is. T k= + p k = T k= + ) λ k ) k m µ! p 0 Tenslotte wordt de kans berekend dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand groter of gelijk aan T is. p k = k=t k=t ) λ k ) T ) m ) k T ) µ! p 0. Deze 4 sommen zullen van belang zijn in de berekening van de kans p Berekening p 0 Zoals reeds gezien is p k de kans dat het aantal klanten in een wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan k. Via de balansvergelijkingen wordt voor elke waarde van k, de kans p k in functie van de waarschijnlijkheid een proces aan te treffen in toestand 0, gevonden. Dit is eigenlijk p 0 of de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand 0 is. De kans p 0 kan vervolgens berekend worden aan de hand van de normeringsvoorwaarde. De kans p 0 is van groot belang aangezien via deze kans ook de kans berekend kan worden dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem in regimetoestand gelijk is aan 2,3 of een andere waarde voor k. Daarbovenop zal de kans p 0 belangrijk zijn voor de berekening van het gemiddelde aantal klanten E[X]. volgt: De berekening van de kans p 0 aan de hand van de normeringsvoorwaarde verloopt als p k = p k + k! λ µ T k= + ) k p 0 + p k + p k = k=t T k= + ) λ k ) k m µ! p 0 + k=t ) λ k ) T ) m ) k T ) µ! p 0 De normeringsvoorwaarde wordt opgesplitst in 3 delen om de uitwerking gemakkelijker te maken:

125 5.3. Berekening normeringsvoorwaarde 4 k! T k= + k=t λ µ ) λ k p 0 = ) µ ) λ k ) k m µ! p 0 = 2) ) k ) T ) m ) k T )! p 0 = 3) Als eerste wordt vergelijking ) uitgewerkt. Aangezien vergelijking ) een eindige som is, is het niet nodig om de sommatie weg te werken. Met behulp van een computer zal het resultaat van deze eindige som zeer gemakkelijk te berekenen zijn. Deze som krijgt wel een specifieke naam die in het vervolg steeds gebruikt wordt als verwijzing naar de som: k! De naam S 7 komt van som van 0 tot. ) λ k p 0 = S 7 p 0 µ Vergelijking 2) wordt uitgewerkt door eerst het constante deel buiten de som te brengen en dan de formule van de meetkundige reeks toe te passen op de som. T k= + ) λ k ) k m µ! p 0 =! p 0 =! p 0 T k= + ) λ k ) ) k µ ) m T k= + λ µ )k ) k Ter herhaling volgt hier de formule van de meetkundige reeks waarmee de som van de vergelijking kan omgezet worden: n i=m a i = an+ a m a Voor de formule van de meetkundige reeks toegepast wordt op de som wordt eerst de notatie α ingevoerd. α = λ µ

126 5.3. Berekening normeringsvoorwaarde 5 Vervolgens wordt de som uitgewerkt:! p 0 ) m T k= + α k ) k =! p 0 =! p 0 ) m α m ) T ) m + α m α ) m α ) T α ) m + α Als laatste wordt vergelijking 3) uitgewerkt: k=t ) T ) m ) k T ) α k! p 0 = = ) T ) m De som is deze vergelijking kan als volgt uitgewerkt worden: ) T! p 0 ) T ) m! p 0 α T k=t k=t α k T α k ) k ) k T α α ) i k=t ) k T = = i=0 α Vergelijking 3) wordt daardoor: ) T ) m! p 0 α T ) k T α k T = k=t ) T ) m! p 0 α T α De uitgewerkte som van de 3 vergelijkingen wordt nu samengebracht om de normeringsvoorwaarde te bekomen: p k = p 0 S 7 +! ) p 0 = S 7 +! ) α m ) T α m ) m + α m α ) T α m ) m + α ) T ) m +! αt α = ) T ) m +! αt α

127 5.4. Berekening gemiddeld aantal klanten Berekening gemiddeld aantal klanten Voor de berekening van het gemiddeld aantal klanten in het wachtlijnsysteem wordt gebruik gemaakt van genererende functies Genererende functies p k = Pr [X = k] Hierbij is p k de kans dat het aantal klanten in het wachtlijnsysteem gelijk is aan k, als het systeem in regime is. X is het aantal klanten in het systeem in regime. De genererende functie Xz) van X is gedefinieerd als: Xz) = p k z k De momentengenererende eigenschap van genererende functies levert: E[X] = X ) E[X 2 ] = X ) + X ) Via genererende functies is het dus eenvoudiger om de gemiddelde waarde en de variantie van het aantal klanten in een wachtlijnsysteem te berekenen. Een ander belangrijk kenmerk van een genererende functie is dat X) = Gemiddeld aantal klanten Zoals te zien was in het deel over genererende functies is de waarschijnlijkheid om een proces in een bepaalde toestand k aan te treffen, p k, essentieel om gebruik te maken van genererende functies. De kans p k werd al berekend en wordt hier nog eens vermeld: p k = k! αk p 0, 0 k p k = α k ) k m! p 0, + k T p k = α k ) T ) m ) k T )! p 0, k T.

128 5.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 7 Om gebruik te kunnen maken van genererende functies dient eerst Xz) berekend te worden. Door deze formule Xz) af te leiden en de waarde z te vervangen door, kan op vrij eenvoudige wijze de formule voor het gemiddelde aantal klanten van het wachtlijnsysteem gevonden worden. Xz) = k! αk p 0 z k + T k= + ) k m α k! p 0z k + k=t α k ) T ) m ) k T )! p 0z k Deze vergelijking Xz) wordt opnieuw opgesplitst om het uitwerken te vereenvoudigen: k! αk p 0 z k = 4) T k= + k=t α k ) k m! p 0z k = 5) α k ) T ) m ) k T )! p 0z k = 6) Vergelijking 4) wordt als eerste uitgewerkt. Aangezien vergelijking 4) een eindige som is, zal de sommatie niet weggewerkt worden. Met behulp van een computer zal het resultaat van deze eindige som gemakkelijk te berekenen zijn. Deze som krijgt opnieuw een specifieke naam die in het vervolg steeds gebruikt wordt als verwijzing naar de som: k! αk p 0 z k = S 8 z)p 0 De z achter de naam duidt aan dat deze som een functie is van z. Vergelijking 5) wordt uitgewerkt door eerst het constante deel buiten de som te brengen en dan de formule van de meetkundige reeks toe te passen op de som. T k= + ) k m ) m α k! p 0z k =! p 0 De formule van de meetkundige reeks is de volgende: n k=m a k = an+ a m a T k= + αz ) k

129 5.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 8 Deze formule passen we nu toe op de som van vergelijking 5) ) m T! p ) αz k ) m 0 =! p 0 k= + = Als laatste wordt vergelijking 6) uitgewerkt: ) m αz! p 0 αz ) T αz αz ) m + ) T αz ) m + αz k=t ) T ) m ) k T ) α k! p 0z k = ) T ) m ) T! p 0 ) T ) m =! p 0 α T z T ) k T z k T k=t α k T k=t α k ) k De som in deze vergelijking kan worden uitgewerkt met behulp van volgende formule: ) αz k T = αz ) i k=t = i=0 αz Het uitgewerkte resultaat van vergelijking 6) wordt dus: ) T ) m! p 0 α T z T ) αz k T = k=t ) T ) m! p 0 α T z T αz Door de 4 uitgewerkte vergelijkingen samen te brengen kan Xz) gevonden worden. Xz) = p 0 S 8 z) + ) m αz! ) T αz ) m + αz ) T ) m +! αt z T αz Het gemiddeld aantal klanten van dit wachtlijnsysteem wordt gevonden door de formule van Xz) af te leiden naar z en in de afgeleide z gelijk te stellen aan.

130 5.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 9 E[X] = X ) X z) = d dz p 0 S 8 z) + ) m! [ + d ) T ) m p 0 dz ) T αz ) m αz αz! )]! αt z T αz ) m + αz Deze vergelijking wordt opgesplitst in 4 delen die afzonderlijk afgeleid zullen worden: d dz S 8 z)) = 7) ) ) T d m αz αz = 8) dz! ) ) m + d m αz αz = 9) dz! ) d T ) m dz! αt z T αz Vergelijkingen 7) tot 0) worden achtereenvolgens afgeleid: ) = 0)

131 5.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 20 7) d dz S 8 z)) = d dz = m ) k! αk z k k! αk kz k aangezien deze formule voor de waarde k = 0,0 wordt kan de grens van de som verlegd worden naar k = = k= k! αk kz k De k bovenaan kan weggedeeld worden met de k uit de faculteit = k= k )! αk z k Door k gelijk te stellen aan k wordt volgende vergelijking verkregen = m k =0 k! αk + z k Door α voorop te zetten en k te vervangen door k wordt opnieuw de oorspronkelijke som verkregen weliswaar met andere grenswaarden m = α k! αk z k = αs 8 z)

132 5.4. Berekening gemiddeld aantal klanten 2 8) d dz = = = 9) d dz ) m! ) T m! αt ) T m! αt ) T m! αt ) T αz αz ) m αz! =! α+ d dz ) d z T αz dz ) T z T αz αz ) α m ) 2 T z T + α T z T ) m + αz ) z + αz αz ) =! α+ + )z αz αz ) 2 ) 2 ) α m z T α m ) z T z + ) =! α+ + )[ z + α z m+ ] α m ) 2 αz z + 0) d ) ) T ) m dz! αt z T λz µ ) ) T ) m = d z T! αt dz αz ) ) T ) m T z T αz =! αt α )z T ) 2 αz = ) T ) m! αt T zt T αzt ) 2 αz + αzt De eerste afgeleide van Xz) wordt gevonden door de 4 uitgewerkte vergelijkingen samen te brengen:

133 5.5. Berekening variantie van het aantal klanten 22 X z) = p 0 X ) = p 0 8 z) + αs ) T m! αt ) T z T + α T z T α m αz p 0! α+ + )[ z + α z m+ ] α z + ) 2 right) αz ) T ) m + p 0! αt T zt T αzt + αzt 8 + αs ) T m! αt αz ) 2 [ ] p 0! α+ + ) α α m ) 2 α m + p 0 ) T ) m! αt ) 2 ) T + α T α m ) 2 α m T T α ) 2 α m2 + α z T 5.5 Berekening variantie van het aantal klanten Om de variantie van het aantal klanten te berekenen is, zoals gezien in het deel van genererende functies, de tweede afgeleide van de functie Xz) nodig. De berekening gebeurt als volgt:

134 5.5. Berekening variantie van het aantal klanten 23 X Z) = X z)) = d p 0 dz 8 z) + αs ) T m! αt [ d p 0 dz! α+ + ) + d p 0 dz ) T ) m! αt ) T z T + α T z T α m αz ) 2 ] z + α z + α z + ) 2 αz T zt T αzt ) 2 αz + αzt z T

135 5.5. Berekening variantie van het aantal klanten 24 Deze vergelijking zal opgesplitst worden om het afleiden te vereenvoudigen: d dz d dz ) 8 z) = ) αs ) T m! αt d dz! α+ d dz [ + ) ) T ) m! αt ) T z T + α T z T α m αz ) 2 z T = 2) ] z + α z + α z + ) 2 = 3) αz T zt T αzt ) 2 αz + αzt Vergelijkingen ) tot 4) worden achtereenvolgens afgeleid: = 4) ) d dz = d dz = α d dz αs 8 α ) m m ) k! αk z k k! αk z k m = α k! αk kz k ) aangezien deze formule voor de waarde k = 0,0 wordt kan de grens van de som verlegd worden naar k = m = α k! αk kz k k= m = α k )! αk z k k= m 2 = α + k! αk z k k =0 m 2 = α 2 k! αk z k = α 2 S 2 8 z)

136 5.5. Berekening variantie van het aantal klanten 25 2) d dz ) T m! αt ) T z T + α T z T α m αz ) [ T m = d αt z T ]! αt T z T αzt ) dz αz ) 2 ) [ T m [ αt T z T =! αt T T )z T 2 αz ) 4 ) T m 2! αt [ αz ) α αt zt ) Voor de eenvoud wordt z gelijkgesteld aan : ) 2 αz ) 4 z T αt zt ] αz ] T z T αzt )) ] ) 2 ) = = = = = = K 2c [ )] ) ) T m T αt! αt m T ) α α ) 2 ) 2 α ) α ) α T ) T m α ) 4 ) ) ) T m! αt [T α T ) T ) ] α ) 2 ) 2 α ) α ) α T ) T m α ) 4 ) ) T m! αt [T α )T )] α ) 2 ) 2 α ) α ) α T ) T m α ) 4 ) ) T m! αt T T ) α ) 3 2 α ) α ) α T ) T m α ) 4 ) ) T m! αt T T ) α ) 2 2 α ) α T ) T m α ) 3 Deze formule wordt gelijkgesteld aan K 2c. Het superscript duidt alweer het model aan waarin deze formule zich bevindt.

137 5.5. Berekening variantie van het aantal klanten 26 3) d dz! α+ [ + ) ] z + α z + α z + ) 2 αz m + ) αz + + )z αz + ) =! α+ d dz αz ) 2 = + ) + ) α! αm m + z + ) z m + ) α z αz ) 4 ) 2! α+ αz ) 2 α + ) αz + ) + )z αz + αz ) 4 ) αz ) 2 Voor de eenvoud wordt z gelijkgesteld aan : [ )] = + ) + ) α m! αm m α α m m + ) 2 α ) 4 ) 2 α! αm m + α ) α m m + ) + ) α ) 4 [ )] = + ) α! αm m + m + ) α ) 2 α ) 4 ) 2 α! αm m + α ) α m m + ) + ) α ) 4 [ )] ) = + ) α! αm m + α ) 2 2 α α ) α m m + ) + ) α ) 4 [ )] ) = + ) α )m! αm m α m + ) 2 2 α α ) α m m + ) + ) α ) 4 =! α+ + ) α ) 3 2 α α ) α m m + ) + )) α ) 4 ) =! α+ m + ) α ) 2 2 α α + ) + ) α ) 3 = K 2c 2

138 5.5. Berekening variantie van het aantal klanten 27 Deze formule wordt gelijkgesteld aan K 2c 2. 4) d dz = = ) T ) m! αt ) T ) m! αt ) T ) m! αt ) T ) m 2! αt T zt T αzt ) 2 αz d T zt T zt α ) dz 2 αz + αzt + αzt [ T T )z T 2 T T ) αz Voor de eenvoud wordt z al gelijkgesteld aan : + T ) 4 αz αzt α )T z T T αzt ) 4 αz αzt ] αz + αzt ) ) 2

139 5.5. Berekening variantie van het aantal klanten 28 = ) T ) m! αt ) T ) m + 2! αt = ) T ) m! αt ) T ) m + 2! αt = ) T ) m! αt ) T ) m + 2! αt = = = K 2c 3 ) T ) m! αt ) T ) m! αt [ T )] ) 2 T ) T α + α α m2 m2 m2 α m2 ) 4 ) ) α α α T ) + T ) 4 α m2 [ T )] ) 2 T ) α T ) α m2 ) 4 α m2 ) ) α α α T ) + T ) 4 α m2 [ T T ) Deze formule wordt nu gelijkgesteld aan K 2c 3 ))] ) 2 α α m2 m2 α m2 ) 4 ) ) α α α T ) + T ) 4 α m2 [ ) ] 3 ) T T ) α + 2 α α α m2 m2 T ) + T ) 4 α m2 [ ) ] 2 T T ) α + 2 α T α m2 m2 T ) ) 4 α m2 ) ) De tweede afgeleide van Xz) wordt gevonden door beide delen weer samen te brengen: X ) = [ ] α 2 S K 2c K2 2c + K3 2c p 0 De variantie van het aantal klanten wordt dan uiteindelijk gevonden via V ar[x] = X )+ X ) [X )] 2. Aangezien elk deel van deze vergelijking nu gekend is, is de berekening gewoon een optelsom van de verschillende delen.

140 5.6. Bespreking resultaten Bespreking resultaten Aan de hand van de formules van de belangrijkste grootheden van dit model, kan het model nu besproken worden. In de berekening van de formules zagen we dat de belangrijkste variabelen een zeer grote invloed uitoefenen op de belangrijke grootheden van het model, zoals de kans p 0 =de waarschijnlijkheid dat er zich 0 klanten in het wachtlijnsysteem bevinden, als dit systeem in regime is) of het gemiddeld aantal klanten in het systeem E[X]. De variabelen die deze invloed uitoefenen werden al besproken in de inleiding en zijn de aankomstintensiteit λ, de verwerkingsintensiteit µ van een server, het maximaal aantal initieel open servers en het maximaal aantal open servers. Maar naast deze variabelen oefent nog een andere waarde een grote invloed uit op de grootheden van het systeem, namelijk de drempelwaarde T. De drempelwaarde geeft weer wanneer het systeem zal overschakelen van de lage capaciteit naar de hogere capaciteit. Anders gezegd indien het aantal klanten in het systeem gelijk is aan de drempelwaarde zal het systeem meer servers openen. In het model 2c is het zo dat deze drempelwaarde T steeds groter is dan het maximaal aantal servers. Dit wil dus zeggen dat het systeem pas meer servers dan het initieel maximaal aantal open servers zal openen als elk van die initieel open servers bezet is. Daarbij komt nog dat als het systeem het maximaal aantal servers opent dat zeker elk van die servers ook een klant zal hebben. Dit is logisch aangezien het systeem pas overschakelt als het aantal klanten in het systeem de waarde overschreden heeft. Het systeem zal pas gebruik maken van de hogere capaciteit en van de extra servers als er zich al een wachtrij gevormd heeft. Op die manier is het inschakelen van het extra aantal servers altijd zinvol. Dit model 2c is ook een realistisch model vandaar dat enkel dit model besproken wordt. Modellen 2a en 2b zijn veel minder realistisch. In model 2a wordt er bijvoorbeeld al overgeschakeld op het maximaal aantal open servers als het aantal klanten in het systeem gelijk is aan een drempelwaarde T kleiner dan het initieel maximaal aantal open servers. Er worden extra servers ter beschikking gesteld terwijl het aantal klanten in het systeem kleiner is dan het maximaal aantal initieel open servers en dus nog enkele van de initieel mogelijk open servers niet bezet zijn. Geen realistisch model dus. Model 2b daarentegen is het model waarbij de drempelwaarde T tussen het maximaal aantal initieel open servers en het maximaal aantal open servers ligt. Dit model is al realistischer dan het vorig model maar komt niet voor in de realiteit. Het is namelijk zo dat in model 2b pas een aantal extra servers ter beschikking gesteld zal worden als het aantal klanten in het systeem groter is dan het initieel aantal servers maar kleiner dan het maximaal aantal servers. Reeds een deel van de klanten staat te wachten waardoor enkele van de extra open servers als ze ter beschikking gesteld worden onmiddellijk bezet zullen zijn. Een andere gedeelte blijft echter onbezet of dus eigenlijk dicht. Hier zal per extra toekomende klant een extra server geopend worden tot het maximaal aantal open servers bereikt wordt. Dit geldt omgekeerd ook, als er een klant weggaat zal er weer een server sluiten. In dit model zal het systeem dus voortdurend extra servers moeten openen of overbodige servers moeten

141 5.6. Bespreking resultaten 30 sluiten. Vandaar dat ook dit model niet echt realistisch is. Terug naar model 2c. Aangezien verschillende variabelen een zeer grote invloed zullen hebben op de resultaten, zullen we verschillende scenario s bekijken waarbij deze variabelen een andere waarde aannemen. Door deze variabelen verschillende waarden te geven kunnen we kijken wat hun invloed is op het resultaat en de resultaten vergelijken. Vanaf nu zullen er enkele andere benamingen ingevoerd worden. Voor het aantal klanten in het systeem gebruiken we nu het aantal wachtende klanten. Dit doen we omdat klanten in het systeem eigenlijk ook wachten terwijl ze bediend worden. De tijd dat mensen zich in het systeem bevinden of de systeemtijd zal daardoor ook gelijkgesteld worden aan de wachttijd. Naast het berekenen van de basisgrootheden van het model, zullen we ook een kostenfunctie invoeren. Deze kostenfunctie zal gebruikt worden om een drempelwaarde T te bepalen waarbij de kosten minimaal zijn. Deze kostenfunctie zal opgebouwd worden uit 2 delen. Enerzijds wordt de wachtkost in rekening genomen en anderszijds wordt ook de serverkost bepaald. De redenering hierachter: Klanten wachten niet graag en vinden dit vervelend. Wachten kan dus beschouwd worden als een kost voor een klant. Daartegenover staat dat wachtlijnsystemen door te werken met extra servers de wachttijd van hun klanten kunnen beperken. Natuurlijk brengt het openen van extra servers een kost voor het wachtlijstsysteem met zich mee. Deze kost die afhankelijk is van het aantal open servers wordt de serverkost genoemd. De totale kost K van een wachtlijnsysteem is gelijk aan de wachtkost plus de serverkost. De wachtkost is net zoals in model gelijk aan β wachttijd waarbij β de kost is per eenheid wachten. De serverkost wordt in dit model berekend op een andere manier dan de manier waarop de meerkost voor het werken met de snellere server in model berekend werd. De serverkost is nu gelijk aan γ E[serversaanwerk]. Hierbij is γ de kost voor een open server en is E[serversaanwerk] gelijk aan het gemiddeld aantal open servers. De totale kost K = β wachttijd + γ E[serversaanwerk]. De wachtkost zal berekend worden door een vaste kost per eenheid wachten β te vermenigvuldigen met de gemiddelde wachttijd van een klant in het systeem. Zoals reeds gezegd gaan we elke klant in het systeem beschouwen als een wachtende klant en is de wachttijd dus gelijk aan de systeemtijd. De wachttijd kan dan ook berekend worden via de formule van Little waarbij geldt dat E[X] = λ wachttijd. De gemiddelde wachttijd kan uit deze formules gemakkelijk berekend worden. De kost per eenheid wachten zal een belangrijke invloed uitoefenen op de totale wachtkost. Vandaar dat binnen elk scenario gewerkt wordt met 2 verschillende kostenscenario s. De kost per eenheid wachten β zal voor elk kostenscenario een andere waarde aannemen. In het eerste kostenscenario wordt uitgegaan van een lage kost per eenheid wachten. Dit is dus een kostenscenario waarbij klanten wachten vervelend vinden, maar waarbij ze toch loyaal zullen blijven aan het systeem. Het laten wachten van klanten zorgt niet voor een verlies aan opbrengst voor het systeem. Het tweede kostenscenario zal een scenario zijn waarbij de kost per eenheid wachten hoog ligt. Dit is dus een kostenscenario

142 5.6. Bespreking resultaten 3 waarbij een wachtende klant onmiddellijk weggaat en waarbij het laten wachten van een klant dus gelijkstaat met een verlies aan opbrengt. Hierdoor kan de kost per eenheid wachten zeer groot worden. De serverkost kan gevonden worden door de kost voor een open server γ te vermenigvuldigen met het gemiddeld aantal open servers E[serversaanwerk]. Het gemiddeld aantal servers wordt als volgt berekend: p k k + T k= + p k + p k = E[serversaanwerk] k=t Het gemiddeld aantal servers wordt dus berekend via een som. Voor het eerste deel van de sommatie geldt dat het aantal open servers gelijk is aan het aantal klanten in het systeem. Als het aantal klanten in het systeem kleiner is dan zal, een deel van de servers niet open zijn. Het aantal servers gaat namelijk gradueel omhoog tot het initieel maximaal aantal servers bereikt wordt. Het tweede deel van de sommatie duidt aan dat, als het aantal klanten in het systeem groter is dan het initieel maximaal aantal open servers, steeds alle servers open zullen zijn. Het derde deel van de sommatie toont dan weer dat, als het aantal klanten in het systeem groter is dan de drempelwaarde T, er servers zullen open zijn. Door het aantal servers te vermenigvuldigen met de kans dat zo n situatie voorkomt, bekomen we uiteindelijk het gemiddeld aantal werkende servers. De waarde voor γ is in dit geval een constante, die niet afhangt van het aantal werkende servers. Deze vaste kost per open server wordt gelijkgesteld aan 00. Hierna volgt een tabel met de verschillende scenario s die besproken zullen worden. Figuur 5.2: De scenario s die besproken worden Zoals op de figuur te zien worden 8 scenario s besproken. In het eerste scenario ligt de aankomstintensiteit hoger dan de verwerkingsintensiteit van een server en wordt er initieel ge-

143 5.6. Bespreking resultaten 32 werkt met server. In het tweede scenario zijn het initieel aantal servers en het maximaal aantal open servers hetzelfde zijn als in het eerste scenario, maar ligt de aankomstintensiteit hoger dan de verwerkingsintensiteit van een server. Op deze manier kan dus vergeleken worden wat, bij een identiek aantal servers en, het verschil zal zijn tussen een scenario waarbij de initiële capaciteit gemiddeld gezien voldoende is om de aankomende klanten te verwerken en een scenario waarbij de initiële capaciteit onvoldoende is om de klanten te verwerken. In scenario s 3 en 4 wordt hetzelfde bekeken als in scenario s en 2, maar dit keer met een hoger aantal maximaal initieel open servers en een hoger aantal maximaal open servers. Op deze manier kan dus nagegaan worden of het aantal servers en een invloed hebben op de resultaten. Aangezien de drempelwaarde T in dit model groter is dan worden in het vervolg alleen drempelwaarden bekeken die groter zijn. We bekijken voor elk scenario de eerste 0 mogelijk drempelwaarden. Er wordt ook gekozen om het verschil tussen het aantal servers en klein te houden aangezien dit in de realiteit meestal ook het geval is. Na het onderzoeken van de invloed van het aantal servers, wordt ook nog bestudeerd wat de invloed is van de aankomstintensiteit λ. De verwerkingsintensiteit µ en het aantal server en blijven gelijk, maar de aankomstintensiteit wordt steeds groter. Op deze manier wordt eigenlijk onderzocht wat de invloed is van de verhouding van de aankomstinsiteit en de verwerkingsintensiteit of de bezettingsgraad. In het vijfde scenario is de begincapaciteit groter dan de aankomstintensiteit, de trage server zal gemiddeld gezien het aantal aankomende klanten kunnen verwerken. Het systeem zal het grootste deel van de tijd met de trage server werken. In scenario 6 ligt de aankomstintensiteit net boven de verwerkingsintensiteit van de trage server en veel onder de verwerkingsintensiteit van de snellere server. In deze situatie zal een wachtlijn ontstaan die aan een traag tempo groeit. Bij de lage drempelwaarden zal het aantal wachtende klanten soms groter worden dan die drempelwaarde en zal omgeschakeld worden op het werken met de snellere server. In scenario 7 ligt de aankomstintensiteit juist tussen de aankomstintensiteiten van de trage server en snellere server. De trage server zal het aantal toekomende klanten niet kunnen verwerken zodat er snel een relatief lange wachtrij ontstaat. In deze situatie zal er bij lage drempelwaarden snel, en bij grotere drempelwaarden na verloop van tijd overgeschakeld worden op werken met de snellere server. In het laatste scenario is de aankomstintensiteit veel groter dan de verwerkingsintensiteit van de trage server en net kleiner dan de verwerkingsintensiteit van de snellere server. In deze situatie zal zeer snel een lange wachtrij ontstaan zodat zelfs bij grote drempelwaarden bijna constant met de snellere server gewerkt wordt. Aangezien de bespreking van deze scenario s grotendeels dezelfde resultaten en conclusies oplevert als in de eerste 4 scenario s, wordt gekozen om de resultaten aan de hand van een tabel te tonen.

144 5.6. Bespreking resultaten Scenario : λ = 9 >> µ = 6; = en = 2 In dit eerst scenario is de aankomstintensiteit λ = 9 en de verwerkingsintensiteit µ van een server 6. Aangezien het maximaal aantal initieel open server gelijk is aan, is de begincapaciteit van het systeem µ gelijk aan 6. Het systeem zal dus gemiddeld gezien niet in staat zijn om alle aankomende klanten te bedienen en er zal dus een wachtrij ontstaan. Deze wachtrij zal blijven toenemen tot het aantal wachtende klanten de drempelwaarde T overschrijdt. Dit is namelijk het teken voor het systeem om een extra server te openen. De capaciteit van het systeem stijgt daardoor en wordt µ of 2. Hierdoor is het systeem nu wel in staat om de aankomende klanten te verwerken en zal de wachtrij weer afnemen. Figuur 5.3: Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Op figuur 5.3 is duidelijk te zien dat de verwachtingen juist zijn, het aantal klanten in de wachtrij is voor elke drempelwaarde groter dan de drempelwaarde. Het systeem moet bij elke drempelwaarde uiteindelijk de extra server openen om te voorkomen dat de wachtrij blijft groeien. Het openen van de extra server zal in meeste gevallen maar van korte duur zijn, aangezien vanaf het moment dat het aantal wachtende klanten weer onder de drempelwaarde ligt, deze server weer gesloten wordt. In figuur 5.4 kan de stijgende wachttijd gezien worden. De wachttijd stijgt want als de drempelwaarde hoger is, zal de wachtrij ook langer zijn. Dit komt doordat er pas bij een hoger aantal wachtende klanten een extra server zal geopend worden. Het gevolg is dat een klant die toekomt langer zal moeten wachten. Zoals vermeld in de inleiding van de resultatenbespreking, zullen naast verschillende scenario s, voor de verschillende scenario s ook verschillende kostenscenario s bekeken worden. De gebruikte kostenfunctie is hier: K = β wachttijd + γ E[serversaanwerk]. Hierbij is K de totale kost en is β wachttijd de totale wachtkost met β de kost per eenheid wachten. De laatste factor γ E[serversaanwerk] is de totale serverkost. In dit product is γ de kost voor het werken van een server en is E[serversaanwerk] het gemiddelde aantal open servers.

145 5.6. Bespreking resultaten 34 Figuur 5.4: Grafiek van de wachttijd Kostenscenario : β = 50 << γ = 00 Het eerste kostenscenario is een kostenscenario waarbij wachten voor de klant gelijk staat aan tijdsverlies maar waarbij de klant niet verloren gaat. De opbrengst van het hele systeem daalt dus niet. De kost per eenheid wachten wordt 50 verondersteld. Figuur 5.5: Totale kostengrafiek Op figuur 5.5 zijn de totale kosten uitgezet per drempelwaarde. De optimale drempelwaarde waarbij de kosten minimaal zijn is T = 3. De optimale drempelwaarde is dus de kleinst mogelijke drempelwaarde. Op figuur 5.6 zien we de totale kosten opgesplitst in de totale wachtkost en de totale serverkost. De totale serverkost is zeer groot ten opzichte van de totale wachtkost maar blijft zo goed als gelijk voor alle drempelwaarden. De totale wachtkost stijgt daarentegen relatief snel. Dit is het gevolg van de snel stijgende wachttijd, de variabele component van de totale wachtkost. Bij een stabiele serverkost en een stijgende wachtkost zal de totale kost stijgen naarmate de drempelwaarde groter wordt. Het gevolg is dat het systeem zal werken bij de laagst mogelijke drempelwaarde. Als er meer dan 2 wachtende klanten zijn, wordt de extra server geopend. Uit de berekening van het gemiddeld aantal open servers kan tenslotte nog afgeleid worden dat gedurende 40% van de tijd met server zal gewerkt worden. Dit kunnen

146 5.6. Bespreking resultaten 35 Figuur 5.6: Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost we concluderen uit het feit dat volgende som gelijk is aan 0, 4. 2 p k + p k = 0, 4 k=2 p k in deze som is de kans dat er zich k klanten in het systeem bevinden. Door de som te nemen van de kans dat het aantal klanten in het systeem 0, of 2 is, vinden we de kans dat het systeem met het initieel aantal open servers of dus met server zal werken. Tenslotte kan nog geconcludeerd worden dat de kans het aantal klanten in het systeem 0 is en ook de ene server niet werkt gelijk is aan ongeveer 0%. De kans dat het aantal klanten in het wachtrij, 2, 3 of 4is, is groter. Ze variëren tussen de % en 9%. Dit komt opnieuw door de drempelwaarde. Het systeem zal de wachtrij laten groeien tot een aantal groter dan 2 voor het de extra server opent. Als de extra server geopend wordt, zal de wachtrij slinken. Als de wachtrij terug daalt tot een waarde onder de drempelwaarde van 3 zal de extra server opnieuw gesloten worden en zal de wachtrij terug beginnen groeien. Het gemiddeld aantal klanten zal steeds schommelen tussen en 4. Hierdoor is de kans om een aantal klanten tussen en 4 aan te treffen in het systeem ook groter dan andere kansen. Kostenscenario 2: β = 50 >> γ = 00 Een hogere kost per eenheid wachten maakt het laten wachten van klanten duurder voor het systeem. Een klant laten wachten kan zorgen voor een daling van de totale opbrengst. De kost per eenheid wordt in zo n geval dan ook gelijkgesteld aan 50. Ten opzichte van vorig kostenscenario zullen er niet veel veranderingen kunnen waargenomen worden aangezien de optimale drempelwaarde al te vinden was bij de laagst mogelijk drempelwaarde. Op figuur 5.7 is te zien dat de minimale kosten opnieuw bij de laagst mogelijk drempelwaarde liggen. Het enige verschil met vorig kostenscenario is dat de totale kost nu veel hoger ligt en ook sneller stijgt. De oorzaak is de snel stijgende wachttijd. Bij een relatief stabiele

147 5.6. Bespreking resultaten 36 Figuur 5.7: Totale kostengrafiek serverkost, zal een hogere kost per eenheid wachten er namelijk voor zorgen dat de totale wachtkost zeer snel toeneemt. Figuur 5.8: Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Figuur 5.8 toont dit duidelijk aan. De totale wachtkost stijgt zeer snel en overtreft zelfs de totale serverkost bij zeer hoge drempelwaarden. De totale wachtkost ligt door de hogere kost per eenheid ook hoger dan in vorig kostenscenario. Conclusie In tegenstelling tot model oefent de kost per eenheid wachten in dit scenario geen invloed uit op de optimale drempelwaarde, omdat de totale serverkost voor elke drempelwaarde dezelfde is. Het heeft dan ook geen zin om te kijken wanneer bij groter wordende drempelwaarden de dalende totale serverkost wordt overtroffen door de stijgende totale wachtkost. De daling van de totale serverkost is zo miniem dat de stijgende totale wachtkost deze daling bij elke drempelwaarde in grote mate overtreft. Doordat er alleen kan gesproken worden van een stijgende totale wachtkost, is het ook logisch dat de totale kost, bij groter wordende drempelwaarden, stijgt. De optimale drempelwaarde waarbij de totale kost het laagst is, wordt dan ook gevonden bij de laagst mogelijk drempelwaarde.

148 5.6. Bespreking resultaten 37 De stijging van de totale wachtkost wordt veroorzaakt door de stijgende wachttijd bij een groter wordende drempelwaarde. Hierdoor gaat bij een grotere kost per eenheid wachten, de totale wachtkost een steeds groter deel uitmaken van de totale kost. Net zoals in model zullen de totale kosten nog steeds toenemen bij een groter wordende kost per eenheid wachten. Tenslotte kan nog vermeld worden dat de optimale drempelwaarde niet stabiel is. Zelf bij een kleine afwijking van de optimale drempelwaarde gaat de totale kost snel toenemen Scenario 2: λ = 9 << µ = 2; = en = 2 In het tweede scenario is de aankomstintensiteit λ = 9 en de verwerkingsintensiteit µ van een server 2. Net zoals in scenario zijn het aantal servers en en 2. Het verschil tussen scenario en 2 is dat bij scenario de begincapaciteit onvoldoende was om het aantal aankomende klanten te verwerken, terwijl de begincapaciteit in scenario 2 gemiddeld gezien wel het aantal aankomende klanten kan verwerken. In scenario 2 is de begincapaciteit namelijk µ = 2. Doordat het systeem nu zelfs met het initieel aantal open servers gemiddeld gezien het aantal toekomende klanten kan verwerken, zal de extra server bijna nooit geopend worden. De wachtrij zal ook steeds laag zijn, en meestal enkel de klanten die bediend worden bevatten. Figuur 5.9: Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Op figuur 5.9 zien we dat voor elke drempelwaarde het gemiddeld aantal klanten lager is dan die drempelwaarde. Slechts in uitzonderlijke gevallen zal een wachtrij ontstaan die gelijk wordt aan deze drempelwaarde. Het ontstaan van een wachtrij groter dan een drempelwaarde zal enkel gebeuren in uitzonderlijk situaties bij lage drempelwaarden. Bij een hoge drempelwaarde zal zelfs in zeer uitzonderlijke situaties de drempelwaarde nooit overschreden worden. In dit scenario zal een systeem dat werkt met een hoge drempelwaarde dus ook nooit de extra servers) openen. In figuur 5.0 zien we de wachttijd. Net als in het eerste scenario stijgt de wachttijd ook in dit scenario. Toch blijft de wachttijd zelfs bij de grotere drempelwaarden zeer beperkt. Dit komt doordat in dit scenario de begincapaciteit en dus de initiële verwerkingsintensiteit groter

149 5.6. Bespreking resultaten 38 is dan de aankomstintensiteit. Wachtrijen en wachttijden zullen hierdoor beperkt blijven. De stijging in de wachttijd naarmate de drempelwaarde groter is, is ook normaal. Naarmate de drempelwaarde groter is, zal het systeem pas bij een hoger aantal wachtende klanten de extra server openen. De wachtrij zal dus mogelijks langer zijn bij een hogere drempelwaarde. Hierdoor zal de wachttijd ook stijgen. Natuurlijk is de kans dat een lange wachtrij ontstaat zeer klein in dit scenario. Hierdoor loopt de wachttijd ook maar zeer traag op. Figuur 5.0: Grafiek van de wachttijd Zoals vermeld in de inleiding van de resultatenbespreking, zullen bij de verschillende scenario s ook verschillende kostenscenario s bekeken worden. Zoals eerder vermeld is de kostenfunctie: K = β wachttijd + γ E[serversaanwerk]. Hierbij is K de totale kost en is β wachttijd de totale wachtkost met β de kost per eenheid wachten. De laatste factor γ E[serversaanwerk] is de totale serverkost. In dit product is γ de kost voor het werken van een server en is E[serversaanwerk] het gemiddelde aantal open servers. Kostenscenario : β = 50 << γ = 00 Het eerste kostenscenario dat bekeken wordt is er één waarbij de kost per eenheid wachten gelijk is aan 50. Het laten wachten van klanten is minder duur dan een extra server te openen, wachten voor de klant staat gelijk aan tijdsverlies maar de klant gaat niet verloren. De opbrengst van het hele systeem daalt dus niet. In de inleiding van dit scenario werd al vermeld dat de initiële verwerkingsintensiteit groter is dan de aankomstintensiteit, met andere woorden klanten zullen zelden moeten wachten. De totale wachtkost zal beperkt zijn in vergelijking met scenario. Daarnaast zal het systeem ook zelden de extra server moeten openen. Hierdoor zal de totale serverkost ook kleiner zijn dan in scenario. Op figuur 5. zijn de totale kosten uitgezet per drempelwaarde. De optimale drempelwaarde en de minimale kosten zijn opnieuw te vinden bij de laagst mogelijke drempelwaarde T = 3. Op figuur 5.2 zien we de totale kosten opgesplitst in de totale wachtkost en de totale serverkost. In dit scenario overheerst de totale serverkost nog meer. De totale wachtkost

150 5.6. Bespreking resultaten 39 Figuur 5.: Totale kostengrafiek Figuur 5.2: Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost is maar een zeer klein deel van de totale kost. Toch is de totale wachtkost zeer belangrijk. Aangezien de totale serverkost zo goed als stabiel blijft over de verschillende drempelwaarden, is het enkel de totale wachtkost die de evolutie van de totale kost bepaalt. De totale wachtkost wordt bepaald door de wachttijd. De wachttijd is zoals in de inleiding gezien een grootheid die stijgt naarmate de drempelwaarde toeneemt. De totale wachtkost en daardoor ook de totale kost zullen dus toenemen naarmate de drempelwaarde stijgt. De minimale kosten komen daardoor opnieuw te liggen bij een optimale drempelwaarde van T = 3. Het systeem zal werken aan de laagst mogelijke drempelwaarde en zal de extra server openen vanaf het moment er meer dan 2 wachtende klanten zijn. Uit de berekening van het gemiddeld aantal open servers blijkt dat de extra server zelden of nooit zal geopend worden. De kans dat met maximaal server gewerkt zal worden is namelijk 87%. Dit kunnen we concluderen uit het feit dat volgende som gelijk is aan 0, p k + p k = 0, 87 k=2 Dit is de kans dat het aantal klanten in het systeem lager zal liggen dan 3 of de kans dat er met server gewerkt zal worden. Nog opmerkelijk is dat er 37% kans is dat het aantal klanten in het systeem 0 is. Dit komt

151 5.6. Bespreking resultaten 40 doordat de initiële verwerkingsintensiteit hoger ligt dan de aankomstintensiteit waardoor de server tijdelijk geen klanten zal moeten bedienen. De kans dat er klant wacht, is 28%. Zoals vermeld in de inleiding van de resultatenbespreking, is dit de kans dat er zich klant in het systeem bevindt. Deze klant is aan het wachten terwijl hij bediend wordt. De kans dat het aantal wachtende klanten gelijk is aan 2 is 2%. Dit wil zeggen dat in de overige 3% het aantal wachtende klanten groter zal zijn dan de drempelwaarde en de extra server geopend zal worden. Het gemiddeld aantal open servers kan berekend worden via 0, , , 2) + 0, 3 2 = 0, 75. Deze totale serverkost is dus 75. Kostenscenario 2: β = 50 >> γ = 00 In het tweede kostenscenario wordt opnieuw gekeken of er een verschil is als de kost per eenheid wachten groter is. Dit is dus een kostenscenario waarbij het laten wachten gelijk staat aan een verlies van opbrengst doordat de klant een andere systeem zal opzoeken. Doordat de kost per eenheid wachten groter wordt, wordt het duurder om de klanten te laten wachten in vergelijking met het openen van een extra server. Het systeem zal dus sneller een extra server openen. Dit is uiteraard niet mogelijk aangezien in kostenscenario de optimale drempelwaarde al bij de laagst mogelijk waarde lag. In dit kostenscenario zal de minimale kost waarschijnlijk bij dezelfde drempelwaarde liggen. Figuur 5.3: Totale kostengrafiek Op figuur 5.3 zijn de totale kosten uitgezet per drempelwaarde. De optimale drempelwaarde en de minimale kosten zijn opnieuw te vinden bij de laagst mogelijke drempelwaarde T = 3. De minimale kosten die overeenstemmen met de optimale drempelwaarde liggen wel hoger dan in het vorig kostenscenario. Op figuur 5.4 zien we de totale kosten opgesplitst in de totale wachtkost en de totale serverkost. De totale serverkost blijft voor elke drempelwaarde groter dan de totale wachtkost. Dit komt uiteraard door de zeer beperkte wachttijd in dit scenario. Door de grotere kost per eenheid wachten is het verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost nu wel aanzienlijk kleiner. De stijging van de totale kost wordt alweer veroorzaakt door de stijgende

152 5.6. Bespreking resultaten 4 Figuur 5.4: Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost wachtkost. Deze stijgt door de stijgende wachttijd. Het is opnieuw de wachttijd die de evolutie van de totale kost bepaalt. Conclusie De conclusie is identiek aan deze in scenario. Er kan besloten worden dat de kost per eenheid wachten geen invloed uitoefent op de optimale drempelwaarde. Aangezien de totale serverkost stabiel is over de drempelwaarden, zal de totale kost enkel beïnvloed worden door de wachttijd. Deze wachttijd neemt toe naarmate de drempelwaarde toeneemt. De totale kost neemt dus ook toe met groter wordende drempelwaarde en de optimale drempelwaarde zal dus bij de laagst mogelijke drempelwaarde te vinden zijn. Naarmate de kost per eenheid wachten groter wordt, stijgt de totale kost. Dit komt doordat de kost per eenheid wachten een grote invloed uitoefent op de totale wachtkost, die op haar beurt de totale kosten mee bepaalt. Een laatste conclusie is dat de optimale drempelwaarde in dit scenario stabieler is dan in vorig scenario, omdat de stijging in de wachttijd veel kleiner is dan in vorig scenario. Hierdoor blijft de stijging van de totale wachtkost ook beperkt. Om dit aan te tonen geven we een voorbeeld. Als in kostenscenario 2 van scenario het systeem verkeerdelijk T = 7 aanziet als de optimale drempelwaarde, stijgen de kosten met bijna 50% ten opzichte van de kost van de correcte optimale drempelwaarde T = 3. Gebeurt deze fout in kostenscenario 2 van scenario 2 dan stijgen de kosten met een kleine 5%. Het optimum is dus stabieler Scenario 3: λ = 9 >> µ = 2; = 3 en = 6 In het derde scenario is de aankomstintensiteit λ = 9 en is de verwerkingsintensiteit µ van een server 2. Het aantal servers en zijn 3 en 6. Op deze manier gaan we kijken of het aantal servers een invloed heeft op de resultaten. De aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit zijn namelijk gekozen in functie van het aantal servers en zodat de

153 5.6. Bespreking resultaten 42 initiële begincapaciteit en de maximale capaciteit van de server van scenario s en 3 dezelfde is. Door te zorgen dat de initiële begincapaciteit en de maximale capaciteit van de server gelijk zijn, kan de invloed van het aantal servers nagegaan worden. In dit scenario ligt de initiële maximale verwerkingsintensiteit =de initiële begincapaciteit) lager dan de aankomstintensiteit. µ = 2 3 = 6 < 9. Gemiddeld gezien komen er meer klanten toe dan het systeem kan verwerken. Er zal dus een wachtrij ontstaan, die zal toenemen zolang met het maximaal initieel aantal open servers gewerkt wordt. Pas als het aantal klanten in de wachtrij de drempelwaarde T overschrijdt, zal het systeem de extra servers openen. Hierdoor zal de wachtrij weer dalen tot onder de drempelwaarde en zullen de extra servers weer gesloten worden. Figuur 5.5: Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Op figuur 5.5 zien we dat voor elke drempelwaarde het gemiddeld aantal klanten net boven deze drempelwaarde ligt. Dit is logisch omdat de wachtrij blijft toenemen tot de drempelwaarde overschreden wordt. Eens de drempelwaarde overschreden wordt, worden extra servers geopend tot het aantal klanten weer onder de drempelwaarde liggen. Natuurlijk gaat de wachtrij weer toenemen als de extra servers weer gesloten zijn. De wachtrij zal weer groeien tot boven de drempelwaarde waardoor de extra servers weer geopend worden. De wachtrij zal dus steeds schommelen rond de drempelwaarde. Het ene moment zal het aantal klanten in het systeem net boven de drempelwaarde liggen, terwijl het aantal klanten na het werken met de extra servers net onder de drempelwaarde zal liggen. Gemiddeld gezien zal het aantal klanten in de wachtrij zoals te zien is op figuur 5.5 net boven de drempelwaarde liggen. Het systeem zal na verloop van tijd in een cyclus terecht komen waarbij het de extra servers steeds opent en weer sluit. Door het hoger maximaal aantal servers is de laagst mogelijke drempelwaarde natuurlijk ook hoger dan in scenario. In figuur 5.6 zien we de wachttijd. De wachttijd stijgt net zoals in scenario heel snel. Voor dezelfde drempelwaarde ligt de wachttijd ongeveer op dezelfde hoogte als in scenario. Het is wel zo dat door het grotere maximaal aantal servers de drempelwaarden die de laagste wachttijd hadden in scenario nu niet meer mogelijk zijn. De kleinst mogelijke wachttijd ligt dus hoger dan in scenario. De wachttijd is zo hoog bij elke drempelwaarde omdat de

154 5.6. Bespreking resultaten 43 wachtrij al minstens uit 7 klanten moet bestaan voor de extra servers geopend zullen worden. Hierdoor zal de klant natuurlijk een tijd moeten wachten. Naarmate de drempelwaarde groter wordt, zal pas bij een langere wachtrij gekozen worden om de extra servers te openen en zal de wachttijd dus ook toenemen. Figuur 5.6: Grafiek van de wachttijd Zoals vermeld in de inleiding van de resultatenbespreking, zullen bij de verschillende scenario s ook verschillende kostenscenario s bekeken worden. De gebruikte kostenfunctie is: K = β wachttijd+γ E[serversaanwerk]. Hierbij is K de totale kost en is β wachttijd de totale wachtkost met β de kost per eenheid wachten. De laatste factor γ E[serversaanwerk] is de totale serverkost. In dit product is γ de kost voor het werken van een server en is E[serversaanwerk] het gemiddelde aantal open servers. Kostenscenario : β = 50 << γ = 00 Het eerste kostenscenario dat bekeken wordt is een kostenscenario waarbij de kost per eenheid wachten gelijk is aan 50. Klanten laten wachten is dus goedkoper voor het systeem dan het openen van een extra server. Wachten is voor de klant enkel tijdsverlies, en enkel de kost voor het wachten wordt in rekening gebracht. Daardoor wordt verwacht dat de optimale drempelwaarde hoog zal liggen. Er dient natuurlijk in rekening gebracht te worden dat de minimale drempelwaarde die mogelijk is T = 7 is. Door de resultaten in de vorige 2 scenario s kan verwacht worden dat ook in dit scenario de totale serverkost stabiel zal zijn over de drempelwaarden. Hierdoor zal de totale stijgende wachtkost de optimale drempelwaarde bepalen. Vermoedelijk ligt de optimale drempelwaarde dus ook in scenario 3 bij de laagste mogelijke drempelwaarde. Op figuur 5.7 zijn de totale kosten uitgezet per drempelwaarde. De optimale drempelwaarde en de minimale kosten zijn opnieuw te vinden bij de laagst mogelijke drempelwaarde. Deze minimale drempelwaarde ligt, door het groter aantal maximaal open servers, hoger dan in scenario en is T = 7.

155 5.6. Bespreking resultaten 44 Figuur 5.7: Totale kostengrafiek Figuur 5.8: Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Op figuur 5.8 zien we de totale kosten opgesplitst in de totale wachtkost en de totale serverkost. Door het hoge gemiddeld aantal open servers 4, 5 servers) ligt de totale serverkost deze keer steeds rond de 450. De totale serverkost is dan ook de grootste factor in de totale kost. Deze serverkost blijft opnieuw stabiel naarmate de drempelwaarde groter wordt. Hierdoor is het alweer de wachttijd die via de totale wachtkost de evolutie van de totale kost bepaalt. Doordat deze wachttijd stijgt naarmate de drempelwaarde groter wordt, zal de totale kost ook stijgen bij groter wordende drempelwaarde. Hierdoor ligt de optimale drempelwaarde bij de kleinst mogelijke waarde T = 7. Het systeem zal extra servers openen als het aantal klanten in de wachtrij groter is dan 6. Uit de berekening van het gemiddeld aantal servers blijkt dat de kans dat er gewerkt wordt met het maximaal initieel aantal open servers 0, 47 is. Dit wil dus zeggen dat ongeveer 50% van de tijd gewerkt zal worden met maximaal aantal open servers. 3 6 p k + p k = 0, 47 k=4 Dit is de kans dat het aantal klanten in het systeem lager zal liggen dan 7 of de kans dat er met server gewerkt zal worden. Wat nog opvalt is dat de kans dat het aantal klanten in het systeem 0, of 2 is samen niet

156 5.6. Bespreking resultaten 45 groter is dan 5%, omdat de klanten toekomen in een sneller tempo dan het initieel maximaal aantal servers aankan. Daarentegen liggen de kansen om 5, 6, 7 of 8 klanten in het systeem aan te treffen elk tussen de 0% en 7%. Dit komt uiteraard door de drempelwaarde 7 waarrond ook het gemiddeld aantal klanten in het systeem varieert. Kostenscenario 2: β = 50 >> γ = 00 Het tweede kostenscenario wordt gekenmerkt door een kost per eenheid wachten van 50. Dit wil zeggen dat deze keer niet enkel de kost voor het laten wachten van de klant in rekening wordt gebracht, maar tevens het verlies aan opbrengst voor het systeem. Een wachtende klant zal niet loyaal blijven aan het systeem. Aangezien het laten wachten van de klant duurder is, zal het systeem de wachttijd willen beperken. Een lagere drempelwaarde in vergelijking met kostenscenario is weliswaar niet mogelijk, dus mag verwacht worden dat het systeem in dit kostenscenario ook zal werken met een optimale drempelwaarde T = 7 Figuur 5.9: Totale kostengrafiek Op figuur 5.9 zijn de totale kosten uitgezet per drempelwaarde. De optimale drempelwaarde en de minimale kosten zijn opnieuw te vinden bij de laagst mogelijke drempelwaarde T = 7. De totale minimale kost ligt wel veel hoger dan in het vorig kostenscenario. Figuur 5.20: Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost

157 5.6. Bespreking resultaten 46 Op figuur 5.20 zien we de totale kosten opgesplitst in de totale wachtkost en de totale serverkost. Voor elke drempelwaarde blijft de totale serverkost veel groter dan de totale wachtkost. De totale serverkost ligt zeer hoog aangezien er gemiddeld 4, 5 servers werken. Het verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost is in vergelijking met kostenscenario nu wel aanzienlijk verkleind. Dit is te wijten aan de hogere kost per eenheid wachten, die ervoor zorgt dat in vergelijking met kostenscenario voor elke drempelwaarde de totale wachtkost veel hoger ligt. Door de stabiele totale serverkost, is het weer de stijgende totale wachtkost die ervoor zorgt dat de optimale drempelwaarde bij de laagst mogelijk drempelwaarde ligt. Conclusie In dit scenario wordt gekeken wat de invloed is van een groter aantal servers. In vergelijking met scenario komt in dit scenario 3 de optimale drempelwaarde steeds bij een hogere waarde van T te liggen. Wel is het zo dat ook in scenario 3 de optimale drempelwaarde nog steeds de laagst mogelijke drempelwaarde is. Dit is uiteraard het gevolg van het groter aantal maximaal open servers. Het groter aantal servers heeft ook een invloed op het gemiddeld aantal open servers. Het aantal open servers ligt hoger dan in scenario waardoor de totale serverkost ook veel groter wordt. Niet alleen de totale serverkost ligt hoger, ook de totale wachtkost ligt hoger dan in scenario, door de hogere optimale drempelwaarde en dus het groter aantal maximaal open servers. Met een hogere optimale drempelwaarde gaat een hogere wachttijd gepaard waardoor de totale wachtkost hoger ligt. Uiteraard is het zo dat als beide factoren van de totale kost hoger liggen, dat in scenario 3 de totale kost ook hoger ligt dan in scenario. Er zijn ook overeenkomsten tussen scenario s en 3. Zo is de kans dat er maximaal met aantal servers gewerkt zal worden in beide gevallen ongeveer hetzelfde. Ook de kans om een bepaald aantal klanten k in het systeem aan te treffen is het grootst bij waarden van k rond de optimale drempelwaarde T. Daardoor is de kans om 0 klanten in het systeem aan te treffen veel kleiner is in scenario 3 dan in scenario. Voor het overige kunnen nog eens dezelfde conclusies als in de andere scenario s getrokken worden. De kost per eenheid wachten oefent geen invloed uit op de optimale drempelwaarde, maar is wel bepalend voor de hoogte van de wachtkost. Een laatste conclusie is dat de optimale drempelwaarde in dit scenario minder stabiel is dan in vorige scenario s, omdat de wachttijd zeer snel stijgt en zeer hoog is. Hierdoor stijgt de totale wachtkost zeer snel en zal ook de totale kost zeer snel oplopen naarmate de drempelwaarde groter wordt. Zelfs een kleinste afwijking van de optimale drempelwaarde zorgt voor een grote stijging in de totale kost.

158 5.6. Bespreking resultaten Scenario 4: λ = 9 >> µ = 4; = 3 en = 6 In het vierde scenario is de aankomstintensiteit λ = 9 en is de verwerkingsintensiteit µ van een server 4. Net als in scenario 3 zijn het aantal servers en 3 en 6. Ook in dit scenario zal gekeken worden wat de invloed is van het aantal servers op de resultaten. De aankomstintensiteit en de verwerkingsintensiteit zijn namelijk gekozen in functie van het aantal servers en zodat de initiële begincapaciteit en de maximale capaciteit van de server van scenario s 2 en 4 dezelfde is. Door beide capaciteiten in beide scenario s gelijk te stellen kan de invloed die het aantal servers heeft op de resultaten nagegaan worden. In scenario 4 ligt de initiële begincapaciteit hoger dan de verwerkingsintensiteit µ = 4 3 = 2 > 9. Dit wil zeggen dat het systeem gemiddeld gezien de aankomende klanten zal kunnen verwerken met de begincapaciteit. Het ontstaan van een wachtrij zal zelden voorkomen, en in de gevallen dat een wachtrij ontstaat zal deze zeer klein blijven. Aangezien de laagst mogelijke drempelwaarde in dit scenario 7 is, kan er van uitgegaan worden dat deze drempelwaarde zo goed als nooit overschreden zal worden. De extra servers worden naar alle waarschijnlijkheid nooit gebruikt. Figuur 5.2: Het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij Figuur 5.2 toont het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij per drempelwaarde. Het is op deze figuur ook duidelijk te zien dat het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij veel kleiner is dan elke drempelwaarde. Dit komt omdat de aankomstintensiteit veel lager ligt dan de initiële verwerkingsintensiteit. In scenario 2 was dit ook het geval. Het enige verschil is dat door het hoger aantal servers in model 4 de laagst mogelijke drempelwaarde veel hoger ligt. Hierdoor is het verschil tussen het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij en elke drempelwaarde veel hoger. Daar waar in scenario 2 in uitzonderlijke omstandigheden de drempelwaarde nog wel overschreden kon worden, zal dit in scenario 4 niet het geval zijn. In figuur 5.22 zien we de wachttijd. Net als in scenario 2 is ook in scenario 4 de wachttijd zeer klein. Op de figuur zien we ook duidelijk dat in dit scenario 4 de wachttijd niet snel stijgt maar zeer traag omhoog gaat omdat er bij een zeer grote drempelwaarde gestart wordt. Als deze drempelwaarde groter wordt, bij een reeds hoge drempelwaarde, zal de wachttijd niet

159 5.6. Bespreking resultaten 48 veel meer stijgen. De oorzaak van deze minieme stijging kan gevonden worden in het feit dat de initiële verwerkingsintensiteit hoog ligt. Het maakt dus niet echt veel uit of er bijvoorbeeld 2 of 3 klanten staan te wachten. De wachttijd zal ongeveer gelijk zijn. Figuur 5.22: Grafiek van de wachttijd Zoals vermeld in de inleiding van de resultatenbespreking, zullen bij de verschillende scenario s ook verschillende kostenscenario s bekeken worden. De kostenfunctie is: K = β wachttijd + γ E[serversaanwerk]. Hierbij is K de totale kost en is β wachttijd de totale wachtkost met β de kost per eenheid wachten. De laatste factor γ E[serversaanwerk] is de totale serverkost. In dit product is γ de kost voor het werken van een server en is E[serversaanwerk] het gemiddelde aantal open servers. Kostenscenario : β = 50 << γ = 00 In dit eerste kostenscenario gaan klanten loyaal blijven aan het systeem zelfs als ze moeten wachten. Het laten wachten van klanten zorgt er niet voor zorgt de opbrengst daalt. Het wachten zelf heeft natuurlijk wel een negatieve invloed op de klant. Vandaar dat een wachtkost wordt ingecalculeerd. In dit kostenscenario zal de kost per eenheid wachten gelijk zijn aan 50. Doordat het gemiddeld aantal servers ook in dit scenario weer stabiel blijft over de verschillende drempelwaarden heen, zal de optimale drempelwaarde weer bij de laagst mogelijk drempelwaarde liggen. Dit is alweer het gevolg van de stijgende wachttijd. Op figuur 5.23 zijn de totale kosten uitgezet per drempelwaarde. De optimale drempelwaarde en de minimale kosten zijn opnieuw te vinden bij de laagst mogelijke drempelwaarde. Deze minimale drempelwaarde ligt door het groter aantal maximaal open servers hoger dan in scenario 2 en is T = 7. Op figuur 5.24 zien we de totale kosten opgesplitst in de totale wachtkost en de totale serverkost. Doordat in vergelijking met scenario 2 het gemiddeld aantal open servers hoger ligt, deze keer op 2, 25, ligt de totale serverkost ook hoger. In vergelijking met scenario 3 daarentegen ligt de totale serverkost zeer laag. Dit komt omdat in vergelijking met scenario 3, waar gemiddeld meer dan de 3 initiële servers open waren, in scenario 4 gemiddeld gezien

160 5.6. Bespreking resultaten 49 Figuur 5.23: Totale kostengrafiek Figuur 5.24: Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost zelf niet alle 3 de mogelijk initieel open server aan het werk zijn. De totale serverkost is net als in alle vorige scenario s alweer constant over de drempelwaarden heen. Door de beperkte wachttijden in dit scenario is de totale serverkost de belangrijkste factor van de totale kost. Het is natuurlijk wel de wachttijd die zorgt voor de stijgende totale kostencurve. Net zoals de curve van de wachttijd, stijgt ook de totale kostencurve maar zeer miniem, dit is te zien in figuur Door de stijgende kostencurve vinden we de minimale totale kosten bij de laagst mogelijk drempelwaarde T = 7. Het systeem zal extra servers openen als het aantal klanten in de wachtrij groter is dan 6. Uit de berekening van het gemiddeld aantal servers vinden we dat de kans, dat er gewerkt zal worden met het maximaal initieel aantal open servers, 0, 96 is. In bijna 00% van de gevallen zal gewerkt worden met enkel het maximaal aantal initeel open servers. Er is dus 5% kans dat het aantal klanten in de wachtrij groter is dan 6 of dat de extra servers gebruikt zullen worden. 3 6 p k + p k = 0, 96 k=4 Dit is de kans dat het aantal klanten in het systeem lager zal liggen dan 7 of de kans dat er met server gewerkt zal worden. Aangezien de kans dat het aantal klanten hoger dan 6 is nog geen 5% is kunnen we besluiten dat in dit scenario altijd met het maximaal aantal initieel

161 5.6. Bespreking resultaten 50 open servers gewerkt wordt. Kostenscenario 2: β = 50 >> γ = 00 In het tweede kostenscenario wordt de kost per eenheid wachten gelijkgesteld aan 50. Niet enkel de kost voor het laten wachten van de klant wordt in rekening gebracht, maar tevens het verlies aan opbrengst voor het systeem. Een klant te lang laten wachten zal er namelijk voor zorgen dat deze klant niet loyaal blijft aan het systeem. Aangezien het laten wachten van de klant duurder is, zal het systeem de wachttijd willen beperken. Een lagere drempelwaarde in vergelijking met vorig kostenscenario is weliswaar niet mogelijk. Er mag verwacht worden dat het systeem in dit kostenscenario ook zal werken met een optimale drempelwaarde T = 7. Figuur 5.25: Totale kostengrafiek Op figuur 5.25 zijn de totale kosten uitgezet per drempelwaarde. De optimale drempelwaarde en de minimale kosten zijn opnieuw te vinden bij de laagst mogelijke drempelwaarde T = 7. De totale minimale kost ligt wel veel hoger dan in het vorig kostenscenario. Figuur 5.26: Verschil tussen de totale wachtkost en de totale serverkost Op figuur 5.26 zien we de totale kosten opgesplitst in de totale wachtkost en de totale serverkost. De totale serverkost blijft zelfs bij deze zeer hoge kost per eenheid wachten de totale wachtkost overtreffen bij elke drempelwaarde. De hogere kost per eenheid wachten zorgt

162 5.6. Bespreking resultaten 5 er wel voor dat de totale wachtkost sneller toeneemt. Hierdoor neemt de totale kostencurve ook sneller toe. Conclusie Net als in vorig scenario bekijken we ook nu weer wat de invloed is van een groter aantal servers bij een gelijkblijvende initiële en maximale capaciteit. Nu willen we conclusie trekken uit het verschil tussen scenario s 2 en 4. Het maximaal aantal open servers speelt duidelijk een invloed op de optimale drempelwaarde. Dit komt uiteraard doordat in elk scenario de optimale drempelwaarde de laagst mogelijke drempelwaarde is. Deze laagst mogelijk drempelwaarde wordt natuurlijk bepaald door het maximaal aantal open server, aangezien T >. Hoe wel in beide scenario dus de laagste mogelijk drempelwaarde de optimale drempelwaarde is, is door het grote verschil tussen het maximaal open servers in beide scenario s, ook het verschil tussen de optimale drempelwaarde groot. Als tweede heeft het aantal servers ook een invloed op de totale serverkost. Hoe groter het aantal servers, hoe groter het gemiddeld aantal open servers zal moeten zijn en hoe groter de totale serverkost. Dit komt,natuurlijk mede doordat in scenario 4 de verwerkingsintensiteit van een server kleiner is dan in scenario 2. Door de invloed op de totale serverkost, oefent het aantal server onrechtstreeks ook een invloed uit op de totale kosten. Het aantal open servers oefent in deze scenario s wel geen echt grote invloed uit op de totale wachtkost. Doordat de wachttijd in deze scenario s zo klein is, blijft de totale wachtkost steeds beperkt. Het aantal open servers heeft echter wel niet echt een grote invloed op de kans dat extra servers geopend zullen moeten worden. Net als in scenario 2 ligt ook in scenario 4 de kans dat er met extra servers gewerkt zal moeten worden zeer laag. De kans is in scenario 4 natuurlijk nog lager dan in scenario 2 omdat de optimale drempelwaarde veel hoger ligt en de het aantal klanten in de wachtrij dus veel hoger moet zijn voor er overgeschakeld zal worden. Dus via de hogere laagst mogelijk optimale drempelwaarde oefent het aantal klanten toch ook hier een invloed uit. Het is ook opvallend hoe groot het verschil is in kans om het systeem aan te treffen met 0 klanten in de wachtrij tussen beide scenario. in scenario 2 is deze kans bijna 40%, terwijl deze kans in scenario 4 nog geen 40% is. De kans o of 2 kansen in beide systemen aan te treffen ligt wel dicht bij mekaar. Voor het overige kunnen nog eens dezelfde conclusies als in de andere scenario s getrokken worden. Eerst en vooral oefent de kost per eenheid wachten geen invloed uit op de optimale drempelwaarde, maar is wel bepalend voor de hoogte van de wachtkost. Een laatste conclusie is dat bij een lage kost per eenheid wachten, het optimum zeer stabiel is. Dit komt door de beperkte stijging van de wachttijd. Dit zorgt ervoor dat zelf bij een grote afwijking van de optimale drempelwaarde stijging in de kosten zeer beperkt blijft. Als de kost per eenheid wachten echter toeneemt, daalt ook de stabiliteit van het optimum. Dit

163 5.6. Bespreking resultaten 52 wordt veroorzaakt doordat bij een hogere kost per eenheid wachten de lichte stijging van de wachttijd zwaarder gaat doorwegen Scenario s 5, 6, 7 en 8 De overige 4 scenario s worden door de gelijklopende conclusies met de eerste 4 scenario s niet grondig besproken. De belangrijkste conclusies en resultaten worden in de bijgevoegde figuur weergegeven. Figuur 5.27: Overzicht van scenario s 5, 6, 7 en 8