Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Transcriptie

1 Hoofdstuk 7 : Continue distributies als stochastische modellen Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Continue distributies als stochastische modellen p 1/34

2 Continue distributies uniforme continue verdeling exponentiële verdeling normale verdeling Continue distributies als stochastische modellen p 2/34

3 De uniforme verdeling Een continue veranderlijke X is uniform verdeeld als X slechts waarden aanneemt in het interval [a, b] en wel zodanig dat elke waarde evenveel kans heeft om voor te komen X : U(a, b) a b x 1/(b a) 0 ϕ X (x) Continue distributies als stochastische modellen p 3/34

4 Distributiefuncties ϕ X (x) dx = 0 x<a 1 b a dx a x b 0 x>b Φ X (w) = w ϕ X (x) dx = 0 w<a w a a w b b a 1 w>b Continue distributies als stochastische modellen p 4/34

5 Karakteristieken µ = + xϕ X (x) dx = b a x b a dx = a + b 2 2 = µ 2 µ 2 µ 2 = + x 2 ϕ X (x) dx = b a [ ] x 2 1 b a dx = 1 x 3 b b a 3 a = b2 + ab+ a = b2 + ab+ a 2 3 ( ) 2 a + b = 2 (b a)2 12 = b a 12 Continue distributies als stochastische modellen p 5/34

6 Samenvatting a (a + b)/2 b x 1 b a 0 ϕ X (x) µ 2 µ µ µ + µ +2 a (a + b)/2 b x Φ X (x) µ Continue distributies als stochastische modellen p 6/34

7 Voorbeeld De NMBS garandeert tussen de steden A en B een treinverbinding om het half uur Wat is de kans dat een reiziger die de precieze uurregeling niet kent langer dan 20 minuten moet wachten? Oplossing : X : wachttijd van reiziger op trein (in minuten) X : uniform in [0, 30] Φ X (x) = x a b a = x 30 P(X >20) = 1 P(X 20) = 1 Φ X (20) = = 1 3 Continue distributies als stochastische modellen p 7/34

8 De exponentiële verdeling De exponentieel verdeelde veranderlijke T is de continue veranderlijke die de wachttijd beschrijft tussen twee optredens van het verschijnsel A op voorwaarde dat de veranderlijke I, die het aantal optredens van A beschrijft in een bepaalde tijdseenheid, een Poisson-verdeling bezit Continue distributies als stochastische modellen p 8/34

9 Distributiefuncties λt (λt)i ϕ I (i) =P i (t) =e i! i =0, 1, P i (t) =P(A treedt i keer op in tijdsduur t) ϕ T (t)dt = P(A treedt eerste keer op in [t, t +dt]) = P 0 (t) P 1 (dt) =P 0 (t) λ dt = λe λt dt 0 t<0 ϕ T (t)dt = λe λt dt t 0 w 0 w<0 Φ T (w) = ϕ T (t)dt = 0 1 e λw w 0 Continue distributies als stochastische modellen p 9/34

10 Karakteristieken µ = µ 2 = = 1 λ + = 1 λ tϕ T (t) dt = + 0 λte λt dt + we w dw = 1 w d ( e w) λ 0 + ] e w dw = 1 + λ e w [ we w + 0 t 2 ϕ T (t) dt = λt 2 e λt dt 0 = 1 λ = 1 + w 2 e w dw = 1 + w 2 de w λ 2 0 λ 2 0 = 1 [ w 2 e w + + ] 2 e w w dw = 2 λ 2 λ µ = 2 λ 2 2 = µ 2 µ 2 = 1 λ 2 = = 1 λ Continue distributies als stochastische modellen p 10/34

11 Distributiefuncties ϕ T (t) 2 λ = Φ T (w) 1 λ =1 λ = t w µ T = 1 λ T = 1 λ Continue distributies als stochastische modellen p 11/34

12 Voorbeeld De tijd tussen twee reparaties van een copieermachine is exponentieel verdeeld is met λ =002/dag (i) Wat is de kans dat er meer dan 60 dagen zullen verstrijken vooraleer een reparatie nodig is? (ii) Wat is de kans dat er meer dan µ +2 tijd zal verstrijken vooraleer een reparatie nodig is? Oplossing : X : het aantal dagen tussen twee reparaties van die machine X : exponentieel verdeeld met λ =002 (i) P(X >60)= e 60 λ = e 12 =0301 (ii) µ = = 1 =50= P(X >µ+2) =P(X >150) λ = e 150 λ = e 3 =00498 Continue distributies als stochastische modellen p 12/34

13 De normale verdeling De continue toevalsveranderlijke X is normaal verdeeld met gemiddelde waarde µ en standaardafwijking asa ϕ X (x) dx = 1 2π e 1 2( x µ ) 2 dx, x + Φ X (w) = 1 2π w e 1 2( x µ ) 2 dx, w + Φ X (+ ) = 1 2π + e 1 2( x µ ) 2 dx =1 X : N(µ, ) Continue distributies als stochastische modellen p 13/34

14 De normale verdeling ϕ X (x) 1 2π1 N(µ 1, 1 ) N(µ 2, 1 ) 1 2π2 N(µ 2, 2 ) µ 1 µ 2 x ϕ X (x) dx = 1 2π e 1 2( x µ ) 2 dx x + Continue distributies als stochastische modellen p 14/34

15 De normale verdeling 04 = =2 = Continue distributies als stochastische modellen p 15/34

16 De standaard normale verdeling Onder alle normale distributies onderscheiden we een heel belangrijke distributie, nl de standaard normale verdeling Dit is de verdeling van een N(0, 1) veranderlijke De standaard normaal verdeelde veranderlijke is de normaal verdeelde veranderlijke met waarschijnlijkheidsdichtheid ψ(z) waarvoor ψ(z) dz = 1 2π e 1 2 z2 dz, z + Ψ(w) = 1 2π w e 1 2 x2 dx, x + Continue distributies als stochastische modellen p 16/34

17 De normale verdeling Φ X (w) = z= x µ = 1 w 2π w µ 1 2π e 2( 1 x µ ( ) w µ Φ X (w) =Ψ ) 2 dx ( ) e 1 w µ 2 z2 dz =Ψ Kennen we de kansverdeling van één enkele normale verdeling (bvb de standaard normale verdeling) dan kennen we ze van alle andere normale verdelingen Continue distributies als stochastische modellen p 17/34

18 P(x 1 X x 2 ) als X : N(µ, ) ϕ X (x) 0 x µ N(µ, ) x 1 x 2 ψ ( x µ ) x µ 0 N(0, 1) x 1 µ x 2 µ P(x 1 X x 2 ) = Φ X (x 2 ) Φ X (x 1 ) = Ψ ( x2 µ ) Ψ ( x1 µ ) = P ( x1 µ X µ x 2 µ ) Continue distributies als stochastische modellen p 18/34

19 De normale verdeling Ψ( w) =1 Ψ(w) ψ(x) N(0, 1) Ψ(w 0 ) Ψ(w 0 ) w 0 0 w 0 Φ X (2 µ w) =1 Φ X (w) x ϕ X (x) N(µ, ) Φ X (w 0 ) Φ X (w 0 ) 0 w 0 µ 2 µ w 0 x Continue distributies als stochastische modellen p 19/34

20 Ψ(w) in tabelvorm w = Continue distributies als stochastische modellen p 20/34

21 Karakteristieken µ = 1 2π + xe 1 2( x µ ) 2 dx 2 = 1 + (x µ) 2 e 1 2( x µ ) 2 dx 2π M X (t) = 1 2π + e tx e 1 2( x µ ) 2 dx = e µt+ 2 t 2 2 Continue distributies als stochastische modellen p 21/34

22 Procentwaarden P(x 1 <X x 2 )=Φ X (x 2 ) Φ X (x 1 )=Ψ ( x2 µ ) ( ) x1 µ Ψ Bijzonder geval : ]x 1,x 2 ]=]µ a, µ+ a] P(µ a <X µ+a)=p( X µ <a)=ψ(a) Ψ( a) = P( X µ <a)=ψ(a) (1 Ψ(a)) = 2 Ψ(a) 1 = P( X µ >a)=1 (2 Ψ(a) 1) = 2 (1 Ψ(a)) Continue distributies als stochastische modellen p 22/34

23 Procentwaarden P( X µ <a)=ψ(a) Ψ( a) =2Ψ(a) 1 a Ψ(a) Ψ( a) P( X µ <a) Continue distributies als stochastische modellen p 23/34

24 Chebyshev normale verdeling k 1 1 k 2 P( X µ <k) / /9 099 Continue distributies als stochastische modellen p 24/34

25 De standaard normale verdeling ϕ X (x) ẋ 99% ϕ X (x) ẋ 95% ϕ X (x) ẋ 68% Continue distributies als stochastische modellen p 25/34

26 De normale verdeling Φ X (w) µ 2 µ µ µ+ µ+2 Continue distributies als stochastische modellen p 26/34 ẇ

27 Procentwaarden Bepaal a zodat P( X µ >a)= p 100 a : p-procentwaarde λ p van de normale verdeling P( X µ >λ p )=2(1 Ψ(λ p )) = p 100 Ψ(λ p)=1 p/2 100 Ψ(λ 5 )=0975 = λ 5 =Ψ 1 (0975) 196 Ψ(λ 10 )=095 = λ 10 =Ψ 1 (095) 164 Continue distributies als stochastische modellen p 27/34

28 Eigenschappen Is X een N(µ, ) verdeelde veranderlijke, dan is de veranderlijke Y = ax + b een N(aµ+ b, a ) veranderlijke X : N(µ, ) Z = X µ : N(0, 1) Continue distributies als stochastische modellen p 28/34

29 Eigenschappen Indien de n veranderlijken X i een normale verdeling N(µ i, i ) bezitten, dan is de veranderlijke n i=1 a i X i ook normaal verdeeld met n a i X i : N i=1 n a i µ i, i=1 n i=1 n 1 a 2 i 2 i +2 i=1 n a i a i ij Indien de n onafhankelijke veranderlijken X i een normale verdeling N(µ i, i ) bezitten, dan is de veranderlijke n i=1 a i X i ook normaal verdeeld met n n a i X i : N a i µ i, n i=1 i=1 i=1 a 2 i 2 i j=i Continue distributies als stochastische modellen p 29/34

30 Toepassing n a i X i : N n a i µ i, n a 2 i 2 i i=1 i=1 i=1 µ X = n j=1 X = 1 n n X j X j : N(µ, ) j=1 a j = 1 n µ j = µ j = 1 n n µ = µ j=1 X : 1 n n = µ 2 = X N ( µ, ) n j=1 ( ) = 2 n n Continue distributies als stochastische modellen p 30/34

31 De centrale limietstelling De distributie van de som van n veranderlijken nadert tot de normale verdeling voor n + Voorwaarden : geen enkele veranderlijke mag domineren en de veranderlijken moeten grotendeels onderling onafhankelijk zijn De centrale limietstelling verklaart het veelvuldig optreden van normaal verdeelde toevalsveranderlijken in de natuur Continue distributies als stochastische modellen p 31/34

32 De centrale limietstelling Gevolg : Het steekproefgemiddelde X van een steekproef van grootte n uit een universum corresponderend met een willekeurig verdeelde toevalsveranderlijke X met gemiddelde waarde µ en dispersie is in de limiet voor n + normaal verdeeld met gemiddelde waarde µ X = µ en standaardafwijking X = n X = 1 n n j=1 X j X j :(µ, ) µ X = µ 2 X = 2 n X : N ( µ, ) n Continue distributies als stochastische modellen p 32/34

33 De verdeling van X N(0, 1) U(0, 1) exp µ = m = m = m = m =25 Continue distributies als stochastische modellen p 33/

34 De binomiale verdeling Indien een veranderlijke I een binomiale verdeling bezit met parameter θ en gemiddelde waarde µ = nθ, dan zal de distributie van I in de limiet voor n + normaal verdeeld zijn met dezelfde gemiddelde waarde en standaardafwijking x ϕ X (x) ϕ I (i) I X : N(125, 25) I : n =25 θ =05 Richtlijn : de normale benadering is toegelaten als [µ 2, µ + 2] [0, n] Continue distributies als stochastische modellen p 34/34