Eindhoven University of Technology BACHELOR. Wachtrijsystemen met toestandsafhankelijke bedieningssnelheid. Schutte, Mattijn.

Transcriptie

1 Eindhoven University of Technology BACHELOR Wachtrijsystemen met toestandsafhankelijke bedieningssnelheid Schutte, Mattijn Award date: 2008 Link to publication Disclaimer This document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Student theses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the document as presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the required minimum study period may vary in duration. General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

2 Bachelorproject 2J008 Wachtrijsystemen met toestandsafhankelijke bedieningssnelheid Mattijn Schutte ( ) Begeleider: Prof. dr. ir. O.J. Boxma 5 augustus 2008

3 Samenvatting Het doel van het project is het analyseren van een wachtrijsysteem met één bedieningsstation, waarbij de bedieningssnelheidtijd afhangt van het aantal klanten in het systeem. Wanneer het aantal klanten stijgt tot boven een bepaalde waarde N, verandert de bedieningssnelheid van snelheid µ 1 naar µ 2, waarbij µ 1 < µ 2. Dit blijft zo totdat het aantal klanten N is of minder. Dan gaat de bedieningssnelheid weer over in µ 1. Allereerst wordt gekeken naar wat hierover in de literatuur bekend is. Hierbij komt een aantal interessante varianten aan bod zoals het vakantiemodel waarbij de server, zodra het systeem leeg is, een vakantie neemt en een bepaalde periode niet werkt. Dit duurt voort totdat het er weer N klanten aanwezig zijn. Het blijkt dat hierbij het aantal klanten verdeeld is volgens de som van twee onafhankelijke toevalsvariabelen. Verder komt in dit verslag mijn eigen onderzoek aan bod. Hierbij wordt het Omschakel model, zoals hierboven staat beschreven, vergeleken met het Hysterese model. Dit Hysterese model is een uitbreiding van het Omschakel model met als verschil dat de bedieningssnelheid teruggaat van µ 2 naar µ 1 wanneer het aantal klanten is gedaald tot Q N. Wanneer deze twee modellen aan de hand van een kostenfunctie met elkaar vergeleken worden, blijkt dat het Hysterese model de kosten aanzienlijk verlaagt. 2

4 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Wachtrijsystemen met toestandsafhankelijke parameters Overzicht wachtrijsystemen Toestandsafhankelijke bedieningssnelheid Afhankelijkheid van de lengte van de wachtrij Afhankelijkheid van de hoeveelheid werk Gedetailleerde bespreking van drie modellen Model van Tijms en Federgruen Model van Bekker, Boxma en Resing Vakantiemodel Eigen onderzoek Eerste model: het Omschakel model Tweede model: het Hysterese model De situatie Q = N De algemene situatie Vergelijking van de twee modellen Conclusie 36 A Mathematica broncodes 37 A.1 Code voor de verdelingsfunctie van het Hysterese model A.2 Code voor de kostenfuncties A.2.1 Kostenfunctie voor het Omschakel model A.2.2 Kostenfunctie voor het Hysterese model

5 1 INLEIDING 1 Inleiding Overal in het dagelijks leven komen wachtrijen voor: wachtrijen bij de kassa van de supermarkt of voor de lift, wachtrijen van auto s voor het stoplicht, maar ook wachtrijen van jobs bij een computer-processor of wachtrijen van productie-onderdelen bij een machine in een fabriek. Op zulke laatste wachtrijen richten we ons in dit project. Hierbij kijken we naar een wachtrijsysteem, waarbij de machine twee bedieningssnelheden kent die afhangen van het aantal klanten in het systeem. Voordat zo n specifiek wachtrijmodel met verschillende bedieningssnelheden wordt beschreven, wordt allereerst een overzicht gegeven van wachtrijsystemen met toestandsafhankelijke parameters. Deze systemen zijn in een aantal categorieën te verdelen. In hoofdstuk 2 zal gekeken worden naar twee soorten systemen. Bij het eerste wordt de toestand bepaald door het aantal klanten in het systeem. Bij het tweede wordt de toestand bepaald door de hoeveelheid werk. In het vervolg van dit verslag wordt de situatie bestudeerd wanneer een van deze twee toestanden de bedieningssnelheid bepaalt. Op dit gebied is door verschillende wiskundigen onderzoek gedaan. Een selectie hiervan wordt in hoofdstuk 3 beschreven. In hoofdstuk 4 komt het eigen onderzoek aan bod waarbij twee modellen met elkaar worden vergeleken. Dit zijn het Omschakel model en het Hysterese model. Deze modellen kenmerken zich doordat ze twee bedieningssnelheden hebben die afhankelijk zijn van het aantal klanten in het systeem. Van beide modellen wordt de verdeling van evenwichtskansen uitgerekend. Dit zorgt er uiteindelijk voor dat beide modellen met behulp van een kostenfunctie vergeleken kunnen worden. Dit gebeurt in paragraaf 4.3. Om de verdeling van het Hysterese model te berekenen is er een Mathematicaprogramma geschreven. De broncode hiervan is te vinden in Appendix A.1 en A.2. 4

6 2 WACHTRIJSYSTEMEN MET TOESTANDSAFHANKELIJKE PARAMETERS 2 Wachtrijsystemen met toestandsafhankelijke parameters In dit verslag beperken we ons tot wachtrijsystemen van het type M/G/1 met toestandsafhankelijke parameters. Deze groep valt verder op te splitsen in drie kleinere groepen, zoals beschreven wordt in paragraaf Overzicht wachtrijsystemen In Dshalalow [1] worden zeer veel verschillende wachtrijsystemen met toestandsafhankelijke parameters beschreven. Deze kunnen ruwweg in drie groepen worden verdeeld: wachtrijsystemen met parameters die afhangen van de lengte van de wachtrij, van de hoeveelheid werk en van de aankomsttijden. Bij parameters die afhangen van de lengte van de wachtrij worden verschillende subcategorieën genoemd waarop de parameters invloed kunnen hebben. Dit zijn onder andere: de input, de bedieningssnelheid, de tijd dat het station bezig is, de tijd dat het station niet bezig is en combinaties hiervan. Voor het model dat we gaan bekijken bij dit bachelorproject is de invloed op de bedieningssnelheid van belang. parameters die afhangen van de lengte van de wachtrij invloed op de input invloed op de bediening invloed op de tijd dat een station bezig is invloed op de tijd dat een station niet bezig is combinaties hiervan parameters die afhangen van de werklast parameters die afhangen van de onderlinge afhankelijkheid tussen de input en de service Bij de bedieningssnelheid die afhankelijk is van het aantal klanten in het systeem worden twee gevallen onderscheiden. In het eerste geval hangt het 5

7 2 WACHTRIJSYSTEMEN MET TOESTANDSAFHANKELIJKE PARAMETERS bedieningsproces continu af van het wachtrijproces. Dus de bedieningsintensiteit µ hangt af van het aantal klanten in het systeem Q(t) op tijdstip t en we kunnen schrijven µ = µ(q(t)). In het tweede geval varieert de bedieningssnelheid alleen op specifieke tijdstippen zoals op het moment dat een bediening voltooid is. Dit wordt respectievelijk ic-afhankelijkheid en sd-afhankelijkheid genoemd. Bij de bedieningssnelheid die afhankelijk is van de hoeveelheid werk geldt eenzelfde onderscheid. De bedieningssnelheid µ = µ(v t )) hangt of continu af van de hoeveelheid onvoltooid werk of kan slechts op specifieke tijdstippen variëren. In dit verslag kijken we naar bedieningssnelheden die slechts op specifieke tijdstippen kunnen veranderen. Meestal zijn dit de aankomsttijdstippen van de aankomende klanten. 2.2 Toestandsafhankelijke bedieningssnelheid Zoals in het vorige hoofdstuk werd aangegeven, kan de toestand invloed hebben op verschillende parameters. In dit verslag zal echter alleen gekeken worden naar de invloed op de bedieningssnelheid. We maken hiervoor onderscheid tussen twee gevallen. In het eerste geval hangt de bedieningssnelheid af van de lengte van de wachtrij en in het tweede geval hangt de bedieningssnelheid af van de hoeveelheid werk Afhankelijkheid van de lengte van de wachtrij Er zijn verschillende wachtrijsystemen te bedenken waarbij de bedieningssnelheid afhangt van de lengte van de wachtrij en alleen op specifieke tijdstippen verandert. De meerderheid hiervan is van het type M/G/1. In Dshalalow [1] wordt alleen dit type behandeld. Verder wordt de volgende notatie gebruikt: T = {T 0 = 0, T 1, T 2,...} is de rij van tijdstippen van voltooide bedieningen en {B 0, B 1,...} de rij van willekeurige kansdichtheidsfuncties met eindige gemiddelden {b 0, b 1,...}. Hierbij geldt dat gegeven Q n = Q(T n ) = i, de (n + 1) ste bediening is verdeeld volgens B i. De aankomst is Poisson met intensiteit λ en verder wordt de kansgenererende functie gegeven door a(u) en is de gemiddelde batchgrootte gelijk aan α. Voor de Markov-keten Q n kan de overgangsmatrix P bepaald worden, waaruit de evenwichtsverdeling π(u) berekend kan worden. Deze blijkt π(u) = P (u) te zijn. Zonder verdere 6

8 2 WACHTRIJSYSTEMEN MET TOESTANDSAFHANKELIJKE PARAMETERS beperkingen voor de B i s is echter geen analytische vorm voor P (u) te vinden. Dit kan worden opgelost door aan te nemen dat B i = B voor i M. Veel wiskundige artikels zijn hierover geschreven en vaak brengen ze het model terug tot een model met een of twee regel-niveaus. Regel-niveau L betekent dat de bedieningstijd van een klant verdeeld is volgens B L gegeven dat de lengte van de wachtrij L was direct nadat de vorige bediening voltooid was. Zo n systeem met een regel-niveau heeft twee bedieningsfasen met kansdichtheidsfunctie B 0 =... = B L 1 en B L = B L+1 =... en één schakelaar. Suzuki and Ebe [2] optimaliseerden deze waarde L voor een model met een snelle en langzame bedieningssnelheid. Een andere variant heet de H(ysterese)-strategie, waarbij er niveaus L en M( L) zijn. Als de lengte van de wachtrij lager wordt dan L dan wordt overgeschakeld op bedieningsfase 1. Komt de lengte van de wachtrij boven M uit dan wordt omgeschakeld naar bedieningsfase 2. Dit model heeft het grote voordeel dat wanneer de wachtrijlengte dreigt te oscilleren rond een bepaalde waarde, het aantal omschakelingen beperkt blijft. Dit model wordt gebruikt in M/M/1 systemen maar levert in M/G/1 een keten Q n op die niet Markov is. Een ander model gaat uit van de N-strategie, dit betekent dat een server pas begint te werken zodra er N klanten in het systeem zijn. De server werkt vervolgens door totdat het systeem leeg is. In Dshalalow [1] worden alleen situaties met batches met gemiddelde grootte r behandeld. Systemen met N-strategie hebben als voordeel dat het aantal omschakelingen wordt verminderd. Deze gaan vaak gepaard met opstarttijden/kosten. Echter gaan de kosten voor de hoeveelheid werk en wachttijden omhoog wanneer de server niet werkt. Het is interessant om de juiste waarde van N te vinden die de kosten minimaliseert. Een combinatie van q en N, genoemd de (q, N)- strategie, is weer een voorbeeld van een hysterese model. Hierbij bepaalt q wanneer de server stopt met werken en N wanneer de server gaat werken Afhankelijkheid van de hoeveelheid werk Bij M/G/1 wachtrijen met toestandsafhankelijke parameters hangt de bedieningssnelheid alleen op aankomsttijdstippen af van de hoeveelheid onvoltooid werk v t op tijdstip t. Dit kan als volgt worden opgevat: Als een klant op tijdstip t arriveert en S eenheden van bedieningstijd nodig heeft, dan is P{S x v t } = B(x, v t ) met kansdichtheidsfunctie b(x, v t ) = / xb(x, v t ). Daarom hangt de bedieningstijd alleen op aankomsttijdstippen af van de werklast. Dus v t blijft een Markov-proces zoals het in het gewone M/G/1 7

9 2 WACHTRIJSYSTEMEN MET TOESTANDSAFHANKELIJKE PARAMETERS geval was. Dit is bestudeerd door Tijms [3]. De N-strategie is verwant aan de D-strategie. Onder de D-strategie begint een server pas te werken wanneer de werklast minimaal D is. Hierover zijn minder artikels geschreven. Balachandran en Tijms [4] bestudeerden de kosten van een M/G/1 model met D-strategie. Zij maakten onderscheid tussen twee soorten kosten: omstelkosten en opslagkosten. Er wordt een bedrag betaald voor iedere omschakeling (een grote waarde van D is dan wenselijk). En de opslagkosten vormen een constante waarde per eenheid van onvoltooid werk (hiervoor is in tegenstelling tot de omstelkosten juist een lage waarde voor D wenselijk). Zij leidden een formule af om de optimale waarde van D te bepalen, die de gemiddelde kosten minimaliseert. Gebaseerd op speciale gevallen werd het vermoeden uitgesproken dat de D-strategie superieur is aan de N-strategie. Dit vermoeden werd bewezen door Boxma [5] in Interessant is dat wanneer de opslagkosten worden bepaald per tijdseenheid die een klant in het systeem zit, in plaats van per tijdseenheid dat een klant wacht, de resultaten significant veranderen. Nu blijkt de D-strategie niet meer superieur te zijn aan de N-strategie. Kennis van de verdeling van de wachttijd is cruciaal voor het verkrijgen van de gemiddelde kostenfuncties, zeker wanneer de opslagkosten niet lineair zijn. Wachttijden in M/G/1 systemen met N-strategie zijn bestudeerd in Shanthikumar [6]. De verdeling van het wachttijdproces kan als volgt worden gedefinieerd: 1 P{w x} = lim n n n I [0,x] (w i ), waarbij I A de indicatorfunctie is van de verzameling A en w i is de wachttijd van de i de klant. Deze definitie is als volgt te interpreteren: 1/n is de kans dat je willekeurig een van de eerste n klanten kiest and I [0,x] (w i ) is de conditionele kans voor de i de klant, dat als hij geselecteerd wordt, hij een wachttijd had die minder is dan x. Daarom geeft dit voor n de verdeling van de wachtrij van een willekeurige klant. i=1 8

10 3 GEDETAILLEERDE BESPREKING VAN DRIE MODELLEN 3 Gedetailleerde bespreking van drie modellen In dit hoofdstuk worden drie modellen besproken. Allereerst is dit het model van Tijms en Federgruen [7]. Zij behandelen een model waarbij de bedieningssnelheid afhangt van de lengte van de wachtrij. Hierin kan de bedieningssnelheid op twee omschakelmomenten veranderen. Het tweede model dat in dit hoofdstuk wordt besproken, is dat van Bekker, Boxma en Resing [8]. Hierin kan een server met twee bedieningssnelheden werken die afhangen van of het aantal klanten in het systeem, of de hoeveelheid werk. Tenslotte wordt het vakantiemodel besproken, waarbij de server bij een leeg systeem een vakantie neemt van een bepaalde duur. 3.1 Model van Tijms en Federgruen In Tijms en Federgruen [7] wordt een wachtrijmodel beschreven waarbij de bedieningssnelheid afhangt van de lengte van de wachtrij. Hierbij zijn er twee servicetypen k = 1, 2 en twee omschakelmomenten R 1 en R 2 zodanig dat 0 R 2 R 1. Het serviceniveau schakelt van type 1 naar type 2 wanneer het aantal klanten boven de waarde R 1 uitkomt. Dit blijft zo totdat het aantal klanten daalt tot onder de waarde R 2, dan gaat het type weer over in type 1. Bij type k hoort een bedieningstijd die verdeeld is met verdelingsfunctie F k. In feite is dit een uitbreiding van het model dat bij het eigen onderzoek in dit verslag zal worden behandeld. In dat model geldt namelijk dat R 1 = R 2 = K en zijn de bedieningen exponentieel verdeeld. De volgende stochastische variabelen worden gedefinieerd: T = het volgende tijdstip waarop een klant aankomt en de server niet bezig is. N = het aantal klanten dat wordt bediend in de cyclus (0,T ]. T k (i) = de hoeveelheid tijd dat er i klanten in het systeem zijn en servicetype k gebruikt wordt in de cyclus (0,T ]. N k (i) = het aantal keer dat de vertrekkende klant i klanten achterlaat en werd bediend met servicetype k in de cyclus (0,T ]. S k = de bedieningstijd bij servicetype k die verdeeld is volgens verdelingsfunctie F k. 9

11 3 GEDETAILLEERDE BESPREKING VAN DRIE MODELLEN We nemen aan dat ES 1 < en λes 2 < 1. Verder wordt p k (i, t) gedefinieerd als de kans dat op tijdstip t er i klanten in het systeem worden bediend met servicetype k en p(0, t) is de kans dat het station niet bezig is op tijdstip t. Met behulp van de theorie van regenerative processen en de eindigheid van ET is te vinden dat de limieten voor t bestaan. We noemen ze resp. p(0) en p k (i). Deze kansen worden gegeven door p(0) = 1/λ ET en p k (i) = ET k(i), i 1, k = 1, 2. (1) ET Dit is te zien door p(0) te interpreteren als de fractie van de tijd dat het station niet bezig is en p k (i) als de fractie van de tijd dat er i klanten in het systeem zitten terwijl servicetype k gebruikt wordt. Verder geldt dat i=0 p(i) = 1, waarbij p(i), voor i 1, gedefinieerd wordt door En er geldt de volgende belangrijke relatie: p(i) = p 1 (i) + p 2 (i). (2) p(i) = EN 1(i) + EN 2 (i), i = 0, 1,... (3) EN Hierbij is p(i) te zien als de verwachte fractie van klanten op de lange termijn die i klanten aantreffen wanneer ze bij het systeem aankomen. Verder geldt dat EN/ET gelijk is aan het gemiddelde aantal klanten dat per tijdseenheid wordt bediend op de lange termijn. Dus er geldt: EN = λet. (4) Met behulp van vergelijkingen (1) - (4) en enige relaties uit Tijms en Federgruen [7] kunnen ET 1 (i) en ET 2 (i) worden uitgedrukt in termen van EN 1 (j) en EN 2 (j), voor j = 0, 1,... en i 1. Vervolgens wordt in Tijms en Federgruen [7] uitgelegd hoe uit deze vergelijking recursief en numeriek de kansen p(i) kunnen worden bepaald. Voor een gedetailleerde beschrijving hiervan, verwijs ik naar Tijms en Federgruen [7]. 3.2 Model van Bekker, Boxma en Resing In Bekker, Boxma en Resing [8] worden wachtrijmodellen beschreven waarin de server op twee verschillende snelheden kan werken. De snelheid van de server hangt af van het aantal klanten of van de werklast. Het hoofddoel is 10

12 3 GEDETAILLEERDE BESPREKING VAN DRIE MODELLEN het onderzoeken van het model waarin de bedieningssnelheid alleen aangepast wordt op de aankomstmomenten van een Poisson waarnemer. We hebben te maken met een Poisson aankomstproces met intensiteit λ. De bedieningstijden van klanten zijn onafhankelijk, exponentieel verdeeld met parameter µ. We definiëren ρ i = λ/µ i met µ i = µr i voor i = 1, 2. Aangenomen wordt dat ρ 2 < 1, zodat het systeem stabiel is. De bedieningssnelheid wordt verhoogd van r 1 naar r 2, wanneer het aantal klanten van K naar K + 1 gaat. Met X(t) wordt het aantal klanten in het systeem op tijdstip t aangegeven. Met Y (t) wordt de toestand van de server op tijdstip t aangegeven. Dus Y (t) = i wanneer de server met snelheid r i, i = 1, 2 werkt op tijdstip t. Nu is (X, Y ) een toevalsvector met de verdeling van het continue Markov-proces {X(t), Y (t)} t 0. Dit levert de volgende toestandsruimte op: S = {(0, 1),..., (K, 1)} {(K + 1, 2), (K + 2, 2),... }. (5) Wanneer er K klanten of minder in het systeem zijn, gedraagt het systeem zich als een M/M/1/K wachtrijsysteem met snelheid r 1. Zijn er meer dan K klanten, dan gedraagt het zich als een M/M/1 systeem met snelheid r 2. Met π(k, i) wordt de kans P ((X, Y ) = (k, i)) aangegeven. Nu kunnen de balansvergelijkingen λπ(k, 1) = µ 2 π(k + 1, 2) worden opgesteld. Deze leiden tot een uitdrukking voor de kansverdeling π(k, i): π(k, 1) = C 1 ρ k 1, k = 0,..., K. (6) π(k + k + 1, 2) = C 2 ρ k 2, k = 0, 1,... (7) Voor {(0, 1),..., (K, 1)} kent dit een geometrisch gedrag met parameter ρ 1 en voor {(K + 1, 2), (K + 2, 2),...} een geometrisch gedrag met parameter ρ 2. Wanneer de bedieningssnelheid alleen kan veranderen bij een aankomst van een klant is de toestandsruimte: S = {(0, 1),..., (K, 1)} {(0, 2),..., (K, 2)} {(K +1, 2), (K +2, 2),... }. (8) Ook hier kent de kansverdeling weer een geometrisch gedrag. Behalve naar snelheidsveranderingen wanneer een klant aankomt of vertrekt, wordt in dit artikel ook gekeken naar snelheidsveranderingen op aankomstmomenten van een Poisson waarnemer. Voor het geval dat de bedieningssnelheid afhangt van de hoeveelheid werk kan een soortgelijk model worden opgesteld. Dit wordt gedaan voor de 11

13 3 GEDETAILLEERDE BESPREKING VAN DRIE MODELLEN M/M/1 wachtrij. De server werkt met snelheid r 1 zolang de totale hoeveelheid werk minder dan K is. Wordt deze meer dan K dan gaat de server over op snelheid r 2. Ook hier is het mogelijk dat de server nog steeds met r 2 werkt terwijl de hoeveelheid werk alweer gedaald is tot onder de waarde K. Dit komt omdat de snelheid op speciale tijdstippen wordt aangepast. Met V (t) wordt de hoeveelheid werk aangeduid. Nu krijgen we de volgende toestandsruimte: S = {(x, 1) : 0 x K} {(x, 2) : x > K}. (9) Met f i (x) wordt de kansdichtheid van V gegeven: f i (x) = P(V (x, x + dx) Y = i). Nu krijgen we dat wanneer de werklast minder is dan K het systeem zich gedraagt als een M/M/1 model met snelheid r 1. Is de werklast groter dan K dan gedraagt het systeem zich als M/M/1 met snelheid r 2. Hieruit valt af te leiden dat de kansdichtheidfuncties exponentieel zijn met exponent µ(1 ρ 2 )x respectievelijk µ(1 ρ 1 )x. Ook nu weer wordt gekeken naar wat er gebeurt wanneer de snelheidsveranderingen plaatsvinden op aankomstmomenten. We krijgen de toestandsruimte: S = {(x, 1) : 0 x K} {(x, 2) : 0 x K} {(x, 2) : x > K}. (10) Dit levert wederom een exponentiële kansdichtheidsfunctie op. Ook nu wordt weer bekeken wat er gebeurt wanneer de snelheidsveranderingen plaatsvinden door een externe waarnemer. 3.3 Vakantiemodel In deze paragraaf bekijken we een M/G/1 wachtrijsysteem met een zogenaamd vakantiemodel. Hierbij begint de server, iedere keer als het systeem leeg is, een vakantie van een bepaalde willekeurige duur waarin niet gewerkt wordt. Als de server bij terugkomst één of meer klanten aantreft, begint hij weer te werken. Dit gaat net zo lang door totdat het systeem leeg is, dan begint weer een nieuwe vakantie. We nemen aan dat de lengtes van de vakanties onafhankelijk en identiek zijn verdeeld. Ook zijn deze vakantieperiodes onafhankelijk van het aankomstproces en van de bedieningstijden van de klanten. In Fuhrmann [9] wordt een belangrijk resultaat gegeven over het aantal klanten in het systeem. 12

14 3 GEDETAILLEERDE BESPREKING VAN DRIE MODELLEN Het aantal klanten in het systeem op een willekeurig tijdstip in de evenwichtssituatie is verdeeld volgens de som van twee onafhankelijke toevalsvariabelen: Het aantal Poisson aankomsten gedurende het tijdsinterval dat is verdeeld volgens de resterende tijd van een vakantie in de evenwichtssituatie. Het aantal klanten dat aanwezig is op een willekeurig tijdstip in de evenwichtssituatie in het corresponderende standaard M/G/1 wachtrijmodel (d.w.z. geen vakanties, maar wel dezelfde aankomstintensiteit en bedieningstijd) Dit resultaat was al door verschillende wiskundigen ontdekt. Maar in Fuhrmann [9] wordt niet alleen dit resultaat vermeld, maar wordt hier voor het eerst ook een intuïtieve uitleg voor gegeven. Deze intuïtieve uitleg zorgt tegelijkertijd voor een eenvoudigere en elegantere oplossingsmethode. De essentie van deze oplossing ligt bij de keuze van de bedieningsvolgorde van de klanten. In Fuhrmann [9] wordt de volgende notatie gebruikt: λ = de aankomstintensiteit van de klanten bij het systeem. V (.) = de kansverdeling van de lengte van een vakantie. ν = de verwachting van V (.). R(.) = de kansverdeling van de lengte van de resterende tijd van een vakantie. We noemen systeem 1 het M/G/1 wachtrijsysteem met vakanties en systeem 2 het corresponderende standaard M/G/1 wachtrijsysteem. Verder is: π i (.) = de kansgenererende functie van het aantal klanten die een willekeurige vertrekkende klant achterlaat in systeem i, i = 1, 2. W i (.) = de kansverdeling van de verblijftijd (wachttijd + bedieningstijd) die een willekeurige klant ervaart in systeem i, i = 1, 2, met FIFO bedieningsvolgorde. 13

15 3 GEDETAILLEERDE BESPREKING VAN DRIE MODELLEN Tenslotte laten we Ṽ (.), R(.), W1 (.) en W 2 (.) de Laplace-Stieltjes getransformeerden zijn van V (.), R(.), W 1 (.) en W 2 (.). Omdat het systeem Poisson aankomsten heeft, kunnen we gebruik maken van de PASTA-eigenschap. PASTA staat voor Poisson Arrivals See Time Averages en betekent dat bij een Poisson aankomstproces een aankomende klant gemiddeld dezelfde situatie aantreft in een systeem als een waarnemer die van buitenaf op een willekeurig tijdstip naar het systeem kijkt. Dus π i (.) is ook gelijk aan de kansgenererende functie van het aantal klanten in systeem i, voor i = 1, 2, op een willekeurig tijdstip. Daarnaast geldt dat bij FIFO bedieningsvolgorde de klanten die een vertrekkende klant achterlaat gelijk zijn aan de klanten die aankomen tijdens de verblijfstijd van die klant. Dit levert de volgende uitdrukking op voor π i (z): π i (z) = = = z k P (k aankomsten tijdens verblijftijd W i ) k=0 z k k=0 0 0 λt (λt)k e k! e λt(1 z) dw i (t) dw i (t) = W i (λ(1 z)), i = 1, 2. (11) Dus voor π i (.) en W i (.) gelden de volgende relaties: π i (z) = W i (λ λz), i = 1, 2, (12) W i (s) = π i (1 s/λ), i = 1, 2. (13) Het belangrijke resultaat dat eerder genoemd werd, kan worden weergegeven door: of equivalent, π 1 (z) = R(λ λz)π 2 (z), (14) W 1 (s) = R(s) W 2 (s). (15) Voor vergelijking (14) wordt een intuïtieve afleiding gegeven. Hiervoor definiëren we eersteklas klanten als klanten die aankomen terwijl de server 14

16 3 GEDETAILLEERDE BESPREKING VAN DRIE MODELLEN met vakantie is. Tweedeklas klanten zijn klanten die aankomen terwijl de server bezig is. We gebruiken de volgende bedieningsvolgorde: Eersteklas klanten worden bediend in volgorde van aankomst. Nadat een eersteklas klant is bediend, wordt een tweedeklas klant bediend. Dit gaat net zo lang door totdat er geen tweedeklas klanten zijn. Op dit moment begint de server of een eersteklas klant te bedienen, of het systeem is leeg en de server begint een vakantie. We definiëren een virtuele 1-werkende periode als het tijdsinterval vanaf het moment dat de server begint te bedienen aan een eersteklas klant totdat deze eersteklas klant het systeem heeft verlaten en er geen tweedeklas klanten aanwezig zijn in het systeem. Belangrijk is dat iedere virtuele 1- werkende periode dezelfde stochastische verdeling heeft als een 1-werkende periode in het standaard M/G/1 model (systeem 2) en de verschillende virtuele 1-werkende periodes onafhankelijk zijn. We beschouwen een willekeurig uitgekozen klant op het moment dat hij het systeem verlaat. Allereerst kijken we naar de eersteklas klant die de virtuele 1-werkende periode startte, waar de uitgekozen klant toebehoort. Omdat het aankomstproces Poisson is, is het tijdstip waarop de eersteklas klant aankomt een willekeurig tijdstip in een vakantie. Het tijdsinterval vanaf het moment dat een eersteklas klant aankomt tot het eerstvolgende tijdstip dat de server terugkomt van vakantie heeft een verdeling met Laplace-Stieltjes getransformeerde R(.). De eersteklas klanten die de uitgekozen klant achterlaat zijn gelijk aan de klanten die tijdens dit interval aankomen. Dus het aantal eersteklas klanten die de uitgekozen klant achterlaat heeft kansgenererende functie R(λ λz). Nu bekijken we het aantal tweedeklas klanten dat de uitgekozen klant achterlaat. Deze tweedeklas klanten zijn aangekomen tijdens de virtuele 1- werkende periode. Aangezien deze periode dezelfde stochastische verdeling kent als de 1-werkende periode in het standaard M/G/1 proces, heeft het aantal tweedeklas klanten dat de uitgekozen klant achterlaat dezelfde verdeling als het aantal klanten dat wordt achtergelaten door een willekeurig vertrek in de standaard M/G/1 wachtrij en heeft kansgenererende functie π 2 (.). Het totaal aantal klanten dat de uitgekozen klant achterlaat is gelijk aan het aantal eersteklas klanten plus het aantal tweedeklas klanten dat hij achterlaat. Deze twee zijn onafhankelijk van elkaar en dus is π 1 (z) het product van R(λ λz) en π 2 (z) en geldt vergelijking (14). En dus geldt ook de 15

17 3 GEDETAILLEERDE BESPREKING VAN DRIE MODELLEN vergelijking W 1 (s) = R(s) W 2 (s). Tot nu toe hebben we aangenomen dat de lengtes van de vakanties onafhankelijk en identiek verdeeld zijn en onafhankelijk zijn van het aankomstproces. Hierbij hoort dus niet het model met de N-strategie waarbij de bedieningen en dus ook de vakantieperiodes wel afhangen van het aankomstproces. Maar de argumenten die gebruikt werden bij de intuïtieve afleiding kunnen ook in een algemener kader worden toegepast. Laat X n het aantal eersteklas klanten zijn dat aanwezig is wanneer de server terugkomt van de n de vakantie. En laat X de bijbehorende toevalsvariable zijn, zodanig dat P (X n = k) = P (X = k) voor alle n, k. Nu bekijken we een willekeurige eersteklas klant. De vakantie waarin deze klant aankomt noemen we de huidige vakantie. We definiëren: X = het totaal aantal (eersteklas) klanten dat aankomt tijdens de huidige vakantie. Y = het aantal (eersteklas) klanten dat aankomt tijdens de huidige vakantie maar na de willekeurig gekozen eersteklas klant arriveert. α(.) = de kansgenerende functie van X. β(.) = de kansgenerende functie van Y. Gebruik makend van het zelfde argument als hiervoor zien we dat π 1 (z) = β(z)π 2 (z). Ook nu weer geldt dat het aantal klanten dat aanwezig is in het vakantiemodel (zowel op een willekeurig vertrekmoment als op een willekeurig tijdstip) verdeeld is volgens de som van twee onafhankelijke toevalsvariabelen die beiden makkelijk te interpreteren zijn. Alleen β(z) moet nu nog worden bepaald. Hiervoor maken we gebruik van: en P (X = n) = np (X = n)/α (1), n = 1, 2,... (16) P (Y = k X = n) = 1/n, k = 0, 1, 2,..., n 1. (17) 16

18 3 GEDETAILLEERDE BESPREKING VAN DRIE MODELLEN Voor β(z) geldt nu dat: β(z) = = = = = = = P (Y = k)z k k=0 k=0 n=k+1 P (X = n)p (Y = k X = n)z k n 1 P (X = n)p (Y = k X = n)z k n=1 k=0 n 1 (np (X = n)/α (1))(z k /n) n=1 k=0 n 1 (P (X = n)/α (1)){ z k } n=1 n=1 k=0 { } 1 z (P (X = n)/α n (1)) 1 z 1 α(z) α (1)(1 z). (18) Hieruit volgt dat: π 1 (z) = 1 α(z) α (1)(1 z) π 2(z). (19) Wanneer de lengtes van de vakanties onafhankelijk van het aankomstproces zijn, dan geldt β(z) = R(λ λz) en vinden we weer vergelijking (14). Bij het model met de N-strategie is er ook sprake van een vakantiemodel. Zodra het systeem leeg is, begint de server een vakantie. Deze duurt voort totdat er N klanten aanwezig zijn. In dat geval is de kansgenererende functie α(z) = P (X = k)z k k=0 = 0 z z z N z N + 0 z N = z N. (20) En dus geldt dat π 1 (z) = 1 zn N(1 z) π 2(z). (21) 17

19 4 EIGEN ONDERZOEK 4 Eigen onderzoek In hoofdstuk 3 werden drie modellen met toestandsafhankelijke bedieningssnelheid beschreven. In dit hoofdstuk worden twee andere modellen behandeld waarbij het systeem precies twee bedieningssnelheden kent, die ook nu weer afhangen van het aantal klanten in het systeem. Dit zijn het Omschakel model en het Hysterese model. Van beide modellen wordt de kansverdeling van de evenwichtskansen bepaald. Vervolgens worden beide modellen met elkaar vergeleken aan de hand van een kostenfunctie. Deze berekent voor elk van beide modellen de opslagkosten en de kosten voor het omschakelen van de ene snelheid naar de andere. 4.1 Eerste model: het Omschakel model Het eerste model dat zal worden besproken heet het Omschakel model. Het is een M/M/1 systeem en werkt als volgt: Klanten komen volgens een Poisson aankomstproces met intensiteit λ aan bij een server die één klant tegelijkertijd kan bedienen. Wanneer het aantal klanten i in het systeem kleiner is dan een vaste waarde N, dan bedient de server met bedieningssnelheid µ 1. Zodra het aantal klanten stijgt van N naar N + 1 verandert de bedieningssnelheid van µ 1 naar µ 2 (met µ 1 < µ 2 ). Dit gaat zo door totdat het aantal klanten weer kleiner wordt dan N + 1, de snelheid verandert dan van µ 2 naar µ 1. Het toestandsdiagram van het Omschakel model is te zien in Figuur 1. Voor dit systeem geldt de stabiliteitsvoorwaarde: λ < µ 2. De stabiliteit hangt dus niet af van bedieningssnelheid µ 1. 18

20 4 EIGEN ONDERZOEK Figuur 1: Toestandsdiagram voor model 1, het Omschakel model Tussen elk tweetal toestanden dat in Figuur 1 naast elkaar ligt, geldt dat in de evenwichtssituatie het aantal overgangen van de linker toestand naar de rechter toestand gelijk is aan het aantal overgangen in de andere richting. Daarom kunnen we voor dit systeem de balansvergelijkingen opstellen. Hierbij noteren we met p i de kans dat er op een willekeurig tijdstip i klanten in het systeem zijn. De evenwichtskansen p i voldoen aan de balansvergelijkingen λp i = µ 1 p i+1, i = 0, 1,..., N 1, λp i = µ 2 p i+1, i = N, N + 1,... Voor 0 i N 1 kan p i worden uitgedrukt in p 0. Dit geeft ( ) λ i p i = p 0, i = 0, 1,..., N. (22) µ 1 Voor i > N drukken we p i eerst uit in termen van p N, dus p i = ( ) λ i N p N, i = N + 1, N + 2,.... (23) µ 2 Volgens vergelijking (22) kunnen we p N uitdrukken in termen van p 0 zodat we krijgen p i = ( ) λ i N ( ) λ N p 0, i = N + 1, N + 2,.... (24) µ 2 µ 1 Nu zijn alle evenwichtskansen uitgedrukt in termen van p 0. Deze enige onbekende is te achterhalen door gebruik te maken van de normalisatievergelijking i=0 p i = 1 zodat de som van alle evenwichtskansen uit vergelijking 19

21 4 EIGEN ONDERZOEK (22) en (24) gelijk is aan 1. Voor het gemak noemen we ρ 1 = λ/µ 1 en ρ 2 = λ/µ 2. Dit geeft 1 = = i=0 p i N ρ i 1p 0 + i=0 N+1 ρ i N 2 ρ N 1 p 0 1 ρ N+1 1 = p 0 + p 0 ρ N 1 ρ N 2 1 ρ 1 ( ( ρ1 = p 0 1 ρ N ρ 1 + Hieruit volgt de directe uitdrukking voor p 0 : ρ 2 i=n+1 ρ i 2 ) N ρ N ρ 2 ). p 0 = = 1 ρ N ρ ( ) N ρ1 ρ N+1 2 ρ 2 1 ρ 2 (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) ( ) N. (25) (1 ρ 2 )(1 ρ N+1 1 ) + (1 ρ 1 ) ρ1 ρ 2 ρ N+1 2 De verdeling van de evenwichtskansen ligt nu vast. Deze wordt gegeven door p i = ρ i 1 (1 ρ 1)(1 ρ 2 ) (1 ρ 2 )(1 ρ N+1 ρ1 N 1 )+(1 ρ 1 ) ρ ρ N ρ i N 2 ρ N 1 (1 ρ 1)(1 ρ 2 ) (1 ρ 2 )(1 ρ N+1 ρ1 N 1 )+(1 ρ 1 ) ρ ρ N+1 2 2, i = 0, 1,..., N,, i = N + 1, N + 2, Tweede model: het Hysterese model Het tweede model dat wordt besproken is een uitbreiding van het eerste model en wordt ook wel het Hysterese model genoemd. Het Hysterese model werkt als volgt: 20

22 4 EIGEN ONDERZOEK De klanten komen volgens een Poisson aankomstproces met intensiteit λ aan bij de server die één klant tegelijkertijd kan bedienen. De bedieningssnelheid is µ 1 totdat het aantal klanten in het systeem stijgt van N naar N + 1. In dat geval gaat de bedieningssnelheid omhoog naar snelheid µ 2 (waarbij µ 1 < µ 2 ). Dit gaat zo door totdat het aantal klanten kleiner wordt dan Q (met Q N). In dat geval gaat de bedieningssnelheid weer omlaag van µ 2 naar µ 1 en bevindt het systeem zich weer in een eerdere toestand. Iedere mogelijke toestand in dit model wordt aangegeven door het paar (i, j), waarbij i het aantal klanten in het systeem is en j het bedieningstype is. Het bedieningstype is gelijk aan 1 als de server met snelheid µ 1 bedient en gelijk aan 2 als dit met snelheid µ 2 gebeurt. Het toestandsdiagram dat bij dit Hysterese model hoort, wordt weergegeven in Figuur 2. De stabiliteitsvoorwaarde voor dit systeem is net als bij het Omschakel model: λ < µ 2. Ook nu weer hangt de stabiliteit dus niet af van bedieningssnelheid µ 1. De naam hysterese wordt hier gebruikt omdat in dit model de snelheid afhangt van de manier waarop een bepaald aantal klanten bereikt is. Als het aantal klanten namelijk tussen Q en N ligt, dan wordt de bedieningssnelheid bepaald door welk aantal klanten, Q 1 of N + 1, het laatst bereikt was. Als dit de toestand met Q 1 klanten was, dan is de bedieningssnelheid µ 1. Als dit de toestand met N + 1 klanten was, dan zou de bedieningssnelheid µ 2 zijn. Dit verschijnsel waarbij het gevolg afhangt van de manier waarop dit bereikt is, wordt hysterese genoemd en komt ook voor in de biologie en natuurkunde. Figuur 2: Toestandsdiagram voor model 2, het Hysterese model 21

23 4 EIGEN ONDERZOEK Het deel met de toestanden, waarbij er minder dan Q 1 klanten zijn, noemen we het linker staartdeel. De toestanden waarbij er meer dan N + 1 klanten zijn, zitten in het rechter staartdeel. De overige toestanden bevinden zich in de cyclus. Ook voor dit model gaan we de verdeling van de evenwichtskansen bepalen. Dit blijkt echter veel ingewikkelder te zijn dan bij het Omschakel model. Dit komt doordat het Hysterese model een 2-dimensionale toestandsruimte kent en sommige toestandsovergangen op twee manieren kunnen worden bereikt. Zo kan de overgang van toestand (Q + 1, 1) naar toestand (Q, 1) zoals uit Figuur 2 blijkt zowel onderlangs als bovenlangs. Dit heeft als nadeel dat de vergelijking λp Q,1 = µ 1 p Q+1,1 nu niet meer geldt. Daarom wordt het model eerst vereenvoudigd tot de situatie waarbij Q gelijk is aan N. Deze situatie wordt behandeld in paragraaf In paragraaf wordt vervolgens het algemene geval behandeld De situatie Q = N In deze paragraaf gaan we uit van de situatie Q = N. Het toestandsdiagram bestaat in dit geval nog steeds uit een cyclus en twee staartdelen zoals in het algemene geval, maar het cyclusdeel kent nu slechts vier toestanden. Dit zijn de toestanden (Q 1, 1), (Q, 1), (Q, 2) en (Q + 1, 2). Dit wordt weergegeven in Figuur 3. 22

24 4 EIGEN ONDERZOEK Figuur 3: Toestandsdiagram voor het Hysterese model met Q = N Voor elke toestand geldt dat in de evenwichtssituatie de intensiteit waarmee je de toestand verlaat gelijk is aan de intensiteit waarin deze toestand bereikt wordt. Voor het linker staartdeel leidt dit tot de balansvergelijkingen λp i,1 = µ 1 p i+1,1, i = 0, 1,..., Q 1. Hieruit volgt dat de eerste Q toestanden kunnen worden uitgedrukt in termen van p Q 1,1. Dit geeft p i,1 = ( µ1 ) Q 1 i pq 1,1, i = 0, 1,..., Q 1. (26) λ Voor het rechter staartdeel gelden de balansvergelijkingen λp i,2 = µ 2 p i+1,2, i = Q, Q + 1,... De toestanden in het rechter staartdeel kunnen worden uitgedrukt in termen van p Q+1,2. Dit geeft p i,2 = ( ) λ i Q 1 p Q+1,2, i = Q + 1, Q + 2,... (27) µ 2 23

25 4 EIGEN ONDERZOEK Voor de toestanden (Q, 1) en (Q, 2) in de cyclus vinden we de volgende vergelijkingen (λ + µ 1 )p Q,1 = λp Q 1,1, (λ + µ 2 )p Q,2 = µ 2 p Q+1,2. Hieruit volgt dat de toestanden p Q,1 en p Q,2 eenvoudig in termen van p Q 1,1 en p Q+1,2 zijn uit te drukken. Dit geeft p Q,1 = p Q,2 = λ p Q 1,1, λ + µ 1 (28) µ 2 p Q+1,2. λ + µ 2 (29) Op dit moment zijn alle toestanden uitgedrukt in termen van p Q 1,1 en p Q+1,2. Een verband tussen deze twee toestanden valt af te leiden uit de balansvergelijkingen die behoren bij deze twee toestanden. Dit zijn (λ + µ 1 )p Q 1,1 = λp Q 2,1 + µ 1 p Q,1 + µ 2 p Q,2, (30) (λ + µ 2 )p Q+1,2 = λp Q,1 + µ 2 p Q+2,2 + λp Q,2. (31) Deze twee vergelijkingen leiden beide tot hetzelfde verband tussen p Q 1,1 en p Q+1,2. Om dit te laten zien zullen we ze voor beide gevallen uitrekenen. In vergelijking (30) drukken we elke term uit in p Q 1,1 of p Q+1,2 met behulp van de voorgaande vergelijkingen. Dit geeft (λ + µ 1 )p Q 1,1 = λ µ 1 λ p λ µ 2 Q 1,1 + µ 1 p Q 1,1 + µ 2 p Q+1,2. λ + µ 1 λ + µ 2 Verder vereenvoudigen geeft (λ + µ 1 µ 1 λµ 1 λ + µ 1 )p Q 1,1 = µ 2 2 λ + µ 2 p Q+1,2. En dus geldt het verband λ 2 λ + µ 1 p Q 1,1 = µ 2 2 λ + µ 2 p Q+1,2. (32) Dit verband in vergelijking (32) krijgen we ook door in vergelijking (31) elke term uit te drukken in p Q 1,1 of p Q+1,2. Dit geeft: (λ + µ 2 )p Q+1,2 = λ µ 2 λ λ p Q+1,2 + µ 2 p Q+1,2 + λ p Q 1,2. λ + µ 2 µ 2 λ + µ 1 24

26 4 EIGEN ONDERZOEK Vereenvoudigen geeft (λ + µ 2 λµ 2 λ + µ 2 λ)p Q+1,2 = µ 2 2 λ + µ 2 p Q+1,2 = λ 2 p Q 1,1, λ + µ 1 λ 2 p Q 1,1. (33) λ + µ 1 We zien dat vergelijking (33) gelijk is aan vergelijking (32). Dat dit verband geldt, is niet zo verrassend. We kunnen het namelijk ook verklaren door te kijken naar het evenwicht tussen bedieningstype 1 en bedieningstype 2. Het aantal omschakelingen per tijdseenheid van bedieningstype 1 naar 2 is gelijk aan λp Q,1. Het aantal omschakelingen per tijdseenheid van bedieningstype 2 naar 1 is gelijk aan µ 2 p Q,2. In de evenwichtssituatie zijn deze aantallen gelijk aan elkaar. Als we nu de uitdrukkingen voor p Q,1 en p Q,2 uit vergelijking (28) en (29) invullen zien we dat hier hetzelfde verband uit volgt. Nu we dit verband hebben afgeleid, kunnen we alle evenwichtskansen uitdrukken in p Q 1,2. De waarde voor p Q 1,2 wordt vervolgens afgeleid uit de normalisatievergelijking Q i=0 p i,1 + i=q p i,2 = 1. Het eerste deel hiervan geeft met behulp van vergelijking (26) en (28): Q p i,1 = i=0 = = ( µ1 Q 1 ) Q 1 i pq 1,1 + λ p Q 1,1 λ λ + µ i=0 1 ( 1 (λ/µ1 ) Q ( µ1 ) Q 1 λ + 1 λ/µ 1 λ λ + µ 1 ( µ1 (µ 1 /λ) Q 1 λ µ 1 λ + λ λ + µ 1 ) p Q 1,1 ) p Q 1,1 = µ 1(µ 1 + λ)(µ 1 /λ) Q 1 2λ 2 p Q 1,1. (34) (µ 1 λ)(µ 1 + λ) En voor het tweede deel krijgen we, met behulp van vergelijking (27), (29) 25

27 4 EIGEN ONDERZOEK en (30): p i,2 = i=q = = = µ 2 λ + µ 2 p Q+1,2 + ( µ2 i=q+1 ( ) λ i Q 1 p Q+1,2 µ 2 ) 1 + p Q+1,2 λ + µ 2 1 λ/µ 2 ( 2µ 2 ) ( 2 λ + µ2 λ 2 ) (µ 2 + λ)(µ 2 λ) µ 2 p Q 1,1 2 λ + µ 1 2λ 2 (µ 1 + λ)(µ 2 λ) p Q 1,1. (35) Substitutie van vergelijking (34) en (35) in de normalisatievergelijking geeft 1 = = Q p i,1 + p i,2 = i=0 Hieruit volgt dat i=q ( µ1 (µ 1 + λ)(µ 1 /λ) Q 1 2λ 2 2λ 2 ) + p Q 1,1 (µ 1 λ)(µ 1 + λ) (µ 1 + λ)(µ 2 λ) = µ 1(µ 2 λ)(µ 1 + λ)(µ 1 /λ) Q 1 2λ 2 (µ 2 µ 1 ) p Q 1,1. (µ 1 λ)(µ 2 λ)(µ 1 + λ) p Q 1,1 = (µ 1 λ)(µ 2 λ)(µ 1 + λ) µ 1 (µ 2 λ)(µ 1 + λ)(µ 1 /λ) Q 1 2λ 2 (µ 2 µ 1 ). (36) De verdeling van de evenwichtskansen luidt nu dus als volgt ( µ1 ) Q 1 i λ pq 1,1, i = 0, 1,..., Q 1, p i,1 = λ λ+µ 1 p Q 1,1, i = Q, p i,2 = ( λ µ2 µ 2 λ+µ 2 p Q+1,2, i = Q, ) i Q 1 pq+1,2, i = Q + 1, Q + 2,... waarbij p Q 1,1 gegeven wordt door vergelijking (36). 26

28 4 EIGEN ONDERZOEK De algemene situatie Het resultaat voor het geval Q = N in de vorige paragraaf levert het vermoeden dat het lastig zal zijn om ook voor het algemene geval op algebraïsche wijze een uitdrukking te vinden voor de evenwichtskansen. Daarom wordt in het algemene geval de verdeling van de evenwichtskansen bepaald met behulp van het programma Mathematica. De broncode hiervan staat in Appendix A.1. De resultaten die hierbij horen, zijn te vinden in Appendix A.2. Figuur 4: Toestandsdiagram voor model 2, het Hysterese model Het toestandsdiagram voor de algemene situatie van het Hysterese model wordt nogmaals weergegeven in Figuur 4. Voor elke toestand geldt dat in de evenwichtssituatie de intensiteit waarmee je de toestand verlaat gelijk is aan de intensiteit waarin deze toestand bereikt wordt. Voor iedere toestand kunnen we dus net zoals in het geval Q = N de balansvergelijkingen opstellen. De toestanden in het linker en rechter staartdeel kunnen we weer uitdrukken in respectievelijk p Q 1,1 en p N+1,2. Dit geeft p i,1 = p i,2 = ( µ1 ) Q 1 i pq 1,1 i = 0, 1,..., Q 1, (37) λ ( ) λ i N 1 p N+1,2 i = N + 1, N + 2,... (38) µ 2 27

29 4 EIGEN ONDERZOEK Vergeleken met de situatie Q = N krijgen we nu de extra vergelijkingen (λ + µ 1 )p i,1 = λp i 1,1 + µ 1 p i+1,1 Q i N 1, (39) (λ + µ 2 )p i,2 = λp i 1,2 + µ 2 p i+1,2 Q + 1 i N. (40) Daarnaast gelden de vergelijkingen en, (λ + µ 1 )p Q 1,1 = λp Q 2,1 + µ 1 p Q,1 + µ 2 p Q,2, (41) (λ + µ 2 )p N+1,2 = λp N,1 + µ 2 p N+2,2 + λp N,2, (42) (λ + µ 1 )p N,1 = λp N 1,1, (43) (λ + µ 2 )p Q,2 = µ 2 p Q+1,2. (44) Tenslotte hebben we de normalisatievergelijking N p i,1 + p i,2 = 1. (45) i=0 i=q In de situatie Q = N zagen we dat vergelijking (41) en (42) tot hetzelfde verband leiden. Dit is in de algemene situatie ook het geval aangezien hier ook het verband λp Q,1 = µ 2 p N,2 geldt in de evenwichtssituatie. Daarom kunnen we vergelijking (42) weglaten bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen. Vergelijking (39) telt net als (40) N Q vergelijkingen. Daarbij komen vergelijking (41), (43), (44) en de normalisatievergelijking. In totaal zijn dit dus 2N 2Q + 4 vergelijkingen. De evenwichtskansen van de toestanden in de cyclus zijn de onbekenden. Dit zijn er N Q+2 met bedieningstype 1 en N Q+2 met bedieningstype 2. In totaal levert dit dus 2N 2Q + 4 onbekenden. We hebben net zo veel vergelijkingen als onbekenden, dus dit stelsel is oplosbaar. Om dit stelsel lineaire vergelijkingen in Mathematica op te lossen, zetten we de vergelijkingen in een matrix A, de onbekenden in een vector x en de uitkomsten in een vector b. Met behulp van de functie LinearSolve lossen we het stelsel Ax = b op. We willen het stelsel oplossen voor de evenwichtskansen in het cyclusdeel. Daarom hoeven de evenwichtskansen p 0,1,..., p Q 3,1 en p N+3,2,... niet in de vector met onbekenden omdat deze eenvoudig zijn uit te drukken in p Q 1,1 en p N+1,2. De evenwichtskansen 28

30 4 EIGEN ONDERZOEK p Q 2,1, p Q 1,1, p N+1,2 en p N+2,2 komen voor in de vergelijkingen en dienen daarom wel in de vector te staan. De vector met onbekenden ziet er daarom als volgt uit: p Q 2,1 p Q 1,1. x = p N,1 p Q,2 p Q+1,2. p N+2,2 De matrix die we met deze vector gaan vermenigvuldigen bestaat uit de rijen met bijbehorende vergelijkingen. Van boven naar beneden vullen we hier vergelijking (37), (41), (39), (43), (44), (40), (38) en de normalisatievergelijking in. Voor de normalisatievergelijking nemen we eerst p N+1,2 = 1 en delen we uiteindelijk de uitkomst door het totaal van alle kansen. De matrix met vergelijkingen ziet er als volgt uit: A = λ µ λ λ + µ µ µ λ λ + µ λ + µ 2 µ λ λ λ + µ λ µ Het product van de matrix met de vector met onbekenden moet gelijk zijn aan de vector: 29

31 4 EIGEN ONDERZOEK 0 b =. 0 1 De broncode van het Mathematicabestand staat in Appendix A Vergelijking van de twee modellen De twee modellen die in dit hoofdstuk behandeld werden, worden hier met elkaar vergeleken. Dit gebeurt aan de hand van een kostenfunctie. Deze bestaat uit de som van drie delen: omstelkosten, opslagkosten en extra kosten voor het gebruik van een hogere snelheid. De omstelkosten zijn de kosten die je maakt wanneer je van de ene snelheid omschakelt naar de andere. Deze kosten worden bepaald door het aantal omstellingen en de kosten per omstelling. De opslagkosten vormen een maat voor het aantal klanten in het systeem. We gaan ervan uit dat iedere klant een bepaald bedrag per tijdseenheid kost. Als de opslagkosten laag zijn, dan zijn er gemiddeld minder klanten in het systeem en zal de verwachte wachttijd voor een klant ook laag zijn. Daarnaast gaan we ook ervan uit dat het meer geld kost om de server met een hogere snelheid te laten werken. Deze kosten vormen de extra kosten voor hogere snelheid. Allereerst bepalen we de verwachte kosten voor het Omschakel model. De omstelkosten bestaan uit het verwachte aantal omstellingen per tijdseenheid maal de kosten per omstelling. Het verwachte aantal omstellingen per tijdseenheid van bedieningstype 1 naar 2 is gelijk aan λp N. Het verwachte aantal omstellingen per tijdseenheid van bedieningstype 2 naar 1 is gelijk aan µ 2 p N+1. In de evenwichtssituatie zijn deze twee aantallen gelijk aan elkaar. De verwachte omstelkosten per tijdseenheid voor het Omschakel model worden dan: E[omstelkosten Omschakel model] = 2λp N K s, (46) waarbij K s de omstelkosten per omstelling zijn. De opslagkosten zijn lineair met het aantal klanten in het systeem. Voor iedere klant moet een bepaald bedrag aan opslagkosten per tijdseenheid worden betaald. De verwachte 30

32 4 EIGEN ONDERZOEK opslagkosten per tijdseenheid zijn daarom gelijk aan het verwachte aantal klanten in het systeem maal de opslagkosten per klant: E[opslagkosten Omschakel model] = ip i K k, (47) waarbij K k de opslagkosten per klant zijn. De verwachte extra kosten voor het werken met een hoge snelheid zijn gelijk aan de som van de evenwichtskansen van de toestanden waarbij met snelheid µ 2 wordt gewerkt maal de extra kosten per tijdseenheid. Bij het Omschakel model wordt dit: E[extra kosten Omschakel model] = waarbij K e deze extra kosten per tijdseenheid zijn. i=0 i=n+1 p i K e, (48) Ook voor het Hysterese model kunnen we de kostenfuncties opstellen. Bij het Hysterese model is het verwachte aantal omstellingen per tijdseenheid van bedieningstype 1 naar 2 is gelijk aan λp N,1. Het verwachte aantal omstellingen per tijdseenheid van bedieningstype 2 naar 1 is gelijk aan µ 2 p Q,2. Deze twee aantallen zijn in de evenwichtssituatie gelijk aan elkaar en dus krijgen we voor de verwachte omstelkosten per tijdseenheid: E[omstelkosten Hysterese model] = 2λp N,1 K s, (49) waarbij K s weer de omstelkosten per omstelling zijn. De verwachte opslagkosten zijn gelijk aan het verwachte aantal klanten maal de opslagkosten per klant. Dit wordt: N E[opslagkosten Hysterese model] = K k ip i,1 + ip i,2 (50) waarbij K k de opslagkosten per klant zijn. De verwachte extra kosten voor het werken met een hoge snelheid zijn ook voor het Hysterese model gelijk aan de som van de evenwichtskansen van de toestanden waarbij met snelheid µ 2 wordt gewerkt maal extra kosten per tijdseenheid : E[extra kosten Hysterese model] = i=0 i=q p i,2 K e. (51) Om de kosten voor de twee modellen met elkaar te vergelijken, gaan we voor λ, µ 1, µ 2, Q en N waarden invullen. Interessant is het om de twee modellen i=q 31

33 4 EIGEN ONDERZOEK te vergelijken wanneer het aantal klanten rond de waarde N schommelt. Dit leidt tot de meeste omschakelingen en hier valt dus ook het meest op de omstelkosten te bezuinigen. Vandaar dat we de waarden zo nemen dat µ 1 < λ < µ 2. We kiezen nu de waarden λ = 1, µ 1 = 0.5 en µ 2 = 1.5. Voor het Omschakelmodel kiezen we N = 7 als omschakelpunt. Bij het Hysterese model nemen we de waarden Q en N vervolgens zo dat deze rond het omschakelpunt van het Omschakel model liggen. We kiezen daarom Q = 5 en N = 8. Voor beide modellen staan de evenwichtskansen die bij deze waarden horen in Tabel 1. Omschakel Hysterese p p 0, p 5, p p 1, p 6, p p 2, p 7, p p 3, p 8, p p 4, p 9, p p 5, p 10, p p 6, p 11, p p 7, p 12, p p 8, p 13, p p 14, p p 15, Tabel 1: Tabel met evenwichtskansen voor het Omschakel model en het Hysterese model De kansen uit de tabel worden voor het Omschakel model ook weergegeven in Figuur 5. Hierbij is het aantal klanten in het systeem uitgezet tegen de evenwichtskansen. In Figuur 6 is dit gedaan voor het Hysterese model. Hierbij zijn de kansen p i,1 en p i,2 bij elkaar opgeteld aangezien in beide gevallen er i klanten in het systeem zijn. We zien dat de evenwichtskansen bij het Hysterese model gelijkmatiger zijn verdeeld. Dit verschil in verdeling leidt ook tot een verschil in de verwachte kosten. 32

34 4 EIGEN ONDERZOEK Figuur 5: Aantal klanten in het Omschakel model met bijbehorende kans Figuur 6: Aantal klanten in het Hysterese model met bijbehorende kans Voor beide modellen berekenen we de verwachte kosten zoals eerder in deze paragraaf aangegeven. De Mathematica-code hiervan inclusief toelichting is te vinden in Appendix A.2. Voor het Omschakel model staan de resultaten voor N = 4,..., 9 weergegeven in Tabel 2. 33