TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica voor Combi s (3NA10) d.d. 31 oktober 2011 van 9:00 12:00 uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet toegestaan Gebruik van rekenmachine en liniaal is wel toegestaan Geef nooit alleen maar antwoord op een vraag, maar laat zien hoe je aan dit antwoord komt. Doe dit wel beknopt! Verdeel de tijd die je hebt goed over de opgaven/onderdelen. Probeer tijdnood te voorkomen. Voorlopige puntenverdeling van de opgaven: Opg 1 a i 2 Opg 2 a 2 Opg 3 a 3 Opg 4 a 2 Opg 5 a 3 ii 4 b 3 b 4 b 3 b 5 b i 3 c 4 c 6 c 5 c 5 ii 4 d 6 d 6 d 2 c i 3 e 10 ii 5 Totaal: 90 punten LET OP: DIT TENTAMEN BEVAT 2 BIJLAGEN.

2 Opgave 1 (a) (i) Wat is de algemene formule (rekenregel) voor de onzekerheid in de grootheid die een functie is van de gemeten grootheden volgens ( )? De onzekerheden in worden gegeven door de 68%-intervallen. (ii) In sommige gevallen is een 68%-interval niet nauwkeurig genoeg. Er is immers nog steeds 32% kans dat de werkelijke waarde van de gemeten grootheid buiten dit gebied ligt. Als alternatief wordt dan ook soms drie maal de standaardafwijking van het gemiddelde (dus 3S) als onzekerheid opgegeven. Dit is dan een 99,8%-interval. Laat zien dat de algemene rekenregel voor deze 3S-intervallen gelijk is aan die voor 68%-intervallen uit onderdeel (i). (b) Een student meet 9 keer de lengte van een cilinder met als resultaat 18,15; 18,32; 18,09; 18,17; 18,01; 18,10; 18,07; 18,21; 18,17 mm. (i) Bereken de beste schatting van de lengte van de cilinder en de onzekerheid hierin. Geef hierbij eerst de gebruikte formules. (ii) Wat is de kans dat bij een volgende meting een lengte > 18,00 mm gevonden wordt? Hint: Gebruik hierbij de gereduceerde normale verdeling uit bijlage 2. (c) Het kan soms lastig zijn om met een Gaussische kansverdeling te rekenen. Als benadering nemen we in deze opgave de volgende kansdichtheid: ( ) ( ) ( ) (i) Druk uit in (ii) Bereken de variantie en daaruit de standaarddeviatie van deze functie.

3 Opgave 2 In een Geiger-Müller experiment wordt de verzwakkingscoëfficiënt van lood gemeten. Hiertoe wordt eerst het aantal pulsen geteld zonder lood en vervolgens wordt tussen de telbuis en het radioactief preparaat een plaatje lood geplaatst met een bekende dikte. Het aantal getelde pulsen (gedurende eenzelfde tijdsinterval) in nu. De theoretische relatie tussen en wordt gegeven door ( ). In deze opgave gaan we uitzoeken wat de optimale dikte van het loodplaatje is om zo nauwkeurig mogelijk te bepalen. We doen hierbij slechts één meting met één loodplaatje. De onzekerheid in de dikte van het loodplaatje mag verwaarloosd worden. Ook met de dode tijd van de detector en de eventueel aanwezige achtergrondstraling hoeft geen rekening gehouden te worden. (a) Hoe kan de verzwakkingscoëfficiënt uit de gemeten en bepaald worden? (b) Als het aantal pulsen en slechts eenmalig gemeten worden (dus geen meetserie), wat zijn dan de onzekerheden en in respectievelijk en? (c) Druk de onzekerheid uit in de dikte en de onzekerheden en. Bij een bepaalde optimale heeft de onzekerheid ( ) een minimum. (d) Verklaar waarom ( ) een minimum heeft (de waarde van de optimale dikte hoeft niet uitgerekend te worden). (e) Laat zien dat deze optimale dikte gevonden wordt uit de oplossing van de vergelijking ( ) ( ). Deze vergelijking hoeft niet opgelost te worden (want dat lukt niet analytisch).

4 Opgave 3 Een fietsfabrikant produceert een type fiets met een ingebouwde fietscomputer. Die computer telt via een sensor het aantal wielomwentelingen en vermenigvuldigt dat aantal met de wielomtrek (die in de computer is opgeslagen). Om deze manier kan de afgelegde afstand worden uitgerekend. De fabrikant heeft de wielomtrek standaard ingeprogrammeerd op 2,230 m. De wielomtrek blijkt in de praktijk echter niet constant. We nemen aan dat de wielomtrek van alle geproduceerde fietsen uit de serie normaal (Gaussisch) verdeeld is. De totale serie wordt als oneindig groot beschouwd. Van een steekproef van 10 fietsen uit de serie wordt de echte wielomtrek gemeten. De resultaten zijn 2,229; 2,239; 2,243; 2,229; 2,223; 2,230; 2,236; 2,222; 2,230 en 2,242 m. (a) Wat is met 68% zekerheid de wielomtrek van 1 fiets uit de geproduceerde serie? Na een rit met één (willekeurig gekozen) fiets uit de serie geeft de fietscomputer een afstand aan van 89,0 km. (b) Tussen welke grenzen ligt met 68% zekerheid de werkelijk afgelegde afstand? Een groep van 20 fietsen legt samen een afstand af van exact 100 km. Na afloop van deze rit worden de fietscomputers uitgelezen en de aangegeven afstanden bij elkaar opgeteld. (c) Tussen welke grenzen ligt met 68% zekerheid deze som van de door de fietscomputers aangegeven afstanden?

5 Opgave 4 Een autoverkoper krijgt een totale maandelijkse provisie die in Euro s gelijk is aan het kwadraat van het totaal aantal auto s dat hij die maand verkocht heeft. Wanneer hij dus bijvoorbeeld in een maand 10 auto s heeft verkocht, krijgt hij een provisie van 100 en wanneer hij 20 auto s heeft verkocht, krijgt hij een provisie van 400. Per maand spreekt de verkoper met exact potentiële klanten. De kans dat hij een potentiële klant een auto verkoopt is en de kans dat hij hem geen auto verkoopt is dus. De kans dat hij auto s per maand verkoopt, voldoet daarom aan de binomiaalverdeling ( ) ( ) Van de binomiaalverdeling is gegeven dat en var. (a) (b) (c) (d) Hoeveel auto s verwacht je dat de verkoper in een maand verkoopt? Wanneer de verkoper een vaste provisie van 20 per verkochte auto zou krijgen, wat verwacht je zou zijn maandelijkse provisie zijn? Met welke uitdrukking kun je de verwachte totale maandelijkse provisie berekenen bij de verkoop-afhankelijke provisie zoals aan het begin van deze opgave gegeven? Bereken deze verwachte maandelijkse provisie. Hint: gebruik de uitdrukking voor de variantie.

6 Opgave 5 Zoals bekend neemt het brandstofverbruik van een auto toe met de snelheid. Deze toename verloopt bij hoge snelheden exponentieel, dat wil zeggen dat voor het brandstofverbruik (uitgedrukt in liter per meter) als functie van de snelheid (uitgedrukt in meter per seconde) geldt met en constanten. ( ) Voor een bepaald type auto is een aantal malen de afgelegde afstand per liter brandstof (uitgedrukt in km/liter) gemeten bij een bepaalde snelheid (uitgedrukt in km/uur). De resultaten van de metingen staan samen met de onzekerheid (68%-interval) in de onderstaande tabel. De onzekerheid in de snelheid kan verwaarloosd worden. Snelheid (km/uur) A (km/liter) (km/liter) 80 14,2 0, ,2 0, ,7 0, ,5 0, ,7 0,5 Algemene hint: Let op de dimensies van de grootheden die berekend of uitgezet moeten worden. (a) Wanneer de waarden van de constanten en bepaald moeten worden met behulp van een rechte-lijn fit, wat moet dan in een grafiek uitgezet worden en hoe kan hieruit dan en bepaald worden? Geef duidelijk aan wat er er langs de x- as en wat langs de y-as uitgezet moet worden en verklaar ook waarom. (b) Bepaal de onzekerheden in beide grootheden die uitgezet worden in de grafiek. (c) Maak een correcte grafiek volgens de regels. (d) Welke van de formules in bijlage 1 kunt u het best gebruiken om de rechte lijn te berekenen? Verklaar uw antwoord. (e) Bepaal door berekening (met behulp van de bij (d) geselecteerde formules) de waarde van de constanten en en de onzekerheden hierin. Geef voldoende tussenresultaten in de berekening door hiervan een tabel te maken.

7 Bijlage 1

8 Bijlage 2