Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation

Transcriptie

1 Cover Page The handle holds various files of this Leiden University dissertation Author: Smit, Laurens Title: Steady-state analysis of large scale systems : the successive lumping method Issue Date:

2 Dit proefschrift behandelt netwerken met veel toestanden. De processen die we bekijken, hebben een bepaalde dynamiek op deze netwerken en hebben met name toepassingen in de wachttijdtheorie. Ook zijn er veel toepassingen die hun oorsprong kennen in de informatica en voorraadmanagement. Een manier om een dergelijk systeem te beschrijven is een Markovketen. In het bijzonder modelleert een Markovketen een proces dat zich door een aantal toestanden beweegt en stapsgewijs overgangen vertoont van de ene naar een andere of naar dezelfde toestand. Als het systeem zich in een bepaalde toestand bevindt, hangt het toekomstige gedrag van dit systeem alleen maar af van de huidige toestand en niet van de manier waarop deze toestand tot stand is gekomen. In elke toestand verblijft het systeem een bepaalde stochastische tijd en na die periode springt het volgens een bepaalde kansverdeling naar een andere toestand. We zijn met name geïnteresseerd in het exact bepalen van de stationaire verdeling van grootschalige Markovketens. De stationaire verdeling van een Markovketen bevat de kansen dat het systeem zich in een bepaalde toestand bevindt op een willekeurig moment in tijd. Anders gezegd, deze verdeling geeft aan welk percentage van de tijd het systeem zich in elke toestand bevindt. In het algemeen is het niet eenvoudig om de stationaire verdeling op een efficiënte manier exact te berekenen als het aantal toestanden van het netwerk groot is, mogelijk zelfs oneindig. Wanneer deze stationaire verdeling bekend is, kunnen verschillende eigenschappen van de beschouwde toepassing bepaald worden. Zo kan in een wachttijdmodel de gemiddelde wachttijd berekend worden en in een voorraadmodel de gemiddelde tijd dat er geen producten op voorraad zijn. In Hoofdstuk 2 introduceren we de herhaaldelijk-samenvoegings (successive lumping) methode. Hiervoor is het noodzakelijk een partitie van de toestanden te maken in verschillende verzamelingen. Wanneer één van deze verzamelingen een zogenaamde ingangstoestand heeft, is de herhaaldelijk-samenvoegings methode een manier om de stationaire verdeling alleen voor toestanden in deze verzameling te berekenen. Een verzameling S heeft een ingangstoestand wanneer het volgende geldt: om een toestand in S te bereiken wanneer het systeem zich in een toestand buiten deze verzameling S bevindt, moet het systeem zich tussendoor enige tijd in de ingangstoestand bevinden. Dus in andere woorden: overgangskansen van buiten S naar een toestand in S gaan altijd via de ingangstoestand. Nadat de stationaire verdeling is bepaald van de toestanden in een verzameling, voegen we deze samen tot een enkele toestand en herhalen we de procedure. In dit hoofdstuk geven we 181

3 de exacte formules om de stationaire verdeling te berekenen volgens deze methode en we bewijzen de correctheid hiervan. Een bekende klasse van oplossingsmethodes om de stationaire verdeling van een Markovketen te bepalen is de klasse van de matrix-analytische methodes. Hiervoor moeten de overgangskansen van de Markovketen aan een specifieke structuur voldoen. Het idee van deze methodes is om de stationaire verdeling van een verzameling toestanden uit te drukken in die van een andere. Hierbij wordt gebruik gemaakt van een zogenaamde rate matrix, aangegeven met de letter R. In het algemeen is het lastig om deze matrix exact te bepalen. In Hoofdstuk 3 laten we zien dat herhaaldelijk-samenvoegings ook binnen deze aanpak toegepast kan worden om efficiënt R te berekenen. Naast de specifieke overgangsstructuur wordt er binnen de matrix-analytische methodes over het algemeen van uit gegaan dat de transitieovergangen hetzelfde zijn per set: er is sprake van homogene transities. Dit is geen eis voor de herhaaldelijk-samenvoegings methode. Verder geven we een bovengrens voor de stationaire kansen op een deelverzameling van de toestanden, wanneer slechts een deel van de keten wordt beschouwd. Ook geven we enkele voorbeelden van specifieke toepassingen die binnen deze klasse vallen. Er bestaan een aantal andere oplossingsmethodes om de bovengenoemde rate matrix R exact te bepalen. Deze methodes maken bijvoorbeeld gebruik van extra structuur van de transities. Eén van deze procedures telt het aantal mogelijke paden van een bepaalde toestand naar een andere toestand. Het is dan echter wel noodzakelijk dat de toestanden van de Markovketen als een raamwerk weergegeven kunnen worden en dat transities alleen naar buren mogelijk zijn. Daarnaast is het niet toegestaan om stappen naar het oosten in dit raamwerk te nemen, behalve op één van de randen. In Hoofdstuk 4 geven we aan hoe de klasse van problemen waarop deze methode toepasbaar is, verschilt van de klasse van problemen waarvoor de herhaaldelijk-samenvoegings methode gebruikt kan worden. Het blijkt dat de laatstgenoemde methode breder toepasbaar is, met name omdat er dan ook transities mogelijk zijn die toestanden overslaan. Ook kunnen de overgangskansen en verblijftijd per toestand verschillen. Beide methodes zitten echter wel (impliciet) vast aan de aanwezigheid van ingangstoestanden. Een onderdeel van de herhaaldelijk-samenvoegings methode is het inverteren van een aantal grote matrices. Dit zijn operaties die in het algemeen veel tijd in beslag nemen, omdat voor een exact antwoord een groot aantal bewerkingen moet worden gedaan. Bij de herhaaldelijksamenvoegings methode komt een bepaalde structuur van de niet-nul elementen in de matrix vaak naar voren. In Hoofdstuk 5 beschrijven we een algoritme dat deze structuur gebruikt om op een efficiënte manier een exacte inverse te berekenen. Naast het feit dat deze methode snel werkt, is het resultaat exact en onafhankelijk van de grootte van de matrix. Verder beschrijven we in dit hoofdstuk bepaalde eigenschappen van de eigenwaardes van deze matrix. Deze eigenwaarden hebben een negatief reëel deel, en we vermoeden zelfs dat het complexe deel nul is. Het blijkt dat deze eigenwaarden direct af te leiden te zijn uit die van een andere, gemakkelijker te analyseren matrix. 182

4 Zoals gezegd, om gebruik te maken van de herhaaldelijk-samenvoegings methode identificeren we een partitie van de toestanden in verzamelingen, zodanig dat de overgangskansen tussen verzamelingen voldoen aan een bepaalde structuur: er zijn ingangstoestanden aanwezig. In Hoofdstuk 6 gaan we dieper in op een bepaald soort processen met een specifieke structuur van de overgangskansen tussen toestanden binnen een verzameling. We laten zien hoe je gebruik kan maken van uitgangstoestanden en hoe deze equivalent zijn met de aanwezigheid van een ingangstoestand voor een iets gemodificeerde partitie. We voeren een numerieke analyse uit en leiden met behulp van de herhaaldelijk-samenvoegings methode af dat de stationaire verdeling van de toestanden aan een productvorm voldoet. Dit houdt in dat we de stationaire kans van een toestand kunnen uitdrukken als het product van een bepaalde factor en de stationaire kans van een andere toestand. Bovendien laten we zien hoe deze factor nauwkeurig geschat kan worden. De herhaaldelijk-samenvoegings methode eist dat elke verzameling in het bezit is van een ingangstoestand. In Hoofdstuk 7 bekijken we een aantal manieren om deels onder deze voorwaarde uit te komen. Zo bekijken we systemen waar we zelf ingangstoestanden aan kunnen toevoegen. Ook bekijken we een andere, specifieke manier om ingangstoestanden te creëren door de transities vanuit een specifieke toestand s te verdelen in verschillende verzamelingen. Bij elk van deze verzamelingen maken een we een nieuwe Markovketen. Het oorspronkelijke model kan vanuit deze losse ketens terug worden geconstrueerd. Deze methode hebben we thinning genoemd en wordt ook in dit hoofdstuk beschreven. Het bepalen van een partitie die de herhaaldelijk-samenvoegings methode toestaat is in het algemeen een moeilijk probleem. Er zijn veel modellen waar deze partitie direct zichtbaar is, maar er zijn ook veel toepassingen waar deze helemaal niet voor de hand liggend is. In Hoofdstuk 8 bekijken we zo n toepassing, geïnspireerd door een model uit de informatica. In dit model komen taken aan bij een processor met 2 verschillende wachtrijen behorende bij verschillende servers. De aankomende taak sluit aan in de rij waarin de verwachte verblijftijd op dat moment minimaal is. Bij dit model werken de servers met onderling verschillende snelheden, wat de analyse van dit model gecompliceerd maakt. Door gebruik te maken van de herhaaldelijk-samenvoegings methode kunnen we een aantal conclusies met betrekking tot de vorm van de stationaire verdeling trekken en hieruit de gemiddelde rijlengtes afleiden. 183

5