Discrete Holomorfe Functies Op Lusmodellen

Transcriptie

1 Discrete Holomorfe Functies Op Lusmodellen Emile Eli van der Kuyp 30 juli 013 Verslag van Bachelorproject Natuur en Sterrenkunde, omvang 1 EC, uitgevoerd tussen en Begeleiding: prof.dr. B. Nienhuis Tweede begeleider: dr. T.M. Nieuwenhuizen Institute for Theoretical Physics

2 Abstract In dit project is geprobeerd om discrete holomorfe functies te definiëren op lusmodellen. Er is gekeken naar een model met de betegeling van gelijkzijdige driehoeken met een pad tussen de zijden en er is ook gekeken naar een model met de betegeling van gelijkzijdige driehoeken waar twee paden overheen lopen die niet kruizen en als laatste is er naar een model gekeken van een vierkante betegeling die gedefinieerd is met twee paden waarbij twee zijden verbonden zijn, kruisingen zijn hierbij ook toegestaan. Het is niet gelukt om niet-triviale functies te definiëren voor deze modellen. Populaire samenvatting In dit project is geprobeerd om discrete holomorfe functies te definiëren op lusmodellen. Wij kijken na discrete holomorfe functies die gedefinieerd zijn op middelpunten van de zijden van een rooster. Deze functies moeten voldoen aan: ( ) zi + z j F (z j z i ) = 0 (ij) P Hierbij lopen we een rondje over een gesloten aantal aanliggende zijden van het rooster. De optelling over de middelpunten van deze zijden keer de lengte van de zijde moet op nul uitkomen. Deze holomorfe functies definiëren we voor een lusmodel. Een lusmodel is een model waarbij elke positie van het rooster een kans heeft op verschillende tegels. We kiezen dus een aantal tegels met een bepaalde kans. We kiezen de tegels zodanig dat er paden tussen de middelpunten van de tegels lopen. Bij een lusmodel zijn alleen betegelingen mogelijk, waarbij de paden over de tegels niet eindigen in het rooster. Met deze paden proberen we onze discrete holomorfe functies te definiëren. In dit verslag behandelen we eerst een bekend lusmodel van een vierkant rooster waarbij de tegels twee paden hebben die niet mogen kruisen. Hierna behandelen we een bekend vals lusmodel, dit is een model waarbij één pad eindigt. Vervolgens doen we een poging om op andere betegelingen deze lusmodellen te definiëren. Dit hebben we gedaan voor de betegeling van gelijkzijdige driehoeken met een pad tussen de middelpunten van de zijden en een model met de betegeling van gelijkzijdige driehoeken waar twee paden overheen lopen. Als laatste kijken we naar het bekende model waarbij twee paden over een vierkante tegel lopen maar nu staan we de tegel met de kruising ook toe. Het is niet gelukt om goede functies te definiëren, maar we laten wel zien wat voor problemen er kunnen zijn bij het definiëren van deze functies. 1

3 Inhoudsopgave Inleiding 3 Lusmodel 6.1 Lusmodel Rooster verbuiging Potts model Vals Lusmodel 1 4 Mijn pogingen Driehoeken met enkel pad Driehoeken met twee paden Lusmodel met vierkante tegels met kruisingen conclusie/samenvatting

4 Inleiding In dit project is het de bedoeling om discrete holomorfe functies te definiëren. Observabelen die holomorfe functies zijn van de positie in het vlak, danken hun betekenis aan de volgende overweging: Voor een natuurkundig systeem waarvoor translatie en rotatie invariantie geldt, dat wanneer het systeem in een kritiek punt zit het systeem ook voor schaaltransformatie invariant is. Wanneer het systeem ook locaal is. Hierbij is een systeem locaal als bij locale wisselwerkingen deeltjes alleen worden beïnvloed door deeltjes in de nabije omgeving. We kunnen verwachten dat het systeem nu invariant is voor vervormingen van de ruimte die er locaal uitzien als een combinatie van translatie, rotatie en schaling. Dit zijn dus de groep van conforme transformaties. De ervaring is dat in systemen die invariant zijn voor conforme transformaties, de observabelen holomorfe functies van de D ruimte zijn. Dit is plausibel omdat de eigenschap holomorficiteit behouden is onder conforme transformaties. Met de Cauchys integraal stelling weten we dat een functie holomorf is als: f(z)dz = 0 (1.1) Het idee is nu om op een rooster discrete holomorfe functies te vinden. Een discrete holomorfe functie F moet voldoen aan: ( ) zi + z j F (z j z i ) = 0 (1.) (ij) P Hierbij is de functie F gedefinieerd op de middelpunten van de zijden van het rooster en wordt er net als bij een kringintegraal een rondje gelopen maar nu over discrete functiewaarde van de middelpunten van zijde keer de lengte van de zijde, zie figuur

5 i 0 1 Figuur 1.1: De functiewaarde zijn op de middelpunten van het rooster en we lopen over de zijde van het vierkantje in het rooster. We kunnen zoals in figuur 1.1 over een vierkantje lopen, maar dit is meteen uit te breiden naar combinatie van vierkantjes. Het is dus voldoende om alleen over de buitenkant van verzamelingen van vierkantjes te lopen, zie figuur 1. i 0 1 Figuur 1.: We kunnen ook over meer tegels lopen We willen holomorfe functies definiëren aan de hand van een lusmodel. Een lusmodel is een stochastisch model op een rooster. Hierbij wordt het rooster betegeld door tegels waar paden door middelpunten van de zijden lopen. Er geldt dat deze paden niet eindigen in het rooster, in principe vormen ze allemaal lussen. Neem als voorbeeld de tegels, zie figuur 1.3. Figuur 1.3: De tegels Een mogelijke betegeling van een deel van het rooster ziet er uit als figuur

6 Figuur 1.4: Een mogelijke rooster betegeling Hierbij hebben de tegels een bepaald Boltzmann gewicht en kunnen omgevingsfactoren zoals de lussen ook een bijdragen aan de gewichten geven. Omdat we onze functie definiëren aan de hand van een stochastisch model is de hoop dat deze in de limiet een continue functie oplevert. Wanner deze limiet functie continu is dan geldt met de stelling van Morera dat de limiet functie ook een holomorfe functie is. Zie [1] voor uitgebreide uitleg over de limiet in het geval van het Ising model. In hoofdstuk gaan we kijken naar holomorfe functies op een lusmodel dat gedefinieerd is door de betegeling van voorbeeld 1.3 en we bespreken de link met het Potts spin model. In hoofdstuk 3 bespreken we een vals lusmodel. Dit is een lusmodel waar een pad mag eindigen op het rooster. We kijken hoe er holomorfe functies te definiëren zijn op zo n vals lusmodel. In hoofdstuk 4 worden er pogingen ondernomen om holomorfe functies te definiëren. Hierbij wordt gekeken naar een betegeling van gelijkzijdige driehoeken met een enkel pad tussen twee zijden. Ook wordt er een betegeling met gelijkzijdige driehoeken met twee paden die niet kruisen besproken. Als laatste kijken we naar een betegeling zoals in hoofdstuk maar nu laten we kruisingen ook toe. 5

7 Hoofdstuk Lusmodel.1 Lusmodel We nemen een vierkant rooster. Nu is er een lusmodel dat gedefinieerd wordt door de betegeling van de twee tegels zie figuur.1. a Figuur.1: De tegels met hun gewichten We geven de tegels een gewicht a of b en we geven een gesloten lus het gewicht q. Er wordt nu een keuze gemaakt voor de functies F s (z). Deze is volgens de literatuur al eerder gebruikt als holomorfe functies. [] De familie van functies F s (z) zijn gedefinieerd op de middelpunten van de tegels door: F s (z) = P (G)e isθ(z) (.1) G Γ(0,z) Hierbij is Γ(0, z) de set paden waarbij 0 en z in het zelfde pad zitten. Nu is P (G) de kans op het pad G en θ(z) is de winding angle. Hierbij beginnen we met θ(0) = 0 en we tellen de hoek die de draaiing van het pad maakt erbij op. Dus ± π voor een pad dat over een tegel loopt. Hierbij is tegen de klok in draaien + en met de klok mee. De waarde s is een reële waarde waarvoor F s (z) holomorf is, s wordt ook wel de spinwaarde genoemd. De functie is holomorf als deze voldoet aan vergelijking (1.). Zijn er waarden b 6

8 van s waarvoor de F s (z) functies holomorf zijn? Stel dat een pad vanaf punt 0 komt en door de onderkant in een tegel gaat. Dan zijn er twee mogelijke omgevingen van de tegel zie figuur.. Figuur.: De twee omgevingen Het pad verlaat uiteindelijk de tegel aan de linker- of rechterkant. Nu zijn er dus per omgeving twee opties: tegel a of b zie figuur.3 1a 1b, a b Figuur.3: De mogelijke paden Elke omgeving moet voldoen aan de holomorfe vergelijking (1.). Met de twee vergelijkingen die we krijgen willen we de waarden voor s afleiden waarvoor de functies holomorf zijn. (1 + µ)p (1a) + (1 + µ λ µλ 1 )P (1b) = 0 (1 + µ λ 1 µλ 1 )P (a) + (1 µλ 1 )P (b) = 0 (.) met µ = ie is π, λ = e isπ. De P (G) s zijn onbekend. Maar we weten wel de verhouding P (1a)/qa = P (1b)/b voor de eerste omgeving en P (a)/a = P (b)/qb voor de tweede omgeving. De P (G) s zijn nu te vervangen door de gewichten van de gesloten lus en de tegels. Nu is er dus een lineair stelsel van de gewichten a en b: (1 + µ)qa + (1 + µ λ µλ 1 )b = 0 (1 + µ λ 1 µλ 1 )a + (1 µλ 1 )qb = 0 (.3) 7

9 met µ = ie is π, λ = e isπ. De determinant van het systeem is: λ 1 (1 + µ)(1 µλ 1 )(λ + (q )λ + 1) (.4) Voor niet-triviale oplossingen moet de determinant van het systeem 0 zijn. Het (1+µ) deel is 0 voor s = 1+4n. Voor deze s waarde valt de linker helft van het lineair stelsel vergelijkingen weg dus in dit geval verdwijnt b. Het (1 µλ 1 ) deel is 0 voor s = 1 + 4n. Voor deze s waarde valt de rechter helft van het lineair stelsel vergelijkingen weg dus verdwijnt a. In deze systemen wordt het systeem alleen met tegel a of b gedefinieerd. Deze s waarden zijn niet zinvol aangezien we naar een combinatie van de twee willen kijken. Het λ +(q )λ+1 deel van de vergelijking verdwijnt voor q = ± sin πs = ± sin πs. Nu is 0 q 4. Als s = n met n N dan volgt q = 0, µ = i en λ = 1 dus in dit geval zijn alle gewichten van a en b mogelijk. Voor s n met n N volgt. b a = ±1 sgn(sin πs = ±1 (.5) ) We moeten ook kijken naar de omgevingen waarvoor een pad de tegel van links, rechts of boven benadert. Deze omgevingen geven een equivalent stelsel van vergelijkingen, maar dan vermenigvuldiging met een factor i. Dus de functies zijn holomorf voor q = ± sin πs gewichten b = ±1 a en de verhouding van de. Rooster verbuiging Stel er is een buiging van het rooster hoek α, zie figuur.4 Figuur.4: links het originele rooster, rechts het verbogen rooster M Wat is de verhouding met de gewichten a en b als gevolg van de buiging. De F s (z) s zijn op dezelfde manier gedefinieerd maar nu wordt er bij de 8

10 winding angle θ(z) niet meer ± π bij opgeteld wanneer er door een tegel wordt gelopen, maar nu ±α of ±(π α) erbij opgeteld. Er zijn hier dus dezelfde twee omgevingen voor een pad dat vanaf punt 0 komt en door de onderkant in een tegel gaat, zie figuur. Alleen zijn de tegels nu verbogen. Hieruit volgt hetzelfde stelsel vergelijkingen (.3); er geldt nu dat µ = e iα(s+1) en λ = e isπ. λ blijft het zelfde. Er geldt voor dit systeem dat de niet-triviale oplossing q = ± sin πs ook voldoet. De verhouding b is nu: a b a = ±1 cos 1 α(s + 1) cos 1(π α)(s + 1) (.6) Voor de hoek tussen het pad en de zijde waar het pad de tegel binnenkomt maakt het niet uit of het pad loodrecht op de zijde van de tegel staat of parallel aan de twee aanliggende zijden van de tegelzijde is, zie figuur.5. Beide geven hetzelfde lineaire stelsel van vergelijkingen. Figuur.5: links loodrecht op de tegel, recht parallel aan de tegel.3 Potts model Het model van sectie.1 geeft een beschrijving van het het Q-state Potts model. Dit is een klassiek spinmodel op een rooster. Hier hebben alle snijpunten in het rooster een spinvariabele S i {1,,..., Q} en is er alleen interactie tussen de aanliggende spins op het rooster. Het Boltzmann gewicht van een spinconfiguratie is: W [{S i }] = e J ijδ(s i,s j ) = ( 1 + [e J ij 1]δ(S i, S j ) ) (.7) <i,j> <i,j> Waarbij het product is over de zijde < i, j > waarmee de aanliggende punten i en j in het rooster worden verbonden en J ij is de koppelingsconstante voor 9

11 de zijde < i, j >. Wanneer we de koppelingsconstante J 1 op de horizontale zijden nemen en J op de verticale, dan kunnen we het model herformuleren naar een lusmodel [3] maar dan op het overdekkende rooster M, zie figuur.6 Figuur.6: De stippellijnen zijn van de originele Q-Potts roostering. volle lijnen zijn van het overdekkende rooster M. De Er zijn op het rooster M de tegels met gewichten gedefinieerd voor de betegeling van het lusmodel, zie figuur.7. a b Figuur.7: tegels met de gewichten a en b zoals bij figuur.1 Elke gesloten lus heeft het gewicht Q. Voor de tegels op de verticale en 10

12 horizontale zijde van het originele rooster is er een verhouding: b 1 a 1 = ej1 1 Q, b a = ej1 1 Q (.8) Hierbij is 1 voor de horizontale en voor de verticale zijde. We nemen aan dat a 1 = a en b 1 = b dan hebben we de verhouding Q = (e J 1 1)(e J 1) Ook hebben we nu het model zoals in sectie.1. En we kunnen weer de holomorfe functies (.1) definiëren. De resultaten van het model zijn dus de functies waarvoor we een gehele waarde groter dan 0 voor Q = q = 4 sin ( πs) hebben. Dit is voor: Q = 1 voor s = n of s = 1 + n met n N 3 Q = voor s = 1 + n met n N Q = 3 voor s = 3 + n of s = + n met n N 3 Q = 4 voor s = 1 + n met n N Nu kunnen we dus een discrete holomorfe functie definiëren op het Q-Potts model voor maximaal vier spinvariabelen. 11

13 Hoofdstuk 3 Vals Lusmodel Een andere betegeling op het vierkante rooster is, zie figuur 3.1 t u 1 u v w 1 w Figuur 3.1: De tegels met hun gewichten Hierbij staan onder de tegels hun gewichten en heeft elke gesloten lus het gewicht q. We gaan kijken naar een vals lusmodel, dit betekent dat er een pad wel eindigt in het rooster. De rest van de paden zijn gewoon net als in een lusmodel en lopen gewoon door. Er wordt een keuze gemaakt voor de holomorfe functies F s (z) die lijken op de functies van hoofdstuk maar nu geldt: F s (z) = P (G)e isθ(z) (3.1) G Γ(0,z] In plaats van dat de functies sommeren over alle paden die de punten 0 en z bevatten, definiëren we ze als de som over de paden waar er een open pad van 0 tot z is. Dus voor alle F s (z) geldt dat deze alleen een waarde niet 0 aannemen als er een pad mogelijk is dat van punt 0 loopt en in punt z eindigt. Stel dat er een pad van onderin de tegel komt. Er zijn nu vier mogelijke omgevingen zodat het pad in de randen van deze tegel eindigt, zie figuur 3. 1

14 Figuur 3.: De mogelijke omgevingen Er is het lineaire stelsel vergelijkingen. Hierbij hebben we met de verhouding van de P (G) s gedeeld door de gewichten, de P (G) s weer vervangen door de gewichten. De vier vergelijkingen zijn: t + µu 1 µλ 1 u v = 0 (3.) λ 1 u 1 + nu + λµv µλ 1 w 1 + µλ 1 nw = 0 (3.3) nu 1 λu µλ v + µnw 1 + µw = 0 (3.4) µλ u 1 + µλu + nv λ w 1 + λ w = 0 (3.5) met µ = e iφ, φ = (s + 1) π, λ = eisπ. Als we het rooster buigen met α dan is φ = (s + 1)α. Voor de complexe vergelijkingen (3.)-(3.5) zijn er zes onbekende gewichten. Er is echter een relatie tussen de imaginaire vergelijkingen; Im[(q + 1)(3.) λµ 1 (3.3) + µ 1 (3.4)] =0 Im[(λµ 1 (λ nλ )(3.3) + µ 1 (nλ λ )(3.4) (n 1)(3.5)] =0 We kunnen dit dus als een 6 6 reeël systeem zien. Er zijn nu twee soorten oplossingen. Oplossingen met v en oplossingen waarvoor v = 0. Voor het geval v = 0 volgt dat de vierde omgeving niet meer mogelijk is. Dus we hebben vijf vergelijkingen. Nu is er voor het speciale geval dat q = 1 een niet-triviale oplossing voor alle s: t = sin πs, u 1 = sin(φ πs), u = sin φ, w 1 + w = sin πs (3.6) Voor v = 0, q ±1 hebben we dat de determinant van het systeem is: (n 1) sin φ sin(φ πs) (3.7) Nu moet sin φ = 0 of sin(φ πs) = 0. Uit beide volgt s = 1 + m met m N. De verhoudingen tussen de Boltzmann gewichten voor s = 1 zijn: t = u 1 u, w 1 = u 1, w = u (3.8) 13

15 Voor v 0 hebben we een 6 6 systeem dat met determinant: (n 1) sin φ sin(φ πs)( cos 4πs 3n + n 3 ) (3.9) Als we q parametriseren met q = cos γ met 0 γ π. Hierbij nemen we aan dat q zoals in hoofdstuk. Dan geldt dat een niet-triviale oplossing bestaat voor de spin die voldoet aan: cos 4πs = cos 6γ (3.10) Als we γ nu uitbreiden naar het interval [ π, π] en we kiezen s = 3γ π 1 hebben we de Boltzmann gewichten: t = sin(φ 4γ/) + sin 5γ/ sin 3γ/ + sin γ/ u 1 = sin γ cos(3γ/ φ) u = sin γ sin φ v = sin φ cos(3γ/ φ) w 1 = sin(φ γ) cos(γ φ) w = cos(γ/ φ) sin φ (3.11) De oplossingen van het systeem zijn voor v = 0 Het speciale geval dat q = 1 een niet-triviale oplossing voor alle s t = sin πs, u 1 = sin(φ πs), u = sin φ, w 1 + w = sin πs Voor willekeurige q is voor s = 1 en t = u 1 u, w 1 = u 1, w = u Voor v 0 hebben we s = 3γ (3.11) π 1 hebben we de Boltzmann gewichten 14

16 Hoofdstuk 4 Mijn pogingen We hebben in hoofdstuk een familie van functies gezien waarvoor discrete holomorfe functies te definiëren waren voor het lusmodel. In hoofdstuk 3 hebben we een vergelijkbare familie van functies gezien waarmee ook discrete holomorfe functies gedefinieerd zijn voor het valse lusmodel. Het idee voor dit project is om holomorfe functies te vinden voor andere betegeling. Hierbij wordt gekeken naar vergelijkbare functies zoals bij het lusmodel en vergelijkbare functies als bij een vals lusmodel. 4.1 Driehoeken met enkel pad Het eerste model wordt gedefinieerd door de betegeling van gelijkzijdige driehoeken. Er is nu dus geen vierkant rooster meer. Op de driehoeken loopt een pad dat twee zijden verbindt, zie figuur 4.1. a b c Figuur 4.1: De driehoekige tegels met gewichten Er zijn twee opties: We kijken naar de holomorfe functies in een lusmodel of in een vals lusmodel. 15

17 Lusmodel We kijken naar de functies F s (z) (.1) op een lusmodel zo als in hoofdstuk. Er zijn twee mogelijke omgevingen voor een pad van onder. Het pad loopt naar links door of naar rechts, zie figuur 4.. Figuur 4.: De twee mogelijke omgevingen met de enige mogelijke tegel ingevuld. Hiermee kunnen we dus twee vergelijkingen opstellen voor de gewichten a en b: (1 + µ)a = 0 (1 + µ 1 (4.1) )b = 0 s+ iπ Met µ = e 3. Uit de vergelijkingen volgt s = 1 + 6n met n N of a = b = 0. We hebben eigenlijk nog vier extra omgevingen twee voor een pad dat van rechts komt en twee voor een pad dat van links komt. De vergelijkingen van deze omgevingen zien er net zo uit als (4.1) maar dan met de gewichten verwisselt en vermenigvuldigt met een een factor e iπ 3. Dus volgt dat s = 1 + 6n met n N of a = b = c = 0. Dat legt de spin vast zonder een verhouding tussen de gewichten of de gewichten zijn 0. Met deze oplossing kunnen we het model niet bepalen. Vals Lusmodel In een vals lusmodel kijken we naar de functies van hoofdstuk 3. Stel dat een pad de tegel van onder nadert en het pad eindigt op deze tegel. Er zijn twee mogelijke omgevingen waarbij dit voorkomt, zie figuur 4.3. Figuur 4.3: De mogelijke omgevingen 16

18 Hiermee kunnen we twee vergelijkingen afleiden. µa + µ 1 b = 0 (4.) µ 1 λ 1 a + µλb + qc = 0 (4.3) s+ iπ Met µ = e 3 en λ = e iπs. We kunnen het systeem keer een factor e iπ 3 vermenigvuldigen om een pad dat van rechts en links komt te verkrijgen maar dan met andere gewichten. Hieruit volgt een systeem met zes vergelijkingen: µa + µ 1 b = 0 (4.4) µ 1 a + µc = 0 (4.5) µb + µ 1 c = 0 (4.6) µ 1 λ 1 a + µλb + qc = 0 (4.7) µλa + qb + µ 1 λ 1 c = 0 (4.8) qa + µ 1 λ 1 b + µλc = 0 (4.9) Uit de eerste drie vergelijkingen volgen de verhoudingen van a, b en c. b a = a c = c ( π b = µ = sin 6 πs ) ( π + i cos 3 6 πs ) (4.10) 3 De waarden a, b en c moeten reeël zijn. Nu neemt µ alleen de nietimaginairewaarden ±1 aan. Omdat b = a = c geldt kunnen alleen de a c b waarden µ = 1 mogelijk zijn. Dit is bij s = 1 + 3n met n N en nu is a = b = c. Dus van de laatste drie vergelijkingen zien we dat q =. 4. Driehoeken met twee paden Het tweede model wordt ook gedefinieerd door gelijkzijdige driehoeken maar nu lopen er twee paden door de driehoek heen, zie figuur 4.4. a b c Figuur 4.4: De driehoekige tegels met twee paden 17

19 Lusmodel We kijken weer naar de functies F s (z) (.1) op een lusmodel zo als in hoofdstuk. Voor een lusmodel moet gelden dat de paden altijd doorlopen. Hieruit volgt dat een dubbele zijde altijd vast zit aan een andere dubbele zijde. We krijgen dan dat het model is opgebouwd uit drie parallellogrammen, zie figuur 4.5. Figuur 4.5: Links tegels b a, in het midden tegels b a en rechts tegels c c Er blijven nu vier mogelijkheden voor een pad van onder, zie figuur 4.6. Figuur 4.6: De vier mogelijke omgevingen Dit geeft dezelfde vergelijkingen als bij de driehoeken met een pad maar nu keer q en dan ook nog twee keer de vergelijkingen van de tegels met gewicht c. (1 + µ)qa = 0 (4.11) (1 + µ 1 )qb = 0 (4.1) (1 + µ)qc = 0 (4.13) (1 + µ 1 )qc = 0 (4.14) s+ iπ Met µ = e 3. Uit de vergelijkingen volgt s = 1 + 6n met n N of a = b = c = 0 of q = 0. Deze vergelijkingen geven geen goede oplossingen aangezien we hier niet de verhouding tussen de gewichten kunnen afleiden of dat de gewichten 0 zijn en daarmee kunnen we het model niet bepalen. 18

20 Vals Lusmodel Een vals lusmodel is met deze tegels niet mogelijk. Want het is niet mogelijk om een driehoek in een configuratie van parallellogram uit figuur 4.5 aan te passen zodat er maar een pad eindigt. Dus is het niet mogelijk om een vals lusmodel te hebben met de tegels van figuur Lusmodel met vierkante tegels met kruisingen Het derde model is een model in een vierkante roostering zoals in hoofdstuk, maar nu zijn er ook kruisingen toegelaten, zie figuur 4.7. Figuur 4.7: De tegels met hun gewichten, in het derede geval worden de tegenoverstaande zijden door de kruising verbonden. Er is dus een lusmodel en geen vals lusmodel want de paden lopen altijd door. Laten we gesloten lussen en tegels een gewicht geven. De holomorfe functie van hoofdstuk heeft nu een probleem. Er zijn namelijk oneindig veel omgevingen mogelijk, zie bijvoorbeeld figuur 4.8. Figuur 4.8: De omgeving van een pad naar rechts gaat, is steeds uit te breiden met een extra lus Het is dus steeds mogelijk om de lussen uit te breiden door extra kruisingen toe te voegen. Nu is het idee om de functie van hoofdstuk te veranderen zodat deze omgevingen lineair afhankelijke vergelijkingen opleveren. Bijvoorbeeld door dat de kruisingen van een pad met zichzelf bijdragen leveren aan 19

21 functie (.1). Dus iets als: F s (z) = G Γ(0,z) P (G)e is(θ(z)+ (z) (4.15) Na de tweede kruising moet (z) dus ±π opgeteld worden. Wanneer we dit definiëren door per kruising waar een pad zichzelf snijdt een optelling te doen, krijgen we een inconsistent systeem. Er moet na de tweede kruising ±π opgeteld worden. Hieruit volgt figuur 4.9. = = = = π = = = = π Figuur 4.9: Waarbij het pad dat voor de tweede keer over de kruising loopt is aangeven met dubbele streep. Het is in dit geval niet mogelijk om voor de enkele kruisingen de optellingen van (z) te definiëren. Dus laten we (z) zo definiëren dat de tweede kruising ±π optelt zoals in figuur 4.9. Maar nu is zijn er nog steeds omgevingen zoals figuur Figuur 4.10: Er komt steeds - π bij voor de tegel met gewicht c waaneer we de tegel voor de tweede keer binnen gaan Nu geeft de toevoeging van (z) met ±π geen consistente functies. We kunnen het ook anders proberen door te definiëren dat het pad na de tweede kruising met zichzelf eruitziet als een pad dat loopt van de zijkant waar je de tegel inloopt naar de zijkant waar je de tegel voor de tweede keer uitloopt, zie figuur

22 Figuur 4.11: Nadat pad de tegel voor de tweede keer kruist vervangen we de kruising met een pad dat naar rechts gaat Maar nu is het pad over de andere twee zijden niet goed gedefinieerd en er is een probleem met omgevingen als 4.1. Figuur 4.1: De lichte pijlen geven aan hoe het pad gezien wordt na de tweede kruising Dus het systeem dat gedefinieerd is aan de hand van de vervanging van de kruising met een enkel pad heeft het probleem dat het pad niet altijd meer goed doorloopt. Laten we alle kruisingen na de tweede kruising met zichzelf vervangen op dezelfde manier maar nu door een tegel met het gewicht a of b in plaats van een enkel pad. Dit geeft wel een model waar de paden gewoon doorlopen, maar nu hebben we nog steeds omgevingen als figuur Figuur 4.13: Uit te breiden naar oneindig veel omgevingen en dit geeft oneindig veel vergelijkingen Deze oneindig hoeveelheid vergelijkingen is niet afhankelijk van elkaar. Deze manier geeft dus geen goede oplossing. 1

23 conclusie/samenvatting In dit verslag is gezocht naar discrete holomorfe functies op lusmodellen. Hierbij is eerst gekeken hoe dit in de literatuur is gedaan. En hierna is geprobeerd om op vergelijkbare methode discrete holomorfe functies te definiëren voor andere modellen. Er is gekeken naar een model met de betegeling van gelijkzijdige driehoeken met een pad tussen de zijden en er is ook gekeken naar een model met de betegeling van gelijkzijdige driehoeken waar twee paden overheen lopen die niet kruizen en als laatste is er naar een model gekeken van een vierkante betegeling dat gedefinieerd is met twee paden waarbij twee zijden verbonden zijn, kruisingen zijn nu dus toegestaan. Het is niet gelukt om niet-triviale functies te definiëren op deze lusmodellen. Voor de betegeling van gelijkzijdige driehoeken met een pad tussen de zijden hebben we voor een vals lusmodel wel een resultaat: s = 1 + 3n met n N Daar voor geldt nu dat a = b = c en q =. Op de ander modellen is geen vals lusmodel te definiëren.

24 Bibliografie [1] Simirnov S 007 Conformal invariance in random cluster models. I. Holomorphic fermions in the Ising model Prepint Math-ph/ [] Yacine Ikhlef and John Cardy, 009 Feb. Discretly Holomorphic Parafermions and Intergrable Loop Models [3] Baxter R J 198 Exactly solved Models in Statistical Mecahnics (NewYork: Academic) Dankwoord Ik wil op de eerste plaats Bernard Nienhuis bedanken voor de interessante gesprekken en voor de begeleiding van dit project. Veder wil ik Theo Nieuwenhuizen bedanken voor de organisatie van de presentaties. En ik wil Leon van der Kuyp bedanken voor de grammaticale ondersteuning. 3