Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Transcriptie

1 Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

2 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08)

3 Inhoudsopgave 0 Vectorrekening in dimensies 2 en Vectoren in het vlak en in de ruimte Rechten en vlakken Bases, coördinaten en vergelijkingen Afstanden, hoeken en het inproduct Het uitproduct Vectoren en meetkunde Opgaven Complexe getallen Rekenen met complexe getallen De complexe e macht, sinus en cosinus Complexe polynomen Complexwaardige functies van een reële variabele, harmonische trillingen Aantekeningen Opgaven Oefenen op tentamenniveau Differentiaalvergelijkingen Eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Aantekeningen Opgaven Oefenen op tentamenniveau Matrices en stelsels lineaire vergelijkingen Matrices i

4 ii INHOUDSOPGAVE 3.2 Rijreductie (vegen) Stelsels lineaire vergelijkingen Aantekeningen Opgaven Oefenen op tentamenniveau Vectorruimten Vectorruimten en lineaire deelruimten Opspansels, (on)afhankelijke stelsels Aantekeningen Opgaven Oefenen op tentamenniveau Rang en inverse van een matrix, determinanten Rang en inverse van een matrix Determinanten Aantekeningen Opgaven Oefenen op tentamenniveau Inproductruimten Inproduct, lengte en hoek Orthoplementen en orthonormale bases Afstandsbepalingen Aantekeningen Opgaven Oefenen op tentamenniveau Lineaire afbeeldingen Lineaire afbeeldingen Matrices van lineaire afbeeldingen I Matrices van lineaire afbeeldingen II Eigenwaarden en eigenvectoren, diagonaliseren Invariante deelruimten Duale ruimten Aantekeningen Opgaven Oefenen op tentamenniveau

5 INHOUDSOPGAVE iii 8 Orthogonale en symmetrische afbeeldingen Orthogonale afbeeldingen Symmetrische afbeeldingen Aantekeningen Opgaven Oefenen op tentamenniveau Differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Laplace-transformaties Tabel Laplace transformaties Aantekeningen Opgaven Oefenen op tentamenniveau A Voorkennis 271 A.1 Notaties A.1.1 Verzamelingen A.1.2 Afbeeldingen A.2 Partieel integreren A.3 Gonioformules A.4 Het Griekse alphabet A.5 Ellips, hyperbool, parabool B Antwoorden van de opgaven 279

6 iv INHOUDSOPGAVE

7 Voorwoord Deze syllabus hoort bij de vakken Lineaire Algebra A en Lineaire Analyse B (2WF07 en 2WF08) aan de Technische Universiteit Eindhoven. De syllabus is een bijgewerkte versie van de syllabus samengesteld door F. Simons met medewerking van ondergetekende. Naast deze syllabus wordt bij deze vakken een studiewijzer gebruikt met informatie over de specifieke gang van zaken. In elk hoofdstuk is een paragraaf opgenomen waarin in kort bestek wordt aangeduid waar de geïntroduceerde begrippen en technieken vandaan komen en voor welke vakken en vakgebieden de begrippen van belang zijn; historische gegevens komen voornamelijk uit [1] (zie de literatuurlijst achter in de syllabus). Volledigheid is daarbij niet nagestreefd; het betreft enkel een indicatie. Sommige van de daar genoemde onderwerpen lenen zich wel voor een korte bespreking tijdens een van de colleges. Van de meeste opgaven in deze syllabus zijn achterin antwoorden opgenomen, maar geen uitwerkingen. Een groot deel van deze antwoorden is aangeleverd door Herman Willemsen. Daarnaast is er een bijlage met specifieke voorkennis die benodigd is om de vakken goed te kunnen volgen. Hans Sterk juni 2006 v

8 Hoofdstuk 0 Vectorrekening in dimensies 2 en Vectoren in het vlak en in de ruimte Het begrip vector is oorspronkelijk bedoeld om over grootheden te kunnen spreken die naast een grootte ook een richting hebben. De inspiratie ervoor komt vooral uit de natuurkunde waar bijvoorbeeld snelheid en kracht typische grootheden met grootte en richting zijn. In dit hoofdstuk voeren we vectoren in het platte vlak en in de driedimensionale ruimte in. In latere hoofdstukken introduceren we het abstracte begrip vectorruimte dat van belang is voor vrijwel elke tak van wiskunde. Het vlak en de ruimte zijn speciale gevallen van vectorruimten Het begrip vector Onder een vector verstaan we een pijl in het vlak of in de ruimte met een zekere richting en grootte. Verslepen we een vector zodat zijn beginpunt elders komt te liggen (maar richting en grootte onveranderd blijven), dan beschouwen we deze nieuwe pijl toch als een representant van dezelfde vector. Een vector kunnen we dan op verschillende plekken in het vlak tekenen. In het vervolg zal het vaak voorkomen dat we een oorsprong in het vlak of in de ruimte gekozen hebben. In die situatie is het gebruikelijk vectoren te laten starten in de oorsprong. Soms zijn we niet consequent in het gebruik van beide zienswijzen, maar dat blijkt niet snel tot verwarring of fouten te leiden. Vectoren noteren we doorgaans door een letter met een streep eronder: v. -29

9 -28 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 O Figuur 1: Links zijn representanten van dezelfde vector getekend: richting en grootte zijn hetzelfde. Rechts vectoren met hetzelfde beginpunt, namelijk een in het vlak gekozen oorsprong O. In de literatuur kom je diverse andere notaties tegen, zoals v, v of v De nulvector Er is één bijzondere vector, namelijk een vector van lengte 0. Deze vector bepaalt geen richting. We geven de nulvector aan met Scalaire vermenigvuldiging We noteren met λv de vector die uit de vector v ontstaat door deze vanuit zijn beginpunt met een factor λ te vermenigvuldigen, met dien verstande dat we de richting van de vector v eerst omkeren als λ < 0. We noemen λv een scalair veelvoud van v of kortweg veelvoud van v. De (schaal)factor λ waarmee we de vector vermenigvuldigen noemen we wel een scalar. Scalairen geven we vaak aan met Griekse letters, maar het is geen verplichting Griekse letters te gebruiken. Doorgaans schrijven we 1v in plaats van v, v in plaats van ( 1)v, 3v in plaats van ( 3)v enzovoort. De vector v heet wel de tegengestelde van v. Soms is het zinvol de scalaire vermenigvuldiging duidelijk te laten uitkomen, bijvoorbeeld met een vermenigvuldigingspunt: 3 v. We zetten de scalar altijd links van de vector. Voor de scalaire vermenigvuldiging gelden de volgende rekenregels. 0 v = 0 voor elke vector v. λ(µv) = (λµ)v voor elke vector v en alle scalairen λ en µ. In woorden: als je de vector v eerst met µ vermenigvuldigt en het resultaat vervolgens met λ, dan is het resultaat gelijk aan de vector die je verkrijgt door v met het product λµ te vermenigvuldigen.

10 0.1 Vectoren in het vlak en in de ruimte -27 u 2 u u Figuur 2: Scalaire vermenigvuldiging Optelling van vectoren Als u en v twee vectoren zijn met hetzelfde beginpunt (daar kun je door verplaatsing altijd voor zorgen), dan is u + v de vector met hetzelfde beginpunt en met als eindpunt het vierde punt van het parallellogram opgespannen door u en v. De som van twee vectoren u en v is ook te bepalen door u en v kop aan staart te leggen. Merk op dat u + 0 = u. u+v u+v v v u u Figuur 3: Vectoroptelling: links via de parallellogramconstructie, rechts door de vectoren kop-aan-staart te leggen. Hier volgen de voor ons relevante rekenregels en afspraken voor de optelling van vectoren (we gaan niet op bewijzen in): Associativiteit van de optelling: (u + v) + w = u + (v + w) voor alle vectoren u, v en w. Dit is een rekenregel waarvan de betekenis je misschien ontgaat. Optelling van vectoren is echter beschreven voor twee vectoren. Wil je bijvoorbeeld drie vectoren optellen, dan moet je eerst twee van de drie vectoren uitkiezen om op te tellen, bijvoorbeeld

11 -26 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 de eerste en de tweede, en daarna het resultaat hiervan bij de derde vector optellen. Associativiteit vertelt je dan dat het niet uitmaakt met welke twee opeenvolgende vectoren je start, welke twee je daarna optelt enz. In de praktijk zullen we haakjes doorgaans weglaten tenzij dat voor de context van belang is, bijvoorbeeld in een redenering. Hier is een voorbeeld met haakjes: v 1 + ((v 2 + v 3 ) + v 4 ) lees je als volgt: tel eerst v 2 en v 3 op, tel het resultaat hiervan op bij v 4, en tel tenslotte v 1 bij het resultaat van deze laatste berekening. Commutativiteit van de optelling: v + w = w + v voor alle vectoren v en w. In de praktijk gebruik je deze rekenregel als volgt. Bij het optellen van twee of meer vectoren mag je de volgorde van de termen naar eigen inzicht veranderen. In plaats van v + w schrijven we doorgaans v w. Er zijn ook rekenregels waarin scalaire vermenigvuldiging en optelling beide een rol spelen: Distributiviteit van de vermenigvuldiging over de optelling: λ(v + w) = λv + λw voor alle vectoren v, w en voor alle scalairen λ. Distributiviteit van de scalaire optelling over de scalaire vermenigvuldiging: (λ + µ)v = λv + µv voor alle scalairen λ, µ en alle vectoren v. Optellen van een vector v en zijn tegengestelde v levert de nulvector: v v = Lineaire combinaties Is v 1, v 2,..., v n een n-tal vectoren en zijn λ 1, λ 2,..., λ n reële getallen, dan heet λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n

12 0.2 Rechten en vlakken -25 een lineaire combinatie van de vectoren v 1, v 2,..., v n. Met de term lineaire combinatie geven we een naam aan vectoren die we kunnen bouwen uit een gegeven stelletje vectoren met behulp van de twee operaties vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging Voorbeelden. Rekenen met vectoren valt reuze mee. Na verloop van tijd zul je merken dat je bij berekeningen vaak enkele stappen overslaat. Pas wel op dat we vectoren niet met elkaar kunnen vermenigvuldigen (maar zie 0.5). a) 3v w + 2v + 3w = 5v + 2w. Met tussenstappen verloopt deze berekening bijvoorbeeld als volgt. Vanwege commutativiteit mogen we de vier termen herschikken: 3v w + 2v + 3w = 3v + 2v w + 3w. Vervolgens gebruiken we distributiviteit en het feit dat w = ( 1)w: 3v + 2v w + 3w = (3 + 2)v + ( 1 + 3)w = 5v + 2w. In dit voorbeeld hebben we het plaatsen van haken achterwege gelaten; dat is vanwege associativiteit in orde. Met plaatsen van haakjes zou de berekening bijvoorbeeld als volgt kunnen starten: (3v+( w+2v))+3w = (3v+(2v w))+3w = ((3v+2v) w)+3w =... b) De tegengestelde van λ v is λv. Hier is λ een willekeurige scalar. c) In de berekening v (w v) = 1 2 (v + w) zitten twee manieren verborgen om naar het midden van een lijnstuk te kijken. Zie je welke? d) Door de diverse rekenregels te gebruiken vind je: ( u + 2v + 3w) + (2u v + w) = u + v + 4w. 0.2 Rechten en vlakken Na keuze van een oorsprong O in het vlak of in de ruimte bepaalt elk punt de vector van O naar dit punt. Omgekeerd bepaalt ook elke vector met beginpunt in de oorsprong precies één punt, namelijk het eindpunt. Op deze manier corresponderen punten met vectoren. Soms gebruiken we de woorden punt en vector dan wel eens door elkaar. Dat blijkt geen problemen

13 -24 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 op te leveren en is bijvoorbeeld handig als we het over de rechte door twee punten hebben. We nemen vanaf nu aan dat we een oorsprong gekozen hebben. De oorsprong zelf correspondeert met de nulvector Rechten De veelvouden x = λv van een vector v die zelf niet gelijk is aan 0, doorlopen precies de punten/vectoren van een rechte of lijn l door de oorsprong. a + λv a v Figuur 4: Parametervoorstelling van een rechte met steunvector a en richtingsvector v. Elke vector op de rechte is te verkrijgen door een geschikt veelvoud van v op te tellen bij a. Is a een tweede vector, dan doorloopt, voor variërende λ, het punt x = a + λv de rechte m door a parallel met l. We noemen l : x = λv en m : x = a + λv een parametervoorstelling of vectorvoorstelling van de rechte l respectievelijk m. De vector v is een zogenaamde richtingsvector in beide gevallen. De vector a is een steunvector van de rechte m (je mag eventueel 0 steunvector van de rechte l noemen). We noemen λ wel de parameter. Samenvattend: voor de parametervoorstelling van een rechte heb je een steunvector nodig en een richtingsvector. Steun- en richtingsvector zijn niet uniek bepaald Voorbeeld. (Steun- en richtingsvector zijn niet uniek) De vector p+v ligt op de rechte l met parametervoorstelling x = p+λv. Vul maar λ = 1 in. De vector p+v kan net zo goed als steunvector fungeren. De

14 0.2 Rechten en vlakken -23 parametervoorstelling x = p+v+µv is net zo goed een parametervoorstelling van de rechte l. Bij variërende µ doorloopt p + v + µv dezelfde vectoren als p+λv bij variërende λ. In feite kan elke vector op l als steunvector fungeren. Naast v zijn ook 2v, 3v, π v richtingsvectoren van l. De vectoren van p + µ(2v) doorlopen bij variërende µ precies de punten van l Vlakken Ook vlakken in de 3-dimensionale ruimte kunnen we beschrijven met behulp van parametervoorstellingen. Voor een vlak hebben we een steunvector nodig, twee richtingsvectoren en (dus) twee parameters. Om werkelijk een vlak op te spannen, mogen de twee richtingsvectoren geen veelvoud van elkaar zijn. v v u u a Figuur 5: Links het geval van een vlak door de oorsprong. Rechts het geval met steunvector a en richtingsvectoren u en v. Het vlak U met richtingsvectoren u en v heeft parametervoorstelling U : x = λu + µv. Het vlak V met steunvector a en richtingsvectoren u en v heeft parametervoorstelling V : x = a + λu + µv. Net als bij rechten zijn steun- en richtingsvectoren niet uniek bepaald: een vlak kan op meerdere manieren met steun- en richtingsvectoren beschreven worden Voorbeeld. (Steun- en richtingsvectoren zijn niet uniek) Het vlak V met parametervoorstelling V : x = a+λu+µv kan ook beschreven worden met de parametervoorstelling x = a + ρ(u + v) + σ(u v).

15 -22 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 Dit betekent dat je elke vector van de vorm a + λu + µv ook in de vorm a + ρ(u + v) + σ(u v) moet kunnen schrijven en omgekeerd. Dat dit zo is volgt uit de gelijkheden a + λu + µv = a (λ + µ)(u + v) )(λ µ)(u v) a + ρ(u + v) + σ(u v) = a = (ρ + σ)u + (ρ σ)v. 0.3 Bases, coördinaten en vergelijkingen Om concrete berekeningen te kunnen uitvoeren is het handig om vectoren met behulp van getallen te beschrijven. De begrippen die we daarvoor nodig hebben zijn basis en coördinaat Basis Het vlak In het vlak hebben we twee basisvectoren nodig, bijvoorbeeld v 1 en v 2. v e + v e e 2 e 1 Figuur 6: Met behulp van de basis e 1, e 2 kunnen we elke vector uit het vlak beschrijven met behulp van een tweetal coördinaten. Die twee vectoren mogen geen veelvoud van elkaar zijn. Elke vector v uit het vlak is nu op unieke wijze te schrijven als lineaire combinatie van de vectoren e 1, e 2 : v = v 1 e 1 + v 2 e 2 voor zekere getallen v 1 en v 2 die uniek zijn voor v. De ruimte In de ruimte kiezen we drie vectoren e 1, e 2, e 3 die niet samen met 0

16 0.3 Bases, coördinaten en vergelijkingen -21 in een vlak liggen. Elke vector x kunnen we dan schrijven als lineaire combinatie van deze drie vectoren: v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, waarin de scalairen v 1, v 2 en v 3 eenduidig bepaald zijn (v 1 e 1 is een soort projectie van v op de rechte x = λe 1, zodat v 1 vast ligt, enzovoort). De vectoren e 1, e 2, e 3 vormen een basis van de ruimte en de getallen v 1, v 2, v 3 heten de coördinaten van de vector v ten opzichte van de basis. Als de vectoren e 1, e 2, e 3 onderling loodrecht zijn en lengte 1 hebben, spreken we van een orthonormale basis De vectorruimten R 2 en R 3 Via de coördinaten correspondeert elke vector in de ruimte met een drietal coördinaten v 1, v 2, v 3 zeg. Zo n drietal reële getallen, genoteerd als (v 1, v 2, v 3 ), is een element van R 3. Zo n drietal noemen we wel een coördinaatvector. Optelling van vectoren en scalaire vermenigvuldiging vertalen als volgt naar coördinaten: v + w (v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) λ v (λv 1, λv 2, λv 3 ) (waarbij w correspondeert met (w 1, w 2, w 3 )). Via de keuze van een basis is de verzameling R 3 de coördinaatruimte van de ruimte geworden. Let wel op dat de vertaling naar coördinaten afhangt van de keuze van oorsprong en basis! In deze coördinaatruimte kunnen we coördinaatvectoren optellen (coördinaatsgewijs) en met scalairen vermenigvuldigen (ook coördinaatsgewijs). In Hoofdstuk 4 zullen we zien dat ruimte en coördinaatruimte speciale gevallen zijn van het begrip vectorruimte. Op soortgelijke wijze kan R 2 de rol van coördinaatvlak van het platte vlak spelen. Het coördinaatvlak R 2 en de coördinaatruimte R 3 zijn voornamelijk bedoeld om expliciet met getallen te kunnen rekenen. In R 2 respectievelijk R 3 spelen (0, 0) en (0, 0, 0) de rol van nulvector. In de praktijk identificeren we vaak de coördinaatruimte met de ruimte (via de gekozen basis). We spreken dan rustig van de rechte in R 2 of R 3, van vectoren in R 2 of R 3, het vlak R 2, de ruimte R 3, een parametervoorstelling van een rechte in R 2 enz. We zullen zelfs wel schrijven a = (a 1, a 2, a 3 ) als (a 1, a 2, a 3 ) de coördinaatvector is van a, ook al is dat strikt genomen niet in orde Rechten in het vlak in coördinaten Is l : x = a + λv een rechte in het vlak met een zekere basis e 1, e 2, en zijn

17 -20 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 (a 1, a 2 ) en (v 1, v 2 ) achtereenvolgens de coördinaatvectoren van de steunvector en richtingsvector, dan krijgen we in coördinaten de volgende parametervoorstelling van de rechte: l : (x 1, x 2 ) = (a 1, a 2 ) + λ(v 1, v 2 ). Soms blijkt het handig bij deze beschrijvingen in kolommen te werken: ( ) ( ) ( ) x1 a1 v1 = + λ. x 2 a 2 Natuurlijk kunnen we ook gewoon schrijven: x 1 = a 1 +λv 1 en x 2 = a 2 +λv 2. Door λ te elimineren uit deze twee relaties vinden we een vergelijking van de rechte. Vermenigvuldig x 1 = a 1 + λv 1 met v 2 en x 2 = a 2 + λv 2 met v 1 en trek af: v 2 x 1 v 1 x 2 = v 2 a 1 v 1 a 2, een lineaire vergelijking in de onbekenden x 1 en x 2. Vergelijkingen van rechten zijn niet uniek, net zo min als parametervoorstellingen. Vermenigvuldig je bijvoorbeeld een vergelijking met 2, dan beschrijft het resultaat natuurlijk dezelfde rechte. Een parametervoorstelling van een rechte beschrijft de vectoren/punten van een rechte expliciet: voor elke λ vind je een vector/punt op de rechte (of de coördinaten daarvan). Een vergelijking van een rechte beschrijft de rechte impliciet: (y 1, y 2 ) ligt op de rechte dan en slechts dan als de coördinaten aan de vergelijking voldoen Rechten in de ruimte in coördinaten Een parametervoorstelling l : x = a + λv met a = (a 1, a 2, a 3 ) en v = (v 1, v 2, v 3 ) is l : (x 1, x 2, x 3 ) = (a 1, a 2, a 3 ) + λ(v 1, v 2, v 3 ) v 2 of, in kolomnotatie: x 1 x 2 x 3 = a 1 a 2 a 3 + λ v 1 v 2 v 3. Een rechte in de ruimte kun je ook door middel van twee lineaire vergelijkingen beschrijven. We gaan er hier nu niet op in Vlakken in de ruimte in coördinaten Een parametervoorstelling V : x = a + λu + µv van een vlak kan op diverse manieren in coördinaten uitgeschreven worden.

18 0.3 Bases, coördinaten en vergelijkingen -19 Parametervoorstelling in rijennotatie : (x 1, x 2, x 3 ) = (a 1, a 2, a 3 ) + λ(u 1, u 2, u 3 ) + µ(v 1, v 2, v 3 ). Parametervoorstelling in kolomnotatie: x 1 a 1 u 1 x 2 x 3 = a 2 a 3 + λ u 2 u 3 + µ v 1 v 2 v 3. Of gewoon elke coördinaat apart: x 1 = a 1 + λu 1 + µv 1 x 2 = a 2 + λu 2 + µv 2 x 3 = a 3 + λu 3 + µv 3. Na eliminatie van de parameters λ en µ ontstaat een vergelijking van het vlak, een lineaire vergelijking in de onbekenden x 1, x 2, x 3, d 1 x 1 + d 2 x 2 + d 3 x 3 = d 4, voor zekere d 1, d 2, d 3, d 4. Minstens één van de coëfficiënten d 1, d 2, d 3 moet hierbij ongelijk 0 zijn Voorbeelden. a) x = (1, 2) + λ(3, 1) en x = (1, 2) + µ( 6, 2) beschrijven dezelfde rechte. Waarom? b) Om een vergelijking van de rechte l : x = (1, 2) + λ(3, 1) te bepalen, starten we met x 1 = 1 + 3λ en x 2 = 2 λ. Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 3 en tel het resultaat op bij de eerste: x 1 + 3x 2 = 1 + 3λ + 3(2 λ) = 7. Een vergelijking van de rechte is dus x 1 + 3x 2 = 7. c) Het vlak V heeft 2x 1 x 2 + 3x 3 = 4 als vergelijking. Om hieruit een parametervoorstelling af te leiden, gaan we als volgt te werk. Aan de vergelijking zie je dat je bij elke waarde die je toekent aan x 2 en x 3 precies één bijpassende x 1 krijgt. Kennen we aan x 2 de waarde λ toe en aan x 3 de waarde µ, dan wordt x 1 = 2 + λ/2 3µ/2. Dus x 1 = 2 + λ/2 3µ/2, x 2 = λ, x 3 = µ.

19 -18 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 In vectornotatie: (x 1, x 2, x 3 ) = (2+λ/2 3µ/2, λ, µ) = (2, 0, 0)+λ(1/2, 1, 0)+µ( 3/2, 0, 1). Een parametervoorstelling is dan V : x = (2, 0, 0) + λ( 1 2, 1, 0) + µ( 3, 0, 1). 2 Om van de breuken af te komen kun je ook als parametervoorstelling nemen: V : x = (2, 0, 0) + ρ(1, 2, 0) + σ( 3, 0, 2). Zie je in waarom? d) Om een vergelijking te vinden van het vlak V met parametervoorstelling x = (2, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 2, 1) elimineren we λ en µ uit de drie betrekkingen x 1 = 2 + λ, x 2 = λ + 2µ en x 3 = µ, bijvoorbeeld als volgt (meer systematische methoden komen in latere hoofdstukken aan de orde): Vanwege x 3 = µ kunnen we µ in x 2 = λ + 2µ vervangen door x 3 : x 2 = λ + 2x 3. Trek de betrekkingen x 1 = 2 + λ en x 2 = λ + 2x 3 van elkaar af: x 1 x 2 = 2 2x 3. Een vergelijking is dus x 1 x 2 + 2x 3 = Afstanden, hoeken en het inproduct Met het oog op het vervolg blijkt het nuttig te zijn de begrippen afstand, lengte en hoek in verband te brengen met het begrip inproduct. Daartoe starten we in het vlak of de ruimte met een vaste oorsprong. De lengte van een vector x is de afstand van de oorsprong tot het eindpunt van x. De lengte geven we aan met x. De afstand tussen twee vectoren u en v is de lengte van de verschilvector u v, dus u v Het inproduct Het inproduct van twee vectoren u en v is gedefinieerd als u v cos ϕ,

20 0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct -17 v φ v cos φ Figuur 7: Als de hoek tussen de vectoren u en v hooguit π/2 is, dan is het inproduct gelijk aan het product van de lengte van u en de lengte van de projectie van v op de rechte x = λu. u waarin ϕ de hoek is die de twee vectoren u en v met elkaar maken. We noteren het inproduct met (u, v). Hebben de vectoren u en v bijvoorbeeld allebei lengte 4 en is de hoek tussen de twee vectoren gelijk aan 60, dan is (u, v) = 4 4 cos 60 = = 8. Bij een hoek van 120 wordt het inproduct 8. In het bijzonder kan het inproduct negatief zijn. In de literatuur komen ook andere notaties voor zoals u v (Engelse naam: dot product). Het inproduct wordt ook wel inwendig product of scalair product genoemd. Enkele opmerkingen en eigenschappen (die we niet in detail uitwerken): Nemen we voor v ook u, dan is natuurlijk de cosinus gelijk aan 1 zodat (u, u) = u 2. Dus u = (u, u). In het bijzonder is (u, u) 0 voor elke vector u en treedt gelijkheid alleen op als u = 0. Als je het inproduct van twee vectoren (ongelijk 0) kent en hun lengten, dan kun je de cosinus van de hoek tussen de vectoren berekenen: cos ϕ = (u, v) u v. Zodra we het inproduct in coördinaten hebben uitgedrukt, blijkt dit vaak bruikbaar.

21 -16 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 Symmetrie van het inproduct: (u, v) = (v, u) voor elke u en v. Gedrag ten aanzien van scalairen: λ(u, v) = (λu, v) = (u, λv) voor alle u, v en elke scalair λ. Gedrag ten aanzien van de vectoroptelling: voor alle vectoren u, v en w. (u + v, w) = (u, w) + (v, w), (u, v + w) = (u, v) + (u, w) Orthogonaliteit: Het inproduct van twee vectoren is precies gelijk aan 0 als de twee vectoren loodrecht op elkaar staan (men zegt ook wel orthogonaal zijn). Merk op dat het inproduct sowieso gelijk aan 0 is als een van beide vectoren de nulvector is. De nulvector staat loodrecht op elke vector (voor het geval je tegenwerpt dat de nulvector geen richting heeft: beschouw het dan als een handige afspraak) Het inproduct en coördinaten Laat e 1, e 2 een basis van het vlak zijn waarbij e 1, e 2 beide lengte 1 hebben en de twee vectoren loodrecht op elkaar staan (een orthonormale basis dus). Vertalen we dit geval naar coördinaten, dan krijgen we een eenvoudig te onthouden uitdrukking (in de gevallen waarin de basis niet orthonormaal is, is de beschrijving in coördinaten wat lastiger; we laten die beschrijving hier achterwege). Zijn namelijk v = v 1 e 1 + v 2 e 2 en w = w 1 e 1 + w 2 e 2 twee vectoren in het vlak, dan vinden we, met gebruikmaking van de rekenregels voor het inproduct en van het feit dat (e 1, e 1 ) = 1, (e 1, e 2 ) = 0, (e 2, e 1 ) = 0, (e 2, e 2 ) = 1: Dus: (v, w) = (v 1 e 1 + v 2 e 2, w 1 e 1 + w 2 e 2 ) = v 1 w 1 (e 1, e 1 ) + v 1 w 2 (e 1, e 2 ) + v 2 w 1 (e 2, e 1 ) + v 2 w 2 (e 2, e 2 ) = v 1 w 1 + v 2 w 2. (v, w) = v 1 w 1 + v 2 w 2. In het bijzonder vinden we een gemakkelijke (en bekende) uitdrukking voor de lengte van de vector v = v 1 e 1 + v 2 e 2 : v = v1 2 + v2 2.

22 0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct -15 Voor de afstand tussen u = (u 1, u 2 ) en v = (v 1, v 2 ) krijgen we u v = (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2. Voor de cosinus van de hoek ϕ tussen de vectoren (beide ongelijk 0) v = v 1 e 1 + v 2 e 2 en w = w 1 e 1 + w 2 e 2 vinden we cos ϕ = (v, w) v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 v v 2 2 w w2 2 Bij gebruikmaking van een orthonormale basis e 1, e 2, e 3 in de ruimte (dus vectoren van lengte 1 die twee aan twee loodrecht op elkaar staan), vinden we de volgende uitdrukking in coördinaten voor het inproduct van de vectoren v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 en w = w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 : v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3. Voor de lengte van de vector v krijgen we v = v1 2 + v2 2 + v2 3. De afstand tussen u en v is gelijk aan u v = (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 + (u 3 v 3 ) 2. En voor de cosinus van de hoek tussen de vectoren v en w (beide ongelijk 0) geldt: cos ϕ = (v, w) v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 v v v2 3 w w2 2 + w R 2, R 3 en het standaardinproduct Gemotiveerd door voorgaande discussie introduceren we het zogenaamde standaardinproduct in R 2 en R 3, beschouwd als zelfstandige vectorruimte. Een vector in R 2 is een paar reële getallen, zoals (a 1, a 2 ). Het standaardinproduct van twee vectoren a = (a 1, a 2 ) en b = (b 1, b 2 ) in R 2 is gedefinieerd als (a, b) := a 1 b 1 + a 2 b 2. In R 3 luidt de definitie van het standaardinproduct van de vectoren a = (a 1, a 2, a 3 ) en b = (b 1, b 2, b 3 ): (a, b) := a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3...

23 -14 Vectorrekening in dimensies 2 en Voorbeeld. De hoek ϕ tussen de twee vectoren u = (1, 0) en v = (1, 1) in R 2 bepalen we als volgt: cos ϕ = (u, v) u v = = 1 2 = De hoek die hierbij hoort is π/4 of Normaalvectoren Zijn u = (u 1, u 2, u 3 ) en v = (v 1, v 2, v 3 ) twee vectoren in het vlak V met vergelijking 2x 1 x 2 + 3x 3 = 6, dan geldt dus 2u 1 u 2 + 3u 3 = 6 en 2v 1 v 2 + 3v 3 = 6. Aftrekken van deze twee gelijkheden levert 2(u 1 v 1 ) (u 2 v 2 ) + 3(u 3 v 3 ) = 0. Deze gelijkheid kunnen we ook als volgt lezen: ((2, 1, 3), (u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3 )) = 0, ofwel, de verschilvector u v staat loodrecht op de vector (2, 1, 3). In het bijzonder is (2, 1, 3) een vector die loodrecht staat op alle richtingsvectoren van het vlak. We noemen (2, 1, 3) wel een normaalvector van het vlak. Wat we net in een concrete situatie hebben doorgerekend, blijkt ook algemeen te kunnen. Is a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = d een vergelijking van het vlak V, dan kunnen we dit herschrijven als (a, x) = d, waarbij a = (a 1, a 2, a 3 ) en x = (x 1, x 2, x 3 ). Zijn nu u en v twee vectoren in het vlak, dan geldt dus (a, u) = d en (a, v) = d. Aftrekken van deze gelijkheden levert (a, u) (a, v) = 0 en dus, via eigenschappen van het inproduct (welke?): (a, u v) = 0. Met andere woorden: de verschilvector u v staat loodrecht op a. In het bijzonder staan richtingsvectoren van het vlak V loodrecht op V. We noemen a een normaalvector van het vlak. Ook voor rechten in het vlak geldt iets soortgelijks: is a 1 x 1 +a 2 x 2 = d de vergelijking van een rechte, dan is (a 1, a 2 ) een normaalvector van de rechte. De vector staat loodrecht op elke richtingsvector van de rechte.

24 0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct Pythagoras Als u en v loodrecht op elkaar staan, dan vinden we voor het kwadraat van de lengte van de somvector u + v: u + v 2 = (u + v, u + v) = (u, u) + 2(u, v) + (v, v) = (u, u) + (v, v) = u 2 + v 2. Op dezelfde manier vinden we voor de verschilvector: u v 2 = u 2 + v 2. u + v u v v v u u Figuur 8: Als u en v loodrecht op elkaar staan, dan gelden de gelijkheden u + v 2 = u 2 + v 2 en u v 2 = u 2 + v 2. De plaatjes illustreren de relatie met de stelling van Pythagoras. Dit is een vectorvorm van de stelling van Pythagoras: de driehoek met als hoekpunten de (eind)punten 0, u en v is een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden ter lengte u en v. De schuine zijde, dat wil zeggen het lijnstuk dat u en v verbindt, heeft lengte gelijk aan u v. Geef zelf een vergelijkbare interpretatie van u + v 2 = u 2 + v Voorbeeld. We bepalen de afstand van (het eindpunt van) p = (1, 2) tot de rechte l : x = (8, 1) + λ(3, 4). Hiertoe zoeken we eerst een vector q op l zodat p q loodrecht op l staat, dat wil zeggen loodrecht op a. Om q te vinden lossen we op: ((1, 2) (8, 1) λ(3, 4), (3, 4)) = 0 ofwel ( 7) 3 9λ+1 ( 4) 16λ = 0. Hieruit volgt dat λ = 1. Dus q = (5, 5). De afstand van p tot q is (5 1) 2 + (5 2) 2 = 5. Dit is ook de afstand tussen p en de rechte l: voor elke andere vector op l blijkt de afstand tot p groter te zijn. Kijk maar. Is r een andere vector op l, dan moeten we p r en p q vergelijken.

25 -12 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 q q p r p r Figuur 9: Om de afstand van p tot de rechte l te bepalen zoeken we een vector q op l zodat p q loodrecht op l staat. Is r een willekeurige andere vector op l, dan illustreert het rechterplaatje dat de afstand tussen p en r groter is dan de afstand tussen p en q vanwege de stelling van Pythagoras. Omdat p q loodrecht staat op q r (waarom?) kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen op de driehoek met hoekpunten p, q en r. In vectortaal: we passen Pythagoras toe op de vectoren u = p q, v = q r en hun som u + v = p r. We vinden dus: p r 2 = p q 2 + q r 2. Kennelijk is p r > p q. We kunnen dus p q met recht de afstand van p tot de rechte l noemen. 0.5 Het uitproduct Definitie van het uitproduct Het inproduct van twee vectoren is een getal. Er is echter ook een nuttige constructie, die bij twee vectoren in de ruimte een vector aflevert met bijzondere eigenschappen. We beperken ons hier tot een bespreking op het niveau van coördinaatvectoren ofwel een bespreking van de situatie in R 3. Het uitproduct v w van de vectoren v = (v 1, v 2, v 3 ) en w = (w 1, w 2, w 3 ) is per definitie de vector (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ). Dit is een lastige uitdrukking die niet direct te doorgronden is. Het uitproduct v w blijkt een vector te zijn die loodrecht staat op zowel v als w en waarvan de lengte gelijk is aan v w sin ϕ, waarbij ϕ de hoek (0 ϕ π)

26 0.5 Het uitproduct -11 is tussen v en w. Bovendien is deze lengte gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door v en w. Hier is een lijstje met eigenschappen die allemaal door uitschrijven te verifiëren zijn (er zijn nog meer eigenschappen, maar die voeren nu te ver). a) v v = 0. b) Het uitproduct van v en w staat loodrecht op v en op w, dat wil zeggen het inproduct met deze twee vectoren is gelijk aan 0: (v w, v) = 0 en (v w, w) = 0. Deze eigenschap is handig om bijvoorbeeld, gegeven twee richtingsvectoren van een vlak, een normaalvector te bepalen. c) Antisymmetrie van het uitproduct: v w = (w v). w sin φ φ v Figuur 10: De lengte van het uitproduct van v en w is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door v en w. d) De lengte van het uitproduct in termen van de lengten van v, w en de hoek ϕ tussen v en w: v w = v w sin ϕ. Dit is precies de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door v en w (uit lengte maal hoogte, waarbij de lengte gelijk is aan v en de hoogte gelijk is aan w sin ϕ ). e) Relatie met vectoroptelling: u (v + w) = u v + u w en (v + w) u = v u + w u.

27 -10 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 f) Relatie met scalaire vermenigvuldiging: λ(v w) = (λv) w = v (λw). De onderdelen b) en d) leggen het uitproduct van twee vectoren net niet helemaal vast: op grond van deze twee onderdelen kan het uitproduct nog twee kanten uitwijzen (loodrecht uit het vlak opgespannen door v en w). We zullen in de context van de ruimte aanduiden hoe je meetkundig kunt beschrijven naar welke kant het uitproduct wijst. In het algemeen blijkt namelijk het volgende te gelden: als de basis e 1, e 2, e 3 zó gekozen is dat een kurketrekker die van e 1 naar e 2 gedraaid wordt in de richting van e 3 beweegt, dan beweegt een kurketrekker die van v naar w gedraaid wordt in de richting van v w. Beweegt de kurketrekker die van e 1 naar e 2 gedraaid wordt in de richting van e 3, dan beweegt een kurketrekker die van v naar w gedraaid wordt in de richting van v w Over het bewijs van eigenschap d) Zoals gezegd volgen de bewijzen door uitschrijven met behulp van de definitie. Bij onderdeel d) moet je wel subtiel manoeuvreren om de gelijkheid voor elkaar te krijgen. Vandaar dat we hier het idee achter de berekening toelichten. Als je wilt bewijzen dat v w = v w sin ϕ, is het handig om op de kwadraten over te stappen en aan te tonen dat v w 2 gelijk is aan v 2 w 2 sin 2 ϕ. Als je hierin sin 2 ϕ vervangt door 1 cos 2 ϕ, dan kom je op het spoor van het inproduct: v 2 w 2 sin 2 ϕ = v 2 w 2 (1 cos 2 ϕ) = v 2 w 2 (v, w) 2. Wat je dus doet is, door uitschrijven bewijzen dat v w 2 gelijk is aan v 2 w 2 (v, w) 2, dus dat (v 2 w 3 v 3 w 2 ) 2 +(v 3 w 1 v 1 w 3 ) 2 +(v 1 w 2 v 2 w 1 ) 2 gelijk is aan (v v v 2 3)(w w w 2 3) (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) 2. Dat laten we aan de lezer over De inhoud van een parallellepipedum Is P een parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c, dan is de inhoud ervan uit te drukken met behulp van een in- en een uitproduct.

28 0.5 Het uitproduct -9 a x b c c cos φ b Figuur 11: De inhoud van het parallellepipedum is gelijk aan de absolute waarde van (a b, c). a Uitgangspunt is dat de inhoud gelijk is aan de oppervlakte van een basisparallellogram, laten we zeggen opgespannen door a en b, vermenigvuldigd met de hoogte. De oppervlakte van het parallellogram is gelijk aan a b zoals we al zagen. Omdat a b loodrecht staat op het parallellogram, is de hoogte gelijk aan de (lengte van de) projectie van c op a b, dus aan de absolute waarde van c cos ϕ waarbij ϕ de hoek is tussen c en a b. De inhoud is dus a b c cos ϕ = (a b, c). Samengevat: de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c is gelijk aan (a b, c) Voorbeelden. a) Een normaalvector van het vlak V met parametervoorstelling x = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) + µ(3, 1, 0) is (1, 2, 1) (3, 1, 0) = ( 1, 3, 5). Een vergelijking van het vlak is dus x 1 + 3x 2 5x 3 = d voor een of andere d. Vullen we (1, 2, 3) in, dan vinden we dat d = 10. Een vergelijking is dus x 1 + 3x 2 5x 3 = 10. b) De oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (0, 0, 0), (1, 2, 1) en (2, 1, 3) is gelijk aan 1 2 (1, 2, 1) (2, 1, 3) = 1 2 (7, 1, 5) =

29 -8 Vectorrekening in dimensies 2 en Vectoren en meetkunde Vectoren kunnen ook nuttig zijn bij het bestuderen van meetkundige kwesties. Met behulp van vectoren vertaal je meetkundige situaties naar vectorrekening. Op die manier komt de meer algebraïsche machinerie rondom vectoren tot je beschikking en dus weer een andere mogelijkheid om een probleem aan te pakken Zwaartelijnen in een driehoek Een bekende stelling uit de vlakke meetkunde spreekt uit dat de drie zwaartelijnen in een driehoek door één punt gaan. Een zwaartelijn in een driehoek is een rechte door een hoekpunt en door het midden van de tegenover dit hoekpunt liggende zijde van de driehoek. C 1 (a + c) 2 1 (b + c) 2 A 1 (a + b) 2 B Figuur 12: In driehoek ABC gaan de drie zwaartelijnen door één punt. Van de middens van de zijden zijn de vectorbeschrijvingen aangegeven. Laat ABC een driehoek zijn. De bij de hoekpunten horende vectoren geven we aan met a, b en c. Het midden van de zijde BC correspondeert met de vector 1 (b + c). Een parametervoorstelling van de zwaartelijn door 2 A is dan ( ) 1 x = a + λ (b + c) a. 2

30 0.6 Vectoren en meetkunde -7 De twee andere zwaartelijnen hebben de parametervoorstellingen ( ) 1 x = b + µ (a + c) b ( 2 ) 1 x = c + ρ (a + b) c. 2 De vraag naar een gemeenschappelijk punt van de drie zwaartelijnen komt neer op de vraag of de parameters λ, µ en ρ zó te kiezen zijn dat de drie parametervoorstellingen dezelfde vector opleveren. Het is niet moeilijk om in te zien dat als we voor λ, µ en ρ elk 2/3 kiezen, de drie parametervoorstellingen de vector 1 (a + b + c) produceren. Het hiermee corresponderende 3 punt heet het zwaartepunt van driehoek ABC. In feite levert de vectoraanpak meer op: het feit dat we voor de drie parameters de waarden 2/3 nodig hebben, laat zien dat het zwaartepunt elk van de drie linstukken van de zwaartelijnen binnen de driehoek verdeelt in de verhouding 2 : 1. Aan de vectorexpressie voor het zwaartepunt zien we dat het zwaartepunt een soort gemiddelde van de drie vectoren a, b en c is Een parallellogram in een vierhoek Als tweede voorbeeld bekijken we een willekeurige vierhoek ABCD in het vlak, waarbij geen twee van de vier punten samenvallen. Laat E het midden zijn van AB, F het midden van BC, G het midden van CD en H het midden van AD. Uit het plaatje kun je de stelling al raden: vierhoek EF GH is een parallellogram (ongeacht de ligging van de punten A, B, C en D)! Om deze stelling te bewijzen, zetten we onze vectoren weer in en vragen ons af wat we eigenlijk dienen te bewijzen. We moeten laten zien dat de zijden EF en HG parallel zijn en even lang. In vectortaal: e f = ±(h g), waarbij we de met de punten corresponderende vectoren op de gebruikelijke wijze aangeven. Eerst drukken we de vier vectoren e, f, g, h uit in de vectoren a, b, c, d: e = 1 2 (a + b), f = 1 2 (b + c), g = 1 2 (c + d), h = 1 (a + d). 2 Hiermee werken we e f en h g uit: en e f = 1 2 (a + b) 1 2 (b + c) = 1 (a c) 2 h g = 1 2 (a + d) 1 2 (c + d) = 1 2 (a c). Hieraan zien we dat we onze stelling bewezen hebben.

31 -6 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 G C D H F A E B Figuur 13: De middens van de zijden van vierhoek ABCD vormen een parallellogram De hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt Een hoogtelijn in een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gaat en bovendien loodrecht staat op de tegenover het hoekpunt liggende zijde. Met behulp van eigenschappen van het inproduct laten we zien dat de drie hoogtelijnen in driehoek ABC door één punt gaan. Laat P het snijpunt van de hoogtelijnen uit A en uit C zijn en duid met p de bijbehorende vector aan. Er geldt dan p a b c ofwel (p a, b c) = 0, p c a b ofwel (p c, a b) = 0. We moeten nu aantonen dat p ook op de hoogtelijn uit B ligt, dus dat p b loodrecht staat op a c. In de volgende berekening herschrijven we het inproduct (p b, a c) met behulp van de gegevens tot 0. In de eerste stap brengen we p a in de berekening door p b te herschrijven als p a + a b en de expressie te zien als de som van p a en a b. Vervolgens passen we in de tweede stap de rekenregel (u + v, w) = (u, w) + (v, w) toe. In de derde stap vervangen we in de eerste term a c door a b + b c. Zo ontstaat onder meer de term (p a, b c) die gelijk is aan 0 en dus geschrapt kan

32 0.7 Opgaven -5 C P A B Figuur 14: De hoogtelijnen in driehoek ABC gaan door één punt. hoogtelijn uit B is gestippeld. De worden. Enz. (p b, a c) = (p a + a b, a c) = (p a, a c) + (a b, a c) = (p a, a b) + (p a, b c) + (a b, a c) = (p a, a b) + (a b, a c) = (a b, p a + a c) = (a b, p c) = Zodra we ook rotaties en spiegelingen in onze vectorrekening hebben ingebouwd, kunnen we nog meer situaties behandelen. 0.7 Opgaven 1 1 Teken, uitgaande van de vectoren u en v, de vectoren a. 2u + 3v, b. u v.

33 -4 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 2 Ga met behulp van de rekenregels voor vectoren na dat 2 v 1 + ((v 2 + v 3 ) + v 4 ) = (v 2 + v 1 ) + (v 4 + v 3 ). 3 Gegeven zijn de (verschillende) vectoren u en v. a. Waarom is x = u + λ(v u) een parametervoorstelling van de rechte door u en v? b. Welke van de volgende uitdrukkingen is ook een parametervoorstelling van deze rechte? x = (1 λ)u + λv, x = v + µ(u v), x = 2v u + ρ(u v). c. Ga na of 2u + 3v op de rechte ligt. 4 Gegeven zijn de verschillende vectoren u, v, w (in de ruimte). a. Laat zien dat x = u + λ(v u) + µ(w u) een parametervoorstelling is van het vlak door u, v en w (waarbij we aannemen dat geen van de drie vectoren op de rechte door de andere twee ligt). b. Welke van de volgende uitdrukkingen is ook een parametervoorstelling van dit vlak? x = (1 λ µ)u + λv + µw, x = v + λ(v u) + µ(w u), x = u + λ(w v) + µ(w u). 5 De rechte l heeft parametervoorstelling x = u + λ(v u). 3 a. Voor welke waarden van λ ligt x tussen u en v? b. Voor welke waarde van λ is x het midden van lijnstuk uv? c. Voor welke waarde van λ verdeelt x het lijnstuk uv in de verhouding 2 : 1?

34 0.7 Opgaven -3 6 Bepaal een parametervoorstelling van elk van de rechten in a) en b) en voor de vlakken in c) en d). a. De rechte door (2, 1, 5) en (5, 1, 4). b. De rechte door (1, 2) en (2, 4). c. Het vlak door (1, 2, 2), (0, 1, 1) en (1, 3, 2). d. Het vlak dat zowel de rechte x = ( 2, 1, 3)+λ(1, 2, 1) bevat het punt (4, 0, 3). 7 Ga na of (3, 4, 0) op de rechte met parametervoorstelling x = (1, 2, 1) + λ(2, 2, 1) ligt. Zijn x = (3, 4, 0) + λ(2, 2, 1) en x = (1, 2, 1) + µ( 2, 2, 1) parametervoorstellingen van dezelfde rechte? 8 Bepaal een vergelijking voor elk van de volgende rechten. a. x = (1, 3) + λ(2, 1). b. x = (2, 2) + λ(1, 1). c. x = (3, 4) + λ(0, 2). 9 Bepaal een parametervoorstelling voor elk van de volgende rechten in R 2. a. 2x 1 + 3x 2 = 3. b. 3x 1 4x = 0. c. 2x 2 = Bepaal een vergelijking van elk van de volgende vlakken. a. x = (2, 0, 1) + λ(1, 0, 2) + µ(1, 1, 0). b. x = (1, 1, 1) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 1). c. x = λ(4, 1, 1) + µ(0, 1, 1). 11 Bepaal een parametervoorstelling voor elk van de volgende vlakken. a. x 1 + x 2 3x 3 = 5. b. 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 0.

35 -2 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 4 c. x 2 = Teken een vector u in het vlak met lengte 2. Schets alle vectoren in het vlak waarvan het inproduct met u gelijk is aan Toon met behulp van de rekenregels voor het inproduct aan dat geldt: a. (λu, µv) = λµ(u, v) voor alle vectoren u, v en scalairen λ en µ. b. (u + v, u v) = u 2 v 2 voor alle vectoren u en v. 14 a. Bepaal de lengte van de vector ( 2, 2, 1). b. Bepaal de afstand tussen de vectoren (1, 1, 1) en (1, 4, 5). c. Bepaal de hoek tussen de vectoren (1, 1, 2) en (1, 1, 1). d. Bepaal het getal a zó dat de vector (1, 2, a) loodrecht staat op de vector (3, 1, 1). 15 Bepaal in elk van de volgende gevallen een vergelijking van de rechte door het aangegeven punt en loodrecht op de gegeven rechte. Bepaal ook de afstand van het punt tot de rechte. a. P = (3, 2) en l : x = (2, 1) + λ(1, 1). b. P = (1, 2) en l : 3x 1 4x 2 = Het vlak heeft vergelijking 2x y + 2z = a. Bepaal de afstand van (0, 0, 0) tot V. b. Het vlak W : 2x y + 2z = 24 is parallel met V. Bepaal de afstand tussen V en W. 17 Gebruik het uitproduct om een normaalvector en een vergelijking van elk van de volgende vlakken te bepalen. a. x = (1, 2, 2) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 1). b. x = (2, 1, 0) + λ(1, 2, 0) + µ(0, 2, 3).

36 0.7 Opgaven Bereken met behulp van het uitproduct: 6 a. de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (1, 1, 0), (2, 1, 1), (1, 3, 3). b. de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (2, 0), (5, 1), (1, 4). c. de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door (1, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 0, 1). 19 In hebben we parametervoorstellingen van de drie zwaartelijnen gegeven. De waarden van de parameters die bij het gemeenschappelijke snijpunt horen, hebben we niet afgeleid, maar eenvoudigweg geponeerd. In deze opgave bekijken we hoe we je die parameterwaarden kunt afleiden. a) Laat zien dat snijden van de zwaartelijnen door A en door B leidt tot de vergelijking (2 2λ µ)a + (λ 2 + 2µ)b + (λ µ)c = 0. b) Aan de vergelijking uit a) is voldaan als alle coëfficiënten gelijk zijn aan 0. Wat betekent dit voor λ en µ? Laat zien dat je op soortgelijke wijze aan de waarde van ρ kunt komen? c) Volgt noodzakelijkerwijs uit de vergelijking in a) dat de drie coëfficiënten gelijk moeten zijn aan 0? d) Bekijk onderdeel c) nog eens onder de aanname dat de oorsprong niet in het vlak van de driehoek ligt. 20 Zoals drie niet op één lijn gelegen punten een driehoek bepalen, zo bepalen vier niet in één vlak gelegen punten in de ruimte een viervlak. a) Definieer het begrip zwaartelijn in een viervlak ABCD naar analogie met het begrip zwaartelijn in een driehoek. b) Laat zien dat de vier zwaartelijnen in een viervlak door één punt gaan en beschrijf dit punt met vectoren.

37 0 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 C Q P A S R B Figuur 15: De middelloodlijnen in een driehoek gaan door één punt. 21 De middelloodlijn van een lijnsegment is een rechte door het midden van het segment, die bovendien loodrecht staat op het segment. In deze opgave bewijzen we dat de drie middelloodlijnen in een driehoek door één punt gaan. Laat P, Q en R de middens zijn van achtereenvolgens de zijden BC, AC en AB van driehoek ABC. a) Laat S het snijpunt zijn van de middelloodlijnen van AC en BC. Welke inproducten met de vectoren s p en s q zijn dan gelijk aan 0? b) Bewijs dat s r loodrecht staat op a b. Conclusie? c) Een andere eigenschap van een middelloodlijn is dat voor elk punt op de middelloodlijn van een segment de afstanden tot de eindpunten van het segment gelijk zijn. Stel de parametervoorstelling op van de middelloodlijn van het segment AC en laat zien dat de afstand van elk punt op deze middelloodlijn tot A en tot C gelijk is.