sinusfuncties geluid muziek

Transcriptie

1 sinusfuncties geluid muziek Een wiskundige en muzikale zoektocht naar welluidendheid door Chris Cambré uitgewerkt voor wie over het muurtje van de eigen discipline durft kijken Je kunt dit verhaal interactief lezen en beluisteren op mijn website: Een zoektocht naar welluidendheid 1. Frequenties en hun verhoudingen 1.1 Geluid Geluid is de waarneming van een verandering van druk in de lucht of een ander medium, b.v. water. Deze verandering plant zich voort door dit medium als een golf. De drukgolf van deze trilling wordt weergegeven door een sinusfunctie. Sinusfuncties van het type f(x) = a. sin( b. x ) zijn periodieke functies: In geluidsgolven bepaalt de amplitude de geluidssterkte en de periode de toonhoogte. Een trilling met een kortere periode trilt sneller en nemen we waar als een 'hogere' toon. Het aantal trillingen per seconde noemt men de frequentie, met als eenheid Herz (Hz). Een frequentie van 440 Hz wil zeggen dat het juist 1/440 van een seconde duurt om het patroon van de sinusfunctie een keer te doorlopen. Wiskundig kunnen we ook zeggen: de sinusfunctie heeft als periode 1/ De functie f(x) = sin (x) heeft een periode van 2π. - De functie f(x) = sin (b. x) heeft een periode van 2π/b. - De functie f(x) = sin (440. 2π x) heeft dus als periode 2π/(440. 2π) = 1/440. Een toon met een frequentie van 400 Hz wordt voorgesteld door de functie f(x) = sin (440. 2π x) Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 1

2 1.2 Een toonsysteem Theoretisch kan je alle willekeurige frequenties combineren tot muziek. Toch zingt ieder van ons zonder problemen do-re-mi-fa-sol-la-si-do mee met de Sound of Music. Om samen muziek te maken, kunnen we niet zonder: - een systeem van tonen die bij elkaar passen. - een referentietoon voor muzikanten en instrumentenbouwers. Toets je op een piano een la = 440 Hz in, dan neem je een luchtdrukgolf waar die 440 keer per seconde trilt. Maar op een piano staan niet één maar meerdere la's: De toonafstand tussen twee opeenvolgende la's noemt men een octaaf. Speel je een la een octaaf hoger, dan klinkt een trilling met een frequentie die tweemaal zo hoog is. Speel je een la een octaaf lager, dan is de frequentie van de trilling maar half zo groot. De naam octaaf verwijst naar het cijfer 8. Ons toonsysteem is inderdaad opgebouwd uit toontrappen, waarbij het octaaf de 8e trap is. De tonen tussen de la van 440 Hz en zijn octaaf van 880 Hz hebben een frequentie daar tussenin. De toontrappen binnen een octaaf worden in stijgende volgorde genummerd en vormen een toonladder. 1.3 Toonladders "Zing of speel eens een toonladder". De kans is groot dat je op deze vraag iets te horen krijgt als do re mi fa sol la si do. Deze opeenvolging komt op een piano overeen met de naast elkaar liggende witte toetsen. De toonladder met enkel deze stamtonen noemt men de 'diatonische toonladder'. Merkwaardig is dat de afstand tussen de verschillende tonen soms een hele toon is en soms een halve. Je hebt de neiging om te zeggen: Voeg die twee halve tonen samen, dan heb je meer logische toonladder, met enkel hele toonafstanden. Maar misschien is alles toch niet zo toevallig. De sleutel ligt in het onderzoek van samenklinkende tonen. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 2

3 1.4 Samenklinkende tonen Klinken twee tonen samen, dan kan je ook dit resultaat voorstellen door een sinusfunctie. Van twee samenvallende sinusfuncties zeggen we dat ze in fase zijn. De snijpunten met de evenwichtslijn (de zogenaamde 'knopen') vallen samen. Tellen we beide functies op, dan versterken ze elkaar. De maximale uitwijking (=amplitude) van de somfunctie is gelijk aan de som van de uitwijking van de aparte functies. Is de tweede sinusfunctie lichtjes verschoven t.o.v. de eerste, dan spreken we van een faseverschil. Omdat de toppen niet samenvallen, is de amplitude kleiner dan wanneer ze in fase zijn. 1.5 Verhoudingen tussen samenklinkende tonen Sommige samenklanken ervaren we als welluidend, andere dan weer niet. De sleutel ligt in de frequenties van de verschillende tonen. De somgolf, gevormd door de samenklank van twee tonen van een toonladder is ook periodiek. En wat blijkt? Hoe korter de periode van de samenklank, hoe welluidender we hem ervaren. De noemer van de frequentieverhouding bepaalt de welluidendheid van de samenklank. Hoe kleiner deze noemer, hoe welluidender. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 3

4 De periode van de samenklank grondtoon-octaaf is even groot als de periode van de grondtoon. We ervaren een octaaftoon nauwelijks als een andere toon en de samenklank grondtoon - octaaf klinkt heel welluidend. De periode van de samenklank grondtoon-kwint is dubbel zo lang als de periode van de grondtoon. Een kwint klinkt heel welluidend. Naast octaaf klinken ook kwint, kwart en terts (in dalende volgorde) nog welluidend. Andere samenklanken hebben een veel langere periode. De periode van de samenklank grondtoon- secunde of septime is acht maal zo lang als de periode van de grondtoon. Deze samenklanken ervaren we spontaan niet als welluidend. In de muziek worden deze samenklanken gebruikt om een gevoel van spanning op te roepen. 1.6 Klankkleur Wanneer de pijpen van een orgel worden aangeblazen met lucht, ontstaat geluid van diverse golflengtes. Alleen het geluid met een golflengte die past in de lengte van de pijp, kan blijven bestaan. De meest eenvoudige golf bepaalt de basistoon die we waarnemen. geluidssnelheid = frequentie. golflengte (v = f. l) Met een geluidssnelheid van ca. 343 m/sec kan je de lengte van een fluit of orgelpijp berekenen voor een willekeurige geluidsfrequentie. Ook golven waarbij de golflengte 'past' bij de lengte van de pijp kunnen een staande golf veroorzaken. Bij instrumenten en de menselijke stem klinken zogenaamde harmonische tonen of boventonen mee. Deze bepalen de kleur van de toon. Wat zijn nu de frequentieverhoudingen van deze boventonen? We weten hierbij: een verhouding 2/1 bepaalt een octaaf (do - do) een verhouding 3/2 bepaalt een kwint (do - sol) een verhouding 5/4 bepaalt een grote terts (do - mi) delen door verhouding toontrap toon do 2 2/1 octaaf do 3 3/2 kwint van octaaf sol 4 4/1 dubbel octaaf do 5 5/4 grote terts van dubbel octaaf mi 6 6/4 = 3/2 kwint van dubbel octaaf sol Bij een verdere verdeling treden ook tonen op die niet zuiver klinken. Zo kunnen verdelingen in 7, 11, 13 of 14 niet herleid worden tot een harmonisch klinkende frequentieverhouding. Bij het bouwen van instrumenten komt het er op aan om al experimenterend het relatief aandeel van deze storende tonen te verminderen en zo mogelijk uit te schakelen. Dit is niet altijd te vermijden. Zo produceren bronzen klokken ook niet-harmonische boventonen die heel moeilijk te controleren zijn. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 4

5 2. Een toonsysteem met 7 stamtonen 2.1 Opstapelen van kwinten In de natuurlijke boventonenreeks komen vooral de verhoudingen 2/1 en 3/2 voor. Pythagoras (6e eeuw v.c.) is er van overtuigd dat alles in de natuur kan beschreven worden in verhoudingen van natuurlijke getallen en bouwt zijn toonsysteem op vanuit deze verhoudingen. De frequentieverhouding 2 vormt de basisverhouding is (= octaafverhouding). Pythagoras stelt ook vast dat de verhouding 3/2 heel welluidend is (= kwintverhouding). Deze verhouding gebruikt hij om het octaaf te verdelen. Net zoals 'de vriend van mijn vriend is mijn vriend' stapelt hij kwintverhouding op kwintverhouding. De opbouw van het toonsysteem steunt dus op volgende bewerkingen: - Een octaaf verhogen (ook octaveren genoemd) =. 2 - Een octaaf verlagen = : 2 - Een kwint verhogen =. 3/2 - Een kwint verlagen = : 3/2 De verdeling van een octaaf in hele en halve toontrappen is geen keuze van Pythagoras. Ze is een gevolg de aanpak om het basisinterval te verdelen: het gebruiken van de 3/2 verhouding. Stop je niet bij 7 tonen, dan kan je verder gaan tot het octaaf verdeeld is in enkel halve toonafstanden. Maar dan begint het bouwsel van frequentieverhoudingen te wankelen. Uit een pianoklavier zou je kunnen afleiden dat een interval van 12 kwinten gelijk is aan 7 octaven. Want in kwintstappen belanden we na 12 kwinten op een si#. Tussen si en do is maar een halve toon, dus de si# moet samenvallen met een do. 2.2 Oeps een probleempje Het komma van Pythagoras (of waarom een stapeling van kwinten niet in een geheel aantal octaven past, ook al lijken 7 octaven en 12 kwinten allebei op dezelfde toon uit te komen...) Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 5

6 Wanneer we spreken over de kwint van de kwint van een grondtoon, zeggen we dat we kwinten optellen. Maar hiermee begeven we ons op glad ijs. Wiskundig zijn we immers helemaal niet aan het optellen. We vermenigvuldigen een frequentie met een factor 3/2. Dit is geen taalpurisme maar maakt een fundamenteel verschil. Bij optellen tel je lineair, bij vermenigvuldigen tel je exponentieel. We plaatsen beide modellen naast elkaar. lineair model: In gelijke stapjes tellen we met elke toontrap telkens 1/12 bij en komen de sol tegen op 7/12. Het octaaf komen we tegen op 12/12 = 1. do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do 0 1/12 2/12 3/12 4/12 5/12 6/12 7/12 8/12 9/12 10/12 11/12 12/1 2 = 1 12 kwinten optellen komt overeen met 12 keer 7/12 = 7 octaven: exponentieel model: De frequentie van het octaaf is 2 maal deze van de grondtoon. Bij elke toontrap van een halve toon vermenigvuldigen we de frequentie met 2 (1/12). do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do 1 2 1/12 2 2/12 2 3/12 2 4/12 2 5/12 2 6/12 2 7/12 2 8/12 2 9/ / / /12 = 2 We rekenen dus in een exponentieel verband met groeifactor 2 (1/12). Rekenen we met stappen van octaven, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 2. n octaven hebben verhouding van 2 n ten opzichte van de grondtoon. Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de grondtoon. Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 3/2. n kwinten hebben een verhouding (3/2) n ten opzichte van de grondtoon. Elke wiskundige weet dat een macht van 3 altijd oneven is, en dus nooit gelijk zal zijn aan een macht van 2. Een geheel aantal kwinten (verhouding 3/2) kan dus nooit gelijk zijn aan een geheel aantal octaven (verhouding 2/1). De verhouding tussen 12 kwinten = (3/2) 12 en 7 octaven (= 2 7 ) noemt men het komma van Pythagoras. (3/2) 12 = : 128 = =1, Met andere woorden: 12 kwinten = 1,0136 keer 7 octaven In ons toonsysteem is een do is een halve toon hoger dan een si. Een si# zou dus gelijk moeten zijn aan een do. Maar rekenend in kwinten komen we iets hoger uit dan rekenend in octaven. Is dat nu een probleem: één kommaatje na 7 octaven? Om gewone liedjes te zingen is dat geen enkel probleem. Het wordt enkel een probleem wanneer je een toonsysteem, waarin de toonafstanden afhankelijk zijn van de toontrap, wil combineren met de vrijheid om je toonladder niet alleen met do te beginnen, maar even goed met b.v. een fa of la. Want, al kom je een si# nog niet zo snel tegen, een Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 6

7 si# die verschilt van een do doet heel het systeem wankelen. Een la b is dan ook niet gelijk aan een sol#, een fa# niet aan een sol b enz. Speel je b.v muziek in de toonaarden Eb groot of c (do klein) dan moet je eigenlijk een Ab spelen. Speel je in de toonaarden A of E dan moet je een G# spelen en dat wordt moeilijk wanneer op een klavier voor de twee verschillende tonen slechts een toets voorzien wordt. Je hebt dan 3 mogelijkheden: - Ofwel maak je de keuze om slechts een van beide juist te stemmen. - Ofwel kies je voor het midden van beide tonen en speel je ze allebei een beetje onzuiver. - Ofwel bouw je een klavier met aparte toetsen voor de twee tonen Kwinten en tertsen het syntonisch komma Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de grondtoon. Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 3/2. n kwinten hebben een verhouding (3/2) n ten opzichte van de grondtoon. Een reine terts heeft een verhouding 5/4 ten opzichte van de grondtoon. Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 5/4. n tertsen hebben dus een verhouding (5/4) n ten opzichte van de grondtoon. Ook 5 en 3 zijn onderling ondeelbaar. Een macht van 3 zal nooit gelijk zal zijn aan een macht van 5. Een geheel aantal tertsen (verhouding 5/4) kan dus nooit gelijk zijn aan een geheel aantal kwinten (verhouding 3/2). De 4 kwinten komen hoger uit dan de 7 tertsen. Een terts, berekend vanuit gestapelde kwinten, heeft als verhouding (3/2) 4 : 4 = 81/64 = 1,2656. Een reine terts heeft als verhouding 5/4 = 1,25. De verhouding tussen beide noemen we het syntonische komma. Met andere woorden: 4 kwinten = 1,0125 keer 7 tertsen Een onoplosbaar probleem Een toonsysteem maken waarin zowel octaven, kwinten als tertsen klinken in deze verhoudingen blijkt onmogelijk. De getallen 2, 3 en 5 zijn onderling ondeelbaar. Machten van 3 en machten van 5 komen nooit overeen met machten van 2. Een stapeling van kwinten of tertsen komt dus nooit overeen met een geheel aantal octaven. 2.3 De reine stemming Tertsen, berekend vanuit de stapeling van kwinten (= 81/64 = 1.266), komen niet overeen met de frequentieverhouding 5/4 = 1.25 in de reeks natuurlijke boventonen. We zeggen dat ze niet rein zijn. Niet-reine tertsen vormen een hoorbaar probleem in een Pythagorastoonladder. Je kunt het probleem ontwijken en tertssamenklanken vermijden. Een alternatief is bij de terts de afhankelijkheid van de kwint op te geven en de terts gewoon te definiëren met de reine verhouding 5/4. Verder kan je ook de sext en de septiem berekenen vanuit de terts. De sext is de kwart van de terts en de septiem is de kwint van de terts. Het resultaat is de zogenaamde reine stemming. Terts, sext en septiem krijgen een meer eenvoudige frequentieverhouding t.o.v. de grondtoon dan bij Pythagoras. De lagere terts is opvallend hoorbaar. Rekenen we vanuit een la (440 Hz) dan komt de terts van Pythagoras uit op 557 Hz. De reine terts komt hoorbaar lager uit op 550 Hz. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 7

8 toontrap berekening door kwinten en tertsen verhouding frequenties frequentie verhouding vanuit la = 440 Hz Pyhtagoras prime (C) C 1/1 1/1 440 Hz 1/1 secunde (D) terts (E) kwart (F) C - G - D 2x kwint : 1 octaaf terug C - E 1xterts 3/2 x 3/2 : 2 9/8 495 Hz 9/8 5/4 5/4 550 Hz 81/64 F - C 2 : 3/2 4/3 587 Hz 4/3 dalende kwint van octaaf kwint (G) C - G 3/2 3/2 660 Hz 3/2 sext (A) septime (B) C - E - A 1x terts en 1x kwart C - E - B 1x terts en 1x kwint 5/4 x 4/3 5/3 733 Hz 27/16 5/4 x 3/2 15/8 825 Hz 243/128 octaaf (C) C - C 2/1 2/1 880 Hz 2/1 Met de reine stemming los je het tertsprobleem op, maar je creëert wel een gigantisch nieuw probleem, want de hele toonafstanden binnen een octaaf zijn niet meer gelijk. Dit wordt duidelijk op een klavier met enkel de zeven stamtonen. Secunde, kwart en kwint zijn berekend vanuit (iets te grote) kwintverhoudingen. Terts, sext en septiem (de gearceerde toetsen) zijn berekend vanuit de (iets kleinere) tertsverhouding. Het resultaat is dat alle hele toonafstanden niet meer gelijk zijn. Sommige hebben als verhouding 9/8 andere 10/9. We spreken van grote hele tonen en kleine hele tonen. De terts klinkt nu wel welluidend en rein, maar dat alle hele tonen niet gelijk zijn, heeft verstrekkende gevolgen. Want hoe groot zijn bijvoorbeeld de toonafstanden sol-la en la-si? in C: in G: do re mi fa sol la si do klein groot sol la si do re mi fa sol groot klein sol - la (kwint-sext) is een kleine hele toon. la - si (sext-septiem) is een grote hele toon. sol - la (prime-secunde) is een grote hele toon. la - si (secunde-terts) is een kleine hele toon. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 8

9 In de reine toonladder is de afstand tussen twee tonen afhankelijk van de toonladder. Je kan dus maar rein stemmen en spelen in een vooraf gekozen toonaard. Wil je in een andere toonaard spelen, dan moet je het instrument herstemmen en de onderlinge verhoudingen aanpassen. De droom is niet te realiseren: reine verhoudingen laten klinken in een toonsysteem waarbinnen de toonverhoudingen enkel bepaald worden door het nummer van de toontrap in de toonladder. In elk toonsysteem moet je leren omgaan met onzuiverheden en imperfectie. Doorheen de muziekgeschiedenis hebben wetenschappers en muzikanten zich over het probleem van stemmingen en frequentieverhoudingen gebogen. In verschillende stijlperiodes nam men andere keuzes. Muziektheoretici, instrumentenbouwers en wetenschappers formuleerden nieuwe oplossingen in een zoektocht naar welluidendheid. Wij hebben in die mate leren omgaan met een onzuiver toonsysteem dat vele mensen niet eens weten, laat staan horen, dat onze hedendaagse piano eigenlijk vals wordt gestemd. Om dat te kunnen, maken stemmers gebruik van een merkwaardig fysisch verschijnsel dat men zwevingen noemt. 2.4 Zwevingen Twee tonen die nauwelijks van elkaar verschillen ervaren we als storend of 'vals'. Maar hoe ziet de grafiek van een zo een trilling er uit? Wanneer een la (220 Hz) samenklinkt met geluidstrilling van 216 hoor je een zweving. Met de regels voor het optellen van sinussen, kan je de som schrijven als een functie met twee factoren: - de sinusfactor is de snelle trilling met een frequentie van 218 Hz (het gemiddelde van de twee). Het is deze factor die de toonhoogte bepaalt, net iets lager dan de la van 220 Hz. - Deze sinusgrafiek lijkt te trillen tussen de twee cosinusfuncties g 1 en g 2 = - g 1. De functie g 1 vinden we terug als de cosinusfactor van de somfunctie. Ze heeft een veel langere periode dan de sinusfunctie die de toonhoogte bepaalt en speelt de rol van amplitude. De absolute waarde van de cosinusfactor neemt 4 keer per seconde de maximale waarde 2 aan. Omdat de amplitude van de toon die we horen verandert, horen we zwevingen in de toonsterkte. Het aantal zwevingen per seconde is gelijk aan het frequentieverschil. Gitaarsnaren of orgelpijpen kan je stemmen door deze zwevingen weg te werken. Wanneer twee tonen slechts lichtjes van elkaar Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 9

10 verschillen, zal de toon met de langste periode steeds meer achterlopen. De twee golven geraken uit fase. Na verloop van tijd komen we aan een punt waar beide in tegenfase zijn. Omdat dit patroon zich blijft herhalen, horen we een pulserend geluid. Visueel kunnen we dit ook duidelijk maken door een strook met verticale streepjes. Wanneer het aantal streepjes in de tweede verdeling kleiner is dan in de eerste, dan zal het binnen de strook meerdere keren gebeuren dat de streepjes van de tweede verdeling net samenvallen met de witte gaatjes in de eerste. Je ziet een vlekachtige verdichting binnen het streepjespatroon. Het aantal van deze verdichtingen binnen de strook is gelijk aan het verschil tussen het aantal streepjes. 3. Een muzikale en rekenkundige zoektocht 3.1 Middeleeuwen kerktoonladders en de eerste meerstemmigheid De zogenaamde 'grote tertstoonladder in do groot' is een opeenvolging van de 7 stamtonen do-re-mi-fa-sol-la-si. Wanneer we een toonladder zingen, plaatsen we spontaan dezelfde afstanden van hele en halve noten op dezelfde plaatsen in de toonladder, met welke noot we ook beginnen. Zo zingen we even vlot een grote tertstoonladder vanuit een la zonder te moeten nadenken over toonafstanden. Zonder nadenken zingen we eigenlijk: 'la - si - do# - re - mi - fa# - sol# - la'. In de middeleeuwen kent men reeds deze opeenvolging, maar men gaat er ander mee om. In de zogenaamde kerktoonladders hangt de afstand tussen de tonen niet af van de plaats binnen de toonladder. Wanneer een toonladder begint met een andere toon dan do, worden tonen niet verhoogd of verlaagd, maar behouden ze hun toonhoogte. De volgorde waarin hele en halve tonen elkaar afwisselen hangt dus enkel af van de begintoon. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 10

11 Het gregoriaans is eenstemmige muziek, dus het componeren van samenklanken stelt zich al niet. Maar ook wanneer de eerste meerstemmigheid zich ontwikkelt in middeleeuwen, blijft de muziek melodisch gecomponeerd. Dat wil zeggen: De componist schrijft in de eerste plaats melodielijnen en geen opeenvolging van samenklanken waarin elke toontrap een welbepaalde functioneel verband heeft met de grondtoon. In de 12 e eeuwse meerstemmige muziek aan de kathedraalscholen steunen samenklanken op twee verhoudingen: octaven en kwinten en niet op de als vals ervaren terts. 3.2 Renaissance de terts verschijnt In de 16 e eeuw schrijft Orlandus Lassus heel vernieuwende muziek. Samenklanken zijn geen toevallige momentopnames van afzonderlijke melodielijnen. Het 4-stemmige Mon coeur se recommande a vous is duidelijk gecomponeerd als een opeenvolging van samenklanken. De steunpunten van de compositie zijn samenklanken die niet alleen op kwinten en octaven gebaseerd zijn, maar op drieklanken, gevormd door grondtoon terts kwint. De terts wordt niet langer vermeden als vals klinkend, maar wordt juist een middel om een samenklank te kleuren. Tot op vandaag blijft de samenklank grondtoon terts kwint de basis waarop gecomponeerd wordt, zowel in de klassieke muziek als in basisgitaarakkoorden. Muziekwetenschappers en wiskundigen staan voor een grote uitdaging. Is er een mogelijkheid om rein te spelen en toch muziek te kunnen maken in verschillende toonaarden? Ze volgen hierbij twee sporen: 1. We zoeken een systeem waar zoveel mogelijk tonen rein klinken en laten tonen in verafgelegen toonaarden vals. Deze stemmingen noemen we ongelijkzwevend, want de onzuiverheden zijn niet voor alle tonen gelijk. 2. Om in alle mogelijke toonaarden te kunnen spelen verdelen we de onzuiverheden gelijk over alle tonen. Deze stemmingen noemen we daarom gelijkzwevend. Een systeem waarin in elke toonaard elke toonafstand gelijk is, werd al in die 16 e eeuw uitgewerkt als theoretisch concept, maar men zal er enkele eeuwen over doen eer het algemeen ingang vindt in onze gelijkzwevende stemming. 3.3 Middentoonstemming met reine tertsen Hoe krijg je binnen een werkbaar toonsysteem een terts rein wordt de kernvraag. De middentoonstemming lijkt het ei van Columbus voor het stemmingsprobleem. In plaats van (zoals in de stemming van Pythagoras) vast te houden aan reine kwinten en de reine tertsverhouding op te geven, draait men de rollen om. Men geeft de reine kwintverhouding op om reine tertsen te krijgen. Dat kan enkel gerealiseerd worden door de kwint iets kleiner te maken. De kwintverhouding wordt hierbij verkleind van 3/2 = 1,5 tot 4 5 = 1,49535 De terts verhouding is gelijk aan 4 kwinten : 2 octaven = 4 5 x 4 5 x 4 5 x 4 5 :4 = ( 4 5) 4 : 4 = 5 : 4. Voor een wiskundige is deze oplossing logisch. Welke verhouding geeft, tot de vierde macht verheven en gedeeld door vier 5/4? Uiteraard 4 5! Er is nu geen verschil tussen grote en kleine hele tonen, want de secunde (D), ligt precies in het midden van de terts C-E. Vandaar komt de naam middentoonstemming. Resultaat: - De terts is perfect rein. - De kwint is iets te klein maar 1,49535 wijkt nauwelijks af van de 3/2 verhouding. - Alle afstanden kunnen berekend worden vanuit de kwint. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 11

12 In volgende tabel lees je de frequentieverhoudingen af van de middentoonstemming. In de drie laatste kolommen berekenen we de frequenties van de toonhoogtes, vanuit la A = 440 Hz en dit voor drie stemmingen: de middentoonstemming, de reine stemming en onze hedendaagse stemming. toontrap berekening door kwinten verhouding frequenties middentoon rein gelijkzwevend prime (C) C 1/1 1/1 440 Hz 440 Hz 440 Hz secunde (D) terts (E) kwart (F) C - G - D 2x kwint : 1 octaaf terug C - G - D - A - E 4x kwint : 2 octaven terug F - C dalende kwint van octaaf 4 5 x 4 5 : 2 1, Hz 495 Hz 494 Hz ( 4 5) 4 : 4 5/4 550 Hz 550 Hz 554 Hz 2 : 4 5 1, Hz 587 Hz 587 Hz kwint (G) C - G 4 5 1, Hz 660 Hz 659 Hz sext (A) septime (B) C - G - D - A 3x kwint : 1 octaaf terug C - G - D - A - E - B 5x kwint : 2 octaven terug ( 4 5) 3 : 2 1, Hz 733 Hz 740 Hz ( 4 5) 5 : 4 1, Hz 825 Hz 830 Hz octaaf (C) C - C 2/1 2/1 880 Hz 880 Hz 880 Hz Maar Met een kwintverhouding 4 5 komen 12 kwinten uit op ( 4 5) 12 = 125. Terwijl 12 reine kwinten iets hoger uitkomen dan 7 octaven (129,7/1 t.o.v. 128/1), zijn 12 middentoonkwinten dramatisch veel te klein (125/1 t.o.v. 128/1). De kwint die de kwintencirkel sluit wordt dus veel te groot. En weer blijkt het probleem niet opgelost probleem muziek De kwintencirkel sluit zeer slecht. De sluitende kwint is veel te groot. Ze wordt wolfskwint genoemd en moet vermeden worden. Vermijden van wolfskwint beperkt nog de onafhankelijkheid van toonaarden. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 12

13 3.4 Barok - de middentoonstemming bijgestemd Een slecht sluitende kwintencirkel beperkt het aantal bruikbare toonaarden. Deels experimenterend op het terrein, deels theoretisch bestudeerd, gaat men op zoek naar stemmingen die een grotere vrijheid bieden. Deze stemmingen hebben een uitgangspunt gemeen: ze zijn een compromis tussen harmonische flexibiliteit en zo rein mogelijke tonen. De ene geeft een groter gewicht aan de flexibiliteit, de ander streeft naar zo veel mogelijk zo rein mogelijke tonen. Het compromis bestaat er in om het aantal verlaagde kwinten in de kwintencirkel te beperken. In de 17e en 18e ontwikkelen diverse componisten uiteenlopende stemmingen. Omdat slechts een beperkt aantal kwinten verkleind worden, zijn de kwinten in de kwintencirkel niet meer gelijk, en zijn ook de onderlinge verhoudingen tussen de verschillende toontrappen in verschillende toonaarden niet meer gelijk. Je kunt niet zeggen: "zo klikt deze stemming", maar wel "zo klinkt deze toonaard in deze stemming." Het uitgangspunt van elke poging is wel steeds hetzelfde: - zo rein mogelijke tertsen in de meest gebruikte toonaarden - een zo goed mogelijk aansluitende kwintencirkel Werckmeister Een van de oplossingen is 4 5 aan te houden, maar ze niet op alle kwinten toe te passen. Eveneens begin 18e eeuw past Werckmeister deze methode toe. Hij gebruikt in zijn kwintencirkel 4 middentoonkwinten en 8 reine kwinten. De middentoonkwinten sluiten niet op elkaar aan. Door de schikking van de 4 middentoonkwinten neemt de nauwkeurigheid van de tertsen af voor tertsen die verder in de kwintencirkel liggen. Omdat de afwijkingen ongelijk verdeeld zijn over de verschillende tonen van de toonladder, spreekt men van een ongelijkzwevende stemming. Je kunt in deze stemming alle toonaarden gebruiken en de verschillen met de reine afstanden blijven beperkt. Maar de verschillende combinaties van grotere en kleinere tertsen en/of kwinten geven elke toonaard zijn eigen kleur. Barokcomponisten als J.S. Bach buiten dit verschil expressief uit. In de Mattheuspassie, waarin Bach het lijdensverhaal van Christus verklankt in een 3 uur lange compositie, wisselen objectief vertellen, kwaadheid, verdriet en reflectie elkaar af. Bach kiest in de 78 nummerdelen weloverwogen welke toonaard hij gebruikt. Als het volk een tweede keer Kruisig hem! roept, schrijft hij deze koorpassage een toon hoger dan de eerste keer om de spanning te verhogen. En toonaarden met meer wijzigingstekens gebruikt hij steeds in de meest emotionele passages. 3.5 Gelijkzwevende stemmingen Een veel radicalere keuze dan de vele compromisstemmingen is het kiezen voor een gelijkzwevende stemming. Men probeert niet langer de tertsen en kwinten in een of meerdere toonaarden zo rein mogelijk te doen klinken. Hoofdzaak wordt de harmonische vrijheid. Als de kwintencirkel sluit zonder een storende kwint die ofwel veel te laag ofwel veel te hoog is, dan kan een muzikant wisselen van toonaard onder zijn instrument te moeten herstemmen. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 13

14 Dergelijke systemen waren al lang bekend. Simon Stevin en de vader van Galileo Galilei werkten reeds in de 16 e eeuw dergelijk systemen uit. Maar het opgeven van rein klinkende tonen is eeuwenlang een net iets te grote stap. De evolutie naar een gelijkzwevende stemming wordt maar echt ingezet op het einde van de 18 e eeuw. In het classicisme en vooral de romantiek begint het benutten van de harmonische mogelijkheden zwaarder door te wegen dan het spelen van reine tonen. Net zoals een romanschrijver naast een hoofdintrige secundaire vertellagen introduceert, beperken componisten zich niet langer tot één toonaard, maar bouwen steeds ingewikkeldere harmonische constructies op. Maar de harmonische ruimte die ze hiervoor nodig hebben, is alleen mogelijk wanneer de kwintencirkel naadloos aansluit Gelijkzwevende stemming met 12 halve tonen De verdeling in 12 trappen is de gelijkzwevende stemming van onze chromatische toonladder: do(1) - do#(2) - re(3) - mi(4) - fa(5) - fa#(6) - sol(7) - sol#(8) - la(9) - la#(10) - si(11) - do(12). Hoe verdelen we dan een octaaf in 12? Een octaaf vind je door de frequentie van een toon te vermenigvuldigen met 2. We hebben dus te maken met een exponentieel verband met groeifactor 2. Wiskundig is de oplossing simpel. We maken de stapgrootte 12 keer kleiner. De groeifactor wordt dus 2 (1/12). In 12 stapjes ga je van do naar do en hierin vormt de kwint de 7e trap. - de frequentie van do# vind je als de frequentie van do. 2 (1/12). - de frequentie van re vind je als de frequentie van do. 2 (2/12). - de frequentie van re# vind je als de frequentie van do. 2 (3/12) enz. De terts wordt hierin de 4 e stap met als frequentieverhouding t.o.v. de grondtoon 2 (4/12). De kwint wordt hierin de 7 e stap met als frequentieverhouding t.o.v. de grondtoon 2 (7/12). Vergelijken we deze gelijkzwevende stemming met de reine stemming en de middentoonstemming, dan zien we dat de kwint tussen de verlaagde middentoonkwint en de reine kwint in zit. Terwijl de middentoonterts wel rein is, ligt de gelijkzwevende terts duidelijk hoger. Ook de sext en septiem liggen merkbaar hoger dan in beide andere stemmingen, maar we zijn inmiddels zo gewoon aan deze stemming dat het niet eens in ons opkomt om deze intervallen als onzuiver te ervaren Het 31-tonensysteem van Huygens Niemand zegt dat we een octaaf enkel in 12 halve tonen mogen onderverdelen. We kunnen onbevooroordeeld de vraag stellen: "Kunnen we een octaaf zo onderverdelen dat alle toontrappen gelijk zijn en tegelijk rein (of toch minstens zo rein mogelijk) klinken?" Huygens zoekt een verdeling van het octaaf in p stapjes, zo dat de q-de stap overeenkomt met de middentoonkwint 4 5. Wiskundig wordt het probleem nu: bestaat er een breuk q/p zo dat 2 q/p = 4 5? (Geheugensteuntje: 4 5 is de verlaagde kwintverhouding die tot een reine terts leidt) We kunnen deze gelijkheid herleiden tot: q/p = 2 log(5 1/4 ) = Dit irrationaal getal gaat Huygens benaderen door een kettingbreuk. Hij vind volgende breuken: 1/2 3/5 4/7 7/12 11/19 18/31 101/ /205. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 14

15 Volgens de laatste breuk kan je een octaaf onderverdelen in 205 stapjes, maar instrumenten maken met deze verdeling is wat anders. Huygens stelt voor om een octaaf in 31 toontrappen te verdelen, zodat je op elk instrument muziek kan spelen in om het even welke toonaard. Joan Albert Ban, priester en bevriend met Descartes en Huygens, ontwikkelt het "Volmaekte Klaeuwier". Omdat de afstand tussen de tonen en de omvang niet te groot zou worden, ontwerpt hij tussenliggende toetsen die boven elkaar liggen in verschillende rijen. Ban kan zo onzuiverheden opvangen zonder compromissen te doen, maar een succes wordt zijn uitvinding niet. Het instrument blijkt toch niet zo praktisch Links Muziekgeschiedenis De link In klank en beeld op mijn website in muziekfragmenten leid je naar een GeoGebraboek met muziekfragmenten waar je de schets van het omgaan met tonaarden en stemmingen doorheen de muziekgeschiedenis kan bekijken en beluisteren. Psychoakoestiek Op de pagina muzikale zoektocht van mijn website lees je onder gelijzwevende stemming meer over psychoakoestiek. Deze wetenschap onderzoekt hoe de mens geluid waarneemt. Deze waarneming hangt niet enkel af van de geluidsgolf zelf. Ook ons oor en onze hersenen spelen een rol. M.a.w. we horen niet gewoon wat er gespeeld wordt, maar wat ons oor en hersenen er van maken. Ook blijkt dat een zanger of instrumentist zich niet laat bepalen door wiskundige berekeningen van toonsystemen. Hij streeft naar reine verhoudingen en laat zich geen piano-oren aannaaien. Geluid en GeoGebra Klik in de menubalk van het GeoGeobra scherm op Help en selecteer Handleiding. Typ in de zoekbalk PlaySound. In de wikipagina s lees je hoe je geluid kunt gebruiken in GeoGebra bestanden. Chris Cambré Sinusfuncties geluid muziek pag. 15