Wiskunde waar Muziek in Zit

Transcriptie

1 Wiskunde waar Muziek in Zit Onderwerp voor profielwerkstuk VWO G. Meinsma, M. Vellekoop Waarom klinkt de piano zoals hij kinkt? Waarom heeft een piano 2 toetsen per octaaf en niet 0 of of wat voor aantal dan ook? En waarom vind je in sommige volksmuziek 5 tonen in een octaaf? Deze opdracht helpt je op deze vragen met behulp van wiskunde zelf een antwoord te vinden. En daarbij zul je ook leren dat elke moderne piano pas goed gestemd is als hij hardstikke vals is. Bloed en valsheid Dit alles heeft te maken met de enige wiskundige waar iedereen op de middelbare school wel eens van gehoord heeft: Pythagoras. Je kent hem van de beroemde stelling maar wat je wiskundeleraar je nog niet verteld heeft is dat in zijn opdracht een leerling (laten we zeggen, een middelbare schoolleerling) nogal bloedig vermoord is toen deze durfde te beweren dat de wortel uit 2 niet geschreven kan worden als een breuk van twee natuurlijke getallen. Opdracht. Zoek een bewijs (zoek op internet, bel iemand op een universiteit, lees oude afleveringen van Pythagoras of ga lekker zelf knutselen) dat de wortel uit 2 niet geschreven kan worden als een breuk van twee natuurlijke getallen. Laat het bewijs niet aan je leraar zien, want dat is dus gevaarlijk! Het was de filosoof en wiskundige Pythagoras van Samos (569 voor Christus tot 475 voor Christus) die voor het eerst een relatie wist te leggen tussen reine tweeklanken en getalverhoudingen. Hij kwam erachter dat twee tonen van frequenties f en f 2 mooi samenklinken als f zich verhoudt tot f 2 als twee kleine gehele getallen. Dit is makkelijk experimenteel te verifiren. Neem twee snaren op een gitaar en zorg ervoor dat ze dezelfde toon produceren, dat wil zeggen dat ze een gelijke spanning hebben. Als je nu een van de twee snaren precies in het midden afknijpt dan zal blijken dat de klanken van de lange en de afgeknepen snaar mooi samenklinken. Dit is een voorbeeld van een tweeklank waar de frequenties zich verhouden als staat tot 2.

2 Opdracht 2. Een toon met frequentie f is te representeren met de grafiek van een sinusfunctie, en wel de functie sin(2πf t), met t de tijd. Om nu te laten zien dat sommige tonen samen wel mooi harmoniren en andere niet ga je de grafieken van de volgende functies tekenen en opnemen in je werkstuk: sin(2πt) 0.8 sin(2π2t) voor, zeg, t = 0 tot en met t = 25, en sin(2πt) 0.8 sin(2π 00 5 t) Wat valt je op? Bedenk nu zelf een samenstelling van twee sinussen met verschillende frequenties die mooi harmonieert en laat zien dat dat niet meer zo is als je de verhouding tussen de frequenties ook maar een beetje verandert. Zoals je gezien hebt zien sommige tweeklanken er (op papier in ieder geval) stukken harmonieuzer uit dan andere. De niet zo harmonieuze combinaties noemen we vals. Denk bijvoorbeeld aan het verschil tussen de combinatie Marco Borsato en Sita versus Frans Bauer en Marianne Weber! Toonladders Met de monsterhit: Ik ween met jou om de Wiskunde Een piano heeft maar een eindig aantal toetsen. Opdracht 3. Ga dit na! We kunnen dus niet iedere frequentie reproduceren op de piano want daar zijn er oneindig veel van. Anders gezegd: een traploze toonladder kan gewoon niet op de piano. We moeten dus bij het stemmen van de piano onze toevlucht nemen tot een eindige toonladder. Maar dat is niet erg want volgens Pythagoras klinken verreweg de meeste frequenties niet mooi samen.

3 Het ligt nu dus voor de hand om de piano zo te stemmen dat we de meest reine tweeklanken wel kunnen vormen. De twee reinste tweeklanken zijn het octaaf, waar de frequenties zich verhouden als -staat-tot-2, octaaf: f : f 2 = : 2 en de reine kwint waar de frequenties zich verhouden als 2-staat-tot-3, kwint: f : f 2 = 2 : 3. De bekende toonladder van Pythagoras is nu een speciale toonladder die je verkrijgt door aan de hand van een enkele frequentie steeds weer nieuwe kwinten en octaven aan de ladder toe te voegen wat dus betekent dat je een zekere basisfrequentie herhaaldelijk met 2 of anderhalf vermenigvuldigt. De constructie van deze toonladder van Pythagoras is simpel: in eerst instantie vergeet je octaven en vorm je elf veelvouden van de kwintverhouding anderhalf. Dit geeft het rijtje frequentieverhoudingen (, 3 2, , ). Opdracht 4. Laat zien dat deze rij frequenties meer dan zes octaven bestrijken. Nu reduceer je de twaalf frequenties uit bovenstaande formule met octaven (dat wil zeggen, je deelt de frequenties een aantal keer door twee) en dat doe je net zolang tot ze in het interval [3/4,3/2] komen te liggen. De keuze voor dit interval is tamelijk willekeurig, overigens. Opdracht 5. Ga na welke 2 frequenties je dan krijgt en vul ze in op de 2 pianotoetsen van onderstaand plaatje. Dit is een ouderwetse manier om een piano te stemmen. De moderne piano is echter niet zo gestemd. Er is namelijk nog zoiets als transponeren en dat brengt roet in het reine eten en zorgt ervoor, zo zal blijken, dat je een moderne piano maar beter vals kan stemmen!

4 Transponeren en Logaritmen Wanneer ervaren mensen twee liedjes als gelijk? Een liedje kun je opvatten als het achtereenvolgens spelen of afspelen van een rijtje frequenties, ( f, f 2, f 3,..., f n ). () We maken ons hier niet druk om ritmes en boventonen (dat doen Frans en Marianne tenslotte ook niet!). Als je nu dit liedje op een cassette op zou nemen en versneld af zou spelen dan worden alle frequenties twee keer zo groot, en het versnelde liedje wordt dus gekarakteriseerd door het rijtje frequenties ( 2 f, 2 f 2, 2 f 3,..., 2 f n ). (2) Echter het versneld afgespeeld liedje Als zigeunerogen tranen (de binnenkort op single uit te brengen kraker van Marianne en Frans) herken je dan helaas nog steeds als zodanig en we noemen de liedjes () en (2) dan ook gelijk. In het algemeen is het zo dat we twee liedjes ( f, f 2,...) en (g, g 2,...) als gelijk ervaren indien er een λ > 0 bestaat waarvoor ( f, f 2, f 3,...) = (λg,λg 2,λg 3,...). Dit gelijk-zijn laat zich mooi illustreren op een logaritmische schaal. Zo zijn de liedjes ( f, f 2, f 3 ) en (g, g 2, g 3 ) van onderstaande figuur gelijk omdat ze op de logaritmische schaal een constante verschillen. y y = 2 log( f ) f f 2 f 3 g g 2 g 3 f

5 kam frets Opdracht 6. Zoek een gitaar en meet de afstanden tussen de kam en alle verschillende frets (zie plaatje). Zet vervolgens deze afstanden uit (op de x-as het nummer van de fret, dus, 2, 3 etcetera en op de y-as de 2 log van de afstand tot de kam van die fret). Wat valt je op, en bedenk een wiskundige formule a(k) voor de afstand van de kam tot fret nummer k. Een van de redenen dat de piano zo populair is is dat je er liedjes op elke gewenste toonhoogte kunt inzetten. Is het liedje te laag voor de zanger geen nood dan zet de pianist gewoon wat hoger in. Dit hoger of lager spelen van de muziek waarbij ingezet kan worden op elke pianotoets heet het vrijelijk kunnen transponeren van de muziek. Het wiskundige model hiervoor is (met f k de frequentie behorende bij toets nummer k): Stelling (Transponeren). Op een piano kan elk liedje vrijelijk worden getransponeerd dan en slechts dan als de verhouding van opeenvolgende frequenties constant is: f k+ f k = γ voor zekere γ > onafhankelijk van k. Opdracht 7. Bewijs dit! Een stemming van muziekinstrumenten zodanig dat f k+ / f k constant is, heet een evenredig zwevende stemming. Sinds ongeveer 00 jaar worden piano s altijd evenredig zwevend gestemd. Blijkbaar is de behoefte om te kunnen transponeren groot. In het geval dat je het octaaf in 2 tonen verdeelt de ons bekende piano s krijg je de volgende frequentieverdeling:

6 Dat hier de verhouding van opeenvolgende frequenties 2 /2 is volgt uit het feit dat we dan na precies 2 tonen een octaaf verder zijn: (2 /2 ) 2 = 2. Merk overigens op dat dit betekent dat de eerste en de zevende toets precies een verhouding 2 6/2 = 2 verschillen. Dus op de piano kun je worteltrekken. Iets dat je natuurlijk altijd al hebt willen weten. Blijft over de kwestie waarom we een octaaf zo graag in 2 tonen verdelen en niet in of 3 of wat dan ook. Een aardige verklaring is als volgt: Daarom bestaat een octaaf uit 2 tonen! De keuze van 2 komt voort uit de behoefte om reine octaven en kwinten te kunnen spelen op een evenredig zwevend gestemde piano. Helaas gaat dat niet zomaar. Als we bijvoorbeeld octaven willen kunnen spelen op een zo n piano, dan moet noodzakelijkerwijs gelden dat f k+ f k = 2 /n met n het aantal tonen per octaaf. Het gevolg hiervan is dat elk tweetal tonen f m en f m+k op de piano een frequentieverhouding moet hebben van f m+k f m = 2 k/n. Stelling (valse kwinten). Op geen enkele evenredig zwevend gestemde piano met octaven zijn reine kwinten te vormen. Opdracht 8. Bewijs dit! Dit is slecht nieuws. Het zegt dat moderne piano s inherent vals zijn! We kunnen reine kwinten op z n best benaderen op moderne piano s. Voor zo n benadering zoeken we k en n zodanig dat 2 k/n 3/2. Anders gezegd we zoeken k, n N waarvoor k n 2 log ( 3/2 ) = 0,

7 Opdracht 9. Bereken met behulp van je casio de breuken k/n voor alle k en n tussen en 00. Vergelijk deze (automatisch: je kunt toch programmeren op die casio?) met 2 log(3/2) en schrijf de beste 0 benaderingen op. Hoeveel toetsen moet je per octaaf hebben voor de beste benadering? En voor de tweede, derde? Tiende? Hardstikke leuk dat je nu wat goede breuken gevonden hebt maar wiskundigen houden niet zo van zomaar proberen. Daarom gaan we nu over naar het stuk dat Marianne en Frank altijd zo moeilijk vonden maar wat jij met de wiskundekennis die je al hebt goed kunt begrijpen. Om geschikte k en n te vinden is het slim om 2 log(3/2) te ontwikkelen in een zogenaamde kettingbreuk. Een kettingbreuk van een getal x 0 is een representatie van dat getal als een repeterende breuk van de vorm x = n 0 +, n + n 2 + n 3 + met n 0 een geheel getal, en alle andere n, n 2,... strict positieve gehele getallen. Een kettingbreuk kan eindig zijn (in welk geval x een rationaal getal is) maar kan ook oneindig zijn (als x niet rationaal is). Nu is het zo dat de getallen n j makkelijk te vinden zijn, wat x ook is. Ga maar na: omdat het rechter lid van x n 0 = n + n 2 + n 3 + (3) hoogstens is (want n ) kiezen we voor n 0 de afronding van x naar het beneden (notatie: n 0 = x ). Nu n 0 bekend is, kennen we dus het linker lid van (3) maar daarmee ook zijn inverse x, ( ) = n + x n 0 }{{} n 2 + x n 3 + Net zo volgt nu dat n = x. Zo doorgaand krijgen we n 0 = x, x =, x n 0 n = x, x 2 =, x n n 2 = x 2, x 3 = x 2 n 2 etcetera.

8 Opdracht 0. Bepaal de eerste 5 termen n j van de kettingbreuken van. x = 2/7 2. x = π 3. x = x = 2 log(3/2) Het derde getal in dit rijtje heet de gulden snede (Engels: golden section) een getal beroemd om zijn esthetische geometrische interpretatie. De Grieken waren er gek op. Kun je aangeven waarom de kettingbreuk van de gulden snede repeteert? Kettingbreuken gaan in de regel oneindig lang door. Door nu simpelweg kettingbreuken af te breken na een aantal termen, krijg je rationale benaderingen van x. Bijvoorbeeld na drie termen, x n 0 + n + n 2 + n 3 }{{} rationale benadering Nu kan men aantonen dat dergelijke benaderingen heel goed zijn. Zo geldt er: Stelling 2. x k/n /n 2 voor elke afgebroken kettingbreuk k/n van x. Opdracht. Laat zien dat dat inderdaad klopt voor je benaderingen van π en de gulden snede. Opdracht 2. Bereken de eerste 6 afgebroken kettingbreuken van 2 log(3/2) en schrijf ze als rationale getallen. Komen deze rationale getallen in je lijst van opdracht 9 voor? Opdracht 3. Beschrijf in eigen bewoordingen waarom de keuze voor 2 toetsen per octaaf een geschikte keuze is (en dus dat of 3 of wat dan ook minder geschikt is). Ten slotte merken we nog op dat de keuze voor 2 echt een keuze is en dat in sommige volksmuziek (met name Aziatische) men soms met 5 tonen per octaaf werkt. Het is ook denkbaar om het octaaf in veel meer stukken te verdelen dan 2, maar dan moet het toetsenbord wel heel breed worden, of de toetsen moeten heel smal worden of worden gecombineerd (met een soort shift -toets). Nu denk je natuurlijk dat niemand zoiets ooit geprobeerd

9 heeft. Nou, dat heb je dan mooi mis. Zo vervaardigde de fransman Bosanquet in 876 een harmonium met 53 toetsen per octaaf! Ga er maar aanstaan: Bosanquet s harmonium (876) met zijn 53 toetsen per octaaf