( ) 8 ( ) 10. Nearby integers P.G. van de Veen, 19 juli en dát getal heeft al 960 cijfers voor de komma. Want. log 3 = 2010 log 3 > 959

Transcriptie

1 earby integers P.G. van de Veen, 19 juli 011 Hoeveel opeenvolgende negens heeft ( + 3) 010 achter de komma Wat een vreemde vraag! Zijn dat er dan veel En hoe tel je ze Dit getal is toch veel te groot om uit te schrijven Want ( + 3) 010 is groter dan log 3 = 010 log 3 > en dát getal heeft al 960 cijfers voor de komma. Want Dus ( + 3) 010 is veel te groot om met een simpele rekenmachine uit te rekenen. En waaróm zouden er regelmatig negens achter de komma verschijnen En zouden er nog meer voorbeelden zijn van getallen die zich vreemd gedragen Hieronder het antwoord en de analyse in een aantal stappen. I. Eerste experimentele waarneming: Met de rekenmachine is snel te controleren dát inderdaad ( + 3) voor steeds grotere waarden van een geheel getal lijkt op te leveren. ( + 3) ( ) 8 ( + 3) ( ) 10 ( + 3) ( ) Vreemd! Al bij de niet eens zo grote macht 1 is de uitkomst volgens de Grafische Rekenmachine een geheel getal! Maar we kunnen ( + 3) 1 uitschrijven (met het Binomium van ewton) tot: ( 3 ) = En hierin zien we om en om dat er hoe dan ook een 3 blijft staan. Het eindantwoord kan onmogelijk een geheel getal zijn. En toch lijkt onze rekenmachine dat te beweren. Waarom Maakt de rekenmachine afrondfouten Dat blijkt niet het geval want een computerprogramma dat met grotere precisie rekent laat zien dat het antwoord inderdaad bijna een geheel getal is. Met het programma Maple zijn de eerste 3000 cijfers van ( + 3) 006 uitgerekend.

2 De eerste 3000 cijfers van ( + 3) 006. Het aantal negens direct achter de komma is gelijk aan , Er blijken een 998 achtereenvolgende negens direct achter de komma voor te komen. Ook dit getal is dus bijna een geheel getal of te wel een integer. Hoe kan dit Die vraag heeft mij lang bezig gehouden zonder aanvankelijk maar iets verder te komen. Totdat..

3 II. Tweede experimentele waarneming: ( + 3) met n=oneven convergeert helemaal niet naar een integer! Dat doet-ie alleen als n even is. Maar als n even is kunnen we schrijven: ( + 3) = ( + 3) = ( 5+ 4) De vraag is dus in het algemeen of en wanneer de vorm ( a+ b) naar een integer convergeert. Het blijft vreemd! Hoe kan er nu ooit een integer als antwoord komen uit een macht van irrationaal getal Ook die vraag bleef mij lang bezig houden zonder maar iets verder komen. Totdat.. III. Analogie: Er bestaat wel een uitdrukking die een beetje vergelijkbaar is, namelijk de getallen van Binet:. n n U n = 5 Deze formule levert voor willekeurige gehele n het n e Fibonacci getal. (Het getal uit het rijtje 1,1,,3,5,8,11 enz. ) Bij bijvoorbeeld met n=6 komt er inderdaad 8 uit, het 6e Fibonacci getal. Dus kennelijk kunnen wortels elkaar soms op een of andere manier opheffen. ou is dit wel een heel andere vorm dan ( + 3) Het verschil is dat in die formule van Binet al die + 5 en 5 termen in de teller mooi tegen elkaar wegvallen tegen de 5 in de noemer. IV. Plotseling inzicht in die analogie Bekijk eens een uitdrukking die er ongeveer uitziet als die formule van Binet zoals : ( a+ b) + ( a b) Omdat alle wortel-termen tegen elkaar wegvallen levert deze vorm beslist een integer resultaat op. Dus: ( a+ b) + ( a b) = Integer Aha! Maar dan geldt ook: ( a+ b) = Integer ( a b) en hieruit volgt dat ( a b) convergeren naar een integer als lim ( a b) = 0 Dat is het geval als a b 1 convergeert als b 1< a < b+ 1 (1) < en daaruit volgt dat ( a b) + zal + uitsluitend naar een integer Het voorbeeld met a=5 en b=4 voldoet hieraan want < < + We hebben nu in elk geval een ingang voor ons probleem gevonden!

4 V. Generalisatie: Wanneer zal nu in het algemeen ( convergeren ) p + q voor een even macht naar een integer Door weer te kwadrateren gaat deze vorm over in: ( p + q+ 4 pq) Door p q a en 4 pq b + = = gaat deze uitdrukking over in ( a b) voorwaarde dat: pq 1< p + q < pq + 1 () + en daaruit volgt als VI. Algebraïsche uitwerking en conclusies: a. Zijn er nog meer vormen zoals ( + 3) We weten dat voldaan moet zijn aan pq 1< p + q < pq + 1 Als we q = p+ 1 invullen zouden we als voorwaarde krijgen: p + 1 1< p+ 1< p + p + 1 De rechterkant uitwerkend zien we dat dit altijd inderdaad klopt want: 1 1 p + < p + p + p < p + p En de linkerkant uitwerkend: p + 1 < p + 1 en dat klopt ook (even kwadrateren) voor elke p > 1 Dus we hebben nu ontdekt dat élke vorm ( p p ) integer waarde convergeert! + + voor een even macht naar een 1 b b. Uit p + q = a en pq = b volgt p ap+ = 0 en daaruit volgt (met de ABC formule) 4 dat p alleen maar een integer kan zijn als a b het kwadraat is van een integer. (3) p en q kunnen dus makkelijk opgezocht worden door bij elke a en b die aan b 1< a < b+ 1 voldoen na te gaan of ze ook voldaan aan voorwaarde (3) Dat levert de volgende lijst van tot integer converterende wortelsommen tot de 10 waarin triviale veelvouden en triviale kwadraten zoals: ( 3+ 4) zijn weggelaten. ( 3) Enkele wortelvormen die naar een integer converteren ( ) + ( 3+ 7) + ( 5+ 7) ( 5+ 8) ( + ) + ( 6+ 8) ( 6+ 10) + ( ) ( 3 5) ( 5 6) ( 6 7) ( 7 8) 5 10

5 VII. Terug naar de oorspronkelijke vraag: Hoeveel negens achter de komma telt ( + 3) 010 Een getal dat eindigt op.99 wijkt 0.01 af van een integer. Het aantal negens van zo n getal laat zich berekenen met de logaritme. Als een getal b.v afwijkt van een integer staan er achtereenvolgende negens achter de 10 log 0.01 = komma want ( ) En een getal dat eindigt op wijkt af van een integer. 10 log dus 3 achtereenvolgende negens achter de komma. ( ) Aha, het aantal negens kunnen we dus berekenen door de 10 log te nemen van de afwijking en dan daarvan het aantal cijfers vóór de komma te nemen! Oh ja en die min laten we weg. VIII. Oplossing en generalisatie: u kunnen we eindelijk de oorspronkelijke vraag beantwoorden: Hoeveel negens achter de komma telt ( + 3) ( + 3) is gelijk aan ( ) ( 5+ 4) 1005 wijkt van een integer af met ( 5 4) 1005 Het aantal negens achter de komma van ( + 3) 010 volgt dus uit 1005 ( ) ( ) log 5 4 = 1005 log , Dus ( + 3) 010 heeft 1000 achtereenvolgende negens achter de komma! IX. og meer inzichten: Uiteraard is de afwijking van een integer niet altijd hetzelfde voor willekeurige ( Het hangt er maar net van af hóe snel lim ( a b) De vorm ( 7 + 8) convergeert heel snel, de vorm ( ) naar 0 convergeert. a juist langzaam. Zó langzaam dat de convergentie op een rekenmachine niet meer zichtbaar wordt aangezien de getallen te groot worden. --- b )