De stamboom!!!!!!! voor de docent! Hoeveel voorouders heb je als je teruggaat in de tijd?

Transcriptie

1 De stamboom voor de docent Hoeveel voorouders heb je als je teruggaat in de tijd? Vooraf.. Je hebt twee ouders. Beiden hebben ze ook twee ouders: je opa en oma. Ook zij hebben weer ouders: je overgrootouders. Als je nou teruggaat in de tijd; hoeveel voorouders heb je dan? In deze les maken de leerlingen kennis met exponentiële groei en maken ze gebruik van het wiskundig model hierachter om te achterhalen hoe groot hun stamboom is. Door het getal van hun directe voorouders te verdubbelen met elke generatie, vinden ze bij benadering het aantal voorouders dat staat voor de gehele wereldbevolking. Vervolgens komt er een discussie op gang over de implicaties hiervan: betekent dit dat iedereen familie is van elkaar, of is er misschien iets verkeerds aan dit wiskundig model? Bij dit project hoort ook een hands-on activiteit waarbij de leerlingen een stamboom gaan maken van hun eigen familieleden en zichzelf. Onderwijsdoelen Het vermenigvuldigen gebruiken om het aantal directe voorouders in elke voorafgaande generatie te berekenen; Achterhalen hoe ver je terug moet gaan in de tijd om een bepaald aantal directe voorouders te krijgen; Het gebruiken van schattingen voor de lengte van een generatie, achterhalen hoeveel directe voorouders je hebt wanneer je terug zou gaan naar een bepaald tijdstip in de geschiedenis, discussiëren over de waarde van het wiskundig model van exponentiële groei in relatie tot stamboomonderzoek; Nadenken over en visualiseren van hun eigen kenmerken in relatie tot de familieleden: welke plaats nemen zij binnen dit geheel in? Voordat je begint.. Leerlingen moeten goed kunnen vermenigvuldigen en zijn ook in staat om punten te zetten in een grafiek. Activeren van voorkennis Breng een gesprek met de groep op gang aan de hand van de volgende vragen: wat is een voorouder? noem eens voorbeelden van mensen die jouw voorouders zijn? noem eens voorbeelden van mensen die niet jouw voorouders zijn? wat is het verschil tussen een voorouder en een familielid?

2 Korte inhoud les 1 en les 2 Leerlingen gaan binnen hun eigen familie een drietal generaties terug en gaan na hoeveel voorouders ze hebben bij elke stap die ze nemen. Omdat elk mens twee ouders heeft, komen ze erachter dat het getal van voorouders verdubbelt bij elke oudere generatie. Deze regel gaan ze gebruiken om te achterhalen hoeveel voorouders ze zouden hebben gehad wanneer ze vele generaties terug zelf leefden. Uiteindelijk zullen de leerlingen ontdekken dat ze ongeveer een miljard voorouders nodig hebben om 30 generaties terug te gaan in de tijd. Maar een miljard voorouders is een enorm getal. Waren er 30 generaties terug überhaupt al zoveel mensen op de aarde? Deze spanning tussen het model en de werkelijkheid wordt verder besproken in les 2. Het tellen van generaties is eenvoudig, maar we zijn eigenlijk geïnteresseerd in het tellen van jaren. Neem aan dat een generatie 20 jaar duurt, dan gaan leerlingen nu berekenen hoeveel voorouders ze hadden gehad in bepaalde periodes uit de geschiedenis. Vervolgens vergelijken ze deze getallen met het aantal wereldburgers op dat desbetreffende punt in de geschiedenis. Hun wiskundig model suggereert dat ze maar liefst 4 miljard voorouders hadden rond het jaar 1200, terwijl er minder dan 400 miljoen mensen leefden toen Deze les wordt dan ook afgesloten met een discussie over de waarde en het nut van het wiskundig model van exponentiële groei met betrekken tot het berekeningen van de stamboom. Les 1: Terug in de tijd.. 1. Je directe voorouders zijn mensen uit wie jij direct of indirect voortkomt: je ouders, de ouders van je ouders, de ouders van je opa en oma, enz.. Als jij in onderstaand schema generatie 0 voorstelt, laat dan in dit schema zien hoeveel voorouders je hebt in elke voorafgaande generatie. En als je dan teruggaat in de tijd, hoe verandert die getal telkens? Elke keer dat je een generatie teruggaat, verdubbelt het aantal voorouders.

3 Bij opdracht 1: uitwerking en suggesties Je directe voorouders zijn mensen uit wie jij direct of indirect voortkomt: je ouders, de ouders van je ouders, de ouders van je opa en oma, enzovoort.. Als jij generatie 0 voorstelt, laat dan in dit schema zien hoeveel voorouders je hebt in elke voorafgaande generatie. Als je teruggaat in de tijd, hoe verandert dan dit getal telkens? Suggesties voor docent: Bij het maken van opdracht 1 kunnen de volgende vragen gesteld worden voor een beter begrip: noem iemand binnen je familie die een directe voorouder is. En wie is dat niet? in welke rij sta jij in dit schema? wie zijn de directe voorouders in de generatie boven jou? En daarboven? als je kijkt naar de grafiek, verandert dan het aantal voorouders met hetzelfde getal bij elke generatie? hoeveel verandert het getal precies bij elke generatie? Bij het maken van opdracht 1 kunnen de volgende vragen gesteld worden aan de vaardigere leerling: waarom verdubbelt het getal van voorouders per generatie? hoe verandert het totale aantal voorouders wanneer je teruggaat in de stamboom? wanneer je jou in de stamboom niet meetelt, kun je dan ook een oneven getal verwachten als je je voorouders bij elkaar optelt? 2. Hoeveel directe voorouders had je vijf generaties terug? En tien generaties? En twintig? Generatie Aantal voorouders

4 Bij opdracht 2: uitwerking en suggesties Het aantal voorouders van vijf generaties terug berekenen vraag een verdubbeling van het getal dat de leerllingen bij de vorige vraag gevonden hebben. Als we eenmaal beginnen met het afstrepen van generaties, dan wordt het lastig. Als we gaan van vijf naar tien generaties, zullen veel leerlingen blijven verdubbelen: 32 x 2 = 64, 64 x 2 = 128, enzovoort.. Deze rekenstrategie is niet ideaal omdat het veel stappen vraagt en op deze wijze is het makkelijk de tel kwijt te raken hoeveel generaties er nu terug geteld is. Moedig daarom leerlingen aan een eenvoudigere manier te vinden om dit uit te rekenen. Ze zullen waarschijnlijk opmerken dat bij elke deelvraag het aantal generaties verdubbeld. Als we dan kijken naar het aantal voorouders als we de verdubbeling van generaties toepassen, dan volgt onderstaand patroon. Met andere woorden: wanneer we een gegeven aantal generaties verdubbelen, dan verviervoudigd het aantal voorouders Deze regel maakt het veel eenvoudiger om het aantal voorouders te vinden: 10 generaties terug zouden er dus 32 x 32 = 1024 voorouders, en 20 generaties terug zouden er 1024 x 1024 = voorouders geweest zijn. Een andere aanpak impliceert aandacht schenken aan de wijze waarop we exponenten noteren. In plaats van '2 x 2 x... x 2' te schrijven, kun je de notatie van exponenten introduceren en een begin maken met de toepassing daarvan. Suggesties voor de docent: Bij het maken van opdracht 2 kunnen de volgende vragen gesteld worden voor een beter begrip: hoeveel voorouders had je vier generaties terug? kun je een snellere manier bedenken om te achterhalen hoeveel voorouders je 10 generaties terug had? wat zal je opmerken als het gaat om het aantal generaties in de vraag? wat gebeurt er met het aantal voorouders als je het aantal voorouders verdubbeld? wat zouden we 2 x 2 x 2 x 2 x 2 makkelijker op kunnen schrijven? wat betekent hier 'tot de vijfde macht' dan? Wat zou dan het getal 2 tot de tiende macht kunnen aangeven? Bij het maken van opdracht 2 kunnen de volgende vragen gesteld worden aan de vaardigere leerling: hoeveel voorouders heb je bij een n-aantal generaties? wat gebeurt er als we het aantal voorouders zouden verdrievoudigen met het aantal generaties?

5 3. Als je kijkt waarop je nu het aantal voorouders berekend hebt, hoeveel generaties terug was je dan direct gerelateerd aan 10 miljoen mensen? En aan 1 miljard mensen? Lijkt jou dit een redelijk getal? Leg je antwoord uit. 20 generaties terug had een mens ongeveer 1 miljoen voorouders. Om er 10 miljoen te krijgen, hebben vier verdubbelingen meer nodig, dus 24 generaties terug had een mens meer dan 10 miljoen directe voorouders. Drie generaties verder terug brengt ons op een getal van 16 x 2 tot de derde macht is 128 miljoen, en weer drie generaties verder brengt ons tot meer dan 1 miljard voorouders. Dit betekent dat een mens 30 generaties terug moet om 1 miljard voorouders te hebben. Dit lijkt nogal vreemd, want leefden er 30 generaties terug al 1 miljard mensen op deze aarde? Bij opdracht 3: uitwerking en suggesties Nu begint het werken met precieze getallen een beetje omslachtig te worden; moedig daarom de leerlingen aan minder precies te zijn in het weergeven van getallen. Ze weten nu al dat ze 20 generaties terug voorouders hadden, dus laten we het afronden naar 1 miljoen. Dit getal wordt vervolgens hun startpunt. Om van 1 miljoen voorouders te gaan naar 10 miljoen, is niet zo moeilijk. Een generatie terug geeft 2 miljoen.. dan 4 miljoen.. dan 8 miljoen.. en uiteindelijk 16 miljoen. Dus technisch gesproken moeten we vier generaties terug, zelfs wanneer ons dit tot meer dan 10 miljoen voorouders brengt. Sommige leerlingen zullen uitkomen op 23 generaties in plaats van 24 omdat 8 miljoen dichter bij 10 miljoen ligt. Door dit rekenproces een aantal keer te herhalen, komen de leerlingen erachter hoe ver terug ze in de tijd moeten gaan om tot 1 miljard voorouders te komen. Hun antwoorden zouden uiteindelijk komen te liggen tussen de 29 en 32 generaties, maar 30 generaties is het juiste antwoord (2 tot de 30e macht = ). Les 2: De wereld waarin ik leef.. In de tabel en de grafiek hieronder zie je hoe de populatie (wereldbevolking) over de tijd is veranderd. Wanneer we ervan uitgaan dat een generatie 25 jaar duurt, kun je het model gebruiken om het aantal directe voorouders te schatten In verschillende periodes in de tijd. 4. Als je kijkt naar wat hierboven geschreven staat, vind je dan dat jouw model goed aangeeft hoeveel voorouders je hebt als je teruggaat in de tijd? Waarom? En wanneer dit niet het geval is, Hoeven het dan dat er zoveel verschil zit tussen jouw en dit model? Historische gebeurtenis Jaar Wereldbevolking Generaties terug Voorouders Tweede Wereldoorlog ,5 miljard 3 8

6 Historische gebeurtenis Eerste stoommachine Uitvinding boekdrukkunst Jaar Wereldbevolking Generaties terug Voorouders miljoen miljoen 23 8 miljoen 4e kruistocht miljoen 32 4 miljard Bij opdracht 4: uitwerking en suggesties Wanneer we nu het aantal voorouders gaan berekenen, hebben we een extra stap nodig: het vertalen van jaren naar generaties. Om de leerlingen hierbij te helpen, kun je ze vragen hoeveel jaar geleden een bepaalde belangrijke gebeurtenis/periode plaatsvond in de moderne geschiedenis, bijvoorbeeld de Tweede Wereldoorlog. Deze begon ongeveer 75 jaar geleden, en dit komt overeen met ruwweg 3 generaties. Door deze stap toe te voegen, worden de leerlingen geholpen hun antwoorden in een zinvolle context te plaatsen. Wanneer de leerlingen klaar zijn, zullen ze met een grote vraag komen: hoe konden ze immers 4 miljard voorouders hebben in 1215?? De schattingen zijn blijkbaar veel te hoog. Een reden hiervoor is dat we een aantal mensen meer dan een keer hebben geteld. Stel dat Dirk en Merel getrouwd zijn en kinderen krijgen. Jaren en jaren later gaan hun achter- achter- achter- achterkleinkinderen Tom en Fleur met elkaar trouwen, niet wetende dat ze in de verte familie zijn van elkaar. Wanneer vervolgens hun kinderen de stamboom bekijken, zien zij geen 128 voorouders maar 126 voorouders, omdat Dirk en Merel twee keer zullen verschijnen. Als je dit bekijkt over zo'n duidend jaar, dan gaat dit aardig meetellen. Vervolgens kan een gesprek/discussie op gang gebracht worden wat deze wetenschap ons brengt: is iedereen uiteindelijk familie van elkaar?

7 Handige stamboom zeg Een stamboom is een afbeelding waarin al je familieleden staan: vaak met een foto en een stukje tekst erbij over die persoon. Maak nu je eigen stamboom Wat heb je nodig? een groot stuk papier of karton gekleurd papier een schaar potloden of stiften plakband of lijm Instructies Trek je rechter- en je linkerhand over op gekleurd papier Knip nu de handvormen uit..

8 Handige stamboom zeg Op elke vinger van je linkerhand schrijf je wat je van je familieleden geërfd hebt, zoals: kleur van je ogen haarkleur vorm van je gezicht haarlijn lengte oorlelletje (vast of los aan je huid) Op elke vinger van je rechterhand schrijf eigenschappen van jezelf over je karakter, je hobby's,... Teken een boomstam op een groot stuk papier of karton. Plak de handen van jou en van je familieleden die mee hebben gedaan, aan de bovenkant van de stam, op de manier zoals je die op de afbeelding ziet. De jongste deelnemer plaats je bovenaan.

9 De stamboom naam: Hoeveel voorouders heb je als je teruggaat in de tijd? klas: Les 1: Terug in de tijd.. 1. Je directe voorouders zijn mensen uit wie jij direct of indirect voortkomt: je ouders, de ouders van je ouders, de ouders van je opa en oma, enz.. Als jij in onderstaand schema generatie 0 voorstelt, laat dan in dit schema zien hoeveel voorouders je hebt in elke voorafgaande generatie. En als je dan teruggaat in de tijd, hoe verandert die getal telkens? 2. Hoeveel directe voorouders had je vijf generaties terug? En tien generaties? En twintig? 3. Als je kijkt waarop je nu het aantal voorouders berekend hebt, hoeveel generaties terug was je dan direct gerelateerd aan 10 miljoen mensen? En aan 1 miljard mensen? Lijkt jou dit een redelijk getal? Leg je antwoord uit.

10 Les 2: De wereld waarin ik leef.. In de tabel en de grafiek hieronder zie je hoe de populatie (wereldbevolking) over de tijd is veranderd. Wanneer we ervan uitgaan dat een generatie 25 jaar duurt, kun je het model gebruiken om het aantal directe voorouders te schatten In verschillende periodes in de tijd. 4. Als je kijkt naar wat hierboven geschreven staat, vind je dan dat jouw model goed aangeeft hoeveel voorouders je hebt als je teruggaat in de tijd? Waarom? En wanneer dit niet het geval is, Hoeven het dan dat er zoveel verschil zit tussen jouw en dit model? Historische gebeurtenis Tweede Wereldoorlog Eerste stoommachine Uitvinding boekdrukkunst Jaar Wereldbevolking Generaties terug Voorouders ,5 miljard miljoen miljoen 4e kruistocht miljoen