Stippelen op Gregorius

Transcriptie

1 Stippelen op Gregorius 8 april 2002 docent: Rob ten Broeke klas: V4B verslag: Michiel verder nog aanwezig: Danny en Sjef Bij twee leerlingen. Ik haal niet 1 en 2 uit elkaar (te weinig tijd, het is wel mogelijk). Hieronder zijn de opmerkingen willekeurig achter 1 of 2 geplaatst (ze staan dus voor wisselende personen, maar wel van 1 koppel). Eerste probleem: De vraag is of er een patroon met 20 stippen bestaat? 1: Volgens mij bestaat het niet, kan het niet. Blijkt te kloppen. 2: 2*n +1. Zo? 1: Enter Allebei: ja. Ze schrijven hun antwoorden op. De volgende:

2 1: n=1 5, n=2 9,..., 5, 9, 13 iedere keer komen er 4 bij... 2: 4 erbij... 1: dit zijn er 1, 2, 3, 4, 5,... ja, 5, 9, 13 2: maar volgens mij komen er hier drie bij (ze wijst naar het patroon). 1: maar hier komt er telkens 1 bij, en hier, daar en daar,..., hier dan weer drie, oh j en die dan. 2: maar hier 4, 4 en dan 5, 4+4 =8 en dan 5 is 13. Dus als je hier 13 hebt en je moet er dan weer 4 bij doen, dan krijg je 17. Dus = 21. Ze vullen dat in. Dan krijgen ze de volgende: n=10. 1: Even kijken,..., 4*n + 1 (ze zijn nu al op zoek naar de formule) 2: 4n+1, dat zou best kunnen, 4*2+1=9, 4*3+1=13, 4*4+1 = 17. Dus 4*10+1=41. Ze tikt het in. De volgende: 36 stippen? 1: 36 stippen? Dat is 4*... 2: Dat kan toch niet want 4*9 is precies 36. Dat zou eh, ja, nee dat kan niet. Dan krijgen ze 52 stippen. 2: volgens mij kan dat ook niet. 1: nee. Dan krijgen ze de vraag naar de formule en vullen die in. Kennelijk ok. Ze reageren nauwelijks op goed/fout van de computer. 1: Ok, dan gaan we naar de volgende. 2. Wacht even hoeveel punten hadden we nou? 1: Alle. 2: Alle? Maar hoeveel? 1: Ok, doen we de vorige even opnieuw. Ze herhalen alles. Ze vergeet Enter te doen en krijgt dus geen punten. Ze zien het en herhalen nog een keer. Dan zien ze dat ze andere vragen krijgen (andere aantallen). Ze corrigeren correct. Dan gaan ze naar de volgende serie. 2: Ja, dit is eh, tot de macht 2. Dus dan krijg je 4 tot de macht 2 is 16. 1: ik zal wel op enter drukken. 2: 25,... 1: hoeveel stippen... 2: : kan wel. Kan dus niet. 2: nee kan niet is... 12, ja kan wel. (hun tempo verhoogt) 2: n*n, nee niet n*n, ja toch wel. 1: 29 punten. 2: 29.

3 1: Zo. Als dit alles is, dan vind ik het nog wel meevallen. 2: Ok, nu rechthoeksgetallen. Ze kunnen ze niet vinden. Docent Rob helpt, maar kan ze ook niet vinden. Ze proberen doos. Ze vergeten eerst op nivo 2 te drukken. Dan bladeren ze terug om te zien of dat in de tekst staat. Ja dat klopt wel, maar is een aantal bladeren terug. Ze kijken naar het patroon. 1: n tot de macht 2 keer n? Oh nee, + n. N tot de macht 2 + n. 2: ja, eh kijken. 1: kijk maar, want 2 2 = 4 en dan + n = 6, 3 tot de macht 2 is 9 en dan... 2: ja, ik zie het. 1: dus je krijgt 4 2 = 16 en dan +4 = 20. 2: ja, 20. 1: en dan = 30. 2: = : oh, even overnieuw... (ze is weer vergeten op enter te drukken). Je moet op enter drukken. Dat is echt belangrijk, anders krijg je helemaal geen punten. (ze reageerden nauwelijks, maar vinden het nu wel belangrijk) Dan doen ze de volgende: 74 stippen. 2: eh 64 is een kwadraat, 8, 8*8 = 64 en dan +8 = 72. 1: nee, dan kan niet. Want de volgende is 9 en dat is 81. 2: oh wacht even, 12, 12*12 = 144 ehh +12 = 156. Dat is hem niet, nee. En dan vullen ze de formule in. 1: Dus we krijgen n*n+n. 2: Heee, weer goed. 1: 29! 1: Nu de driehoeksgetallen. (ze leest)... formule is lastig... zie je in het plaatje een verband met... 2: he, n*n + n en dan gedeeld door 2. 1: Nee, niet gedeeld door twee want dan zou je er hier maar 2 overhouden. 2: jewel, want het waren er toch 6... n*n waren er 4 en dan 1: en dan + 1 en dan gedeeld door 2...

4 2: nee kijk, net had je dus n*n+n, dat waren er hier 6. en als je dat deelt door 2 hou je er dus 3 over. 1: n*n+n en dan gedeeld door 2. (ze schijft het op) 2: ja. 1: Ok. Dus hier 4*4 = 16, +4=20 gedeeld door 2 is 10. 2: 10. Enter. 1. Ja is 30 is , 110, gedeeld door 2: 55 1: 55. (weer een hoog tempo) 2: 37 stippen, eehm 1: 37 keer 2 is 74, nee is geen kwadraat. 2: Maar je moet ook nog +n doen. Dus... 64, = 72, nee het kan dus niet. 2: hier deze kan wel, nee 1: nee kan ook niet. Dan de formule invullen. 1: n*n,... moet je tussen haakjes zetten... eerst n*(n+1), toch 2: ja. 1: Zie je... 2: 29 punten. Dan driehoeksgetallen 2. 1: Oh we moeten naar patroon. Hun buren vragen naar het antwoord. Ze geven het niet. 1: oh, dan moet je gewoon even proberen. 2: dan moet je even achterin kijken, daar staat een tip. Ze gaan gewoon verder. Ze zoeken in stippel algebra opdrachten naar patroon. Porberen verschillende nivo s. Dan blijkt dat Rob eerst een stukje wil vertellen. Hij legt de les stil. Rob: ik wil nu dat iedereen even luister. Dit is een belangrijk sprongetje in de les. Ik wil nu echt dat iedereen even los komt van het superfanatieke werk wat je nu aan het doen bent. Dan mag je zo weer verder. Hij wijst naar de driehoeksgetallen. Die hebben jullie gezien en dadelijk nodig. Dan laat hij zien hoe ze deze applet moeten afsluiten en de volgende applet moeten starten. Hij laat even zien hoe het werkt. Tekenen met verschillende kleuren en aantallen tellen. Dan laat hij het begin van de figuur zien. En dat de volgende banden eromheen komen (in andere kleuren). Dan komt het probleem: als je hem groter maakt hoeveel stippen in totaal. Rob: Nu heb ik genoeg gezegd en kunnen jullie aan het werk. Een leerling wijst op het vel en de lege band. Rob: Nee, dat is dus fout. Rob: En dan als laatste wil ik je er nu al op wijzen dat je eerst wat gaat prutselen met het programma. Dat is essentieel. En dat je daarna in algebra terecht komt. Je moet iets narekenen op papier. En dan wordt kladpapier belangrijk en daar is meneer van Gisbergen erg in geinteresseerd. Daarna kun je het antwoord opschrijven op het witte papier, maar we zijn vooral geinteresseerd in hoe je het gevonden hebt. Succes. Begin daar nu aan.

5 Niet iedereen lukt het om nu de applet te sluiten en de nieuwe te starten. Maar dankzij alle hulp is iedereen snel met het nieuwe probleem aan het werk. 1: Zo. Ok. Hier ehm. Bedenk nu een manier om een formule te maken voor het totaal aantal stukjes van de n-de figuur. Laat zien m.b.v. deze applet dat twee opeenvolgende driehoeksgetallen weer een kwadraat is. Dus weer een vierkant. 2: Ik begrijp echt niet wat nu de bedoeling is. Ik help bij de buren en zij kijken mee. Ze gaan het patroon tekenen. 1: Stel nou dat ik deze roze maak en ik maak er nog een rij om heen... 2: Het ziet er best grappig uit. 1: Die kleuren bij elkaar vloeken Ze praten even over andere dingen. Ze kijken naar de enquete-vragen over de applet. 1: Ok, zullen we even wat gaan doen. Ze verdelen de taken. De ene schrijft en de ander tekent. 1: Ok misschien moeten we eerst even gaan lezen. Rob komt kijken en vraagt hoe het gaat. Ze wijzen naar het scherm en zeggen dat ze nog maar net getekend hebben. 2: Er komen er telkens 8 bij volgens mij. Rob: Ja, dat is handig opgemerkt. Dan heb je het over een indirecte formule. 1:Maar hoe maak je daar nu een directe formule van? 2: Hoe zag deze er ook weer uit (kijk naar driehoeksgetallen). Rob: Nee, dat is voor later. 1: Mag je ook een indirecte formule maken? Rob: ja, je mag eerst een indirecte formule maken, en dan een startgetal en dan eeh... Ze gaan aan de slag. 1: Ok, er kwamen er 8 bij steeds. 2: en je wou dit als n=1 kiezen.

6 Rob wijst nog een keer op de vraag en dat ze echt een directe formule moeten vinden voor de ne figuur. 1: Is het 8*n? Rob: maar dan zou de eerste 8 worden, toch? Maar hij is 16. 1: Oh nee, ja. 2: n*2*8, als je... Rob wijst op de aantallen van de kleurtjes en het totaal. Voor het totaal moeten ze een formule vinden. Dan geeft hij een hint voor het vierkant. Iets met het vierkant. Wat is het verschil met een echt vierkant? 2: Deze bestaat uit stippen. R: Is dat het enige verschil? 2: Er ziet hier een gat in het midden. 1: je zou er iets tussen kunnen tekenen. R: Ja, maar wat is nou het totaal aantal stippen van DEZE figuur. 1: wat is nou de bedoeling. Rob wijst nog een keer naar het totaal in het patroon en het totaal op het scherm. Waarom zijn het er nu 112? Ze proberen het te achterhalen... 1: 11*11 = 121 en dan - 9. Rob bevestigt en ze gaan het met nog een randje bekijken. 2: 12*12 = : Oh even een rekenmachine. 2: nee, 13,... 13*13 = 169 en dan min 9 = 160. Ja. Kijk we hebben hem 1: en wat is dan de formule... 2: als de onderkant n is. n*n en dan -9. 1: nou zijn we klaar. Ik vraag of ze het antwoord hebben. 1: nou, het was een beetje gepuzzel, maar we zijn er uit. Als ik zie wat ze hebben vraag ik wat n is? 1: n is de onderkant. Ik: ja maar bij die rode (het eerste patroon) is eigenlijk 1. En wat is het aantal stippen... 1: eh 5, is 25 en dan -9 is 16. Ik: Ja maar n=1, dus dan klopt jullie formule nog niet. 1: Oh ja. Maar als je,..., dan hangt het er toch maar net van af wat je als n neemt? Ik: Ja, maar dat is hier het nummer van de figuur. Ik laat het nog een keer zien in de figuur en zeg dat ze er vlak bij zitten, maar dat zij beginnen bij 5 en dat dat de eerste figuur is. Ze proberen eerst n-5 Daarna n+4 Dan n*4+1, oh nee, klopt ook niet. Als ik bovenstaande had gehoord, ha ik kunnen wijzen op overgang van 11 naar 13. Er komen telkens twee bij. Nu wijs ik op de middelste 3 van een rand die overal zit en vraag hoeveel er telkens bij komt. 2 ziet dat er telkens 8 bijkomt. 1: 2 per rij. 1: Oh ja, dan begrijp ik het. Dat is gewoon die n toch. Dit blijft de hele tijd 3.

7 2: n+3... Ik: nee, het zit aan allebei de kanten. n+3 zou 4 geven en je wil 5 hebben. 1: 2*n + 3 dan. 1: waarom maken ze het ons zo lastig. Die daarnet was makkelijk, maar deze. Ik: Maar was het goed wat je daarnet zei? 1: Dus die n, die 1,... 2: volgens mij klopt dat wel als je 2* 1: ja je hebt hier 2*3 = = 7,... Ze proberen nog een paar randjes en het klopt. 1: Is dat het? Ik: Ja, het lijkt wel, maar dan moet je nog kijken wat die formule wordt. 1: eh, even kijken, en dan moet je het totaal weer weten. Ik: ja maar je bent er bijna, want die formule had je al. 1: oh ja, 2n+3 keer 2n+3 en dan : Ja, gewoon (2n+3)2 en dan -9. Ze vullen het in op hun papier. Ze hebben het nog even over het opschrijven van de formule, met of zonder kwadraat. Het wordt met kwadraat. 1: klaar. 2: ok, hebbes. 1: we moeten nog even invullen wat we hiervan vinden. Deel 1 was makkelijk, deel 2 gaat wel. 2: nou echt uitdagend was het ook weer niet. Het was wel leuk. Ik weet niet wat jij ervan vond? 1:... hoe hebben we het gevonden 2....brainstormen... 1: ja brainstormen. 2: wat moeten we doen met opeenvolgende driehoeksgetallen... meneer wat is dit. Ik vraag of ze nog weten hoe die eruit zagen? Zij reageren ontkennend. Ik teken ze even. De vraag is of de som... 1: Ja natuurlijk, nee..., het wordt geen vierkant. Kijk als je Ze wijst twee dezelfde patronen en laat zien dat dat een rechthoek wordt. Ik benadruk twee opeenvolgende. 1en2: Dan kan het wel, dan krijg je wel een vierkant. Dan moeten ze eigenlijk aan de algebra toekomen. Ik: Het volgende is (ik lees) laat hetzelfde nu ook zien met een fraai stukje algebra. 1: Dus moet je zelf wat verzinnen, of? Ik:... dit is het 3e driehoeksgetal, en dit het tweede. Die aantallen daar heb je een formule voor... 1: n*n... 2: n(n+1)/2 Ik: wat is de formule voor het volgende driehoeksgetal... Dan is het tijd. Ik vertel snel wat de bedoeling was. Zij pakken in. We spreken met Rob af dat hij de volgende les ze nog even aan die driehoeksgetallen laat werken om te kijken of ze zelf kunnen aantonen dat die som een kwadraat wordt.

8 Het is vooral de context van patronen die tot goede activiteiten aanzet, bijna iedereen kan wat (op eigen nivo). Veel verschillende uitwerkingen als uitgangspsunt voor een vervolgles. Nu weinig algebra, maar in vervolgles kan dit worden benut. Wat voegt de applet toe? je kunt zelf extra patronen opvragen; score (hoewel een aantal leerlingen daar niet op letten); ze komen er zelf achter dat het handig is om goed en met weinig hulp te antwoorden doordat ze hun totaal moeten opschrijven. Ik weet niet of die som met vierkante randjes goed is voorbereid. Tot dan had ieder nieuw patroon een eigen kleur. Ze redeneerden met totalen. Hier gaat het ineens om wat erbij komt. Iedere nieuwe rand heeft een eigen kleur. Dat sluit niet goed aan op het eerste deel. het zorgt volgens mij voor verwarring. Bij het invul-formulier moet bij de driehoeksgetallen even worden herhaald dat ze een ander nivo moeten kiezen (waarom zijn die nivo s er eigenlijk?). Opvallend is hoe weinig het gesprek van dit tweetal afdwaalt. Er lopen weliswaar veel mensen rond, maar toch is regelmatig niemand in de buurt en blijft hun aandacht gericht op de applet. Alhoewel ik denk dat dit vooral voor het eerste deel geldt (stippelalgebra-opdrachten). Als voorbereiding op de laatste som met driehoeksgetallen zou je ze nog even op het bord kunnen zetten (plaatje + formule). Het is jammer dat ze nu niet toekomen aan het zelf maken van patronen.