Opdrachtbladen (II) Hoe komt een formule tot stand?

Transcriptie

1 Opdrachtbladen (II) Hoe komt een formule tot stand? Adriaan Herremans Dag van de wiskunde Kortrijk 14/11/2015

2 Hieronder vinden jullie opdrachten. Je werkt samen met je buur en kan overleggen met je overburen. Samen met je buur vul je ook samenvattende tabellen in en tekent op constructiebladen. 1. Maak een rechthoek op het geobord (of teken op het constructieblad). Gebruik nu één rij op de samenvattende tabel om de beschrijving van je figuur neer te pennen. Tel ook het aantal spijkers binnenin (of in het inwendige van) je figuur en het aantal spijkers op de rand van je figuur. Bereken tot slot de oppervlakte van je figuur wanneer je weet dat er precies 1 cm ruimte is tussen aangrenzende spijkers. Er is al een voorbeeld voor je gedaan op de eerste regel van de tabel voor de figuur hiernaast. De witte punten zijn spijkers op de rand, de grijze zijn inwendige spijkers. Zorg dat je een andere rechthoek hebt dan het voorbeeld en dan je buur waarmee je de tabel invult. 2. Maak een trapezium op het geobord (of teken op het constructieblad). Gebruik nu één rij op de samenvattende tabel om de beschrijving van je figuur neer te pennen en vul die verder aan. Je buurman maakt een rechthoekige driehoek op het geobord (of op bijgevoegde bladen). Vul ook voor deze figuur één rijtje van de samenvattende tabel in. 3. Doe nu dezelfde oefening voor de willekeurige driehoek in onderstaande tekening. Schrijf wel in woorden uit hoe je tot de berekening van de oppervlakte van deze figuur bent gekomen: 4. Het is niet zo n gek idee om te zeggen dat een spijker in het inwendige volledig in de figuur ligt, terwijl een spijker op de rand half buiten-half binnen de figuur ligt. Daarom associëren we een spijkergetal aan elke figuur. Dat spijkergetal is gelijk aan de som van het aantal spijkers binnenin de figuur en de helft van het aantal spijkers op de rand van de figuur. Bereken voor al je figuren het spijkergetal (in de laatste kolom op het blad van je samenvattende tabel). Vergelijk daarna de kolommen met de oppervlakte en het spijkergetal, probeer een systematiek te herkennen en formuleer een vermoeden. Besteed aandacht aan de correcte verwoording.

3 5. Proficiat, je hebt nu zelf een formule ontdekt! Kan je met deze formule de oppervlakte van de figuur op het titelblad snel berekenen? Probeer dit en verwoord kort je werkwijze. 6. Denk even na wanneer deze formule handig kan zijn. Wanneer zou je m.a.w. deze formule verkiezen boven degene die je al kende voor de dag van vandaag? Verwoord dus voor welke figuren de net gevonden formule handiger is dan formules die je tot nog toe kende. 7. Uiteraard is het niet zo dat spijkers steeds precies 1 cm uit elkaar staan. Wat zou er gebeuren met je formule wanneer je spijkers 2 cm uit elkaar zouden staan? Wat wordt je formule wanneer je spijkers 1,5 cm uit elkaar zouden staan? Probeer je formule te verfijnen zodat je de oppervlakte van een figuur kan berekenen op een vierkant spijkerbord als de spatie tussen twee spijkers een willekeurig positief getal a (a IR + ) is. Verwoord je conclusie. 8. Extra. Je kan de formule ook omgekeerd gebruiken. Maak een driehoek op je geobord met een oppervlakte van exact 14,5 cm 2. Denk daarbij aan je ontdekte formule. Schrijf hieronder je denkstrategie op.

4 9. Terug naar de standaardgeoborden met vierkanten van 1 cm 2. Het zou kunnen gebeuren dat de rand (of dus de elastiek) zichzelf doorsnijdt. Bekijk nu onderstaande figuur (in het grijs)en bereken opnieuw het spijkergetal en de oppervlakte en formuleer een conclusie. 10. Je formule van van opdracht 4 (of 7) blijkt dus niet steeds te kloppen. Blijkbaar spelen de zelfdoorsnijdingen ook een rol! Experimenteer even met verschillende figuren met één of meerdere zelfdoorsnijdingen (gebruik samenvattende tabel en constructiebladen), maar zorg dat je zelfdoorsnijdingen steeds gebeuren op een spijker. Lukt het je om een formule te formuleren die toepasbaar is op alle figuren met zelfdoorsnijdingen? Zorg dat alvast de twee figuren hiernaast ermee te berekenen vallen. Probeer ook waterdichte argumenteren te geven waarom jouw formule klopt (tip: een figuur met zelfdoorsnijdingen kan je zien als de unie van verschillende kleine figuren zonder doorsnijding). 11. Gebruik je verfijnde formules uit vorige opdrachten om te berekenen wat de oppervlakte van de rechtse figuur op het voorblad is, wanneer de afstand tussen twee naburige spijkers exact 0,75 cm is. 12. Het is verder wel zo dat doorsnijdingen niet steeds op een spijker gebeuren. Kijk maar naar volgende twee figuren rechts. Je vermoedt misschien dat er ook nu wel een mauw aan te passen valt door een kleine ingreep aan de oorspronkelijke formule, maar dat kan niet. De twee figuren tonen dit direct: verwoord door beide spijkergetallen te berekenen dat het onmogelijk is om via het spijkergetal de oppervlakte van zelfdoorsnijdende figuren te berekenen (wanneer de doorsnijdingen niet op een spijker vallen).

5 13. Nu is het wel steeds mogelijk om er voor te zorgen dat je doorsnijdingspunten steeds op een spijker vallen, door je rooster aan te passen. Wanneer je bij de figuren van de vorige opdracht een spijkerbord zou nemen waar de spijkers maar half zover uit elkaar liggen, kan je wel de correcte oppervlakte van beide figuren berekenen via je verfijnde formule uit opdracht 10. Doe dit. 14. Maak nu zelf een leuke of interessante figuur op je geobord en bereken er de oppervlakte van. Teken deze ook op een contructieblad en vul ook een rij in je samenvattende tabel waarin je de berekeningen laat zien. Elke persoon maakt zijn eigen figuur, je kan de figuur van je buur even narekenen. 15. Als laatste uitdaging kan je de oppervlakte van de figuren (linkse figuur is eenvoudiger dan rechtse) hieronder bekijken. Je zal daarvoor moeten overleggen met je overburen en hun resultaten. Je geobord heeft nu vierkanten van 1 cm 2. Bedenk hoe je dit zou aanpakken en schrijf dit hier neer