Wiskunde: de cirkel. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie.

Transcriptie

1 Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres bas ghijssen 29 June 2014 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein. Wikiwijsleermiddelenplein is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, vergelijkt, maakt en deelt. Stel zo voor iedere onderwijssituatie de optimale leermiddelenmix samen.

2 Inhoudsopgave De wereld van de cirkel Inleiding cirkels Formule voor de omtrek Historie van het getal pi De oude egytenaren De oude Grieken Omtrek van een cirkel Oppervlakte van een cirkel Voor de slimmerikken toets Over dit lesmateriaal Pagina 1

3 De wereld van de cirkel Pagina 2

4 Inleiding Met dit webarrangement ga je kennis maken met de wereld van een cirkel. Doormiddel van het maken van opdrachten met behulp van de informatie dit wordt gegeven weet je aan het eind van dit arrangement bijvoorbeeld hoe je de omtrek en de oppervlakte van een cirkel kunt berekenen, wat pi is en waar pi vandaan komt. succes Pagina 3

5 cirkels Wat is een cirkel precies? Hoe kunnen we die in woorden vangen? Algemene definitie: een cirkel is een verzameling van alle punten die een gelijke afstand hebben tot één zelfde punt M. Dit punt M noemen we het middelpunt van de cirkel. De afstand van het middelpunt tot een punt op de cirkel noemen we de straal (r). De diameter is twee keer de straal. Opdracht1 Voorwerpen meten Je krijgt van de docent een meetlint. Gebruik dit meetlint om de omtrek en diameter van enkele cirkelvormige voorwerpen te meten. Zoek minimaal 5 voorwerpen op die je meet. Probeer kleine voorwerpen te zoeken (bijvoorbeeld een muntstuk), maar ook grote voorwerpen (bijvoorbeeld een bloempot). Neem de tabel over in je schrift. Vul de eerste drie kolommen in en bereken in de laatste kolom omtrek gedeeld door diameter. Voorwerp Omtrek in cm Diameter in cm Omtrek: Diameter 3 cijfers achter de komma Wat valt je op aan de laatste kolom? opdracht 1: voorwerpen meten kn.nu/ww.d095b3a (docx, maken.wikiwijs.nl) Pagina 4

6 Formule voor de omtrek Als je goed naar de laatste kollom van opdracht 1 hebt gekeken zou je het volgende hebben moeten opvallen. Conclusie: Er is een vaste relatie tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Deze verhouding noemen we pi. De omtrek is ongeveer drie keer zo groot als de diameter. pi is dus ongeveer 3. We weten nu ook dat de diameter x pi is de omtrek van een cirkel. Je mag dus ook zeggen 2 x straal x pi is gelijk aan de omtrek. Deze schrijfwijze gebruiken we verder in dit boekje Cirkelomtrek: 2? r Termen die te maken hebben met een cirkel Zoek de juiste tekst bij de plaatjes a. straal b. diameter c.? d. Pi Pagina 5

7 Historie van het getal pi Al eeuwenlang hebben mensen geprobeerd om het getal p (de verhouding tussen omtrek en diameter) exact uit te rekenen. Eerst waren geleerden er hun hele leven lang mee bezig, tegenwoordig is dat gemakkelijker met computers te berekenen. Toch blijft het een mysterieus getal. Wij starten met de Bijbelse tekst over de beschrijving van het bad van Koning Salomo. Koning Salomo s bad Omdat de cirkel een veelvoorkomend figuur is vind je al in oude culturen waarden voor het getal p. Ook in het oude testament van de Bijbel, zo rond 950 v. Christus, staat dat in de tempel van Salomo een bad van gietijzer gemaakt werd. Dit bad was 10 el (1 el is ongeveer 70 cm) van rand tot rand (de diameter), terwijl er een meetsnoer van 30 el omheen gespannen kon worden. Als we aannemen dat het bad cirkelvormig was, dan was de omtrek dus 3 keer de diameter, dus werd p berekend met 30/10. In de Bijbel was de waarde van pi dus het getal 3 Bijbelse tekst Pagina 6

8 De El Hoeveel cm is een el? a. 30 cm b. 50 cm c. 70 cm d. 100 cm Verhouding Wat is de verhouding tussen de diameter en de omtrek van het bad zoals die in de bijbel wordt gebruikt? a. 1 : 3 b. 1 : 3,14 c. 1 : 4 De oude egytenaren Oude Egyptenaren: Achter de komma rekenen konden ze al in 1650 v.chr. Toen schreef een Egyptische priester, die Ahmes heette, over pi (p) in de Rhind Papyrus (dit was een soort papieren rol met 87 wiskundige problemen en hun oplossingen) het volgende: De oppervlakte van een cirkel met een diameter van 9 eenheden = aan de oppervlakte van een vierkant met een zijde van 8 eenheden. Hieruit kon hij pi (p) berekenen met de volgende formule: Als je p dan uitrekent dan wordt de waarde van pi (p): 3, Pagina 7

9 pi en de Egyptenaren Hoeveel week de berekening van de Egyptenaren af van de werkelijke berekening van pi? a. 0,1 b. 0,2 c. 0,01 d. 0,02 De oude Grieken Oude Grieken: Archimedes was een Griekse wiskundige die leefde van voor Christus. In een van zijn geschreven boeken vertelt hij over het opmeten van de cirkel. In dit boek laat Archimedes zien, dat Pagina 8

10 de exacte waarde van de omtrek van een cirkel met diameter 1 ligt tussen de en de. Hij berekende dit resultaat door de cirkel in te sluiten met behulp van regelmatige veelhoeken (met 96 zijden) kleiner en groter dan een cirkel. Archimedes vond nu dat de waarde van? lag tussen 3, < p < 3, (zonder computer). Archimedes van de grondlegger van het idee hoe je? moest berekenen. Later berekenden steeds meer wiskundige geleerden meer decimalen achter de komma. In deze tijd met computers gaat het steeds sneller om nog meer getallen achter de komma uit te rekenen. Maar men gebruikt voor? gewoon het getal 3, Opdracht 3: regelmatige veelhoek van Archimedes Maak de volgende opdrachten op papier. Teken een cirkel met een diameter van 1 decimeter. a. Wat is de straal? Pagina 9

11 b. Construeer hierin een zeshoek (zie filmpje hieronder als je niet weet hoe dat moet) c. Meet de omtrek van deze zeshoek in centimeters. d. Construeer de middelloodlijn op de zijden van de zeshoek. Teken nu een 12-hoek. e. Meet de omtrek van deze 12-hoek in centimeters. f. Maak op dezelfde manier een 24 hoek van je twaalfhoek. Meet de omtrek. Extra: maak ook nog de 48 hoek en de 96 hoek. Kloppen je metingen met de verhouding tussen straal en omtrek, zoals je dit bij opdracht 1 gedaan hebt? filmpje met uitleg over hoe je een regelmatige zeshoek tekend kn.nu/ww.498df3a (youtube.com) Pagina 10

12 Omtrek van een cirkel Dit zijn drie formules om de omtrek van een cirkel te berekenen. Schrijf ze alle drie in je schrift en kleur de formule die jij het meest handig vind om te gebruiken. diameter x pi 2 x straal x pi 2? r Extra uitleg voor het berekenen van de omtrek van een cirkel kn.nu/ww.0be13c7 (beterrekenen.nl) decimalen van pi Zet de eerste twintig decimale getallen van pi op de goede volgorde. (je mag het antwoord op internet opzoeken) a. 35 b. 38 c. 65 d. 92 e. 32 f. 3, g. 89 h. 46 i. 15 j. 14 k. 79 decimale getallen van pi Hoeveel decimale getallen zijn er inmiddels bekend? a. 100 b c d e. meer dan Wikipedia Pi kn.nu/ww.a90a9cc (nl.wikipedia.org) Op deze site kun je onder andere de eerste 1000 decimale getallen van pi vinden Pagina 11

13 Oppervlakte van een cirkel Opdracht 5 Teken op 2 cirkels met een straal van 5 cm op een ruitjespapier. We gaan op 2 verschillende manieren het oppervlakte van de cirkels bepalen. De eerste manier: Knip de eerste cirkel uit en plak hem in op je werkblad. Tel het hele aantal hokjes, schat de hokjes aan de zijkant. Hoeveel heb je er ongeveer geteld? Wat is dus het oppervlakte? Denk aan de eenheden. De tweede manier: Knip de tweede cirkel uit en knip taartpuntjes uit van 15 graden. Als het goed is heb je dan 24 taartpuntjes. Schuif de taartpuntjes tegen elkaar aan op een manier zodat je het oppervlakte van de rechthoek kunt berekenen. Je had een cirkel! Dus je weet nu ook de oppervlakte van de cirkel. Voor de oppervlakte van een cirkel gebruiken we een formule. Welke heb je in het filmpje gehoord? Filmpje met uitleg over hoe je de oppervlakte van een cirkel berekend. kn.nu/ww.311b132 (youtube.com) Pagina 12

14 Voor de slimmerikken Opdracht 6 Voor de slimmerikken: 1. a. Een cirkel heeft een omtrek van 16? Bereken de oppervlakte van die cirkel. b. Een cirkel heeft een oppervlakte van 16? Bereken de omtrek van die cirkel. c. Welke van onderstaande beweringen is waar? 1. Als de omtrek twee keer zo groot wordt, wordt de oppervlakte vier keer zo groot. De oppervlakte van een cirkel =. Pagina 13

15 toets Toets Cirkel kn.nu/kmqjh Deze toets is de afsluiting van het arrangement over de cirkel. Hij telt voor 1/4 mee bij de afsluiting van dit onderwerp. Zet de onderstaande volken/koning op volgeorde van oud naar jong. a. koning Salomon b. Egytenaren c. Babyloniers d. Grieken oppervlakte cirkel Een cirkel met een diameter van 6 cm heeft ongeveer een oppervlakte van... a. 3,14 cm 2 b. 9,42 cm 2 c. 18,85 cm 2 d. 28,27 cm 2 Zoek het juiste woord bij de afbeeldingen a. pi b. de straal c. de tempel van koning Salomon omtrek cirkel Een cirkel met een diameter van 2 cm heeft een omtrek van... a. 3,14 cm b. 6,28 cm c. 12,56 cm Pagina 14

16 De formule oppervlakte cirkel Wat is de formule voor het berekenen van de oppervlakte van een cirkel? a. 2 x straal x pi b. straal x straal x pi c. diameter x diameter x pi d.?r 2 Pagina 15

17 Antwoorden Termen die te maken hebben met een cirkel Zoek de juiste tekst bij de plaatjes. 1. d 2. a 3. b 4. c De El Hoeveel cm is een el? cm cm cm cm Verhouding Wat is de verhouding tussen de diameter en de omtrek van het bad zoals die in de bijbel wordt gebruikt? 1. 1 : : 3,14 Pi is natuurlijk de verhouding zoals die in werkelijkheid is maar dat konden ze in die tijd nog niet berekenen : 4 pi en de Egyptenaren Hoeveel week de berekening van de Egyptenaren af van de werkelijke berekening van pi? 1. 0,1 2. 0,2 3. 0, ,02 decimalen van pi Zet de eerste twintig decimale getallen van pi op de goede volgorde. (je mag het antwoord op internet opzoeken) Pagina 16

18 1. f: 3, 2. j: i: d: c: a: g: k: e: b: h: 46 decimale getallen van pi Hoeveel decimale getallen zijn er inmiddels bekend? meer dan Pagina 17

19 Over dit lesmateriaal Colofon Auteur bas ghijssen Laatst gewijzigd 29 June 2014 om 12:40 Licentie Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 3.0 Nederlands licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om: het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden. Meer informatie over de CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Aanvullende informatie over dit lesmateriaal Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar: Eindgebruiker leerling/student Moeilijkheidsgraad gemiddeld Studiebelasting 0 uur en 50 minuten Bronnen Bron filmpje met uitleg over h...egelmatige zeshoek tekend Extra uitleg voor het ber... de omtrek van een cirkel Wikipedia Pi Filmpje met uitleg over h... van een cirkel berekend. Type Link Link Link Link Pagina 18