19 De stelling van Pick

Transcriptie

1 19 De stelling van Pick 19.1 Historiek De Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick werd in 1859 geboren in Wenen en werd in 1942, omwille van zijn Joodse afkomst, gedeporteerd naar het concentratiekamp vantheresiënstadt, alwaar hij twee weken later op de leeftijd van 82 jaar overleed. Zowat zijn hele loopbaan bracht hij door als hoogleraar aan de universiteit van Praag. In 1910 werd hij lid van een comité dat werd opgericht door de universiteit van Praag om na te denken over de benoeming van Einstein. Pick was de stuwende kracht achter deze benoeming en Einstein werd benoemd in een stoel van de mathematische fysica aan de Duitse Universiteit van Praag in De beroemde stelling van Pick handelt over de oppervlakte van roosterveelhoeken en deze stelling is door zijn eenvoud één van de elegantste stellingen uit de meetkunde. Pas na een publicatie in 1969 in het boek Mathematical Snapshots van Hugo Steinhaus werd deze vergeten stelling van Pick beter bekend bij het grote publiek Probleemstelling De stelling van Pick gaat over roosterveelhoeken, dit zijn veelhoeken waarvan de hoekpunten roosterpunten zijn, zoals de zevenhoek in de tekening hiernaast. Het is de bedoeling om de oppervlakte van dergelijke roosterveelhoeken te bepalen door het TELLEN van de roosterpunten. Alternatieven: verdeel de veelhoek in een aantal driehoeken en gebruik: oppervlakteformule driehoek of Pickrooster.ggb oppervlakte driehoek m.v.b. de coördinaten van de hoekpunten Ivan De Winne 1

2 19.3 Op ontdekkingstocht met GeoGebra Open het GeoGebra bestand Pickrooster.ggb Opmerking: indien jij dergelijk rooster zelf wil maken met GeoGebra dan kan dit m.b.v. rijen en het commando Samenvoegen[Rij[Rij[(j, k), j, -5, 5], k, -5, 5]] Teken vooreerst een aantal eenvoudige roosterveelhoeken zoals vierkanten Zoek een verband tussen de oppervlakte van dergelijke vierkanten en het aantal roosterpunten r gelegen op de rand van het vierkant en het aantal roosterpunten i gelegen in het inwendige van dit vierkant. Zijde vierkant Oppervlakte vierkant i r verband Teken ook de volgende roosterveelhoeken en bepaal de oppervlakte. Probeer een verband te ontdekken tussen de oppervlakte A, i en r. Oppervlakte i r verband Uitgewerkt GeoGebra bestand pick2.ggb Blijkbaar is de oppervlakte van de roosterveelhoek afhankelijk van de veranderlijke r en ook i. Ivan De Winne 2

3 19.4 Oppervlakte roosterveelhoek in functie r en i Om het verband tussen de oppervlakte A en het aantal roosterpunten r en het aantal inwendige punten i te ontdekken, kunnen wij enerzijds het aantal inwendige punten i=0,1,2 constant houden en het aantal roosterpunten r wijzigen en ook omgekeerd. Onderzoeksvragen: Hoe groot is de toename van de oppervlakte A, indien men het aantal inwendige punten i constant houdt en het aantal punten op de rand r vermeerdert met 1 Hoe groot is de toename van de oppervlakte A, indien men het aantal het aantal punten op de rand r constant houdt en het aantal inwendige punten i vermeerdert met 1 Teken met GeoGebra een aantal roosterveelhoeken, zodanig dat het aantal inwendige punten i = 0. Wijzig het aantal punten r op de rand en bereken de oppervlakte A. i r Oppervlakte A Ivan De Winne 3

4 Teken ook een aantal roosterveelhoeken waarbij het aantal inwendige punten i =1 en wijzig r. Vul onderstaande tabel aan: i r Oppervlakte A Teken ook een aantal roosterveelhoeken waarbij het aantal inwendige punten i =2 en wijzig r. Vul onderstaande tabel aan: i r Oppervlakte A Ivan De Winne 4

5 Besluit: 1 indien men het aantal inwendige punten i constant houdt en het aantal punten op de rand r vermeerdert met 1, dan zal de oppervlakte toenemen met 2 indien men het aantal punten op de rand r constant houdt en het aantal inwendige punten i vermeerdert met 1, dan zal de oppervlakte toenemen met De stelling van Pick Indien het aantal roosterpunten op de rand van een roosterveelhoek gelijk is aan r en het aantal roosterpunten in het inwendige van de figuur gelijk is aan i dan wordt de oppervlakte A van de roosterveelhoek gegeven door de volgende formule: 19.5 Oefeningen Oefening 1 Toon aan dat de oppervlakte van een roosterdriehoek geen roosterpunten in het inwendige heeft steeds gelijk is aan Teken met GeoGebra aan aantal roosterdriehoeken die hieraan voldoen. pick4.ggb Ivan De Winne 5

6 Oefening 2 a) Hoeveel roosterpunten liggen in het inwendige van de volgende roosterveelhoek b) Bepaal de oppervlakte van de getekende roosterveelhoek en controleer met GeoGebra. pick5.ggb c) Bepaal, indien de getekende roosterveelhoek met een factor 10 wordt vergroot, de factor waarmee de oppervlakte van de grote veelhoek en ook i en r toenemen. Ivan De Winne 6

7 Oefening 3 Bepaal de oppervlakte van de getekende roosterveelhoek met twee gaten pick6.ggb Men kan aantonen dat hiervoor de volgende aangepaste formule geldig is Controleer dit met GeoGebra. met h het aantal gaten Oefening 4 Gegeven zijn de coördinaten van de drie hoekpunten van een driehoek ABC met A = (0,0) B=(200,0) en C=( 50,143) Bepaal het aantal roosterpunten in het inwendige van deze roosterdriehoek. Ivan De Winne 7

8 19.6 Extra bewijs! Het bewijs voor de formule van de stelling van Pick voor een willekeurige roosterveelhoek is niet zo eenvoudig. Probeer op het internet een bewijs te vinden voor deze formule van Pick voor (willekeurige) roosterdriehoeken. Volgende tips kunnen je op weg helpen: Toon vooreerst aan dat de formule geldig is voor rechthoeken waarvan de zijden evenwijdig met de assen zijn. Toon ook aan dat de somregel geldig is voor de formule van Pick. Toon vervolgens aan dat de formule van Pick geldig is voor rechthoekige roosterdriehoeken. Hou er mee rekening dat de formule van Pick voor een willekeurige roosterdriehoek kan herleid worden tot de formule van Pick voor in rechthoekige driehoeken en rechthoeken Ivan De Winne 8