Wiskunde in muziek: voormiddag. WiskuNde in-zicht. Pieter Belmans Matthias Roels

Transcriptie

1 Wiskunde in muziek: voormiddag WiskuNde in-zicht Pieter Belmans Matthias Roels

2 Wat gaan we vandaag doen? Voormiddag Waarom do-re-mi-fa-sol-la-si? 1. de structuur van geluid 2. mooi en lelijk 3. 7 (of 12) noten 2/64

3 Wat gaan we vandaag doen? Voormiddag Waarom do-re-mi-fa-sol-la-si? 1. de structuur van geluid 2. mooi en lelijk 3. 7 (of 12) noten Namiddag Wat maakt geluid muziek? 1. de structuur van geluid analyseren 2. voorbeelden 3. verschillen tussen muziekinstrumenten Stel vragen! 2/64

4 Deel 1 Wat zijn boventonen? 3/64

5 Wat is geluid? Geluid is een golf: een verandering in de luchtdruk. 4/64

6 Wat is geluid? Geluid is een golf: een verandering in de luchtdruk. 1. Hoe kunnen we geluid analyseren? 2. Hoe kunnen we onze analyse interpreteren? 4/64

7 Wat is geluid? Geluid is een golf: een verandering in de luchtdruk. 1. Hoe kunnen we geluid analyseren? 2. Hoe kunnen we onze analyse interpreteren? We willen dus 1. de bouwstenen van geluid kennen; 2. weten hoe we deze bouwstenen kunnen combineren; 3. van een specifiek geluid de bouwstenen bepalen. 4/64

8 Staande golven filmfragment 5/64

9 Staande golven filmfragment Als we een periodiek signaal geven, met een geheel veelvoud van de frequentie waarmee het langsheen het touw reist, krijgen we een staande golf: deze versterkt zichzelf. 5/64

10 Boventonen 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 6/64

11 Fundamentele grondtoon De frequentie van de grondtoon van een snaar wordt gegeven door de wet van Mersenne f 0 = 1 T 2L µ waarbij L = lengte van de snaar T = spanning op de snaar (= kracht) µ = massa per lengte 7/64

12 Fundamentele grondtoon De frequentie van de grondtoon van een snaar wordt gegeven door de wet van Mersenne f 0 = 1 T 2L µ waarbij Voorbeeld L = lengte van de snaar T = spanning op de snaar (= kracht) µ = massa per lengte L = 65 cm, T = 83 N 8.5 kg, µ 0.74 g m 1 f 0 83 Hz en dit is de lage mi op een gitaar 7/64

13 Het menselijk gehoor Wij zijn ruwweg in staat om geluid tussen 20 Hz en 20 khz te horen. 8/64

14 Het menselijk gehoor Wij zijn ruwweg in staat om geluid tussen 20 Hz en 20 khz te horen. 1. menselijke stem: 85 tot 180 Hz voor mannen, 165 tot 255 Hz voor vrouwen; 8/64

15 Het menselijk gehoor Wij zijn ruwweg in staat om geluid tussen 20 Hz en 20 khz te horen. 1. menselijke stem: 85 tot 180 Hz voor mannen, 165 tot 255 Hz voor vrouwen; 2. viool 196 Hz tot ±4.5 khz; 8/64

16 Het menselijk gehoor Wij zijn ruwweg in staat om geluid tussen 20 Hz en 20 khz te horen. 1. menselijke stem: 85 tot 180 Hz voor mannen, 165 tot 255 Hz voor vrouwen; 2. viool 196 Hz tot ±4.5 khz; 3. gitaar: 83 Hz tot ±1 khz; 8/64

17 Het menselijk gehoor Wij zijn ruwweg in staat om geluid tussen 20 Hz en 20 khz te horen. 1. menselijke stem: 85 tot 180 Hz voor mannen, 165 tot 255 Hz voor vrouwen; 2. viool 196 Hz tot ±4.5 khz; 3. gitaar: 83 Hz tot ±1 khz; 4. piano: 27 Hz tot 4.2 khz. 8/64

18 Het menselijk gehoor Wij zijn ruwweg in staat om geluid tussen 20 Hz en 20 khz te horen. 1. menselijke stem: 85 tot 180 Hz voor mannen, 165 tot 255 Hz voor vrouwen; 2. viool 196 Hz tot ±4.5 khz; 3. gitaar: 83 Hz tot ±1 khz; 4. piano: 27 Hz tot 4.2 khz. Dit is de frequentie van de grondtoon. Stem of muziek is veel meer dan dit! Maar voor onze perceptie van toonhoogte is deze frequentie wel essentieel. 8/64

19 Boventonen in snaren Als we aan een snaar trekken gaat die in het wilde weg trillen, om vervolgens te gaan trillen met: 1. met de frequentie van de grondtoon, 2. met de frequentie van de boventonen want deze versterken zich door het fenomeen van de staande golf, terwijl de andere frequenties grotendeels verdwijnen. 9/64

20 Boventonen in snaren Als we aan een snaar trekken gaat die in het wilde weg trillen, om vervolgens te gaan trillen met: 1. met de frequentie van de grondtoon, 2. met de frequentie van de boventonen want deze versterken zich door het fenomeen van de staande golf, terwijl de andere frequenties grotendeels verdwijnen. Experiment 1. een losse snaar; 9/64

21 Boventonen in snaren Als we aan een snaar trekken gaat die in het wilde weg trillen, om vervolgens te gaan trillen met: 1. met de frequentie van de grondtoon, 2. met de frequentie van de boventonen want deze versterken zich door het fenomeen van de staande golf, terwijl de andere frequenties grotendeels verdwijnen. Experiment 1. een losse snaar; 2. we halveren de snaar: harmoniek vs. fret 9/64

22 Boventonen in snaren Als we aan een snaar trekken gaat die in het wilde weg trillen, om vervolgens te gaan trillen met: 1. met de frequentie van de grondtoon, 2. met de frequentie van de boventonen want deze versterken zich door het fenomeen van de staande golf, terwijl de andere frequenties grotendeels verdwijnen. Experiment 1. een losse snaar; 2. we halveren de snaar: harmoniek vs. fret 3. we delen de snaar in drie: harmoniek vs. fret 9/64

23 Boventonen 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 10/64

24 Deel 2 Wat klinkt er mooi samen en wat niet? 11/64

25 We luisteren naar boventonen De boventonen hebben een sterk verband met de grondtoon, en geven een mooie samenklank. 12/64

26 We luisteren naar boventonen De boventonen hebben een sterk verband met de grondtoon, en geven een mooie samenklank. Als sinussen: audiofragmenten samples/ mp3 samples/ mp3 12/64

27 We luisteren naar boventonen De boventonen hebben een sterk verband met de grondtoon, en geven een mooie samenklank. Als sinussen: audiofragmenten samples/ mp3 samples/ mp3 Conclusie: 1. gehele veelvouden klinken mooi samen 2. nét niet gehele veelvouden klinken lelijk 12/64

28 Intervallen We rekenen in muziek relatief: we kiezen een grondnoot en dan is het verschil tussen een noot en de grondnoot van belang. do grondtoon la grondtoon re seconde si seconde mi (grote) terts do (kleine) terts fa kwart re kwart sol kwint mi kwint la (grote) sixt fa (kleine sixt) si (grote) septiem sol (kleine) septiem do octaaf la octaaf 13/64

29 Nu met echte instrumenten Experiment 1. octaaf (2 : 1) 14/64

30 Nu met echte instrumenten Experiment 1. octaaf (2 : 1) 2. kwint (3 : 2) 14/64

31 Nu met echte instrumenten Experiment 1. octaaf (2 : 1) 2. kwint (3 : 2) 3. septiem (15 : 8) 14/64

32 Nu met echte instrumenten Experiment 1. octaaf (2 : 1) 2. kwint (3 : 2) 3. septiem (15 : 8) 4. kleine sixt (11 : 7) 14/64

33 Nu met echte instrumenten Experiment 1. octaaf (2 : 1) 2. kwint (3 : 2) 3. septiem (15 : 8) 4. kleine sixt (11 : 7) Conclusie Ons gehoor houdt van gehele veelvouden en verhoudingen van kleine getallen. 14/64

34 Het samen laten klinken van twee geluidsgolven Wat gebeurt er als we twee frequenties f 1 en f 2 laten horen? sin(f 1 t) + sin(f 2 t) =? 15/64

35 Het samen laten klinken van twee geluidsgolven Wat gebeurt er als we twee frequenties f 1 en f 2 laten horen? ( ) ( ) f1 + f 2 f1 f 2 sin(f 1 t) + sin(f 2 t) = 2 sin t cos t /64

36 Het samen laten klinken van twee geluidsgolven Wat gebeurt er als we twee frequenties f 1 en f 2 laten horen? ( ) ( ) f1 + f 2 f1 f 2 sin(f 1 t) + sin(f 2 t) = 2 sin t cos t. 2 2 Welke conclusies zijn er te trekken? 15/64

37 Het samen laten klinken van twee geluidsgolven Wat gebeurt er als we twee frequenties f 1 en f 2 laten horen? ( ) ( ) f1 + f 2 f1 f 2 sin(f 1 t) + sin(f 2 t) = 2 sin t cos t. 2 2 Welke conclusies zijn er te trekken? 1. de factor 2 levert ons dat het signaal tot dubbel zo sterk kan worden; 2. de sinus of cosinus in het product kan 0 zijn. 15/64

38 Voorbeeld Stel f 1 = 2 Hz en f 2 = 3 Hz: 2 Hz 0 π 2π 3π 3 Hz

39 Voorbeeld Stel f 1 = 2 Hz en f 2 = 3 Hz: 2 Hz 0 π 2π 3π som 3 Hz Soms versterken de twee signalen elkaar, soms verzwakken ze elkaar. 16/64

40 Voorbeeld Stel f 1 = 3 Hz en f 2 = 4 Hz: 4 Hz 0 π 2π 3π 3 Hz

41 Voorbeeld Stel f 1 = 3 Hz en f 2 = 4 Hz: 4 Hz 0 π 2π 3π som 3 Hz Het versterken en verzwakken is (uiteraard) ook periodisch. 17/64

42 Voorbeeld Stel f 1 = 3 Hz en f 2 = 5 Hz: 0 π 2π 3π 5 Hz 3 Hz

43 Voorbeeld Stel f 1 = 3 Hz en f 2 = 5 Hz: 0 π 2π 3π 5 Hz 3 som Hz Golven kunnen in fase of uit fase zijn. 18/64

44 Zweving Wat als f 1 en f 2 bijna hetzelfde zijn? Stel f 1 = 8 Hz, f 2 = 9 Hz: 9 Hz 0 π 2π 3π 8 Hz

45 Zweving Wat als f 1 en f 2 bijna hetzelfde zijn? Stel f 1 = 8 Hz, f 2 = 9 Hz: 9 Hz 0 π 2π 3π som 8 Hz 19/64

46 Nog meer zweving Stel f 1 = 16 Hz, f 2 = 17 Hz: 0 π 2π 3π Hz

47 Nog meer zweving Stel f 1 = 16 Hz, f 2 = 17 Hz: 0 π 2π 3π som Hz We zien opnieuw een golfpatroon met frequentie 1 Hz = 17 Hz 16 Hz 20/64

48 Zweving audiofragmenten samples/ mp3 experiment 21/64

49 Zweving audiofragmenten samples/ mp3 experiment Definitie Het luider en stiller worden van het geluid noemen we zweving (of beating in het Engels). 1. instrumenten die niet goed gestemd zijn geven zulke zwevingen 2. zweving kan best vermeden worden (maar soms is het intentioneel, zeker in moderne muziek) 21/64

50 Deel 3 Hoe maken we verschillende noten? 22/64

51 Gehele veelvouden Muziek met 1 noot zou maar saai zijn. Hoe kiezen we de andere noten? 23/64

52 Gehele veelvouden Muziek met 1 noot zou maar saai zijn. Hoe kiezen we de andere noten? We willen 1. mooie samenklank 23/64

53 Gehele veelvouden Muziek met 1 noot zou maar saai zijn. Hoe kiezen we de andere noten? We willen 1. mooie samenklank 2. genoeg noten om interessante muziek te schrijven 23/64

54 Gehele veelvouden Muziek met 1 noot zou maar saai zijn. Hoe kiezen we de andere noten? We willen 1. mooie samenklank 2. genoeg noten om interessante muziek te schrijven 3. niet te veel noten om de muziek nog speelbaar te houden We hebben een goede leidraad voor mogelijke nieuwe noten: de boventonen! De eerste voorwaarde is alvast voldaan. Hoe gaan we verder? 23/64

55 De kwint De tweede boventoon klinkt hetzelfde, de verdubbeling in frequentie levert geen echt verschil op, we noemen dit een octaaf. 24/64

56 De kwint De tweede boventoon klinkt hetzelfde, de verdubbeling in frequentie levert geen echt verschil op, we noemen dit een octaaf. Om hem te spelen op een snaar moeten we de snaarlengte halveren. Experiment halveer de snaarlengte 24/64

57 De kwint De tweede boventoon klinkt hetzelfde, de verdubbeling in frequentie levert geen echt verschil op, we noemen dit een octaaf. Om hem te spelen op een snaar moeten we de snaarlengte halveren. Experiment halveer de snaarlengte De derde boventoon (dus 3 maal de grondfrequentie) is wél anders! 1. De snaar in drie delen levert deze frequentie als grondtoon. 24/64

58 De kwint De tweede boventoon klinkt hetzelfde, de verdubbeling in frequentie levert geen echt verschil op, we noemen dit een octaaf. Om hem te spelen op een snaar moeten we de snaarlengte halveren. Experiment halveer de snaarlengte De derde boventoon (dus 3 maal de grondfrequentie) is wél anders! 1. De snaar in drie delen levert deze frequentie als grondtoon. 2. De lengte verdubbelen geeft 3/2 keer de grondfrequentie. Experiment 1/3 en 2/3 van de snaarlengte 24/64

59 De kwint De tweede boventoon klinkt hetzelfde, de verdubbeling in frequentie levert geen echt verschil op, we noemen dit een octaaf. Om hem te spelen op een snaar moeten we de snaarlengte halveren. Experiment halveer de snaarlengte De derde boventoon (dus 3 maal de grondfrequentie) is wél anders! 1. De snaar in drie delen levert deze frequentie als grondtoon. 2. De lengte verdubbelen geeft 3/2 keer de grondfrequentie. Experiment 1/3 en 2/3 van de snaarlengte Het resultaat noemen we een kwint. 24/64

60 Octaven en kwinten We horen nu de grondtonen met frequenties 220 Hz (= la) en 330 Hz (= mi) audiofragmenten samples/octave.mp3 samples/fifth.mp3 samples/octave-fifth.mp /64

61 Kwinten visueel 0 π 2π 3π 22 Hz 33 Hz

62 Kwinten visueel 0 π 2π 3π somhz Hz 26/64

63 De terts De vierde boventoon is een verviervoudiging van de grondfrequentie, dus twee octaven. 27/64

64 De terts De vierde boventoon is een verviervoudiging van de grondfrequentie, dus twee octaven. De vijfde boventoon is wél nieuw. We hebben 5/4 keer de grondfrequentie. Experiment (grote) tertsen door 4/5 van de snaarlengte te spelen /64

65 De terts De vierde boventoon is een verviervoudiging van de grondfrequentie, dus twee octaven. De vijfde boventoon is wél nieuw. We hebben 5/4 keer de grondfrequentie. Experiment (grote) tertsen door 4/5 van de snaarlengte te spelen we hebben ook de harmonieken van de terts door 1/5 van de snaarlengte af te dempen /64

66 De terts De vierde boventoon is een verviervoudiging van de grondfrequentie, dus twee octaven. De vijfde boventoon is wél nieuw. We hebben 5/4 keer de grondfrequentie. Experiment (grote) tertsen door 4/5 van de snaarlengte te spelen we hebben ook de harmonieken van de terts door 1/5 van de snaarlengte af te dempen 4 2 Merk op, de fretten van een gitaar staan steeds dichter bij elkaar. 27/64

67 Octaven, kwinten en tertsen We horen nu de grondtonen met frequenties 220 Hz (= la), 275 Hz (= do#) en 330 Hz (= mi) audiofragmenten samples/thirds.mp3 samples/fifths-thirds.mp3 samples/major-chord.mp /64

68 Octaven, kwinten en tertsen We horen nu de grondtonen met frequenties 220 Hz (= la), 275 Hz (= do#) en 330 Hz (= mi) audiofragmenten samples/thirds.mp3 samples/fifths-thirds.mp3 samples/major-chord.mp3 4 2 We misbruiken hier natuurlijk de notatie die we pas kunnen invoeren als we het systeem volledig bedacht hebben. 28/64

69 Een toonladder bouwen We hebben nu de basis voor onze muziek in handen: 1. kwinten; 2. tertsen. We kunnen deze stapelen, om zo nieuwe noten te vormen. 29/64

70 Een toonladder bouwen We hebben nu de basis voor onze muziek in handen: 1. kwinten; 2. tertsen. We kunnen deze stapelen, om zo nieuwe noten te vormen. doe het historisch intermezzo sla het historisch intermezzo over 29/64

71 Deel 4 Een historisch intermezzo 30/64

72 Musica universalis Pythagoras: 1. toonhoogte staat in verband met de lengte van een snaar 2. de 7 hemellichamen volgen dezelfde regels 31/64

73 Musica universalis Pythagoras: 1. toonhoogte staat in verband met de lengte van een snaar 2. de 7 hemellichamen volgen dezelfde regels Voor hem waren muziektheorie en astronomie nauw verbonden: 1. astronomie is zichtbare regelmaat, 2. muziek is hoorbare regelmaat, en beiden gaan over perfecte verhoudingen. 31/64

74 Musica universalis Plinius de oudere, Naturalis Historia, n.c. Sed Pythagoras interdum et musica ratione appellat quantum absit a terra luna, ab ea ad Mercurium dimidium spatii et ab eo ad Veneris, a quo ad solem sescuplum, a sole ad Martem tonum [id est quantum ad lunam a terra], ab eo ad Iovem dimidium et ab eo ad Saturni, et inde sescuplum ad signiferum; ita septem tonis effici quam διὰ πασων άρμονίαν hoc est universitatem concentus; in ea Saturnum Dorio moveri phthongo, Iovem Phrygio et in reliquis similia, iucunda magis quam necessaria subtilitate. 32/64

75 Musica universalis Plinius de oudere, Naturalis Historia, n.c. Sed Pythagoras interdum et musica ratione appellat quantum absit a terra luna, ab ea ad Mercurium dimidium spatii et ab eo ad Veneris, a quo ad solem sescuplum, a sole ad Martem tonum [id est quantum ad lunam a terra], ab eo ad Iovem dimidium et ab eo ad Saturni, et inde sescuplum ad signiferum; ita septem tonis effici quam διὰ πασων άρμονίαν hoc est universitatem concentus; in ea Saturnum Dorio moveri phthongo, Iovem Phrygio et in reliquis similia, iucunda magis quam necessaria subtilitate. Dit geocentrisch model is natuurlijk onzin. 32/64

76

77 Deel 5 Wat is het probleem met stemmingen? 34/64

78 Een stemming We moeten dus toonhoogtes afspreken die we zullen gebruiken om muziek te maken. We weten dat 1. gehele veelvouden en kleine breuken goed klinken; 2. we zweving moeten vermijden; 3. de kwint (en de terts) interessante bouwblokken zijn. 35/64

79 Een stemming We moeten dus toonhoogtes afspreken die we zullen gebruiken om muziek te maken. We weten dat 1. gehele veelvouden en kleine breuken goed klinken; 2. we zweving moeten vermijden; 3. de kwint (en de terts) interessante bouwblokken zijn. We willen dus: 1. mooie kwinten en tertsen 2. genoeg noten om interessante muziek te kunnen maken 3. niet te veel noten om het niet te moeilijk te maken 35/64

80 De kwint als bouwblok We zullen kwinten stapelen: 1. elke stap apart klinkt mooi samen 2. het houdt verband met de tertsen: 5e versus 3e (= 6e) boventoon: na 4 kwinten (= 30e boventoon) hebben we een veelvoud van de 5e boventoon bereikt 36/64

81 Dezelfde noot, of toch niet? Neem een grondnoot (bijvoorbeeld de do), en beschouw 1. 7 octaven erboven: opnieuw een do 37/64

82 Dezelfde noot, of toch niet? Neem een grondnoot (bijvoorbeeld de do), en beschouw 1. 7 octaven erboven: opnieuw een do kwinten erboven: kwintencirkel do sol re la mi si fa# do# sol# re# la# mi# si# 37/64

83 Dezelfde noot, of toch niet? Neem een grondnoot (bijvoorbeeld de do), en beschouw 1. 7 octaven erboven: opnieuw een do kwinten erboven: kwintencirkel do sol re la mi si fa# do# sol# re# la# mi# si# in frequenties: grondnoot: 100 Hz (om de getallen mooier te maken!) 7 octaven: Hz = Hz 37/64

84 Dezelfde noot, of toch niet? Neem een grondnoot (bijvoorbeeld de do), en beschouw 1. 7 octaven erboven: opnieuw een do kwinten erboven: kwintencirkel do sol re la mi si fa# do# sol# re# la# mi# si# in frequenties: grondnoot: 100 Hz (om de getallen mooier te maken!) 7 octaven: Hz = Hz 12 kwinten: (3/2) Hz Hz 37/64

85 Dezelfde noot: si# = do We brengen alles 7 octaven naar beneden: grondnoot: 100 Hz 12 kwinten: (3/2) 12 / Hz Hz 38/64

86 Dezelfde noot: si# = do We brengen alles 7 octaven naar beneden: grondnoot: 100 Hz 12 kwinten: (3/2) 12 / Hz Hz audiofragment samples/7-12-glissando-400hz.mp3 samples/ hz.mp3 38/64

87 Dezelfde noot: si# = do We brengen alles 7 octaven naar beneden: grondnoot: 100 Hz 12 kwinten: (3/2) 12 / Hz Hz audiofragment samples/7-12-glissando-400hz.mp3 samples/ hz.mp3 We willen (?) si# = do zodat we slechts 12 noten moeten gebruiken in onze muziek. Vraag Is dit de enige mogelijke keuze? 38/64

88 Waarom het nooit kan kloppen Antwoord Dit is niet de enige mogelijke keuze! We bouwen onze toonladder op met behulp van octaven en kwinten. En we willen op een bepaald moment twee noten gelijkstellen. 39/64

89 Waarom het nooit kan kloppen Antwoord Dit is niet de enige mogelijke keuze! We bouwen onze toonladder op met behulp van octaven en kwinten. En we willen op een bepaald moment twee noten gelijkstellen. Dat betekent: ( ) 3 m 2 n = 2 voor m en n natuurlijke getallen. Op de vorige slide: n = 7, m = /64

90 Waarom het nooit kan kloppen Antwoord Dit is niet de enige mogelijke keuze! We bouwen onze toonladder op met behulp van octaven en kwinten. En we willen op een bepaald moment twee noten gelijkstellen. Dat betekent: ( ) 3 m 2 n = 2 voor m en n natuurlijke getallen. Op de vorige slide: n = 7, m = 12. Vraag Zijn er perfecte keuzes mogelijk? 39/64

91 Waarom het nooit kan kloppen Antwoord Nee! 40/64

92 Waarom het nooit kan kloppen Antwoord Nee! 2 n = ( ) 3 m 2 n+m = 3 m 2 maar het linkerlid is even, het rechterlid oneven. 40/64

93 Waarom het nooit kan kloppen Antwoord Nee! 2 n = ( ) 3 m 2 n+m = 3 m 2 maar het linkerlid is even, het rechterlid oneven. Onoplosbaar Dit probleem is niet op te lossen, en hangt nu eenmaal af van onze keuze om si kruis en do gelijk te stellen. We zullen daarom gewoon beginnen bouwen, en zien waar het misloopt. 40/64

94 We bouwen onze toonladder We bouwen een toonladder met als basis de kwint 3 : 2 en terts 5 : 4 noot do re mi fa sol la si do verhouding 1 : 1 5 : 4 3 : 2 2 : 1 41/64

95 We bouwen onze toonladder We bouwen een toonladder met als basis de kwint 3 : 2 en terts 5 : 4 noot do re mi fa sol la si do verhouding 1 : 1 5 : 4 4 : 3 3 : 2 2 : 1 1. fa is omgekeerde kwint, (3 : 2) 1 = (4 : 3) 41/64

96 We bouwen onze toonladder We bouwen een toonladder met als basis de kwint 3 : 2 en terts 5 : 4 noot do re mi fa sol la si do verhouding 1 : 1 9 : 8 5 : 4 4 : 3 3 : 2 2 : 1 1. fa is omgekeerde kwint, (3 : 2) 1 = (4 : 3) 2. re is twee kwinten, (3 : 2) 2 = (9 : 8) (we negeren octaven) 41/64

97 We bouwen onze toonladder We bouwen een toonladder met als basis de kwint 3 : 2 en terts 5 : 4 noot do re mi fa sol la si do verhouding 1 : 1 9 : 8 5 : 4 4 : 3 3 : 2 5 : 3 2 : 1 1. fa is omgekeerde kwint, (3 : 2) 1 = (4 : 3) 2. re is twee kwinten, (3 : 2) 2 = (9 : 8) (we negeren octaven) 3. la is kleine terts naar beneden (= kwint min grote terts), ((3 : 2)(5 : 4) 1 ) 1 = (5 : 3) 41/64

98 We bouwen onze toonladder We bouwen een toonladder met als basis de kwint 3 : 2 en terts 5 : 4 noot do re mi fa sol la si do verhouding 1 : 1 9 : 8 5 : 4 4 : 3 3 : 2 5 : 3 15 : 8 2 : 1 1. fa is omgekeerde kwint, (3 : 2) 1 = (4 : 3) 2. re is twee kwinten, (3 : 2) 2 = (9 : 8) (we negeren octaven) 3. la is kleine terts naar beneden (= kwint min grote terts), ((3 : 2)(5 : 4) 1 ) 1 = (5 : 3) 4. si is grote terts boven kwint, (3 : 2)(5 : 4) = (15 : 8) 41/64

99 We bouwen onze toonladder We bouwen een toonladder met als basis de kwint 3 : 2 en terts 5 : 4 noot do re mi fa sol la si do verhouding 1 : 1 9 : 8 5 : 4 4 : 3 3 : 2 5 : 3 15 : 8 2 : 1 1. fa is omgekeerde kwint, (3 : 2) 1 = (4 : 3) 2. re is twee kwinten, (3 : 2) 2 = (9 : 8) (we negeren octaven) 3. la is kleine terts naar beneden (= kwint min grote terts), ((3 : 2)(5 : 4) 1 ) 1 = (5 : 3) 4. si is grote terts boven kwint, (3 : 2)(5 : 4) = (15 : 8) Door wiskunde te gebruiken kunnen we heel makkelijk rekenen met intervallen! 41/64

100 Wat is er mis met deze toonladder? We hebben si# = do genomen: enharmonie. 42/64

101 Wat is er mis met deze toonladder? We hebben si# = do genomen: enharmonie. Maar daardoor gaan bepaalde (enharmonische) intervallen niet meer juist klinken... 42/64

102 Wat is er mis met deze toonladder? We hebben si# = do genomen: enharmonie. Maar daardoor gaan bepaalde (enharmonische) intervallen niet meer juist klinken... Voorbeeld van een wolfinterval De elf kwinten zijn perfect gekozen (want exact 3 : 2), de twaalfde kwint is dus significant te klein. 42/64

103 Wat is er mis met deze toonladder? We hebben si# = do genomen: enharmonie. Maar daardoor gaan bepaalde (enharmonische) intervallen niet meer juist klinken... Voorbeeld van een wolfinterval De elf kwinten zijn perfect gekozen (want exact 3 : 2), de twaalfde kwint is dus significant te klein. Er is nog een ander probleem. Voorbeeld van problemen met stapelen de sixt in do groot: 5 : 3 de seconde in sol groot: 9 : 8, en dus (3 : 2)(9 : 8) = 27 : 16 tegenover do We kunnen dus niet zomaar moduleren! 42/64

104 Deel 6 Rekenen met toonhoogtes 43/64

105 Frequenties zijn onhandig Het rekenen met frequenties is een absolute manier van werken. 44/64

106 Frequenties zijn onhandig Het rekenen met frequenties is een absolute manier van werken. De problemen: 1. afhankelijk van de gekozen basisfrequentie (tegenwoordig 440 Hz); 2. afhankelijk van de gekozen octaaf; 3. onhandig rekenen: we werken met een exponentiële schaal, terwijl het aantal noten wel constant blijft do fasol do fa sol do fa sol 44/64

107 Het alternatief Daarom willen we een relatieve manier van werken! 1. onafhankelijk van octaaf en basisfrequentie; 2. een lineaire voorstelling: de gegevens worden te snel te groot do sol do sol do sol do 45/64

108 Het alternatief Daarom willen we een relatieve manier van werken! 1. onafhankelijk van octaaf en basisfrequentie; 2. een lineaire voorstelling: de gegevens worden te snel te groot do sol do sol do sol do Logaritmische schaal Hiervoor gebruiken we een logaritmische schaal: we transformeren onze data met log α. Voorbeelden: schaal van Richter, decibels, ph-waarden,... 45/64

109 Cents We zullen een octaaf in 12 gelijke delen (exponentieel gezien) opdelen (we weten nog niet waarom!). Daarom: stel f 1 en f 2 de frequenties van twee noten, dan is ( ) f log 2 = 1200 (log f 2 (f 2 ) log 2 (f 1 )) 1 het aantal cent van f 1 naar f 2. 46/64

110 Cents We zullen een octaaf in 12 gelijke delen (exponentieel gezien) opdelen (we weten nog niet waarom!). Daarom: stel f 1 en f 2 de frequenties van twee noten, dan is ( ) f log 2 = 1200 (log f 2 (f 2 ) log 2 (f 1 )) 1 het aantal cent van f 1 naar f 2. De toonladder wordt dus 0 cent 500 cent 700 cent 1200 cent do fa sol do 46/64

111 Cents We zullen een octaaf in 12 gelijke delen (exponentieel gezien) opdelen (we weten nog niet waarom!). Daarom: stel f 1 en f 2 de frequenties van twee noten, dan is ( ) f log 2 = 1200 (log f 2 (f 2 ) log 2 (f 1 )) 1 het aantal cent van f 1 naar f 2. De toonladder wordt dus in plaats van 0 cent 500 cent 700 cent 1200 cent do fa sol do Hz Hz 196 Hz Hz do fa sol do 46/64

112 Deel 7 Hoe kunnen we ons probleem oplossen? 47/64

113 Geschiedenis De scenario s: Pythagoras strak vasthouden aan de perfecte verhoudingen, goed in theorie, slecht in praktijk middeleeuwen variaties op Pythagoras: het wolfinterval dat ontstaat door de strikte toepassing van Pythagoras theorie wordt uitgesmeerd over meerdere noten hedendaags we nemen gelijke stappen, de gelijkzwevende stemming 48/64

114 Geschiedenis De scenario s: Pythagoras strak vasthouden aan de perfecte verhoudingen, goed in theorie, slecht in praktijk middeleeuwen variaties op Pythagoras: het wolfinterval dat ontstaat door de strikte toepassing van Pythagoras theorie wordt uitgesmeerd over meerdere noten hedendaags we nemen gelijke stappen, de gelijkzwevende stemming Chronologie gelijkzwevende stemming 1. 4e eeuw voor Christus: Aristoxenus : Vincenzo Galilei (vader van) : Simon Stevin (Belgisch wiskundige!) beschrijft voor het eerst de huidige stemming, Van de Spiegeling der singconst /64

115 Hoeveel noten hebben we nodig? do (2 : 1) si (15 : 8) la (5 : 3) sol (3 : 2) fa (4 : 3) mi (5 : 4) re (9 : 8) do (1 : 1) 49/64

116 Grootte van de fout cumulatieve fout aantal noten 50/64

117 Daarom do-re-mi-fa-sol-la-si! Conclusie We zien dat 12 gelijke tonen de volgende eigenschappen heeft: 1. bijna perfecte kwint, kwart, seconde 2. alles is regelmatig 3. niet te veel noten 4. het staat (toevallig?) in verband met de 12 kwinten: de minimale keuze voldoet blijkbaar (als we niet al te veeleisend zijn) 51/64

118 Gelijkzwevende vs. reine stemming Hoe verhoudt deze gelijkzwevende stemming zich nu tot de natuurlijke of reine stemming? 52/64

119 Gelijkzwevende vs. reine stemming Hoe verhoudt deze gelijkzwevende stemming zich nu tot de natuurlijke of reine stemming? kwint 3 : 2 vs. 2 7/12 52/64

120 Gelijkzwevende vs. reine stemming Hoe verhoudt deze gelijkzwevende stemming zich nu tot de natuurlijke of reine stemming? kwint 3 : 2 vs. 2 7/12 = 1.5 vs /64

121 Gelijkzwevende vs. reine stemming Hoe verhoudt deze gelijkzwevende stemming zich nu tot de natuurlijke of reine stemming? kwint 3 : 2 vs. 2 7/12 = 1.5 vs = cent vs. 700 cent terts 5 : 4 vs. 2 4/12 52/64

122 Gelijkzwevende vs. reine stemming Hoe verhoudt deze gelijkzwevende stemming zich nu tot de natuurlijke of reine stemming? kwint 3 : 2 vs. 2 7/12 = 1.5 vs = cent vs. 700 cent terts 5 : 4 vs. 2 4/12 = 1.25 vs /64

123 Gelijkzwevende vs. reine stemming Hoe verhoudt deze gelijkzwevende stemming zich nu tot de natuurlijke of reine stemming? Vuistregel kwint 3 : 2 vs. 2 7/12 = 1.5 vs = cent vs. 700 cent terts 5 : 4 vs. 2 4/12 = 1.25 vs = cent vs. 400 cent Goede muzikanten horen een verschil vanaf 5 cent. Wanneer twee noten tegelijkertijd gespeeld worden en er zweving kan worden vastgesteld is het natuurlijk gemakkelijker. 52/64

124 Deel 8 Hoe kan geluid ons bedotten? 53/64

125 Illusies met geluid We kunnen nu geluid analyseren, en dat gaan we toepassen! 54/64

126 Een toonladder audiofragment samples/endless.mp3 55/64

127 Een toonladder audiofragment samples/endless.mp /64

128 Een toonladder audiofragment samples/endless.mp3 4 2 De toonladder herhaalt zich, zonder overgang! 55/64

129 Escher: een oneindige trap 56/64

130 Wat is er aan de hand? 57/64

131 Observaties 1. (alles is een beetje te laag gestemd) 2. er is geen vastomlijnde grondtoon 3. de duidelijkste frequentie wordt zwakker 4. de nauwelijks aanwezige laagste frequentie wordt sterker 5. de laatste toon heeft dezelfde samenstelling als de eerste 58/64

132 Paradox van Shepard Toepassing Bassen op een klein membraan. 59/64

133 Een oneindig dalende glissando Een continue versie van voorgaande paradox audiofragment samples/shepard-risset-glissando.ogg 60/64

134 Paradox van Shepard Risset 61/64

135 Een oneindig versnellende beat audiofragment samples/drumbeat.ogg 1. we versnellen de hele tijd 2. de snelste noten worden zachter 3. de traagste worden sterker 62/64

136 Een oneindig versnellende beat audiofragment samples/drumbeat.ogg 1. we versnellen de hele tijd 2. de snelste noten worden zachter 3. de traagste worden sterker audiofragment samples/drumbeat.ogg met willekeurig doorspoelen 62/64

137 Experiment Opdracht 12 toonparen, schrijf op of de tweede van elk paar: 1. hoger, 2. of lager, is dan de eerste. Er is geen juist of fout antwoord! 63/64

138 Experiment Opdracht 12 toonparen, schrijf op of de tweede van elk paar: 1. hoger, 2. of lager, is dan de eerste. Er is geen juist of fout antwoord! hoger lager /64

139 Experiment Opdracht 12 toonparen, schrijf op of de tweede van elk paar: 1. hoger, 2. of lager, is dan de eerste. Er is geen juist of fout antwoord! hoger lager Hoeveel komen er overeen? 63/64

140 Ontbrekende grondtoon eerste tweede 300 Hz 375 Hz 450 Hz 500 Hz 600 Hz 625 Hz /64

141 Ontbrekende grondtoon eerste tweede 300 Hz 375 Hz 450 Hz 500 Hz 600 Hz 625 Hz De ontbrekende grondtoon van de eerste zou 150 Hz zijn, terwijl die van de tweede 125 Hz zou zijn. De laagst aanwezige frequentie in de eerste is echter 300 Hz, terwijl die in de tweede 375 Hz is. 64/64

142 Ontbrekende grondtoon eerste tweede 300 Hz 375 Hz 450 Hz 500 Hz 600 Hz 625 Hz De ontbrekende grondtoon van de eerste zou 150 Hz zijn, terwijl die van de tweede 125 Hz zou zijn. De laagst aanwezige frequentie in de eerste is echter 300 Hz, terwijl die in de tweede 375 Hz is. Op basis waarvan moeten onze hersenen de hoogste kiezen? 64/64

143 Ontbrekende grondtoon eerste tweede 300 Hz 375 Hz 450 Hz 500 Hz 600 Hz 625 Hz De ontbrekende grondtoon van de eerste zou 150 Hz zijn, terwijl die van de tweede 125 Hz zou zijn. De laagst aanwezige frequentie in de eerste is echter 300 Hz, terwijl die in de tweede 375 Hz is. Op basis waarvan moeten onze hersenen de hoogste kiezen? Conclusie Er zijn grondtoonhoorders en boventoonhoorders! 64/64