Ratio Docentenmateriaal De getallenlijn

Transcriptie

1 juni 2004 Ratio Docentenmateriaal De getallenlijn

2 Inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn Bespreking per paragraaf In tienen 4 2 Grafieken 4 Van gewone breuk naar decimale breuk 4 4 Onderzoek 5 Tijdsplan 7 Overzichten per paragraaf In tienen 7 2 Grafieken 8 Van gewone breuk naar decimale breuk 9 Test jezelf Toets Materialen voor een klassengesprek 5 2

3 De grote lijn HOOFDLIJN Het decimale getallenstelsel AAN DE ZIJLIJN Het decimale stelsel van maten Voorvoegsels kilo, hecto, De tientalige getallenlijn Middens op de getallenlijn De getallenlijn in andere talstelsels Fijnere verdelingen van de eenheid: decimale breuken op de getallenlijn Afronden In andere talstelsels Gewone breuken op de getallenlijn Midden tussen twee breuken Definitie Rationaal getal Van stippengrafiek naar lijngrafiek Voorbeelden in de praktijk Invloed van schaal: misleiding Tijd-afstand-grafieken Grafieken van evenredige verbanden Definitie: Stelling: recht evenredig de formule van een evenredig verband de grafiek van een evenredig verband Delingsalgoritme Eindige en repeterende decimale breuken Rekenen met decimale breuken In andere talstelsels Definitie: (periode van) repeteren

4 Bespreking per paragraaf Applets LijnstukkendelenApplet bij opgave 2 van paragraaf Deze applet kwam ook al voor in het hoofdstuk Passen en meten. GetallenlijnApplet bij opgave 4 van paragraaf en opgave 2 van paragraaf Deze applet werkt in alle talstelsels met basis 2 t/m 6. De leerlingen kunnen zelf een getal tussen 0 en kiezen en dat plaatsen op de getallenlijn of een getal aangeven op de getallenlijn en bepalen wat dat getal is in vijf decimalen. Ze kunnen ook de computer een getal laten kiezen en dat aangeven op de getallenlijn of de computer een getal laten plaatsen op de getallenlijn en zeggen welk getal dat is in vijf decimalen. Getallenlijn2Applet bij opgave 6 van paragraaf Deze applet bepaalt bij een breuk de eerste vijf decimalen door op zijn plaats op de getallenlijn in te zoomen. DeelApplet bij opgave 7 van paragraaf Deze applet oefent het delingsalgoritme (de "staartdeling"). In tienen We sluiten aan op de verdeling van een kilometer in hectometers, decameters, meters, enz. Zodoende wordt de notatie van het decimale stelsel herhaald. Elk getal heeft een unieke plaats op de tientallige getallenlijn. We doen dat eerst met gehele getallen. In het bijzonder kijken we naar het getal dat midden tussen twee gegeven getallen op de getallenlijn ligt. In andere talstelsels werkt het op eenzelfde manier als in het tientallige stelsel. Vervolgens wordt op de tientallige getallenlijn de eenheid verdeeld in tienen, hondersten, duizendsten,. Zodoende kunnen we eindige decimale breuken op de getallenlijn plaatsen. In enkele opgaven wordt afronden op zoveel decimalen behandeld. Ook dit idee herhalen we in een ander talstelsel. Ook wordt de verdeling in tienen losgelaten en plaatsen we gewone breuken op de getallenlijn door de eenheid in het passende aantal stukjes te verdelen. In het bijzonder krijgt de breuk aandacht die midden tussen twee gegeven breuken ligt. Aan het eind van de paragraaf zeggen we wat we onder een rationaal getal verstaan. 2 Grafieken Uitgangspunt zijn toepassingen: koortsgrafiek, girorekening, waterhoogte, migratie, weidevogelspopulatie en levensverwachting in West-Europa. Bij de laatste twee gaan we in op het misleidende van grafieken als het nulpunt op de verticale as is verplaatst. Op wisweb van het Freudenthal Instituut (Utrecht) heeft de applet Grafieken. Daarin staan dertien voorbeelden van grafieken (bijvoorbeeld het temperatuurverloop op een dag) waarbij een kort verhaaltje wordt verteld daarin ontbreken enkele getallen die de leerling uit de grafiek moet halen en invullen (multiple choice). De opgaven zijn eenvoudig. De leerlingen moeten ze zeker niet allemaal gaan maken. Hierna gaan we modellen van grafieken bekijken: allemaal geïdealiseerde situaties die rechte lijnen als grafieken opleveren. In het bijzonder -afstand-grafieken. Maar nergens formeel. Andere toepassingen zijn: benzineverbruik, benzine-kosten, wisselkoersen. Deze laatste zijn voorbeelden van evenredige verbanden. We eindigen de paragraaf met de definitie van recht evenredig. Hoe zien de formule en de grafiek van een evenredig verband eruit? 4

5 Van gewone breuk naar decimale breuk We plaatsen decimalen getallen op de geallenlijn, in het bijzonder 2. We verdelen 5 km in 6 gelijke stukken. Dat doen we door 5 km om te zetten in 50 hm, de deling zo ver mogelijk uit te voeren, de rest van 2 hm om te zetten in 20 decameter. Enzovoort. Dit zijn precies de stappen die je uitvoert in een "staartdeling". Zodoende wordt dit "oude" delingsalgoritme herhaald. Sommige breuken geven een eindige decimale breuk, bij andere breuken geeft het delingsalgoritme een oneindige decimale breuk. Deze gaat al repeteren omdat na hoogstens n- stappen het algoritme in herhaling moet vallen (bij noemer n). De periode van de repeterende decimale breuk is de lengte van het repeterende stuk decimalen. Ook dit wordt in andere talstelsels gedaan. Ook wordt er met (oneindige) decimale breuken gerekend. 4 Onderzoek Hier volgen de antwoorden van de opdrachten. Opdracht Eindige decimale breuken a. De decimale schrijfwijze van een breuk is eindig precies dan als de breuk geschreven kan worden met een noemer die alleen maar de factoren 2 en 5 heeft. b. De tweetallige schrijfwijze van een breuk is eindig precies dan als de breuk geschreven kan worden met een noemer die alleen factoren 2 heeft. Opdracht 2 Schalen a. Het snijpunt van de grafieken ligt wel bij 945, maar de aantallen tractoren en trekdieren zijn verschillend. Dat komt doordat er voor beide grafieken verticaal verschillende schalen worden gebruikt. b. In het begin (90) zijn er heel veel trekdieren en op het eind (960) zijn er weinig. Bij de tractoren is dat precies omgekeerd. Er moet dus daartussen een moment geweest zijn, waarop de aantal trekdieren en tractoren gelijk waren. c. Ongeveer in 954 toen waren er zowel (ruim) 4 miljoen trekdieren als tractors. Je vindt dat jaar door de grafiek van de trekdieren?? half zo hoog te tekenen (dat wil zeggen de verticale schaal aan te passen aan die van de tractors). d. Een voordeel is dat je beide verlopen in een keer kunt overzien. Een nadeel is dat je snel misleid bent omdat er met verschillende verticale schalen wordt gewerkt. e. Oorlogen, hongersnood, epidemieën, er waren nog geen medische voorzieningen. f. Er zijn verschillende schalen gebruikt op de horizontale as. Men begint met sprongen van 2 duizend jaar en eindigt met sprongen van 00 jaar. g. Voor Christus' geboorte groeide de wereldbevolking maar weinig. Dus is die periode niet zo interessant. Als men dan ook sprongen van 00 jaar zou nemen, zou de grafiek heel breed worden. h. Als je op de verticale as een eenheid omhoog gaat, wordt het getal 0 keer zo groot. i. 6 miljoen j. Het lijkt alsof er elk jaar evenveel nijlbaarsen bijkomen. Maar dat is niet zo: de eerste jaren komen er veel minder bij dan in latere jaren. k. Bij een gewone schaal zou je een heel groot stuk papier nodig hebben (als je daarop en een miljard allebei goed wilt plaatsen). Opdracht Een half a. basis 2: 0, basis : 0, basis 4: 0,2 basis 5: 0,222 basis 6: 0, basis 7: 0, basis 8: 0,4 basis 9: 0,444 5

6 basis 0: 0,5 basis : 0,555 basis 2: 0,6 basis : 0,666 basis 4: 0,7 basis 5: 0,777 basis 6: 0,8 b. Als de basis even is, zeg 2n, dan is een half 0,n. Als de basis oneven is, zeg 2n+, dan is de basis 0,nnn Opdracht 4 Schrijven als gewone breuk a b c d Opdracht 5 0,999 a. 0,999 = b. 0,5999 = 0,6 0,55999 = 0,56 0, = 0,679 c. 0,50999 d. 2, e. en 0,2 f.,666 g. Een eindige decimale breuk kun je als oneindige decimale breuk schrijven door het laatste cijfer (niet 0) met te verlagen en daarachter een oneindige sliert 9's te plaatsen. In een ander talstelsel moet je in plaats van 9's het "grootste" cijfer plaatsen. Opdracht 6 Het midden van drie of meer getallen a. Het gemiddelde is 5. b. 2 en c. 0 9 Naar rechts: 05 naar links 0 4 en 0 5 = d. 5 2 Naar rechts: 2 en 2 naar links 2 en = e. Ja: midden tussen 2 en 7 2 ligt 25. f. Dat maakt niets uit. g. - Neem het midden van de linkse twee, het midden van de volgende twee, het midden van de daaropvolgende twee en het midden van de rechtse twee. - Neem van de linkse twee middens het midden en ook van de rechtse twee middens het midden. - Neem van deze middens het midden. Opdracht 7 Historie van het decimale stelsel De Romeinen werkten niet met het decimale stelsel. 6

7 In het decimale stelsel bepaalt de plaats waar een cijfer staat de waarde van dat cijfer. Het is een zogenaamd positiestelsel. In een positiestelsel is de nul van groot belang. De tien cijfers in het decimale stelsel zijn afkomstig uit India (in de zevende eeuw) en zijn via de Arabieren in de Westerse cultuur gekomen (in de tiende eeuw). De symbolen van toen zijn in de tussenliggende eeuwen nauwelijks veranderd. De Indiase cijfers zagen er in de eerste eeuw voor Christus zo uit: Het woord "cijfer" is afkomstig van de Arabische benaming van de nul, "sifr", die op haar beurt weer een vertaling is van het Indiase woord "soenja" (nul, leegte). Zie bijvoorbeeld: Opdracht 8 Het zestigtallig stelsel Het zestigtallig stelsel werd gebruikt in Babylonië. We vinden het nog terug in de rekening (een uur heeft 60 minuten en een minuut heeft zestig seconden) en in het meten van hoeken. 52º'44" betekent 52 graden, minuten en 44 seconden. Zie bijvoorbeeld: Opdracht 9 De periode van de som a. Als p periode 2 heeft en q periode, dan heeft p+q periode 2. Als p periode 2 heeft en q periode 2, dan heeft p+q periode 2. Als p periode 2 heeft en q periode, dan heeft p+q periode 6. Als p periode 2 heeft en q periode 4, dan heeft p+q periode 4. Als p periode 2 heeft en q periode 5, dan heeft p+q periode 0. Als p periode 2 heeft en q periode 6, dan heeft p+q periode 6. b. De periode van p+q is het kgv van p en q. Opdracht 0 Rekenen met afgeronde maten a. De precieze afstand ligt tussen 4,8 en 5,20 hm (hij zou eventueel 4,80 hm kunnen zijn). b. (n-) hm c. De precieze oppervlakte ligt tussen 7,475 en 7,9875 hm 2. d. 0,a + 0,b = 0,(a+b). [maximaal (a+0,05)(b+0,05) = ab + 0,05a + 0,05b + 0,0025, minimaal (a-0,05)(b-0,05) = ab - 0,05a - 0,05b + 0,0025] 7

8 Tijdsplan : In tienen lessen 2: Grafieken lessen : Van gewone breuk naar decimale breuk lessen 4: Onderzoek 2 lessen Test jezelf 2 lessen 8

9 Materialen voor een klassengesprek Technieken staartdeling 2 gewone breuken op de getallenlijn decimale breuken op de getallenlijn 4 rekenen met decimale breuken 5 grafieken tekenen 6 uit grafieken aflezen 7 formule van een evenredig verband 8 grafiek van een evenredig verband 2. Vragen a = 0, en b = 0,222. Wat is de periode van de decimale schrijfwijze van a? En van b? En van a+b? Welk getal ligt op de getallenlijn halverwege 0, en 0,222222? 0, en 0,444444? 0, en? Op de tientallige getallenlijn zet ik rode streepjes voor de honderdtallen, groene voor de tientallen (die geen honderdtal zijn) en blauwe voor de eenheden (die geen tiental zijn). Hoeveel streepjes staan er van elke kleur tussen 200 en 700? Hoe kun je die aantallen controleren? Tussen welke opvolgende gehele getallen ligt Tussen welke opvolgende tienden ligt 50? Tussen welke opvolgende honderdsten ligt Gegeven: /7 = 0,42857 Wat is de decimale schijfwijze van: /70? 0/7? 2/7? 8/7? 50? 50? 9

10 Wat is er vreemd aan de volgende -afstand-grafiek? afstand Waar of niet waar? - 9/25 kun je schrijven als oneindige decimale breuk. - 9/25 kun je schrijven als eindige decimale breuk. - 25/9 kun je schrijven als een oneindige decimale breuk. - 25/9 kun je schrijven als een eindige decimale breuk. Van welke stippengrafieken is het verantwoord een lijngrafiek te maken? tempe ratuur zeewater tempe ratuur zeewater 2,456 is een getal in het tientallige stelsel. is het aantal eenheden. Wat stelt de voor? En de 6? 2,456 km. Wat stelt de 5 voor? 2,456 is een getal in het achttallige stelsel. Wat stelt de voor? En de 5? We werken in het achttallig stelsel. We hebben twee gehele getallen a en b van drie cijfers. Je weet dus van a en b hoeveel eenheden ze hebben, hoeveel achttallen en hoeveel 64-tallen. - Hoe vind je het aantal eenheden, het aantal achttallen en het aantal 64-tallen van hun som a+b? - Hoe vind je het aantal achttallen, het aantal achttallen en het aantal 64-tallen van hun product a b? Hieronder staan -afstand-grafieken van drie autoritten. Vertel wat je uit de grafieken over de autoritten kunt aflezen. afstand afstand afstand 0

11 . Hoofdzaken Zeg in één zin wat de hoofdzaak is van elk van de drie paragrafen. De notatie van getallen in het tientallige stelsel (ook breuken), ook in andere talstelsels. Het tekenen van en aflezen uit grafieken. Het vinden van de decimale schrijfwijze van breuken, door middel van het delingsalgoritme. 4. Samenhang 5. Leerling-opgaven Maak een verhaal waarbij een interessante grafiek hoort. Maak een opgave waarin gerekend moet worden in het vijftallig stelsel. Maak een verhaal waarbij iets verdeeld moet worden en een oneindige decimale breuk een rol speelt.