Hemelverschijnselen nabij de horizon naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton
|
|
- Lander van Dongen
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hemelverschijnselen nabij de horizon naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen
2 Samenvatting i. Inleiding ii. Wiskundige achtergrond geometrische optica iii. Atmosferische optica iv. Glad brekingsindex-profiel lichtstraal als geodeet M.G.J. Minnaert, De Natuurkunde van t Vrije Veld. Vols. 1, 2 and 3, Vijfde Editie, ThiemeMeulenhoff 1996; The Nature of Light & Colour in the Open Air. Dover 1954
3 Inleiding Alfred Wegener ( ) Marcel Minnaert ( ) - Plaat-tectoniek, continental drift - Sterrenkunde, Sonnenborgh - Utrecht A.L. Wegener, Über die Ursache der Zerrbilder bei Sonnenuntergängen. Beiträge zur Physik der freien Atmosphäre. Strasbourg, 4 (1912) A.L. Wegener, Optik der Atmosphäre. In: Müller Pouillet, Lehrbuch der Physik, 2nd Edn., Viewig & Son, Braunschweig (1928)
4 Een laagstaande zon Specola Vaticana, Castel Gandolfo Voor meer materiaal zie ook Kees Floor, De vorm van de zonneschijf bij lage zonnestand, computersimulaties en waarnemingen. Meteorologica maart en april 1999
5 Atmosfeer met warme laag Minnaert s weergave van een Wegener-sector met bovenspiegeling in onderrand warme laag blinde strook in de zon (Beperkte) onderstelling van rotatie-symmetrisch brekingsindex-profiel n = n(r) Ideeën gaan terug op Kepler 1604
6 Commentaar I Straal aarde: 6400 km Hoogte atmosfeer: ca. 11 km boven aarde Hoogte waarnemer W : 10 à 15 m boven aarde Diameter zon: 32 = Brekingsindex-profiel normaliter monotoon 1 Temperatuur-inversie discontinuïteiten. Hoe?? Fysica lastig. Voldoend goede waarnemingen ook niet voorhanden... Verschijnselen redden: invers probleem! Gezocht verklarend brekingsindex-profiel Geschikte hoogte bij één discontinuïteit: H 80 m
7 Theoretische zonsondergang met blinde strook Blinde strook
8 Theoretiche zondsondergang met blinde zone (komt vaak voor) Blinde zone
9 Theoretische luchtspiegelingen van verdwijnend zeilschip Luchtspiegelingen
10 wiskundige achtergrond geometriche optica
11 Principe van Fermat Lichtstralen volgen paden van de kortste tijd Optisch medium: verticaal vlak Horizontale lagen in laag j constante voortplantingssnelheid v j lichtstraal rechte lijn Op grenslijnen breking of kaatsing
12 Breking en kaatsing Brekingsindex n j = 1/v j ; Fermat impliceert: A n 1 = 1/ν 1 B n 1 = 1/ν 1 s 1 A b s 2 s 1 α β c b α x C a x c x C β a x s 2 n 2 = 1/ν 2 B n 2 = 1/ν 2 B Links: kaatsing β = α (Hero van Alexandrië) Rechts: breking n 1 sin α = n 2 sin β (Snellius)
13 Bewijs Per definitie van snelheid: waarbij de (Euclidische) afstand aangeeft t AC = n 1 A C en t CB = n 2 C B Laat x = x C de positie van C aangeven. Met Pythagoras A C = x 2 + b 2, C B = (a x) 2 + c 2 Differentieer t AC en t CB m.b.t. x : d dx t AC (x) = n 1 x x 2 + b 2 = n 1 sin α d dx t AC (x) = n 2 (a x) (a x) 2 + c 2 = n 2 sin β : d dx (t AC + t CB )(x) = 0 n 1 sin α = n 2 sin β
14 Commentaar II Extremum is minimum (tweede afgeleide positief) Als grenslijn gladde kromme, dan analoog: α en β t.o.v. normaal van de raaklijn In kromme geval minimum alleen locaal, globaal kunnen caustieken optreden (denk aan brandpunten ellips...) G.W. Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis. Acta Eruditorum In: D.J. Struik, A source book in mathematics Harvard University Press 1969,
15 Grenshoek n 2 n 1 α β n 2 α g β = π/2 n 1 n 2 n 1 α β Licht komt van beneden. Neem aan dat n 1 > n 2, dan overgang breking kaatsing via grenshoek α g = arcsin(n 2 /n 1 ) Links: α < α g : breking volgens Snellius Midden: α = α g : straal verlaat onderste laag via raaklijn Rechts: α > α g : kaatsing volgens Hero In de discrete theorie is dit een discontinuïteit
16 Meer lagen... Snellius: n j sin α j = n j+1 sin α j Euclidische meetkunde: α j = α j+1 behoudswet: n j sin α j = n j+1 sin α j+1 inclinatie α met de verticaal (ook in limiet) behouden grootheid S = n sin α
17 ... en voor de ronde aarde α 1 α 1 α 2 α 2 α 3 n 1 α 3 n 2 r 1 r 2 r 3 n 3 n 4 Snellius: n j sin α j = n j+1 sin α j Sinusregel: sin α j r j+1 = sin(π α j+1) r j behoudswet: n j r j sin α j = n j+1 r j+1 sin α j+1 inclinatie α met de verticaal (ook in limiet) behouden grootheid C = nr sin α
18 Commentaar III Platte aarde n = n(y), ronde aarde n = n(r) Waarde S = S 0 en C = C 0 bepalen vorm lichtstraal door sin α = dx dy S 0 n(y) en dx dy = ± tan α S = ± 0 n 2 (y) S 0 2, etc. en zo sin α = dϕ dr C 0 rn(r) en r dϕ dr = ± tan α C = ± 0 r r 2 n 2 (r) C 0 2, etc. Voortplantingssnelheden 1/n(y) en 1/n(r)
19 Intermezzo I Platte aarde met n(y) = 1/(2gy) voor y < 0 brachistochroon volgens Johann Bernoulli: cycloïde als lichtstraal met rolhoek θ = 2α π, straal ϱ = 1/(4S 2 0g) H.W. Broer, Bernoulli s lichtstraal-oplossing van het brachistochrone probleem door de ogen van Hamilton. Nieuw Archief voor Wiskunde 5th series, 14(2) (2013)
20 Intermezzo II y x Geodeten Poincare bovenhalfvlak lichtstralen, brekingsindex-profiel n(y) = 1/y via z 7 eiz bovenhalfvlak eenheidsschijf Escher
21 Twee helden Johann Bernoulli Henri Poincaré ( ) ( )
22 atmosferische optica
23 Kritieke cirkel k α g warm earth R H gezichtsstraal = omgekeerde lichtstraal grenshoek α g = arcsin(n 2 /n 1 ), waarbij n 1 > n 2 : gezichtsstraal vertrekt rakend aan grenslijn kritieke cirkel (straal R + k) omhult alle gezichtsstralen die onder grenshoek α g bij warme laag aankomen
24 Kijk- en uittreerichting warm θ W β W α β β + θ γ earth δ θ Inclinaties β W, α en β en de hoek β + θ Kijkrichting δ = 1π β 2 W en uittreerichting γ = 1 2π (β + θ) Realistisch is dat δ en γ dichtbij 0 liggen...
25 Wegener-sector C B W A B C D ε D H k R earth E M γ n r R δ Wegener-sector, brekingsindex-profiel en transitie-diagram
26 ... uitvergroot... C B W A B C D ε D H earth E k R M
27 Symmetrie Wegener-sector Stelling De Wegener sector is symmetrisch ten opzichte van de horizontale kijkrichting. Bewijs: We tonen aan dat horizontale kijkrichting W C bisectrice is van hoek BW D Gebruik dat binnen- en buiten-bisectrice van BW D onderling loodrecht zijn Symmetrie: MW is bisectrice van hoek D W D MW C C C C is bisectrice van BW D
28 Mogelijke stralenbundels... Links: als boven, Wegener sector met k > 0. Blinde strook mogelijk: zie eerste zonsondergang hierboven Rechts: idem met k < 0 Blinde zone mogelijk: zie tweede zonsondergang hierboven NB: gezichtsstralen in Wegener-sector blijven binnen atmosfeer binnen sector alleen aardse luchtspiegelingen
29 ... nog een paar... Als voorheen, maar nu met zowel bovenspiegeling in rand warme laag als onderspiegeling in warme laag (boven hete woestijn, heet wegdek), in spiegelend meer of ijsvlakte
30 ... en... Stralenbundels buiten Wegener-sector met links: k > 0 zonder onderspiegeling midden: k > 0 met onderspiegeling rechts: k < 0 met onderspiegeling Sommige bundels komen van buiten atmosfeer & onder horizon ook hemelse luchtspiegelingen mogelijk
31 Nova Zembla verschijnsel Nova-Zembla verschijnsel 1597, hier verklaard met landschapsafhankelijk brekingsindex-profiel S.Y. van der Werf, Het Nova Zembla Verschijnsel; geschiedenis van een luchtspiegeling. Historische Uitgeverij 2011 Voor wiskundige achtergrond van de geometrische optica, zie H.W. Broer, Hemelverschijnselen nabij de horizon, naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton. Epsilon Uitgaven
32 glad brekingindex-profiel lichtstraal als geodeet
33 Van Fermat naar Hamilton W.R. Hamilton G. F. B. Riemann ( ) ( ) Voor kromme τ q(τ) beschouw snelheidsvector q = dq/dτ dan geldt dt = n(q(τ)) q(τ) dτ magic formula dit zet tijd om in afstand
34 Bewijs magic formula Volgens de Kettingregel geldt dus 1 n = dq dt = qdτ dt dt = n(q(τ)) q(τ) dτ
35 Variatierekening Minimaliseer (locaal) de integraal τ 2 τ 1 n(q(τ)) q(τ) dτ of, liever, I(q) := τ2 τ n2 (q(τ)) q(τ) 2 dτ Lagrangiaan L(q, q) = 1 2 n2 (q) q 2 = (kinetische) energie Riemannse metriek G q ( q 1, q 2 ) = n 2 (q) q 1, q 2, (laatste haakjes van Euclidisch inproduct) Variatierekening met Lagrangiaan L lichtstralen zijn geodeten van de metriek G
36 Commentaar V Variatieprincipe in optica Principe van Hamilton (ook wel Principle of Least Action) = vertaling van Principe van Fermat Geodeten op rotatiesymmetrisch oppervlak Vier-dimensionale toestandsruimte met posities q = (ϕ, r) en snelheden q = ( ϕ, ṙ) Rotatiesymmetrie reductie tot (r, ṙ)-vlak bij vast impulsmoment p ϕ = rn 2 (r) ϕ (vergelijk reductie bij centraal krachtveld)
37 Gladde versie twee lagen π W n M (r) 6 γ π 2 π r 2π π 2 π 4 0 δ π 4 π 2 Stralenbundel Wegener-sector met gemodificeerd profiel n M (r) = rn(r) en transitiediagram Continue overgang stralenbundels binnen atmosfeer en ruimte
38 ... als omwentelingsoppervlak Vaak isometrische inbedding mogelijk als omwentelingsoppervlak, hier Fles-model Breking, grenshoek en kaatsing in hals van fles Behoud van C = rn(r) sin α is nu juist Stelling van Clairaut
39 ... en gereduceerd V (r) 0.03 p r n(r) 0 pr n(r) r r W r r Effectieve potentiaal gereduceerd systeem Faseportret gereduceerd systeem: waarnemer op hoogte r = r W Wegener-sector gesloten integraalkrommen binnen lus Iso-energetische Poincaré-afbeelding storing met periodiek brekingsindex-profiel n = n(r) + εn(r, ϕ) chaos...
40 Reconstructie... Reconstructie naar 3-dimensionaal hyperoppervlak impulsmoment p ϕ = rn 2 (r) ϕ constant parameter de invariante tori bevatten de geodeten die gevangen zitten in de Wegener-sector
41 Caustieken Cuspoı dale caustiek Links: geometrisch optisch Centrum en rechts: golf-optische verfijningen
42 Frequentie-afhankelijkheid I: Rainbows
43 Frequentie-afhankelijkheid II: Groene flits Groene flits: breking frequentie-afhankelijk
44 Literatuur V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics. GTM 60, Springer 1978, 1989 J.H. de Boer, De Regenboog. Natuurkundige Voordrachten N.R. 56, 1978 H. Goldstein, Classical Mechanics 2nd ed. Addison Wesley 1950, 1980 H.H. Goldstine, A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 5, Springer 1980 W.R. Hamilton, Theory of systems of rays. Trans. Roy. Irish Academy 15 (1828) J.A. van Maanen, Een Complexe Grootheid, leven en werk van Johann Bernoulli Epsilon Uitgaven L. Molenaar, De Rok van het Universum - Marcel Minnaert astrofysicus Uitgeverij Balans 2003 F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, C.W. Clark, NIST Handbook of Mathematical Functions. NIST and Cambridge University Press 2010 M. Spivak, Differential Geometry, Vols. I, II, III. Publish or Perish 1970
Hemelverschijnselen nabij de horizon
Hemelverschijnselen nabij de horizon naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton Henk Broer Johann Bernoulli Institute voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Samenvatting i. Inleiding
Nadere informatieHuygens en de brachistochroon van Bernoulli
H&B p.1/27 Huygens en de brachistochroon van Bernoulli Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen H&B p.2/27 Summary i. Christiaan Huygens isochrone
Nadere informatieHEMELVERSCHIJNSELEN NABIJ DE HORIZON naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton. Henk Broer
HEMELVERSCHIJNSELEN NABIJ DE HORIZON naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton Henk Broer ,,Het verschijnsel (de groene flits HWB) is zeer vluchtig, het duurt niet langer dan een paar seconden. Door
Nadere informatieJohann Bernoulli in Groningen
Johann Bernoulli in Groningen stichting weer- en sterrenkunde eemsmond 1 oktober 2014 Henk Broer Bernoulli Instituut voor Wiskunde, Informatica en Kunstmatige Intelligentie Rijksuniversiteit Groningen
Nadere informatieDrie Bernoullilezingen 2014 in licht van RUG 400
Drie Bernoullilezingen 2014 in licht van RUG 400 Henk Broer Johann Bernoulli Stichting voor de Wiskunde Samenvatting 1 Aankondiging In het jubeljaar 2014, waarin de Groningse Universiteit zijn vierhonderdjarig
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Nadere informatieDeterminisme, chaos en toeval
H&B p.1/23 Determinisme, chaos en toeval Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen H&B p.2/23 Synopsis i. Stabiliteit van het zonnestelsel ii. Chaos
Nadere informatieBernoulli s lichtstraal-oplossing van het brachistochrone probleem door de ogen van Hamilton
Bernoulli s lichtstraal-oplossing van het brachistochrone probleem door de ogen van Hamilton Henk Broer Samenvatting Dit artikel bevat een overzicht van het brachistochrone probleem, dat geïnitieerd werd
Nadere informatieKepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel
Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
Nadere informatieMeetkunde en Fysica. Henk Broer. Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen. Meetkunde en Fysica p.1/22
Meetkunde en Fysica Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Meetkunde en Fysica p.1/22 Overzicht Meetkundige aspecten van natuurkunde: - Newton en schalingswetten
Nadere informatieBernoulli s lichtstraal-oplossing van het brachistochrone probleem door de ogen van Hamilton
Henk Broer Bernoulli s lichtstraal-oplossing van het brachistochrone probleem door de ogen van Hamilton NAW 5/4 nr. 2 juni 23 Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit
Nadere informatieKepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel
Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatieOpgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen collegejaar 2009-2010 1 Metrieken en transformatiegedrag 1.1 Poolcoördinaten We bekijken het plaate tweedimensional vlak. Laat x µ (µ = 1, 2) Cartesische coördinaten
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatieWPO Differentiaalmeetkunde I
1 Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 006-007 Prof. Dr. R. Kieboom Dr. G. Sonck WPO Differentiaalmeetkunde I Krommen in R n 1. Neem R met een orthonormale basis en a R + 0. Voor elk punt p o, gelegen
Nadere informatieBernoulli s lichtstraal-oplossing van het brachistochrone probleem door de ogen van Hamilton
98 NAW 5/4 nr. 2 juni 23 Bernoulli s lichtstraal-oplossing van het brachistochrone probleem door de ogen van Hamilton Henk Broer Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit
Nadere informatieDeel 1 Vijfde, herziene druk
drs. J.H. Blankespoor drs. C. de Joode ir. A. Sluijter Toegepaste Wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Vijfde, herziene druk Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk ThiemeMeulenhoff, Amersfoort,
Nadere informatieFormule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het curusmateriaal.
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatie1 De Hamilton vergelijkingen
1 De Hamilton vergelijkingen Gegeven een systeem met m vrijheidsgraden, geparametriseerd door m veralgemeende coördinaten q i, i {1,, m}, met lagrangiaan L(q, q, t). Nemen we de totale differentiaal van
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieSamenvatting in het nederlands
Samenvatting in het nederlands Wat voorkennis Stel dat van een oppervlak in de ruimte een golffront komt - het kan om licht gaan, of om geluid. Is het oppervlak een ellipsoide en breidt de golf zich uit
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieTWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2019 TOETS APRIL 2019 Tijdsduur: 1h45
TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2019 TOETS 1 17 APRIL 2019 Tijdsduur: 1h45 Enige constanten en dergelijke MECHANICA 1 Twee prisma`s. (4 punten) Twee gelijkvormige prisma s met een hoek α van 30 hebben
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieTopologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
Nadere informatieDefinitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:
13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn
Nadere informatieHet vermoeden van Poincaré
Het vermoeden van Poincaré Joseph Steenbrink IMAPP, Radboud University Nijmegen 6 februari 2010 Outline 1 Poincaré 2 Het vermoeden 3 Topologie versus meetkunde Henri Poincaré Nancy 1854 - Parijs 1912 Achtergrond
Nadere informatiee x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieTENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (3D020)
TENTAMEN ELEKTROMAGNETIME (3D020) 21 juni 1999, 14.00 17.00 uur UITWERKING 1 Op de geleider bevindt zich een totale lading. De lengte van de geleider (een halve cirkel) is gelijk aan πr. y d ϕ R P x Voor
Nadere informatiex a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k
Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieUitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor
Nadere informatierelativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatieSnelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde
Masterclass VWO-leerlingen juni 2008 Snelle glijbanen Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD 2009 1 Technische Universiteit Delft Probleemstelling Gegeven: een punt A(0,a) en een punt B(b, 0) met a 0.
Nadere informatieEindronde Natuurkunde Olympiade 2014 theorietoets deel 1
Eindronde Natuurkunde Olympiade 2014 theorietoets deel 1 Opgave 1 Fata Morgana (3p) We hebben een planparallelle plaat met een brekingsindex n(z), die met de afstand z varieert. Zie ook de figuur. a. Toon
Nadere informatieDe vele bewijzen van Kepler s wet over ellipsbanen: een nieuwe voor het Boek?
De vele bewijzen van Kepler s wet over ellipsbanen: een nieuwe voor het Boek? Maris van Haandel RSG Pantarijn, Wageningen marisvanhaandel@wanadoo.nl Gert Heckman IMAPP, Radboud Universiteit, Nijmegen G.Heckman@math.ru.nl
Nadere informatieTentamen: Gravitatie en kosmologie
1 Tentamen: Gravitatie en kosmologie Docent: Jo van den Brand Datum uitreiken: 1 december 2011 Datum inleveren: 15 december 2011 (bij Marja of voor 17:00 in mijn postvak) Datum mondeling: 19-23 december
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler
Nadere informatieTentamen: Gravitatie en kosmologie
1 Tentamen: Gravitatie en kosmologie Docent: Jo van den Brand, Tjonnie Li Datum uitreiken: 29 november 2010 Datum inleveren: 13 december 2010 Datum mondeling: 20 december 2010 Vermeld uw naam op elke pagina.
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Bij sommige opgaven is een hint aanwezig. Omdat u de opgave natuurlijk eerst op eigen kracht wilt proberen te maken
Nadere informatieTWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS APRIL :00 12:45 uur
TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS 1 24 APRIL 2013 11:00 12:45 uur MECHANICA 1 Blok en veer. (5 punten) Een blok van 3,0 kg glijdt over een wrijvingsloos tafelblad met een snelheid van 8,0 m/s
Nadere informatieExamen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Gelijkvormigheid
Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande
Nadere informatietentamen stromingsleer (wb1225), Faculteit 3mE, TU Delft, 28 juni 2011, u
Dit tentamen bestaat uit twee delen: deel I bestaat uit 7 meerkeuzevragen en deel II bestaat uit twee open vragen. Deel I staat voor 40% van uw eindcijfer. Deel I invullen op het bijgeleverde formulier.
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Optica
Uitwerkingen tentamen Optica 18 februari 2005 Opgave 1 2 y x 2 = 1 a 2 2 y t 2 (1) a) De eenheid van a moet zijn m/s, zoals te zien aan de vergelijking. a = v is de snelheid waarmee de golf zich voortbeweegt.
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 009 Einsteins sommatieconventie Vector en 1-vorm geven een scalar Sommatie inde is een dummy inde, want uiteindelijk
Nadere informatieWet van Snellius. 1 Lichtbreking 2 Wet van Snellius 3 Terugkaatsing van licht tegen een grensvlak
Wet van Snellius 1 Lichtbreking 2 Wet van Snellius 3 Terugkaatsing van licht tegen een grensvlak 1 Lichtbreking Lichtbreking Als een lichtstraal het grensvlak tussen lucht en water passeert, zal de lichtstraal
Nadere informatieEindexamen wiskunde B 1-2 vwo I
Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte
Nadere informatief : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4
Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen
Nadere informatieWat kan er (niet) zonder ε-δ?
Oneindig klein. Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Michel Roelens University Colleges Leuven Limburg Maria-Boodschaplyceum Brussel Hilde Eggermont Sint-Pieterscollege Leuven Redactie Uitwiskeling Afgeleide
Nadere informatieKWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET GULDEN ZADELVLAK, EN DE REGELMATIGE VIJFHOEK.
KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET, EN DE REGELMATIGE. VIÈTE Johan A.C. Kolk Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Met medewerking van Rogier Bos Christelijk Gymnasium Utrecht & Freudenthal Instituut,
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse III
Oefeningen Wiskundige Analyse III Krommen en oppervlakken 1. Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de vlakke kromme met parametervergelijking: P (t) = a cosh
Nadere informatieRakende cirkels. We geven eerst wat basiseigenschappen over rakende cirkels en raaklijnen aan een cirkel.
Rakende cirkels Inleiding We geven eerst wat basiseigenschappen over rakende cirkels en raaklijnen aan een cirkel. De raaklijn staat, in het raakpunt T, loodrecht op de straal. Bij uitwendig rakende cirkels
Nadere informatieBasic Creative Engineering Skills
Spiegels en Lenzen September 2015 Theaterschool OTT-2 1 September 2015 Theaterschool OTT-2 2 Schaduw Bij puntvormige lichtbron ontstaat een scherpe schaduw. Vraag Hoe groot is de schaduw van een voorwerp
Nadere informatie6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f
Afleiden en primitiveren Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de functie f gedefinieerd op [ß; 3ß 2 ] door 1 p 1 + sin2 ) een inverse ffi bezit. Wat kan men besluiten omtrent de monotoniteit,
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en
Nadere informatieEen Nieuwe Wereld uit het Niets
Een Nieuwe Wereld uit het Niets Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G.Vegter@math.rug.nl www.math.rug.nl/~gert Masterclass, 16 april 2009 GV () Werelden uit het niets Masterclass,
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica juli 2017: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 5 juli 2017 - reeks 1 - p. 1/9 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica juli 2017: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal
Nadere informatieModellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 3 mei 3 Modellen en Simulatie Recursies Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Gerard Sleijpen
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-I
wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende grafieken? maimumscore Er moet gelden f( ) g ( ) en f' ( ) g' ( ) f' ( ) en g' ( ) e Uit f' ( ) g' ( ) volgt e ( e voldoet niet) f ( e ) en ( e ) ( f ( e) g( e) en f '
Nadere informatie1 Het principe van d Alembert
1 Het principe van d Alembert Gegeven een systeem, bestaande uit n deeltjes, elk met plaatscoördinaat r i en massa m i, i {1,, n}. Uit de tweede wet van Newton volgt onmiddellijk: p i F t i + f i, 1.1
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatieWiskundige functies. x is het argument of de (onafhankelijke) variabele
Wiskundige functies Een (wiskundige) functie voegt aan ieder getal een ander getal toe. Bekijk bijv. de functie f() = 2 1 Aan het getal 2, d.w.z. = 2, wordt het getal 3 toegevoegd, want f(2) = 2 2 1 =
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,
Nadere informatie, met ω de hoekfrequentie en
Opgave 1. a) De brekingsindex van een stof, n, wordt gegeven door: A n = 1 +, ω ω, met ω de hoekfrequentie en ( ω ω) + γ ω, A en γ zijn constantes. Geef uitdrukkingen voor de fasesnelheid en de groepssnelheid
Nadere informatieUitwerkingen tentamen optica
Uitwerkingen tentamen optica april 00 Opgave a) (3pt) Voor de visibility, fringe contrast of zichtbaarheid geldt: waarbij zodat V = I max I min I max + I min, () I max = I A + I B + I A I B cos δ met cos
Nadere informatietentamen Analyse (deel 3) wi TH 21 juni 2006, uur
Technische Universiteit Delft Technische Wiskunde Faculteit lektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, 68 CD DLFT tentamen Analyse (deel 3) wi 54 TH juni 6, 4. 7. uur Deelname aan dit tentamen
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatie11 e editie. Inhoudsopgaven VWO 5
11 e editie Inhoudsopgaven VWO 5 Inhoudsopgave 5 vwo A 1 Formules herleiden 1-1 Lineaire formules 1-2 Gebroken formules 1-3 Wortelformules 1-4 Machtsformules 1-5 Gemengde opdrachten 2 Statistiek (op computer)
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt
Nadere informatievwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode
1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieKrommen tekenen met de lat
Krommen tekenen met de lat Nationale WiskundeDagen Nederland 1 februari 2014 Michel Roelens - KHLim Lerarenopleiding secundair onderwijs Diepenbeek - Maria Boodschaplyceum, Brussel - Redactie UITWISKELING,
Nadere informatieHoofdstuk 3: Licht. Natuurkunde VWO 2011/2012. www.lyceo.nl
Hoofdstuk 3: Licht Natuurkunde VWO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 3: Licht Natuurkunde 1. Mechanica 2. Golven en straling 3. Elektriciteit en magnetisme 4. Warmteleer Rechtlijnige beweging Trilling en
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen: Golven en Optica (3BB40) Datum: 24 november 2006 N.B.: Dit tentamen bestaat uit 4 vraagstukken en 5 pagina s met formules (LET OP, formulebladen zijn gewijzigd!!).
Nadere informatieExamen Complexe Analyse vrijdag 20 juni 2014, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen. Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen.
Examen Complexe Analyse vrijdag 0 juni 04, 4:00 8:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Het boek Visual Complex
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen
Nadere informatieDE AFWIKKELING VAN EEN AFGEKNOTTE KEGEL
DE AFWIKKELIG VA EE AFGEKOTTE KEGEL F. BRACKX VAKGROEP WISKUDIGE AALYSE UIVERSITEIT GET. PROBLEEMSTELLIG Beschouw de afgeknotte kegel die ontstaat door een rechte circulaire kegel te snijden met een vlak
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur
wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 89 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Voor elk
Nadere informatie