HEMELVERSCHIJNSELEN NABIJ DE HORIZON naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton. Henk Broer

Transcriptie

1 HEMELVERSCHIJNSELEN NABIJ DE HORIZON naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton Henk Broer

2 ,,Het verschijnsel (de groene flits HWB) is zeer vluchtig, het duurt niet langer dan een paar seconden. Door te Zandvoort de helling van een dijk op te rennen, die 6 meter hoog is, kon ik de groene flits 20 seconden lang waarnemen; soms werd hij iets blauwer, soms iets witter, naarmate ik iets te langzaam of te snel holde. M.G.J. Minnaert, De natuurkunde van t vrije veld [71], Deel I

3

4 Voorwoord v Vrijwel iedereen is wel vertrouwd met optische verschijnselen als asfaltspiegelingen boven een warm wegdek en meer in het algemeen met fata morgana s. En sommigen zijn dat zelfs in enige mate met blinde stroken in de zon zoals die soms kort voor zonsondergang optreden. Dit geldt eens te meer voor het geval de zon een eindje boven de horizon lijkt onder te gaan. Voor een voorbeeld zie de foto op de volgende bladzij. Temperatuur-inversie speelt bij deze optische verschijnselen een belangrijke rol. In het algemeen neemt de temperatuur van de atmosfeer naar boven toe af. Soms echter ontstaan er op zekere hoogte een of meer warmere lagen. Hierdoor verandert de brekingsindex sprongsgewijs op de begrenzingen, waarin lichtstralen gebroken of weerkaatst kunnen worden. In het laatste geval spreekt men van bovenspiegeling. Verder kan ook onderspiegeling optreden in een warme laag, als die zich vlak boven het aardoppervlak of de zeespiegel voordoet. Het laatste verschijnsel treedt ook op bij gladde ijsvlakten of spiegelmeren. Verwant met genoemde verschijnselen is de groene flits die kan optreden doordat rode lichtstralen in de atmosfeer sterker gebogen worden dan groene, waardoor de groene zon nog zichtbaar blijft terwijl de rode zon al onder is. 1 De theorie van lichtstralen wordt in het algemeen aangeduid met geometrische optica, een onderdeel van de mathematische fysica. Velen hebben hieraan hun bijdragen geleverd, met name Kepler, Galilei, Descartes, Christiaan Huygens, Fermat, de Bernoulli s, Euler, Lagrange, Hamilton, Riemann, Clairaut. Dit boek richt zich vooral op geometrisch-optische verschijnselen in de atmosfeer, zoals die zich in het algemeen rondom de horizon kunnen afspelen en zoals beschreven door Wegener, Minnaert, Floor, Van der Werf en anderen. De wiskundige achtergrond van dit alles betreft Euclidische meetkunde, differentiaal- en integraalrekening en, later, ook variatierekening en differentiaalmeetkunde. Centraal staat het Principe van Fermat, waarbij lichtstralen per definitie paden van de kortste tijd zijn. Dit principe geeft aanleiding tot een minimaliseringsprobleem. In een homogeen optische medium volgen lichtstralen rechte lijnen die met constante snelheid worden doorlopen. Bij een vlakke begrenzing tussen twee homogene lagen volgen uit dit principe de bekende kaatsings of spiegelings (Hero van Alexandrië) en brekingswetten (Willebrord Snel van Royen, aangeduid met zijn Latijnse naam Snellius). Dit verband werd in 1684 reeds opgemerkt door Leibniz. 1 Gewoonlijk zien we een witte zon als superpositie van de groene en de rode.

5 vi Ook aan de orde komt het brachistochrone probleem zoals dat gesteld werd door Johann Bernoulli; dat was in zijn Groninger tijd, die duurde van 1695 tot De vraag is daarbij wat de snelste glijbaan is tussen twee punten in een verticaal vlak, gegeven het constante verticale zwaartekrachtsveld. Dit minimaliseringsprobleem is tegenwoordig een vraagstuk bij colleges variatierekening. Bernoulli s eigen oplossing ziet de brachistochroon echter als een lichtstraal in de atmosfeer van de platte aarde, waarbij het brekingsindex-profiel geschikt gekozen wordt. Hij past

6 vii dus het optische Principe van Fermat toe in een mechanische context. Deze fraaie combinatie leidt tot de befaamde cycloïdale vorm, zoals we hieronder zullen zien. We kunnen de verleiding niet weerstaan ook enige aandacht te besteden aan Christiaan Huygens eerdere werk aan de cycloïde. Hierbij zal blijken dat deze kromme behalve brachistochroon, ook nog iso- en tautochroon is. Een sterke motivatie en inspiratie voor dit werk wordt gevormd door het driedelige De natuurkunde van t vrije veld [71] van Marcel G.J. Minnaert ( ), met name door deel I: Licht en kleur in het landschap. Na een herdruk in de 70er jaren van de vorige eeuw leefde de belangstelling voor Minnaert s werk krachtig op. Begin jaren 1980 studeerde Marja Bos in Groningen af op het wiskundige onderwerp De blinde strook [21], een thema dat in dit boek uitvoerig aan de orde zal komen. Minnaert was verder bekend als astrofysicus en directeur van de Utrechtse sterrenwacht Sonnenborgh. Voor een zeer leesbare biografie zie Molenaar [72]. Dit boek is uiteraard geschreven voor alle geïnteresseerde lezers, waarbij vooral gedacht wordt aan docenten wis- en natuurkunde aan voorbereidend hoger, hoger en wetenschappelijk onderwijs. De inhoud biedt de mogelijkheid om lessen en colleges te verluchtigen en kan mogelijk inspiratie geven voor projecten en werkstukken. Ook voor studenten aan betreffende onderwijsinstellingen kan deze tekst van belang zijn. Het boek heeft twee delen, waarvan de wiskunde uit Deel I, getiteld Meetkunde van lichtstralen in de atmosfeer, voornamelijk bestaat uit vlakke Euclidische meetkunde en elementaire differentiaal- en integraalrekening. Dit alles is in principe al voldoende om de genoemde optische fenomenologie grotendeels te onderbouwen. Deel II, getiteld Lichtstralen als geodeten, bevat een wiskundige verdieping in termen van variatierekening en differentiaalmeetkunde, die een schitterende achterliggende cultuur aanroert en daarbij een verbinding legt met latere ontwikkelingen binnen de mathematische fysica. Dankwoord. Tijdens de voorbereiding van het voorliggende boek heb ik inspirerende discussies gevoerd met een groot aantal mensen. Mijn dank gaat in het bijzonder uit naar Jan Aarts, Frits Beukers, Marja Bos, Aernout van Enter, Konstantinos Efstathiou, Wout de Goede, George Huitema, Hildeberto Jardón-Kojakhmetov, Jan van Maanen, Henk de Snoo, Alef Sterk, Floris Takens, Gert Vegter, Ferdinand Verhulst, Holger Waalkens en Florian Wagener voor inspiratie. Steven Duintjer Tebbens zeg ik dank voor een laatste, zorgvuldige controle van de tekst. Konstantinos en Hildeberto worden tenslotte zeer bedankt voor hun hulp bij het ontwikkelen van de benodigde numerieke algorithmen en bij het maken van de vele figuren. Henk Broer, Groningen, zomer 2013

7 viii

8 Inhoudsopgave 1 Inleiding en Samenvatting Optische verschijnselen rondom de horizon Naar een wiskundige beschrijving Theoretische veronderstellingen Bernoulli s brachistochroon Leeswijzer Over Deel I: Meetkunde van lichtstralen in de atmosfeer Over Deel II: Lichtstralen als geodeten Tenslotte I Meetkunde van lichtstralen in de atmosfeer 17 2 Geometrische optica Nadere probleemstelling Afleiding van de kaatsings- en brekingswetten Een rechte begrenzing Een gladde kromme als grens De grenshoek Behoudswetten Atmosfeer van de platte aarde Atmosfeer van de ronde aarde Scholium Atmosferische optica Conventies en terminologie Discrete beschrijving van de atmosfeer De Wegener sector Optische scenario s nabij de horizon De ondergaande zon Inclusief onderspiegeling

9 x INHOUDSOPGAVE Achter de horizon Variaties Takens profielen De groene flits Continue beschrijving van de atmosfeer De behoudswet nogmaals Wegener gezichtsstraal Scholium Verdieping Nova Zembla verschijnselen De brachistochroon als lichtstraal Terug naar de atmosfeer van de platte aarde Twee behoudswetten De cycloïde als brachistochrone kromme Scholium De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme De harmonische oscillator Intermezzo: cycloïde en booglengte Dynamica langs de cycloïde Een historisch uitstapje Evoluut en involuut Scholium II Lichtstralen als geodeten 83 6 Principes van Fermat en Hamilton Van Fermat via Euler-Lagrange naar Hamilton Lichtstralen zijn geodeten Euler en Lagrange Via Legendre naar Hamilton Algemene opmerkingen Principe van Noether: Behoudswetten door symmetrie Atmosfeer van de platte aarde Atmosfeer van de ronde aarde Reductie van de symmetrie Scholium

10 INHOUDSOPGAVE xi 7 Nogmaals de brachistochroon Reductie van de translatie-symmetrie De cycloïde herondekt Scholium Lichtstralen als geodeten op een omwentelingsoppervlak Samenvatting van het hoofdstuk Geodeten op een omwentelingsoppervlak Dynamica van de geodeten Volgens Euler Lagrange Volgens Hamilton Behoudswetten Reductie van de symmetrie Beschrijving van de geodeten Nabij een geodetische parallelcirkel Reconstructie naar vier dimensies Globaler gedrag van geodeten Geodeten en lichtstralen Isometrische inbedbaarheid Scholium Rotatiesymmetrie met of zonder omwentelingsoppervlak Vrij deeltje op omwentelingsoppervlak Scholium generale Bijna rotatie-symmetrisch brekingsindex-profiel Een verband met de golf-optica Caustieken

11 xii INHOUDSOPGAVE

12 Hoofdstuk 1 Inleiding en Samenvatting Vanaf de 17e eeuw hebben de mechanica, de optica en de wiskunde zich hand in hand ontwikkeld. Dit begon met Kepler [57], Galilei, Descartes, Fermat, Huygens [55,56], Newton [73,74], Johann Bernoulli [17] en diens familie, Leibniz [66], en vele anderen. Voor fraaie overzichten zie Dijksterhuis [33], Koestler [59], Linton [69], Sabra [80] en Van der Werf [92]. Voor interessante historische doorkijkjes zie ook Arnold [13], H.J.M. Bos [20] en Van Maanen [70]. Veel van de wiskunde die nu behoort tot het standaardcurriculum van veel opleidingen van voortgezet en hoger onderwijs is reeds in die tijd ontstaan. Natuurlijk is dit geheel van kennis en inzicht inmiddels aanzienlijk verbreed en verdiept. En uiteraard groeiden en bloeiden naast al deze vernieuwing ook de klassieke rekenkunde, de algebra en de meetkunde. Wat betreft de wiskunde bestond deze vernieuwing onder meer uit de uitvinding en ontwikkeling van differentiaal- en integraalrekening en van analytische meetkunde. In de volgende twee eeuwen werd dit pakket uitgebreid met variatierekening, vergelijk [10, 42, 44], en differentiaalmeetkunde, zie onder meer [30, 85], en ontstond naast het onderzoek in de gewone differentiaalvergelijkingen ook toenemende belangstelling voor de partiële. Hier wordt bovenstaande opsomming aangevuld met, onder anderen, Euler, Lagrange, Legendre, Gauß, Hamilton en Riemann. Grote delen van de natuurfilosofie werden in deze periode gaandeweg verder gemathematiseerd op deze wijze omgevormd tot de disciplines natuurkunde, sterrenkunde en later scheikunde. Zo kon via de partiële differentiaalvergelijkingen ook de dynamica van ruimtelijke patronen bestudeerd worden, wat uiteindelijk een wiskundige fundering van de golfoptica mogelijk heeft gemaakt. Een hoogtepunt wordt hier gevormd door het elektromagnetisme van Maxwell, die ook een golftheorie van het licht omvat [38, 46, 78]. Natuurlijk is er veel en veel meer, ik noem alleen al de lange en bijzonder interessante weg die afgelegd werd naar de moderne mathematische en theoretische fysica en chemie. Deze rijkdom dwingt tot nadere afbakening

13 2 Inleiding en Samenvatting Figuur 1.1: Minnaert [71], Figuur 60. Kwalitatieve verklaring voor een blinde strook in de zon in een model met één warme laag, die van onder begrensd wordt door een cirkel ter hoogte H. De waarnemer W kijkt ruwweg in de horizontale kijkrichting. Door de overgang tussen breking en weerkaatsing ontstaat een zogenaamde Wegener sector, waarbinnen W alleen lichtstralen bereiken van onder de horizon. Dit kan aanleiding geven tot een blinde strook in de ondergaande zon. Zie de tekst voor nadere uitleg. voor wat betreft het voor u liggende boek. 1.1 Optische verschijnselen rondom de horizon Dit boek gaat over de ontwikkeling en toepassing van geometrische optica in een atmosferische context. Om preciezer te zijn, er wordt gekeken hoe lichtstralen door lagen in de atmosfeer breken en kaatsen en zo aanleiding kunnen geven tot verschillende optische verschijnselen, die zich veelal rondom de horizon afspelen. Een voorbeeld hiervan wordt gevormd door blinde stroken in de schijf van de ondergaande zon zoals beschreven door Wegener [90, 91] en later door Minnaert [71]. Voor een schematische indruk zie Figuur 1.1, die we nu nader zullen beschouwen. Gewoonlijk neemt de temperatuur monotoon af met de hoogte, maar soms treedt temperatuur-inversie op, waardoor een of meerdere warme lagen ontstaan. Dit

14 1.1 Optische verschijnselen rondom de horizon 3 Figuur 1.2: Theoretische zonsondergang met blinde strook. De atmosfeer is donker- en de aarde lichtgrijs. Let ook op de vervorming van de zonneschijf. Voor details zie Hoofdstuk 3. begrip werd rond 1910 door Wegener geïntroduceerd. Hierdoor kunnen discontinuïteiten ontstaan in het brekingsindex-profiel. In Figuur 1.1 is een situatie weergegeven met één warme laag ter hoogteh, die zich boven de waarnemerw bevindt. Hierin kan kaatsing plaatsvinden, vaak aangeduid met de term bovenspiegeling. In samenspel met breking kan een Wegener sector ontstaan, waarbinnen de waarnemer alleen lichtstralen van onder de horizon opvangt. Als de zon zich op de juiste hoogte bevindt, neemt hierdoor W een blinde strook in de zonneschijf waar, zie ook Figuur 1.2 Bovendien kan W binnen zo n Wegener sector via luchtspiegelingen fata morgana s te zien: dat zijn beelden van objecten die zich achter de horizon bevinden. In Hoofdstuk 3 gaan we hier nader op in, om daarbij ook varianten te bespreken waarbij tevens onderspiegeling optreedt, bijvoorbeeld aan een warme laag vlak boven het aardoppervlak. Voor een voorbeeld zie Figuur 1.4.

15 4 Inleiding en Samenvatting Alfred L. Wegener ( ) was een zeer veelzijdig wetenschapper, die het meest bekend is geworden door zijn theorie van de drijvende continenten; deze werd overigens pas 30 jaar na zijn dood door de geologen geaccepteerd. Zijn kwalitatieve benadering voor atmosferisch-optische verschijnselen staat centraal in dit boek. Dit geldt met name voor de Wegener sector, die ter sprake komt in Hoofdstuk 3. Er dient te worden opgemerkt dat deze beschrijvingen tamelijk schematisch zijn: ze dienen eerder voor de kwalitatieve ondersteuning van het begrip dan voor strikt kwantitatieve doeleinden, een traditie die op zijn minst terug gaat op Kepler [57]. Het is daarbij goed te bedenken dat nauwkeurige metingen aan brekingsindexprofielen over de volle hoogte van de atmosfeer niet beschikbaar zijn. Voor de tamelijk lastige natuurkundige achtergrond verwijzen we bijvoorbeeld naar de Feynman Lectures [38]. In feite is hier dus sprake van een zogenaamd invers probleem, namelijk in hoeverre voor bepaalde verschijnselen in de atmosfeer een geometrischoptische verklaring kan worden gegeven; vergelijk ook, onder meer, [92, 93]. Opmerkingen. - We geven enkele relevante data. De diameter van de zon bedraagt ca , waarbij we rekenen in boog-graden en minuten. De straal van de aarde R = 6400 km, terwijl de hoogte van de atmosfeer ongeveer 11 km is. Realistische waarden voor de hoogte van de waarnemer W zijn 10 à 15 m, zeg dat deze op een duin staat of op een dek van een schip. De temperatuur van een warme laag kan variëren van enkele graden tot wel20 0 Celsius. - In een model met één warme laag als in Figuur 1.1, is een waarde van H 80 m veelal geschikt om de verschijnselen te redden. 1 Voor iets realistischer modellen zie Hoofdstuk 3. - Voor de duidelijkheid worden de figuren, met name in Hoofdstuk 3, meestal flink buiten hun realistische proporties weergegeven. Het onderhavige hoofdstuk vormt een inleiding op, en tegelijkertijd een samenvatting van de achterliggende geometrisch-optische theorie, die verspreid is over de volgende hoofdstukken. Daarom worden op dit moment niet steeds alle details gepresenteerd en wordt voor nadere uitleg verwezen naar latere hoofdstukken. 1 Deze uitdrukking gaat terug op Plato en Aristoteles, vergelijk Dijksterhuis [33].

16 1.2 Naar een wiskundige beschrijving 5 Figuur 1.3: Theoretische zonsondergang met blinde zone. Het lijkt nu net of de zon al boven de horizon ondergaat. Dit is een tamelijk veel voorkomend verschijnsel. Voor details zie Hoofdstuk Naar een wiskundige beschrijving In deze sectie duiden we een aantal zaken aan die later nog uitvoerig aan de orde zullen komen. De wiskundige beschrijving van bovenstaande fenomenen berust op het Principe van Fermat, dat zegt dat lichtstralen paden van de kortste tijd volgen [8, 70,80]. Voor een uitleg hoe dit principe samenhangt met de golfoptica zij verwezen naar Feynman [38] of Arnold [10]. In het onderstaande worden regelmatig de termen isotroop en homogeen gebezigd als mogelijke eigenschappen van een optisch medium. Isotropie betekent dat in elk punt van het medium de lichtsnelheid in alle richtingen gelijk is, zeg met grootte v, hetgeen de definitie van een puntsgewijze brekingsindex rechtvaardigt alsn = c/v. Hierbij is c de lichtsnelheid in het vacuum. Homogeniteit betekent verder dat v, en dus n, niet van de positie afhangt. Het Principe van Fermat impliceert dat in een

17 6 Inleiding en Samenvatting Figuur 1.4: Theoretische fata morgana van een zeilschip dat steeds verder achter de horizon verdwijnt. Hier treedt zowel boven- als onderspiegeling op. Voor details zie opnieuw Hoofdstuk 3. homogeen medium de lichtstralen rechte lijnen vormen die met constante snelheid worden doorlopen. Bestaat het medium uit twee homogene lagen begrensd door een plat vlak, dan vindt bij dat vlak weerkaatsing plaats volgens Hero van Alexandrië of breking volgens Snellius. Een eerste bewijs dat deze wetten volgen uit het Principe van Fermat werd reeds gegeven door Leibniz [66]. Als de begrenzing uit een glad oppervlak bestaat geldt bovenstaande onverkort, waarin het hierboven genoemde vlak vervangen wordt door het raakvlak aan deze begrenzing. Voor meer details zie Hoofdstuk Theoretische veronderstellingen We zullen de geometrische optica hieronder toepassen op de atmosfeer. Hier beperken we ons in het algemeen tot een verticaal vlak door het oog van de waarnemer, dat verder volledig bepaald wordt door één ander punt, zeg het middelpunt van de zon, of dat van de maan, van een planeet, een schip of gebergte, enzovoorts. In dat verticale vlak worden twee natuurlijke coördinaat-systemen gebruikt, al naar gelang met een platte dan wel een ronde aarde wordt gewerkt. Bij de platte aarde is dit systeem cartesisch, waarbij x de horizontale en y de verticale coördinaat is.

18 1.2 Naar een wiskundige beschrijving 7 Figuur 1.5: Theoretische zonsondergang met blinde zone zoals die kan optreden bij een Wegener sector met onderspiegeling. Merk op dat de laatste beelden van deze reeks reflectie weergeven door onderspiegeling van het bovenste stukje zonneschijf, dat W ondersteboven waarneemt. Voor meer uitleg zie Hoofdstuk 3. Bij de ronde aarde bestaat het systeem uit poolcoördinaten ϕ en r ten opzichte van het middelpunt der aarde. Hierbij is ϕ de hoek die de voerstraal vanuit het middelpunt maakt ten opzichte van een of andere vaste richting, en is r de bijbehorende afstand tot dat middelpunt. Natuurlijk is een platte aarde niet realistisch, maar de wiskundige behandeling ervan is verhelderend en heeft later toepassingen in het brachistochrone probleem van Hoofdstuk 4. Symmetrie. De lagen van verschillende brekingsindex zullen in het geval van een platte aarde verondersteld worden horizontaal te zijn, dat wil zeggen invariant onder horizontale translaties. In het geval van een ronde aarde veronderstellen we analoog dat deze lagen invariant zijn onder rotaties om het middelpunt van de aarde.

19 8 Inleiding en Samenvatting Figuur 1.6: Minnaert [71], Figuur 62: dergelijke optische vervormingen van de maansikkel zijn niet te verklaren met een brekingsindex-profiel dat alleen van de verticale hoogte afhangt. Ook is voor een beschrijving hiervan de beperking tot een verticaal vlak door het oog van de waarnemer niet langer voldoende. Dat betekent dat de brekingsindexnniet vanxof vanϕafhangt; in het eerste geval geeft dit dus een brekingsindex-profiel n = n(y) en in het tweede gevaln = n(r). Opmerkingen. - Dat de brekingsindex niet van x of ϕ afhangt drukt een symmetrie-eigenschap van de atmosfeer uit. We tekenen aan dat voor onze beschouwingen deze symmetrie alleen hoeft te gelden voor de relevante sector van de atmosfeer, meestal een kleine omgeving van de horizon. - Natuurlijk is rotatiesymmetrie lang niet altijd realistisch, zie bijvoorbeeld Figuur 1.6; voor de verklaring van zo n verschijnsel lijkt zelfs de beperking tot een verticaal vlak tamelijk onrealistisch. In Hoofdstuk 3 wordt verder aandacht besteed aan Nova Zembla verschijnselen, zoals beschreven in [92, 93], voor de verklaring waarvan ook een niet rotatie-symmetrisch brekingsindexprofiel nodig is. In Deel II, Hoofdstuk 6 presenteren we de wiskundige theorie nodig voor het berekenen van algemene lichtstralen; zie verder Hoofdstuk 9 voor optische opmerkingen die buiten de huidige aanpak vallen. Van discreet naar continu: behoudswetten. Soms is het handig te werken met discrete homogene lagen van verschillende brekingsindex. Hierbij gelden bij de overgangen tussen de lagen de al genoemde kaatsings- en brekingswetten en volgt de lichtstraal in de atmosfeer een gebroken rechte lijn. Zowel bij breking als bij kaatsing zal de formule n 2 sinα 2 = n 1 sinα 1

20 1.2 Naar een wiskundige beschrijving 9 blijken te gelden, waarbij de aan elkaar grenzende lagen 1 en 2 genummerd zijn en waarbij α steeds de hoek is die de lichtstraal maakt met de normaal op de begrenzing. In de atmosferische toepassing is α dus de hoek met de verticale richting, in het vervolg inclinatie geheten. De inclinatie α is dus een parameter langs de lichtstraal. Zowel in het discrete geval als in het continue geval, waarbij het brekingsindexprofiel n = n(y) of n = n(r) continu of zelfs glad van y respectievelijk r afhangt, geven de brekings- en kaatsingswetten aanleiding tot een behoudswet. In het platte geval wordt de grootheid S = n(y)sinα (1.1) langs de hele lichtstraal behouden en in het ronde geval geldt dit voor C = rn(r)sinα. (1.2) De behoudswetten betreffende de uitdrukkingen (1.1) en (1.2) zullen worden afgeleid uit de Wetten van Hero en Snellius met een directe toepassing van vlakke Euclidische meetkunde. Als gevolg van deze behoudswetten ligt met het brekingsindexprofiel n = n(y) of n = n(r) ook het verloop van de inclinatie α = α(y) of α = α(r) vast en daarmee de positie van de lichtstraal in het(x,y), respectievelijk het (ϕ,r) vlak. Voor een nadere uitwerking hiervan zie Hoofdstuk 2. Opmerkingen. - De vergelijkingen voorα = α(y) enα = α(r) bij gegeven profielenn = n(y) en n = n(r) bevatten integralen die meestal niet in elementaire functies zijn uit te drukken. Niettemin zijn met numerieke middelen bij ieder profiel de lichtstralen te benaderen, ook als bij meer algemene brekingsindex-profielen n = n(x,y) en n = n(ϕ,r), zie Hoofdstuk 6, en ook wanneer de lichtstralen zich niet tot een verticaal vlak beperken. - De voortplantingssnelheid wordt in deze beschrijving steeds gegeven door v(y) = 1/n(y), dan wel v(r) = 1/n(r), waarbij de lichtsnelheid in het vacuüm door een geschikte eenhedenkeuze opc = 1 gesteld wordt Bernoulli s brachistochroon De brachistochroon is de vorm van een glad draadprofiel tussen twee gegeven punten A en B in een verticaal vlak zodanig dat een hierlangs glijdende kraal K minimale tijd nodig heeft (Grieks: brachistos = kortst, chronos = tijd). Zie Figuur 1.7. De kraal is hierbij onderhevig aan de (constante) zwaartekracht en de beweging

21 10 Inleiding en Samenvatting Figuur 1.7: Links: Johann Bernoulli ( ) door Johann Rudolf Huber, Oude Aula Universiteit Bazel. Rechts: Illustratie bij het brachistochrone probleem [17], dat vraagt naar het draadprofiel waarlangs de kraalk vananaar B glijdt in de kortst mogelijke tijd. De wrijvingsloze beweging speelt zich af in een constant verticaal zwaartekrachtsveld. wordt wrijvingsloos verondersteld. In Hoofdstuk 4 zien we hoe Johann Bernoulli s oplossing berust op de wiskunde van de atmosferische optica horend bij de platte aarde: de brachistochroon wordt hierbij opgevat als lichtstraal. Het brekingsindexprofiel n = n(y) wordt dan gekozen in overeenstemming met het energiebehoud van de beweging in het constante zwaartekrachtsveld. In dit geval leiden expliciete berekeningen naar de cycloïde. 2 De wiskundige Johann Bernoulli ( ) is geboren en gestorven in het Zwitsers Bazel waar hij ook het grootste deel van zijn leven werkzaam was. Tussen 1695 en 1705 werkte hij tien jaar in Groningen, waar hij onder meer het brachistochrone probleem lanceerde. Zijn zoon Daniel werd in 1700 daar ter stede geboren. Deze beide Bernoulli s zijn leden van een grote familie waarvan velen werkzaam waren aan wis- en natuurkundige onderwerpen, onder meer uit de mechanica en hydraulica. In de Bernoulli familie was lang niet alles pais en vree: er heersten grote prioriteitsconflicten. Zie voor meer informatie, bijvoorbeeld, Van Maanen [70]. Johann Bernoulli is de leermeester van zowel zijn zoon Daniel als van Leonhard Euler ( ). 2 Het schijnt dat deze vorm inspirerend is bij het ontwerp van skateboard-banen...

22 1.3 Leeswijzer Leeswijzer Hier volgt eerst een kort overzicht van het boek dat uit twee delen bestaat, waarna nog enige verwante lectuur wordt besproken. Terwijl Deel I van dit boek gebaseerd is op het directe gebruik van differentiaal en integraalrekening en enige Euclidische meetkunde, is Deel II bedoeld om dit materiaal te verdiepen. Bij dit laatste wordt overigens nog steeds het formalisme minimaal gehouden Over Deel I: Meetkunde van lichtstralen in de atmosfeer Deel I van dit boek bestaat uit een vijftal hoofdstukken en is wiskundig gebaseerd op directe toepassingen van elementaire differentiaal- en integraalrekening en van enige vlakke Euclidische meetkunde, waaronder de sinus-regel en het feit dat de binnen- en buitenbissectrice van elke hoek loodrecht op elkaar staan. In Hoofdstuk 3 wordt een en ander toegepast op lichtstralen in de atmosfeer. Dit geldt in het bijzonder voor een aantal van de eerder genoemde atmosferisch-optische verschijnselen nabij de horizon. Zoals gezegd komt in Hoofdstuk 4 het brachistochrone probleem aan de orde. Hiermee was Bernoulli een van de grondleggers van de variatierekening en het Variatie Principe, dat van een enorme betekenis is geweest voor de ontwikkeling van de wetenschappen sindsdien, vergelijk onder meer [10, 38, 43, 82, 88]. We verklapten al dat de brachistochrone kromme een cycloïde blijkt te zijn, een kromme die eerder in de 17e eeuw door Huygens was geïdentificeerd als de iso- en tautochrone kromme. Isochronie betekent dat voor een glijdende kraal, die langs de cycloïde oscilleert, de periode van oscillatie niet afhangt van de amplitudo. Tautochronie zegt dat de valtijd van de kraal, vanuit een punt van de cycloïde naar het minimum, niet afhangt van de plaats waar hij wordt losgelaten (Grieks: isos = gelijk, tautos = zelfde). In Hoofdstuk 5 zien we hoe deze beide eigenschappen volgen uit het feit dat de heen en weer glijdende kraal langs de cycloïde juist een harmonische oscillatie uitvoert Over Deel II: Lichtstralen als geodeten Hoofdstuk 6 zal een wiskundige uitwerking en verdieping bieden van het Principe van Fermat, gebaseerd op methoden ontwikkeld in de 18e en 19e eeuw door onder meer Euler [36], Lagrange [61] en Hamilton [47]. Hierbij wordt ook elementaire differentiaalmeetkunde geïntroduceerd: de lichtstralen volgen hierbij precies de geodeten in een geschikte Riemannse metriek [79]. In deze opzet wordt variatierekening toegepast met behulp van de Euler Lagrange vergelijkingen en een vertaling hiervan die leidt tot een formulering van het Principe van Hamilton [10] voor de geometrische optica.

23 12 Inleiding en Samenvatting Figuur 1.8: Alfred Wegener ( ) en Marcel Minnaert ( ). De term behoudswet wordt dan ook verder uitgewerkt: het blijkt dat de behouden grootheid (1.1) te maken heeft met behoud van zowel energie als van impuls en (1.2) idem dito met behoud van energie en impulsmoment. De achterliggende translatie-, dan wel rotatiesymmetrie, wordt daarbij in verband gebracht met cyclische coördinaten. De totale faseruimte is nu 4 dimensionaal met coördinaten (x,ẋ,y,ẏ) dan wel (ϕ, ϕ,r,ṙ). Door de cyclische coördinaten ontkoppelt de dynamica in het(y,ẏ), dan wel het(r,ṙ) vlak van de overige variabelen. Dit maakt het mogelijk de dynamica tot deze vlakken te reduceren, die dan bepaald wordt door een effectieve potentiaal. De bijbehorende vlakke faseportretten vergroten het inzicht in hoe de stralenbundels afhangen van het brekingsindex-profiel en daardoor in de optische fenomenologie van de atmosfeer. Opmerkingen. - Het geheim achter de Riemannse metriek is dat bij een kromme τ q(τ) de (infinitesimale) tijd geschreven blijkt te kunnen worden als dt = n(q(τ)) q(τ) dτ, waarin q(τ) = dq(τ)/dτ, als raakvector die aangrijpt in q(τ). Verder geeft hiervan de Euclidische lengte aan. Zie Hoofdstuk 6. In cartesische

24 1.3 Leeswijzer 13 Figuur 1.9: Geodeet op een omwentelingsoppervlak die een kaatsende lichtstraal voorstelt. Voor meer details zie Hoofdstuk 8. coördinaten (x, y) schrijven we q(τ) = (x(τ), y(τ)) en dan definieert ds 2 = (n(x,y)) 2 ( dx 2 +dy 2) een Riemannse metriek. 3 Minimaliseren van de tijdtgaat zo over in minimaliseren van de bijbehorende afstand s. De krommen van de kortste afstand zijn de geodeten van deze metriek en zij vormen hier dus juist de lichtstralen. Vergelijk [30, 46, 79, 85]. - Er bestaat een groots verband tussen symmetrieën en behoudswetten, hier aangeduid als het Principe van Noether [75]; voor een uitvoerige bespreking zie ook [10]. In ons verhaal wordt dit toegepast op een translatie- dan wel rotatie-symmetrie. Bij de reductie naar het (y, ẏ), respectievelijk het (r, ṙ) vlak, reduceren we meetkundig dus eigenlijk deze symmetrie: we gaan over op de quotiënt-ruimte die gegeven wordt door de equivalentie-klassen, in dit geval zijn dat juist horizontale lijnen, respectievelijk cirkels. In Hoofdstuk 7 zullen we de brachistochroon opnieuw ontmoeten, nu gewapend met de extra wiskunde van Hoofdstuk 6. Als voorheen bevinden we ons in de atmosfeer van een platte aarde met een brekingsindex-profiel gegeven door de constante verticale zwaartekracht. De brachistochroon wordt nu herontdekt als geodeet in een geschikte Riemannse metriek waarbij blijkt dat het gereduceerde probleem te integreren is in termen van elementaire functies. Daarbij wordt ook duidelijk dat de 3 In poolcoördinaten geldt ds 2 = (n(ϕ,r)) 2 ( r 2 dϕ 2 +dr 2).

25 14 Inleiding en Samenvatting inclinatie α hier optreedt als geodetische parameter. Deze oplossing van het brachistochrone probleem verloopt op een manier die sterk doet denken aan hoe Kepler s wetten uit de mathematische principes van Newton volgen, zie bijvoorbeeld [10]. Hoofdstuk 8 legt een mooi verband tussen lichtstralen in de atmosfeer van de ronde aarde en geodeten op een omwentelingsoppervlak in de 3 dimensionale ruimte. Het blijkt dat de behoudswet (1.2) dan juist overeenkomt met de Stelling van Clairaut [10,30]. Een wiskundig interessant probleem is in hoeverrer 2 \{0} = {ϕ,r}, voorzien van de optisch-relevante Riemannse metriek, isometrisch kan worden ingebed als omwentelingsoppervlak in R 3. Dat wil zeggen dat de optische metriek na inbedding overeenkomt met de metriek die van de omringende 3 dimensionale ruimte wordt geërfd. Het zal blijken dat deze inbedbaarheid geldt voor een groot aantal relevante brekingsindex-profielen n = n(r). In een laatste Hoofdstuk 9 worden nog enige opmerkingen gemaakt over de optica die buiten de symmetrie-onderstellingen van het voorgaande vallen. Hierin wordt kort het begrip caustiek aangestipt met, als bijzonder en frequentie-afhankelijk geval hiervan, de regenboog, zie verder [71, 78] Tenslotte Op het gebied van de geometrische optica is er veel meer te lezen, te noemen valt zeker het werk van Carathéodory [29]. Recenter is, onder meer, Leonhard en Philbin [67]. Lezenswaardig zijn ook uit de klassieke Feynman Lectures on Physics [38], in het bijzonder deel I, 26 en, iets later, Guillemin & Sternberg [46], Ch. III, of Poston + Stewart [78], Ch. 12. Zie voor meer specifiek natuurkundige achtergrond van de atmosferische optica verder, bijvoorbeeld, Humphries [54]. Er bestaat ook een grote hoeveelheid fysisch-meteorologische literatuur van de fascinerende fenomenologie rond de ondergaande zon. Ik noem in dit verband Floor [39, 40], in recenter jaren in toenemende mate geïllustreerd door excellent foto- en filmmateriaal. Zie voor dit laatste ook het internet. Zoals eerder aangegeven is het in de atmosfeer vrijwel onmogelijk door directe waarneming actuele kennis te verkrijgen van het atmosferisch brekingsindex-profiel n = n(r). Wel is het mogelijk om, gewapend met de wiskunde van de geometrische optica, zo n brekingsindex-profiel te reconstrueren uit de optische verschijnselen om op deze manier deze verschijnselen van een rationele verklaring te voorzien; we spraken van een invers probleem. Lehn [65] en Van der Werf [92] lossen soortgelijke inverse problemen op. Hierbij worden tegelijkertijd meteorologische en fysisch-geografische verklaringen gegeven voor de betreffende optische verschijnselen.

26 1.3 Leeswijzer 15 In het verband van inverse problemen is het een interessante vraag hoe BI- NAS [19] eigenlijk al die massa s van de planeten weet. Zie Van Helden [51] voor een historisch overzicht van het hiertoe benodigde schat- en rekenwerk. Uiteraard hangen ook hier alle antwoorden af van de achterliggende theorie. Deze interactie tussen theorie en verschijnsel, tussen wiskunde en natuurwetenschap, is in de afgelopen decennia in het Nederlandse 4 voorbereidend wetenschappelijk onderwijs helaas in onbruik geraakt. De wiskunde en de verschillende natuurwetenschappen worden inmiddels in tamelijke afzondering onderwezen. Dit alles, niettegenstaande de vrome woorden over modelvorming en over terugkoppelingsmechanismen tussen het model en het gemodelleerde. Wat echter veelal ontbreekt is dat modellen in belangrijke delen van de natuurwetenschappen gebaseerd zijn op theorieën. Zo n theorie levert dan een samenhangend corpus aan modellen op. Om bij de atmosferische optica te blijven: elk afzonderlijk brekingsindexprofiel zou als model bestempeld kunnen worden dat past tegen de wiskundige achtergrond van de geometrische optica. De bijdragen van Minnaert [71], van Van der Werf [92], maar ook van bijvoorbeeld Levi [68], leggen zonneklaar de verbondenheid van de wiskunde en de natuurwetenschappen bloot. Ook het voor u liggende boek probeert hieraan bij te dragen. Ik wil dit hoofdstuk besluiten met de opmerking dat de tekst wiskundig gesproken moedwillig anachronistisch is gehouden: zo beschikten bijvoorbeeld Kepler en Huygens nog niet over de differentiaal en integraalrekening, die hier zonder gewetensbezwaren wordt aangewend. Bovendien is dit materiaal gestoken in een 21e eeuws jasje, dit alles ter wille van de leesbaarheid. 4 Navraag leert dat dit berust op een Angelsaksisch geïnspireerde didaktiek, die zich langzamerhand in heel Europa heeft verspreid.

27 16 Inleiding en Samenvatting

28 Deel I Meetkunde van lichtstralen in de atmosfeer

29

30 Hoofdstuk 2 Geometrische optica Dit hoofdstuk vormt een nadere uitwerking van Zoals gezegd werkt de geometrische optica met lichtstralen die, volgens het Principe van Fermat, 1 paden van de kortste tijd volgen. Men spreekt in plaats hiervan ook wel van het principe van de kortste tijd. We beschouwen eerst de situatie waarbij een optisch medium bestaat uit discrete lagen, gescheiden door gladde oppervlakken. Net als in 1.2, nemen we aan dat de lagen homogeen zijn, zodat binnen een laag de lichtstralen rechte lijnen zijn die met constante snelheid doorlopen worden. Als deze voortplantingssnelheid de grootte v heeft, dan is de brekingsindex per definitie gelijk aan n = c/v. Dus geldt datv = c/n. Hierbij iscde lichtsnelheid in vacuo waarvoor we als voorheen de waardec = 1 nemen. Hieronder zullen we onderscheid maken tussen het echt minimaal zijn van de tijd of alleen extremaal, waarbij in het midden gelaten wordt of het extremum een minimum, een maximum of nog iets anders is. We spreken dan wel van het zwakke Principe van Fermat. Het zal nog blijken dat locaal de beide versies van het principe equivalent zijn. Op de begrenzende oppervlakken kan zowel kaatsing of spiegeling (reflectie) als breking (refractie) optreden. Hiervoor zullen we eerst de klassieke wetten ontmoeten, genoemd naar Hero van Alexandrië 2 en Snellius, 3 waarbij opgemerkt mag worden dat ook de laatste wet al bij de oude Egyptenaren bekend was. Hieronder leiden we beide wetten af uit het zwakke Principe van Fermat, vergelijk Leibniz [66]. 4 1 Pierre de Fermat (1607/ ) 2 Hero(n) van Alexandrië (10-70) 3 Willebrord Snel van Royen ( ) 4 Gottfried Wilhelm Leibniz ( )

31 20 Geometrische optica 2.1 Nadere probleemstelling Vooruitlopend op onze atmosferische toepassingen worden de optische beschouwingen in hoofdzaak beperkt tot een verticaal vlak dat door het oog van de waarnemer gaat. Dit vlak wordt dan verder bepaald door, bijvoorbeeld, het middelpunt van de zon, maan of een ander optisch object. Hierbij worden twee verschillende situaties onderscheiden, namelijk die van een platte en een ronde aarde. De platte aarde vormt wiskundige een aardig opstapje en bovendien blijkt het platte geval later nuttig voor de bespreking van Bernoulli s brachistochroon. Als aangekondigd in Hoofdstuk 1 worden in ons verticale vlak in het platte geval cartesische coördinaten (x, y) gebruikt en in het ronde geval poolcoördinaten (ϕ, r). De coördinaten x en ϕ zijn hierbij horizontaal, dat wil zeggen evenwijdig aan het aardoppervlak. Verder zijn y en r steeds de verticale coördinaten, waarbij r gemeten wordt in de radiële richting, dus vanuit het middelpunt der aarde. In beide gevallen wordt verondersteld dat de brekingskindexnniet van de horizontale coördinaat afhangt, dus in het geval van een platte aarde is n = n(y) en in het ronde gevaln = n(r). Zo n functie heet een brekingsindex-profiel. Ook nemen we de limiet naar het geval waarin de brekingsindex n continu of zelfs glad van de positie afhangt. Hierbij nadert het aantal lagen naar oneindig waarbij de dikte van elke laag naar nul gaat. Daarmee wordt de homogeniteit verlaten, maar blijft de isotropie gehandhaafd. Opmerkingen. - In Deel II, Hoofdstuk 6 wordt ook de geometrisch-optische theorie ontwikkeld voor het geval het brekingsindex-profiel van de beide variabelen (x, y) of (ϕ,r) afhangt of zelfs van de volledige drie-dimensionale positie. - Deze theorie leidt tot expliciete differentiaalvergelijkingen die zich goed lenen voor numerieke integratie. Dit is van belang voor de grafische ondersteuning van het geheel. 2.2 Afleiding van de kaatsings- en brekingswetten In deze sectie zullen we zien hoe de klassieke kaatsings- en brekingswetten van Hero en Snellius afgeleid kunnen worden uit het zwakke Principe van Fermat. Daarbij zal ook de overgang tussen breking en kaatsing worden bestudeerd.

32 2.2 Afleiding van de kaatsings- en brekingswetten Een rechte begrenzing In ons vlakke medium onderscheiden we twee lagen gescheiden door een horizontale lijn, zeg, gegeven door de vergelijkingy = 0, zie Figuur 2.1. De lagen zelf zijn homogeen, met constante voortplantingssnelheid v 1 in het bovenhalfvlak y > 0 en v 2 in het benedenhalfvlak y < 0. In het vlak zijn twee puntenaenb gegeven, waarbijain het bovenhalfvlaky > 0 ligt. Het punt B kan zowel in het boven- als in het benedenhalfvlak liggen. We vragen ons nu af hoe een lichtstraal volgens het zwakke Principe van Fermat vana naarb gaat, via een puntc op de grenslijny = 0. Het puntc moet dus zo gekozen zijn dat de som van de tijdent AC ent CB om viac vananaarb te reizen, extremaal is. Een belangrijk hulpmiddel hierbij is de hoek die de lichtstraal maakt met de verticaal. In een homogene laag verandert deze hoek niet en daarom zijn we nu alleen geïnteresseerd in wat er met deze hoek gebeurt op de begrenzende lijn. Laten α en β de (scherpe) hoeken zijn van de binnenkomende en de uitgaande lichtstraal in het gezochte punt C, zie Figuur 2.1. Stelling 2.1 (Wetten van Hero en Snellius). Gegeven zijn bovenstaande omstandigheden waarbij A in het bovenhalfvlak ligt en C op de begrenzing y = 0. De gebroken rechte ACB is een lichtstraal volgens het zwakke Principe van Fermat, dan en slechts dan als het volgende geldt. 1. In gevalb ook in het bovenhalfvlak ligt, geldt β = α (kaatsing); 2. In gevalb in het benedenhalfvlak ligt, geldt n 2 sinβ = n 1 sinα (breking). Bewijs. Ons bewijs van Stelling 2.1 bestaat uit enkele expliciete berekeningen. Laatx = x C de positie vanc aangeven op de lijny = 0 die de beide lagen scheidt. Laatt AC de tijd zijn, nodig om vananaarc te reizen en evenzot CB de tijd om van C naar B te reizen. We moeten dan t AC +t CB optimaliseren. Gebruikmakend van het feit dat A C = t AC v 1 en datv 1 = 1/n 1, geeft t AC = n 1 A C. Via de Stelling van Pythagoras weten we dat A C = x 2 +b 2.

33 22 Geometrische optica A n 1 = 1/ν 1 B n 1 = 1/ν 1 s 1 A b s 2 s 1 α β c b α x C a x c x C β a x s 2 n 2 = 1/ν 2 B n 2 = 1/ν 2 B Figuur 2.1: Het Principe van Fermat leidt tot kaatsing volgens Hero (links) en breking volgens Snellius (rechts). De gebroken lijnacb is in beide gevallen het pad van de kortste tijd om vananaarb te komen via de begrenzingy = 0. Merk op datb het spiegelbeeld is vanb in deze grenslijn. Differentiëren vant AC met betrekking tot x geeft dan Volledig analoog vinden we d dx t CB(x) = d dx t AC(x) = n 1x x2 +b 2 = n 1sinα. n 1(a x) (a x)2 +c 2 = n 1sinβ als B in bovenhalfvlak n 1(a x) (a x)2 +c 2 = n 2sinβ als B in benedenhalfvlak, zie opnieuw Figuur 2.1, links respectievelijk rechts. We concluderen nu dat precies dan als d dx (t AC +t CB )(x) = 0 (2.1) α = β in geval n 1 sinα = n 2 sinβ in geval B in bovenhalfvlak B in benedenhalfvlak waar in het eerste geval gebruikt wordt dat n 1 sinα = n 1 sinβ equivalent is met α = β omdat de hoeken scherp zijn.

34 2.2 Afleiding van de kaatsings- en brekingswetten 23 Opmerkingen. - In het geval van weerkaatsing isacb een rechte lijn, waarbijb het spiegelbeeld is vanb in de grenslijny = 0. Dit is duidelijk de kortste weg in afstand, die nu ook met de kortste tijd correspondeert omdat de brekingsindex in dat geval steedsn 1 bedraagt. - Merk op dat bij breking (maar ook bij kaatsing) de volgende formule geldt: sinα sinβ = n 2 n 1 = v 1 v 2. - De formule (2.1) d dx (t AC +t CB )(x) = 0 geeft, zoals gezegd, aan dat de benodigde tijd t AC + t CB extremaal is, niet wat de aard van het extremum is. Om dit uit te vinden moet ook de tweede afgeleide van t AC + t CB worden bepaald. Na enig gereken blijkt dat het extremum in dit geval inderdaad een minimum is, zodat in deze situatie beide versies van Fermat s Principe equivalent zijn Een gladde kromme als grens Als de grens tussen de beide lagen een gladde kromme is zijn vrijwel dezelfde beschouwingen van toepassing, waarbij in het analogon van Stelling 2.1 de hoeken α enβ gemeten worden ten opzichte van de normaal op de raaklijn inc. Hier geldt minimaliteit van de reistijd echter alleen locaal. Verder verwijderd van de kromme kunnen er andere situaties optreden. Een waarschuwend voorbeeld is dat van een ellips-vormige grens waarbij A en B de brandpunten zijn. In dat geval is elk punt C op de ellips extremaal, 5 vergelijk onder meer [10, 38, 46]. In het algemene geval treden caustieken op, vergelijk ook Hoofdstuk 9 in Deel II en, bijvoorbeeld, [78]. Deze overwegingen worden hieronder gebruikt voor een cirkelvormige grens. Dit is geïnspireerd door de atmosferische toepassing, waarbij de bolvormige symmetrie van de aardse atmosfeer in een verticaal vlak aanleiding geeft tot lagen met cirkelvormige begrenzingen. Zie Figuur Dit is de tuinmans-eigenschap van de ellips.

35 24 Geometrische optica π α π 2 0 π 0 α g 2 α Figuur 2.2: Grafiek van α tegen α, voor 0 α 1 2π, vergelijk Figuur 2.1. Bij de grenshoek α = α g (2.2) treedt een discontinuïteit op en gaat breking sprongsgewijs over in kaatsing De grenshoek Veronderstel dat n 1 > n 2. Beschouw nu Figuur 2.1 vanuit een iets ander oogpunt, namelijk waarbij het puntc op de begrenzing vastgehouden wordt, terwijl de lichtstraal binnenkomt vanuit het bovenhalfvlak y > 0, waarbij de hoek α met de y richting varieert van 0 tot 1 2π. We kijken daarbij hoe β van α afhangt. In het begin geldt α = 0, waarbij de lichtstraal verticaal door de begrenzing y = 0 breekt en ook β = 0, vergelijk Figuur 2.1, rechts. Initieel neemt met α ook de uittredende hoek β toe. Echter bij een bepaalde waarde α = α g < 1 2π heeft β reeds de waarde β = 1 2π bereikt. Om precies te zijn gebeurt dit bij ( ) n2 α g = arcsin ; (2.2) dit is de zogenaamde grenshoek, een terminologie die teruggaat op Wegener [90, 91]. Op dat moment raakt de uitgaande lichtstraal aan de x as. Bij verdere toename van α kaatst de uitgaande lichtstraal terug het bovenhalfvlak y > 0 in, als in n 1

36 2.2 Afleiding van de kaatsings- en brekingswetten 25 n 2 n 1 α β n 2 α g β = π/2 n 1 n 2 n 1 α β Figuur 2.3: Breking (links) en kaatsing (rechts) aan een cirkelvormige grens; de beide gevallen worden gescheiden door de grenshoek (midden). In deze figuur is ook n 1 > n 2 en komen de stralen van beneden. De reden voor deze omgekeerde presentatie zal in Hoofdstuk 3 duidelijk worden. Figuur 2.1, links. Je zou dus kunnen zeggen dat bij α = α g de uitgaande hoek β een discontinuïteit heeft en van β = 1 2 π naar β = π α g springt. Vanaf dat moment verandert β weer continu met α en neemt af totβ = 1 2 π, optredend bij α = 1 2 π. Een notatiekwestie. Als we proberen de linker- en rechterhelft van Figuur 2.1 met elkaar in overeenstemming te brengen treedt een notatieprobleem op. Om dit op te lossen wordt nu naast de ingaande hoek α een uitgaande hoek α ingevoerd, gemeten vanaf de negatieve y as. In het geval van breking is α scherp terwijl α stomp is bij kaatsing. In termen van Figuur 2.1 betekent dit { β in de rechterhelft (breking) α = π β in de linkerhelft (kaatsing). In Figuur 2.2 wordt de grafiek gegeven van α als functie van α voor 0 α 1 2 π. De discontinuïteit bij de grenshoek α = α g is hierin duidelijk zichtbaar. Herformulering Hero en Snellius. In termen van de notatie α, α krijgt Stelling 2.1 nu de vorm n 1 sinα = n 2 sinα, (2.3) waarbij het verschil tussen kaatsing en breking alleen bestaat uit het feit dat α scherp- dan wel stomphoekig is. Hier wordt de algemene formule sin(π x) = sinx in voorkomende gevallen naar hartelust gebruikt. In feite is de sinus van de hoek die de lichtstraal met de verticaal maakt belangrijker dan die hoek zelf. Zoals we nu zullen zien is (2.3) een handige herformulering van Stelling 2.1 voor het geval de lichtstraal door meerdere parallele lagen gaat.

37 26 Geometrische optica 2.3 Behoudswetten In de atmosferische toepassingen zal naast het geval van twee of meer discrete lagen, die ieder voor zich optisch homogeen zijn, ook het geval beschouwd worden waarbij de brekingsindex continu of zelf glad van de positie afhangt. Dit betreft zowel de atmosferen van de platte als van de ronde aarde. Voor de atmosfeer van de platte aarde gebruiken we weer de cartesische coördinaten x (horizontaal) en y (verticaal) en nemen aan dat de brekingsindex alleen van y afhangt, dus dat n = n(y). In het ronde geval gebruiken we de poolcoördinaten ϕ (horizontaal) en r (verticaal), aannemend datn = n(r). Voor een optisch medium dat bestaat uit een eindig aantal homogene evenwijdige lagen, worden die lagen in het geval van een platte atmosfeer gescheiden door horizontale lijnen en in het ronde geval door concentrische cirkels, vergelijk de Figuren 2.4 en 2.5. In beide gevallen leiden we nu een behouden grootheid af, gebaseerd op de formule (2.3). Deze grootheid wordt dus behouden terwijl de lichtstraal zich door het medium beweegt. Als aangekondigd zullen deze behoudswetten het mogelijk maken de vorm van de lichtstraal te berekenen uit het brekingsindex-profiel Atmosfeer van de platte aarde Als eerder gezegd zijn voor de atmosfeer van de platte aarde de cartesische coördinaten(x, y) heel natuurlijk, waarbij x horizontaal is en y verticaal. De veronderstelling daarbij is dat de brekingsindex n alleen van de hoogte y afhangt, dus datn = n(y). Discreet geval met meer lagen. We beschouwen een optisch medium als in Figuur 2.4, dat bestaat uit een eindig aantal homogene, horizontale lagen, genummerd j = 1,2,...,N. De punten A en B liggen in de lagen 1 en N en we bestuderen de lichtstraal vananaarb zoals die volgens het zwakke Principe van Fermat moet lopen. Hierbij gebruiken we Stelling 2.1 met de herformulering (2.3). Als voorheen is in elke laag de lichtstraal een rechte lijn die met constante snelheid doorlopen wordt. Laat n j de brekingsindex zijn in laag j. De totale lichtstraal is dan een gebroken rechte lijn, waarbij de in- en uitgaande hoeken bij de grens tussen laag j en laag j + 1 steeds aangegeven wordt met α j, respectievelijk α j. Op deze grenzen geldt volgens (2.3) de formule n j sinα j = n j+1 sinα j. (2.4) Volgens een bekend resultaat uit de vlakke Euclidische meetkunde geldt verder wegens evenwijdigheid der horizontale lijnen dat α j = α j+1, voor j = 1,2,...,N 1. (2.5)

38 2.3 Behoudswetten 27 Figuur 2.4: Behoudswet n j sinα j = n j+1 sinα j+1, zie (2.6), in de atmosfeer van de platte aarde. Naar aanleiding van de gelijkheden (2.4) en (2.5) formuleren we nu het volgende. Corollarium 2.2 (Behoudswet in horizontale lagen). Gegeven zijn bovenstaande omstandigheden waarbij de punten A en B in de 1ste respectievelijk de Nde horizontale laag liggen. Een gebroken rechte lijn van A naar B is dan een lichtstraal volgens het zwakke Principe van Fermat, dan en slechts dan als voor j = 1,2,...,N 1. n j sinα j = n j+1 sinα j+1, (2.6) Opmerkingen. - In Figuur 2.4 is alleen het geval van breking aangegeven. In geval van kaatsing geldt de formule (2.4): neem in dat geval gewoon een supplement en pas (2.3) toe. Hierbij moet ook in de formule (2.5) een supplement worden genomen zoals eerder aangegeven. - In het geval dat voor zekere j geldt dat α j = arcsin(n j+1 /n j ) waarbij n j > n j+1 treedt een grenshoek op en is de uitgaande lichtstraal horizontaal, rakend aan de grenslijn. Ook in dat geval blijft de formule (2.6) gelden.

39 28 Geometrische optica De inclinatie en de behoudswet (2.6). In de rij hoeken α 1,α 2,α 3,... (2.7) kan α j opgevat worden als parameter langs de lichtstraal. Deze parameter is constant op de rechte stukken binnen een homogene laag en heeft discontinuïteiten bij de begrenzingen. Men kan daarbij de gelijkheid (2.6) dan zien als een behoudswet, namelijk dat de grootheid S = n(y)sinα (2.8) langs de gehele lichtstraal constant is. In het vervolg heet de hoek α de inclinatie, opgevat als functie van het punt op de lichtstraal. Twee zaken zijn nu van belang. De eerste is dat, gegeven het brekingsindex-profiel n = n(y), de vorm van de lichtstraal vastligt zodra de constante waarde S = n(y) sin α vastligt. In feite krijg je zo alle mogelijke lichtstralen voor de verschillende keuzen van S. Ten tweede brengen we in herinnering dat de snelheid van de lichtstraal steeds gegeven wordt door v(y) = 1/n(y). De limiet. Neem vervolgens aan dat het brekingsindex-profiel n = n(y) continu of zelfs glad is. Men kan dan in bovenstaande de limiet nemen waarbij het aantal lagen N naar nadert, waarbij de ruimten tussen de begrenzingen naar 0 gaan. In dat geval blijft de behoudswet (2.8) onverkort gelden. Dergelijke infinitesimale overwegingen werden indertijd gehouden door, onder meer, Newton, Leibniz en Bernoulli. Zo wordt de inclinatie α een continue (of gladde) parameter langs de lichtstraal die in de berekening hieronder geëlimineerd zal worden. Opmerkingen. - In veel gevallen is de inclinatie α ook nuttig om de lichtstraal mee te parametriseren op een manier die doet denken aan de parametrisering van de cycloïde, zie Hoofdstuk 4. - Als α opgevat wordt als functie van y, treedt bij kaatsing tweewaardigheid op van y sinα(y). Toch wordt hieronder de lichtstraal eerst wel als functie vany geparametriseerd en nemen we deze tweewaardigheid voor lief. De vorm van de lichtstraal. Uit de behoudswet (2.8) zal nu de vorm van de lichtstraal afgeleid worden als grafiek van x = x(y), die dus bij kaatsing tweewaardig kan zijn. Bij een gegeven waardes geldt sinα = S n(y),

40 2.3 Behoudswetten 29 terwijl we ook gemakkelijk inzien dat dx dy = tanα. Combinatie van deze formules geeft eliminatie vanαen leidt tot dx dy = ±S n2 (y) S 2. Hiermee wordt het volgende resultaat verkregen. Stelling 2.3 (Vorm lichtstraal: geval platte aarde). Gegeven de atmosfeer van de platte aarde met cartesische coördinaten x en y als voorheen en met een translatieinvariant en continu brekingsindex-profiel n = n(y). Dan wordt de vorm van de lichtstralen gegeven door x(y) = ±S waarbij S een reële parameter is. y y 0 dη (2.9) n2 (η) S2, In de integraal (2.9) is de ondergrens y 0 zo gekozen dat x(y 0 ) = 0. Merk op dat de integrand een singulariteit heeft die optreedt zodra n 2 (y) = S 2 en dan is α = ± 1 2π, de (uitgaande) lichtstraal staat loodrecht op de verticaal en er treedt dus een grenshoek op Atmosfeer van de ronde aarde In het geval van de ronde aarde zijn de poolcoördinaten (ϕ, r), zoals hierboven besproken, aangewezen om de lichtgang te beschrijven. De verticaal is nu de voerstraal naar het middelpunt der aarde met radiële coördinaatr, terwijl de horizontale ϕ coördinaat de hoek beschrijft die deze voerstraal doorloopt. In dit geval wordt verondersteld dat de brekingsindex n alleen van de verticale hoogte r afhangt. De inclinatie α wordt daarom gedefinieerd als de hoek die de lichtstraal maakt met de radiële richting. Discreet geval met meer lagen en de limiet. We beschouwen ook hier een optisch medium dat uit een aantal discrete lagen bestaat, genummerdj = 1,2,...,N, waarbij n j de brekingsindex is in laag j. Vergelijk Figuur 2.5. Opnieuw is de lichtstraal een gebroken rechte lijn, waarbij de hoeken met de verticaal op de grens tussen laagj enj +1 aangegeven wordt met α j, respectievelijk α j.

41 30 Geometrische optica α 1 α 1 α 2 α 2 α 3 n 1 α 3 n 2 r 1 r 2 r 3 n 3 n 4 Figuur 2.5: Behoudswet rn(r) sin α = C in de rotatiesymmetrische atmosfeer van de ronde aarde, zie (2.13). Uitgangspunt is weer formule (2.3) zoals die volgt uit Stelling 2.1 en de gelijkheid (2.6): n j sinα j = n j+1 sinα j. (2.10) Ditmaal wordt de sinus-regel toegepast, een ander bekend onderdeel van de vlakke meetkunde. Beschouw als voorbeeld de driehoek begrensd door r 1 en r 2, waarin geldt sinα 1 = sin(π α 2) r 2 r 1 en in het algemeen sinα j r j+1 = sin(π α j+1) r j. Omdat sin(π α n+1 ) = sinα n+1 volgt dat r j sinα j = r j+1 sinα j+1, (2.11) waarbij steeds r j de straal is van de j de begrenzende cirkel. We concluderen nu uit (2.10) en (2.11), analoog aan Corollarium 2.2, het volgende resultaat. Corollarium 2.4 (Behoudswet in circulaire lagen). Gegeven zijn bovenstaande omstandigheden waarbij de punten A en B in de eerste respectievelijk de Nde circulaire laag liggen. Een gebroken rechte lijn vananaarb is dan een lichtstraal volgens het zwakke Principe van Fermat, dan en slechts dan als voor j = 1,2,...,N 1. n j r j sinα j = n j+1 r j+1 sinα j+1, (2.12)

42 2.3 Behoudswetten 31 Ook in dit geval heeft de formule (2.12) de vorm van een behoudswet, namelijk van de grootheid C = rn(r)sinα (2.13) die immers constant is langs de gehele lichtstraal. Opmerkingen. - Veel van de opmerkingen na Corollarium 2.2 gelden hier ook. In het bijzonder geldt dit voor het kiezen van geschikte supplementaire hoeken bij kaatsing en voor de grenshoek. - Bij de ronde aarde zou zich in principe 6 het volgende kunnen voordoen. Neem aan dat het punt A vast is en dat B continu vanawegloopt, uitgaand van het geval B = A. We passen steeds het zwakke Principe van Fermat toe. In het begin is dit extremum een minimum. Als B zich rondom de aarde beweegt, ontstaat plotseling de situatie dat het extremum niet langer minimaal is: er is een kortere tijd te bereiken door het pad vanuit A langs de andere kant van de aarde te laten gaan. We zien dus dat hier locaal de beide versies van Fermat s Principe overeenkomen, maar dat over grotere afstanden verschillen optreden. We komen hier later nog op terug. - In de vorm (2.13) geldt het behoud van de grootheid C = rn(r)sinα ook in de limiet van een continu (of zelfs glad) profiel n = n(r), waarbij het aantal lagen N naar oneindig gaat en de tussenruimten naar nul. En als voorheen legt de waarde van C de vorm van de lichtstraal vast die dan met voortplantingssnelheid v(r) = 1/n(r) doorlopen wordt. De vorm van de lichtstraal. Het verhaal uit kan vrijwel woordelijk herhaald worden, hetgeen leidt tot een formule voor de lichtstraal als grafiek van de functie ϕ = ϕ(r), die tweewaardig is in het geval van kaatsing, vergelijk Figuur 2.1, links. Hierbij wordt gebruikt dat sinα = C, terwijl in dit geval rn(r) rdϕ tanα = dr, vergelijk Figuur 2.6. Dit geeft het volgende resultaat. Stelling 2.5 (Vorm lichtstraal: geval ronde aarde). Gegeven de atmosfeer van de ronde aarde met poolcoördinaten ϕ en r als voorheen en met een rotatie-invariant 6 In werkelijkheid worden lichtstralen al na korte tijd door de atmosfeer uitgedempt.

43 32 Geometrische optica dr α rdφ dφ Figuur 2.6: De formule tan α = r dϕ/dr in beeld. continu brekingsindex-profiel n = n(r). Dan wordt de vorm van de lichtstralen gegeven door r d ϕ(r) = ±C (2.14) 2n 2 ( ) C2, waarbij C een reële parameter is. r 0 Ook hier isϕ(r 0 ) = 0. En weer geldt dat een grenshoek optreedt bij een singulariteit van de integrand die optreedt alsr 2 n 2 (r) = C 2, dus alsα = ± 1 2π, hetgeen betekent dat de lichtstraal loodrecht op de verticaal staat: in dit geval de radiële richting. Opmerkingen. - De opmerkingen in het geval van de platte aarde gelden mutatis mutandis ook hier. Zie Figuur 3.14 voor een voorbeeld; zie verder Hoofdstuk 3 en Deel II, Hoofdstuk 8. - Het grenshoekgedrag van de lichtstralen is verschillend in het discrete en continue geval. Gaat een grenshoek-gezichtsstraal in het discrete geval via raking de ruimte in, in het continue geval spiraliseert de lichtstraal rond de aarde naar de limietcirkel. Vergelijk Figuur 2.7 en ook Figuur 8.3 in Hoofdstuk 8 van Deel II.

44 2.4 Scholium 33 W W aarde aarde Figuur 2.7: Grenshoek-lichtstralen in het discrete en continue geval. Als in Figuur 2.3 komen de (licht-) stralen ook hier van beneden. De reden voor dit laatste zal in Hoofdstuk 3 duidelijk worden. 2.4 Scholium De behouden grootheden (2.8) en (2.13) gaven hierboven aanleiding tot de formules (2.9) en (2.14) y dη r d x(y) = ±S en ϕ(r) = ±C y 0 n2 (η) S 2 r 0 2n 2 ( ) C 2 in de atmosfeer van de platte, respectievelijk de ronde aarde. Merk op dat deze formules uiteraard onverkort gelden in het discrete geval. In principe zijn deze steeds voldoende om bij gegeven brekingsindex-profiel in beide gevallen de stralenbundels te beschrijven. Dat primitiveren niet altijd mogelijk is in termen van elementaire functies behoeft ons er natuurlijk niet van te weerhouden numerieke en grafische middelen in te zetten. In Hoofdstuk 4 zullen we zien hoe een dergelijke berekening wel succesvol verloopt in het geval van Johann Bernoulli s brachistochroon. Bernoulli s eigen geometrischoptische oplossing past binnen onze theorie gerelateerd aan de platte aarde. Het translatiesymmetrische brekingsindex-profiel wordt daarbij gegeven door de Wet van Behoud van Energie in het constante gravitatieveld en zal zo de gedaante n(y) = 1 2gy krijgen, waarbij g de versnelling van de zwaartekracht voorstelt. Ook in het volgende voorbeeld verloopt deze excercitie succesvol.

45 34 Geometrische optica y Figuur 2.8: Geodeten op het Poincaré bovenhalfvlak. x Voorbeeld 2.1 (Het Poincaré bovenhalfvlak). In het bovenhalfvlak y > 0 beschouwen we het enigszins academische brekingsindex-profiel n(y) = 1 y 2, dat past binnen de theorie van de translatiesymmetrische aardatmosfeer. Formule (2.9) geeft dan voor de lichtstraal waarin x(y) = y = 1 2 dη 1 η 2 y 1 0 y η>0 = d(1 η 2 ) y 0 (1 η 2 ) 1 2 y y 0 = 1 η 2 y y 0 = 1 y0 2 1 y 2, x 0 = We krijgen zo als lichtstraal een halve cirkel 1 y 2 0. (x x 0 ) 2 +y 2 = 1 ηdη 1 η 2 die in beide uiteinden loodrecht op dex-as staat. Het algemene geval waarbijs 0 levert analoog de halve cirkel (x x 0 ) 2 +y 2 = 1 S 2

46 2.4 Scholium 35 en het gevals = 0 geeft als lichtstraal een verticale halfrechte. Oplettende lezers herkennen in deze lichtstralen wellicht de geodeten van de hyperbolische metriek op het Poincaré bovenhalfvlak, zie Figuur 2.8. Dit vormt een expliciet verband tussen de geometrische optica en de Riemannse meetkunde, voor algemene theorie zie Hoofdstuk 6 in Deel II. Historisch was het Poincaré halfvlak een van de eerste voorbeelden van een niet-euclidische meetkunde. In Deel II, Hoofdstuk 6 wordt deze aanpak verdiept in termen van variatierekening en differentiaalmeetkunde, waarbij ook de snelheden (tijdsafgeleiden) ẋ, ẏ, ϕ en ṙ een rol krijgen. De achterliggende theorie omvat het Euler Lagrange en het Hamilton formalisme, waarbinnen behoudswetten volgen uit de translatie- en rotatiesymmetrie met het Principe van Noether [10]. Het blijkt dats enc zo in verband gebracht worden met het behoud van zowel energie als impuls en impulsmoment. Het meetkundige karakter van deze benadering wordt nog versterkt in Hoofdstuk 8, waarbij de geometrische optica in de atmosfeer van de ronde aarde wordt vergeleken met het geodetisch probleem op een omwentelingsoppervlak. Als bonus, die veel extra inzicht biedt in de mogelijke lichtstralenbundels, krijgen we hierbij steeds de beschikking over een zogenaamd gereduceerd faseportret dat leeft in het (y, ẏ) vlak en het (r, ṙ) vlak. Het brekingsindex-profiel geeft daarbij op een directe manier aanleiding tot de bijbehorende effectieve potentiaal [10, 43].

47 36 Geometrische optica

48 Hoofdstuk 3 Atmosferische optica In dit hoofdstuk wordt dieper ingegaan op de optische verschijnselen rondom de horizon, zoals eerder aangeduid in Hoofdstuk 1. Daar kwamen blinde stroken of zones in de ondergaande zon ter sprake en ook luchtspiegelingen zoals een fata morgana. We verwezen daar reeds naar Minnaert [71], deel 1, Wegener [90, 91], en naar Floor [39 41] en Van der Werf [92,93]. Doel van het huidige hoofdstuk is om, gewapend met de geometrische optica van Hoofdstuk 2, deze verschijnselen beter te begrijpen. In het bijzonder zullen we de wiskunde rond Stelling 2.5 toepassen om bij een gegeven brekingsindex-profiel bijbehorende stralenbundels te vinden. Hierbij beperken we ons dus tot het geval van de ronde aarde en haar atmosfeer. Als ook aangeduid in Hoofdstuk 1 komt dit veelal neer op een kwalitatieve vorm van modelleren, waarbij gekeken wordt of er een brekingsindex-profiel bestaat dat de verschijnselen kan verklaren. Zoals gezegd is het in de praktijk vrijwel onmogelijk om over de volle diepte van de atmosfeer door waarnemingen goede informatie over dit profiel te verkrijgen. We spraken daarom eerder al van een invers probleem. 3.1 Conventies en terminologie Hierboven kwam ook de symmetrie-onderstelling ter sprake, die neerkomt op onafhankelijkheid van het brekingsindex-profiel van de horizontale positie. In eerste instantie beschouwen we de discrete atmosfeer bestaande uit twee concentrische lagen, vergelijkbaar met Figuur 1.1. Een sleutelbegrip wordt gevormd door de Wegener sector, die bestaat uit lichtstralen die de waarnemer bereiken via reflectie in de ondergrens van een warme laag die zich boven hem bevindt; we spraken hier al van bovenspiegeling. Een handig begrip is dat van gezichtsstraal, dat is een lichtstraal, maar dan in omgekeerde richting doorlopen, dus vanuit het oog van de waarnemer. De Wegener sector bestaat dan uit alle gezichtsstralen die niet rechtstreeks vanuit de atmosfeer naar buiten gaan, maar die in zo n begrenzing worden

49 38 Atmosferische optica warm θ W β W α β β +θ γ aarde δ θ Figuur 3.1: Inclinaties β W, α en β en de hoek β + θ bij een uittredende gezichtsstraal. Ook de kijkrichting δ = 1 2 π β W en de uittreerichting γ = π (β+θ) zijn aangegeven. Vergelijk de Figuren 2.3 en 2.7 uit Hoofdstuk weerkaatst. Daarna wordt een discrete atmosfeer bestudeerd die is opgebouwd uit meerdere concentrische lagen. In het bijzonder komen enkele quasi-realistisch brekingsindexprofielen aan de orde die teruggaan op Takens, zie [21]. In dit laatste geval wordt de atmosfeer onderverdeeld in 8 of 9 lagen en deze voorbeelden kunnen worden gezien als benadering voor gevallen met een continu brekingsindex-profiel. Tenslotte kijken we naar het geval van continue, zelfs gladde, brekingsindex-profielen en presenteren hier een omvattende theorie. In de Hoofdstukken 8 en 9 van Deel II wordt hierop nader teruggekomen, vanuit een diepere wiskundige achtergrond. Kijk- en uittreerichting. De gezichtstraal van de waarnemer W, die zich meestal op hoogte van ongeveer 10 à 15 m bevindt, zeg op het dek van een schip of op een duin, heeft een inclinatie β W, die meestal rond de 1 2π ligt, dat is de horizontale richting. Daarom wordt δ = 1 2 π β W (3.1) de kijkrichting genoemd. Daarnaast is er ook de uittree-inclinatie α van de gezichtsstraal op het moment dat deze de rand van de warme laag bereikt, zie Figuur 3.1. Hier wordt de gezichtsstraal gebroken of weerkaatst, waarbij de inclinatie overgaat in β. In het geval breking optreedt gaat de gezichtsstraal ongeveer als een rechte lijn verder de ruimte in en in dat geval beschouwen we ook de hoekβ+θ, waarbijθ de hoek is tussen de voerstraal van W en het punt waar de warme laag bereikt wordt.

50 3.2 Discrete beschrijving van de atmosfeer 39 In de regel varieert ook β +θ rond 1 2π, reden waarom we het verschil γ = 1 2π (β +θ) (3.2) invoeren als de uittreerichting van de gezichtsstraal. Als in het discrete geval gaan we er ook hier vanuit dat de gezichtsstraal zich verder naar buiten ongeveer als rechte lijn voortzet. Transitie-diagram. Een vlakke figuur, waarin bij gegeven brekingsindex-profiel n = n(r) de waarde vanγ tegen die vanδ wordt uitgezet, heet transitie-diagram. In dit diagram zien we hoe het beeld dat bij de grens van de warme laag binnenkomt, door de waarnemer W wordt waargenomen. Hieronder zullen we in verschillende voorbeelden zien hoe dit werkt; dit betreft zowel zonsondergangen als fata morgana s. De geometrisch-optische theorie van Hoofdstuk 2, met name de formule (2.14) uit Stelling 2.5, geeft de mogelijkheid het gegeven brekingsindex-profiel om te zetten in een transitie-diagram en de bijbehorende stralenbundel. We zullen voor de numerieke berekeningen ook de meer geavanceerde theorie uit Hoofdstuk 6 te hulp roepen. 3.2 Discrete beschrijving van de atmosfeer Zoals gezegd heeft Wegener s opzet twee discrete lagen [90, 91], zie Figuur 3.3 en vergelijk ook Figuur 1.1. Is M het middelpunt van de aarde, dan vormt het aardoppervlak in het verticale kijkvlak een cirkel rond M met straal R. De cirkelvormige begrenzing van de warme laag zal een hoogte H hebben en is dus een cirkel met middelpunt M van straal R + H. Laat n 1 de brekingsindex van de onderste laag zijn en n 2 die van de bovenste, dan is n 1 > n 2 : er treedt een sprong op. Zie Figuur 3.3, onder en links. De setting is dus precies die van de Figuren 2.3 en 2.7 uit Hoofdstuk 2. Kritieke hoogte. We beschouwen alle gezichtsstralen die bij de grenscirkel met straal R + H een uittree-inclinatie ( ) n2 α g = arcsin (3.3) hebben, volgens en 2.2.2; zie Figuur 3.2. Hierbij raakt de uitgaande gezichtsstraal dus aan de grenscirkel met straal R + H. Zo ontstaan twee lijnenbundels die een cirkel omhullen, dat is een cirkel die aan al deze lichtstralen raakt. Zie Aarts [2, 3] voor nadere toelichting van dit taalgebruik De bijbehorende hoogte k n 1

51 40 Atmosferische optica k α g warm aarde R H Figuur 3.2: Kritieke cirkel met straal R + k als omhulde van de lichtstralen met grenshoekinclinatie. heet kritieke hoogte en de bijbehorende kritieke cirkel heeft middelpunt M en straal R+k. Per constructie isk < H. Verder heeft de waarnemerw een zekere positieve hoogte ten opzichte van het aardoppervlak, aan te geven met ε. Neem hierbij steeds aan dat k < ε < H De Wegener sector Er volgt nu een kwalitatieve beschrijving van de Wegener sector van Figuur 3.3, boven. De waarnemer W kijkt naar rechts (zeg, het westen) en laat zijn blik van boven naar beneden dwalen, de gezichtsstraal varieert daarbij van WA naar WE waarbij de inclinatie β W toeneemt. Stel dat bij B de grenshoek α = α g is bereikt, zie (3.3), dan gaat breking over in kaatsing van de gezichtsstraal in de grenscirkel ter hoogteh. In Figuur 3.3 is dit nog steeds het geval wanneerw langs straalwc precies in de horizontale richting kijkt. Hier is de invallende inclinatie α minimaal en vanaf dat moment neemtβ weer toe, totdat met straalwd opnieuw de grenshoek α g wordt bereikt. Hierna treedt wederom breking op in de cirkelh, zie bijvoorbeeld de gezichtsstraal WE. De Wegener sector BW D correspondeert in de α richting met een interval, begrensd door gezichtsstralen waarbij de uittreegrenshoek α = α g optreedt, zie Figuur 3.3, boven. Kennelijk reiken alle gezichtsstralen in de Wegener sector BW D

52 3.2 Discrete beschrijving van de atmosfeer 41 C B W A B C D ε D H aarde E k R M n γ r R δ Figuur 3.3: Boven: Wegener sector voor k > 0, vergelijk ook Figuur 1.1 (Minnaert [71] Figuur 60). Voor een kwalitatieve beschrijving zie de tekst. Onder links: Corresponderend brekingsindex-profiel. Onder rechts: Corresponderend transitie-diagram met kijk- en uittreerichtingen δ en γ als in (3.1) en (3.2). tot onder W s horizon. De corresponderende lichtstralen worden in de laag H weerkaatst (bovenspiegeling) voor ze bij W aankomen. Aanstonds zullen we de optische gevolgen hiervan nader bestuderen. Stelling 3.1 (Discrete Wegener sector [90, 91]). Een Wegener sector doet zich voor als k < ε < d, met andere woorden, als de waarnemer W zich tussen de

53 42 Atmosferische optica kritieke cirkel en de grens bevindt. In dat geval geldt dat CWD = CWB. Met andere woorden, de Wegener sector strekt zich even ver boven als onder de horizontale kijkrichting uit. Bewijs. De rechten WB en WD raken beide aan de kritieke cirkel. Omdat ze allebei doorw gaan, zien we meteen dat de horizontale kijkrichtingwc de bissectrice van BW D is. Immers, uit symmetrieoverwegingen blijkt dat M W de buitenbissectrice van BWD is, en omdat deze loodrecht staat op WC moet deze laatste wel de bissectrice zijn Optische scenario s nabij de horizon We bespreken hieronder enkele mogelijke gevolgen van een Wegener sector op de optische verschijnselen nabij de horizon. In navolging van Minnaert [71] beginnen we met zonsondergangen. Hierna zullen ook fata morgana s aan de orde komen. Hierbij zal het transitie-diagram een belangrijke rol spelen, dat in een omgeving van de horizontale kijkrichting δ = 0 beschrijft hoe objecten door W gezien worden. In Figuur 3.3, rechtsonder, correspondeert het gat in de grafiek juist met de Wegener sector. We zien dat het bijbehorende interval op de δ as symmetrisch is rond de waarde δ = 0, dit in overeenstemming met Stelling 3.1. De tak van de grafiek voor δ < 0 heeft een negatieve helling. Dit drukt uit dat de beelden van de bijbehorende objecten, door bovenspiegeling in de grenscirkel van de warme laag, op de kop staan De ondergaande zon We richten ons nu op de gevolgen van een Wegener sector voor de ondergaande zon. Allereerst zien we dat de gezichtsstralen binnen deze sector verdwijnen in de nevelen rond de aarde. Als de zon dus langs de bijbehorende uittreerichtingen passeert, ziet W hierin een blinde strook of zone. Anders gezegd, de gezichtsstralen in de Wegener sector BWD komen niet uit bij zonlicht. De transitie-diagrammen geven een meer gedetailleerde indruk hoe dit verloopt. De schijf van de ondergaande zon correspondeert met een interval dat maximale lengte heeft, en dat langs de γ as omlaag schuift. Langs de δ as lezen we dan af wat W hiervan waarneemt.

54 3.2 Discrete beschrijving van de atmosfeer 43 Blinde strook. In bovengeschetst scenario met k > 0 hebben we dus te maken met het transitie-diagram van Figuur 3.3, onder en rechts. Het omlaagschuivende interval dat met de ondergaande zon correspondeert valt nu op een bepaald moment uiteen in twee stukken; het tussenliggende, donkere of blinde, interval correspondeert, als gezegd, juist met de Wegener sector. Rotatie van het verticale vlak door W over de volle breedte van de zonneschijf levert zo een zonsondergang met een blinde strook, zoals weergegeven in de Figuren 1.1 en 1.2. Zie hieronder voor alternatieve scenario s gebaseerd op ditzelfde principe. Blinde zone. De situatie verandert wanneer k < 0, met andere woorden, als de kritieke cirkel zich onder het aardoppervlak bevindt, vergelijk Figuur 3.4. Het brekingsindex-profiel, dat overeenkomt met dat van Figuur 3.3, en het transitiediagram zijn toegevoegd. Merk op dat Stelling 3.1 hier onverkort geldt. In dit geval treft de grenshoeks-gezichtsstraal W D de aarde, evenals dieper gelegen stralen als W E. In het transitie diagram van Figuur 3.4 wordt dit uitgedrukt doordat hier, in vergelijking met dat van Figuur 3.3, het stukje grafiek voor negatieve waarden vanδ ontbreekt. In de ondergaande zon ontstaat zo een blinde zone: het lijkt dan net alsof de zon een eindje boven de horizon ondergaat. Een dergelijk scenario werd reeds weergegeven in Figuur 1.3. Blinde zones komen tamelijk veelvuldig voor. Opmerkingen. - Uit nadere beschouwingen als in het bewijs van Stelling 3.1 blijkt dat het gedeelte van de zon boven de blinde strook in de verticale richting enigszins wordt samengedrukt, terwijl het gedeelte onder de blinde strook juist wordt uitgerekt. Dit is te zien aan de verschillende steilheid van takken in de transitie-diagrammen van de Figuren 3.3, 3.4 en Voor het equivalent van Wegener s configuratie met twee lagen in de atmosfeer van de platte aarde, ligt de kritieke hoogte bijy =. Dat betekent dat bij de platte aarde alleen blinde zones kunnen optreden en geen stroken. Hier is de horizon natuurlijk ook ver te zoeken Inclusief onderspiegeling Bij een Wegener sector als hierboven beschreven kan naast bovenspiegeling in de warme laag ter hoogte H soms ook onderspiegeling optreden in een warme laag direct boven het aardoppervlak: denk hierbij aan warm woestijnzand of een warm zeeoppervlak. Ook kan een gladde ijsvlakte of een spiegelend meer hier dienst

55 44 Atmosferische optica n γ r R δ Figuur 3.4: Wegener sector voor k < 0, als variatie op Figuur 3.3 en met dezelfde belettering, met bijbehorende brekingsindex-profiel en transitiediagram. Deze situatie kan aanleiding geven tot een zonsondergang met een blinde zone, als weergegeven in Figuur 1.2. doen. In Figuur 3.5 zijn de stralenbundels weergegeven voor de gevallen k > 0 en k < 0. Ook geven we een bijbehorende transitie-diagram, daarbij opmerkend dat het brekingsindex-profiel nog steeds hetzelfde is als voorheen Achter de horizon... Door combinaties van breking en spiegeling kan waarnemer W allerlei beelden zien van objecten achter de horizon. We merkten dit al op naar aanleiding van Figuur 1.5,

56 3.2 Discrete beschrijving van de atmosfeer γ δ γ δ Figuur 3.5: Wegener sectoren voor k > 0 en k < 0 als voorheen, nu ook met onderspiegeling. Bijbehorende transitie-diagrammen zijn bijgevoegd; het brekingsindex-profiel is steeds dat uit de Figuren 3.3 en 3.4. De steile takken links corresponderen met onderspiegeling; de negatieve helling betekent dat het beeld ondersteboven staat. waarin de bovenrand van de zonneschijf via onderspiegeling nog zichtbaar was terwijl de zon zelf al was ondergegaan. Onder een fata morgana 1 verstaan we algemeen een beeld van achter de horizon dat door spiegelingen en of brekingen tot ons komt. Dit betreft objecten zoals een gebergte, een stad, een oase, een bomenrij, een schip, etc., rechtop of ondersteboven al naar het aantal spiegelingen even of oneven is. Het beeld kan door een combinatie van deze factoren behoorlijk misvormd zijn. Wegener sectoren kunnen hierin een rol spelen. In Figuur 3.7 zijn de vier gevallen hiervan samengevat, namelijk voor positieve en negatieve k en zowel zonder als met onderspiegeling, waarbij in alle gevallen de gezichtsstralenbundels flink lang gekozen zijn. Hieruit blijkt dat deze bundels de atmosfeer niet verlaten, iets wat ook gemakkelijk is te bewijzen. Dit impliceert dat langs deze weg alleen luchtspiegelingen van objecten nabij de aarde kunnen worden waargenomen. Dit gaat het gemakkelijkst in gevallen waarbij k < 0, omdat dan immers een deel van de gezichtsstralen het aardoppervlak treft. 1 De naamgeving gaat terug op Morgan le Fay (Fata Morgana in het Italiaans), een fee uit de Koning Arthur cyclus. Naar verluidt zou zij luchtspiegelingen veroorzaken in de Straat van Messina, zichtbaar vanaf de Siciliaanse kust.

57 46 Atmosferische optica Figuur 3.6: Theoretische zonsondergang voor het geval van Figuur 3.5, boven. Het onderste geval van Figuur 3.5 kan aanleiding geven tot de zonsondergang in Figuur 1.5. De zwartgekleurde gezichtsstralen in Figuur 3.7, die net buiten de Wegener sector liggen, kunnen de atmosfeer wèl verlaten en in de ruimte verdwijnen. In een aantal gevallen kunnen deze gezichtsstralen ook achter de horizon reiken en zo binnen de rotatie-symmetrische setting aanleiding geven tot hemelse fata morgana s. In principe zou het op deze manier mogelijk moeten zijn, bijvoorbeeld, de maan waar te nemen terwijl deze zich achter de horizon bevindt. Hemelse luchtspiegelingen worden uitvoering en historisch gedocumenteerd beschreven door Van der Werf et al. [92,93], onder de naam Nova Zembla verschijnselen, gerelateerd aan waarnemingen door de Willem Barentsz groep tijdens de overwintering in We komen hier aan het eind van dit hoofdstuk nog op terug. In hun theoretische reconstructie wordt rekening gehouden met het berglandschap op Nova Zembla, waarbij de rotatiesymmetrie in het brekingsindex-profiel doorbroken wordt.

58 3.2 Discrete beschrijving van de atmosfeer 47 Figuur 3.7: Gezichtsstralenbundels nabij Wegener sectoren over groter bereik. Links k > 0, rechts k < 0. Boven zonder onderspiegeling, onder mèt onderspiegeling. Merk op dat de grijze gezichtsstralen in de Wegener sector de atmosfeer niet verlaten. De zwarte gezichtsstralen daarbuiten doen dat echter wel Variaties Wegener s schematische aanpak berust op een rotatiesymmetrische, discrete atmosfeer met twee lagen, vergelijk ook Figuur 1.1. Van een dergelijke opzet kan men hooguit kwalitatieve verklaringen verwachten en het is verrassend te zien hoe wonderwel een dergelijke verklaring blijkt te lukken. De in Hoofdstuk 2 gepresenteerde theorie van geometrische optica laat echter gemakkelijk verfijningen toe van Wegener s benadering, zeker als de bijbehorende wiskunde in numerieke programma s verwerkt wordt. Hieronder presenteren we een aantal modellen met 8 tot 9 lagen die een realistischer opbouw van de atmosfeer representeren. Deze modellen zijn

59 48 Atmosferische optica Figuur 3.8: Theoretische fata morgana s van een zeilschip dat achter de horizon verdwijnt. Links k > 0, rechts k < 0. Boven zonder onderspiegeling, onder mèt onderspiegeling. ontwikkeld door Floris Takens [21]. Zoals aangegeven in is in het algemeen juist het inverse probleem interessant. Gezocht wordt dan, bij een gegeven optisch verschijnsel, naar een geschikt brekingsindex-profiel dat dit verschijnsel kan verklaren. Hierbij wordt de geometrische optica van Hoofdstuk 2 gebruikt, eventueel aangevuld met de geavanceerdere methoden uit Hoofdstuk 6. Vergelijk voor soortgelijke inverse problemen ook Lehn [65] en Van der Werf [92] Takens profielen Het nu volgende bevat een viertal aan elkaar verwante voorbeelden, genummerd I, II, III en IV, van een rotatiesymmetrisch brekingsindex-profiel voor de atmosfeer van de ronde aarde. Deze atmosfeer is nu opgedeeld in een groter aantal homogene lagen en desgewenst kan dit voorbeeld worden opgevat als benadering van een

60 3.2 Discrete beschrijving van de atmosfeer 49 Figuur 3.9: Gezichtsstralen buiten de Wegener sector kunnen buiten de atmosfeer achter de horizon reiken en zo aanleiding geven tot hemelse fata morgana s. Links: k > 0 zonder onderspiegeling. Midden: k > 0 met onderspiegeling. Rechts: k < 0 met onderspiegeling. continu profiel. De profielen I en II met 8 lagen worden weergegeven in Tabel 1, waarbij het verschil tussen de beide is dat een warme laag van 1 km dikte begint op 74 dan wel op 73 m hoogte. De waarnemer W bevindt zich op 10 m hoogte en deze overziet een gezichtsstralenbundel van die rondom de horizontale kijkrichting varieert als 2 δ = , , ,...,0.24 0, De brekingsindex-profielen III en IV bestaan uit 9 lagen en worden weergegeven in Tabel 2. Hierbij komt III overeen met I, en IV met II, behalve dat in beide gevallen een warm laagje met een dikte van 1 cm boven het aardoppervlak is toegevoegd. geval I l geval II n 0-74 m 0-73 m m - 1 km 73 m - 1 km km km km km km km 1 Tabel 1: Brekingsindex-profielen in gevallen I en II uitgedrukt in de hoogte l boven het aardoppervlak. In Figuur 3.10 worden van alle gevallen I, II, III en IV de transitie-diagrammen weergegeven. De brekingsindex-profielen in deze gevallen verschillen te weinig 2 Om de grotere nauwkeurigheid eenvoudiger te kunnen weergeven worden hier graden gebruikt in plaats van radialen.

61 50 Atmosferische optica om op deze schaal te kunnen zien, vandaar dat maar één profiel getekend is. Wat opvalt is dat in de gevallen I en III geen Wegener sector optreedt en in de gevallen II en IV wel, namelijk in de kijkrichtingen δ Het verschil van slechts 1 m in de hoogte van de warme laag maakt kennelijk een groot verschil. geval III l geval IV n 0-1 cm cm - 74 m 1 cm - 73 m m - 1 km 73 m - 1 km km km km km km km 1 Tabel 2: De gevallen III en IV zijn als I en II uit Tabel 1, alleen bevindt zich in beide gevallen een warm laagje van 1 cm boven het aardoppervlak. De steile takken links in de gevallen III en IV corresponderen ook hier met onderspiegeling, en weer geeft de negatieve helling aan dat voor W een deel van het beeld ondersteboven staat, vergelijk Figuur 3.5. De gezichtsstralenbundels horend bij Figuur 3.10 zijn te nauw om goed te kunnen weergeven, maar ze zijn kwalitatief volledig analoog aan die van de Figuren 3.3, 3.4 en De groene flits De groene flits is een verschijnsel bij de ondergaande (en soms ook de opgaande) zon, waarbij op het moment suprême een groene flits verschijnt, kort beschreven in Hoofdstuk 1. Dit verschijnsel is uiterst bloemrijk beschreven in Minnaert [71], 47, waar ook meteen een geometrisch-optische verklaring wordt gegeven. Eén van de belangrijke factoren bij het ontstaan van de groene flits is dat rode lichtstralen in de atmosfeer sterker gebogen worden dan groene: de brekingsindex (en dus de lichtsnelheid) is frequentie-afhankelijk. Dit effect is des te duidelijker zichtbaar naarmate de lichtstralen uit de buurt van de horizon komen. Dit geeft ruwweg aanleiding tot twee zonnen, die elkaar meestal zodanig overdekken dat het totaal

62 3.2 Discrete beschrijving van de atmosfeer n r R γ 0.4 γ δ δ γ 0.4 γ δ δ Figuur 3.10: Boven: Takens brekingsindex-profiel. Midden: Transitiediagrammen voor de gevallen I en II; onder: idem voor III en IV. er als wit uitziet: rood en groen zijn immers complementaire kleuren, vergelijk Figuur Dergelijke gekromde lichtstralen worden ook reeds beschreven door Huygens [56], zie Figuur 4.3. In het algemeen verklaart dit dat de onderrand van de laagstaande zon rood is terwijl de bovenrand juist groen kleurt. Bij zonsondergang is er dus een kort moment waarbij de rode zon al onder is, terwijl het bovenste randje van de groene nog even zichtbaar is. In samenhang met een aantal andere atmosferische omstandigheden, waaronder een bijzonder goed zicht, kan zo uiteindelijk een groene flits ontstaan.

63 52 Atmosferische optica blauwgroen rood blauwgroen blauwgroen rood wit rood Figuur 3.11: Verklaring van de groene flits, vergelijk Minnaert [71], Figuur 66. Door frequentie-afhankelijkheid van de brekingsindex ziet men ruwweg twee zonneschijven, boven een overwegend groene en onder een rode, die grotendeels overlappen en zo aanleiding geven tot het bekende witte licht. Het laatste wat we zien bij zonsondergang is een groen schijfje. Een vraag is in hoeverre het optreden van een blinde strook dit verschijnsel kan verduidelijken, vergelijk de verschillende zonsondergang-scenario s hierboven. Ook kan het optreden van een Wegener sector daarbij wellicht een rol spelen, zoals we hieronder nog zullen aanduiden. Interessant om te lezen is verder Jules Verne s Le Rayon Vert [89]. De groene flits is met een enigszins mystiek waas omgeven. Vergelijk O Connell [76] voor een fraaie collectie observaties vanuit het Vaticaanse Observatorium in Castel Gandolfo, 450 m boven het zee-oppervlak. Voor meer informatie zie ook de webpagina die interessante ideeën bevat van A.I. Young. Verband met Wegener sector. De vraag die hier aan de orde is, is hoe het optreden van een Wegener sector verder kan bijdragen tot het duidelijker optreden van een groene flits. Het omhoogschieten van deze flits vanaf de horizon lijkt te duiden op een onderspiegeling, die onder meer kan optreden bij een blinde zone, vergelijk Figuur 1.5, corresponderend met het onderste geval van Figuur 3.5, vergelijk ook het geval IV van Figuur Het bovenste, groenere, randje van de reeds ondergegane zon wordt op het laatste moment zichtbaar door onderspiegeling. Het beeld staat dan ondersteboven en is gekrompen in de verticale richting. 3.3 Continue beschrijving van de atmosfeer De continue beschrijving van de gezichtsstralen in de atmosfeer van de ronde aarde heeft een opzet analoog aan de discrete, zoals die geschetst werd in de Figuren 3.3

64 3.3 Continue beschrijving van de atmosfeer 53 en 3.4. Ook hier zullen we, onder geschikte voorwaarden, een Wegener sector identificeren die dezelfde eigenschappen als voorheen heeft: blinde stroken en zones in de zonneschijf, dan wel aardse of hemelse luchtspiegelingen. De huidige aanpak die geheel gebaseerd is op de behoudswetten uit Hoofdstuk 2, zal die van 3.2 omvatten. Dit geldt in het bijzonder voor Stelling De behoudswet nogmaals We nemen aan dat het optisch medium isotroop is en dat er weer sprake is van rotatiesymmetrie. Als gezegd berust de continue beschrijving geheel op de behoudswet (2.13) C = rn(r)sinα en op Stelling 2.5, die de vorm van de gezichtsstralen vastlegt, waarbij de voortplantingssnelheid steeds gegeven wordt door v(r) = 1/n(r). De numerieke berekeningen gebruiken de formule (2.14) ϕ(r) = ±C r r 0 d 2n 2 ( ) C 2, die de vorm van de gezichtsstraal in poolcoördinaten weergeeft. Met behulp hiervan 3 kunnen we bij gegeven brekingsindex-profielen weer een transitie-diagram geven. We mogen er immers vanuit gaan dat naar buiten toe de gezichtsstralen zich ongeveer als rechte lijnen zullen voortzetten Wegener gezichtsstraal Een Wegener gezichtsstraal wordt gedefinieerd als een gezichtsstraal die niet direct uit de atmosfeer kan ontsnappen, maar aan een warme laag wordt gereflecteerd. Daarna kan deze onder de horizon op het aardoppervlak landen of de ruimte ingaan, om zo eventueel aanleiding te geven tot luchtspiegelingen. Alle Wegener gezichtsstralen samen vormen de Wegener sector voor het continue geval. De gezichtsstraal ligt vast als geparametriseerde kromme t (ϕ(t),r(t)), waarbij t de tijd is. 4 Het is hierbij handig het gemodificeerde brekingsindex-profiel, gedefinieerd als n M (r) = rn(r), (3.4) 3 En ook van de meer geavanceerde methoden van Hoofdstuk 6. 4 In Deel I, Hoofdstuk 6 zullen we nog andere parametriseringen ontmoeten.

65 54 Atmosferische optica W aarde Figuur 3.12: Wegener gezichtsstraal in het continue geval. te beschouwen. Uiteraard is n M daarmee een functie die alleen positieve waarden aanneemt. Als we definiëren C(t) = n M (r(t))sinα(t), dan is de functie C(t) C(t 0 ) constant en wordt dus volledig bepaald door een waarde t = t 0 corresponderend met r 0 = r(t 0 ) en α 0 = α(t 0 ). Hierbij bevindt waarnemer W zich ter hoogte r 0 met een gezichtsstraal die op het tijdstip t 0 de inclinatie α 0 heeft. Als voorheen kijkt W naar rechts kijkt (zeg opnieuw naar het westen), dus geldt 0 α 0 π, zie Figuur Dan geldt het volgende resultaat. Stelling 3.2 (Continue Wegener sector). Onderstel een glad brekingsindex-profiel n = n(r) en beschouw het gemodificeerde profiel n M (r) = rn(r) als in (3.4). Als de functie n M een absoluut minimum aanneemt inr m r 0, dan geldt voor ( ) nm (r m ) α g = arcsin (3.5) n M (r 0 ) dat het interval [α g,π α g ] correspondeert met een Wegener sector. Deze ligt symmetrisch ten opzichte van de kijkrichting α 0 = 1 2 π. Bewijs. De gezichtsstraal is niet-wegener als deze direct uit de atmosfeer kan ontsnappen, hetgeen betekent dat voor elke t t 0 geldt dat α(t) 1 2π. Dit is equivalent met te zeggen n M (r 0 )sinα 0 n M (r(t))sinα(t) < n M (r(t)), oftewel met n M (r 0 )sinα 0 < n M (r)

66 3.3 Continue beschrijving van de atmosfeer 55 1 sinα 0 π 0 α g π αg 2π α 0 1 Figuur 3.13: Continue Wegener sectorα g α 0 π α g met behulp van de grafiek van de functie α 0 sinα 0. voor elke r > r 0. Met andere woorden, de Wegener-gezichtsstralen hebben een initiële inclinatie α 0, zodanig dat voor zekere r > r 0 geldt dat n M (r) n M (r 0 )sinα 0. Omdat r m het absolute minimum is van de functie n M geldt dat 0 < n M(r m ) n M (r 0 ) 1 en enige studie van de grafiek vansinα 0, met name de symmetrie-eigenschapsinα 0 = sin(π α 0 ), leert dat voor elke α 0 met α g α 0 π α g een Wegener-gezichtsstraal optreedt, zie Figuur Het interval [α g,π α g ] ligt inderdaad symmetrisch ten opzichte van het midden α 0 = 1 2 π. Als de functie n M monotoon toeneemt vanuit de waarde n M (r 0 ) dan is r m = r 0 en α g = 1 2 π en reduceert het interval [α g,π α g ] tot het punt { 1 2π} en de Wegener sector tot de horizontale lijn. De inclinatie α g als gedefinieerd door (3.5) zou men met een beetje goede wil de grenshoek ter plaatse W kunnen noemen, die in het geval van Stelling 3.1 juist overeenkomt met CWB. De hele opzet van Stelling 3.2, inclusief bewijs, is ook bij Stelling 3.1 van toepassing, inclusief het geval van meer dan twee discrete lagen. Dit volgt uit het feit dat de formules (2.13), (2.14), zowel als Stelling 2.5, ook daar gelden. Opmerkingen. - De existentie van een globaal minimum van de functie n M geldt zeker in de atmosferische situatie, waarlim r n(r) = 1.

67 56 Atmosferische optica W π π 2 n M (r) 6 γ π r Figuur 3.14: Boven: Continue stralenbundel met Wegener sector. Onder bijbehorend gemodificeerd brekingsindex-profiel r n M (r) en transitiediagram. Zie Voorbeeld π π 2 π 4 0 δ π 4 π 2 - Omdat buiten de atmosfeer zelfs geldt n 1, is het ook nu mogelijk een uittree-inclinatie te definiëren en dus ook in het continue geval transitie-diagrammen te geven. Evenals in het discrete geval is die gelijk aan de waarde van α(t) bij het verlaten van de atmosfeer en ook nu kunnen we gemakkelijk kijk- en uittreerichting δ enγ definiëren. Voorbeeld 3.1 (Continue Wegener sector). Het eenvoudigste continue voorbeeld van een Wegener sector wordt op kwalitatieve wijze gegeven door een gemodificeerd brekingsindex-profiel n M als in Figuur 3.14, links onder. Dit profiel heeft precies één maximum en geeft aanleiding tot gezichtsstralenbundel en transitiediagram als boven en rechts onder in dezelfde figuur. We komen nader op dit voor-

68 3.4 Scholium 57 Figuur 3.15: Van der Werf [92], p. 96: Gezichtsstralenbundel vanuit de waarnemer in de oorsprong, die de conjunctie van Jupiter en de Maan kan verklaren. De ronde aarde is voor het gemak rechtgetrokken. De stralen volgen de contouren van een gebergte op Nova Zembla. beeld terug in Hoofdstuk 8 van Deel II. 3.4 Scholium In de afgelopen twee hoofdstukken is een vrijwel volledige geometrische optica van de atmosfeer ontwikkeld, gegeven de beperking tot een (verticaal) vlak en onder de verdere onderstelling van een rotatiesymmetrische brekingsindex. Deze aanpak verliep via de Wetten van Hero en Snellius, beide gebaseerd op het Principe van Fermat Verdieping In Deel II, Lichtstralen als geodeten, in het bijzonder in Hoofdstuk 6 wordt deze aanpak uitgediept met behulp van het Principe van Hamilton en enige differentiaalmeetkunde. De gezichtsstralen worden dan geodeten in een Riemannse metriek die past bij het brekingsindex-profiel; dit alles in het licht van de variatierekening. Hierdoor zal het om te beginnen mogelijk zijn op eenvoudige wijze de onderstelling van rotatiesymmetrie te laten vallen; en zelfs die van beperking tot een verticaal vlak. Vergelijk ook 2.4. In Hoofdstuk 8 van Deel II wordt de rotatiesymmetrische vlakke situatie verder uitgewerkt, waarbij een analogie wordt gegeven tussen gezichtsstralen en de geodeten op een omwentelingsoppervlak in de 3 dimensionale ruimte. In deze benadering krijgt het gemodificeerde brekingsindex-profiel r n M (r) een meetkundige be-

69 58 Atmosferische optica tekenis en kunnen bepaalde aspecten van de theorie zodoende nog verder worden toegelicht Nova Zembla verschijnselen Een voorbeeld van een niet-rotatiesymmetrische reconstructie wordt gegeven in de beschrijving van de Nova Zembla verschijnselen als aangeduid in , zoals waargenomen door de mannen van Wilem Barentsz tijdens de overwintering van In het bijzonder betreft dit een conjunctie van Jupiter en de Maan en een premature waarneming van de zonneschijf. Beide verschijnselen speelden zich volgens de tabellen af achter de horizon. Voor een mooie historische beschrijving en fraaie grafiek zie Van der Werf [92], zie ook [93].

70 Hoofdstuk 4 De brachistochroon als lichtstraal In de zeventiende eeuw heeft de cycloïde een bijzondere rol gespeeld bij de ontwikkeling van de differentiaal- en integraalrekening. In het huidige bestek betreft dit vooral de theorie van Johann Bernoulli 1 over de brachistochrone kromme, die in 1696 als prijsvraag in het tijdschrift Acta Eruditorum het levenslicht zag [17]. Een jaar later publiceerde hij in hetzelfde tijdschrift ook zijn oplossing. Hierop liet een aantal beroemde tijdgenoten zich niet onbetuigd. Dit gold onder meer Leibniz. De oplossing van Newton was onder pseudoniem, maar Bernoulli herkende de leeuw aan zijn klauw. 2 Voor historische details zie Goldstine [44]. In dit geheel worden de klassieke mechanica en de geometrische optica op verrassende wijze vermengd en vormt de uitwerking ervan een aardig stukje vroege differentiaal- en integraalrekening. De brachistochrone kromme, de snelste glijbaan tussen twee gegeven punten in een verticaal vlak, wordt door Bernoulli opgevat als lichtstraal die een cycloïde blijkt te volgen. Deze ontdekking staat aan de wieg van de lange en brede ontwikkeling van het Variatie Principe, dat heden ten dage de basis vormt van vele wetenschappelijk disciplines. Voor achtergronden over de variatierekening en de Bernoulli s zie [44, 70, 82, 88] en ook [62 64], zowel als de bijbehorende bibliografieën. Leibniz geloofde stellig in een grote algemene geldigheid van het Variatie Principe: hij zegt zelfs ergens met zoveel woorden dat onze wereld de beste van alle mogelijke is. Voltaire heeft dit in zijn beroemde boek Candide, ou l optimisme [16] onsterfelijk belachelijk gemaakt. Niettemin heeft dit denken, waarin ook de Bernoulli s voorlopers waren, een grote invloed gehad op de ontwikkeling van de wetenschap. 1 Johann Bernoulli ( ) 2... ex ungue leonem

71 60 De brachistochroon als lichtstraal Figuur 4.1: Bernoulli s brachistochrone probleem [17]. Vergelijk Figuur Terug naar de atmosfeer van de platte aarde Zoals eerder aangegeven komt het brachistochrone probleem op het volgende neer, zie Figuur 4.1. Gegeven is een constant verticaal zwaartekrachtveld en een verticaal vlak met daarin de puntenaenb. Een kraalk glijdt onder invloed van deze zwaartekracht langs een draadprofiel van A naar B, waarbij deze beweging wrijvingsloos verloopt. De vraag is dan voor welk draadprofiel deze beweging de minste tijd kost. Dit probleem vormt de verbinding van het huidige hoofdstuk met de eerdere Hoofdstukken 2 en 3. Reden voor de verbinding is Bernoulli s eigen oplossing die de brachistochroon opvat als een lichtstraal, die volgens het Principe van Fermat immers een pad van de kortste tijd vormt. Tot veler verrassing bleek het antwoord te bestaan uit de cycloïde Twee behoudswetten Bernoulli s oplossing maakte gebruik van de wiskunde uit Hoofdstuk 2 die de geometrische optica in de atmosfeer van de platte aarde beschrijft. In de verticale richting werkt de constante zwaartekracht met versnelling g, die aanleiding zal geven tot een geschikt brekingsindex-profiel n = n(y). Energie. De keus van de voortplantingssnelheid v = v(y) wordt bepaald door de Wet van Behoud van Energie M = 1 2 m (v(y))2 +mgy, (4.1) voor een constante M. Hierbij is, als steeds,n(y) = 1/v(y).

72 4.1 Terug naar de atmosfeer van de platte aarde 61 y A 1 x 2 n j 1 j 1 α j 1 α j n j j α j α j+1 n j+1 j +1 N B Figuur 4.2: Bernoulli s optische opzet. Dergelijke discrete benaderingen van een gladde situatie zijn kenmerkend voor toepassingen van de differentiaalen integraalrekening zoals ook reeds te zien bij Newton en Leibniz. Opnieuw Hero en Snellius. namelijk (2.8) De andere behouden grootheid is een oude bekende, S = n(y)sinα, waarbij deαde inclinatie met de verticale richting voorstelt, zie Figuur 4.2. Vergelijk ook Corollarium 2.2 en Figuur De cycloïde als brachistochrone kromme Zoals we al zagen aan het eind van bepaalt de behoudswet (2.8) de vorm van de lichtstraal, in dit geval de brachistochroon. Het is handiger deze kromme niet te schrijven in de vorm x = x(y), maar om deze te parametriseren als x = x(α), y = y(α). Uit de behoudswetten (2.8) en (4.1) zal nu de volgende stelling bewezen worden. Stelling 4.1 (Brachistochroon als cycloïde). De brachistochrone kromme heeft de cycloïdale vorm y(α) = y S 2 g cos(2α) (4.2) x(α) = x 0 1 4S 2 g (2α sin(2α)),

73 62 De brachistochroon als lichtstraal Figuur 4.3: Een lichtstraal in cycloïdale vorm bij Huygens [56]. Voor een discussie hierover zie ook de bijdrage over Bernoulli in [83]. In zijn commentaar op het brachistochrone probleem zegt hij dat Huygens wel een goede figuur had, maar geen expliciete formule [17]. waarbij (x 0,y 0 ) de coördinaten van A zijn en S de schaal van de kromme bepaalt, zodat deze door B gaat. Opmerkingen. - In Hoofdstuk 5 komen we nader op de cycloïde terug. In termen van de daar ontwikkelde formule (5.11) heeft (4.2) rolhoek θ en radius gegeven door θ = 2α en = 1 4S 2 g.

74 4.1 Terug naar de atmosfeer van de platte aarde 63 2 θ = π θ = π y θ = π/2 θ = π/2 0 π 0 π x Figuur 4.4: Cycloïde met rolhoek θ en radius. Bij de brachistochroon (4.2) is θ = 2α en = 1/(4S 2 g). Vergelijk ook Figuur 5.3. De cycloïde is een veelbesproken kromme, zie bijvoorbeeld ook [50]. - De waarde van de energie M is niet direct zichtbaar in de oplossing (4.2), maar in de integratieconstante y 0 komt deze informatie terug: M = 1 2 m(v(y 0)) 2 +mgy 0. Als we aannemen datv(y 0 ) = 0 dan begint de kraal in rust op hoogtey 0. Dat betekent dat gedurende de hele beweging geldt M = mgy 0 en de bijbehorende valsnelheid bedraagt dan v(y) = 2g(y 0 y), waarbij y y 0. Door een translatie op de y as kunnen we zelfs bewerkstelligen dat M = 0. In dat geval wordt de valsnelheid gegeven door v(y) = 2gy, voor y 0. Dit soort overwegingen is vrij gebruikelijk in de klassieke mechanica. Bewijs. We leiden de stelling af uit de behoudswetten (2.8) en (4.1) S = n(y)sinα en M = 1 2 mv(y)2 +mgy Als gezegd nemen we het gezochte profiel van de vorm waarbij α de inclinatie is met de y-richting. (x(α),y(α)), (4.3)

75 64 De brachistochroon als lichtstraal Het blijkt dienstig allereerst een tweetal handige formules af te leiden uit de behoudswetten (2.8) en (4.1). De eerste zegt dat voor elke y geldt v (y) = g v(y). (4.4) Deze gelijkheid volgt direct door (4.1) naar y te differentiëren. De tweede formule luidt cosα = Sv (y) dy dα. (4.5) Om dit in te zien schrijven we (2.8) als sinα = Sv, waarna je door differentiatie naar α het gewenste resultaat krijgt. Vervolgens worden in de geparametriseerde vorm (4.3) achtereenvolgens de afgeleiden dy/dα en dx/dα bepaald, nu alvast bedenkend dat dx/dy = tanα. De zo verkregen resultaten laten zich verder primitiveren en integreren. Eerst kijken we naardy/dα: dy dα (4.5) = cosα Sv (y) (4.4) = v(y) cosα (4.6) Sg (2.8) = 1 2S 2 g sin(2α) en vervolgens naardx/dα: dx dα = tanα dy dα (4.6) = v(y) Sg sinα (2.8) = 1 2S 2 g (1 cos(2α)). Integratie geeft tenslotte y(α) = y S 2 g cos(2α) x(α) = x 0 1 4S 2 g (2α sin(2α)), dat is de gevraagde formule (4.2), waarbij de integratieconstanten x 0 en y 0 corresponderen met de positie vana.

76 4.2 Scholium Scholium In Deel II, Hoofdstuk 7 verschijnt de brachistochroon opnieuw ten tonele; een van de rode draden in dit boek is de ontwikkeling van de variatierekening in de optica waarbij de brachistochroon een fraai leidend voorbeeld vormt. Vergelijk [82, 88]. Rechtstreeks primitiveren van x = x(y) volgens Stelling 2.3, in het bijzonder de formule (2.9) levert formules als beschreven in, onder meer [7], 3.3 Integrals of Irrational Algebraic Functions; zie ook [77]. Het is een vingerbrekende oefening [68] om bovenstaande resultaten te verzoenen met de directe aanpak uit die gebaseerd is op een parametrisering met de inclinatie α. Merk op dat de brachistochroon niet als eenwaardige functie x = x(y) geschreven kan worden, dit als gevolg van de kaatsing die optreedt bij y = 0. In Hoofdstuk 8 van Deel II worden generiekere vormen van kaatsing bestudeerd.

77 66 De brachistochroon als lichtstraal

78 Hoofdstuk 5 De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme In Hoofdstuk 4 zagen we hoe Johann Bernoulli de cycloïde identificeerde als de brachistochrone kromme. Al eerder had Christiaan Huygens 1 zich met de cycloïde beziggehouden [55], in eerste instantie gewoon als kromme, en later zoals deze optreedt als isochrone kromme. De juiste mechanische context van dit alles is die van een kraal, die wrijvingsloos langs een gegeven draadprofiel in een verticaal vlak glijdt, onderhevig aan een constant verticaal zwaartekrachtveld. Het gaat er daarbij om dat de kraal oscilleert rond een minimum in het draadprofiel, en de vraag is voor welk profiel deze oscillaties isochroon zijn. Dat laatste wil zeggen dat de periode van de oscillatie onafhankelijk is van de amplitudo. Ook hier wordt de oplossing gegeven door de cycloïde. We zullen dit aantonen door te laten zien dat de cycloïdale kraal een harmonische oscillator is, vergelijk Lagrange [60] 2 en zie [23, 24] voor latere weergaven hiervan. We kunnen de verleiding niet weerstaan ook even te laten zien dat de cycloïde zijn eigen involuut is. De historische achtergrond hiervan betreft Huygens oplossing van het isochrone slingerprobleem, alsmede de materiële realisatie ervan met cycloïdale wangen. Dit alles komt aan de orde in het licht van het probleem van de lengtebepaling op zee. 5.1 De harmonische oscillator Algemeen wordt een oscillator beschreven door een bewegingsvergelijking 1 Christiaan Huygens ( ) 2 Joseph Louis Lagrange ( ) s = dv (s), (5.1) ds

79 68 De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme k m 0 x x as Figuur 5.1: De harmonische oscillator als veer, die horizontaal is opgesteld, waardoor de zwaartekracht buiten beschouwing kan blijven. De positie wordt gegeven door het punt waar het wieltje de x as raakt. waarbijseen1 dimensionale positievariabele is, denk aan de afgelegde weg (Latijn: spatium = afstand). Met de uitdrukkingenṡen s geven we de eerste en tweede afgeleide vansaan als functie van de tijdt, anders gezegd de snelheid en versnelling vans = s(t). Opmerkingen. - Achtergrond hiervan is dat de terugdrijvende kracht van de oscillator de vorm F = F(s) heeft, waarbij Newton s 3 Tweede wet F = ma, met a = s en waarbij m de puntmassa is met positie s, het oscillerende deeltje. Dit leidt tot de differentiaalvergelijking m s = F(s). - Introduceren we verderv(s) met dv (s) = mf(s), ds dan ontstaat de differentiaalvergelijking (5.1). Men noemt V = V(s) wel de potentiële energie van de oscillator. 4 hierbij datsnabij een minimum van de functie V varieert. De oscillator heet harmonisch als Belangrijk is V(s) = 1 2 ω2 s 2, (5.2) voor een (positieve) constante ω. De bewegingsvergelijking (5.1) is dan 3 Sir Isaac Newton ( ) 4 Even afgezien van de exacte fysische dimensies... s = ω 2 s, (5.3)

80 5.1 De harmonische oscillator 69 I(t) L V L V C C Figuur 5.2: Elektrisch L-C netwerk. een lineaire differentiaalvergelijking dus. De algemene oplossing hiervan [34, 53], als functie van de tijd t, wordt gegeven door s(t) = Rcos(ωt+φ), (5.4) waarbij de integratieconstanten R en φ als volgt samenhangen met de beginwaarden s(0) enṡ(0): s(0) = Rcosφ en ṡ(0) = ωrsinφ. Dat de algemene oplossing (5.4) inderdaad voldoet aan de vergelijking (5.3) is eenvoudig na te gaan. Een belangrijke observatie is dat deze oplossingen allemaal periodiek zijn met dezelfde periode P = 2π ω, (5.5) en dus onafhankelijk van de amplitudo R; men zegt dat de harmonische oscillator isochroon is. De constante ω heet de frequentie van de oscillator. Harmonische oscillaties in modellen. In de natuurkunde komt de bewegingsvergelijking (5.1) talloos vaak voor als wiskundig model, vaak als benadering van een niet-lineair model. We noemen hier in het kort enige voorbeelden, voor meer details zie [10, 26, 27, 38]. - De trillende veer. Beschouw eerst veertrillingen, archetypisch voor harmonische oscillaties, zie Figuur 5.1. Om de zwaartekracht buiten beschouwing te kunnen laten, wordt de veer horizontaal opgesteld. De veer zelf is massaloos en aan het uiteinde zit een puntmassa m. Laat s de 1-dimensionale positie aanduiden van het uiteinde van de veer, waarbij s = 0 correspondeert met de onbelaste toestand. Dan geeft de functie s = s(t) de positie weer als functie

81 70 De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme van de tijd t, dat wil zeggen, de beweging van de veer. De terugdrijvende kracht wordt in dit geval volgens de Wet van Hooke 5 gegeven door F(s) = ks, waarbijk de veerconstante is: k is groot voor stijve veren en klein voor slappe. Volgens Newton s Tweede Wet geldt hier dus F(s(t)) = m s(t), voor alle t. Zo komen we tot de bewegingsvergelijking m s = ks (5.6) van de veer. Schrijf hier k ω = m, dan zien we hoe (5.6) overeenkomt met (5.3), leidend tot de algemene oplossing (5.4). 6 - Het elektrische L-C netwerk. Beschouw nu een elektrische stroomkring waarin een condensator met capaciteit C en een spoel met zelfinductie L in serie geschakeld zijn, zie Figuur 5.2. Neem aan dat in de kring een stroom met sterkte I loopt. Laten de spanningsverschillen over de beide onderdelen respectievelijk V C en V L zijn, dan geldt volgens de Wet van Kirchhoff 7 V C +V L = 0. (5.7) Verder is uit de definities van capaciteit en zelfinductie [38] bekend dat C dv C dt Differentiëren van (5.7) geeft = I env L = L di dt. (5.8) dv C dt + dv L dt = 0. Invullen van (5.8) voor C enlgeeft dan verder I I C +Ld2 dt = 0, 2 5 Robert Hooke ( ) 6 Merk op dat in de formules de fysische dimensies enigszins verschillen 7 Gustav Robert Kirchhoff ( )

82 5.1 De harmonische oscillator 71 oftewel Ï = 1 I, (5.9) LC en dat is precies de harmonische oscillator (5.3) met frequentie 1 ω = LC. Anharmonische oscillaties. Een notoir voorbeeld van een anharmonische oscillator is de vlakke mathematische slinger, met bewegingsvergelijking g s = ω 2 sins, ω = l, (5.10) waarbij l de slingerlengte is en g de versnelling van de zwaartekracht. De positievariabele s is hier de uitwijkingshoek, gemeten in radialen. Dat deze oscillator inderdaad niet-isochroon is blijkt reeds uit het feit dat de periode P (de slingertijd) naar oneindig gaat als de amplitudo naar ±π nadert: de slinger staat dan elke periode lange tijd bijna op de kop en beweegt dus uiterst langzaam, waardoor de oscillaties een zeer lange periode hebben. Opmerkingen. - Voor kleine waarden van s en ṡ kan de benadering sins s worden toegepast, waarbij de bewegingsvergelijking weer de harmonische vorm (5.3) krijgt. Men spreekt hier wel van kleine oscillaties van de slinger: voor kleine waarden van s en ṡ zijn de bewegingen bijna isochroon. Volgens de overlevering zou Galilei 8 dit reeds als experimenteel feit hebben vastgesteld. - Zeer bekend is de benaderende formule [19] l P = 2π g voor de slingertijd bij kleine uitwijkingen en snelheden, vergelijk (5.5). Kraal langs draadprofiel. Van veren en slingers maken we nu een Gestalt Switch en denken aan een verticaal vlak met daarin een draadprofiel, waarlangs zich wrijvingsloos een kraal heen en weer kan bewegen onder invloed van de zwaartekracht. In deze beschrijving is het draadprofiel van de slinger (5.10) een cirkel met straall, zoals gezegd is deze oscillatie niet-isochroon. 8 Galileo Galilei ( )

83 72 De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme 2 y θ θ θ 0 π 0 π x 2 θ r y θ 0 π 0 π x 2 θ = π θ = π y θ = π/2 θ = π/2 0 π 0 π x Figuur 5.3: Constructie van de cycloïde waarbij het wiel langs het plafond rolt. Boven: Het rollende wiel begint met het ventiel onder en rolt naar rechts. Midden: De parametervoorstelling (5.11) als functie van de rolhoek θ. Onder: De cycloïde als geparametriseerde kromme in het(x,y)-vlak. De vraag is nu wat het draadprofiel moet zijn opdat de oscillatie wèl isochroon is. Zoals gezegd zullen we zien dat de cycloïde dit probleem oplost en zal ons bewijs hiervoor op bovenstaande beschouwingen over de harmonische oscillator berusten.

84 5.2 Intermezzo: cycloïde en booglengte Intermezzo: cycloïde en booglengte De cycloïde is een kromme die ontstaat door een wiel in een gegeven vlak te rollen langs een rechte lijn, daarbij een punt op de rand volgend [1], p Laten we het wiel onderlangs een horizontale lijn rollen als in Figuur 5.3. Als het wiel straal heeft dan krijgen we bij geschikt gekozen coördinaten (x,y) de parametervoorstelling x(θ) = (θ+sinθ), y(θ) = (1 cosθ). (5.11) We gebruiken hiervoor enige vlakke meetkunde en beschouwen een een taartpunt met openingshoek θ als in de middelste afbeelding. We refereren aan en θ als radius en rolhoek van deze cycloïde. Zoals we in Hoofdstuk 4 na Stelling 4.1 zagen, heeft Bernoulli s brachistochrone cycloïde rolhoekθ = 2α en radius = 1/(4S 2 g). De cycloïde blijkt rectificeerbaar te zijn in de zin dat de booglengte uitgedrukt kan worden in termen van elementaire functies. Inderdaad, als s = s(θ) de booglengte is, gemeten vanaf het onderste puntθ = 0, dan geldt met de stelling van Pythagoras ds = (dx ) 2 + dθ ( ) 2 dy dθ = dθ = 2 1+cosθ dθ = 2 cos( 1 2θ) dθ. Merk hierbij op dat voor π < θ < π geldt dat cos( 1 2θ) > 0. Primitiveren leidt vervolgens tot s(θ) = 4 sin( 1 2θ), (5.12) op te vatten als booglengte met teken. 5.3 Dynamica langs de cycloïde Hier zal worden aangetoond dat de kraal die wrijvingsloos langs een cycloïdaal draadprofiel beweegt inderdaad harmonische oscillaties uitvoert. De positie van de kraal op de cycloïde geven we vanaf nu aan met de booglengteparameter s = s(θ), zie (5.12). Hier wordt het idee gebruikt van de potentiële energie (5.2) evenredig is met de verticale hoogte van de kraal. 9 Als de kraal zich in het punt (x(θ),y(θ)) van de 9 Denk aan de bekende formule mgh voor de potentiele energie van een massa m op hoogte h in een constant zwaartekrachtveld met versnelling g.

85 74 De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme cycloïde (5.11) bevindt dan is de verticale hoogtey(θ), die als volgt afhangt van de booglengte s(θ) : ( ) θ y(θ) = 2 sin 2 = (s(θ))2. (5.13) Heeft de kraal massa m, dan wordt de potentiële energie gegeven door V(s) = mg 8 s2, (5.14) waarbij g de versnelling van de zwaartekracht is. Dat betekent dat de bewegingsvergelijking (5.1) van de kraal in termen van de positievariabele s gegeven wordt door s = 4 s. g (5.15) Hierin herkennen we de harmonische oscillator (5.3) met frequentie ω = g 4, (5.16) vergelijk (5.10), waarbij l = 4. Dit bewijst dat de cycloïde isochroon is; voor de periode van oscillatie geldt immers onafhankelijk van de amplitudo Opmerkingen. P = 4π g, - Een schets van het bewijs van Huygens [55] betreffende de isochronie is te vinden in Aarts [4]. - De cycloïde is ook de tautochrone kromme: vanuit elke hoogtey is de valtijd naar het niveauy = 0 immers gelijk aan T = 2π g, 0 y 2. Inderdaad is zo n valbeweging niets anders dan een halve oscillatie.

86 5.4 Een historisch uitstapje 75 Poolster W Noordpool breedte Evenaar Figuur 5.4: De Noorderbreedte is gelijk aan de hoogte van de Poolster boven de horizon. 5.4 Een historisch uitstapje In de 17e eeuw was een van de problemen in de scheepvaart dat van de geografische positiebepaling op zee. In een tijd zonder satelliet-plaatsbepalingssysteem (Global Positioning System GPS) gebeurde dat nog door, gewapend met een sextant en tabellen, de sterrenhemel te bestuderen. De noorderbreedte was daarbij geen probleem: de hoogte van de Poolster boven de horizon komt goed overeen met de noorderbreedte, zie Figuur De geografische lengte kan berekend worden uit het verschil tussen de locale tijd, bepaald door het schieten van een zonnetje op 12:00 uur locale tijd en, bijvoorbeeld, de Greenwichtijd, die aan boord werd bijgehouden door een goedlopende klok. Het lengteverschil in graden krijgt men door tijdsverschil in uren met een factor 15 = 360/24 te vermenigvuldigen. In de tijd van Christiaan Huygens ( ) beschikte men nog slechts over slingeruurwerken en een groot probleem daarbij is de anisochronie: de slingertijd neemt toe met de amplitudo. 11 Dit betekent dat het slingeruurwerk niet geschikt is om de 10 Op het zuidelijk halfrond bestaat een soortgelijke constructie met behulp van het sterrenbeeld Zuiderkruis. 11 Nog afgezien van het gieren, slingeren en stampen van het schip op de golven en in de wind.

87 76 De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme Figuur 5.5: Christiaan Huygens ( ) door Bernard Vaillant, Museum Hofwijck, Voorburg. Greenwichtijd over langere tijd, zeg van weken of maanden, nauwkeurig bij te houden. Het probleem voor Huygens was of er een aangepaste vorm van de slinger bestond die wel isochroon is. Zijn idee was dat de klokkeslinger zich bij het ophangpunt afwikkelt langs wangen die de slingerlengte effectief verkorten en daarmee ook de slingertijd bij grotere amplitudo. De vraag is dan wat de vorm van deze wangen zou moeten zijn. Het antwoord op dit probleem vormt het hoofdonderwerp van Huygens magistrale Horologium Oscillatorium [55]. Dit antwoord maakt uitvoerig gebruik van de eigenschappen van de cycloïde. Eén daarvan is, zoals we al zagen, de isochronie, en de toegespitste vraag is nu of de wangen zo ontworpen kunnen worden dat de slingermassa een cycloïde doorloopt in plaats van een cirkel. Het antwoord is dat de wangen dan ook een cycloïdale vorm moeten hebben: in feite zijn het de segmenten van eentje die congruent is met de te doorlopen cycloïde. Zie de Figuren 5.6 en 5.7.

88 5.5 Evoluut en involuut 77 De lengtebepaling op zee was een maatschappelijk probleem van groot belang in een tijd zonder Global Positioning System (GPS). Gewapend met een sextant en tabellen bestudeerden de zeelui de sterrenhemel en werden zonnetjes geschoten; dat laatste op 12:00 locale tijd als de zon het hoogst staat. Ook werden sterbedekkingen door de maan geobserveerd. Hierover is veel gezegd, onder meer in de Max Havelaar [32] door Batavus Droogstoppel naar aanleiding van het opstel Over de lengte op zee in Sjaalman s pak. Hij merkt daarbij op Ik denk dat op zee alles wel even lang zal wezen als op t land. Zie voor meer serieuze informatie [84] en [92], ook voor een uitvoerig historisch overzicht. Opmerkingen. - In verschillende Nederlandse musea, zoals Hofwijck (Voorburg), Teylers (Haarlem) en Boerhaave (Leiden), maar ook in de Royal Museums Greenwich, zijn slingeruurwerken te zien met cycloïdale wangen nabij het ophangpunt. Naar verluidt heeft Huygens dit soort uurwerken ook aan schippers meegegeven om uit te proberen tijdens hun zeereizen. - Bij de opkomst van uurwerken met een spiraalveer, die veel harmonischer en dus isochroner trilt, verdampte de noodzaak slingeruurwerken isochroon te maken. Deze veren hadden ook minder hinder van de oscillerende bewegingen van het schip. De achterliggende wiskunde van Huygens en haar erfenis is echter nog steeds interessant. Hieronder worden deze gedachten nader toegelicht. In feite vormt dit een eerste uitweiding van dit boek in de richting van differentiaalmeetkunde: we zullen hierbij de begrippen evoluut en involuut ontmoeten. 5.5 Evoluut en involuut De constructie uit de vorige sectie heeft alles te maken met de begrippen evoluut en involuut, die we hieronder zullen bespreken. Vergelijk onder meer Do Carmo [30]. Definities. De algemene constructie gaat uit van een geparametriseerde kromme C = C(θ), maar het helpt om hierbij te denken aan de cycloïde (5.11) en alvast stiekem te kijken naar Figuur 5.7. De evoluut E van C is nu de verzameling 12 van de krommingsmiddelpunten van C. Het krommingsmiddelpunt E(θ) van een punt 12 Klassiek spreekt men wel van meetkundige plaats.

89 78 De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme Figuur 5.6: De cycloïden volgens Huygens [55]. C(θ) is het middelpunt van de cirkel die in dat punt het best raakt aanc, 13 de zogenaamde osculerende cirkel. De straal van de osculerende cirkel is de kromtestraal inc(θ) en de kromming inc(θ) is juist de (multiplicatieve) inverse van deze krom- 13 Dat betekent dat in C(θ) de nulde, eerste en tweede afgeleiden van de cirkel met die van C overeenkomen.

90 5.5 Evoluut en involuut 79 testraal. Uit deze constructie volgt dat E de omhullende is van de normaalbundel vanc; we zeggen datc een evoluut is vane. Men spreekt hier ook wel, letterlijker vertaald, van afwikkelkromme. Omgekeerd ise een involuut vanc, gedefinieerd op de volgende manier. Gegeven een eindpunt van de kromme E. Beschouw dan voor elk punt P op E de raaklijn door P aan E. De punten Q op deze raaklijnen, zodanig dat de afstand P Q gelijk is aan de booglengte vanp tot het gegeven eindpunt, vormen dan een evoluut C. Algemeen is E involuut van C als C een evoluut is van E met betrekking tot een of ander eindpunt. Vergelijk [2, 3, 5]. Verificatie van de definities. Kijk met mij nog even naar de cycloïde (5.11) die we nu de naamc = C(θ) geven: x C (θ) = θ+sinθ,y C (θ) = 1 cosθ en waarbij gemakshalve de eenheden zo gekozen zijn dat = 1. We beschouwen ook de kromme E = E(θ), geparametriseerd als en eenvoudig te herschrijven tot x E (θ) = π +(θ π)+sin(θ π) (5.17) y E (θ) = 2+y C (θ π), x E (θ) = θ sinθ, y E (θ) = 3+cosθ. In beide gevallen is het parameterdomein θ π. Inspectie van deze formules leert al snel date enc twee congruente cycloïden zijn, zie Figuur 5.7. Hieronder wordt aangetoond date de evoluut is vanc enc een involuut vane. Beschouw hiertoe het lijnstuk K(θ) dat de koorde vormt tussen C(θ) en E(θ). Schrijf de lengte ervan als k(θ) = K(θ), zie nogmaals Figuur 5.7. Neem als eindpunt vane het meest nabije uiteindeθ = ±π en laatb(θ) de booglengte vane zijn, gemeten vane(θ) tot dit eindpunt. Propositie 5.1 (Evoluut en involuut). Voor θ π geldt datk(θ) raakt aane en loodrecht staat opc. Verder is k(θ) = b(θ). Bewijs. Het bewijs is een kwestie van rustig narekenen. Enerzijds geldt ( ) 2sinθ K(θ) = C(θ) E(θ) = = 2 2cosθ ( 4sin( 1 2 θ) cos(1 2 θ) ) ( sin( 4cos 2 ( 1 2 θ) = 4cos( 1 2 θ) 1 2 θ) ) cos( 1 2 θ),

91 80 De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme 4 3 E(θ) y 2 K(θ) 1 C(θ) 0 π 0 π x 4 3 E(θ) y 2 1 C(θ) 0 π 0 π x Figuur 5.7: De cycloïden E en C verhouden zich ten opzichte van elkaar als involuut en evoluut.

92 5.6 Scholium 81 en anderzijds geldt voor de raakvector aane ine(θ) dat ( ) 1 cosθ E (θ) = = sinθ ( 2sin 2 ( 1 2 θ) ) ( sin( 2sin( 1 2 θ) cos(1 2 θ) = 2sin( 1 2 θ) 1 2 θ) cos( 1 2 θ) en je ziet dat inderdaad K(θ) evenwijdig is aan E (θ): de koorde raakt dus aan de kromme. Narekenen dat K(θ) loodrecht staat opc (θ) gaat volstrekt analoog. Tot slot verifiëren we nog datk(θ) = b(θ). Enerzijds geldt dat k(θ) = cosθ = 4cos( 1 2 θ) en anderzijds levert de booglengteformule (5.12) b(θ) = 4sin 1 2 (θ+π) = 4cos(1 2 θ), ), hetgeen ook in dit geval dezelfde antwoorden geeft. 5.6 Scholium Huygens idee zal inmiddels duidelijk zijn uit de Figuren 5.6 en 5.7. Ophangpunt van het slingerkoord is de cusp in E en het koord wikkelt af langs de cycloïdale wangen E, loslatend volgens de raaklijn K. De slingermassa volgt dan de kromme C. Voor een bloemrijke beschrijving zie Bottema [23] p. 66:,,Hij (Huygens HWB) liet daarbij het punt P op zeer vernuftige wijze een cycloïdale boog doorlopen, namelijk door een meetkundige eigenschap toe te passen: de ontwondene (of evolvente) van een cycloïde is zelf een cycloïde. Hij gebruikte... een gewone mathematische slinger, die echter niet vrij heen en weer ging maar waarvan het koord zich vlijde langs aan weerszijden geplaatste materiële cycloïdale bogen. Een vraag die al snel bij de lezer opkomt is hoe Huygens [55] dit zelf allemaal gevonden heeft zonder kennis van de calculus. Voor opheldering hierover zie Aarts et al. [3 6] en ook Yoder [94]. Voor algemene informatie verwijzen we graag naar Andriesse [9].

93 82 De cycloïde als isochrone en tautochrone kromme Opmerkingen. - DatK(θ) loodrecht staat opc heeft alles te maken met het feit dat afwikkelen rond het punt E(θ) een instantane rotatie inhoudt. Deze loodrechtheid betekent verder nog dat de slingerbeweging exact dezelfde is als die van de kraal uit 5.3, de door het koord geleverde kracht verricht immers geen arbeid [10] Lagrange [60] heeft de isochrone kromme op een meer systematische manier gevonden via een differentiaalvergelijking. Ook hij is hierbij op zoek naar de harmonische oscillator. - DatE tevens de omhullende is van de normalenbundel van de krommec, zie Figuur 5.7, heeft ook een optische interpretatie, waarbijc een lichtbron is en E een door de lichtstralen gevormde caustiek. Zie ook Deel II, Hoofdstuk Eenzelfde opmerking geldt voor de cirkelbeweging van de gewone slinger

94 Deel II Lichtstralen als geodeten

95

96 Hoofdstuk 6 Principes van Fermat en Hamilton Deel I van dit boek, met name de wiskundige kern in Hoofdstuk 2, berust merendeels op differentiaal- en integraalrekening en op enige Euclidische meetkunde. In het voorliggende deel II wordt dieper ingegaan op de wiskundige achtergrond van de geometrische optica. Dit betreft een aantal elementen uit de 18e en 19e eeuwse theorie van de variatierekening en differentiaalmeetkunde. Deze verdieping geeft ons gereedschappen om de optische verschijnselen in de atmosfeer beter te kunnen duiden. We beginnen met een differentiaalmeetkundige opzet, waarbij de lichtstralen de geodeten volgen; dit blijkt een geschikte, elegante vertaling te vormen van het Principe van Fermat. Hierbij wordt het minimaliseren van de tijd omgezet in het minimaliseren van een bepaald soort afstand, uit te drukken in termen van een Riemannse 1 metriek. Hierop kunnen we de variatierekening van Euler 2 en Lagrange 3 toepassen, zoals die een vervolg is op eerder werk van, onder meer, de Bernoulli s, vergelijk 4.1, en Leibniz. Dit geeft aanleiding tot differentiaalvergelijkingen voor de geodeten, de zogeheten eikonaal-vergelijkingen van de geometrische optica. De vertaling van het Principe van Fermat in termen van variatierekening werd ontwikkeld door Hamilton. 4 Men spreekt hier dan ook van het Principe van Hamilton. 6.1 Van Fermat via Euler-Lagrange naar Hamilton Voor een gegeven gladde krommeτ q(τ) in het vlak of in de ruimte geven we de snelheidsvector q door q = dq/dτ. Als deze kromme een lichtstraal parametriseert in een isotroop medium, dan is de brekingsindex n(q) welgedefinieerd. Met de 1 Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) 2 Leonhard Euler ( ) 3 Joseph Louis Lagrange ( ) 4 Sir William Rowan Hamilton ( )

97 86 Principes van Fermat en Hamilton Kettingregel volgt dq dt = dτ dq dt dτ. Hierin stelt t de tijd voor. Gebruiken we nu dat dq(t)/dt = 1/n(q(t)), dan volgt dt = n(q) q dτ. (6.1) Fermat s Principe zegt dat voor τ 1 < τ 2, waarbij A = q(τ 1 ) en B = q(τ 2 ) vast zijn, de integraal τ2 τ2 dt = n(q(τ)) q(τ) dτ τ 1 τ 1 minimaal (of tenminste extremaal) is onder kleine variaties van de krommeq. Omdat het hier niet handig is te moeten rekenen met vierkants-wortels, optimaliseren we liever de integraal τ2 1 I(q) = 2 n2 (q(τ)) q(τ) 2 dτ (6.2) τ 1 als functie van de kromme q; dit komt lokaal op hetzelfde neer. De integrand van (6.2) L(q, q) = 1 2 n2 (q) q 2 (6.3) wordt de Lagrangiaan van dit optimaliseringsprobleem genoemd; deze stelt tevens de (kinetische) energie voor van de onderhavige beweging. De herformulering van Fermat s Principe zegt dat lichtstralen de integraal (6.2) optimaliseren. Dit laatste staat ook bekend als het Principe van Hamilton [47]. Opmerkingen. - Hierbij moet meteen opgemerkt dat Hamilton s Principe niet alleen de optica betreft, maar zich over vrijwel de gehele klassieke mechanica uitstrekt [48, 49]. Vergelijk ook, bijvoorbeeld, [10, 22, 43, 62]. - Het Variatie Principe of Principe van de Minste Actie strekt zich nog veel verder over de theoretische natuurkunde uit, zie bijvoorbeeld [63]. Ook beroept men zich bij optimaliseringsproblemen in de econometrie en in de ingenieurswetenschappen op soortgelijke principes. Een verdere extensie van deze theorie wordt gevormd door Optimal Control, zoals later ontwikkeld door Pontryagin en Bellman, zie Kirk [58]. Voor een historisch perspectief zie Sussmann en Willems [88]. Algemeen wordt de context verruimd met partiële differentiaalvergelijkingen. - In het geval van de Lagrangiaan (6.3) is het extremum van de functionaal (6.2) een minimum, zolang τ 2 τ 1 voldoende klein is. Vergelijk opmerkingen na de Stellingen 2.1 en 2.4. Voor een algemene discussie over grootschaliger problemen zie [42, 81].

98 6.1 Van Fermat via Euler-Lagrange naar Hamilton 87 Figuur 6.1: William Hamilton ( ) en Bernhard Riemann ( ) Lichtstralen zijn geodeten In de formule dt = n(q) q dτ, zie (6.1), wordt een omzetting gemaakt van tijd in termen van afstand, als reeds aangekondigd in de Leeswijzer van Hoofdstuk 1. Deze gedachte kan verder uitgewerkt worden door een Riemannse metriek G in te voeren. Dat is een q afhankelijk inwendig product op de raakruimte die als volgt aangrijpt inq: G q ( q 1, q 2 ) = n 2 (q) q 1, q 2, (6.4) waarin q 1, q 2 het standaard (Euclidisch) inwendig product is van de raakvectoren q 1 en q 2. Hieruit blijkt dat L(q, q) = 1 2 G q q, q, (6.5) vergelijk (6.3). Hieruit volgt dat de lichtstralen verkregen door het Principe van Hamilton juist de geodeten zijn van de Riemannse metriek G. Zie voor algemene referenties over differentiaalmeetkunde [30, 79, 85]. Dit levert een moderne ingang tot de geometrische optica [13, 46]. In Hoofdstuk 8 zal de geometrische optica van de atmosfeer van de ronde aarde met rotatie-symmetrie uitvoerig worden besproken in termen van de differentiaalmeetkunde van een omwentelingsoppervlak in de drie-dimensionale ruimte. Hiervoor zal echter nodig blijken dat het brekingsindex-profiel n = n(r) monotoon afneemt met r.

99 88 Principes van Fermat en Hamilton Opmerkingen. - Zoals gezegd is het extremum van I in het geval dat L de vorm (6.3) heeft, lokaal een minimum, dus als τ 2 τ 1 voldoende klein is. Dit is een algemeen probleem in de differentiaalmeetkunde. - Een bekend voorbeeld van dit laatste betreft de standaard 2 sfeer S 2, waarop de geodeten grote cirkels zijn, dus waarvan het middelpunt tevens het middelpunt van de sfeer is. Nemen we als na Stelling 2.4 een tweetal puntenaenb, waabij B langs zo n grote cirkel van A wegbeweegt, dan is de verbindende cirkelboog minimaal zolang B nog niet het antipodale punt van A bereikt heeft. Daarna wordt de andere boog langs dezelfde grote cirkel de kortste verbinding. Men zegt dat A en zijn antipodale punt geconjugeerd zijn, hetgeen zoveel zegt als dat de geodeten die in A beginnen samenkomen in B. Zie de referenties hierboven Euler en Lagrange We vatten kort enige centrale elementen samen uit de variatierekening, voor details verwijzend naar [10, 43] en de bijbehorende bibliografieën. Eerst formuleren we zonder bewijs de volgende stelling. Stelling 6.1 (Euler Lagrange [36,61]). Neem aan dat n = n(q) een gladde functie is. Dan geldt dat een kromme τ R q(τ) R 2 voldoet aan de Euler Lagrange vergelijkingen d L = L (6.6) dτ q 1 q 1 d L = L dτ q 2 q 2 dan en slechts dan als de integraali in (6.2) optimaal is onder kleine variaties van de kromme q, waarbij de eindpunten q(τ 1 ) enq(τ 2 ) worden vastgehouden. Leonhard Euler promoveerde in 1726 bij Johann Bernoulli op het proefschrift Dissertatio physica de sono. De promotie vond in Bazel plaats. Bron: Mathematics Genealogy Project, Dept of Mathematics, North Dakota University

100 6.1 Van Fermat via Euler-Lagrange naar Hamilton 89 Opmerkingen. - Om te illustreren hoe dit werkt geven we een korte indruk van de Euler Lagrange vergelijkingen (6.6) in de optische setting van het (x, y) vlak met brekingsindex-profiel n = n(y). We nemen dus in bovenstaande (q 1,q 2 ) = (x, y). Voor het berekenen van de partiële afgeleiden van de Lagrangiaan L(x,y,ẋ,ẏ) = 1 2 n2 (y)((ẋ) 2 +(ẏ) 2 ) moeten we x,y,ẋ en ẏ als onafhankelijke variabelen opvatten. Dit leidt tot en L x waarinn = dn/dy. = 0, L y = n(y)n (y) ( (ẋ) 2 +(ẏ) 2) L ẋ = n2 (y)ẋ, L ẏ = n2 (y)ẏ, Substitutie van deze uitdrukkingen in (6.6) geeft een systeem van twee tweedeorde differentiaalvergelijkingen d ( n 2 (y)ẋ ) = 0 (6.7) dτ d ( n 2 (y)ẏ ) = n(y)n (y) ( (ẋ) 2 +(ẋ) 2), dτ waarbij nuẋ = dx/dτ enẏ = dy/dτ. - Daadwerkelijk uitvoeren van de differentiaties in (6.7) leidt al snel tot tamelijk halsbrekende toeren. Aanstonds zullen we zien hoe Hamilton s aanpak de situatie aanzienlijk vereenvoudigt. Hierbij worden beide tweede-orde differentiaalvergelijkingen op ingenieuze wijze vervangen door twee eerste-orde vergelijkingen. Eén conclusie kunnen we nu alvast trekken, namelijk dat de uitdrukkingn(y)ẋ in (6.7) een behouden grootheid is. Ook hierop komen we uitvoerig terug Via Legendre naar Hamilton Vanaf hier is er een mooie overstap te maken naar het canonieke formalisme van Hamilton via de Legendre transformatie 5. 5 Adrien-Marie Legendre ( )

101 90 Principes van Fermat en Hamilton Stelling 6.2 (Hamilton [10,43] ). Beschouw de Legendre transformatiel : R 4 R 4 L : (q1,q2, q1, q2) (q1,q2,p1,p2), waarbij (6.8) waarbij j = 1,2. L is inverteerbaar en de Hamiltoniaan heeft de vorm p j = L q j = n 2 (q) q j, H : R 4 R, meth(p,q) = L L 1 (q,p) = L ( ) p q, n 2 (q) (6.9) H(p,q) = 1 2n 2 (q) p 2. (6.10) De oplossingen van de Euler-Lagrange vergelijkingen (6.6) corresponderen hierbij met die van de canonieke vergelijkingen waarbij j = 1,2. H q j = (6.11) p j ṗ j = H, q j Bewijs. Uit (6.8) volgt direct dat in de inverse transformatie L 1 geldt q j = 1 n 2 (q) p j, j = 1, 2. We gebruiken verder algemene theorie [10, 43] die allereerst het format (6.9) oplevert, hetgeen met formule (6.3) voor de Lagrangiaan L door directe berekening leidt tot (6.10). Merk verder op dat de Euler Lagrange vergelijkingen (6.6) met definitie (6.8) equivalent zijn aan het stelsel waarbij j = 1,2. Opmerkingen. ṗ j = L q j - De canonieke vergelijkingen (6.11) worden ook vaak aangeduid als Hamilton Jacobi vergelijkingen. 6 6 Carl Gustav Jacobi ( )

102 6.1 Van Fermat via Euler-Lagrange naar Hamilton 91 - In een latere, meer meetkundige opzet is L een transformatie van de raakbundel naar de co-raakbundel van de configuratie-ruimte met variabelen q j, corresponderend met de posities van de lichtstralen. Op de achtergrond van Stelling 6.2 is van belang dat de Lagrangiaan L in de raakruimte aan q in de raakruimte met variabelen q j een positief definiete kwadratische vorm is Algemene opmerkingen Aan het slot van deze sectie volgen nu enkele algemene opmerkingen betreffende de systemen (6.6) en (6.11) en hun toepassingen in de geometrische optica. We zullen in het vervolg naar believen tussen deze equivalente formuleringen heen en weer gaan. Als gezegd stelt L, en dus ook H, de totale energie voor van de systemen (6.6) en (6.11). Stelling 6.3 (Behoud van Energie). In de omstandigheden van Stelling 6.2 geldt dat langs een integraalkromme τ (q(τ), q(τ)), en, equivalent hiermee, τ (q(τ), p(τ)), de energie constant is. L(q(s), q(τ)) H(q(τ),p(τ)) (6.12) Bewijs. We gebruiken vectoriële notatie. Voor de richtingsafgeleide functie H langs het vectorveld (6.11) geldt Ḣ = H H ṗ+ p = H p 0, q q H q + H q H p Ḣ van de waaruit het gestelde volgt. Voor een gegeven waarde E kan behoud van energie worden opgeschreven als Merk op dat dit met (6.4) juist betekent dat L(q(τ), q(τ)) E H(q(τ),p(τ)). (6.13) q, q G = 2E. (6.14) In het geval dat 2E = 1 zeggen we dat de geodeet geparametriseerd is volgens booglengte.

103 92 Principes van Fermat en Hamilton Opmerkingen. - Bij een gegeven brekingsindex-profiel n = n(q) bepalen de differentiaalvergelijkingen (6.6), of equivalent (6.11), toegespitst op Lagrangiaan (6.3) en Hamiltoniaan (6.10) 7 de stralenbundels op eenduidige wijze. Vergelijk Stelling Zonder veel moeite kan q hierbij een drie-dimensionale positievariabele q = (q 1,q 2,q 3 ) zijn. De wezenlijke formules (6.3) en (6.10) en de bijbehorende differentiaalvergelijkingen zouden hierdoor, zeker in hun huidige vectoriële gedaante, niet veranderen. Op deze manier krijgen we algemene toegang tot geometrische optica, zonder de beperking tot een verticaal vlak [12, 38, 46]. - De differentiaalvergelijkingen (6.6) en (6.11) geven ook de mogelijkheid, bij een gegeven brekingsindex-profiel, de stralenbundels numeriek te benaderen. Zoals reeds opgemerkt in Hoofdstuk 3 is ook het inverse probleem zeer interessant: hoe bij bepaalde waarnemingen een geschikte brekingsindex-verdeling te bepalen. Vergelijk, onder meer, [65, 92]. 6.2 Principe van Noether: Behoudswetten door symmetrie Een redelijk algemene manier om behouden grootheden te krijgen verloopt als volgt. Eén van de variabelen in q = (q 1,q 2 ), zeg q 1, komt niet expliciet voor in de uitdrukking voor de Lagrangiaan L, zie (6.3). We zeggen dat q 1 een cyclische variabele is. Dit is een speciale manier waarop het Principe van Noether werkt; het systeem is symmetrisch onder translaties in de q 1 richting. Hieruit volgt dat L q 1 0, (6.15) hetgeen via (6.6) leidt tot d L 0. ds q 1 We zien hieruit dat p 1 = L (6.16) q 1 een behouden grootheid is. Ook in de Hamiltoniaanse formulering is bovenstaand verband goed te zien. Als in (6.11) geldt ṗ 1 = H q 1 0, (6.17) 7 Ook wel de eikonaal-vergelijkingen van de geometrische optica geheten.

104 6.2 Principe van Noether: Behoudswetten door symmetrie 93 dan volgt meteen hetzelfde resultaat, namelijk dat p 1 behouden wordt. Als gezegd hebben we in onze toepassingen voor de platte aarde q 1 = x,q 2 = y en voor de ronde aarde q 1 = ϕ,q 2 = r. Amalie Emmy Noether ( ) was een vrouwelijke wiskundige, die onder meer beroemd is geworden door de ontdekking dat er in de context van de differentiaalvergelijkingen (6.6) en (6.11) een prachtig verband is tussen symmetrieën en behoudswetten. In de eenvoudigste formulering geldt voor een behouden grootheid F dat deze een vectorveld X F = F p q F q genereert. Deze notatie kort het format (6.11) af, waarbij H vervangen is door F. De oplossingsstroming (flow) vormt nu een symmetriegroep van de differentiaalvergelijkingen (6.6) en (6.11), die zo dus infinitesimaal gegenereerd wordt door F. Omgekeerd kan men nu bij een gegeven symmetriegroep zoeken naar een infinitesimale generator, die dan meteen een behouden grootheid vormt. Het Principe van Noether is een stelling die garandeert dat dit onder vrij algemene omstandigheden goed gaat. Voor een tekstboek-weergave hiervan, zie [10]. p Atmosfeer van de platte aarde We maken bovenstaande expliciet voor de atmosfeer van de platte aarde. In dit geval geldt q = (x,y) en we hebben te maken met een brekingsindex-profiel n = n(y). Volgens (6.3) krijgen we nu L(q, q) = 1 2 q, q G = 1 2 n2 (y) ( ẋ 2 +ẏ 2) (6.18) en we zien inderdaad datxeen cyclische variabele is en dat dus p x = n 2 (y)ẋ (6.19) een behouden grootheid is. Vergelijk ook het voorbeeld in Indachtig het klassiek mechanisch analogon [10, 43] noemen we p x de impuls. Introduceren we ook p y = n 2 (y)ẏ volgens (6.8), dan levert expliciet uitschrijven van de formules (6.10) voor dit geval H(p,q) = 1 2n 2 (y) (p2 x +p 2 y). (6.20)

105 94 Principes van Fermat en Hamilton De bijbehorende canonieke vergelijkingen (6.11) luiden ẋ = H p x, ẏ = H p y, ṗ x = H x ṗ y = H y (6.21) en omdat H niet van x afhangt volgt dus ook op deze manier nogmaals dat p x een behouden grootheid is: ṗ x = H x = 0. Hero Snellius andermaal. We zien dat zowel de energie H = E als de impuls p x = I behouden worden langs de lichtstraal. Met behulp van de beide constanten E eni definiëren we gemakkelijk een derde behouden grootheid S(x,y,ẋ,ẏ) = I 2E (x,y,ẋ,ẏ) (6.22) en zien dan meteen dat ẋ S(x,y,ẋ,ẏ) = n(y) ẋ2 = n(y)sinα(ẋ,ẏ), (6.23) +ẏ2 waarbij α de inclinatie van de snelheidsvector q met de verticaal aangeeft. Vergelijk Figuur 2.1 en het bewijs van Stelling 2.1. Dit is juist de behoudswet (2.8), die we al eerder met elementaire middelen vonden, en de resultaten die we hier vinden zijn dan ook volledig in overeenstemming met die van Stelling Atmosfeer van de ronde aarde Voor de atmosfeer van de ronde aarde hebben we q = (ϕ,r) en n = n(r). Volgens (6.3) krijgen we nu L(q, q) = 1 2 q, q G = 1 2 n2 (r) ( r 2 ϕ 2 +ṙ 2), (6.24) waarbij rekening gehouden is met het feit dat ϕ een hoek is. Dat wil zeggen dat infinitesimale afstanden in de ϕ richting de vorm rdϕ = r ϕdt hebben. 8 Hierbij wordt ϕ in radialen gemeten. We concluderen hieruit dat ϕ inderdaad een cyclische variabele is en dat dus p ϕ = rn 2 (r) ϕ (6.25) 8 Wellicht ten overvloede zij opgemerkt dat de hoeken in radialen worden gemeten.

106 6.2 Principe van Noether: Behoudswetten door symmetrie 95 behouden wordt. We noemen p ϕ wel impulsmoment. Introduceren we verder p r = n 2 (r)ṙ, zie (6.8), dan krijgt de Hamiltoniaan (6.10) in dit geval de expliciete vorm H(p,q) = 1 2n 2 (r) (p2 ϕ +p 2 r). (6.26) De bijbehorende canonieke vergelijkingen (6.11) hebben nu de vorm ϕ = H p ϕ, ṙ = H p r, ṗ ϕ = H ϕ ṗ r = H r (6.27) en omdat H niet van ϕ afhangt volgt dus ook op deze manier nogmaals dat p ϕ een behouden grootheid is: ṗ ϕ = H ϕ = 0. Hero-Snellius ten derden male. In dit geval wordt zowel de energie H = E als het impulsmomentp ϕ = M behouden. Opnieuw definiëren we een derde behouden grootheid C(r,ϕ,ṙ, ϕ) = M (r,ϕ,ṙ, ϕ), (6.28) 2E en we zien eenvoudig in dat r 2 n 2 (r) ϕ C(r,ϕ,ṙ, ϕ) = n(r) (6.29) r 2 ϕ 2 +ṙ 2 r ϕ = rn(r) r2 ϕ 2 +ṙ 2 = rn(r)sinα(ṙ, ϕ), waarbij α de inclinatie van de snelheidsvector q met de radiële richting is. De redenering verloopt hier analoog aan die in en we hervinden ditmaal de behoudswet (2.13) die eerder in 2.3 werd afgeleid. Ook hier zijn de resultaten volledig in overeenstemming met die van Stelling 2.5.

107 96 Principes van Fermat en Hamilton Opmerkingen. - Vergelijk het behoud van impulsmoment zoals dat hier optreedt met het geval van het centraal krachtveld, waar deze behoudswet overeenkomt met Kepler s Perkenwet en waaraan historisch gesproken de term cyclische variabele is ontleend [10, 43]. - Energiebehoud kan ook gezien worden in termen van symmetrie en het Principe van Noether, namelijk door op te merken dat de Lagrangiaan L en de Hamiltoniaan H niet expliciet van de tijd τ afhangen. De symmetrie bestaat dan uit translaties in de τ richting. 6.3 Reductie van de symmetrie De translatie- en rotatiesymmetrieën zoals die optreden bij de platte en de ronde aarde geven de mogelijkheid de dynamica van de 4 dimensionale (p, q) ruimte te reduceren naar een vlak. Dit is analoog aan de reductie van de dynamica van het centrale krachtveld [10, 43]. We gaan hierbij uit van de formules (6.20) en (6.26), Stelling 6.4 (Reductie). Als de behoudswetten (6.19) en (6.25) geschreven worden als p x = I en p ϕ = M, (6.30) dan laten de Hamiltonianen (6.20) en (6.26) zich reduceren tot H I (y,p y ) = 1 2n 2 (y) p2 y +V I (y), met H M (r,p r ) = 1 2n 2 (r) p2 r +V M (r), met waarbij I enm als parameters optreden. V I (y) = I2 2n 2 (y) V M (r) = M2 2r 2 n 2 (r), (6.31) Bewijs. Zonder de algemeenheid te schaden beperken we ons tot het geval van de platte aarde. We schrijven de canonieke vergelijkingen (6.11) op voor het geval van de Hamiltoniaan (6.20). Deze vergelijkingen, die dus de canonieke vorm (6.21) hebben, laten zich verder uitwerken tot ẋ = 1 n 2 (y) p x, ṗ x = 0 (6.32) ẏ = 1 n 2 (y) p y, ṗ y = n (y) n 3 (y) (I2 +p 2 y), waarbij we in de laatste formule de substitutie p x = I toepasten.

108 6.3 Reductie van de symmetrie 97 We zien dat de laatste beide vergelijkingen onafhankelijk zijn van de eerste twee, dus dat de dynamica in de (y,p y ) richting, bij vaste p x = I, eerst afzonderlijk bestudeerd kan worden: dit is wat reductie van de translatiesymmetrie inhoudt. Verder zien we dat de gereduceerde vergelijkingen ẏ = 1 n 2 (y) p y, ṗ y = n (y) n 3 (y) (I2 +p 2 y) (6.33) precies het format hebben, waarbij ẏ = H I, ṗ y = H I p y y (6.34) H I (y,p y ) = 1 n 2 (y) p2 y +V I (y), met V I (y) = I2 2n 2 (y), hetgeen juist de eerste formule van (6.31) oplevert. Reductie van het canonieke systeem (6.27) tot de tweede formule van (6.31) gaat net zo. Deze beide systemen zijn, door gebruik te maken van de symmetrie, gereduceerd naar het (y,p y ), respectievelijk het (r,p r ) vlak. Merk hierbij op dat de integraalkrommen van (6.31) juist de niveaukrommen van de functies H I (of H M ) zijn. Dit maakt het relatief eenvoudig gereduceerde faseportretten te geven in het (y,p y ), respectievelijk het(r,p r ) vlak. We noemen V I en V M de effectieve potentialen van deze reducties, die bepaald worden door de brekingsindex-profielen n(y) en n(r). In de toekomst zullen we nog zien hoe de bijbehorende gereduceerde faseportretten een rol spelen bij de analyse van de optische problematiek. Opmerkingen. - Laten we eerst een test uitvoeren. In vacuo, waarbij n(y) 1, bestaat het faseportret van de eerste vergelijking uit (6.31) uit horizontale lijnen van het type p y = ± 2E I 2, waarbij E de waarde van de energie is. Nodige voorwaarde is dat E 1 2 I2. Langs deze lijnen beweegt het punt (y,p y ) zich met constante snelheid 2p y naar links of naar rechts. In de reconstructie geldt hetzelfde voor het punt (x,p x ) = (x,i) dat zich met snelheid I naar links of rechts beweegt. We hervinden, kortom, de rechte lijnen in vacuo. Analoog hervinden we voor constante n steeds de vertrouwde rechte lijnen.

109 98 Principes van Fermat en Hamilton V I (y) 0 y p y 0 y Figuur 6.2: Effectieve potentiaal en gereduceerd faseportret van het geodetisch probleem op het Poincaré bovenhalfvlak. Zie de tekst voor nadere toelichting. - In het algemeen zijn de integraalkrommen van de vorm vergelijk de eerste formule van (6.31). p y = ± 2n 2 (y)e I 2, Voorbeeld 6.1 (Het Poincaré bovenhalfvlak revisited). Om een indruk te krijgen hoe dit werkt beschouwen we nogmaals het Poincaré bovenhalfvlak y > 0 uit Voorbeeld 2.1. Dit betreft de atmosfeer van de platte aarde met brekingsindex-profiel n(y) = 1/y 2. Hieruit volgt meteen met (6.18) en (6.20) dat L(x,y,ẋ,ẏ) = 1 2y 4(ẋ2 +ẏ 2 ) en H(x,y,p x,p y ) = 1 2 y4 (p 2 x +p 2 y), waarbij de impuls (6.19) p x = 1 y 4 ẋ

110 6.4 Scholium 99 de behouden grootheid is. Stellen we als boven p x = I dan is volgens de eerste formule van (6.31) H I (y,p y ) = 1 2 y4 p 2 y +V I (y), waarin V I (y) = 1 2 I2 y 4. Zie Figuur 6.2 voor een gereduceerd faseportret. Samen met Figuur 2.8 geeft dit een kwalitatieve (meetkundige) indruk van de dynamica in de 4 dimensionale (x,y,p x,p y ) faseruimte. Aan het eind van Hoofstuk 7 komen we op dit geheel nog terug. 6.4 Scholium Het eerder 9 aangekondigde extra technische gereedschap om informatie over de brekingsindex-profielen n = n(y) en n = n(r) zichtbaar te maken, wordt gevormd door de effectieve potentialen V I (y) = I2 2n 2 (y) en V M (r) = M2 2r 2 n 2 (r). Deze voeren ons van gereduceerde faseportretten naar gezichtsstralen-geodeten. Hierbij kunnen we naar hartelust gebruikmaken van de behouden grootheden S en C, de inclinaties met de verticale richting. In beide gevallen is de configuratieruimte zeer voorstelbaar: dit is juist het(x,y) vlak of het(r,ϕ) vlak. Men gelieve hierbij ook aan de Stellingen 2.3 en 2.5 te denken. Toepassingen. Als aangekondigd gaan we deze methoden in Hoofdstuk 7 toepassen op Bernoulli s brachistochrone probleem, dit ter aanvulling op Hoofdstuk 4. Hier zal het brekingsindex-profieln(y) = 1/ 2gy,y < 0 een rol spelen, ontstaan door behoud van energie in het constante zwaartekrachtveld met versnelling g. In Hoofdstuk 8 voeren we het huidige programma uit voor de ronde aarde en in het geval van isometrische inbedbaarheid als omwentelingsoppervlak in R 3. Hierbij moet natuurlijk nagegaan worden in hoeverre overeenstemming heerst van de huidige resultaten met die van Hoofdstuk 8 en welke extra gevallen er hier zijn, bijvoorbeeld, voor niet-monotone brekingsindex-profielen n = n(r). Integreerbare systemen. De geometrische optica in de atmosferen van de platte en ronde aarde leidt tot canonieke vergelijkingen die volledig integreerbaar zijn door hun symmetrieën en bijbehorende behoudswetten. Ook het centraal krachtveld en daarmee het tweelichamenprobleem en het geodetisch probleem op een 9 Zie het Scholium van Hoofdstuk 3

111 100 Principes van Fermat en Hamilton omwentelingsoppervlak zijn voorbeelden van zulke integreerbare systemen. Het blijkt dat ook het geodetisch probleem op een willekeurige ellipsoïde integreerbaar is en in hogere dimensie vinden we voorbeelden in de Lagrange tol en de Euler tol, vergelijk [10,43]. In al deze gevallen is reductie mogelijk tot een systeem als (6.31) dat op een vlak gedefinieerd is. In feite was dit juist de klassieke strategie: zoek de behoudswetten en reduceer het aantal dimensies. Het heeft tot het einde van de 19e eeuw geduurd voor Poincaré 10 inzag dat het drielichamenprobleem in het algemeen niet integreerbaar is. Voor kleine storingen van integreerbaar spreekt men vaak van bijna-integreerbaar. Inmiddels weet men dat de meeste canonieke systemen nietintegreerbaar zijn. Een vraag die rijst is wat hiervan de optische betekenis is. We zullen hier in Hoofdstuk 9 even op terugkomen. 10 Henri Poincaré ( )

112 Hoofdstuk 7 Nogmaals de brachistochroon We gaan Bernoulli s brachistochroon nogmaals te lijf, nu gewapend met de technologie van Hoofdstuk 6. Dit vormt een aardige illustratie van de theorie, maar geeft op zich ook een nieuwe kijk op het brachistochrone probleem. We gebruiken de geometrische optica van de atmosfeer van de platte aarde en reduceren deze volgens Stelling 6.4, gebruikmakend van de translatie-symmetrie en de bijbehorende cyclische variabele x. We kiezen de effectieve potentiaal dan volgens een brekingsindexprofiel n = n(y) gebaseerd op behoud van energie bij de valbeweging in het constante zwaartekrachtsveld. Deze reductie wordt vervolgens gereconstrueerd tot het volledige systeem, waarbij we de cycloïde op overzichtelijke wijze terugvinden. Deze methode lijkt als twee druppels water op die voor de beweging in een centraal krachtveld, waarbij de rotatie-symmetrie via Kepler s Perkenwet aanleiding geeft tot een soortgelijke reductie en waarbij een nadere specificatie tot de Newtoniaanse krachtwet dan vervolgens leidt tot de overige twee wetten van Kepler [10]. 7.1 Reductie van de translatie-symmetrie We zagen in 4.1 hoe in Johann Bernoulli s oplossing van het brachistochrone probleem de geometrische optica een rol speelt. In feite is de setting die van de platte aarde (x, y) waarbij het brekingsindex-profiel gekozen wordt volgens energiebehoud in een constant verticaal zwaartekrachtsveld (4.1) 1 2 v2 (y)+gy = 0, waarbij g de versnelling van de zwaartekracht is. Zie voor deze keus een opmerking na Stelling 4.1. Dit leidt tot het brekingsindex-profiel n(y) = 1 2gy, (7.1)

113 102 Nogmaals de brachistochroon waarbij y < 0. Dit leidt op zijn beurt tot een gereduceerde Hamiltoniaan als in (6.31) met effectieve potentiaal V I (y) = I2 2n 2 (y) = I2 gy. Hierin is I een reële parameter, die het gereduceerde probleem parametriseert. De vraag is nu wat het gereduceerde faseportret met de bijbehorende dynamica ons kan leren. Om te beginnen concluderen we dat 1 H I (y,p y ) = 2n 2 (y) p2 y +V I (y) (7.2) = 1 gy (p2 y +I 2 ) zodat het rotatiesymmetrische analogon van de canonieke vergelijkingen (6.33) de gedaante ẏ = 2gyp y (7.3) ṗ y = g(p 2 y +I 2 ) krijgt. Hiervan komen, zoals bekend, de integraalkrommen juist overeen met de niveaukrommen van H I. Merk op dat er voor I 0 geen evenwichten zijn. In dit geval kunnen we de niveau-vergelijking H I (y,p y ) = E rechtstreeks oplossen tot y = 1 g ( E p 2 y +I 2 ), (7.4) zie Figuur 7.1. We zien direct daty als functie vanp y minimaal is voor p y = 0 met waarde y = E gi 2. (7.5) De verticale rechte lijn y = 0 heeft in dit probleem een bijzondere betekenis. Om te beginnen geldt dat de uitdrukkingen (7.2) en (7.3) in een omgeving van deze lijn goed gedefinieerd zijn. De lijn zelf treedt daarbij op als een niveaukromme van H I voor de waarde E = 0. Uiteraard geldt dan ẏ = 0. Merk echter op dat de brekingsindex n volgens (7.1) hier niet gedefinieerd is, en hetzelfde geldt voor p y = ẏ/(2gy). Een beschrijving van het faseportret in Figuur 7.1 kan nu als volgt luiden. De y coördinaat van elke kraal-beweging neemt af van y = 0 tot y = E/(gI 2 ). In het begin is ẏ = 0 en p y =. Aan het eind is ẏ = 0 en p y = 0. Deze beweging vindt geheel plaats in het halfvlak p y < 0, terwijl voor p y > 0 in de y richting de omgekeerde beweging optreedt.

114 7.2 De cycloïde herondekt 103 V I (y) 0 y p y 0 y Figuur 7.1: Gereduceerd faseportret (7.3) bij Bernoulli s brachistochroon. 7.2 De cycloïde herondekt In het gereduceerde systeem (7.3) kunnen we de tijdsparametrisering van de integraalkrommen expliciet berekenen. Zo volgt uit de tweede vergelijking van (7.3), ṗ y = g(p 2 y +I 2 ), dat dτ = dp y g(p 2 y +I 2 ) = 1 du gi u 2 +1, via de substitutie p y = Iu. In deze vorm is een primitieve snel gevonden als τ = 1 gi arctanu = 1 ( gi arctan py ). I Alle integralen kunnen nu als volgt worden uitgedrukt in elementaire functies. Schrijven we immers p y in termen van de tijd τ als p y = Itan(gIτ), dan volgt dat y(τ) = E gi 2 cos2 (giτ). (7.6) Hierbij gebruiken we (7.4) waar voor τ = 0 de waarde p y = 0 genomen is. Voor τ = 0 bevinden we ons dus juist in het minimum (7.5) van de functie (7.4).

115 104 Nogmaals de brachistochroon 2 θ = π θ = π y θ = π/2 θ = π/2 0 π 0 π x Figuur 7.2: Nogmaals de cycloïde uit de Hoofdstukken 4 en 5, nu geldt voor de rolhoek θ = 2gIτ. We kunnen hieruit ook gemakkelijk de parametrisering van x in termen van τ halen. Uit (6.30) weten we dati = p x = n 2 (y)ẋ en dat dus Hieruit volgt met (7.1) dat en zo ẋ = 1 n 2 (y) p x = 1 n 2 (y) I. ẋ = 1 n 2 (y) I = 2Igy = 2E I cos2 (giτ) = E I (1+cos(2gIτ)) x = x 0 + E I ( τ + 1 ) 2gI sin(2giτ). Schrijven we bovenstaande formule (7.6) voor y ook nog even met de dubbele hoek, dan zien we in x = x 0 + E (2gIτ +sin(2giτ)) (7.7) 2gI2 y = E 2gI 2(1+cos(2gIτ)) de cycloïde (4.2) uit Stelling 4.1 in 4.1 in een andere gedaante terug. Opmerkingen. - Vergelijking van de formules (4.2) en (7.7) geeft dat E 2gI 2 = 1 4S 2 g,

116 7.3 Scholium 105 hetgeen gelukkig overeenstemt met de betrekking (6.22). Interessant is verder de evenredigheid giτ = α (7.8) tussen de parameter τ en de inclinatie α met de y richting. - Dit laatste is opmerkelijk in het licht van het slot van 6.4 in het Scholium van Hoofdstuk 6. Hier wordt betoogd dat lichtstralen geodeten zijn in een geschikte Riemannse metriek G. Uit definitie (6.4) volgt dat G q ( q, q) = n 2 (y) ( (ẋ) 2 +(ẏ) 2), waarbij q = (x, y) en q = (ẋ, ẏ). Volgens (7.1) is de brachistochroon dus een geodeet in de metriek met n 2 (y) = 1/(2gy). De evenredigheid (7.8) betreft dus de geodetische parameter τ en de inclinatie α, een relatie die volgens bovenstaande berekeningen alleen blijkt te gelden voor de brachistochrone metriek die hier aan de orde is. - De lezer wordt uitgenodigd de beschouwingen uit de huidige sectie aan te passen voor het geodetische probleem op het Poincaré bovenhalfvlak, zoals beschreven in de Voorbeelden 2.1 en 6.1 uit de de Hoofdstukken 2 en Scholium We besluiten dit hoofdstuk met een tweetal opmerkingen. Berekeningen in termen van elementaire functies. Bovenstaande expliciete afleiding van de cycloïde als brachistochrone kromme doet denken aan de manier waarop Newton s mathematische principes de Keplerse kegelsnede-banen van de beweging in het centraal krachtveld opleveren, vergelijk [10, 43]. Het is opmerkelijk te noemen hoeveel van de berekeningen van Huygens, Newton en Bernoulli zo volledig vallen binnen het raamwerk van elementaire functies. Hierbij mag worden aangemerkt dat reeds bij de beweging van de vlakke mathematische slinger de tijdsparametrisering een elliptische integraal met zich meebrengt. Een moderne oplossing van het brachistochrone probleem. Het brachistochrone probleem was een van de eerste uit de ontwikkeling van de variatierekening. Voor een overzicht van deze zeer interessante geschiedenis zie Goldstine [44]. Hierin spelen de Euler-Lagrange vergelijkingen een grote rol. Daarom laten we nu zien hoe het brachistochrone probleem er in dit format uitziet. Het is de vorm

117 106 Nogmaals de brachistochroon waarin hedendaagse wis- en natuurkundestudenten het veelal als vraagstuk zullen ontmoeten. We herhalen kort de probleemstelling uit Hoofdstuk 4. De brachistochrone kromme verbindt de puntenaenb in een verticaal vlak, waarin de constante zwaartekracht met versnelling g geldt. De brachistochrone kromme is het draadprofiel van een wrijvingsloos bewegende kraal is, zodanig dat de weg van A naar B in de kortst mogelijke tijd wordt doorlopen. Laat de gezochte kromme beschreven worden door een functie y = y(x) (krommen met verticale gedeelten kunnen direct uitgesloten worden). Zoals we zagen in Hoofdstuk 4, geldt voor een stukje booglengte ds langs de kromme volgens Pythagoras ds = (dx) 2 +(dy) 2 = 1+(y ) 2 dx, (7.9) waariny = dy/dx. Wegens het Behoud van Energie is de kinetische energie bij het vallen gelijk aan de verloren gegane potentiële energie. Wederom nemen we voor de valsnelheid v = ds dt = 2gy. (7.10) Uit de twee relaties (7.9) en (7.10) volgt verder dt = 1+(y ) 2 2gy Een redenering als in Hoofdstuk 6 geeft nu direct een Lagrangiaan L(y,y ) = dx. 1+(y ) 2. (7.11) 2gy De bijbehorende Euler-Lagrange vergelijking (6.6) luidt voor dit geval L y d dx L = 0, y hetgeen zich met enig rekenwerk laat herschrijven tot de eerste-orde differentiaalvergelijking ( 1+(y ) 2) y = constant. (7.12) Substitutie van een geparametriseerde oplossing (x, y) = (x(θ), y(θ)) leidt, als voorheen, tot het cycloïdale antwoord, vergelijk (5.11) en (7.7). Vergelijk, onder meer, Bottema [22].

118 Hoofdstuk 8 Lichtstralen als geodeten op een omwentelingsoppervlak In Hoofdstuk 6 hebben we kennisgemaakt met de lichtstraal in een isotroop medium als geodeet van een geschikte Riemannse metriek, waarbij de dynamica beschreven wordt door zowel de Euler Lagrange als de canonieke vergelijkingen (6.6) en (6.11). Net als in Hoofdstuk 3 beperken we ons tot de atmosfeer van de ronde aarde, met een rotatiesymmetrisch brekingsindex-profiel. Deze benadering doet ons belanden in de wereld van rotatiesymmetrische differentiaalmeetkunde van oppervlakken. Een heel bekend type hiervan wordt gevormd door omwentelingsoppervlakken in de driedimensionale ruimte, en de vraag van dit hoofdstuk is in hoeverre omwentelingsoppervlakken van belang kunnen zijn voor de optica. 8.1 Samenvatting van het hoofdstuk We zullen hieronder eerst de meetkunde van het omwentelingsoppervlak op zich behandelen [10,30] en hierop het hele arsenaal aan methoden uit Hoofdstuk 6 loslaten. De rotatiesymmetrie induceert een behoudswet indachtig het Principe van Noether, in dit geval behoud van impulsmoment, vergelijk Op dezelfde manier als in (6.28) verkrijgen we hieruit een behoudswet die bekend staat als de Stelling van Clairaut 1 [10, 30]. Hier moeten we de reductiemethode uit 6.3, in het bijzonder Stelling 6.4, toepassen, daarbij het aantal dimensies reducerend van 4 naar 2. Hierna wordt het verband gelegd met optica en worden nodige en voldoende voorwaarden afgeleid, waaronder de rotatiesymmetrische geometrisch-optische modellen met de poolcoördinaten (r, ϕ) en met brekingsindex-profiel n = n(r), isome- 1 Alexis Claude Clairaut ( )

119 108 Lichtstralen als geodeten op een omwentelingsoppervlak trisch inbedbaar zijn als omwentelingsoppervlak in R 3. Het zal blijken dat het gemodificeerde brekingsindex-profiel n M (r) = rn(r), zie (3.4), daarbij de betekenis krijgt van afstand tot de rotatie-as. Dit laatste zal het ook mogelijk maken de Wegener sector, zoals gedefinieerd in 3.3.2, in de huidige opzet te identificeren. In een scholium gaan we nader in op de differentiaalmeetkunde van het omwentelingsoppervlak, door elke geodeet op te vatten als de mogelijke baan van een deeltje dat zich vrij over het oppervlak kan bewegen. Dit vormt een illustratie van het Principe van d Alembert [10], dat inhoudt dat een geschikte normaalkracht wordt toegepast om het deeltje op het oppervlak te houden. In Hoofdstuk 6 zagen we dat geodeten de lengte minimaliseren. Het zijn de krommen die (locaal) de kortste verbindingen vormen zoals de rechte lijnen dat doen in de Euclidische ruimte. Het bepalen van geodeten is een minimaliseringsprobleem dat via het Variatie Principe tot de Euler Lagrange vergelijkingen leidt, en tot daarmee equivalente canonieke vergelijkingen van Hamilton. Dit verhaal geldt algemeen, dus ook buiten de context van de optica. In het huidige hoofdstuk beschouwen we eerst een omwentelingsoppervlak met de metriek die dit van de omringende 3 dimensionale ruimte erft en bestuderen daarvan de geodeten. Daarbij kijken we welke geometrisch-optische modellen passen in deze theorie van omwentelingslichamen. 8.2 Geodeten op een omwentelingsoppervlak We beschouwen een omwentelingsoppervlak in S R 3, ontstaan door een vlakke kromme om een daarmee disjuncte as te wentelen, die in hetzelfde vlak ligt. Een natuurlijke uitwerking hiervan verloopt als volgt. We kiezen cartesische coördinaten (x,y,z), waarbij de gegeven lijn de z as voorstelt en nemen aan dat de kromme in het (x,z) vlak ligt, in geparametriseerde vorm gegeven door x = f(u),z = g(u), (8.1) waarbij u over een (eventueel onbegrensd) open interval varieert. Hierbij is steeds f(u) > 0 en nemen we gemakshalve aan dat (f (u)) 2 +(g (u)) 2 1, (8.2) hetgeen uitdrukt dat u een booglengte-parameter is. Introduceren we eerst cylindercoördinaten (ϕ,r,z) door x = rcosϕ and y = rsinϕ, dan laat het omwentelingsoppervlak S zich als volgt door ϕ enuparametriseren: x = f(u)cosϕ,y = f(u)sinϕ,z = g(u). (8.3)

120 8.3 Dynamica van de geodeten 109 z z y y x x Figuur 8.1: De kromme x = f(u),z = g(u), volgens (8.1) geeft na omwenteling rond de z as het omwentelingsoppervlak S. Merk op dat in elk punt van S met coördinaten (ϕ,u) de afstand tot de z as gelijk is aanf(u). Evenals in Hoofdstuk 6 geven we nu een beschrijving van de bijbehorende Riemannse metriek, zoals die geërfd wordt van de omringende ruimte R 3. In dit geval heeft de metriek G = G q ( q, q) de vorm met bijbehorende Lagrangiaan (6.24) G q ( q, q) = q, q Gq = f 2 (u) ϕ 2 + u 2 (8.4) L(q, q) = 1 2 G q( q, q). Hierbij is q = (ϕ,u) en als in 6.2 is de factor f 2 (u) nodig om te verdisconteren dat ϕ een hoek is. Net als voorheen heeft L de betekenis van kinetische energie. Het probleem is nu een beschrijving te geven van de geodeten van deze Riemannse metriek. 8.3 Dynamica van de geodeten Als in Hoofdstuk 6 beschrijven we nu de dynamica van de geodeten in termen van Euler Lagrange en van Hamilton Volgens Euler Lagrange We beginnen met een beschrijving van de geodeten in termen van de Euler Lagrange vergelijkingen (6.6). Propositie 8.1 (Omwentelingsoppervlak Lagrangiaans). De beweging langs de geodeet op het omwentelingsoppervlak S wordt gegeven door de Lagrangiaan ( L(ϕ,u, ϕ, u) = 1 2 f 2 (u) ϕ 2 + u 2). (8.5)

121 110 Lichtstralen als geodeten op een omwentelingsoppervlak De bijbehorende Euler-Lagrange vergelijkingen luiden Het impulsmoment is hierbij een behouden grootheid. f 2 (u) ϕ + 2f(u)f (u) u ϕ = 0 (8.6) ü = f(u)f (u) ϕ 2. p ϕ = f 2 (u) ϕ (8.7) Inderdaad is door de omwentelingssymmetrie ϕ een cylische variabele. Dit is zichtbaar in in de eerste vergelijking van (8.6), die immers niets anders zegt dan ṗ ϕ = 0. Als voorheen zullen we deze behoudswet schrijven als waarbij M een constante is. p ϕ = M, Ons bewijs van Stelling 8.1 bestaat nu uit enig gereken in de geest van de Hoofdstukken 6 en 7, waarvan we de details vol vertrouwen aan de lezer overlaten Volgens Hamilton Als in gaan we nu over op een Hamiltoniaanse beschrijving en krijgen zo als tegenhanger van Propositie 8.1: Propositie 8.2 (Omwentelingsoppervlak Hamiltoniaans). De Lagrangiaanse beschrijving van de dynamica in Propositie 8.1 is equivalent met de volgende Hamiltoniaanse beschrijving. Alsq = (ϕ,u) dan is p = (p ϕ,p u ) met p ϕ = f 2 (u) ϕ, p u = u (8.8) en de Hamiltoniaan wordt gegeven door ( p 2 ) H(p,q) = 1 ϕ 2 f 2 (u) +p2 u. (8.9) De bijbehorende canonieke vergelijkingen luiden p ϕ ϕ = f 2 (u), ṗ ϕ = 0, (8.10) u = p u, ṗ u = p2 ϕf (u) f 3 (u) Vergelijk (6.26). Als voorheen is H(p, q) = L(q, q) de (kinetische) energie, waarbij (q, q) en (p,q) bij elkaar horen volgens (8.8), de huidige versie van de Legendre transformatie (6.8). Vergelijk ook Stelling (6.3).

122 8.4 Behoudswetten Behoudswetten Net als in 6.2 zijn de behoudswetten ook hier van de vorm H = E en p ϕ = M En ook hier kunnen we uit de behoudswetten H = E en p ϕ = M eenvoudig een derde f sinα = C (8.11) afleiden. Hierbij is α = α(τ) de inclinatie die de geodeet R = R(τ) maakt met de meridiaan, dat is de verticale kromme ϕ = constant door het punt R(τ). Deze bewering staat bekend als de Stelling van Clairaut [10, 30] Reductie van de symmetrie De reductie van de symmetrie verloopt nu als in 6.3. Dat betekent dat we schrijven met de effectieve potentiaal H M (u,p u ) = 1 2 p2 u + M2 2f 2 (u), V M (u) = M2 2f 2 (u), (8.12) vergelijk (6.31). De bijbehorende canonieke vergelijkingen zijn wederom de laatste twee vergelijkingen van (8.10): u = p u (8.13) ṗ u = V M(u), waarvan de integraalkrommen juist de niveaukrommen van H M zijn. Het gereduceerde systeem (8.13) correspondeert precies met de bewegingsvergelijking van een oscillator ü = V M(u), met potentiaal V M. In Figuur 8.2 geven we de grafiek van V M weer nabij een minimum en een maximum. Het bijbehorende gereduceerde faseportret is dan een centrum respectievelijk een zadelpunt. Opmerkingen. - De bewegingsvergelijking van de oscillator is ook al te zien als tweede vergelijking van het stelsel (8.6). Merk verder op dat de eerste vergelijking van (8.6) juist de behoudswetp ϕ = M geeft.

123 112 Lichtstralen als geodeten op een omwentelingsoppervlak - Beschouwen we het totale systeem (8.10) in de4 dimensionale(ϕ,u,p ϕ,p u ) ruimte. Elke integraalkromme hiervan projecteert als geodeet op het 2 dimensionale oppervlak S = {ϕ,u}. 2 Een andere projectie is die op het gereduceerde fasevlak {u,p u }, als integraalkromme van (8.13). Door deze beide 2 dimensionale projecties krijgen we een goed inzicht in de 4 dimensionale dynamica Beschrijving van de geodeten Analoog aan Stelling 2.5 in Hoofdstuk 2, ligt door de Stelling van Clairaut (8.11) de vorm van de geodeet op S volledig vast door de waarde van M of van C te specificeren. Hierbij realiseren we ons dat f(u) steeds de afstand van een punt (ϕ,u) S tot de z as weergeeft. We kunnen de volgende conclusies trekken. Lemma 8.1 (Meridianen en parallelcirkels). Alle meridianen ϕ = constant zijn geodeten ops. Een parallelcirkelu = u 0 is een geodeet precies dan alsf (u 0 ) = 0. Bewijs. Uit de Stelling van Clairaut f(u(τ)) sin(α(τ)) = C volgt onmiddellijk dat alle meridianen geodeet zijn, dan geldt immers dat sinα(τ) 0. We zien dat voor de meridianen geldt dat M = C = 0. Voor de bewering over de parallelcirkel beschouwen we de tweede vergelijking van (8.6). Hierin is u u 0 en dus ü = 0, waaruit volgt dat f(u 0 )f (u 0 ) ϕ 2 (τ) = 0. Aangezienf(u 0 ) > 0, volgt het gestelde Nabij een geodetische parallelcirkel De kwalitatieve organisatie van geodeten nabij een geodetische parallelcirkel kunnen we al begrijpen aan de hand van de Stelling van Clairaut, vergelijk Figuur 8.3, maar we kunnen deze beschrijving verduidelijken aan de hand van het gereduceerde systeem (8.13) en Figuur 8.2. Hierbij nemen we een punt op S met coördinaten (ϕ,u) en beschouwen de geodeet γ op S, die met inclinatie α uit dit punt vertrekt. Voor het gemak nemen we hierbij aan dat γ volgens booglengte geparametriseerd is. In de 4 dimensionale faseruimte, waar het hele canonieke systeem (8.10) leeft, hebben we ook nog te maken met de coördinaten (p ϕ,p u ) en we kijken ook naar de projectie vanγ op het gereduceerde (u,p u ) fasevlak, als geschetst in Figuur Ook wel configuratievlak geheten.

124 8.4 Behoudswetten 113 V M (u) V M (u) u u p u p u u u Figuur 8.2: Gereduceerde faseportretten nabij een minimum (links) en een maximum (rechts) van de effectieve potentiaal V M = M 2 /(2f 2 (u)). We merken allereerst op dat een minimum van V M in u 0 correspondeert met een maximum van f in datzelfde punt. Analoog correspondeert een maximum in V M met een minimum in f. Niet-gedegenereerdheid van de extremen in V M correspondeert daarbij met niet-gedegenereerdheid van de bijbehorende extremen in f: hierbij gebruiken we dat steeds geldt f(u) > 0. Geodeten nabij een maximum f(u 0 ). Een maximum f(u 0 ) correspondeert, zoals we zagen, met een parallelcirkel die tevens zelf geodeet is. Een geodeet in de buurt hiervan oscilleert heen en weer rond deze parallelcirkel. Dat zien we direct met de Stelling van Clairaut (8.11): aannemend datc > 0, dan kan f(u(τ))sinα(τ) = C langs de geodeet alleen gelden als bij afnemende f(u(τ)) de functie sinα(τ) toeneemt. De maximale waarde is gelijk aan1, hetgeen correspondeert metα(τ) = 1 2 π:

125 114 Lichtstralen als geodeten op een omwentelingsoppervlak de geodeet staat dan loodrecht op de meridiaan en raakt aan een parallelcirkel. 3 Daarna neemt α(τ) weer af en f(u(τ)) toe en keert de geodeet weer terug naar de maximale parallelcirkel, snijdt deze en aan de andere kant vanu = u 0 herhaalt zich dit proces. Vergelijk ook Figuur 8.3, links. VoorC < 0 geldt hetzelfde verhaal met enige voor de hand liggende aanpassingen. In Figuur 8.2, links, komen deze bewegingen overeen met een oscillatie rond het elliptische evenwicht (u,p u ) = (u 0,0). Geodeten nabij een minimum f(u 0 ). Ook een minimum f(u 0 ) correspondeert met een geodetische parallelcirkel, die zich snoert rondom een taille in het oppervlak S. Nu zijn er verschillende mogelijkheden, die het gemakkelijkst te rubriceren zijn aan de hand van Figuur 8.2, rechts. Algemeen gesproken blijft de gereduceerde integraalkromme in een van de vier kwadranten in een omgeving van het zadelpunt (u,p u ) = (u 0,0) en deze komt ruwweg langs een van de beide asymptoten de omgeving binnen en vertrekt langs de andere: je zou kunnen zeggen dat de integraalkromme van asymptoot wisselt. Daarbij gaat de beweging steeds langzamer naarmate deze dichter langs het zadelpunt komt. - Breking. Bij breking (refractie) passeert de geodeet de geodetische parallelcirkel u = u 0, zie Figuur 8.2, rechts. Dat betekent dat de bijbehorende integraalkromme van het gereduceerde systeem in een van de kwadranten boven of onder langs het zadelpunt (u,p u ) = (u 0,0) gaat, daarbij dus het niveauu = u 0 passerend. Een bijbehorende geodeet in het (ϕ, u) vlak doorsnijdt de taille -geodeet met een positieve hoek, ondertussen enigzins meebewegend in de ϕ richting. In feite moet de afname van de afstandf(u(τ)) tot dez as naar het minimum gecompenseerd worden door toename van de inclinatie α(τ). Er blijft echter genoeg over om bij u = u 0 nog een inclinatie α < 1 2π te hebben. Zie ook Figuur 8.3, links. - Kaatsing. Bij kaatsing of spiegeling (reflectie) zitten we links of rechts naast het zadelpunt van het gereduceerde systeem, en de bijbehorende integraalkromme blijft steeds in het gebiedu < u 0 dan welu > u 0. Zie de Figuren 8.2 en 8.3, beide rechts. Een bijbehorende geodeet bevindt zich op een bepaalde afstand van de z as, zodanig dat de mogelijke verdere afname hiervan tot de waarde f(u 0 ) niet is toegestaan; dit omdat de compenserende toename van sinα(τ) dan al de maximale waarde1heeft bereikt. Met andere woorden, de 3 Deze parallelcirkel is zelf geen geodeet! Geodeten die in een punt aan elkaar raken, vallen samen wegens de eenduidigheid van oplossingen van gewone differentiaalvergelijkingen [34, 53].

126 8.4 Behoudswetten 115 Figuur 8.3: De Fles: een omwentelingsoppervlak waarvan de geodeten corresponderen met de gezichtsstralenbundel van Figuur Links: Breking. Midden: Grenshoek. Rechts: Kaatsing. geodeet raakt aan een parallelcirkel en kaatst terug in dezelfde u richting als waarvan hij kwam. - Grenshoek-gedrag. In de overgang tussen breking en kaatsing zit het grenshoekgedrag: de integraalkromme in het (u,p u ) vlak ligt precies langs de stabiele variëteit van het zadelpunt(u 0,0). De integraalkromme zal dit zadelpunt overigens niet in een eindige tijd bereiken. Elke bijbehorende geodeet spiraliseert langzaam naar de taille -geodeet. Vergelijk ook Figuur 2.7 en Figuur 8.3, midden. We zullen nu de gevolgen van deze analyse bestuderen voor de complete beweging van de geodeet in de (ϕ,u,p ϕ,p u ) faseruimte Reconstructie naar vier dimensies Uit bovenstaande kunnen we de dynamica van het oorspronkelijke, volledige systeem (8.10) in de 4 dimensionale (ϕ,u,p ϕ,p u ) faseruimte, althans in kwalitatieve zin, reconstrueren. Het is hierbij handig ons te beperken tot een vaste waarde van M: het invariante hyperoppervlak p ϕ = M laat zich parametriseren door (ϕ,u,p u ) en is dus het product van de gereduceerde (u,p u ) faseruimte en de cirkel geparametriseerd door ϕ. Laten we daarna de parameter M variëren dan wordt de 4 dimensionale ruimte locaal gebladerd door de p ϕ niveau s [30, 85]. Om te beginnen geeft het evenwicht (u 0,0) van het gereduceerde systeem voor het totale systeem voor elke waarde vanm een gesloten integraalkromme. Periodieke oplossing van zadeltype. In het geval dat het gereduceerde systeem (8.13) in (u 0,0) een zadelpunt heeft, heeft de 3 dimensionale beperking van

127 116 Lichtstralen als geodeten op een omwentelingsoppervlak Figuur 8.4: Schets van de invariante oppervlakken in de dynamica van het volledige systeem (8.10) in een invariant 3 dimensionaal hyperoppervlak p ϕ = M. De gesloten integraalkromme is òf van zadeltype (rechts), òf is elliptisch en wordt omgeven door een bladering van invariante2 dimensionale tori met multiperiodieke dynamica (links). systeem (8.10) tot het invariante hyperoppervlak p ϕ = M een gesloten integraalkromme van zadeltype, zie Figuur 8.4, rechts. Invariante tori. In het geval dat het evenwicht (u 0,0) een centrum is, wordt een omgeving van de gesloten integraalkromme in het 3 dimensionale hyperoppervlak gebladerd door invariante 2 dimensionale tori. De dynamica op deze tori is multiperiodiek. Dat wil zeggen dat op zo n torus òfwel alle integraalkrommen gesloten zijn met dezelfde periode, òfwel elke integraalkromme dicht ligt in deze torus. Vergelijk Figuur 8.4, links. Voor achtergrond zie [10, 27] Globaler gedrag van geodeten Het wordt nu tijd om ook meer globaal naar het gedrag van geodeten te kijken, zoals die zich om een omwentelingsoppervlak slingeren. Voorbeeld 8.2 (De 2 dimensionale sfeer). In dit voorbeeld beschouwen we de 2 sfeer S = S 2 R 3 als omwentelingsoppervlak. Om precies te zijn nemen we de cirkel x 2 +(z 2) 2 = 1, geparametriseerd door f(u) = cos(2πu) en g(u) = 2+sin(2πu), 0 u 1. In dat geval is bij gegeven constante M V M (u) = M 2 2cos 2 (2πu). De lezer wordt aangemoedigd zelf oppervlak, effectieve potentiaal en bijbehorend gereduceerd faseportret te schetsen. Wat zegt de Stelling van Clairaut (8.11) voor dit geval?