Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76"

Irma Smeets
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: Deze online uitgave mag, onder duidelijke bronvermelding, vrij gebruikt worden voor (para-) medische, informatieve en educatieve doeleinden en ander niet-commercieel gebruik. Zonder kosten te downloaden van:

2 In de afdaling Harry Oonk Inleiding Twee maal eerder is in de column op de rand (1990 nr. 3 en 1991 nr. 5) aandacht besteed aan wielrijders en skiërs die zich in een vrije val een helling afstorten. Daar beweerde ik dat de massa van de afdaler geen invloed heeft op de snelheid. Op- en aanmerkingen bleven komen. Dit heeft waarschijnlijk te maken met het feit dat de zware wielrenners in de beklimming zo veel meer energie moeten gebruiken en het zou zo rechtvaardig zijn als de zwaarderen in de afdaling eens flink voordeel zouden hebben in snelheid. Echter, in de beklimming wordt in het algemeen gekeken naar het energieverbruik bij een konstante snelheid, terwijl in de afdaling gelet wordt op de snelheid. Maar energieverbruik en snelheid zijn verschillende grootheden! In de eerder genoemde rubriek werd steeds beweerd dat, afgezien van luchtweerstand en rolweerstand, de massa geen invloed heeft op de snelheid in de afdaling. Het lijkt dan ook zinvol om het probleem van wielrenners in de afdaling en de invloed van de massa hierop, van begin tot eind, uit te werken. Achtereenvolgens komen aan de orde: 1. Afdaling zonder luchtweerstand en rolweerstand 2. Afdaling met rolweerstand 3. Afdaling met rolweerstand en luchtweerstand Probleemstelling Wat is de invloed van de massa op de snelheids-ontwikkeling van wielrijders in de afdaling. Analyse 1. Afdaling zonder luchtweerstand en rolweerstand De zwaartekracht die op een fietser (inclusief fiets) werkt in de afdaling is het produkt van zijn massa en de versnelling van de zwaartekracht (Fz = m g). De fietser beweegt echter niet in de richting van die zwaartekracht, maar in de richting van de veronderstelde helling. De komponent van de zwaartekracht die de fietser zal doen versnellen in de afdaling is dan ook die komponent die ontbonden is in de wegrichting (figuur 1). Deze is gelijk aan m g sin( α). m = massa van fietser met fiets (kg) g = versnelling van de zwaartekracht (m/s 2 ) α = hellingshoek met de horizontaal in graden Figuur 1. Zwaartekracht ontbonden in wegrichting en loodrecht daarop.

3 Indien geen rekening wordt gehouden met rol- en lucht-weerstand zal alleen deze kracht de fietser doen versnellen. Volgens Newton is deze kracht de veroorzaker van de versnelling a: m g sin(α) = m.a (figuur 2). Daar we meer geïnteresseerd zijn in de snelheid in plaats van in de versnelling, wordt de versnelling uitgedrukt in de snelheid. De versnelling is per definitie gelijk is aan de verandering van de snelheid (a = dv/dt). De vergelijking is dan ook te schrijven als een eerste orde differentiaal vergelijking: dv m g sin( α) = m dt Figuur 2. Afdaling onder invloed van de zwaartekracht Zowel in het linker als het rechter lid van de vergelijking, komt de massa in de eerste graad voor, hetgeen betekent dat de versnelling a onafhankelijk is van deze massa. De versnelling is dus konstant: a = g sin(α). Zware en lichtere fietsers zijn dus gelijk beneden omdat hun snelheid op elk moment hetzelfde is. Indien de hellingshoek 90 graden bedraagt, is de sinus gelijk aan 1 en de versnelling a is dan gelijk aan g; het lichaam versnelt dan met de versnelling van de zwaartekracht. Een vrije val dus. 2. Afdaling met rolweerstand. Rolweerstand kan, evenals slepende wrijving, worden beschreven met een weerstandscoefficiënt. De grootte van de weerstandskracht is dan gelijk aan de weerstands-coefficiënt (fr) vermenigvuldigd met de normaalkracht die op een lichaam werkt: Frol = f r Fn De normaalkracht (Fn) op het lichaam is evengroot als de komponent van de zwaartekracht die loodrecht op de weg staat en tegengesteld van richting: Fn = m g cos(α) De tegenwerkende rolweerstand kan dan worden uitgedrukt in: Frol = f r Fn = f r m g cos(α) De grootte van de rolweerstandscoefficiënt f, hangt af van de ruwheid van zowel wegdek als band, de stijfheid van de banden en de diameter van het wiel. De krachten op de wielrenner die hem doen versnellen zijn zoals in figuur Figuur 3. Afdaling onder invloed van zwaartekracht en rolweerstand. 3 staan geschetst. De krachtenbalans is dan te schrijven als: dv m g sin( α) fr m g cos( α) = m dt Ook in deze differentiaalvergelijking komt de massa in alle termen voor. Alle leden kunnen dus ongestraft gedeeld worden door de massa m, zodat ook, wanneer rekening wordt gehouden met de rolweerstand, de versnelling van zware en lichtere renners gelijk is. Zij zijn nog steeds even snel beneden.

4 3. Afdaling met rol en luchtweerstand De luchtweerstand van een bewegend voorwerp hangt af van de druk die de lucht op dat lichaam uitoefent. Deze stuwdruk is volgens Bernoulli afhankelijk van het kwadraat van de snelheid (v) en de soortelijke massa (ρ) van het medium, volgens: Stuwdruk =.5 ρ v 2. De betekenis hiervan is dat bij hoge luchtdruk de weerstand groter is dan in lage drukgebieden. Verder neemt de weerstand toe met het kwadraat van de snelheid: bij twee keer zo hoge snelheid is de tegenwerkende luchtweerstand vier maal zo groot. De kracht die op het oppervlak A (contour oppervlak van een frontaal aanzicht) van de renner werkt, is dan gelijk aan de stuwdruk maal oppervlak: F =½.ro v 2 A Echter, niet alle lichamen met gelijk oppervlak en gelijke snelheid ondervinden eenzelfde tegenwerkende luchtweerstand. Deze kracht hangt ook nog af van de vorm, ofwel de stroomlijn van het lichaam. De invloed van deze stroomlijn is vastgelegd in de zogenaamde Q,- waarde ofwel vormweerstandscoefficiënt. Hoe gestroomlijnder des te minder weerstand, des te kleiner de CDwaarde. Hiermee komt de tegenwerkende kracht tengevolge van de luchtweerstand op: Fwind =½.ro v 2 A C D. De krachtenbalans ziet er dan als volgt uit: 2 mg sin( α) fr mg cos( α).5ρ AC D v = m dt Figuur 4. Afdaling onderinvloed van zwaartekracht, rolweerstand en luchtweerstand. dv Niet in alle termen van de vergelijking komt de massa voor, zodat in dit geval de massa wel een rol speelt in de versnelling en dus de snelheid van de daler. Verder is voor specifiek gedefinieerde vormen een bekende relatie tussen het frontale oppervlak A van het lichaam en zijn massa. In het algemeen geldt, dat wanneer de massa groter wordt, het frontale oppervlak ook groter wordt, maar niet in dezelfde mate. Wanneer gemakshalve wordt gekozen voor een dalende bolvorm geldt, dat indien de straal van de bol 2 maal zo groot wordt, de massa 8 maal zo groot wordt en het frontale oppervlak vier maal zo groot. De massa neemt dus meer toe dan het frontale oppervlak en dus ook meer toe dan de luchtweerstand. De dalende kracht neemt bij een toenemende massa dus meer toe dan de tegenwerkende luchtweerstand. Dit betekent dat, rekening houdende met de luchtweerstand, de zwaardere dalers iets in het voordeel zijn. De voordelen zijn echter nogal klein en bij versnellen vanuit stilstand tot snelheden in de buurt van de 100 km/h, heeft een 1.5 maal zwaardere afdaler een voordeel in snelheid in de orde van grootte van 4 % en niet 50 % zoals vaak gedacht wordt. Numerieke benadering Om de minieme voordelen van de zwaardere daler numeriek te kunnen afschatten is de oplossing nodig van de bovenstaande differentiaal-vergelijking. Dit is een eerste orde differentiaal-vergelijking met niet konstante coefficiënten en die laat zich zo niet analytisch oplossen. Hoewel Euler ( ) niet beschikte over een computer heeft hij wel een numerieke benadering van de oplossing van dergelijke differentiaal-vergelijkingen beschreven. We zullen hier overigens volstaan met het vermelden van de resultaten. In de numerieke benadering worden de volgende symbolen en waarden gekozen: t v a m ρ C D = tijd (s) = snelheid (m/s) = dv/dt (m/s 2 ); versnelling = 60 en 90 (kg); massa van fietser plus fiets = 1.25 (kg/m 3 ); soortelijke massa van lucht = 0.45; vormweerstandscoefficient van bolvorm

5 f r = 0.005; rolweerstandscoefficient van beide wielen α = 5.7 graden ofwel 10 % g = 9.81 (m/s2) versnelling van de zwaartekracht A = 0.19 (m2) bij m = 60 kg en 0.23 (m2) bij 90 kg Resultaten Bij toenemende snelheid in de afdaling wordt de tegenwerkende kracht als gevolg van luchtweerstand kwadratisch groter, waardoor de versnelling steeds meer afneemt. Op den duur wordt deze luchtweerstand zo groot dat een evenwichtstoestand wordt bereikt indien de versnelling nul bedraagt en de snelheid een maximale konstante waarde bereikt. De laatste differentiaal vergelijking gaat dan over in een gewone vergelijking: m g f m g A C v = 2 sin( α) r cos( α).5ρ D 0 Voor de verschillende massa's kan de maximale snelheid uit deze vergelijking worden berekend. Na anderhalve minuut is deze maximale snelheid bereikt en bedraagt zo'n 120 km/h. De waarden zijn te lezen in onderstaande tabel en figuur 5. tijd (s) snelheid (km/h) afstand (m) m = 60 m = 90 m = 60 m = Figuur 5. Snelheid en afgelegde afstand in relatie met de tijd voor verschillende massa's.

6 Konklusies In figuur 5 geeft de convexe lijn de snelheid weer. De bovenste is die van de massa van 60 kg en de onderste is de snelheid die behoort bij de massa van 90 kg. De concave lijnen zijn de grafische voorstellingen van de afgelegde afstand. De bovenste voor de massa van 60 kg en de onderste voor de massa van 90 kg. U ziet dat er iets verschil in snelheid en afstand is tussen de massa's van 60 kg en die van 90 kg, maar de verschillen zijn zeer gering. Uit de slipstream van de zwaardere op kop, kan de massa van 60 kg die van 90 kg makkelijk inhalen, om even daarna weer aan de zwaardere af te staan.

Vergelijkbare documenten

Hoofdstuk 3 Kracht en beweging. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal

Hoofdstuk 3 Kracht en beweging Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 3.1 Soorten krachten Twee soorten grootheden Scalars - Grootte - Eenheid Vectoren - Grootte - Eenheid - Richting Bijvoorbeeld: