HYDRAULICA prof. dr. ir. F. De Smedt

Transcriptie

1 HYDRAULICA prof. dr. ir. F. De Smedt M.C. Escher, Wateral

2 HYDRAULICA CURSUSNOTA S september 010 prof. dr. ir. F. De Smedt Vakgroep Hdrologie en Waterbouwkunde Faculteit Ingenieurswetenschappen Vrije Uniersiteit Brussel Pleinlaan, 1050 Brussel Bureau T10 - tel. 0/ fdesmedt@ub.ac.be Home-page: Secretariaat T115 - tel. 0/ fa. 0/69.30.

3 - i - INHOUDSLIJST INLEIDING EIGENSCHAPPEN VAN VLOEISTOFFEN Soorten materialen Druk Densiteit Viscositeit Cohesie, adhesie en opperlaktespanning BASISVERGELIJKINGEN Basisbegrippen Behoud an massa Behoud an impuls Vloeistofstroming HYDROSTATICA De hdrostatische wet Metingen an de druk en de piëometrische hoogte Krachten uitgeoefend door loeistoffen in rust Ondergedompelde en drijende oorwerpen Vloeistoffen in een permanent ersnellingseld STROMING ZONDER WRIJVING Stromingsergelijkingen De wet an Bernoulli Toepassingen an de wet an Bernoulli Berekening an krachten Toepassingen an de formule an Euler VISKEUZE STROMING Stromingsergelijkingen Stroming in een rechte buis Ladingserlies en wrijing in een buis Stroming oer een recht opperlak Ladingserlies bij een iskeue stroming oer een opperlak Het eperiment an Renolds... 75

4 - ii - 6 TURBULENTE STROMING Stromingsergelijkingen De mengtheorie an Prandtl Turbulente stroming in een buis Speciale erlieen in leidingen Turbulente stroming met een rij opperlak De ergelijking an Manning LEIDINGEN EN AFVOERKANALEN Dimensionering an een leiding Dimensionering an een pomp in een leiding Leidingsnetwerken Afoerkanalen Krachten op ondergedompelde oorwerpen STROMING IN POREUZE MEDIA Stromingergelijkingen Porositeit en conductiiteit Hdrostatica in poreue media Oneradigde stroming Veradigde stroming REFERENTIES... 14

5 - 1 - INLEIDING De loeistofmechanica is een onderdeel an de mechanica, waarbij de beweging an loeistoffen bestudeerd wordt. Dee wetenschap is gebaseerd op de wetten an de continuüm mechanica, aangeuld met specifieke eigenschappen an loeistoffen. De hdraulica is een onderdeel an de loeistofmechanica, waarbij oornamelijk de beweging an water bestudeert wordt (Hdro is het Griekse woord oor water). De hdraulica steunt eeneens op de wetten an de continuüm mechanica, maar wordt aangeuld met specifieke eigenschappen an water en empirische formules gebaseerd op proefonderindelijk onderoek. De loeistofmechanica en hdraulica werden oornamelijk ontwikkeld anaf de 17 de eeuw. De belangrijkste wetenschappers, die hieraan hebben bijgedragen ijn: Archimedes (87-1.C.): Griekse wetenschapper in Sracusa, Sicilië, die de wetten astlegde an ondergedompelde en drijende oorwerpen. Simon Stein ( ): Vlaamse wetenschapper, publiceerde De Beghinselen des Waterwichts in 1586, waarin hij de wetten an de hdrostatica uiteenet. Benedetto Castelli ( ): leerling an Galileo, publiceerde Della mesura dell acque corrent in 168, waarin hij in naolging an Leonardo da Vinci de wet formuleerde dat de snelheid maal de doorsnede (dit is het debiet) constant is bij permanente stroming. Eangelista Torricelli ( ): Italiaanse wis- en natuurkundige, opolger an Galileo aan de Florentijnse Academie; toonde oor het eerst het bestaan aan an de atmosfeerdruk met behulp an een kwikbarometer; hij is ook de grondlegger an de hdrodnamica door ijn studie an uitstroming doorheen openingen. Blaise Pascal ( ): Franse wis- en natuurkundige, onder meer uitinder an de hdraulische pers en de spuit; tussen 1646 en 1648 gaf hij een erklaring oor de druk in een loeistof en later ook oor de luchtdruk. Isaac Newton ( ): Engelse wis- en natuurkundige en professor te Cambridge, bestudeerde het erband tussen krachten en beweging en in het bijonder de wrijing erooraakt door een slinger in stilstaand water. Gioanni Poleni ( ): Italiaan, professor in de astronomie en fsica aan de uniersiteit an Padua, waar hij in 1738 een laboratorium uitbouwde oor fsische eperimenten, o.a. stroming an water. Henri de Pitot ( ): Franse wiskundige, astronoom en hdraulicus, die in 173 een instrument uitond om de stroomsnelheid an water te meten, de ogenaamde pitotbuis. Hij gebruikte dit apparaat om de stroming en het debiet in de Seine op te meten. Daniel Bernoulli ( ): Zwitserse professor in de wiskunde, botanie, anatomie en fsica; onting 10 maal de prijs an de Franse Academie oor wetenschappen; formuleerde in ijn werk Hdrodnamica, de iribus et motibus fluidorium in 1738 oor het eerst wetten oor loeistofstroming. Leonhard Euler ( ): Zwitserse wis- en natuurkundige; professor aan de Berlijnse Academie en de uniersiteit an St. Petersburg; riend an Daniel Bernoulli; hij formuleerde de wetten oor de stroming an perfecte loeistoffen in Principes générau du moement des fluides, 1757.

6 - - Pierre Louis Georges Du Buat ( ): introduceert het begrip hdraulische straal in Principles d'hdraulique, érifiés par un grand nombre d'epériences faites par ordre du gouernement, Joseph Louis Lagrange ( ): Franse wis- en sterrenkundige; op 19 jaar professor te Turijn, daarna directeur an de Berlijnse Academie en professor aan de École Poltechnique an Parijs; publiceerde belangrijke werken oer wiskunde, mechanica en astronomie en was hoofd an de commissie oor de inoering an het metriekstelsel. Antoine de Ché ( ): Franse ingenieur die een kanaal ontwierp oor de waterooriening an Parijs en in 1768 een formule opstelde om het debiet te berekenen; lesgeer en later directeur (1798) an de Ecole Nationale Supérieure des Ponts et Chaussées. Gioanni Battista Venturi ( ): Italiaanse natuurkundige, die de stroming an water bestudeerde en een methode ontwikkelde om het debiet te meten, hetgeen we nu de enturi-meter noemen. Claude Naier ( ): Frans ingenieur, die de basiswetten opstelde oor stroming an iskeue fluïda. Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen ( ): Duits fsicus en hdraulisch ingenieur, die laminaire en turbulente stroming bestudeerde. Jean-Louis Marie Poiseuille ( ): Frans natuurkundige die de stroming an loeistoffen in leidingen bestudeerde, omdat hij geïnteresseerd was in de circulatie an de bloedsomloop; hij formuleerde oor het eerst de wet oor laminaire stroming in leidingen; de eenheid poise oor iscositeit werd naar hem genoemd. Henri Philibert Gaspard Darc ( ): Frans ingenieur, erantwoordelijk oor de waterooriening in Dijon; stelde proefonderindelijk wetten op oor stroming an water doorheen andfilters en leidingen, weergegeen in Les Fontaines Publique de la Ville de Dijon, Delmont, Paris, 1856 ; de basiswet oor grondwaterstroming is naar hem genoemd. Henri Arséne Jules Etienne Juénal Dupuit ( ): Frans ingenieur, stelde een formule oor om grondwaterstroming te berekenen. Julius Weibach ( ): Duits hdraulicus, die de turbulente stroming in leidingen bestudeerde. William Froude ( ): Engelse scheepsbouwkundige. Robert Manning ( ): hoofdingenieur bij de Office of Public Works, Ierland; stelde in 1890 een formule op oor de berekening an de stroming in riieren en kanalen. George Gabriel Stokes ( ): Britse wis- en natuurkundige, die de basiswetten an de hdrodnamica opstelde; de eenheid stokes oor kinematische iscositeit werd naar hem genoemd. Osborne Renolds ( ): Britse wis- en natuurkundige; hij onderocht turbulente stroming en stelde in 1883 een methode oor om laminaire en turbulente stroming te onderscheiden. Ludwig Prandtl ( ): Duits natuurkundige, professor aan de uniersiteit an Göttingen, die de wetten an de grenslaag opstelde en grondlegger is an de moderne loeistofdnamica. Lewis Ferr Mood ( ): Amerikaanse onderoeker, die een methode op punt stelde om de stromingsweerstand in leidingen te berekenen. Theodore on Kármán ( ): Hongaarse wetenschapper, studeerde bij Prandtl in Göttingen, werd daarna professor aan de uniersiteit an Aken en later aan de California Institute of Technolog in de VS; grondlegger an de theorie an de turbulente stroming.

7 - 3 - Het doel an dee cursus is de basisprincipes, -eigenschappen en -wetten an de loeistofstroming aan te leren De onderwerpen die hierbij aan bod komen ijn, o.a.: Eigenschappen an loeistoffen, oals densiteit, iscositeit en opperlaktespanning; welke parameters hierbij an belang ijn, hoe dee bepaald worden, en. Fsische grootheden, oals druk, snelheid en debiet, en hoe dee gemeten of berekend kunnen worden. Speciale fenomenen oals capillariteit, caitatie, drijende oorwerpen, turbulentie, en. Kenmerken an erschillende stromingsregimes, oals perfecte-, laminaire-, turbulenteof poreue-stromingen. Berekenen an krachten op structuren uitgeoefend door in rust of in beweging ijnde loeistoffen. Het ontwerpen an leidingen, pompen, afoerkanalen, e.d. Meer gespecialiseerde en georderde onderwerpen komen later aan bod in andere cursussen, oals Riierhdraulica en Surface water hdrolog in het 1 e jaar Master in de Ingenieurwetenschappen Bouwkunde, en Waterbouw en -beheer in het e jaar Master in de Ingenieurwetenschappen Bouwkunde. Voor dee cursus wordt erondersteld dat een aantal basisbegrippen gekend ijn uit de ectoren tensorrekening, oals scalair en ectorieël product, gradiënt, diergentie en rotatie, en uit de mechanica, oals plaats, tijd, massa, snelheid, ersnelling, kracht en energie, alsook begrippen uit de continuümmechanica, oals spanningen, erormingen, behoud an massa, en impulsergelijking. Voor de dimensies worden olgende smbolen gebruikt: L oor lengte, T oor tijd, M oor massa en F = ML/T oor kracht. Alle grootheden worden uitgedrukt in SI-eenheden: m (meter), s (seconde), kg (kilogram) en de daaran afgeleide eenheden, tenij epliciet anders ermeld wordt. Alle eenheden worden geschreen onder hoofdletter, maar de afkorting wordt wel geschreen met een hoofdletter indien de eenheid afgeleid is an een eigennaam. Zo is de eenheid an massa kilogram, afgekort tot kg, maar oor kracht is dit newton, afgeleid an Newton, en de afkorting is N. Soms worden ooroegsels gebruikt, oals µ (micro = 10-6 ), m (milli = 10-3 ), c (centi = 10 - ), k (kilo = 10 3 ), M (mega = 10 6 ) en G (giga = 10 9 ). Enkele nuttige referentiewerken ijn: Berlamont, J., 199. Hdraulica. Wouter Uitgeerij, Leuen, 47 pp. ISBN Çengel, Y.A, and J.M. Cimbala, 006. Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications, McGraw-Hill: 956 pp. ISBN Nortier, W. en P. de Koning, Toegepaste loeistofmechanica - Hdraulica oor waterbouwkundigen. Stam techniek, 489 pp. ISBN Dee boeken en nog ele andere ijn aanweig in de bibliotheek an de VUB.

8 EIGENSCHAPPEN VAN VLOEISTOFFEN 1.1 Soorten materialen De eigenschappen an materialen worden oornamelijk bepaald door de beweging an de moleculen en aantrekkingskrachten tussen de moleculen. Materialen worden ingedeeld in aste stoffen, loeistoffen en gassen, afhankelijk an de grootte an de aantrekkingskrachten en de bewegingsrijheid an de moleculen. Bij aste stoffen ijn de aantrekkingskrachten o groot dat de moleculen ich eer dicht naast elkaar beinden in een ast patroon. Hierdoor kan de orm en het olume an een ast materiaal slechts in eer beperkte mate eranderen onder inloed an uitwendige krachten. In de continuüm mechanica worden de erormingen an aste stoffen bestudeerd door een erband te leggen tussen de spanningen en de erormingen, hetgeen erder uitgewerkt wordt in de elasticiteitstheorie en de sterkteleer. Gassen daarentegen kenmerken ich door eer kleine aantrekkingskrachten tussen de moleculen, waardoor e rij an elkaar kunnen bewegen. Hierdoor beit een gas geen ast olume of orm. De moleculen an een gas erspreiden ich dan ook olledig in de ruimte waarin het gas ich beindt. Het uiteindelijk olume en de orm worden dus bepaald door de omgeing. In de continuümmechanica wordt de erorming of beweging an een gas erklaard door een erband te leggen tussen spanningen en erplaatsingssnelheden. De eigenschappen an gassen worden bestudeerd in de chemie en fsica, en ooral in de aërodnamica. De eigenschappen an loeistoffen situeren ich tussen die an aste stoffen en gassen, omdat loeistoffen gekenmerkt worden door gemiddelde aantrekkingskrachten tussen de moleculen. Hierdoor ijn de moleculen in ekere mate aan elkaar gebonden maar is er toch nog eel erorming mogelijk. Als geolg hieran hebben loeistoffen een rij constant olume maar geen aste orm. In afweigheid an uitwendige krachten al een loeistof een bolorm aannemen, maar onder inloed an een uitwendige kracht al een loeistof de orm aannemen an de ruimte waarin e gedwongen wordt. Dit gedrag is te wijten aan het feit dat loeistoffen geen weerstand kunnen bieden aan schuifspanningen. Onder inloed an schuifspanningen gaan loeistoffen dus bewegen of loeien. In de continuümmechanica wordt er oor loeistoffen een erband gelegd tussen spanningen en erplaatsingssnelheden, oals bij de gassen. Men spreekt dan globaal oer fluïda, een eramelnaam oor owel loeistoffen als gassen. Echter bij praktische toepassingen moet men dikwijls wel een onderscheid maken tussen dee twee soorten stoffen en is het aangeween om loeistoffen apart te behandelen. De moleculen in een materiaal bewegen ich ook relatief ten opichte an elkaar, wat aangeduid wordt als moleculaire beweging. Bij aste stoffen wordt door de grote aantrekkingskrachten tussen de moleculen de beweging gereduceerd tot een ibratie rondom een eenwichtstoestand. Daarentegen bewegen de moleculen an gassen ich met een eer grote snelheid bijna ongehinderd doorheen de ruimte waarin het gas ich beindt. De moleculen an een loeistof bewegen ich oals bij een gas met een eer grote snelheid, maar de erplaatsingen ijn beperkt omdat de moleculen oortdurend met elkaar in botsing ijn. De snelheden ijn in de orde an grootte an 900 m/s, waarbij er slechts afstanden worden afgelegd an ongeeer m. Dergelijke bewegingen wordt gekwantificeerd door middel an de fsische grootheden temperatuur en warmte, waarbij de temperatuur een maat is oor de intensiteit an de moleculaire beweging en de warmte een uitdrukking is an de energie an dee beweging. Bij stijgende temperatuur worden de afstanden tussen de moleculen

9 - 5 - groter waardoor de aantrekkingskracht tussen de moleculen afneemt. Hierdoor al bij een kritische waarde an de temperatuur de loeistof eranderen in een gas. Daarentegen komen moleculen dichter bij elkaar bij dalende temperatuur, waardoor de aantrekkingskrachten toenemen en bij een ekere kritische waarde de loeistof al eranderen in een aste stof. Dergelijke fenomenen worden niet bestudeerd in de loeistofmechanica of hdraulica maar wel in de scheikunde en thermodnamica.. In de loeistofdnamica en de hdraulica ijn we niet geïnteresseerd in de beweging an indiiduele moleculen maar wel in globale beweging an een eer groot aantal moleculen, waarbij de relatiee moleculaire beweging uitgemiddeld wordt. Dit is de continuüm benadering wat een redelijke werkwije is geien de gemiddelde afstand tussen de moleculen in een loeistof ongeeer 10-7 mm bedraagt, odat er ongeeer 10 1 moleculen aanweig ijn in een kubieke millimeter water. Het doel is dus om alleen de macroscopische eigenschappen an de stroming te erklaren, waarbij macroscopische grootheden oals stroomsnelheid, druk en debiet beschouwd worden, wat meestal olstaat oor courante toepassingen in de praktijk. 1. Druk Vloeistoffen kunnen geen weerstand bieden aan schuifspanningen. Dee eigenschap onderscheidt de loeistoffen an de aste stoffen. Een loeistof al dus bewegen onder de inloed an schuifspanningen, odat bij rust er alleen maar normaalspanningen aanweig ijn. Dit heeft tot geolg dat bij rust een loeistof altijd de orm aanneemt an het at waarin het ich beindt onder inloed an een uitwendige kracht, oals bijoorbeeld de waartekracht. Het is eenoudig aan te tonen dat bij afweigheid an schuifspanningen de normaalspanningen isotroop moeten ijn, d.w.. gelijk in elke richting. Om dit te bewijen beschouwen we een elementair olume loeistof in rust alleen onderworpen aan normaalspanningen, oals weergegeen in Fig σ σ σ 0 σ Fig. 1.1 Een elementair olume loeistof alleen onderworpen aan normaalspanningen.

10 - 6 - Het betreft een tetraëder met ijden, en, langsheen de coördinaatsassen, en. Op de wanden an dit olume werken alleen maar normaalspanningen. Veronderstel dat de normaalspanningen de olgende waarden aannemen op de erschillende wanden an de tetraëder: σ, σ en σ op respectieelijk de opperlakken loodrecht op de -, - en de -as en σ op de schuine wand. Bij rust ullen de totale krachten op het olume in elke richting in eenwicht ijn. De componenten an de krachten in een bepaalde richting kunnen berekenend worden door gebruik te maken an de principes an de ectorrekening. Bijoorbeeld oor de schuine wand geldt F = σs (1.1) waarbij F de totale kracht is op het opperlak en S de ectoriele uitdrukking an de grootte an dit opperlak (positief naar buiten gericht) (merk op dat we ectoriële smbolen onderlijnen). De component an de kracht F n in een bepaalde richting n wordt bekomen door de projectie an de kracht in dee richting, hetgeen hetelfde is als het scalair product te nemen met de eenheidsector n in de richting n F = F n = σs n = σ (1.) n S n waarbij S n de projectie is an het opperlak S loodrecht op de richting n. Bijoorbeeld de component in de -richting an de kracht op de schuine wand is F = σs = σ (1.3) Gelijkaardige resultaten worden bekomen oor de andere lakken en richtingen. Het eenwicht an alle krachten in de richting, geeft dan olgende ergelijking σ + σ + f = 0 (1.4) 6 Hierin stelt f de -component oor an een eentueel uitwendig krachteneld (oals bijoorbeeld de waartekracht), uitgedrukt als kracht per olume loeistof, met dimensies [F/L 3 ]. Wanneer we delen door en de limiet nemen oor gaande naar nul, olgt hieruit dat σ - σ = 0, ofwel σ = σ. Hetelfde geldt oor de andere richtingen, odat σ = σ = σ = σ, wat bewijst dat alle normaalspanningen gelijk ijn. Men definieert dee isotrope normaalspanning in een loeistof als de druk, meestal aangeduid door het smbool p, een scalaire grootheid onafhankelijk an de richting. De dimensies an druk ijn [F/L ]. In het SIstelsel gebruikt men de eenheid pascal oorgesteld door het smbool Pa (1 Pa = 1 N/m²), genoemd naar de Franse onderoeker Pascal, die oor het eerst de wet formuleerde dat in een loeistof in rust de druk gelijk is in elke richting. Omdat de eenheid pascal nogal klein uitalt gebruikt men in de praktijk meestal kilo-pascal (kpa). Een erouderde eenheid is de bar (1 bar = 10 5 Pa = 100 kpa). Merk ook op dat de druk door een positiee waarde wordt oorgesteld, in tegenstelling met de mechanica an het continuüm en de sterkteleer waar een trekspanning als positief wordt beschouwd. Op de aarde is er steeds een druk aanweig ten geolge an de atmosfeer. Dit noemt men de lucht- of atmosfeerdruk, die oor het eerst werd aangetoond door Torricelli, met behulp an een omgekeerde kolom geuld met kwik, oals weergegeen in Fig. 1.. De druk an de

11 - 7 - atmosfeer op eenieau is gelijk aan het gewicht an een laag kwik an ongeeer 760 mm hoogte afhankelijk an de meteorologische omstandigheden. De druk an de atmosfeer daalt met de plaatshoogte, oals astgesteld door Toricelli, omdat er dan minder atmosfeer aanweig is. Vroeger werd de atmosfeerdruk uitgedrukt in millimeter kwik, wat aangeduid werd met de eenheid torr, genoemd naar Torricelli. De atmosfeerdruk bedraagt dus ongeeer 760 torr. Later gebruikte men de eenheid atmosfeer (1 atm = 760 torr), maar nu meestal de eenheid pascal; uitgedrukt in het SI-stelsel bedraagt de atmosfeerdruk op eenieau ongeeer 101,3 kpa. In hoofdstuk 3 ullen we aantonen dat de druk niets anders is dan het gewicht per opperlakte-eenheid an de fluïdum, dus het gewicht an de lucht in geal an de atmosfeer of het gewicht an 760 mm kwik in geal an de kwikbarometer an Toricelli. Dit komt oereen met een waterlaag an 10,34 m hoogte. Torricelli kon dus moeilijk een waterkolom gebruiken om de atmosfeerdruk te meten en had geluk omdat men toen juist loeibare kwik ontdekt had. acuüm 760 mm p atm Eangelista Torricelli Hg Fig. 1. De atmosfeerdruk opgemeten met een kwikmanometer. In water of een andere loeistof al de druk toenemen met de diepte onder het rij opperlak, door het bijkomend gewicht an de boenliggende loeistof, oals uiteengeet al worden in hoofdstuk 4 oer de hdrostatica. Men noemt dit de absolute druk. Echter meestal gebruikt men in praktische toepassingen de relatiee druk, ijnde het erschil tussen de absolute druk en de atmosfeerdruk. Ook in de hdraulica is dee conentie gebruikelijk en erstaan we onder het begrip druk en het smbool p de relatiee of de bijkomende druk t.o.. de atmosfeerdruk, tenij het anders ermeld wordt. 1.3 Densiteit Elk materiaal heeft een densiteit of dichtheid, aangeduid door het smbool ρ en gedefinieerd als de massa M per olume V in de limiet gaande naar nul M ρ = lim (1.5) V 0 V De dimensies ijn [M/L 3 ] en in het SI-ssteem ijn de eenheden kg/m³, maar in de praktijk

12 - 8 - wordt oor loeistoffen ook dikwijls g/cm 3 gebruikt. Vermits de massa constant is en in geal an een loeistof ook het olume bijna oneranderlijk is, olgt hieruit dat de densiteit rij constant is, ij het eenwel dat er een beperkte inloed is an de temperatuur en de absolute druk. Tabel 1.1 geeft enkele oorbeelden an densiteiten an loeistoffen, bij een temperatuur an 0 C en een normale atmosfeerdruk. De densiteit an water in functie an de temperatuur en bij een normale atmosfeerdruk wordt gegeen in Fig. 1.3 en in Tabel 1.. Voor de praktische berekeningen wordt de densiteit an water bij normale omstandigheden meestal afgerond tot 1000 kg/m 3. Tabel 1.1 De densiteit an enkele loeistoffen bij een temperatuur an 0 C en normale atmosfeerdruk. Vloeistof Densiteit ρ (kg/m 3 ) Kwik Tetrachloorkoolstof Zwaelkoolstof 1.63 Glcerine 1.60 Water 998 Beneen 895 Terpentijn 870 Tolueen 867 Petroleum 850 Aceton 791 Benine Ethlalcohol 789 Diëthlether Densiteit (kg/m 3 ) C kg/m Temperatuur ( C) Fig. 1.3 De densiteit an water in functie an de temperatuur bij normale atmosfeerdruk.

13 - 9 - Tabel 1. Eigenschappen an water in functie an de temperatuur bij normale atmosfeerdruk. Densiteit Viscositeit Temperatuur Kinematische Viscositeit Elasticiteitsmodulus Opperlakte spanning T ( C) ρ (kg/m 3 ) µ (mpa s) ν (µm /s) E (GPa) τ S (mn/m) 0 999,8 1,781 1,785,0 75, ,9 1,518 1,519,06 74, ,7 1,307 1,306,10 74, ,1 1,139 1,139,14 73, ,0 1,00 1,003,18 7, ,0 0,890 0,893, 7, ,7 0,798 0,800,5 71, ,1 0,73 0,77,4 70, , 0,656 0,661,7 69, , 0,599 0,605,9 68, ,1 0,549 0,556,30 67, ,7 0,506 0,513,31 67, , 0,469 0,477,8 66, ,6 0,436 0,444,6 65, ,8 0,406 0,415,5 64, ,9 0,380 0,390,3 63, ,8 0,357 0,367,1 6, ,6 0,336 0,347,17 61, ,3 0,317 0,38,16 60, ,9 0,99 0,311,11 59, ,4 0,84 0,96,07 58,9 Vloeistoffen ijn slechts in beperkte mate samendrukbaar bij toename an de druk, dit in tegenstelling tot gassen die eer samendrukbaar ijn. De samendrukking wordt gedefinieerd als de relatiee afname in olume t.g.. een toename in de druk. Vermits de massa oneranderd blijft, is dit ook gelijk aan de relatiee toename an de densiteit. De samendrukking kan dan als olgt gedefinieerd worden ρ ρ V = V = C p = p E (1.6) De eenredigheidscoëfficiënt C wordt de samendrukbaarheid of compressibiliteit genoemd en is het inerse an de olumetrische elasticiteitsmodulus E uit de elasticiteitstheorie. De eenheden ijn [L /F] oor C en [F/L ] oor E. Dee materiaaleigenschappen ijn in beperkte mate afhankelijk an de temperatuur en de absolute druk. Tabel 1.3 geeft karakteristieke waarden oor enkele loeistoffen bij 0 C en normale atmosfeerdruk. De olumetrische elasticiteitsmodulus an water, in functie an de temperatuur bij een normale atmosfeerdruk

14 wordt gegeen in Tabel 1.. Tabel 1.3 Samendrukbaarheid en olumetrische elasticiteitsmodulus an enkele loeistoffen bij 0 C en normale atmosfeerdruk. Vloeistof C E (atm -1 ) (GPa) kwik 4, ,7 glcerine, ,51 water 4,6 10-5,18 olie 5,3-7, ,3-1,9 petroleum ±8, ±1, tetrachloorkoolstof 9, ,10 ethlalcohol 1, ,90 beneen 9, ,06 Vloeistoffen ijn ongeeer keer minder samendrukbaar dan gassen. Alhoewel in de praktijk loeistoffen, in het bijonder water, meestal als onsamendrukbaar kunnen beschouwd worden, mag men niet uit het oog erlieen dat bijoorbeeld de samendrukbaarheid an water nog 100 maal groter is dan die an staal en 10 maal groter dan die an beton, odat in bijondere geallen de samendrukbaarheid toch nog an belang kan ijn. Ter illustratie berekenen we de relatiee olumeerandering an water bij een erdubbeling an de atmosfeerdruk: V V 5 1 ρ = = C p = 4,6 10 ρ atm 1 atm 0,005% (1.7) Dit is uiterts gering. Om het olume an water samen te drukken met 1% is er een druk nodig an 17 atm. We kunnen dus besluiten dat in de praktijk bij normale natuurlijke omstandigheden loeistoffen en in het bijonder water quasi onsamendrukbaar ijn. 1.4 Viscositeit De wrijing erooraakt door een loeistof werd bestudeerd door Newton, door middel an een slinger ondergedompeld in water, waarbij hij aststelde dat de wrijing functie was an de snelheid an de slingerbeweging. Later werd door Stokes het begrip iscositeit an een loeistof geïntroduceerd, aan de hand an het olgende gedachte-eperiment. Beschouw een loeistof tussen twee platen, waarbij de boenste plaat in beweging wordt gebracht met een snelheid en de onderste plaat onbeweeglijk blijft, oals schematisch weergegeen in Fig De loeistof boenaan aan de bewegende plaat krijgt daardoor deelfde snelheid, terwijl de loeistof onderaan aan de onderste plaat onbewegelijk blijft. Hierdoor ontstaat een snelheidsgradiënt in loeistof, oals weergegeen in de figuur. Om dee beweging te bestendigen moet er een kracht uitgeoefend worden om de boenste plaat in beweging te houden, terwijl er een elfde maar tegengestelde kracht nodig is om de onderste plaat in rust te houden. Dee krachten ijn in eenwicht (actie is gelijk aan reactie) en het is duidelijk dat

15 de kracht an de ene plaat oergebracht wordt naar de andere plaat door de wrijing uitgeoefend door de loeistof. F d F γ Fig. 1.4 Het eperiment an Stokes oor bepaling an de iscositeit. Voor kleine snelheden al de kracht F lineair eenredig ijn met de opperlakte S an de platen en met de snelheid an de beweging en omgekeerd eenredig met de afstand d tussen de platen. Uiteraard is de kracht ook afhankelijk an het soort an loeistof. Dit wordt de wet an Newton genoemd S F = µ (1.8) d waarbij de eenredigheidsparameter µ de (dnamische) iscositeit is an de loeistof. Het woord iscositeit is afgeleid an iscum, de Latijnse benaming oor maretak, een plant die een plakkerige loeistof afscheidt. De iscositeit is dus een eigenschap an de loeistof die aangeeft in welke mate de loeistof in beweging kan worden gebracht door schuifkrachten en daarbij wrijing erooraakt. De dimensies an de iscositeit ijn [FT/L = M/LT] en gebruikelijke eenheden ijn Pa s of het equialente kg/m s, maar in de praktijk wordt ook de poise gebruikt, met smbool P (1 P = 1 g/cm s = 0,1 Pa s), genoemd naar Poiseuille, die in 1838 eperimenteel de wet an Newton (feitelijk an Stokes) beestigde. De iscositeit is afhankelijk an de temperatuur en in beperkte mate ook an de druk. Waarden oor de iscositeit an erschillende loeistoffen bij 0 C en een normale atmosfeerdruk worden gegeen in Tabel 1.4. Waarden oor de iscositeit an water in functie an de temperatuur bij een normale atmosfeerdruk worden gegeen in Tabel 1.. De iscositeit an water bij 0 C en normale atmosfeerdruk bedraagt ongeeer Pa s ofwel 1 cp (centi-poise). Waarden oor de iscositeit an erschillende fluïda, in functie an de temperatuur en bij normale atmosfeerdruk, worden gegeen in Fig. 1.5a. Introduceert men de schuifspanning, τ = F/S, dan kan men ergelijking 1.8 ook schrijen als τ = µ = µ (1.9) d waaruit duidelijk blijkt dat een schuifspanning stroming erooraakt in de loeistof; meer bepaald ontstaat er een snelheidsgradiënt afhankelijk an de iscositeit an de loeistof.

16 - 1 - Hoe kan er nu schuifspanning door de loeistof oergebracht wordt an de ene plaat naar de andere? Globaal duiden we dit aan als wrijing, maar de eigenlijke erklaring dient geocht te worden op microscopische schaal. Macroscopisch geien stroomt de loeistof parallel langs de platen met erschillende snelheden afhankelijk an de afstand tot de wand. De aantrekkingskrachten aanweig tussen de moleculen orgen oor een ekere cohesie tussen de moleculen, waardoor er oerdracht an momentum plaatsindt. Moleculen met een grotere snelheid sleuren aanliggende moleculen met een tragere snelheid mee, waardoor de snelle moleculen afgeremd worden en de trage moleculen ersneld worden, hetgeen de wrijing of oerdracht an schuifspanningen met ich meebrengt. Vermits bij toenemende temperatuur de microscopische beweging an de moleculen ergroot, waardoor de cohesie tussen de moleculen ermindert, al de iscositeit an een loeistof afnemen met stijgende temperatuur. Tabel 1.4 Viscositeit an enkele loeistoffen bij een temperatuur an 0 C en normale atmosfeerdruk. Vloeistof Viscositeit µ (mpa s = cp) Kinematische iscositeit, ν (µm /s = cst) Kwik 1,554 0,1147 Tetrachloorkoolstof 0,958 0,603 Zwaelkoolstof 0,376 0,98 Glcerine Water 1,00 1,004 Beneen 0,649 0,75 Terpentijn 1,50 1,7 Tolueen 0,6 0,7 Petroleum 0,5 -, ,8 Aceton 0,316 0,399 Benine 0,33 0,44 Ethlalcohol 1,19 1,51 Diëthlether 0,4 0,313 Smeerolie Bij gassen is er weinig of geen cohesie tussen de moleculen waardoor er eel minder wrijing al ijn. Eenwel ijn gassen ook in beperkte mate iskeus omdat er oerdracht an momentum plaatsindt door de microscopische chaotische beweging an de moleculen. Hierdoor kunnen moleculen met een grote macroscopische snelheid terechtkomen tussen moleculen met een tragere snelheid en omgekeerd, waardoor er botsingen ontstaan en impulsen worden oergebracht. Vermits bij hogere temperaturen de microscopische beweging toeneemt, al bij een gas de iscositeit stijgen met de temperatuur, terwijl dit omgekeerd is bij loeistoffen. De oerdracht an schuifspanningen kan dus ook beschouwd worden als een erspreiding of diffusie an impuls. Dit wordt duidelijker wanneer we de wet an Newton op de olgende wije herschrijen

17 ( ρ) τ = ν (1.10) waarin ν = µ/ρ de kinematische iscositeit is met dimensies [L /T], die hetelfde ijn als bij een diffusiecoëfficiënt. Vergelijking 1.10 stelt dat een gradiënt in ρ, dit is impuls per olume, een oerdracht an schuifspanning of wrijing erooraakt afhankelijk an de kinematische iscositeit an het medium. De eenheden an de kinematische iscositeit in het SI-stelsel ijn m /s, maar in de praktijk wordt dikwijls de stokes gebruikt, met smbool St (1 St = 1 cm /s = m /s), genoemd naar Stokes. Waarden oor de iscositeit an erschillende loeistoffen bij 0 C en een normale atmosfeerdruk worden gegeen in Tabel 1.4. Waarden oor de kinematische iscositeit an water in functie an de temperatuur en bij een normale atmosfeerdruk worden gegeen in Tabel 1.. De kinematische iscositeit an water bij 0 C en normale atmosfeerdruk bedraagt ongeeer m /s ofwel 1 cst (centistokes). Het erband tussen de kinematische iscositeit oor water en de temperatuur wordt bij benadering gegeen door olgende empirische formule 6 1,78 10 ν 1+ 0,0337 T + 0,000 T (1.11) waarin ν uitgedrukt is in m /s en T de temperatuur oorstelt in C. Waarden oor de kinematische iscositeit an erschillende fluïda in functie an de temperatuur en bij normale atmosfeerdruk worden gegeen in Fig. 1.5b. We schrijen nu de formules in een meer wetenschappelijke en wiskundige orm. Indien we een loeistoflaagje met dikte d beschouwen, dan olgt uit ergelijking 1.9 d τ = µ (1.1) d en indien s de erplaatsing is an de loeistof in de -richting dan is = ds/dt en kan het erband tussen de schuifspanning en de erormingen ook geschreen worden als d ds d ds dγ τ = µ = µ = µ (1.13) d dt dt d dt met γ = ds/d de hoekerdraaiing an de erorming an de loeistof, ofwel de afschuiingssnelheid oals gedefinieerd in de mechanica an het continuüm, oals weergegeen in Fig De schuifspanning blijkt dus eenredig te ijn met de snelheid an de hoekerdraaiing, dit in tegenstelling met lineair elastische materialen waar de schuifspanning proportioneel is met de hoekerdraaiing elf. Het gedrag an erschillende materialen onder inloed an schuifspanningen wordt schematisch weergegeen in Fig Fluïda ijn iskeue stoffen waarbij de oergebrachte schuifspanning afhankelijk is an de snelheid an de erorming. De fluïda worden ingedeeld in newtoniaanse en niet-newtoniaanse fluïda. De newtoniaanse fluïda oldoen aan de iscositeitwet an Newton, d.w.. dat de schuifspanningen lineair eenredig ijn met de gradiënten an de snelheid. Alle gassen en dunne loeistoffen, oals water, ijn quasi newtoniaanse fluïda, terwijl dikke loeistoffen meestal niet-newtoniaans ijn, d.w.. dat de

18 schuifspanningen niet lineair eenredig ijn met gradiënten an de snelheid. Niet-newtoniaanse loeistoffen kunnen ofwel pseudo-plastisch ijn indien de iscositeit afneemt met de schuifspanning, oals bijoorbeeld maonaise erf, of tandpasta, ofwel dilatant indien de iscositeit toeneemt met de schuifspanning, oals bij stroop of pudding. Een ideaal fluïdum is een loeistof of gas dat geen iscositeit beit, wat impliceert dat de stroming onder wrijing plaatsindt en er dus geen krachten oergebracht worden. Ideale fluïda bestaan niet in werkelijkheid, doch gassen kunnen bij benadering als ideaal erondersteld worden. Bij loeistoffen is dit minder het geal, behale in eer bijondere omstandigheden, oals loeibaar helium bij een temperatuur dicht bij het absolute nulpunt. Echter in sommige praktische omstandigheden Isaac Newton, in ijn sterfjaar 177, geportretteerd door J. Vanderbanck is de wrijing klein in ergelijking met de andere optredende krachten, odat in dergelijke geallen het fluïdum als ideaal mag beschouwd worden. Dit al de berekeningen sterk ereenoudigen oals aangetoond wordt in hoofdstuk 4. Bij aste stoffen is de schuifspanning onafhankelijk an de snelheidsgradiënt, terwijl stoffen oals plastic, ich gedragen als een aste stof wanneer de schuifspanningen klein ijn en als een loeistof wanneer de schuifspanningen een ekere kritische waarde oerstijgen. Sommige onderoekers ijn an oordeel dat aste stoffen ook fluïda ijn, echter met een eer hoge iscositeit, oals 10 1 Pa s of meer (panta rhei ei Plato). Schuifspanning, τ Vaste stof µ Plastic Niet-newtoniaans pseudoplastisch fluïdum: µ c te newtoniaans fluïdum: µ = c te Niet-newtoniaans dilatant fluïdum: µ c te Ideaal fluïdum: µ = 0 Afschuiingssnelheid, dγ/dt, of snelheidsgradiënt, d/d Fig. 1.6 Verband tussen de schuifspanning en de erorming oor erschillende materialen.

19 glcerine smeerolie Viscositeit (Pa s) kwik ethlalcohol benine water 10-4 lucht 10-5 waterstof Temperatuur ( C) Fig. 1.5a Viscositeit an enkele loeistoffen en gassen in functie an de temperatuur bij normale atmosfeerdruk.

20 glcerine 10-3 Kinematische iscositeit (m /s) smeerolie waterstof ethlalcohol lucht benine water 10-7 kwik Temperatuur ( C) Fig. 1.5b Kinematische iscositeit an enkele loeistoffen en gassen in functie an de temperatuur bij normale atmosfeerdruk.

21 Cohesie, adhesie en opperlaktespanning Moleculen oefenen wederijdse aantrekkingskrachten uit op elkaar. Dee onderlinge aantrekking wordt cohesie genoemd indien de moleculen tot deelfde stof behoren en adhesie in geal an moleculen an erschillende soort. Beschouw een molecule in een loeistof (Fig. 1.7a). Daar de aantrekkingskrachten met de andere moleculen snel afnemen met de afstand, is iedere molecule slechts onderworpen aan de aantrekkingskrachten an de moleculen in ijn onmiddellijke nabijheid, tot op een afstand an ongeeer 10-8 m. Wanneer een molecule olledig omringd is door andere moleculen neutraliseren de aantrekkingskrachten elkaar, odat er erder geen macroscopisch effect merkbaar is. A B Fig. 1.7 Moleculen in een loeistof en onderlinge aantrekkingskrachten: (a) binnenin de loeistof en (b) aan de rand an de loeistof. Dit is echter niet het geal oor moleculen die ich aan de rand beinden (Fig. 1.7b), omdat dee niet olledig omringd worden door andere moleculen an de loeistof. Er ijn wel andere aantrekkingskrachten tussen de moleculen an de loeistof en de moleculen an het fluïdum (meestal lucht), aanweig aan de andere kant an het scheidingsopperlak Maar dee aantrekkingskrachten ijn oer het algemeen kleiner, waardoor de buitenste moleculen tegen de loeistof worden getrokken en daardoor meer gebonden ijn en minder rij dan de moleculen binnenin de loeistof. Hierdoor gedragen de buitenste moleculen ich op een speciale wije; namelijk macroscopisch geien gedragen ij ich als een wak membraan dat om de loeistof heen it. Dit kan men aststellen wanneer men bijoorbeeld oorichtig een glas ult met water tot juist boen de rand. Een ander oorbeeld ijn insecten die oer een wateropperlak kunnen lopen omdat e licht genoeg ijn om het membraan niet te breken (er bestaan ook insecten die langs de binnenijde in het water aan het wateropperlak hangen). De buitenste moleculen ijn dus meer gebonden, waarbij de toename in bindingsenergie ook aanien kan worden als een opperlaktespanning in een membraan. Opperlaktespanning is een energie per opperlakte-eenheid ofwel kracht per lengte-eenheid, wat aangeduid wordt door het smbool τ s, met dimensies [F/L]. De opperlaktespanning is afhankelijk an het soort an loeistof, het andere fluïdum dat in contact is met de loeistof, de temperatuur en de absolute druk. De opperlaktespanning an water in contact met lucht wordt gegeen in Tabel 1.; Tabel 1.6 geeft waarden oor erschillende loeistoffen in contact met lucht, bij 0 C en normale atmosfeerdruk.

22 Tabel 1.6 Opperlaktespanning an enkele loeistoffen in contact met lucht, bij een temperatuur an 0 C en normale atmosfeerdruk. Opperlaktespanning Vloeistof τ s (N/m) Kwik 0,440 Tetrachloorkoolstof 0,07 Zwaelkoolstof 0,03 Glcerine 0,063 Water 0,073 Beneen 0,09 Terpentijn 0,07 Tolueen 0,09 Petroleum 0,03-0,038 Aceton 0,00 Benine 0,0 Ethlalcohol 0,03 Diëthlether 0,018 Smeerolie 0,037 Oer het algemeen ijn opperlaktespanningen erg klein odat het effect eran beperkt is. Trouwens wanneer het membraan lak is, neutraliseren de opperlaktespanningen elkaar, oals schematisch weergegeen in Fig. 1.8a. Echter bij een gekromd opperlak is er een resultante gericht naar de concae ijde (Fig. 1.8b). Hieruit olgt dat er een drukerschil is tussen de twee fluïda aan beide kanten an het scheidingsopperlak. Dit drukerschil is afhankelijk an de kromming an het opperlak, oals erder aangetoond al worden. p 1 p 1 p = p 1 p =p 1 p > p 1 A Fig. 1.8 Effecten an de opperlaktespanning: (a) bij een lak scheidingsopperlak en (b) bij een gekromd scheidingsopperlak. B Bijoorbeeld al water in afweigheid an uitwendige krachten een bolorm aannemen door de opperlaktespanning, waardoor het water onder druk komt te staan, oals weergegeen in Fig Om dee druk te berekenen olstaat het om het krachteneenwicht uit te drukken an een hale bol, waaruit olgt τs p = (1.15) r

23 Dus hoe kleiner de straal, hoe hoger de druk. Dit is bijoorbeeld ook het geal bij waterdruppels. Omdat bij kleine olumes in rije al het eigen gewicht weinig of geen effect heeft, nemen de druppels een bolorm aan, enigsins erormd door de waartekracht en de wrijing met de lucht. Bijoorbeeld in een druppel an 5 mm doorsnede bedraagt de druk 0,074 N / m p = = 59, Pa (1.16) 0,005 m membraan p τ S p r τ S Fig. 1.9 Een loeistof in afweigheid an uitwendige krachten. Er bestaan ook aantrekkingskrachten tussen loeistofmoleculen en de moleculen an aste stoffen. Dee aantrekking wordt adhesie genoemd en kan ook worden oorgestel door een opperlaktespanning. Adhesie is an belang wanneer twee fluïda in contact ijn met een aste stof, omdat het ene fluïdum het andere kan erdringen, indien ijn moleculen meer aangetrokken worden door de aste stof (τ 1 < τ ). A fluïdum τ τ s fluïdum 1 α τ 1 aste stof B lucht α<π/ water hdrofiel materiaal C lucht water α>π/ hdrofoob materiaal Fig Adhesie: (a) gekenmerkt door de contacthoek, (b) hdrofiel materiaal, en (c) hdrofoob materiaal. Dit kan ook worden uitgedrukt door de contacthoek α, geormd door het scheidingsopperlak tussen de twee fluïda en de wand, oals weergegeen in Fig. 1.10a. Eenwicht in de horiontale richting impliceert ofwel τ = τ1 + τs cosα (1.17)

24 - 0 - cos τ τ τ 1 α = (1.17) s Dus wanneer de contacthoek kleiner is dan π/ dan heeft het eerste fluïdum meer affiniteit oor de aste stof dan het andere fluïdum en wanneer α > π/ dan is het omgekeerde waar. Wanneer water in contact met lucht een grote adhesie ertoont oor een aste stof, dan wordt dee stof hdrofiel genoemd (Fig. 1.10b); in het omgekeerde geal spreken we an een hdrofobe stof (Fig. 1.10c). Bijoorbeeld organische materialen ijn hdrofoob, hetgeen erklaart waarom waterdruppels snel oer het blad an een plant aflopen. De eigenschappen cohesie en adhesie ullen in een hoofdstuk 8 gebruikt worden om processen te erklaren oals capillariteit en absorptie an water in poreue media. M.C. Escher, Druppel (Dauwdruppel) Een spinnetje dat oer water loopt

25 - 1 - BASISVERGELIJKINGEN.1 Basisbegrippen De grondbeginselen an de hdraulica ijn gebaseerd op de wetten an de mechanica an het continuüm. Er ijn ier fundamentele behoudswetten: 1) behoud an massa of continuïteitswet; ) behoud an impuls (tweede wet an Newton); 3) behoud an moment an impuls (wet an Newton uitgebreid naar krachtenkoppels); 4) behoud an energie. De drie eerste wetten olstaan meestal oor de beschrijing an stroming an loeistoffen. In de continuümmechanica ijn er twee benaderingen mogelijk om beweging te beschrijen. De eerste is die an Lagrange, waarbij de waarnemer elk deeltje an de stof olgt in ijn beweging. De tweede benadering is die an Euler, waarbij de waarnemer ast staat in een bepaald punt in de ruimte en waarneemt wat er op die plaats gebeurt. De aanpak an Lagrange is fundamenteler maar meestal erg moeilijk om in de praktijk toe te passen, terwijl de aanpak an Euler meer praktisch is en eenoudiger om toe te passen. In de hdraulica gaan we oornamelijk gebruik maken an de aanpak olgens Euler, waarbij we niet oeer geïnteresseerd ijn in het gedrag an elk indiidueel deeltje an de loeistof, maar eerder in de algemene kenmerken an de stromende loeistof in een bepaalde plaats. Het doel is om ergelijkingen op te stellen die de toestand an een loeistof, oals de druk en de snelheid, beschrijen in elk punt an de ruimte en de tijd. De ruimtelijke plaats wordt meestal aangegeen door een cartesiaans coördinatenstelsel T = (,,) (.1) hierin is de plaatsector, waarbij het streepje onder het smbool aangeeft dat het een ectoriële grootheid betreft;, en ijn de plaatscoördinaten met dimensie [L] en T betekent transpositie, d.w.. het erwisselen an de rijen en kolommen an een ector of een tensor. De tijd wordt oorgesteld door het smbool t met dimensies [T]. De snelheid an een deeltje is de erhouding tussen de plaatserandering en de tijd en wordt oorgesteld door de snelheidsector T = (,, ) d dt (.) = met, en de snelheidscomponenten, met dimensies [L/T], olgens de richtingen, en. In dee ergelijking is de plaatsector an een deeltje dat geolgd wordt in ijn beweging. Ruimtelijke afgeleiden worden bekomen door gebruik te maken an de nabla operator T =,, (.3) De ruimtelijke afgeleide an een scalaire grootheid φ() is de gradiënt

26 - - T,, ) ( grad φ φ φ = = φ φ (.4) De ruimtelijke afgeleide an een ectoriële grootheid () is de diergentie, wanneer we het scalair product nemen an en di() + + = = (.5) ofwel de rotatie in geal an het ectoriëel product T,, rot() = = (.6) Om de erorming te bepalen kijken we naar de erschillen in snelheid olgens de plaats = T (.7) Dit is een tweede orde tensor die men kan ontbinden in een smmetrisch deel en een antismmetrisch deel = T (.8) In de cursus Mechanica an het Continuüm wordt aangetoond dat het antismmetrische deel een starre rotatie beschrijft welke geen erorming erooraakt. Dus alleen het smmetrische deel beschrijft de erorming; dit noemt men de tensor an de snelheidsgradiënten V

27 = V (.9) De ersnelling is de erandering an de snelheid in de tijd, gegeen door d/dt, waarbij olgens Lagrange een deeltje geolgd wordt in ijn beweging t t) (, t) t t, ( lim dt d 0 t + + = (.10) Men noemt dit de materiële of Langrange afgeleide. Dit wordt geïllustreerd in Fig..1. Fig..1 Een deeltje in beweging. Werken we de totale afgeleide uit olgens de regels an partiële afgeleiden dan geeft dit t dt d dt d dt d t dt d = = (.11) ofwel ) ( t dt d + = (.1) De eerste term in het rechterlid noemt men de locale ersnelling en de tweede term de conectiee ersnelling. Dee betrekking geldt trouwens oor elke materiële afgeleide an een fsische grootheid f(,t) en wordt dikwijls oorgesteld door D/Dt )f ( t f dt df Dt Df + = = (.13) (,t) (+ t,t+ t) + t

28 Behoud an massa Behoud an massa impliceert dm = 0 (.14) dt Hierin is d/dt de materiële afgeleide, d.w.. dat olgens Lagrange de massa M geolgd wordt in ijn beweging. Beschouw het olume V dat de massa M omat (Fig..), dan wordt behoud an massa d ( ρdv) = 0 (.15) V dt t+ t M V+ V t M V Fig.. Een fluïdum met olume V en massa M in beweging. De omwisseling an de afgeleide en integratie is niet eenoudig omdat het olume V ook afhankelijk is an de tijd. In de continuümmechanica wordt aangetoond dat dee uitdrukking kan uitgewerkt worden met de transportstelling an Renolds d dt dρ ( ρdv) = + ρ( ) dv 0 Vermits het gekoen olume V willekeurig is, olgt hieruit V = (.16) V dt dρ + ρ( ) = 0 dt (.17) Dit is de continuïteitswet olgens Lagrange. De fsische betekenis an de continuïteitswet is duidelijk, nl. de erandering an de densiteit in de tijd is een geolg an de diergentie (of conergentie) an de stroming; indien de stroming diergeert ( > 0) dan moet de densiteit afnemen in de richting an de stroming (dρ/dt < 0) (Fig..) en omgekeerd als de stroming conergeert ( < 0) dan al de densiteit toenemen olgens de stroming (dρ/dt > 0). Er is echter ook een andere interpretatie mogelijk an de continuïteitswet olgens Euler. Werkt men de materiële afgeleide in ergelijking.17 erder uit op deelfde wije als in

29 - 5 - ergelijking.1, dan olgt ofwel dρ ρ + ρ( ) = + ( ) ρ + ρ( ) = 0 dt t ρ + ( ρ) = 0 t (.18) (.19) Dit is de continuïteitswet olgens Euler, welke ook eenoudig te interpreteren is, nl. in een bepaald punt in de ruimte al de densiteit lokaal toenemen (ρ/t > 0) indien de impuls per olume ρ conergeert naar dit punt ( ρ < 0), en omgekeerd al de densiteit lokaal afnemen (ρ/t < 0) als de impuls per olume er diergeert ( ρ > 0) (Fig..3). Merk op dat de impuls per olume hierbij ook geïnterpreteerd kan worden als een massaflu (immers massa per olume maal lengte per tijd is ook massa per opperakte per tijd). ρ M V Fig..3 De continuïteitswet olgens Euler. We beschouwen nog enkele speciale geallen an de continuïteitswet. Bij een permanente stroming is er geen temporele erandering, odat ( ρ) = 0 (.0) wat betekent dat de massaflu ρ diergentieloos is; de densiteit erandert niet in de tijd maar nog wel kan erschillen an plaats tot plaats. Voor onsamendrukbare fluïda is de densiteit oeral en altijd constant, waaruit olgt = 0 (.1) hetgeen betekent dat de stroming diergentieloos is. De wet an behoud an massa wordt nu een wet an behoud an olume. Indien de stroming ook nog rotatieloos is ( = 0), dan kan de snelheid afgeleid worden uit een potentiaal φ φ φ φ = φ = grad( φ) =,, (.) omdat de rotatie an een gradiënt altijd nul is ( φ = 0). Voor een diergentie- en T

30 - 6 - rotatieloe stroming wordt de continuïteitswet dan ( φ φ φ φ) = φ = + + = 0 (.3) met de Laplace operator, waaruit blijkt dat de potentiaal φ een harmonische functie is, d.w.. dat e oldoet aan de Laplace ergelijking..3 Behoud an impuls Behoud an impuls is een uitdrukking an de tweede wet an Newton, welke stelt dat een erandering in de beweging het geolg is an krachten, die inwerken op de materie. Dee wet wordt geformuleerd in ectororm als: de erandering an impuls in de tijd is gelijk aan de som an alle inwerkend krachten. Beschouw een olume V omsloten door een opperlak S, oals weergegeen in Fig..4, dan wordt behoud an impuls d dt ρdv = ρfdv + V V S TdS (.4) hierin ijn f = (f,f,f ) T de uitwendige krachten (oals de waartekracht) uitgedrukt per massa an het fluïdum, met dimensies [F/M = L/T ], en T de inwendige spanningen, ijnde krachten per opperlak, met dimensies [F/L ]. T is de spanningstensor gegeen door τ τ τ T = τ τ τ (.5) τ τ τ S ρ T S V ρf Fig..4 Behoud an impuls. De componenten an de spanningstensor τ ij geen de spanning in de i-richting op een lak met een normaal in de j-richting. Wanneer de indices erschillend ijn betreft het dus schuifspanningen en anders normaalspanningen, welke dikwijls ook aangeduid worden door σ i = τ ii. Alle componenten an de spanningstensor worden oorgesteld in Fig..5. De kracht

31 - 7 - op een elementair opperlak ds wordt dan gegeen door het tensorproduct TdS. σ τ τ τ τ σ τ τ σ Fig..5 Componenten an de spanningstensor. Uitwerking an ergelijking.4 met de transportstelling an Renolds en het theorema an Gauss oor de laatste term in het rechterlid, geeft dρ dv + ρ( )dv = ρfdv + ( ) V dt V V V T dv (.6) Vermits dit geldig is oor elk olume V, olgt hieruit dρ + ρ( ) = ρf dt + T (.7) Verdere uitwerking an de eerste term, waarbij gebruik wordt gemaakt an de continuïteitsergelijking.17, resulteert in d ρ = ρf + T (.8) dt wat duidelijk uitdrukt dat de ersnelling het geolg is an uitwendige en inwendige krachten. Dit is de impulswet olgens Lagrange. We kunnen dee wet ook schrijen olgens Euler door de materiële afgeleide uit te werken Hetelfde kan gebeuren met ergelijking.7, wat resulteert in ρ + ( ) = ρf + T (.9) t

32 - 8 - ofwel ρ + ( ) ρ + ρ( ) = ρf + T t ρ + ( ρ t T ) = ρf + T (.30) (.31) Dee ergelijking is fsisch interpreteerbaar als olgt: de locale erandering in impuls op een bepaalde plaats, ρ/t, is afhankelijk an de uitwendige en inwendige krachten en an de diergentie an (ρ T ), dit is de impuls per olume ρ die wordt getransporteerd door de stroming. Dit betekent dat impuls een eigenschap of kenmerk is an de loeistof die mee erplaatst wordt met de stroming, oals bijoorbeeld massa of temperartuur. Merk op dat T geen scalair product is maar wel een tweede orde tensor met componenten i j. Vergelijkingen.8,.9 en.31 ijn gelijkwaardig en drukken allemaal de tweede wet an Newton uit. Behoud an moment an impuls, in geal er geen uitwendige koppels aangrijpen op het fluïdum (hetgeen altijd het geal is bij een loeistof, tenij in eer uitonderlijke situaties oals bij een magnetische loeistof in een magnetisch eld), geeft als resultaat dat de spanningstensor smmetrisch is (ie cursus Mechanica an het Continuüm) T T = T (.3) dus τ ij is gelijk aan τ ji en., odat de spanningstensor eigenlijk slechts 6 componenten beat i.p.. 9. Merk op dat de impulsergelijking met de continuïteitsergelijking een onoplosbaar stelsel ormt, er ijn immers slechts 4 ergelijkingen maar 10 onbekenden, ijnde de densiteit, de drie snelheidscomponenten en de es componenten an de spanningstensor. Er moeten dus nog bijkomende ergelijkingen geformuleerd worden om een probleem oplosbaar te maken. Dit ijn de ogenaamde constitutiee betrekkingen die eigenschappen an het materiaal uitdrukken. We beschouwen nog enkele speciale geallen an de impulsergelijking. In het geal er geen stroming is, dan drukt de tweede wet an Newton het eenwicht uit tussen de uitwendige en inwendige krachten ρ f + T = 0 (.33) Dee ergelijking is eeneens an toepassing in het geal dat de erplaatsingen eer traag ijn, odat de inertietermen in de impulsergelijking erwaarloosd kunnen worden. Dit noemt men kruipstroming. In geal an een diergentieloe stroming ( = 0) ijn er geen erdere ereenoudigingen mogelijk. Echter, omdat ( ) = ( /) - ( ) (ie cursus Mechanica an het Continuüm), olgt uit ergelijking.9 dat oor een rotatieloe stroming ( = 0) de impulsergelijking als olgt kan geschreen worden ( ) 1 ρ = ρf + T ρ + (.34) t met de grootte an de snelheid, waarin men in de tweede term an het linkerlid de

33 - 9 - kinetische energie herkent. We ullen later aantonen dat de impulsergelijking meteen ook het behoud an energie uitdrukt..4 Vloeistofstroming Een loeistof is een onsamendrukbaar fluïdum, odat we oer olgende ergelijkingen beschikken: (1) behoud an olume en () behoud an impuls = 0 (.35) d dt T 1 = + ( ) = + ( ) = f + T (.36) t t ρ Dit ijn 4 ergelijkingen en 9 onbekenden, ijnde de drie snelheidscomponenten en de es componenten an de spanningstensor. Er ijn dus nog bijkomende oorwaarden of eronderstellingen nodig om een probleem op te lossen. Een eerste benadering bestaat erin om een loeistof als een perfect fluïdum te eronderstellen; d.w.. dat er is geen wrijing is en ook geen schuifspanningen, waardoor er alleen maar druk is in de loeistof, odat T = -pi, met I de eenheidstensor (merk op dat de druk als positief erondersteld wordt, hetgeen het minteken erklaard). Hieruit olgt De stromingsergelijkingen oor een perfecte loeistof worden dan d dt T = p (.37) = 0 (.38) T 1 = + ( ) = + ( ) = f p (.39) t t ρ Dit ijn 4 ergelijkingen en 4 onbekenden, de drie snelheidscomponenten en de druk, wat principieel oplosbaar is. Dit stelsel wordt de ergelijkingen an Euler genoemd. We ullen in hoofdstuk 4 ien welke toepassingen in de praktijk mogelijk ijn met dee ergelijkingen. Een tweede aanpak bestaat erin te eronderstellen dat de loeistof iskeus is en oldoet aan de iscositeitswet an Newton. In de continuümmechanica toont men aan dat oor Newtoniaanse loeistoffen de spanningstensor T een lineaire functie is an de tensor an de erormingssnelheden V T = ai + bv (.40) met a en b coëfficiënten die we als olgt bepalen. In geal er geen stroming is, dan is V = 0 en is er alleen maar druk mogelijk, d.w.. T = -pi, waaruit olgt dat a = -p. In geal an stroming, hernemen we het geal an stroming tussen platen, oals besproken bij de wet an Newton in hoofdstuk 1 (Fig. 1.4). In dit geal ijn alle snelheidscomponenten nul, behale, en alle afgeleiden an de snelheidscomponenten ijn eeneens gelijk aan nul

34 behale /, odat b = = τ τ (.41) Vergelijken we dit met de iscositeitswet an Newton (ergelijking 1.1) dan olgt hieruit dat b = µ, odat oor Newtoniaanse iskeue loeistoffen geldt V pi T µ + = (.4) De spanningen bestaan uit twee bijdragen: een isotrope druk -pi en de ogenaamde iskeue spanningen µv die het effect ijn an de stroming en de iscositeit an de loeistof. Uit ergelijkingen.4 en.9 olgt dan p T + µ = (.43) waarbij ook gebruik werd gemaakt an het feit dat de stroming diergentieloos is. De stromingsergelijkingen oor een iskeue loeistof worden nu = 0 (.44) p 1 f ) ( t ) ( t dt d T + ν ρ = + = + = (.45) Dit ijn de Naier-Stokes ergelijkingen, die bestaan uit 4 ergelijkingen met 4 onbekenden, ijnde de druk en de drie componenten an de snelheid. Dee ergelijkingen ijn rij ingewikkeld en in de praktijk ijn er niet eel oplossingen gekend, wat blijkt wanneer we dee ergelijkingen oluit schrijen 0 = + + (.46) = = = t t dt d ν ρ p 1 f (.47) = = = t t dt d ν ρ p 1 f (.48)

35 d dt = t = t = 1 p f + ν + + (.49) ρ De moeilijkheid it oornamelijk in de niet-lineaire conectiee ersnellingstermen. Enkele triiale oplossingen worden besproken in hoofdstuk 5. Een bijkomend probleem is ook nog het fenomeen an de turbulentie, wat aan bod komt in hoofdstuk 6. Indien de iscositeit gelijk gesteld wordt aan nul reduceren de Naier-Stokes ergelijkingen ich tot de Euler ergelijkingen oor een perfecte loeistof. Dit is ook het geal oor een rotatieloe stroming, ermits uit ergelijkingen. en.3 olgt dat = ( φ) = ( φ) = 0, odat er geen iskeue spanningen of wrijing ijn. Stroming onder wrijing komt aan bod in hoofdstuk 4. Wanneer er geen stroming is dan reduceren de ergelijkingen icht tot de eenwichtsergelijkingen.33, waarbij er uiteraard geen erschil is tussen iskeue of perfecte loeistoffen, ermits er bij rust geen wrijing is. Dit wordt behandeld in hoofdstuk 3. Waes follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and phsicists beliee that an eplanation for and the prediction of both the breee and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Naier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Centur, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theor which will unlock the secrets hidden in the Naier-Stokes equations. One of the seen Millennium price problems: Zie ook:

36 - 3-3 HYDROSTATICA 3.1 De hdrostatische wet De hdrostatica behandelt de loeistoffen in rust. In orig hoofdstuk werd aangetoond dat in afweigheid an beweging er eenwicht is tussen uitwendige en inwendige krachten ρf + T= 0 (3.1) en dat de inwendige krachten alleen bestaan uit een isotrope druk, odat T = p (3.) Als uitwendige krachten is oornamelijk de waartekracht an belang. Indien de -as erticaal wordt genomen en positief naar boen gericht, dan is een eenheidsector erticaal naar boen, odat de waartekracht oorgesteld kan worden als f = g (3.3) met g de alersnelling [L/T ], waaroor de waarde gelijk genomen wordt aan 9,81 m/s oor alle praktische berekeningen. Combinatie an oorgaande ergelijkingen geeft ofwel Integratie geeft ρg p = 0 (3.4) ( ρg + p) = 0 (3.5) te ρ g + p = c (3.6) waaruit olgt dat de druk alleen arieert met de hoogte. Dee relatie kan ook geschreen worden als p te h = + = c (3.7) ρg waarbij h gedefinieerd wordt als de piëometrische hoogte. De piëometrische hoogte h bestaat uit twee bijdragen, namelijk de plaatshoogte en de drukhoogte p/ρg. De waarde an de integratieconstante wordt bekomen door in rekening te brengen dat de (relatiee) druk aan het contactopperlak met de atmosfeer gelijk is aan nul, waaruit olgt p h = + = 0 (3.8) ρg met 0 de hoogte an het boenopperlak an de loeistof, gemeten anaf een willekeurig horiontaal referentielak. Dit boenopperlak wordt gekenmerkt door p = 0 moet dus horiontaal ijn, 0 = c te. We noemen dit het rij opperlak an de loeistof. Onder het rij opperlak wordt de druk gegeen door

37 p = ρg( 0 ) = ρgd (3.9) Dit is de wet an de hdrostatica, die stelt dat bij rust de druk lineair toeneemt met de diepte d onder het rij opperlak. De waarde an de druk blijkt gelijk te ijn aan het gewicht an de boenliggende loeistof per opperlakte (Fig. 3.1a). Echter het is niet nodig dat de loeistof daarboen effectief aanweig is, oals weergegeen in Fig. 3.1b. De piëometrische hoogte h is dus gelijk aan + d. Vermits het nulnieau an de plaatshoogte willekeurig gekoen kan worden, geldt dit ook oor h, waaruit olgt dat er geen natuurlijk nulpunt is oor de piëometrische hoogte. p = 0 p = 0 h d = p/ρg d 0 p = ρgd p = ρgd A B Fig. 3.1 De hdrostatische wet. De hdrostatische wet werd oor het eerst opgesteld door Pascal, die hiermee een aantal wetmatigheden formuleerde, oals Bij erbonden aten staat bij eenwicht het rij opperlak steeds op deelfde hoogte en is de druk op een bepaalde hoogte steeds gelijk (Fig. 3.a). Met een hdraulische pers kan men door een kleine kracht F 1 uit te oefenen op een kleine uiger S 1 een grote kracht F bekomen op een grote uiger S (Fig. 3.b); immers uit de gelijkheid an de druk olgt F1 F p = = (3.10) S S 1 Merk op dat de energie behouden blijft. Immers, omdat het olume an het erplaatste water hetelfde moet ijn, al de kleine uiger oer een grotere afstand moeten bewegen dan de grote uiger. Door slechts een eer klein olume loeistof toe te oegen kan men een at doen barsten: (Fig. 3.c). Pascal gebruikte dit eperiment om toeschouwers te erbaen. De loeistof wordt toegeoegd door een hoge en nauwe buis en ermits p = ρgd ontstaat er een grote druktoename in het at, waardoor dit uit ijn oegen barst. Ook de parado an Simon Stein (1586) kan erklaard worden door de hdrostatische wet: blijkbaar resulteert de druk an een loeistofolume V in een erlenmeer op bodem S an de

38 fles in een kracht die groter is dan het gewicht an de loeistof: F = ps = ρgds < ρgv (?) (Fig. 3.d). F 1 F p S 1 S p p A B d d V p = ρgd p S F = ps? C D Fig. 3. Enkele toepassingen an de hdrostatische wet: (a) erbonden aten, (b) de hdraulische pers, (c) het eperiment an Pascal en (d) de parado an Stein. 3. Metingen an de druk en de piëometrische hoogte Voor het opmeten an de druk en de piëometrische hoogte bestaan er erschillende technieken. De meest eenoudige methode bestaat erin om een erticale buis aan te brengen in de loeistof op de plaats waar men de meting wil uitoeren, oals weergegeen in Fig De loeistof al in de buis opstijgen en op een ekere hoogte tot rust komen. Wegens de hdrostatische wet al het loeistofnieau in de buis oereenkomen met de piëometrische hoogte an de loeistof. Men noemt daarom een dergelijk meettoestel een piëometer. Boendien geeft het erschil in hoogte tussen het meetpunt en het nieau an de loeistof in de buis de drukhoogte an de loeistof in het meetpunt. Met behulp an ergelijking 3.8 kan dan de druk berekend worden. Een piëometer kan ook gebruikt worden om drukken in

39 stromende loeistoffen op te meten. Immers het olstaat dat alleen de loeistof in de buis in rust is, opdat de hdrostatische wet geldig ou ijn. De buis moet dan wel dwars geplaatst worden in de richting an de stroming (ie de buis an Pitot in hoofdstuk 4). Ook moet de diameter an de buis minstens 13 mm ijn, om capillaire effecten te ermijden. d h p = ρgd Fig. 3.3 Meting an de druk met een piëometer. Grote drukken kunnen opgemeten worden met een manometer, bestaande uit een U-ormige buis geuld met een waardere loeistof (Fig. 3.4). ρ 1 0 p 1 d d 1 ρ Fig. 3.4 Meting an de druk met een manometer. Gebruik makend an de hdrostatische wet om de drukerschillen tussen de erschillende nieau s te berekenen, olgt = ρ g( ) ρ g( ) = g( ρ d d ) (3.11) p ρ1 1 In geal het fluïdum in de container een gas is, mag men de tweede term in het rechter lid an ergelijking 3.11 erwaarloen. Differentieelmanometers worden gebruikt om drukerschillen op te meten (Fig. 3.6). Uit de hdrostatische wet olgt

40 p1 1 1 ρ1 p = ( ρ ρ )g( ) = g( ρ )d (3.1) Dee ergelijking geldt alleen oor het geal dat de aansluitpunten an de manometer op gelijke hoogte gelegen ijn en het fluïdum in de beide reseroirs hetelfde is. In andere geallen wordt de ergelijking iets ingewikkelder. ρ 1 p 1 p d 1 ρ Fig. 3.5 Een differentieelmanometer. Voor industriële toepassingen gebruikt men andere tpes an drukmeters, omdat dee meer duuraam ijn in gebruik. Een bourdon of buiseer drukmeter (uitgeonden en gepatenteerd in 1849 door Eugene Bourdon, Frankrijk) bestaat uit een hol gekromd metalen buisje, dat aan één kant gesloten is en aan de andere kant erbonden wordt met het fluïdum waaran men de druk wenst te bepalen (Fig. 3.6a). Door het drukerschil tussen de binnen- en buitenijde, al het buisje recht getrokken worden wat d.m.. een ergrotende hefboommechanisme aan een wijer erbonden wordt waardoor men een afleing bekomt. Door het toestel af te ijken kan de wijerstand omgeet worden in een druk. Het toestel meet dus de relatiee druk t.o.. de atmosfeer. Een druksensor bestaat uit een membraan of diafragma dat erormt wanneer de drukken aan beide ijden erschillen (Fig. 3.6b). Door de erplaatsing oer te brengen, hetij mechanisch of elektronisch, kan men een afleing bekomen, welke na ijking omgeet kan worden in een drukmeting. A B Fig. 3.6 Industriële drukmeters: (a) bourdonmeter en (b) diafragma-druksensor.

41 Krachten uitgeoefend door loeistoffen in rust Objecten in contact met loeistoffen in rust onderinden de hdrostatische druk an de loeistof. Dikwijls is het belangrijk om de resultante an dee drukken te kennen. De resulterende kracht F wordt bekomen door integratie an de drukken oer het opperlak F = pds (3.13) S Het aangrijppunt an de resultante F wordt het drukcentrum genoemd en kan bepaald worden door de gelijkheid an het moment op het opperlak uit te drukken F = pds (3.14) F S Dergelijke berekeningen kunnen ingewikkeld worden indien het opperlak gekromd is. Bijoorbeeld in geal an een erticale wand (Fig. 3.7) in contact met een stilstaande loeistof oer een hoogte H, kan de grootte an F per eenheidsbreedte in de derde dimensie berekend worden als H H H F = pd = ρg(h )d = ρg 0 (3.15) 0 De plaats an het drukcentrum wordt bekomen als olgt H H H H F F = pd = ρg(h )d = ρg = F 0 (3.16) waaruit olgt dat de resultante aangrijpt op 1/3 an de hoogte gemeten anaf de bodem, of op /3 an de hoogte gemeten anaf het rij opperlak. 3 p H/3 F H F Fig. 3.7 Kracht uitgeoefend door een loeistof in rust op een erticale wand.

42 De sluisdeuren staan in een hoek tegen elkaar om de druk an het water op te angen. b Z α b p F S a Z h a Fig. 3.8 Kracht uitgeoefend door een loeistof in rust op een recht opperlak. De kracht op een opperlak gelegen in een lak (Fig. 3.8) kan berekend worden als olgt. Omdat de richting an de kracht gekend is, namelijk loodrecht op het opperlak, moet alleen nog de grootte an de kracht berekend worden F = pds g(h )ds g h ds ds = = ρg(h )S = p S S ρ = ρ S (3.17) S S met de hoogte an het waartepunt an het opperlak en p de druk an de loeistof in dit waartepunt. Voor de bepaling an het drukcentrum maken we gebruik an een lokaal assenstelsel (a,b) in het schuin lak, oals weergegeen in Fig. 3.8, waarbij het opperlak neergeslagen werd in het blad an de figuur. Het moment om respectieelijk de b- en de a-as

43 geeft a F F ( sinα) ds = ρg( sinα) a ds = ρg( sinα) I aa = apds = a ρg S S S (3.18a) S S ( sinα) ds = ρg( sinα) abds = ρg( sinα) I ab b FF = bpds = abρg (3.18b) waarin I aa en I ab traagheidsmomenten ijn an het opperlak. Vermits de grootte an de kracht gelijk is aan ρga (sinα)s, olgt hieruit S Iaa a S + Iaa Iaa a F = = = a + a S a S a S (3.19a) Iab a b S + Iab Iab b F = = = b + a S a S a S (3.19b) met I aa en I ab de traagheidsmomenten t.o.. het waartepunt an het opperlak. Merk op dat a F altijd groter is dan a, odat het drukcentrum altijd lager is dan het waartepunt, en dat b F gelijk is aan b in geal an een smmetrisch opperlak (I ab = 0). Voor een gebogen opperlak worden de ergelijkingen nog ingewikkelder en is het beter om anders te werk te gaan. Er bestaan speciale methodes afhankelijk an de orm an het opperlak, welke men kan teruginden in de akliteratuur. Een algemene methode oor gebogen opperlakken bestaat erin om de componenten an de kracht afonderlijk te bepalen (Fig. 3.9). 0 Z F S S F F Fig. 3.9 Berekening an krachten uitgeoefend door een loeistof in rust op een gebogen opperlak. De horiontale componenten kunnen bekomen worden als olgt. Voor een component F n in de richting n geldt F = F n = pds n = pds (3.0) n S S n n

44 waarbij S n de projectie is an S in de n-richting. Het bijondere is dat S n gelegen is in een lak odat F n berekend kan worden met de orige methode. Men kan aldus afonderlijk F en F berekenen alsook hun richting en aangrijppunt. De erticale component wordt bekomen als olgt F = pds = ρg( )ds = ρgv (3.1) S S met V het olume gelegen tussen het opperlak en het rij opperlak an de loeistof. Dee erticale kracht grijpt aan in het waartepunt Z an V. De erticale component is dus niets anders dan het gewicht an de loeistof boen het opperlak, waarbij dit water elfs niet effectief aanweig moet ijn. Indien het opperlak in contact is met de loeistof aan ijn onderijde, dan is F naar boen gericht i.p.. naar beneden. Nadat men alle componenten berekend heeft, olstaat het om de erschillende krachten samen te tellen op ectoriele wije. We beschouwen nog het speciaal geal an een buis geuld met een loeistof, die onder een bepaalde druk staat (Fig. 3.10). Om de wanddikte an buis te dimensioneren is het nodig de spanningen in de wand te berekenen. Dit kan op eenoudige wije gebeuren door het eenwicht uit te drukken an een hale buis, waaruit olgt 0 Rp = dσ (3.) met d de dikte an de wand. Hieruit blijkt dat de wand an de buis onderworpen is aan een trekspanning gegeen door R σ = p (3.3) d d p R σ p σ Fig Spanning uitgeoefend in de wand an een met loeistof geulde buis. 3.4 Ondergedompelde en drijende oorwerpen De totale kracht te wijten aan de hdrostatische druk op een ondergedompeld oorwerp (Fig. 3.11) kan berekend worden als olgt F = pds (3.4) S

45 met S het opperlak dat het oorwerp omhuld. Door de stelling an Green te gebruiken en de hdrostatische wet olgt hieruit pdv = ρg (h )dv = ρg dv = ρgv = G V (3.5) V V F = met V het olume an het ondergedompelde oorwerp en G het gewicht an het oorwerp, indien dit ou bestaan uit loeistof. Vergelijking 3.5 is de wet an Archimedes, namelijk een ondergedompeld oorwerp onderindt een opwaartse stuwkracht gelijk aan het gewicht an de erplaatste loeistof. Dit kan ook op een andere eenoudige wije beween worden: de druk is alleen afhankelijk an de orm an het oorwerp en niet an het gewicht; eronderstel nu dat het ondergedompelde oorwerp uit deelfde loeistof bestaat; ermits de loeistof in rust is, moet de resultante an de hdrostatische druk dan tegengesteld ijn aan het gewicht an dee loeistof. F = G V p G Fig Krachten op een ondergedompeld oorwerp. Uit de wet an Archimedes olgt dat indien het soortelijk gewicht an het oorwerp groter is dan dee an de loeistof, het oorwerp naar beneden al inken, omdat de waartekracht groter is dan de stuwkracht. In het omgekeerde geal al het oorwerp naar boen stijgen en gaan drijen op de loeistof, waarbij een gedeelte an het olume V o onder het rij opperlak an de loeistof blijft itten. Uit de wet an Archimedes olgt dan dat de grootte an de stuwkracht gegeen is door F = ρgv o (3.6) Dit principe wordt gebruikt bij de hdrometer, dit is een eenoudig toestel om de densiteit an loeistoffen te bepalen. De hdrometer bestaat uit een rijwel gewichtsloos gesloten buisje met straal r en onderaan een gekend gewicht G. Wanneer de hdrometer in de loeistof wordt geplaatst gaat dee drijen (Fig. 3.1) en kan men met de ondergedompelde diepte d de densiteit an de loeistof berekenen uitgaande an ergelijking 3.6. G ρ = (3.7) gπr d

46 - 4 - In de praktijk ijn er merktekens op het buisje aangebracht waarmee men de densiteit rechtstreeks kan afleen. r d G Fig. 3.1 Principe an een hdrometer. De stabiliteit an een drijend oorwerp is erekerd wanneer het waartepunt Z lager gelegen is dan het aangrijppunt Z 0 an de stuwkracht (Fig3.13a); dit geldt ook oor ondergedompelde oorwerpen (oals bijoorbeeld een duikboot); men noemt dit gewichtseenwicht. Een drijend oorwerp kan ook stabiel ijn wanneer het waartepunt hoger gelegen is dan aangrijppunt an de stuwkracht, wat meestal het geal is oor drijende oorwerpen oals bijoorbeeld een schip (Fig. 3.13b). De erklaring olgt uit het feit dat bij een schommeling an het drijende oorwerp de orm an het ongedompelde olume erandert, waardoor de stuwkracht an plaats erandert en samen met het gewicht an het oorwerp een koppel ormt dat het drijende oorwerp terug in eenwicht brengt (Fig. 3.1c); men noemt dit ormeenwicht. F G M G Z Z 0 Z o Z Z o Z G F F α A B C Fig Stabiliteit an een drijend oorwerp: (a) waartepunt lager dan stuwpunt, (b) waartepunt hoger dan stuwpunt, en (c) bij een afwijking. Het punt M (Fig. 3.13c) wordt het metacentrum genoemd en de afstand MZ de metacentrische hoogte h M. Het blijkt dat oor kleine schommelingen de metacentrische hoogte constant is, odat bij een hoek α het terug in eenwicht richtend koppel gelijk is aan Gh M sinα. Het drijend oorwerp komt dus terug in eenwicht als het metacentrum M boen het waartepunt Z gelegen is, anders al het oorwerp kantelen. De stabiliteit an een drijend oorwerp neemt toe met de metacentrische hoogte. Bijoorbeeld oor rachtschepen bedraagt de metacentrische hoogte 0,3 m tot 0,7 m; oor oorlogsschepen of eiljachten is dit meer (tot 1,5 m) waardoor dee stabieler ijn maar ook sneller rollen.

47 Vloeistoffen in een permanent ersnellingseld Wanneer een loeistof onderworpen is aan een permanente ersnelling dan is de traagheidskracht constant en kan dee aanien worden als een uitwendige kracht die inwerkt op de loeistof. Het eenwicht tussen de krachten wordt dan d ρ = ρg p (3.8) dt Voor een waarnemer die mee beweegt met dee ersnelling is de loeistof in rust, ermits beiden onderworpen ijn aan deelfde ersnelling. Er kan ook geen wrijing optreden ermits alle loeistofdeeltjes op deelfde wije bewegen. Ter illustratie beschouwen we enkele oorbeelden. Het eerste betreft een horiontale ersnelling, bijoorbeeld loeistof in een container op een ertrekkende rachtwagen (Fig. 3.14). -a/g 0 p d a Fig Vloeistof met een permanente horiontale ersnelling. Stel dat een acceleratie a in de -richting plaatsindt, dan wordt de ersnelling gegeen door d dt Wanneer we dit substitueren in de impulsergelijking geeft dit T = (a,0,0) = a (3.9) waaruit olgt ρ a + ρg + p = 0 (3.30) te ρ a + ρg + p = c (3.31) De integratieconstante kan bekomen worden uitgaande an de gemiddelde positie an het rij

48 opperlak. Stel dat in het midden an de container ( = 0, de waarnemer beweegt mee met de loeistof) het rij opperlak op een hoogte 0 gelegen is, dan olgt hieruit a p + + = 0 (3.3) g ρg Het rij opperlak wordt bekomen oor p = 0, waaruit olgt = ( a g) (3.33) 0 Dit is een lak met een helling -a/g t.o.. de horiontale; dus hoe groter de ersnelling hoe schuiner het boenlak an de loeistof. De druk in de loeistof wordt gegeen door [ ( a g) ] = gd p = ρg 0 ρ (3.34) met d de diepte onder het rij opperlak. Dee ergelijking is hetelfde als de hdrostatische wet. Een tweede oorbeeld betreft een loeistof in een at dat roteert met een hoeksnelheid ω (Fig. 3.15). Er is dan een permanente ersnelling in de radiale richting, welke in clindrische coördinaten (r,α,) gegeen wordt door d T In dit geal is de nabla operator in clindrische coördinaten dt = ( ω r,0,0) = ω r r (3.35) De impulsergelijking wordt dan waaruit olgt T 1 =,, (3.36) r r α ρω r r + ρg + p = 0 (3.37) 1 te ρω r + ρg + p = c (3.38) De integratieconstante kan bekomen worden door uit te drukken dat in het midden (r = 0) het rij opperlak (p = 0) op een hoogte 0 staat, odat ω r p + + = 0 (3.39) g ρg Het rij opperlak (p = 0) wordt dan gegeen door ω r = 0 + (3.40) g Dit is een parabolische orm. Dee eigenschap werd roeger gebruikt om het toerental, f, an

49 een roterend oorwerp op te meten, immers f ω g = = (3.41) π πr met R de straal an de clinder en het hoogteerschil an het rij opperlak aan de rand an een loeistofreseroir dat mee draait met de rotor (Fig. 3.15). De druk in de loeistof wordt gegeen door 1 p = ρg( ) + ρω r = gd (3.4) 0 ρ met d de diepte onder het rij opperlak. Dit is opnieuw de hdrostatische wet. ω d 0 p R r Fig Vloeistof in een roterend at.

50 STROMING ZONDER WRIJVING 4.1 Stromingsergelijkingen De Euler-ergelijkingen gelden oor perfecte loeistoffen (µ = 0) of indien de stroming rotatieloos is ( = 0). In beide geallen ijn er geen schuifspanningen of wrijing aanweig in de loeistof. Dit is een reemde aak, want loeistoffen worden in beweging gebracht door schuifspanningen. Het is alsof we met een lepel in de soep roeren en de soep onbeweeglijk blijft. Dit impliceert ook dat stromende perfecte loeistoffen niet gestopt kunnen worden en eeuwig oneranderlijk blijen doorstromen onder energieerlies. Uiteraard bestaan dergelijke stromingen niet (uitgeonderd loeibaar helium bij een temperatuur lager dan, K), maar is het toegestaan te eronderstellen dat de loeistof ich gedraagt op een perfecte wije in geal er weinig wrijing is. Dit ijn meestal lokale situaties waar de wrijing an ondergeschikt belang is en de Euler-ergelijkingen bij benadering toepasbaar ijn = 0 (4.1a) d ρ = ρ + ρ = ρg p (4.1b) dt t waarbij we als uitwendige krachten alleen de waartekracht beschouwen. Dit is een stelsel an ier ergelijkingen en ier onbekenden, p en, hetgeen theoretisch oplosbaar is. Echter geien de compleiteit an de ergelijkingen, ijn er in de praktijk nog erdere ereenoudigingen nodig om bruikbare resultaten te bekomen. Veronderstel dat we oer een oplossing beschikken oor een bepaald probleem. We kennen dan de druk en de snelheid in elk punt en op elk tijdstip. Volgens het standpunt an Lagrange olgen we elk deeltje in ijn beweging. Vertrekkende an een beginpositie (0) op tijdstip t = 0 komen we in een positie (t) terecht na een tijd t; een dergelijk traject wordt een stroombaan genoemd (Fig. 4.1a). De ergelijking an een stroombaan is ofwel d d = (4.) dt d d = = = dt (4.3) t=0 (0) t 1 (t 1 ) t (t ) ( 0,t) 0 1 ( 1,t) (,t) A B Fig. 4.1 Een stroombaan (A) en een stroomlijn (B).

51 Stroombanen ijn meestal erg moeilijk te bepalen. Indien we echter het standpunt an Euler olgen dan nemen we op een bepaald tijdstip in elk punt an de ruimte een ekere snelheid waar. We kunnen dan op elk ogenblik dit stromingspatroon isualiseren door ogenaamde stroomlijnen; dit ijn curen die rakend ijn aan de snelheidsectoren (Fig. 1.4b). De ergelijking an een stroomlijn is ofwel d te d = c (4.4) d d te = = = c (4.5) hetgeen iets eenoudiger is om op te lossen, maar toch nog altijd redelijk ingewikkeld. Er ijn ook nog emissielijnen die geormd worden door deeltjes die doorheen een bepaald punt gegaan ijn (bijoorbeeld een merkstof die continu geïnjecteerd wordt in een ast punt, oals de rooksliert uit een schouw). Voor een permanente stroming erandert de snelheid niet met de tijd en allen de stroombanen, stroomlijnen en emissielijnen samen. Dee banen ijn dikwijls bij benadering gekend onder dat men dee eact moet berekenen. De stromingsergelijkingen in ulk geal worden dan = 0 (4.6a) ρ + ρg + p = 0 (4.6b) Beschouw nu een gesloten kromme en alle stroombanen die er doorheen gaan (Fig. 4.). S w S Q S 1 Q Fig. 4. Een stroombuis. Hierdoor ontstaat een opperlak dat we aanduiden als een stroombuis. We onderoeken de continuïteitsergelijking in het olume V, dat omat wordt door de wand an de stroombuis S w en twee willekeurige opperakken S 1 en S die de stroombuis afbakenen aan het begin en einde, oals weergegeen in Fig. 4.. Integratie an de continuïteitsergelijking oer dit olume geeft

52 Toepassing an het theorema an Gauss geeft ( )dv = (4.7) V 0 ( )dv = ds = ds + ds + ds 0 (4.8) = V S S 1 Sw S De integraal oer het opperlak S w is nul, omdat de snelheid parallel is aan de wand an de stroombuis en dus loodrecht staat op ds, waaruit olgt ( ds) = ds = (4.9) S S Q 1 waarin Q staat oor het debiet, ijnde het loeistofolume dat per tijdseenheid de stroombuis erlaat aan de uitgang S of binnenstroomt aan de ingang S 1 (merk op dat omdat ds positief wordt genomen naar buiten gericht, het debiet positief is oor uitstroming en negatief oor instroming). Vermits de opperlakken S 1 en S willekeurig ijn, is de grootte an het debiet alleen afhankelijk an de gekoen stroombuis. Hieruit olgt dat het debiet constant is in een stroombuis bij permanente stroming, hetgeen een ereenoudigde uitdrukking is an de continuïteitswet. De dimensies an het debiet ijn [L 3 /T] en als eenheden worden meestal m 3 /s gebruikt. In het bijonder kunnen we in een stroombuis een dwarsdoorsnede S beschouwen, welke loodrecht staat op elke stroombaan in de stroombuis, waaruit olgt Q = ds = ds = < > S (4.10) S met <> de gemiddelde snelheid in de stroombuis in een dwarsdoorsnede. Dit is de formule an Castelli, welke stelt dat het debiet gelijk is aan de gemiddelde snelheid maal de opperlakte an een dwarsdoorsnede an de stroombuis. In het bijonder al in een stroombuis de gemiddelde snelheid toenemen als de dwarsdoorsnede erkleint en omgekeerd. We beschouwen nu de impulsergelijking oor een permanente stroming en nemen het scalair product met de snelheid ( ρ + ρg + p) = 0 (4.11) De eerste term kan erder uitgewerkt worden S waaruit olgt 1 1 ( ρ ) = ( ρ )( 1 ) = ρ ( ) = ( ρ ) (4.1) [ ] 1 ( 1 ρ ) + ρg + p = ( ρ + ρg + p) = E = 0 (4.13) Dit betekent dat de gradiënt an E loodrecht staat op de snelheid, waaruit olgt dat E constant moet ijn langsheen een stroombaan (Fig. 4.3). Langs een stroombaan geldt dus E = = (4.14) 1 c te ρ + ρg + p De fsische betekenis is onmiddellijk duidelijk: E is de energie an de loeistof per olume

53 die drie bijdragen omat: de kinetische energie ρ /, de graitaire energie ρg en de drukenergie p. Langsheen een stroombaan blijkt de energie dus constant te ijn en de erklaring hieroor is eident, immers een perfecte loeistof kan stromen onder wrijing dus onder energieerlies. Dit is de wet an Bernoulli, welke een reeks an belangrijke toepassingen heeft in de praktijk, oals erder aangetoond wordt. E stroombaan: E = c te Daniel Bernoulli Fig. 4.3 De wet an Bernouilli. Een erdere ereenoudiging is mogelijk door te eronderstellen dat de stroming rotatieloos is. In hoofdstuk werd aangetoond dat oor een rotatieloe stroming de snelheid afgeleid kan worden uit een potentiaal φ, die oldoet aan de Laplace-ergelijking. Elke harmonische functie geeft dus een mogelijk stromingseld; indien we dee functie kunnen bepalen dan is het probleem opgelost en alles berekenbaar ( = φ en p wordt bekomen met ergelijking 4.14). Echter in de praktijk blijkt het erg moeilijk te ijn om de juiste functie te inden die oldoet aan alle randoorwaarden, oals instromingen, uitstromingen, wanden, openingen, e.d. Daarom al men meestal de stroomlijnen niet eact kennen maar slecht isueel kunnen benaderen, hetgeen dikwijls oldoende is om tot bruikbare resultaten te komen. In geal de stroming rotatieloos is werd in hoofdstuk aangetoond dat (. ) = ( /), odat oor een permanente stroming ergelijking 4.6b omgeormd wordt tot waaruit olgt ofwel ρ ( 1 ) + ρg + p = 0 (4.15) ( 1 ρ + ρg + p) = 0 (4.16) 1 te ρ + ρg + p c E = = (4.17) Dit is opnieuw de ergelijking an Bernouilli, doch het grote erschil met ergelijking 4.14 is dat dit nu niet alleen geldig is langsheen een bepaalde stroomlijn maar wel oeral in de loeistof. Dit betekent dat elk deeltje an de loeistof deelfde energie beit. Indien men op een bepaalde plaats de energie kent geldt dee oor elk punt in de loeistof. Dee eigenschap blijkt erg nuttig te ijn oor allerlei toepassingen.

54 De wet an Bernoulli Indien bij een loeistofstroming de energieerlieen klein ijn, is de wet an Bernoulli bij benadering toepasbaar. Dee wet kan uitgedrukt worden als een behoud an energie per loeistofgewicht, e = E/ρg, wat aangeduid wordt als de lading. De lading wordt dus gegeen door p te e = + + = c (4.18) ρg g De eerste term an de lading is de plaatshoogte en de tweede term de drukhoogte; de som an beide termen is de piëometrische hoogte, welke gedefinieerd werd in orig hoofdstuk. De derde term in de lading is de kinetische energiehoogte. De som an alle termen geeft de totale energiehoogte of de lading, waaroor olgende eenoudige fsische interpretatie kan worden gegeen: het is de maimale hoogte tot waar kan komen met ijn beschikbare energie indien er geen wrijingserlieen ijn; dus water in rust en in contact met de atmosfeer op een hoogte e beit deelfde energie (alleen graitaire in dit geal). De erschillende termen worden weergegeen in Fig energie- of ladingslijn piëometrische lijn /g kinetische hoogte e p/ρg drukhoogte h /g stroomlijn = 0 plaatshoogte B A Fig. 4.4 De wet an Bernoulli langs een stroomlijn (a) en kinetische energie hoogte an een loeistofstraal (b). De lading of energiehoogte kan worden gemeten met een ogenaamde buis an Pitot. Dit is een buis, oals een piëometer, maar met een rechte inlaatsectie, welke in tegengestelde richting an de stroming wordt geplaatst, oals weergegeen in Fig. 4.5a. Juist oor de inlaat an de pitotbuis (punt ) ontstaat er een stagnatie, omdat de stroming er erhinderd wordt, dus = 0. Toepassing an de wet an Bernoulli tussen de punten 1 en geeft dan p1 1 p e = = + (4.19) ρg g ρg

55 A h 1 1 /g h pitotbuis B piëometer p 1 Fig. 4.5 (a) Pitotbuis, (b) Prandtl-buis. Toepassing an de hdrostatische wet oor de loeistof in de pitotbuis geeft h p = + e (4.0) ρg = Hieruit olgt dat het nieau in de pitotbuis h oereenkomt met de ladingshoogte e. Men egt dat de pitotbuis de dnamische druk meet en een piëometer de statische druk. Indien de piëometrische hoogte h 1 in punt 1 wordt opgemeten met een gewone pieometer (inlaatsectie dwars op de stroming), kan olgt uit ergelijking 4.19 dat men de snelheid an de stroming kan bepalen als = g(h h ) (4.1) 1 1 In de praktijk wordt dit gecombineerd in een ogenaamde Prandtl-buis, waarbij het erschil in statische en dnamische druk rechtstreeks wordt opgemeten, odat = p ρ (Fig. 45b). De ergelijking an Bernoulli kan ook toegepast worden op een stroombuis (Fig. 4.6). energie- of ladingslijn piëometrische lijn stroombuis α<> /g <p>/ρg <e> <h> <> Fig. 4.6 De wet an Bernoulli oor een stroombuis. De gemiddelde lading an de stroombuis kan berekend worden als een gewogen gemiddelde

56 - 5 - an alle ladingen aanweig in de stroombuis, met als gewicht de hoeeelheid an de stroming, dus het debiet 1 1 p e edq ds Q S Q S g g < > = = + + (4.) < > ρ waaruit olgt < p> α< > te < e > =< > + + = c (4.3) ρg g waarbij <> in de ergelijking betekent dat het een gemiddelde waarde betreft oer een dwarse sectie an de stroombuis. Meestal worden dee smbolen weggelaten. Ook is het gebruikelijk om als gemiddelde waarde oor de hoogte an de hartlijn an de stroombuis nemen en als gemiddelde waarde oor p de druk die oorkomt op de hartlijn. Voor de snelheid wordt de gemiddelde waarde gebruikt oals berekend uit het debiet met de formule an Castelli, waarbij de coëfficiënt α afhankelijk is an de snelheidserdeling in de stroombuis, met olgende mogelijkheden: oor een uniforme stroming is de waarde 1 (dit is het theoretische uniforme snelheidsprofiel oor een perfecte loeistof); oor een parabolische snelheidserdeling is de waarde (dergelijke erdeling komt oor bij laminaire stroming, oals aangetoond al worden in hoofdstuk 5); en oor een logaritmisch profiel bedraagt de waarde 1,05 (dergelijke erdeling is an toepassing bij turbulente stroming, oals besproken al worden in hoofdstuk 6). In de praktijk is de stroming meestal turbulent en ereenoudigt men dikwijls de ergelijking door oor α toch de waarde 1 te nemen, odat de formule an Bernoulli oor een stroombuis hetelfde wordt als oor een stroombaan. Het wordt nu ook mogelijk om het ermogen an een loeistofstroom te bereken, immers het ermogen P is de energie per tijdseenheid, odat ofwel energie energie olume P = = = EQ = ρgeq (4.4) tijd olume tijd P = ( ρg + p + 1 αρ )Q (4.5) Merk op dat dit ermogen afhankelijk is an de conenties betreffende het nulnieau oor en p; boenstaande formule geeft dus het ermogen t.o.. een loeistof in rust, in contact met de atmosfeer en op een hoogte nul. Het is nu ook duidelijk hoe we door middel an een pomp het ermogen an een loeistofstroom kunnen erhogen; immers wanneer een pomp een bijkomend ermogen P aan een loeistofstroom geeft, dan neemt de lading toe met een hoeeelheid e = P/ρgQ; men noemt dit dan de opoerhoogte, want de lading wordt erhoogt met e (we komen hierop terug in hoofdstuk 7). Ter illustratie bereken we het ermogen an een waterstroom uit een kraan. Stel dat de kraan een sectie heeft an 1 cm doorsnede en dat de gemiddelde snelheid an het uitstromende water 10 m/s is; het uitstromende water is in contact met de atmosfeer odat p = 0, en we berekenen het ermogen t.o.. water op deelfde hoogte, odat = 0. Aldus krijgen we P = ρ Q = ρ S = 0,5 1000kg / m (10m / s) 10 m = 50 W (4.4)

57 Toepassingen an de wet an Bernoulli Een eerste toepassing betreft het meten an het debiet in een leiding. Dit kan gebeuren met een ogenaamde enturimeter, schematisch weergegeen in Fig De enturimeter is een buis met een ernauwde sectie. De ernauwing gebeurt geleidelijk odat er o weinig mogelijk wrijing is. Toepassing an de wet an Bernoulli tussen de secties 1 en geeft p1 1 p + + = + (4.6) ρg g ρg g 1 + Indien de plaatshoogtes deelfde ijn olgt hieruit 1 p p = ρ( ) (4.7) 1 1 Q 1 Q Fig. 4.7 Een enturimeter. Met de formule an Castelli (Q = 1 S 1 = S ) kan dit omgerekend worden tot (p p ) Q = S (4.8) ρ 1 ( 1 S S ) Om het debiet te bepalen olstaat het dus om het drukerschil op te meten met bijoorbeeld een differentieelmanometer oals weergegeen in de figuur of in de praktijk meestal met druksensoren. Een speciaal tpe enturimeter is de meetflens, waarbij de constructie gericht is op eenoud ten koste an nauwkeurigheid (Fig. 4.8). Omdat de stroming niet lot doorheen de opening kan gaan is er eel wrijing en erstoring an de stroming met werels ooral achter de opening. Daarom wordt het debiet gegeen door 1 p Q = CS (4.9) ρ ( 1 S S ) met C een correctiefactor tussen 0,6 en 0,8. In de praktijk wordt het toestel afgeijkt odat Q kan afgeleid worden uit een meting an p. 1

58 p Fig. 4.8 Een meetflens. Een tweede toepassing betreft een reseroir met een opening waardoor er een debiet kan uitstromen. De situatie wordt weergegeen in Fig d S S c Q A Fig. 4.9 Stroming door een opening: (a) globaal en (b) detail. B Beschouw een stroombaan tussen een punt er erwijdert an de opening en een punt in de opening. Ver erwijderd an de opening is de stroomsnelheid erwaarloosbaar klein en is de loeistof dus in hdrostatisch eenwicht, odat e = h = 0, met 0 het nieau an het rij opperlak. Aan de opening is de druk nul omdat de loeistof in contact is met de atmosfeer. Rekening houdend met dee oorwaarden olgt uit de ergelijking an Bernoulli odat e = 0 = + (4.30) g = g( 0 ) = gd (4.31) met d de diepte an de opening onder het rij opperlak an de loeistof. Dee formule werd oor het eerst opgesteld door Torricelli. Om het debiet te bekomen olstaat het de grootte an de dwarse sectie in rekening te brengen. Echter het blijkt dat er een contractie optreedt an de stroming doorheen de opening (Fig. 4.9b), waardoor de grootte an de dwarse sectie S c an de stroombuis kleiner is dan de grootte an de opening S. Dit wordt het ena contracta effect genoemd. Aldus olgt uit de formules an Torricelli en Castelli

59 Q = Sc gd = CS gd (4.31) met C een contractiecoëfficiënt, maar waarbij ook de inloed an de wrijing inbegrepen wordt, odat het beter is te spreken oer een debietcoëfficiënt. De waarde an dee coëfficiënt is begrepen tussen 0,5 en 1 en wordt eperimenteel bepaald. Enkele waarden oor tpische openingen worden gegeen in Fig C = 0,6 C = 0,8 C = 0,5 C = 1 A B Fig Waarden an de debietcoëfficiënt: (a) dunne wand, (b) uitspringende uitlaat of dikke wand, (c) inspringende uitlaat, (d) afgeronde uitlaat of afgeronde dikke wand. C D Een bijonder situatie is een ondergedompeld opening waarbij de stroming terecht komt in een ander reseroir waaran het nieau an het rij opperlak hoger gelegen is dan de opening (Fig. 4.11). h 1 h h Q Fig Stroming doorheen een ondergedompelde opening. In dit geal ertrekt de stroming an een reseroir met een piëometrische hoogte h 1 en komt terecht in een reseroir met een piëometrische hoogte h. Toepassing an de wet an Bernoulli geeft dan h1 = h + (4.3) g odat = g(h h ) = g h (4.33) 1

60 met h het nieauerschil an het wateropperlak in de reseroirs. Het debiet wordt bekomen oals oor een gewone opening, met inbegrip an een debietcoëfficiënt Q = CS g h (4.34) Een olgend geal is de stroming in een kanaalpand onder een schuifdeur, oals weergegeen in Fig Ook in dit geal is er een contractie, waarbij het loeistofnieau een constante hoogte bereikt na een ekere afstand oorbij de schuifdeur. h H 1 Q 1 H h H Fig. 4.1 Stroming onder een schuifdeur. Toepassing an wet an Bernoulli tussen een punt 1 oor de opening en een punt na de opening geeft 1 e = h1 + = h + (4.35) g g waaruit olgt = + g(h h ) (4.36) Uit de ergelijking an Castelli olgt ook nog 1 1 Q = = (4.37) 1BH1 BH met B de breedte an het kanaal en H 1 en H de waterdieptes respectieelijk oor en na de schuifdeur. Verdere uitwerking an dee ergelijkingen geeft Q g(h h ) 1 = H B = H 1H B (4.38) 1 (H H1) H1 + H g Indien de waterhoogte achter de opening eel kleiner is dan oor de opening (H << H 1 ) kan dee formule ereenoudigd worden tot Q H = (4.39) B gh1 CHB gh1 met H de hoogte an de opening onder de hefdeur en C een debietcoëfficiënt, die eperimenteel bepaald wordt als ongeeer 0,61 indien H/H 1 < 0,. Met dee formule kan men

61 berekenen hoeer men een schuifdeur moet opentrekken om een bepaald debiet door te laten of een bepaalde waterhoogte in het opwaarts kanaalpand in te stellen Q H (4.40) CB gh 1 Meestal is er in het afwaarts kanaalpand een waterhoogte die hoger is dan de opening onder de schuifdeur (Fig. 4.13). Het debiet wordt dan gegeen door Q g(h h ) 1 = CHB (4.41) 1 (C H H1) Indien de opening an de schuifdeur eel kleiner is dan de waterdiepte in het opwaarts kanaal dan kan dee formule ereenoudigd worden tot Q 1 CBH g(h h ) (4.4) h 1 1 Q H 1 h H CH Fig Stroming onder een erdronken schuifdeur. Het olgend probleem betreft een oerstort (Fig. 4.14). Toepassing an de formule an Bernoulli tussen de punten 1 en geeft 1 h1 + = + (4.43) g g waaruit olgt = + g(h ) (4.44) 1 1 De stroomsnelheid in de oerstort is dus afhankelijk an de hoogte. Het debiet kan bekomen worden door integratie an de snelheid oer de dwarse sectie h 1 h Q = CB = + = + h 1 H d CB h1 H 1 g(h1 )d CB g (H ) ( ) (4.45) 3 g g met B de breedte an de oerstort en C een debietcoëfficiënt. Meestal is de kinetische

62 energiehoogte in het opwaartse kanaal klein, odat de formule ereenoudigd kan worden tot 3 3 Q = CB gh (4.46) Dit is de ergelijking an Poleni. De waarde an C bedraagt ongeeer 0,6 indien de oerstort deelfde breedte heeft als het kanaal en de oerstorthoogte H beduidend kleiner is dan H 1. 1 h 1 H Q H 1 1 Fig Stroming oer een oerstort. Voor een oerstort met een breedte B kleiner dan de breedte an het kanaal (Fig. 4.15a) is er ook een horiontale contractie, waardoor C kleiner wordt en bij benadering gegeen wordt door C 0,6(1 0, H B) (4.47) Wanneer de breedte B an de oerstort erandert met de hoogte, dan moet B mee geïntegreerd worden in ergelijking 4.45, odat 1 = C 1 h B() g(h h H 1 ) d Q (4.48) Het resultaat wordt dan afhankelijk an de orm an de oerstort, waarbij ook de contractie een rol speelt. Bijoorbeeld oor een driehoekige oerstort (Fig. 4.15b) wordt het debiet gegeen door Q 5 = 8 gh 15 C tg( α ) (4.49) met C 0,58. Voor een trapeoïdale oerstort (Fig. 4.15c) waaran de opstaande ijden een helling hebben an 4 op 1, geldt ergelijking 4.46 met C = 0,6. Dit is de ogenaamde oerstort an Cipoletti, waarbij het erlies door ijdelinkse contractie en wrijing gecompenseerd wordt door een toename in de breedte. Een eer speciaal geal is de proportionele oerstort, waarbij het debiet eenredig is met de hoogte (Fig. 4.15d). Dit kan alleen worden bekomen door de breedte te laten afnemen met de hoogte boen de basis an de oerstort, indien B = a/ dan wordt het debiet gegeen door

63 H 1 π Q = C a g (H ') 'd' = ac gh (1 µ ) µ dµ = ac gh 0 (4.50) 0 Met een proportionele oerstort kan men op eenoudige wije een debiet opmeten. B H α H A B H 4:1 H B C D Fig Verschillende oerstorten in ooraanicht: (a) rechthoekig, (b) driehoekig, (c) trapeoïdaal (Cipolleti), en (d) proportioneel. Een oerstort om het debiet en waterpeil te regelen in een kanaal.

64 Berekening an krachten Beschouw een bepaald olume V an een stroombuis in een perfecte loeistofstroming, oals weergegeen in Fig F S w G V S -ρ Q -p S G F -p S -ρ Q -p 1 S 1 ρ 1 Q ρ 1 Q S 1 A B -p 1 S 1 Fig Krachten in een stroombuis: (a) controle olume en krachten, en (b) krachteneenwicht De impulsergelijking in conseratiee orm (Euler methode) werd opgesteld in hoofdstuk ; oor een permanente stroming wordt dee ergelijking Dit kan worden geïntegreerd oer het olume an de stroombuis V T ( ρ ) = ρg p (4.51) T ( ρ )dv = ρg( )dv pdv (4.5) V De eerste term in het rechterlid is duidelijk het totaal gewicht G an de loeistof die aanweig is in de stroombuis, met G = ρgv. Verdere uitwerking an de andere termen, waarbij gebruik wordt gemaakt an het theorema an Gauss, geeft V ofwel ( ρ ) ds = G pds (4.53) S T S S ρ ( ds) = G pds (4.54) S We splitsen de integralen uit oer de erschillende secties an de stroombuis, ijnde de instroomsectie S 1, de uitstroomsectie S en de wand S w ; merk op dat er geen uitstroming is doorheen de wand an de stroombuis, odat ρ ( ds) + ρ( ds) = G pds pds pds S S (4.55) 1 S1 S Sw Gebruik makend an gemiddelde waarden oor de ariabelen oer de erschillende secties en de definitie an het debiet wordt dit

65 ρ Q + ρ Q = G p S p S F (4.56) met 1, p 1, en p gemiddelde waarden oer de inlaat- of uitlaatsecties en F de resultante an de loeistofdrukken op de wand an de stroombuis. De fsische betekenis an dee impulsergelijking is dat er een krachteneenwicht bestaat in een stroombuis, namelijk de inen uitstromende impulsen geen traagheidskrachten die in eenwicht ijn met het gewicht an de loeistof en de drukkrachten uitgeoefend door de loeistof op de wand en op de in- en uitlaatsecties. Dit is de formule an Euler, welke toelaat om de resultante an de drukken op de wand an een stroombuis te berekenen in geal an een perfecte loeistofstroming. F = ρ Q + ( ρ Q) + G + ( p S ) + ( p S ) (4.57) De resultante an de loeistofdruk op de wand an de stroombuis wordt gegeen door de traagheidskrachten aan de in- en uitlaatsecties, het gewicht an de loeistof in de stroombuis en de drukken uitgeoefend op de in- en uitlaatsecties, oals weergegeen in Fig Bij de toepassing moet men goed opletten oor de richting waarin dee erschillende krachten werkaam ijn. 4.5 Toepassingen an de formule an Euler Ter illustratie an de mogelijkheden geboden door de formule an Euler worden enkele oorbeelden an praktische toepassingen gegeen. Het eerste betreft de kracht uitgeoefend door een loeistofstraal op een wand (Fig. 4.17). Q F Fig Kracht uitgeoefend door een loeistofstraal op een wand. De stroombuis waarop de formule an Euler toegepast wordt is weergegeen door de stippenlijn in Fig De componenten an de krachten in de -richting ijn: 1) instromende impuls: ρq ) uitstromende impuls: 0 3) gewicht: 0 4) drukkracht op de inlaatsectie: 0 (immers de druk is nul omdat de loeistof in contact is met de atmosfeer) 5) drukkracht op de uitlaatsectie(s): 0 (elfde reden)

66 - 6-6) drukkracht op de wand: F Krachteneenwicht in de -richting geeft F = ρq (4.58) Het tweede oorbeeld betreft de kracht uitgeoefend op de kop an een sproeier (Fig. 4.18). Q F S S 1 p Fig Krachten uitgeoefend op de kop an een sproeier. De beschouwde stroombuis wordt weergegeen door de stippenlijn. De componenten an de krachten in de -richting ijn: 1) instromende impuls: ρ 1 Q = ρq /S 1 ) uitstromende impuls: -ρ Q = -ρq /S 3) gewicht: 0 4) drukkracht op de inlaatsectie: ps 1 5) drukkracht op de uitlaatsectie: 0 (de loeistof is in contact met de atmosfeer) 6) drukkracht op de wand: F Uit het krachteneenwicht in de -richting olgt 1 1 = ps1 (4.59) F ρq + S1 S Er ijn geen krachten in de -richting. De componenten an de krachten in de -richting ijn: 1) instromende impuls: 0 ) uitstromende impuls: 0 3) gewicht: -ρgv ( is positief naar boen) 4) drukkracht op de inlaatsectie: 0 5) drukkracht op de uitlaatsectie: 0 6) drukkracht op de wand: F Uit het krachteneenwicht in de -richting olgt F = ρgv (4.60) Een derde oorbeeld betreft de kracht uitgeoefend door een loeistof op de wand an een gebogen buis (Fig. 4.19). De diameter an de buis is constant, odat uit de continuïteitsergelijking olgt dat de gemiddelde snelheid in de buis oeral hetelfde is. Boendien olgt uit de wet an Bernoulli dat de druk dan ook constant moet ijn. De

67 componenten an de krachten in de -richting ijn dan: 1) instromende impuls: ρq = ρq /S ) uitstromende impuls: -(cosα)ρq /S 3) gewicht: 0 4) drukkracht op de inlaatsectie: ps 5) drukkracht op de uitlaatsectie: -(cosα)ps 6) drukkracht op de wand: F α p Q p α/ F Fig Kracht uitgeoefend door een stromende loeistof op de wand an een gebogen buis. Uit het krachteneenwicht in de -richting olgt F ρq = (1 cosα) + ps(1 cosα) = (1 cosα)( ρq S ps) (4.61) S + De componenten an de krachten in de -richting ijn: 1) instromende impuls: 0 ) uitstromende impuls: -(sinα)ρq /S 3) gewicht: 0 4) drukkracht op de inlaatsectie: 0 5) drukkracht op de uitlaatsectie: -(sinα)ps 6) drukkracht op de wand: F Het krachteneenwicht in de -richting geeft ρq F = sinα pssinα = ( ρq S + ps) sinα (4.6) S en in de -richting wordt dit F = ρgv (4.63) De totale drukkracht op de wand an de buis maakt in het horiontale lak een hoek, die als olgt berekend kan worden

68 F F 1 cosα α = = tg (4.64) sinα Tenslotte berekenen we de kracht op een geheen schuifdeur in een kanaalpand (Fig. 4.0). Het eenwicht in de stromingsrichting geeft H1 H F = ρ1q ρ Q + ρgb ρgb (4.65) met B de breedte an het kanaal; erder uitwerking geeft ρq 1 1 ρgb F = ( ) + (H1 H ) (4.66) B H H 1 Dit illustreert perfect de kracht an de ergelijking an Euler. Immers het ou eel moeilijker ijn, elfs quasi onmogelijk, om de kracht op de schuifdeur te bepalen door de drukerdeling op de deur te berekenen aan de hand an het oplossen an de stromingsergelijkingen. Daarentegen met de ergelijking an Euler krijgen we een eact resultaat op een rij eenoudige wije. h 1 Q H 1 p F p h H Fig. 4.0 Kracht op een geheen schuifdeur in een kanaalpand.

69 VISKEUZE STROMING 5.1 Stromingsergelijkingen In dit hoofdstuk onderoeken we de stroming an Newtoniaanse iskeue loeistoffen, waaroor de stromingsergelijkingen werden opgesteld in hoofdstuk ; dit ijn de Naier- Stokes ergelijkingen = 0 (5.1a) d ρ = ρ + ρ( ) = ρg p + µ (5.1b) dt t waarbij in dit geal de graitatie beschouw wordt als enige uitwendige kracht. Er ijn ier ergelijkingen en ier onbekenden, p en, hetgeen theoretisch oplosbaar is, doch geien de compleiteit an de ergelijkingen ijn er alleen maar oplossingen mogelijk oor eer eenoudige situaties. Ook blijkt dat er in de praktijk meestal turbulentie optreedt, hetgeen de aak ten eerste bemoeilijkt, odat toepassingen in de praktijk niet oor de hand liggen. De turbulente stroming al onderocht in het olgende hoofdstuk. Het wordt iets eenoudiger wanneer we een permanente stroming beschouwen; de stromingsergelijkingen ijn dan = 0 (5.a) ρ + ρg + p = µ (5.b) De continuïteitsergelijking is deelfde als bij de perfecte loeistoffen, odat de resultaten uit orig hoofdstuk geldig blijen; in het bijonder is in een stroombuis het debiet constant bij permanente stroming en is wet an Castelli eeneens geldig. 5. Stroming in een rechte buis Beschouw de stroming an een iskeue loeistof in een rechte buis met constante diameter (Fig. 5.1). Wegens de orm an de buis is het aangeween in clindrische coördinaten te werken: r, θ en l, oals weergegeen in de figuur. Uit de continuïteitsergelijking olgt dat het debiet Q constant is en boendien dat er alleen maar stroming mogelijk is in de longitudinale richting, odat T = (0,0, ) (5.3) en < >= Q πr (5.4) met R de inwendige straal an de buis. Uit de continuïteitsergelijking olgt ook dat = = 0 (5.4) l hetgeen impliceert dat alleen maar afhankelijk is an r en θ. Echter wegens de radiale

70 smmetrie an de stroming kan niet afhankelijk ijn an θ, odat alleen maar een functie kan ijn an r. Hieruit olgt dat alle stroombanen rechtlijnig ijn en er dus geen conectiee ersnelling is (. = 0) odat de impulsergelijking ereenoudigd wordt tot ρ g + p = ρg h = µ (5.5) Q r l R Fig. 5.1 Viskeue stroming in een buis. We schrijen dee ectoriële ergelijking olledig uit, waarbij we gebruik maken an de regels oor de nabla operator in clindrische coördinaten h ρ g = 0 (5.6a) r 1 h ρ g = 0 (5.6b) r θ h µ ρg = r (5.6c) l r r r Uit de eerste twee ergelijkingen olgt dat piëometrische hoogte h alleen maar een functie kan ijn an l. Dit betekent dat op een bepaalde plaats in de buis h constant is in een dwarsdoorsnede, d.w.. dat er in een dwarsdoorsnede hdrostatisch eenwicht heerst: h = + p/ρg = c te. We noemen een dergelijke doorsnede een hdrostatisch opperlak. Beschouw nu de l-component an de impulsergelijking 5.6c. Vermits h alleen maar arieert met l, is de term in het linkerlid een functie an l. Echter, daar alleen maar arieert met r, is het rechterlid an de ergelijking een functie an r. De enige mogelijkheid is dan dat beide termen constant ijn. Stel dee constante gelijk aan -ρgj, oor redenen die erder duidelijk ullen worden. Hieruit olgt Los eerst op naar dh µ d d ρ g = r = ρgj (5.7) dl r dr dr

71 Integratie geeft d dr d r r = gj dr ν d gr r J + c dr ν (5.8) te = (5.9) Wegens de smmetrie moet op de as an de buis (r = 0) de afgeleide an naar r gelijk ijn aan nul, waaruit olgt dat de constante gelijk moet ijn aan nul, odat Nogmaals integreren geeft d dr gr = J (5.10) ν gr + 4ν te = J c (5.11) Aan de wand an de buis (r = R) moet de snelheid nul ijn, hetgeen toelaat de integratieconstante te bepalen, waaruit olgt g(r r ) = J (5.1) 4ν Uit dee ergelijking blijkt dat een maimale snelheid, ma, oorkomt in het midden an de buis gr ma = J (5.13) 4ν en dat de snelheidserdeling in een dwarsdoorsnede een parabolisch erloop heeft, oals weergegeen in Fig. 5.1 r = ma 1 (5.14) R Het debiet kan bekomen worden door de snelheid te integreren oer een dwarsdoorsnede waaruit ook de gemiddelde snelheid olgt R R g(r r )r πgr Q = πrdr = π Jdr = J 0 (5.15) 0 4ν 8ν Q gr < >= = J (5.16) πr 8ν In combinatie met ergelijking 5.7, kan ergelijking 5.15 ook geschreen worden als 4 πgr dh Q = (5.17) 8ν dl Dit is de wet an Poiseuille, welke een olledig inicht geeft in de stroming an een iskeue 4

72 loeistof in een buis; de olgende aststellingen olgen uit dee wet: stroming an een iskeue loeistof in een buis wordt erooraakt door een erschil in piëometrie, d.w.. een erschil in hoogte en/of een erschil in druk, tussen de ingang en de uitgang an de buis; de stroming is gericht olgens dalende piëometrische hoogte; het debiet is eenredig met de gradiënt an de piëometrische hoogte; het debiet is omgekeerd eenredig met de iscositeit an de loeistof; het debiet is eenredig met de ierde macht an de straal (of de doormeter) an de buis. Jean-LouisPoiseuille De wet an Poiseuille kan gebruikt worden om de iscositeit an loeistoffen te bepalen. Men laat een loeistof stromen doorheen een buis met lengte L en inwendige straal R en men meet het debiet en het erschil in piëometrische hoogte aan de in- en uitgang an de buis, odat de kinematische iscositeit berekend kan worden met de wet an Poiseuille 4 πgr h1 h ν = (5.18) 8Q L Poiseuille oerde in 1838 dergelijke eperimenten uit waardoor hij de iscositeitswet an Newton beween werd. Later bleek dat de wet an Poisueille alleen maar geldig is oor laminaire stroming en niet oor turbulente stroming. 5.3 Ladingserlies en wrijing in een buis We richten nu one aandacht op het effect an de wrijing en de dwarskrachten, die olgens de wet an Newton gepaard gaan met snelheidsgradiënten. Uit ergelijking 5.7 olgt dh d( + p ρg) J = = (5.19) dl dl Vermits de snelheden onafhankelijk ijn an l, kan dit ook geschreen worden als dh d( + p ρg + g) de J = = = (5.0) dl dl dl Dee ergelijking toont aan dat de energie of lading an de loeistof daalt in de stromingsrichting. J is dus eigenlijk het energie- of ladingserlies per afgelegde weg (merk op dat J dimensieloos is). Beschouw nu het erschil in gemiddelde lading tussen twee secties in de buis op een afstand L an elkaar gelegen, dan olgt < p1> α< 1> < p > α< > < 1 > + + =< > JL (5.1) ρg g ρg g

73 Tussen de secties 1 en is dus een erlies opgetreden in de lading an JL. Dit betekent dat de energielijn an de buis niet meer horiontaal is, oals bij stroming an perfecte loeistoffen. De piëometrische lijn en energielijn worden dan oals weergegeen in Fig. 5.. α 1 /g p 1 /ρg L JL α /g p /ρg e h 1 Fig. 5.1 Energie en piëometrische lijnen bij stroming doorheen een buis. Gebruik makend an ergelijking 5.16 kan het ladingserlies uitgedrukt worden in functie an de gemiddelde snelheid an de stroming 8ν J = < > gr (5.) Hieruit olgt dat het ladingserlies eenredig is met de gemiddelde snelheid en de iscositeit an de loeistof. r τ ma Fig. 5.3 Variatie an de schuifspanning in een buis. Uit de wet an Newton olgt dat d ρgr τ lr = µ = J (5.3) dr De ariatie an de schuifspanning in de buis wordt oorgesteld in Fig De totale wrijingskracht F uitgeoefend door de loeistof op de wand an de buis wordt dan bekomen

74 als F = πrl( τ ) = πr LρgJ (5.4) ma hetgeen ook als olgt uitgedrukt kan worden FL = Vρg e = V E (5.5) met V het olume an de loeistof in de buis. Vermits E de energie is per olume loeistof, is V E het totaal energieerlies, waaruit blijkt dat de arbeid erricht door de wrijingskracht gelijk is aan het totaal energieerlies an de loeistof. Een krachtenbalans wordt oorgesteld in Fig Merk op dat hierin de instromende en uitstromende impuls niet oorkomen omdat e elkaar opheffen in een rechte buis. p 1 S F w α p S G Fig. 5.4 Krachten op een loeistof in een buis. De krachten kunnen ontbonden worden in componenten olgens de langsrichting en de dwarsrichting an de buis. Eenwicht an de krachten die inwerken op de loeistof in de stromingsrichting geeft S + G sin α = F p S (5.6) p1 w + waarbij F w = -F de wrijingskracht is uitgeoefend door de wand an de buis op de loeistof. Hieruit olgt Fw = (p1 p )S + G sin α (5.7) Dus de wrijingskracht uitgeoefend door de wand an de buis compenseert het erschil in drukkrachten aan de in- en uitlaatsecties en de component an de waartekracht in de langsrichting an de buis. 5.4 Stroming oer een recht opperlak We beschouwen nu de stroming oer een opperlak met een helling α (Fig. 5.5). Het is aangeween om in lokale coördinaten te werken: l en, in de langs- en de dwarsrichting an het opperlak, oals weergegeen in de figuur (er is geen derde dimensie nodig).

75 Q H α l Fig. 5.5 Viskeue stroming oer een recht opperlak. Uit de continuïteitsergelijking olgt dat het debiet Q constant is en dat er alleen maar stroming mogelijk is in de longitudinale richting l, odat en T = (,0) (5.8) < > = Q HB (5.9) met H de hoogte an de loeistof en B de breedte an het opperlak. Uit de continuïteitsergelijking olgt ook dat = = 0 (5.30) l hetgeen impliceert dat alleen maar een functie kan ijn an. Hieruit olgt dat alle stroombanen rechtlijnig ijn en er dus geen conectiee ersnelling is (. = 0) odat de impulsergelijking ereenoudigd wordt tot ρ g + p = ρg h = µ (5.31) Hieruit olgt en h ρ g = µ l (5.3a) h ρ g = 0 (5.3b) Uit de tweede ergelijkingen olgt dat piëometrische hoogte h alleen maar een functie kan ijn an l. Dit betekent dat op een bepaalde plaats l, h constant is in een lak loodrecht op de stromingsrichting. Dit is opnieuw een hdrostatisch opperlak. Beschouw nu de l-component an de impulsergelijking. Vermits h alleen maar arieert met l, is de term in het linkerlid een functie an l. Echter, daar alleen maar arieert met, is het rechterlid an de ergelijking een functie an. De enige mogelijkheid is dan dat beide leden

76 - 7 - constant ijn. We stellen dee constante gelijk aan -ρgj, waaruit olgt Oplossen naar geeft d dh µ = ρg = ρgj (5.36) d dl d d g ν te = J + c (5.37) Aan het rij opperlak ( = H) is er geen wrijing of oerdracht an schuifspanningen, odat de snelheidsgradiënt daar nul is (d/d = 0), waaruit olgt Nogmaals integreren geeft d d g(h ) = J (5.38) ν g(h ) J + c ν te = (5.39) Aan het opperlak ( = 0) moet de snelheid nul ijn, hetgeen toelaat de constante te bepalen g(h ) = J (5.40) ν Uit dee ergelijking blijkt dat de maimale snelheid ma oorkomt aan het rij opperlak ma gh = J (5.41) ν en dat de snelheidserdeling in een dwarsdoorsnede een parabolisch erloop heeft, oals weergegeen in Fig Het debiet kan bekomen worden door de snelheid te integreren oer de loeistoflaag 3 H R g(h ) gbh Q = B d = B Jd = J 0 0 ν 3 ν (5.4) waaruit ook de gemiddelde snelheid olgt Q gh < >= = J (5.43) HB 3ν In combinatie met ergelijking 5.36 kan het debiet ook geschreen worden als 3 gbh dh Q = (5.44) 3ν dl Dit is de Hele-Shaw ergelijking, waaruit olgt: stroming an een iskeue loeistof oer een recht opperlak wordt erooraakt door een gradiënt in de piëometrische hoogte (ie ook erder oor een interpretatie an dee

77 gradiënt); het debiet is eenredig met de gradiënt an de piëometrische hoogte; het debiet is omgekeerd eenredig met de iscositeit an de loeistof; het debiet is eenredig met de derde macht an de hoogte an de loeistoflaag. 5.5 Ladingserlies bij een iskeue stroming oer een opperlak We richten nu one aandacht op het effect an de wrijing en de dwarskrachten, die olgens de wet an Newton gepaard gaan met snelheidsgradiënten. Uit ergelijking 5.36 olgt dh d( + p ρg) d( + p ρg + g) de J = = = = (5.45) dl dl dl dl In het bijonder is aan het rij opperlak ( = 0 ) de druk nul, odat d 0 J = = sin α dl (5.46) Veronderstellen we dat α klein is dan hebben we ook J tgα = i (5.47) met i de helling an het opperlak (Fig. 5.6). Het ladingserlies per lengte is dus niets anders dan de helling an het basislak of an het rij opperlak an de loeistof. Dit is begrijpelijk, ermits de kinetische energiehoogte en drukhoogte niet eranderden (immers de snelheid blijft hetelfde en ook de laagdikte) is het enige erschil dat de loeistof gedaald is; dus het erlies in graitaire energie komt eact oereen met het energieerlies door wrijing. α 1 /g i e JL p 1 /ρg h = 0 α /g 1 p /ρg L Fig. 5.6 Energie en piëometrische lijnen bij stroming oer een opperlak. Vermits de snelheden onafhankelijk ijn an l, kan het ladingserlies ook geschreen worden als dh d( < > + < p> ρg + α< > g) de J = = = (5.48) dl dl dl

78 De piëometrische lijn en energielijn worden gegeen in Fig Gebruik makend an ergelijking 5.43 kan het ladingserlies uitgedrukt worden in functie an de gemiddelde snelheid an de stroming 3ν J = < > gh (5.49) Hieruit olgt dat het ladingserlies eenredig is met de gemiddelde snelheid en de iscositeit an de loeistof. Dit is hetelfde als in geal an stroming doorheen een buis. In de loeistof laag wordt er een dwarskracht oergedragen, die berekend kan worden als d τl( ) = τl = µ = ρg(h )J (5.50) d De schuifspanning arieert lineair oer de loeistoflaag; e is nul aan het rij opperlak (er is immers geen wrijing daar) en maimaal aan het bodemlak τ ma = ρghj (5.51) De ariatie an de schuifspanning in de buis wordt oorgesteld in Fig De totale wrijingskracht, F, uitgeoefend door de loeistof op de bodem wordt gegeen door Waaruit olgt F = BL( τma ) = HBLρgJ (5.5) FL = VρgJL = V E (5.53) met V het olume an de loeistof in de buis. Vermits E de energie is per olume loeistof, geeft V E het totaal energieerlies, waaruit blijkt dat de arbeid erricht door de wrijingskracht gelijk is aan het totaal energieerlies an de loeistof. τ ma Fig. 5.7 Variatie an de schuifspanning. Een krachtenbalans wordt oorgesteld in Fig Merk op dat de instromende en uitstromende impulsen niet beschouwd hoeen te worden omdat e elkaar opheffen. De krachten kunnen ontbonden worden in componenten olgens de langsrichting en de dwarsrichting. Eenwicht an de krachten die inwerken op de loeistof in de stromingsrichting geeft

79 HB + G sin α = F p HB (5.54) p1 w + waarbij F w = -F de wrijingskracht is uitgeoefend door de bodem op de loeistof. Hieruit olgt F w = G sin α (5.55) Dus de wrijingskracht uitgeoefend door de wand an de buis compenseert de component an de waartekracht in de langsrichting an de stroming. p 1 HB α F w G p HB Fig. 5.8 Krachten in een loeistofstroming oer een opperlak. 5.6 Het eperiment an Renolds De ergelijkingen oor stroming an iskeue loeistoffen werden oornamelijk ontwikkeld in de 18 e en 19 e eeuw. Maar in de praktijk bleek dat dee meestal niet oereenkwamen met eperimentele aststellingen. Voor stromingen met grote snelheden treedt er meestal een groter energieerlies op dan wat berekend wordt met de wet an Poiseuille. Tegen het einde an de 19 e eeuw werden door Renolds een reeks an eperimenten uitgeoerd om dit op een sstematische wije te onderoeken. De basisopstelling an het eperiment an Renolds wordt gegeen in Fig Het betreft stroming an een loeistof doorheen een glaen buis, waarbij de stroombanen waarneembaar worden gemaakt door een kleurstof te injecteren. kleurstof Fig Het eperiment an Renolds. Renolds stelde ast dat de stroomlijnen rechtlijnig ijn wanneer het debiet en de snelheid beperkt blijen (Fig. 5.10a), echter anaf een eker kritisch debiet worden de stroomlijnen onregelmatig (Fig. 5.10b) en bij een nog groter debiet wordt de stroming olledig

80 wanordelijk, odat er geen indiiduele stroomlijnen meer kunnen waargenomen worden en de kleurstof olledig de buis ult (Fig. 5.10c). A B C Fig Stromingsregimes: (a) laminair, (b) transitoir, en (c) turbulent. We noemen dee stromingsregimes respectieelijk: laminaire stroming, hetgeen duidt op het feit dat de stroomlijnen indiidueel onderscheiden kunnen worden en ich niet ermengen, alsof de loeistof beweegt in aparte lamellen; in dit regime oldoet de stroming aan de wet an Poiseuille; transitoire stroming, een oergangsregime an eerder beperkt belang; turbulente stroming, wat duidt op het eer woelig karakter an de stroming waarbij er een grote ermenging optreedt odat er geen indiiduele stroomlijnen meer onderscheiden kunnen worden; dee stroming oldoet niet meer aan de wet an Poiseuille omdat de wrijing eel groter blijkt te ijn dan hetgeen oorspelt wordt met de wet an Poiseuille. Door een groot aantal eperimenten uit te oeren slaagde Renolds erin om de erschillende regimes af te bakenen, met behulp an een dimensieloe grootheid die we nu aanduiden als het Renoldsgetal Re, gegeen door < > D Re = (5.56) ν waarin <> de gemiddelde snelheid is an de stroming, D de diameter an de buis en ν de kinematische iscositeit an de loeistof. Renolds toonde aan dat de stroming laminair is olang Re kleiner is dan 1000 tot 000 en turbulent wordt anaf Re groter dan 000 tot Fig Inloed an de wand op de stroming. De erklaring waarom de stroming turbulent wordt heeft te maken met de ruwheid an de wand an de buis. Wanneer de wand uitergroot wordt (Fig. 5.11), blijkt dat dee niet lak is, oals erondersteld wordt bij de afleiding an de wet an Poiseuille. Bij hogere snelheden langsheen de wand kunnen de stroomlijnen niet meer de orm an de wand olgen en wijken

81 e af an de wand, waarbij er werels ontstaan welke ich erder etten en met elkaar interfereren, waardoor er een wanordelijke beweging ontstaat an de loeistofdeeltjes, hetgeen we aanduiden als turbulentie. De turbulentie ontstaat dus door de ruwheid an de wand. Met de huidige technologie is het mogelijk om buien te maken met een bijna perfect rechte wand, waarin men een laminaire stroming kan bekomen met waarden an het Renoldsgetal tot en meer. Echter met de gebruikelijke materialen in de praktijk, oals staal, koper, glas, beton, en., is dit niet het geal en blijen de aststellingen an Renolds geldig. Ter illustratie bereken we de oorwaarden oor dewelke de stroming an water of olie turbulent wordt. We beschouwen stroming doorheen een buis met een diameter an 5 cm en een buis met een diameter an 5 mm. De kinematische iscositeit an water is ongeeer m /s, waardoor er in de grote buis turbulentie optreedt anaf een gemiddelde snelheid an 0,008 m/s en in de dunne buis anaf 0,08 m/s. Het is hiermee duidelijk dat oor de meeste geallen in de praktijk de stroming an water turbulent al ijn. Nemen we oor olie een kinematische iscositeit an 1, m /s, dan al er in de grote buis turbulentie optreden anaf een gemiddelde snelheid an 0,14 m/s en in de dunne buis anaf 1,44 m/s. Voor olie is de aak dus niet o duidelijk, omdat afhankelijk an de situatie de stroming laminair of turbulent kan ijn. We kunnen besluiten dat in de praktijk de stroming an dunne (kleine iscositeit) loeistoffen oals water meestal turbulent al ijn, terwijl oor dikke (grote iscositeit) loeistoffen alle stromingsregimes mogelijk ijn. Hoe kan men nu het criterium an Renolds eralgemenen oor eender welke situatie? Immers in de praktijk indt de stroming niet altijd in buien plaats, of ijn de buien niet altijd cirkelormig of olledig geuld met de loeistof. Om hieraan tegemoet beschouwen we de hdraulische straal oals gedefinieerd door Du Buat in Beschouw een dwarsdoorsnede in een stroombuis (Fig. 5.1); de hdraulische straal R h is de erhouding tussen de opperlakte S an de met loeistof geulde dwarsdoorsnede en de ogenaamde natte omtrek of perimeter P, ijnde de totale omtrek an de dwarsdoorsnede waar er contact is tussen de wand en de loeistof S R h = (5.57) P Merk op dat de hdraulische straal an een olledig geulde buis (Fig. 5.1a) niet gelijk is aan de straal an de buis, maar wel de helft an de straal bedraagt (R h = πr /πr = R/ = D/4). S S S P P P A B C Fig. 5.1 Bepaling an de hdraulische straal: (a) in een olle buis, (b) in een kanaal, en (c) in een riier.

82 Men definieert nu een Renoldsgetal op basis an de hdraulische straal; we noteren dit Renoldsgetal als Re h < > R h Re h = (5.58) ν en eralgemenen de beindingen an Renolds als olgt: de stroming is (waarschijnlijk) laminair als Re h < 500 de stroming is (waarschijnlijk) turbulent als Re h > 500 Het getal an Renolds komt ook te oorschijn wanneer de Naier-Stokes ergelijkingen geschreen worden in dimensieloe orm. Beschouw een stroombuis met een gemiddelde stroomsnelheid u en een hdraulische straal R h. Voor permanente stroming ijn de Naier- Stokes ergelijkingen ρ + ρg + p = µ (5.59) De ruimtelijke afmetingen worden geschaald olgens R h : dus = /R h en ook = R h, de snelheid olgens u: = /u, en de druk olgens ρu : p = p/ρu. Hieruit olgt Delen door ρu /R h geeft ofwel u ρ R met Fr het getal an Froude h ρu ' ' ' +ρg ' ' + R h µ u ' p' = ' R h ' (5.60) gr h ν ' ' ' + ' ' + ' p' = ' ' (5.61) u ur h 1 1 ' ' ' + '' + 'p' = ' ' (5.6) Fr Re h u Fr = (5.63) gr h dat het belang weergeeft an de waartekracht in de stroming ( gr h is trouwens de snelheid an golen teweeggebracht door de waartekracht, welke men bijoorbeeld kan waarnemen wanneer men een steen in het water gooit). Het Renoldsgetal in de ergelijking geeft duidelijk het effect weer an de iskeue krachten. Indien Re klein is dan domineren de iskeue krachten alle andere krachten, waardoor de erplaatsingen beperkt worden en de stroming laminair al ijn. Is daarentegen Re groot dan hebben de iscositeitskrachten weinig effect en ontstaat er turbulentie. Merk op dat als uiterst limietgeal oor Re h gaande naar oneindig men de perfecte loeistofstroming bekomt. Uitgaande an dee analse kan men ook aan het Renoldsgetal een fsische interpretatie geen als olgt. Wanneer men de inertiekracht schaalt (dit is de conectiee ersnelling, de eerste term in ergelijking 5.60) dan krijgt men een factor ρu /R h, oor de iskeue krachten indt men µu/r h (de laatste term in ergelijking 5.60). Het blijkt nu dat het Renoldsgetal niets anders is dan de erhouding tussen de inertiekrachten en de iskeue krachten

83 ur h ρ u R h traagheidskracht (per olume) Re h = = = (5.64) ν µ u R iscositeitskracht (per olume) h Dus hoe groter de iscositeitkrachten hoe kleiner het getal an Renolds al ijn. Tenslotte wijen we er op dat ook bij turbulente stroming de Naier-Stokes ergelijkingen theoretisch geldig blijen, maar niet meer de oplossingen oals dee an Poisseuille of Hele- Shaw, omdat daarin geen rekening wordt gehouden met de ruwheid an de wanden, waardoor de wrijing onderschat wordt. Het is duidelijk dat wanneer de eacte orm an de wand in aanmerking moet genomen worden het eer moeilijk, elfs onmogelijk al ijn om nog eacte analtische oplossingen an de Naier-Stokes ergelijkingen te bekomen. Noodgedwongen al men dus ereenoudigingen moeten inoeren om tot bruikbare oplossingen te komen in de praktijk. Dit komt aan bod in olgend hoofdstuk.

84 TURBULENTE STROMING 6.1 Stromingsergelijkingen Bij turbulente stroming wordt astgesteld dat de snelheid in een punt oortdurend fluctueert, elfs in permanente regime. Het blijkt dat de snelheid uitgedrukt kan worden als een constant gedeelte en eer chaotisch gedeelte, odat wanneer men de snelheid uitmiddelt oer de tijd er alleen maar het gedeelte oerblijft. De Naier-Stokes ergelijkingen kunnen dan herschreen worden als ( + ') = 0 (6.1a) ( + ') T ρ + ρ ( + ')( + ') = ρg p + µ ( + ') (6.1b) t waarbij de conseratiee orm an de impulsergelijking beschouwd wordt en de graitatie als enige uitwendige kracht. De turbulente stroming is odanig ingewikkeld dat het onmogelijk is om eacte oplossingen te bekomen en ereenoudigingen noodakelijk ijn. Daarom is het aangeween om alleen maar het gemiddeld gedrag an de stroming te beschouwen en boenstaande ergelijkingen uit te middelen oer de tijd. Hierdoor allen alle termen die lineair ijn in weg, odat er oerblijft = 0 (6.a) ρ + ρ t T T ( ) = ρg p + µ ρ < ' ' > (6.b) waarin de laatste term met de notatie <> duidt op gemiddelde waarden in de tijd. Hieruit olgt dat de turbulente fluctuaties aanleiding geen tot een bijkomende term in de impulsergelijking, die we als nieuwe bijkomende spanningen kunnen beschouwen, welke we aanduiden als de Renoldspanningen. De componenten an de totale inwendige spanningen wordt dan gegeen door τ = p δ + µ + ρ< ' ' > (6.3) waarbij en erangen kunnen worden door, of, en δ het Kronecker-smbool oorsteld. In de praktijk blijkt dat bij turbulente stroming de Renoldsspanningen eel groter ijn dan de iskeue spanningen, odat boenstaande ergelijking ereenoudigd kan worden tot τ p δ ρ< ' ' > (6.4) Indien we de Renoldsspanningen nader kunnen ombeschrijen erkrijgen we opnieuw ier ergelijkingen met ier onbekenden, p en, hetgeen theoretisch oplosbaar is. Eenwel bestaan er geen theoretische wetmatigheden om de turbulentie te erklaren en moeten we

85 empirische benaderingen gebruiken, die uiteraard gesteund ijn op de eperimentele aststellingen. Er bestaan erschillende benaderingen de ene al wat ingewikkelder dan de andere. We ullen ons hier beperken tot de meest eenoudige benadering, die in het begin an orige eeuw uitgewerkt werd door Prandtl en on Karman. Dee techniek olstaat om de meeste courante geallen an turbulente stroming op te lossen in de praktijk. Voor meer ingewikkelde situaties ijn er andere meer georderde technieken nodig, welke men kan inden in de akliteratuur. We sluiten dee paragraaf af met de bemerking dat de continuïteitsergelijking deelfde is als bij de perfecte loeistoffen en laminaire stroming, odat oorgaande resultaten geldig blijen. In het bijonder ijn bij permanente stroming het behoud an debiet en de wet an Castelli geldig in een stroombuis en ijn opperlakken loodrecht op de stroming hdrostatisch. 6. De mengtheorie an Prandtl Beschouw een turbulente stroming an een loeistof langsheen een wand (Fig. 6.1). De gemiddelde stroming is parallel gericht aan de wand en op een ekere afstand an de wand bedraagt de gemiddelde stroming (,). l +l (,) (,+l) Fig. 6.1 Turbulente stroming langsheen een wand. Door het turbulent karakter an de stroming ijn er deeltjes die plotseling an plaats eranderen. Bijoorbeeld deeltjes op een afstand +l an de wand, die een gemiddelde snelheid (,+l) beitten, komen plotseling terecht op een afstand an de wand. Hierdoor worden impulsen oergedragen en onderindt de stroming op een afstand an de wand een plotselinge afwijking ' gegeen door ' = = (, + l) (, ) (6.5) Door gebruik te maken an een Talor reeksontwikkeling wordt dit ' d d = (, ) + l + L (, ) l (6.6) d d Door de plotselinge oergang an de deeltjes door turbulentie ijn er ook fluctuaties an de snelheid in de -richting, nl. '. Het lijkt aannemelijk te eronderstellen dat dee an deelfde

86 - 8 - grootte ijn als ', odat ' d = ' l (6.7) d Hieruit olgt dat de turbulente schuifspanning τ berekend kan worden als d τ ρ< ' ' > ρl (6.8) waarbij erondersteld is geworden dat boenstaande betrekking geldig is oor de gemiddelde toestand. Hieruit blijkt dat de schuifspanningen eenredig ijn met het kwadraat an de snelheidsgradiënt, dit in tegenstelling met de wet an Newton (ergelijking 1.1) oor iskeue loeistoffen waarbij een lineair erband ooropgesteld werd. In boenstaande ergelijking ontbreekt eenwel een eacte waarde oor de afstand l. Dee parameter wordt de menglengte genoemd en werd proefonderindelijk bepaald door on Karman als ijnde eenredig met de afstand tot de wand d l = κ (6.9) met κ de dimensieloe constante an on Karman, welke gelijk is aan ongeeer 0,40. Hieruit olgt odat d τ = ρκ (6.10) d d 1 = κ d τ ρ (6.11) In de eronderstelling dat de oergedragen schuifspanning constant is, kan boenstaande betrekking geïntegreerd worden om de ariatie an de gemiddelde snelheid langs de wand te bereken + κ met de ogenaamde wrijingssnelheid, gegeen door * te = ln c (6.1) τ * = (6.13) ρ waarbij we de indeen en weggelaten hebben omdat dee afleiding geldig is oor elke wand die wrijing erooraakt met een turbulente stroming als geolg. De wrijingssnelheid geeft de orde an grootte an de turbulente stromingsfluctuaties. De bepaling an de constante in ergelijking 6.1 stelt een probleem. Het is immers niet

87 mogelijk om de snelheid aan de wand nul te maken, omdat de logaritmische functie dan oneindig wordt. Boendien is ulke oorwaarde ook niet realistisch, omdat de wand oneffenheden ertoont waardoor het niet duidelijk is wat = 0 fsisch betekend. Daarom wordt per conentie dee constante bepaald als de plaats 0 waar de snelheid schijnbaar nul wordt * = ln (6.14) κ 0 We noemen dee plaats 0 het nullak. Het bekomen snelheidsprofiel wordt erduidelijkt in Fig. 6.. ln() 0 ln( 0 ) Fig. 6. Snelheidsprofiel an een turbulente stroming nabij een wand. Het snelheidsprofiel is logaritmisch, maar onbepaald nabij de wand. Dit hoeft ons niet te erbaen, daar de wand niet echt lak is maar oneffenheden ertoont. Wat we echter nog niet hebben bekomen is een relatie tussen het logaritmisch snelheidsprofiel en de eigenschappen an de wand. Dit werd proefonderindelijk onderocht door snelheidsprofielen op te meten in buien an erschillend materiaal bij erschillend debiet en erschillende loeistoffen. Door de waargenomen snelheden uit te etten olgens de logaritme an de afstand tot de wand, kan men dan 0 bepalen om de relatie na gaan met de eigenschappen an de wand. Er blijken ich twee geallen oor te doen: ofwel is de wand ruw, ofwel is de wand glad. De situatie oor een ruwe wand wordt weergegeen in Fig In dit geal is het nullak gelegen binnen de one an de oneffenheden die op de wand oorkomen. In dee one ijn er eigenlijk geen gemiddelde snelheden in de -richting en het logaritmisch snelheidsprofiel is slechts geldig anaf een ekere afstand an de wand. In dit geal olgt uit de eperimenten dat 0 een parameter is afhankelijk an de afmeting ε an de oneffenheden op de wand 0 ε (6.15) 33 Parameter ε wordt de wandruwheid genoemd en kan eperimenteel worden opgemeten; enkele waarden oor tpische materialen worden gegeen in Tabel 6.1.

88 = ε/33 ε Fig. 6.3 Turbulent stromingsprofiel nabij een ruwe wand. Tabel 6.1 Ruwheid an erschillende materialen. Materiaal Ruwheid - ε (mm) Bereik Rekenwaarde glas 0,0015 koper 0,0015 brons 0,0015 lood 0,0015 PVC 0,03-0,1 0,06 gelast staal 0,03-0,09 0,045 gegalaniseerd staal 0,05-0, 0,15 geasfalteerd gietijer 0,06-0,18 0,1 onbekleed gietijer 0,1-0,6 0,5 glad beton 0,-0,5 0,35 ruw beton 1-3 baksteen 0,5-1 and 5 grind keien 50 waterloop met begroeiing terrein met hindernissen De situatie oor een gladde wand wordt oorgesteld in Fig Het blijkt dat het nullak ich nu situeert buiten de one met oneffenheden an de wand. Ook blijkt dat de snelheden nabij de wand afwijken an het logaritmisch profiel. Men kan eigenlijk drie ones onderscheiden in het snelheidsprofiel: een one met turbulente stroming, een oergangsone en een one met laminaire stroming. Dee laatste one noemt men de laminaire grenslaag en wordt gekenmerkt door het feit dat de iskeue spanningen er eel groter ijn dan de Renoldspanningen. In de grenslaag is de iscositeitwet an Newton dus an toepassing, odat d τ = µ (6.16) d

89 met als oplossing ofwel τ ρ* * = = = (6.17) µ µ ν * = (6.18) ν * Eperimenten tonen aan dat de iskeue grenslaag een dikte heeft an ongeeer 5ν/ * en dat de oergangsone ich uitstrekt tot ongeeer 70ν/ * ; pas daarna wordt het snelheidsprofiel logaritmisch. turbulente one 70ν/ * oergangsone 5ν/ * laminaire 0 ν/10 * grenslaag ,4 / * Fig. 6.4 Stromingsprofiel nabij een gladde wand. Ook kan men eperimenteel aststellen dat het logaritmisch snelheidsprofiel een schijnbaar nullak heeft gelijk aan ongeeer ν/10 *. Tussen een ruwe wand en een gladde wand ijn er oergangsormen mogelijk, welke niet allemaal in detail beschouwd kunnen worden. Daarom aanaardt men olgende benadering 0 ν ε + (6.19) * odat oor eender welke situatie het olgende snelheidsprofiel bij benadering geldig is * ln (6.0) κ ν 10* + ε 33 In de olgende paragrafen ullen we ien hoe dit in de praktijk toegepast wordt.

90 Turbulente stroming in een buis Beschouw een permanente stroming in een buis met constante diameter, oals weergegeen in Fig Uit de continuïteitsergelijking olgt dat het debiet Q constant is en er alleen maar stroming mogelijk is in de longitudinale richting. p r R dl τ Q p+dp α G Fig. 6.5 Permanente stroming in een buis. We berekenen de krachten op een loeistofolume gelegen binnen een straal r an de centrale as an de buis oer een lengte dl. De loeistof daar rond oefent een schuifspanning τ uit op loeistof in het midden. Een krachteneenwicht an de binnenste loeistof in de longitudinale richting geeft dan pπ r + G sin α = (p + dp) πr + πrτdl (6.1) ofwel G sin α πr dp ρgπr dlsin α πr dp τ = = (6.) πrdl πrdl en ermits sinα = -d/dl olgt hieruit ρgr d p ρgr dh τ = + = = 1 ρgrj (6.3) dl ρg dl met J het ladingserlies. De maimale schuifspanning komt oor aan de wand an de buis en is gegeen door 1 τ = ρgrj (6.4) ma odat r τ = τ ma (6.5) R Het krachteneenwicht is olledig identiek met wat we geien hebben in paragraaf 5.3; het

91 doet er niet toe of de stroming laminair of turbulent is. We onderoeken nu hoe dee schuifspanning oergebracht wordt door de turbulente stroming. De ergelijking an Prandtl is in dit geal d τ = ρ (6.6) l dr De menglengte l is nu niet alleen afhankelijk an de afstand tot de wand, maar wordt ook beperkt door de afmeting an de buis, odat olgens on Karman l = κ(r r) r R (6.7) Hieruit olgt r d ( R r) τ = ρκ (6.8) R dr We erangen nu τ met behulp an ergelijking 6.5 en lossen op naar d/dr Integratie geeft een logaritmisch snelheidsprofiel d 1 dr = τma * = κ(r r) ρ κ(r r) (6.9) + κ * te = ln(r r) c (6.30) met = τ ma /ρ en waarbij de integratieconstante wordt bekomen door het nullak te definiëren op de plaats r = R- 0, odat * R r = ln (6.31) κ 0 We kunnen nu het totaal debiet berekenen, door de snelheid te integreren oer een dwarsdoorsnede an de buis, waarbij we geen rekening houden met de snelheden juist aan de wand omdat dee toch geen significante bijdrage leeren tot het debiet R 0 De integraal kan uitgewerkt worden als olgt π κ * R 0 R r 0 0 Q = πrdr = 0 r ln dr (6.3) R 0 0 R r r ln dr = R 0 ( λ R )ln λdλ = 0 0 [ λ (ln λ ] 1 1 ) R 0 (ln λ 1) R 0

92 = 3 [ ] 1 + R + (R ) ( 1 ln R 3 ) = 1 + R + R ( 1 ln R ) waaruit olgt 1 3 ( ln (R ) ) R (6.33) 0 4 πr * πr * R Q = (ln R 3 = 0 ) ln κ κ 3 (6.34) 0e De gemiddelde snelheid wordt dan gegeen door Q * R < >= = ln π κ 3 (6.35) R 0e Het snelheidsprofiel wordt schematisch oorgesteld in Fig Het logaritmische snelheidsprofiel is eel meer afgeplat in ergelijking met het parabolisch profiel an de laminaire stroming. De maimale snelheid komt uiteraard oor in het midden an de buis; er is hier wel een kleine onnauwkeurigheid merkbaar, namelijk de afgeleide an de snelheid is niet nul oor r = 0, wat men nochtans ou erwachten geien de smmetrie. Dit is een geolg an de erschillende benaderingen, maar in de praktijk is dit an geen belang. Ook is de snelheid nabij de wand onbepaald, echter hieroor gelden deelfde beschouwingen als in orige paragraaf r/r Turbulent gladde wand Laminair 0. Turbulent ruwe wand /<> Fig. 6.6 Turbulent snelheidsprofiel in een buis. We ijn oornamelijk geïnteresseerd in het ladingserlies te wijten aan de turbulente stroming. Uitgaande an ergelijking 6.4 kunnen we het ladingserlies J berekenen als

93 τma 8 * J = = (6.36) ρgr D g met D de diameter an de buis. De wrijingssnelheid * kan bekomen worden uit ergelijking 6.35, waaruit olgt 8κ < > f < > J = = (6.37) D g D g D ln 3 0e waarin we f definiëren als een dimensieloe wrijingsfactor. Boenstaande ergelijking ormt de snthese an de turbulente stromingstheorie oor stroming doorheen buien. Het ladingserlies blijkt proportioneel te ijn met de gemiddelde snelheid in het kwadraat, dit in tegenstelling tot de laminaire stroming waarbij het ladingserlies lineair afhankelijk is an gemiddelde snelheid. Het is daarom gebruikelijk om het turbulent ladingserlies uit te drukken als een fractie an de kinetische energiehoogte, oals weergegeen in de formule Het ladingserlies is ook omgekeerd eenredig met de diameter an de buis. Voor een buis met een lengte L wordt het totaal ladingserlies e gegeen door L < > e = JL = f (6.38) D g Dit is de Darc-Weisbach ergelijking, welke gebruikt wordt om turbulente stroming in buien te berekenen. Uit eperimenten blijkt dat de wrijingsfactor f afhankelijk is an het Renoldsgetal Re en de relatiee ruwheid ε/d an de wand. Dit kan ook aangetoond worden uitgaande an ergelijkingen 6.36 en 6.37 f = 8* 8κ = < > (6.39) D ln 3 0e In dee uitdrukking kan 0 erangen worden door de benadering opgesteld in orige paragraaf (ergelijking 6.19). De formule kan dan erder uitgewerkt worden op olgende wije 1 f = 1 ln 8κ ν 10 * D ε + e 33 3 = 3 3,03 νe εe log + 8.0,4 10* D 33D (6.40) Tenslotte kan in het rechterlid an de ergelijking * erangen worden door gebruik te maken an ergelijking Indien alle coëfficiënten uitgerekend worden waarbij de cijfers afgerond worden, geeft dit

94 f,5 log Re f ε D + 3,7 (6.41) Dit is de White-Colebrook ergelijking, die toelaat de wrijingsfactor te berekenen op een iteratiee wije. Er ijn twee berekeningsprocedures mogelijk. Indien het debiet en de gemiddelde snelheid gekend is, kan men met de relatiee ruwheid an de buis ε/d en het Renoldsgetal Re de waarde an de wrijingsfactor bepalen door boenstaande ergelijking iteratief op te lossen. Met de Darc-Weisbach ergelijking kan men dan het ladingserlies berekenen. Het wordt iets moeilijker wanneer het energieerschil gegeen is en er geraagd wordt om het debiet te bepalen. Men moet dan het Renoldsgetal schatten en met de relatiee ruwheid an de buis een waarde oor f bepalen op iteratiee wije. Uitgaande an de Darc- Weisbach ergelijking berekent men dan de gemiddelde snelheid, wat een erbeterde waarde oor het Renoldsgetal opleert, waarna de procedure herhaald wordt tot de berekeningen conergeren. Met de uiteindelijke waarde an de gemiddelde snelheid kan dan het debiet berekend worden. Om de berekeningen te ereenoudigen werd door Mood een grafiek opgesteld, waarop men de wrijingsfactor f kan afleen in functie an Re en ε/d. Dit is het ogenaamde Mooddiagram, gegeen in Fig Om de grafiek te erolledigen wordt oor waarden an Re kleiner dan 000 ook de laminaire stroming beschouwd. Indien men het ladingserlies uitdrukt olgens de Darc-Weisbach ergelijking, dan blijkt oor laminaire stroming de wrijingsfactor gelijk te ijn aan 64/Re. Uit het diagram olgt dat gebruikelijke waarden oor de wrijingsfactor begrepen ijn tussen 0,01 en 0,10. Lage waarden worden bekomen oor gladde buien, maar de wrijingsfactor stijgt snel met toenemende ruwheid an de wand. Bij hoge waarden an het Renoldsgetal blijkt de wrijingsfactor alleen nog maar afhankelijk te ijn an de relatiee ruwheid. Merk ook op dat indien er laminaire stroming mogelijk ou ijn bij hoge snelheden dit eel minder wrijing en energieerlies ou erooraken dan turbulente stroming. Voor buien die slechts gedeeltelijk geuld ijn met loeistof of die een niet-circulaire doorsnede hebben, moeten de berekeningen uitgeoerd worden met een effectiee diameter D e, odanig dat de hdraulische straal gelijk blijft, dus D e = 4R h = 4S/P (met S de natte doorsnede en P de natte omtrek, oals gedefinieerd in orig hoofdstuk).

95 Wrijingsfactor - f Relatiee ruwheid - ε/d Renolds getal - Re=D/ν Fig. 6.7 Het diagram an Mood geeft de wrijingsfactor in functie an het Renoldsgetal en de relatiee ruwheid.

96 Speciale erlieen in leidingen Leidingen en netwerken bestaan niet alleen uit rechte buien, maar ook uit in- en uitlaten, erbindingen, bochten, ernauwingen, erbredingen, en. Ook hierbij treden er wrijingserlieen op welke dikwijls belangrijk ijn. Vermits de meeste an dee constructies niet erg lang ijn, is de wrijing langsheen de wand minder belangrijk dan de speciale energieerlieen, die ontstaan doordat de stroming niet ijn rechte weg kan olgen, maar gedwongen wordt tot een bepaalde afwijking. Dee situaties kunnen erg ingewikkeld ijn, waardoor het niet mogelijk is om de wrijingserlieen te bereken op een wetmatige wije. Men gaat daarom proefonderindelijk te werk. Hierbij heeft men in de eerste plaats astgesteld dat in alle geallen de erlieen eenredig ijn met het kwadraat an de gemiddelde snelheid, odat het ladingserlies uitgedrukt kan worden in functie an de an de kinetische energiehoogte < > e = k (6.4) g waarbij k een dimensieloe erliescoëfficiënt is die men proefonderindelijk bepaald. Voor de meest oorkomende situaties werden proeen uitgeoerd en is de waarde an k gekend. Een oericht an de meest courant oorkomende geallen wordt gegeen in Fig Voor een rije uitlaat (Fig. 6.8a) is er geen erlies, k = 0, maar oor een erdronken uitlaat (Fig. 6.8b) gaat de kinetische energie erloren, odat k = 1. Voor inlaten ijn er olgende mogelijkheden: oor een gewone inlaat (Fig. 6.8c) is k = 0,5; oor een instekende uitlaat (Fig. 6.8d) is k = 1, wat erg ongunstig is en best ermeden moet worden; en oor een afgeronde inlaat (Fig. 6.8e) is k = 0,05 indien de straal an de afronding groter is dan de straal an de buis. Uiteraard is oor inlaten de gemiddelde snelheid in ergelijking 6.4 dee die oorkomt in de buis juist na de inlaat. Voor een knik in een buis, een ogenaamd kniestuk (Fig. 6.8f), is het erlies afhankelijk an de hoek α; karakteristieke waarden worden gegeen in Tabel 6.. Tabel 6. Verliescoëfficiënten in functie an de hoek α an een kniestuk. α k 0,04 0,15 0,8 0,55 1,0 Merk op dat een rechte hoek in een buis eer eel ladingserlies erooraakt en dus best ermeden moet worden. Het is daarom aangeween bochten te oorien (Fig. 6.8g), waaroor men de erliescoëfficiënt kan berekenen met olgende formule α k = k' (6.43) 90 waarbij k afhankelijk is an de erhouding tussen de straal r an de bocht en de diameter D an de buis. Karakteristieke waarden worden gegeen in Tabel 6.3.

97 Tabel 6.3 Coëfficiënt k in functie an r/d in een bochtstuk. r/d 1 10 k 0,35 0,19 0,10 Hieruit olgt dat elfs kleine bochten reeds een geoelige reductie geen in het energieerlies in ergelijking met kniestukken. In geal an een T-stuk (Fig. 6.8h), is het erlies afhankelijk an de richting an de stroming: oor stroming doorheen het rechte stuk is k 0,4 terwijl k 1,5 is oor stroming langs de dwarserbinding. Voor afsluiters (Fig. 6.8i) is het erlies afhankelijk an het tpe en de stand an de kraan. Meestal ijn de erlieen erg groot (elfs wanneer de afsluiter olledig geopenend is); tpische waarden oor k ariëren tussen 1 en 10. Bijonder ijn ernauwingen of erbredingen. In geal an een ernauwing, wordt als gemiddelde snelheid in ergelijking 6.40, de snelheid gebruikt die oorkomt na de ernauwing. Voor een plotse ernauwing (Fig. 6.8j), is k afhankelijk an de erhouding an de diameter an de buis na en oor de ernauwing, D /D 1. Karakteristieke waarden worden gegeen in Tabel 6.4. Tabel 6.4. Verliescoëfficiënt bij een ernauwing in functie an de buisdiameters. D /D 1 0 1/4 1/ 3/4 k 0,50 0,45 0,35 0, Geleidelijke ernauwingen geen minder erlies; bijoorbeeld oor een conische ernauwing (Fig. 6.8k), met een hoek an 0 tot 40, is k 0,1. Doch dee ijn in de praktijk niet eenoudig te erweenlijken. Indien de hoek nog kleiner is, dan primeren de wrijingserlieen langsheen de wand; bij een grotere hoek ijn de waarden in Tabel 6.4 an toepassing. Bij een erbreding is het erlies afhankelijk an de gemiddelde snelheid 1 oor erbreding en de gemiddelde snelheid na de erbreding (1 ) e = k (6.44) g Bij een plotselinge erbreding (Fig. 6.8l) is k 1, terwijl oor een conische erbreding (Fig. 6.8m) met een hoek α, de erliescoëfficiënt k bij benadering gegeen wordt door α k (6.45) 100 indien α begrepen is tussen 0 en 40. Bij kleinere hoeken primeert het wrijingserlies langsheen de wand en bij grotere hoeken wordt k gelijk aan 1.

98 A B C D α E F α D r G H D 1 D I J

99 D 1 α D D D 1 1 K L D 1 α D M Fig. 6.8 Speciale secties in leidingen met ladingserlieen: (a) rije uitlaat, (b) erdronken uitlaat, (c) inlaat, (d) instekende inlaat, (e) afgeronde inlaat, (f) knik, (g) bocht, (h) T-stuk, (i) afsluiter, (j) plotse ernauwing, (k) conische ernauwing, (l) plotse erbreding en (m) conische erbreding. 6.5 Turbulente stroming met een rij opperlak We beschouwen nu de turbulente stroming met een rij opperlak in een stroombedding (Fig. 6.9). De stroming is permanent met een debiet Q, odat de helling i an het rij opperlak en de bedding hetelfde ijn, en ook gelijk aan het ladingserlies J. Q i τ G S P A B Fig. 6.9 Turbulente stroming met een rij opperlak: (a) langssectie en (b) dwarssectie. Beschouw de loeistof op een afstand an de bedding. Tussen dee loeistof en loeistof langs de bedding wordt er een schuifspanning oergedragen. Om dee te berekenen beschouwen we het krachteneenwicht in de richting an de stroming an de loeistof op een afstand an de bedding. De drukkrachten en impulsen heffen elkaar op, odat de component an de waartekracht in de stromingsrichting gelijk is aan de wrijingskracht

100 Gi = ( ρgs dl)i = τp dl (6.46) met P de perimeter en S de grootte an de dwarse sectie an de loeistof op een afstand an de bedding. Hieruit olgt τ = ρgis P = ρgir (6.47) h met r h = S /P de hdraulische straal an de loeistof op een afstand an de bedding. De maimale schuifspanning komt oor in de bedding oor = 0 τ ma = ρgr h i (6.48) met R h de hdraulische straal an de ganse stroomsectie. De schuifspanning kan dan ook geschreen worden als r h τ = τ ma (6.49) R h Het krachteneenwicht is identiek met wat we geien hebben in paragraaf 5.5; opnieuw doet het er niet toe of de stroming laminair of turbulent is. Maar nu onderoeken we hoe de schuifspanning oergebracht wordt door de turbulente stroming. De ergelijking an Prandtl is d τ = ρl (6.50) d met de afstand anaf de wand an de bedding. De menglengte l is nu ook afhankelijk an de afstand tot rij opperlak, odat olgens on Karman l = κ r / (6.51) h R h Hieruit olgt rh d τ = ρκ (6.5) R h d We erangen nu τ door de waarde gegeen door ergelijking 6.49 r R h h rh d τ ma = ρκ (6.53) R h d en lossen op naar d/d d 1 τma * = = (6.54) d κ ρ κ

101 Integratie geeft * = ln (6.55) κ 0 Het snelheidsprofiel is opnieuw logaritmisch, oals schematisch oorgesteld in Fig De maimale snelheid komt oor aan het rij opperlak o er mogelijk erwijdert an de wand; bij benadering is dit oor = R h, odat ma gegeen wordt door * R h = ma ln (6.56) κ 0 /R h Turbulent gladde wand Turbulent ruwe wand Laminair 0, /<> Fig.6.10 Turbulent snelheidsprofiel bij stroming met een rij opperlak. Merk op dat de stroomsnelheid gelijk is aan de gemiddelde snelheid op een relatiee hoogte an ongeeer 0.4; dit kan men in de praktijk gebruiken om het debiet te bepalen in een riier door op erschillende plaatsen langs een dwarse sectie de waterhoogte te meten en de stroomsnelheid op een relatiee diepte an 0,6 met behulp an bijoorbeeld een geijkte propeller (Fig. 6.10). De gemiddelde snelheid kan men ook berekenen door de snelheid te integreren oer een dwarse sectie, waarbij we geen rekening houden met de snelheden juist aan de wand omdat dee toch geen significante bijdrage leeren tot het debiet < 1 R De integraal kan uitgewerkt worden als olgt R * κr 0 h h >= d = ln d (6.57) h 0 R h R h 0 ln d = ln λdλ = h R 0 R R R h 0 h h [ λ(ln λ 1) ] = (ln 1) +

102 [ ln(r ) 1] (6.58) R h h 0 waaruit olgt < > = * κ R * h [ ln(r ] = κ h 0 ) ln 0e (6.59) Verangen we de schuifsnelheid door de schuifspanning, dan geeft dit < > = τ κ ma ρ R h ln = 0e gr κ h i R h ln 0e (6.60) hetgeen ook geschreen kan worden als < > = C R i (6.61) h Waaruit het debiet bekomen wordt als Q = CS R i (6.6) Dit is de formule an Ché, welke stelt dat het debiet, in bijoorbeeld een riier of een kanaal, eenredig is met de grootte an de dwarse sectie en de wortel an de hdraulische straal maal de helling an het rij opperlak. De eenredigheidscoëfficiënt C wordt de coëfficiënt an Ché genoemd, en heeft dimensies [L 1/ /T] en gebruikelijke eenheden m 1/ /s. De Ché-coëfficiënt is afhankelijk an de ruwheid an de bedding en an het Renoldsgetal. De waarde kan proefonderindelijk bepaald worden, maar wordt in de praktijk dikwijls geschat of afgeleen uit tabellen. Uitgaande an ergelijkingen 6.60 en 6.61 kan men C ook berekenen op olgende wije Substitueren we hierin ergelijking 6.19 oor 0, dan olgt h g R g h 0e C = ln = ln (6.63) κ 0e κ R h g νe εe C = ln + (6.64) * κ 10 R h 33R h De schuifsnelheid kan omgerekend worden naar de gemiddelde snelheid door gebruik te maken an ergelijking 6.59, odat g νec εe C = ln + (6.65) κ 10 g < > R 33R h h Gaan we oer tot de tiendelige logaritme en rekenen alle termen uit waarbij we de resultaten

103 afronden dan olgt C ε C ( m / s) 18log + (6.66) 11Re h 1R h Dee formule laat toe om de Ché-coëfficiënt op een iteratiee wije te schatten in functie an het Renoldsgetal Re h (gebaseerd op de hdraulische straal) en de relatiee ruwheid ε/r h an de bedding. Opgelet, in dee ergelijking ijn de dimensies an belang, omdat C uitgedrukt wordt in m 1/ /s (anders erandert de coëfficiënt oor de logaritme). Met behulp an C en ergelijking 6.6 kan men dan het debiet berekenen indien de helling of het eral, de hdraulische straal en de dwarsdoorsnede gekend ijn. Om de berekeningen an de Chécoëfficiënt te ereenoudigen kan men gebruik maken an een grafische weergae an ergelijking 6.66, waarbij C wordt weergegeen in functie an het Renoldsgetal en de relatiee ruwheid an de bedding (Fig. 6.11). Gebruikelijke waarden oor de Chécoëfficiënt ariëren tussen 40 en 70 m 1/ /s , ,0001 Che coëfficiënt: C (m 1/ /s) ,0005 0,001 0,005 0,01 0,05 0,1 Relatiee ruwheid: ε/r h Renolds getal: Re h = R h /ν 10 7 Fig De coëfficiënt an Ché in functie an de relatiee ruwheid en het getal an Renolds.

104 Meestal is bij stroming in riieren en kanalen de snelheid in orde an grootte 1 m/s en de hdraulische straal 1 m of meer, odat Re h in orde an grootte 10 6 of meer bedraagt. De bedding wordt dan door de stroming als ruw eraren, waardoor er geen inloed is an een laminaire grenslaag, odat de formule ereenoudigd wordt tot ( ε) C ( m / s) 18log 1R (6.67) Voor gebruikelijke waarden an de Ché-coëfficiënt tussen 40 en 70 m 1/ /s kan dit erder ereenoudigd worden tot de formule an Strickler (Fig. 6.1) h C( m / s) ( ε) (6.68) R h Fig. 6.1 De formules an Ché en Strickler. 6.6 De ergelijking an Manning Een ereenoudigde methode om turbulente stroming te berekenen is dee an Manning. In naolging an de formule an Strickler, waarbij oor gebruikelijke parameterwaarden C bij benadering eenredig is met R 1/6 h, baseerde Manning ich om ergelijking 6.6 als olgt te schrijen 1 / 3 Q SR h i (6.69) n met n een parameter die alleen afhankelijk is an de ruwheid an de wand of de bedding. We noemen dit nu de coëfficiënt an Manning. De dimensies an n ijn nogal eigenaardig, namelijk [T/L 1/3 ] met als gebruikelijke eenheden s/m 1/3. Vergelijken we de erschillende formules dan komen we tot olgend erband tussen de coëfficiënten

105 / 6 ε R h n = (6.70) 5 C waarbij alle coëfficiënten uitgedrukt worden in eenheden meter en seconde. Het eenoudige an dee methode is dat n constant is oor een bepaald tpe an materiaal, odat eens de waarde an de Manning-coëfficiënt oor een bepaald materiaal proefonderindelijk bepaald is geworden er geen erdere berekeningen meer nodig ijn. De ergelijking an Manning wordt in de praktijk eel gebruikt oor allerlei tpes an turbulente stromingen, dus ook oor turbulente stroming in buien, oornamelijk in de VS (oor buien moet de helling i in ergelijking 6.69 wel erangen worden door het ladingserlies J, maar blijft de hdraulische straal behouden oals in formule 6.69). In Europa wordt de oorkeur gegeen aan de formules an Darc-Weisbach oor stroming in buien en Che oor stroming in kanalen of riieren, daar e anuit theoretisch standpunt een duidelijke interpretatie toelaten. Echter in de praktijk wordt de methode an Manning ook eel gebruikt. De Pont du Gard is een Romeinse aquaduct, gebouwd in de 1 e eeuw oor de waterooriening an de stad Nimes in de Proence, Frankrijk. De lengte an de aquaduct is 360 m en de dwarse sectie oor de waterstroming is 1, m breed en maimaal 1, m hoog. De helling an de aquaduct bedraagt, Veronderstellen we een coëfficiënt an Manning an 0,015 s/m 1/3 (baksteen) dan olgt uit de ergelijking an Manning dat het maimum debiet an de aquaduct 0,8 m 3 /s bedraagt.

106 Tpische waarden oor de coëfficiënt an Manning worden gegeen in Tabel 6.5. Er bestaan ook fotoboeken an waterlopen of kanalen met ermelding an de oereenkomstige waarden an de Manning-coëfficiënt. Tabel. 6.5 Tpische waarden an de Manning-coëfficiënt. Materiaal Buien: koper glas staal glad beton gietijer ruw beton Kanalen: cement glad beton ruw beton baksteen asfalt aarde keien rotsblokken Waterlopen: recht meanderend begroeid oerwoekerd Landopperlak: weiland braakland akkers struikgewas bos n (s/m 1/3 ) 0,006 0,010 0,011 0,013 0,015 0,00 0,011 0,013 0,015 0,015 0,016 0,00 0,030 0,040 0,03 0,04 0,05 0,10 0,03 0,03 0,04 0,05 0,10

107 LEIDINGEN EN AFVOERKANALEN 7.1 Dimensionering an een leiding Veronderstel dat er een leiding moet aangelegd worden tussen twee punten. In het eerste punt bedraagt de energiehoogte e 1 en in het tweede punt e, odat er een energieerschil is, gegeen door e = e - e 1. Dit erschil al bij permanente stroming gelijk ijn (op het teken na) aan de ladingserlieen die optreden in de leiding. Dee erlieen bestaan uit wrijingserlieen in de erschillende buien an de leiding en speciale erlieen in bijondere secties, oals bochten, erbredingen, en. De wrijingserlieen in de buien worden berekend met de formule an Darc-Weisbach en de speciale erlieen worden uitgedrukt in functie an de kinetische energiehoogte. Het totaal ladingserlies wordt dan bekomen door de som te maken oer alle buien en bijondere secties Li i j e = f i k j (7.1) D g g i i waarbij de gemiddelde snelheid oorstelt. Met behulp an de formule an Castelli kan de gemiddelde snelheid uitgedrukt worden in functie an het debiet, odat boenstaande ergelijking ook geschreen kan worden als j 8 f L k e = wq π g i i j + 5 Q = (7.) 4 i Di j D j met w de totale weerstand an de leiding. Indien er niet op oorhand geweten is welke energiehoogte de grootste is odat ook de in an de stroming niet gekend is, kan dee ergelijking beter als olgt geschreen worden e = w Q Q (7.3) odat de positiee in an de stroming oereenkomt met een daling an de energie an de loeistof. We noemen dit de stromingsergelijking an een leiding. Dee ergelijking kan op erschillende wijen gebruikt worden. Indien bijoorbeeld het ladingserlies gekend is eenals de erschillende afmetingen an de buien en de karakteristieken an de erschillende speciale secties, dan kan men hiermee het debiet berekenen. Is daarentegen het energieerlies gegeen en wordt er geraagd om een bepaald debiet te erekeren, dan kan men met dee ergelijking de nodigde leiding dimensioneren. Echter bij een ontwerp an een leiding is meestal alleen het gewenste debiet gegeen en wordt er geraagd om de leiding te dimensioneren alsook de benodigde energie te bepalen om dit debiet te erekeren. Het probleem is dan onbepaald; immers oor eender welke leiding kan men het gewenste debiet bekomen indien men de nodige energie ooriet. De raag is echter wat de meest optimale oplossing is. Om dit te beantwoorden ijn er bijkomende oorwaarden nodig. Het probleem wordt bijoorbeeld oplosbaar indien men de economisch meest rendabele oplossing oekt, door de kostprijs an de leiding in rekening te brengen, alsook de

108 energiekosten tijdens de werking en de erwachtte opbrengst, waarbij de netto opbrengst geoptimaliseerd wordt. Dergelijke beschouwingen allen echter buiten het onderwerp an dee cursus. In de praktijk blijkt dat meestal een goede oplossing bekomen wordt, wanneer men een goede ontwerpwaarde kiest oor de gemiddelde snelheid. Voor water bedraagt dee ongeeer 0,6 m/s. Dee snelheid blijkt in de praktijk een goed compromis te geen tussen energieerlieen en economische dimensies an de leiding. Uitgaande an dee ontwerpsnelheid en het gewenste debiet kan men dan de afmetingen an de buien bepalen, waarna men de energieerlieen kan bereken, odat het probleem olledig opgelost is. 7. Dimensionering an een pomp Dikwijls is er niet oldoende energieerschil ter beschikking om een bepaald debiet te erweenlijken in een leiding. In ulk geal al men energie moeten toeoegen, hetgeen kan gebeuren door een pomp in te schakelen. Men moet dan het nodige ermogen an de pomp bepalen. In hoofdstuk 4 werd reeds het erband gegeen tussen de energie en het ermogen an een loeistofstroom. Hieruit olgt dat om een toename in de lading an een loeistofstroom te bekomen ter waarde an H, de pomp een ermogen P moet leeren gegeen door P = ρgqh η (7.4) met η het rendement an de pomp. H wordt de opoerhoogte genoemd an de pomp. Het erband tussen het debiet en de opoerhoogte an een pomp noemt men de pompkarakteristiek. H η = 100% H ma H opt lekerlies η < 100% η 0 60% - 80% 0 Q opt wrijingserlies Q ma Q Fig. 7.1 Een pompkarakteristiek. Uit boenstaande ergelijking ou men kunnen afleiden dat oor een pomp met een bepaald ermogen, het debiet omgekeerd eenredig is met de opoerhoogte, oals weergegeen door de stippenlijn in Fig Dit blijkt echter niet o te ijn in de praktijk omdat het rendement an een pomp afhankelijk is an de opoerhoogte en het debiet. Bij een te groot debiet gaat er eel energie erloren in de pomp door wrijingserlieen, terwijl bij een te hoge opoerhoogte er inwendig lekerlies optreed (terugstroming doorheen de pomp wegens het te groot drukerschil tussen de in- en uitgang an de pomp). De werkelijke pompkarakteristiek

109 is dan eerder oals weergegeen door de olle lijn in Fig. 7.1, waarbij er slechts een bepaald maimum debiet en maimum opoerhoogte mogelijk ijn afhankelijk an het ermogen en het rendement an de pomp. Boendien is er slechts een beperkt bereik met een optimaal debiet Q opt en optimale opoerhoogte H opt, waarbij de pomp functioneert met een goed rendement. Dit rendement bedraagt in de praktijk 60% tot 80%. Het is uiteraard aangeween om een pomp bij oorkeur te laten werken in dit bereik. Pompkarakteristieken ijn afhankelijk an het ermogen en het tpe an de pomp. Er ijn pompen die ontworpen worden om een groot debiet te leeren, oals centrifugaalpompen, en pompen waarmee hoge opoerhoogtes kunnen bekomen worden, oals uigerpompen. De constructeur leert oor elke pomp een pompkarakteristiek en de ontwerper moet ijn pomp odanig kieen dat een optimale werking erekerd is. Illustratie an een brandbluspomp gepubliceerd door J.A. Nolet in 1746 De inloed an een pomp in een leiding wordt weergegeen in Fig. 7.a. De lading an de loeistof wordt door de pomp erhoogd met een opoerhoogte H, odat er meer energie ter beschikking komt om de stroming te erweenlijken. Afhankelijk an de situatie kan het ook oorkomen dat een pomp hoger geplaatst wordt dan de energiehoogte an de loeistof aan de ingang an de pomp, odat een gedeelte an de opoerhoogte bestaat uit een aanuighoogte H a. Dergelijke situatie erdient enige speciale aandacht want er stellen ich hierbij twee problemen. Een eerste probleem is dat bij het in werking treden an de pomp het nieau an de loeistof in de aanuigleiding lager staat dan de pomp. De leiding al dan eerst met water geuld moeten worden, ofwel moet de pomp in staat ijn om een acuüm te creëren waardoor de loeistof aangeogen wordt. Niet alle pompen ijn hieroor geschikt. Boendien kan men geen groter acuüm creëren dan 1 atm,