HOVO Het quantum universum donderdag 19 februari 2009 OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen
|
|
- Paula Smeets
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 HOVO Het quantum universum donderdag 9 februari 009 OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen Naam: Opgave : Ga uit van vergelijking 53) op bladzijde 34. Maak gebruik van een grove benadering waarbij we de afgeleide dr in een klap schrijven als dr P R zie ook blz. 36). a) Laat zien dat voor een ster met massa M, straal R, de gemiddelde druk bij benadering gegeven wordt door P 3GM 4πR 4. ) We gaan uit van vergelijking 53) op bladzijde 34, dr = GM Iρ r P R GMρ R P = GM R M 4 P = 3GM 3 πr3 4πR 4. ) In de eerste stap hebben we vervangen door de benadering P steroppervlak P stercentrum dat is een negatief getal) en evenzo dr door R = R steroppervlak R stercentrum. b) Laat zien dat dezelfde relatie leidt tot de benadering T M R voor de gemiddelde temperatuur van de ster. We gaan weer uit van vergelijking 53) op bladzijde 34, dr = GM I r ρ = GM I P µ r kt P R µgm R P kt T = µg k Merk op dat het symbool staat voor `evenredig aan'. CHECK DEZE OPGAVE!!! ZIE PERKINS ASTROPHYSICS PAGE 334 M R. 3) Opgave : Hint: lastige opgave; overweeg om deze als laatste te doen). In de stad Kamiokande in Japan staat de zogenaamde Kamiokande II detector. Deze detector is ontworpen om proton verval te bestuderen. Met Kamiokande II werd op 3 februari 987 in slechts seconden een totaal van neutrino interacties geregistreerd. Deze meting viel samen met de explosie van supernova SN987A die op ongeveer lichtjaar van de aarde stond. Reeds lang hiervoor hadden astrofysici berekend dat bij een dergelijke explosie binnen een aantal seconden een energie van ongeveer 0 46 J zou vrijkomen. Hiervan zou ongeveer 90 % vrijkomen in de vorm van neutrino's, die het heelal in gejaagd zouden worden, terwijl voor het spectaculaire zichtbare vuurwerk en de kinetische energie van de restanten ten hoogste een procent van de energie ter beschikking zou staan. De Kamiokande II detector is in staat antineutrino's aan te tonen via de reactie ν e + p e + + n 4) aan protonen in normaal water. De protonen die gebonden zijn in zuurstof kunnen hierbij verwaarloosd worden, omdat deze niet wezenlijk tot de totale telsnelheid bijdragen. De energie en de richting van de positronen kan met de detector bepaald worden uit de richting en de intensiteit van de door de positronen opgewekte ƒerenkovstraling). De actieve massa van de detector is 00 ton water ton 000 kg). De theoretische werkzame doorsnede voor deze reactie is energieafhankelijk en kan bij de hier optredende energieën uit de volgende relatie afgeleid worden ) E in MeV σ = 0 45 m, 5) 0 MeV
2 waarbij de energie van de neutrino's E gelijk gesteld kan worden aan de energie van de positronen. De geregistreerde neutrino's hadden in het gewogen gemiddelde een energie < E ν > =,8 MeV en < E ν >) / = 0,9 MeV. a) Wat is het totale aantal neutrino's dat vrijkwam bij de explosie van de supernova? Ga ervan uit dat de zes neutrinosoorten ν e, ν e, ν µ, ν µ, ν τ, en ν τ, waarvan enkel het ν e met de Kamiokande II detector aangetoond kan worden, met vergelijkbare energieën en in vergelijkbare hoeveelheden geproduceerd werden. Antwoord: Allereerst rekenen we uit hoeveel actieve protonen protonen aanwezig zijn in de Kamiokande II detector.. 0 Np actief 9 ) gram H O = protonen/h O) N A = ) M H O = 8 De werkzame doorsnede per actief proton bedraagt ) E σ = 0 45 m = 0 45 m 0 MeV ) 0.9 MeV = m. 7) 0 MeV Een actief oppervlakte van N p σ resulteerde in de detectie van neutrino's. oppervlakte van de neutrinoschil bedraagt Het totale A total = 4πR = 4π70, 000 lichtjaar) = 4π.6 0 m) = m. 8) In totaal zijn dus neutrino's vrijgekomen. N ν = 6 soorten neutrino s) A total N p σ = ) b) Hoe groot is de totale in de vorm van neutrino's vrijgekomen energie in de explosie van SN987A? Vergelijk dit met de theoretische voorspelling en vorm een oordeel over de overeenstemming. Antwoord: De totale vrijgekomen energie in de vorm van neutrino's bedraagt E ν = N ν <.8 MeV >= ev = J. 0) We hebben hier gebruikt dat ev J. De overeenstemming is redelijk. c) Het eerst gemeten ν e had een energie van 0,0 MeV. Het laatst gemeten neutrino kwam,4 seconde later en had een energie van 8,9 MeV. Welke limiet wordt hiermee op de massa van het neutrino geplaatst? Neem hierbij aan dat de supernova explosie minstens 0 s en hoogstens 0 s geduurd heeft. De benadering y = x/c) ) / + x /C +.. voor x C kan hier nuttig zijn. Antwoord: We zoeken een relatie die verband legt tussen de massa en de energie van een neutrino. We gebruiken, ) β β = p ν E ν en γ = E ν m ν = waarbij m ν de massa van het neutrino is. We kunnen schrijven [ β = mν E ν ) ] + m ν Eν. )
3 3 Het verschil in aankomsttijden van de neutrino's wordt enerzijds gegeven door de periode van 0 s waarin de supernova explodeerde, en anderzijds door de verschillen in reistijd, t = d/v, in het geval dat de neutrino's een massa ongelijk aan nul zouden hebben. Er geldt ) β β 0 s +.4 s = d v d v = d c = d c + m ν E m ν E ) = dm ν c E E ) 3). We kiezen voor E en E de grootste en kleinste neutrino energieën, en vinden m ν =.4 s c E E )3 0 8 ) m/s) d E =.4 s) E ) = 9 ev). 4) m Opgave 3: Er geldt n = 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i = a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a) Schrijf expliciet de vergelijkingen op die worden voorgesteld door de uitdrukking y i = a r i x r. Antwoord: Stel dat i = 3 per conventie gaan indices als i, j en k over, en 3. Stel verder r = 4 hiervoor is geen conventie), dan geldt y i = a r ix r y = a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4, y = a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4, y 3 = a 3 x + a 3 x + a 3 3 x 3 + a 4 3 x 4. 5) b) Verklaar waarom een uitdrukking als a ii x i zonder enige betekenis is. Antwoord: In het algemeen geldt a ij ji. In het geval van uitdrukking a ii x i is het niet duidelijk of we over de rij- of de kolomindex dienen te sommeren. Ook zouden we nog kunnen bedoelen dat we over de diagonale elementen van de matrix a ij sommeren. c) Gebruik de sommatieconventie om compact weer te geven ken ook een waarde toe aan n). Antwoord: Er geldt met n = 4) a b + a b + a 3 b 3 + a 4 b 4 6) a i b i = a b + a b + a 3 b 3 + a 4 b 4. 7) d) Idem voor a b + a b + a 3 b 3 + a 4 b 4 + a 5 b 5. 8) Antwoord: Er geldt met n = 5) a i b i = a b + a b + a 3 b 3 + a 4 b 4 + a 5 b 5. 9) e) Idem voor c i + c i + c 3 i3 + c 4 i4 + c 5 i5 + c 6 i6 + c 7 i7 + c 8 i8. 0) Antwoord: We hebben met n = 8) de i vergelijkingen c j ij = c i + c i + c 3 i3 + c 4 i4 + c 5 i5 + c 6 i6 + c 7 i7 + c 8 i8. ) Opgave 4: Als a ij constanten zijn, bereken dan de partiële afgeleiden x k a ijx i x j ). )
4 4 Hint: het antwoord is a x k ij x i x j ) = a ki x i + a ik x i = a ik + a ki )x i. Antwoord: Als we de -notatie gebruiken, vinden we i,j a ijx i x j = i k a ij x i x j + i=k a ij x i x j + i k a ij x i x j + i=k a ij x i x j j k j k j=k j=k ) ) = C + j k a kjx j x k + i k a ikx i x k + a kk x k ) 3), met C onafhankelijk van x k. Dierentiëren naar x k levert x k a ij x i x j = 0 + a kj x j + a ik x i + a kk x k = i,j j k i k j Als we gebruikmaken van de sommatieconventie, vinden we a kj x j + i a ik x i. 4) x k a ijx i x j ) = a ki x i + a ik x i = a ik + a ki )x i. 5) Opgave 5: We bekijken nu wat lineaire algebra met tensoren. a) Toon aan dat geldt a a a 3 x x, x, x 3 ) a a a 3 x = a ij x i x j. 6) a 3 a 3 a 33 x 3 Antwoord: Er geldt a a a 3 x a j x j x, x, x 3 ) a a a 3 x = x, x, x 3 ) a j x j = [ x i a ij x j ) ] = a ij x i x j. a 3 a 3 a 33 x 3 a 3j x j 7) b) Schrijf de kwadratische vorm 3x + y z 5xy 6yz = 0 door gebruik te maken van een symmetrische matrix. Antwoord: Bovenstaande kwadratische vorm wordt gegeven door de niet-symmetrische matrix A = ) 0 0 We vinden de symmetrische equivalente matrix door elk niet-diagonaal element te vervangen door de halve som van dat element en haar spiegelbeeld in de diagonaal van de matrix. De gevraagde representatie wordt dus 3 5/ 0 x x, y, z) 5/ 3 y = 0. 9) 0 3 z Uitwerken hiervan levert weer 3x + y z 5xy 6yz = 0. c) In een orthonormaal coördinatenstelsel wordt de afstand d x, y) tussen de punten met plaatsvectoren x en y gegeven door d x, y) = x y = x y) T x y). 30)
5 5 We voeren de coördinatentransformatie x = A x of x = B x met B = A uit. Wat is de formule voor de afstand d x, y ) in het getransformeerde systeem? Hint, het antwoord is d x, y) = met G B T B = A ) T A = A T ) A = AA T ). Antwoord: Het is een kwestie van invullen. Dit levert x y ) T G x y ) = d x, y ) 3) d x, y) = x y) T x y) = B x B y ) T B x B y ) = B x y )) T B x y ) = x y ) T B T B x y ) = x y ) T G x y ) = d x, y ), 3) met G B T B = A ) T A = A T ) A = AA T ). We kunnen tensornotatie gebruiken en de productregel voor matrices om te bewijzen dat geldt AB) T = B T A T. Het bewijs gaat als volgt Stel dat A [a ij ] mn dus m rijen en n kolommen), B [b ij ] nk, en AB [c ij ] mk. Voor alle i en j hebben we a ij = a ji, b ij = b ji, c ij = c ji. 33) [ ] [ ] [ ] Er geldt dus A T = a ij, nm BT = b ij, en kn AB)T = c ij. We moeten laten zien dat [ ] km [ ] B T A T = c ij. De denitie van het matrixproduct geeft km BT A T = b ir a rj, en omdat km vinden we het gewenste resultaat. b ira rj = b ri a jr = a jr b ri = c ji = c ij 34)
compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieDeeltjes en velden donderdag 3 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 2
Deeltjes en velden donderdag 3 oktober 203 OPGAVEN WEEK 2 Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd.
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieNeutrinos sneller dan het licht?
Neutrinos sneller dan het licht? Kosmische neutrinos Ed P.J. van den Heuvel, Universiteit van Amsterdam 24/10/2011 Zon en planeten afgebeeld op dezelfde schaal Leeftijd zon en planeten: 4,65 miljard jaar
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieHOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1
HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd. Op de maan van
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 3: Integraalrekening en lineaire vormen Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 3.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 16 januari 2006 van 14:00 17:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D d.d. 6 januari 6 van 4: 7: uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieVraag Antwoord Scores
Eindexamen vwo natuurkunde pilot 03-II Beoordelingsmodel Opgave Splijtstof in een kerncentrale maximumscore 3 35 7 87 U + n Ba + Kr + n of 9 0 56 36 0 35 7 87 U + n Ba + Kr + n één neutron links van de
Nadere informatieFormule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het curusmateriaal.
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatieHet mysterie van massa massa, ruimte en tijd
Het mysterie van massa massa, ruimte en tijd http://www.nat.vu.nl/~mulders P.J. Mulders home Massa: zwaartekracht zware massa Mm G 2 R zwaartekracht = trage massa 2 v = m R versnelling a c bij cirkelbeweging
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatie4900 snelheid = = 50 m/s Grootheden en eenheden. Havo 4 Hoofdstuk 1 Uitwerkingen
1.1 Grootheden en eenheden Opgave 1 a Kwantitatieve metingen zijn metingen waarbij je de waarneming uitdrukt in een getal, meestal met een eenheid. De volgende metingen zijn kwantitatief: het aantal kinderen
Nadere informatieANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 8 JUNI e +" 1 = 1. e (" )=(k BT )
ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN 8 JUNI ) (Andere antwoorden zijn niet noodzakelijk (geheel) incorrect) (a) Volgens het Pauli-principe kunnen fermionen zich niet in dezelfde quantumtoestand
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 2 juni 2016
IMO-selectietoets I donderdag juni 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij ABC een scherphoekige driehoek. Zij H het voetpunt van de hoogtelijn vanuit C op AB. Veronderstel
Nadere informatie(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben.
Uitwerkingen HiSPARC Elementaire deeltjes C.G.N. van Veen 1 Hadronen Opdracht 1: Elementaire deeltjes worden onderverdeeld in quarks en leptonen. (a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met
Nadere informatieTENTAMEN INLEIDING ASTROFYSICA WOENSDAG 14 DECEMBER,
TENTAMEN INLEIDING ASTROFYSICA WOENSDAG 14 DECEMBER, 14.00-17.00 LEES ONDERSTAANDE IN DETAIL: DIT TENTAMEN OMVAT VIER OPGAVES OPGAVE 1: 2.5 PUNTEN OPGAVE 2: 2.5 PUNTEN OPGAVE 3: 2.5 PUNTEN OPGAVE 4: 2.5
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieTentamen Quantum Mechanica 2
Tentamen Quantum Mechanica 9 juni 5 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 9 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer.. (a) (5 punten)
Nadere informatieVraag 1: Ne-He en Ne-He +
Uitwerking tentamen chemische binding, MOL056, 4 januari 01 1 (Uitwerking versie 4 januari 01, dr. ir. Gerrit C. Groenenboom) Vraag 1: Ne-e en Ne-e + De elektronenconfiguratie van e is 1s en die van Ne
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatieEindexamen natuurkunde 1-2 vwo 2007-I
Beoordelingsmodel Opgave Didgeridoo maximumscore 4 uitkomst: f = 78 Hz (met een marge van Hz) voorbeeld van een bepaling: In de figuur komt 9,0 cm overeen met een tijd van 0,08 s. Voor periodes wordt een
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatie1 Leerlingproject: Kosmische straling 28 februari 2002
1 Leerlingproject: Kosmische straling 28 februari 2002 1 Kosmische straling Onder kosmische straling verstaan we geladen deeltjes die vanuit de ruimte op de aarde terecht komen. Kosmische straling is onder
Nadere informatieUitwerking Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 1. 1 Het Zonnestelsel en de Zon. 1.1 Het Barycentrum van het Zonnestelsel
Uitwerking Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 1 1 Het Zonnestelsel en de Zon 1.1 Het Barycentrum van het Zonnestelsel Door haar grote massa domineert de Zon het Zonnestelsel. Echter, de planeten hebben een
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 16 november 2004 van 14:00 17:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D) d.d. 6 november 4 van 4: 7: uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatiep na = p n,na + p p,na p n,na = m n v 3
Kernreactoren Opgave: Moderatorkeuze in een kernsplijtingscentrale a) Er is geen relevante externe resulterende kracht. Dat betekent dat er geen relevante stoot wordt uitgeoefend en de impuls van het systeem
Nadere informatieZelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieTentamen Statistische Thermodynamica MST 19/6/2014
Tentamen Statistische Thermodynamica MST 19/6/214 Vraag 1. Soortelijke warmte ( heat capacity or specific heat ) De soortelijke warmte geeft het vermogen weer van een systeem om warmte op te nemen. Dit
Nadere informatieOpgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema
Opgave Zonnestelsel 005/006: 7 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming 7. Het viriaal theorema Het viriaal theorema is van groot belang binnen de sterrenkunde: bij stervorming, planeetvorming
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieTentamen: Gravitatie en kosmologie
1 Tentamen: Gravitatie en kosmologie Docent: Jo van den Brand, Tjonnie Li Datum uitreiken: 29 november 2010 Datum inleveren: 13 december 2010 Datum mondeling: 20 december 2010 Vermeld uw naam op elke pagina.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 9 januari 2008 van 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D d.d. 9 januari 8 van 9: : uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 22 maart 2019
Selectietoets vrijdag 22 maart 2019 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Bewijs dat er voor elke positieve gehele n hoogstens twee paren (a, b) van positieve gehele getallen bestaan
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieHoe werken krachtdeeltjes
HOVO cursus februari/maart 2019 Van atoom tot kosmos Piet Mulders p.j.g.mulders@vu.nl 1 Hoe werken krachtdeeltjes http://www.nat.vu.nl/~mulders P.J. Mulders home 1 Krachtdeeltjes van zwakke kracht en sterke
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 3 juli uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C0 3 juli 0-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 21 januari 2005 van 14:00 17:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D) d.d. januari 5 van 4: 7: uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet
Nadere informatieDeterminanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 21 november 2005 van 14:00 17:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Straingsfysica (3D) d.d. november 5 van 4: 7: uur Vu de presentiekaart in boketters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet
Nadere informatienatuurkunde havo 2018-I
Aan het juiste antwoord op een meerkeuzevraag wordt scorepunt toegekend. Scheepsradar maximumscore uitkomst: s =,9 0 4 m Elektromagnetische golven bewegen met de lichtsnelheid. De afstand die 8 4 het signaal
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
versie 13 februari 013 Speciale relativiteitstheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam en LION Universiteit Leiden c 1 Lorentztransformaties In een inertiaalstelsel bewegen alle vrije deeltjes met een
Nadere informatieIn het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.
Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieSamenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 1
Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 1 Samenvatting door een scholier 1494 woorden 8 april 2014 7,8 97 keer beoordeeld Vak Methode Natuurkunde Systematische natuurkunde Grootheden en eenheden Kwalitatieve
Nadere informatieWPO Differentiaalmeetkunde I
1 Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 006-007 Prof. Dr. R. Kieboom Dr. G. Sonck WPO Differentiaalmeetkunde I Krommen in R n 1. Neem R met een orthonormale basis en a R + 0. Voor elk punt p o, gelegen
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieUitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur
Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor
Nadere informatieVoorkennis : Breuken en letters
Hoofdstuk 1 Rekenregels en Verhoudingen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402
Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk
Nadere informatieAlgemeen. Cosmic air showers J.M.C. Montanus. HiSPARC. 1 Kosmische deeltjes. 2 De energie van een deeltje
Algemeen HiSPARC Cosmic air showers J.M.C. Montanus 1 Kosmische deeltjes De aarde wordt continu gebombardeerd door deeltjes vanuit de ruimte. Als zo n deeltje de dampkring binnendringt zal het op een gegeven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 27 november 2003 van 09:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D1) d.d. 7 november 3 van 9: 1: uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Nadere informatie(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben.
Werkbladen HiSPARC Elementaire deeltjes C.G.N. van Veen 1 Hadronen Opdracht 1: Elementaire deeltjes worden onderverdeeld in quarks en leptonen. (a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Nadere informatieEindexamen moderne natuurkunde vwo 2008-I
Beoordelingsmodel Opgave Kerncentrale maximumscore 4 56 57 Fe+ n Fe 6 0 6 57 58 6Fe+ 0n 6 58 59 6Fe+ 0n 6 Fe Fe 59 59 0 6 7 59 60 7Co+ 0n 7 Fe Co+ e+ ν (antineutrino) Co _ inzicht in herhaaldelijk invangen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieWiskundige vaardigheden
Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieEindexamen natuurkunde pilot vwo I
Eindexamen natuurkunde pilot vwo 0 - I Beoordelingsmodel Vraag Antwoord Scores Opgave Splijtsof opsporen met neutrino s maximumscore 3 35 47 87 U+ n Ba+ Kr+ n of 9 0 56 36 0 35 47 87 U+ n Ba+ Kr+ n één
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieAntwoorden Tentamen Fysica van de Vaste Stof woensdag 2 maart 2011, uur
Antwoorden Tentamen ysica van de Vaste Stof woensdag 2 maart 2011, 14.00 17.00 uur 1. ermigassen in astrofysica (3 + 4 +3 = 10) a. Gegeven dat de massa van de zon M z = 2 x 10 30 kg is (voornamelijk waterstof),
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieHet Standaardmodel. HOVO college Teylers 20 maart 2012 K.J.F.Gaemers
Het Standaardmodel HOVO college Teylers 20 maart 2012 K.J.F.Gaemers 20 maart 2012 HOVO 2012 I 2 20 maart 2012 HOVO 2012 I 3 C12 atoom 6 elektronen 6 protonen 6 neutronen 20 maart 2012 HOVO 2012 I 4 20
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieQUANTUM FYSICA 1 3NB50. donderdag 28 oktober uur. Dit tentamen omvat 2 opgaven.
1 QUANTUM FYSICA 1 3NB5 donderdag 8 oktober 1 14. 17. uur Dit tentamen omvat opgaven. Bij ieder onderdeel wordt aangegeven wat de maximale score is op een schaal van 1 punten. Het formuleblad voor dit
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieOngelijkheden groep 1
Ongelijkheden groep 1 Cauchy-Schwarz Trainingsdag (Transtrend, 6 maart 009 Cauchy-Schwarz Voor reële getallen x 1,, x n en y 1,, y n geldt: x i y i met gelijkheid dan en slechts dan als er een reëel getal
Nadere informatienatuurkunde havo 2019-II
Aan het juiste antwoord op een meerkeuzevraag wordt scorepunt toegekend. Koper 67 maximumscore 3 67 67 0 0 Cu Zn + e + γ 9 30 0 β en γ rechts van de pijl Zn als vervalproduct (mits verkregen via kloppende
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatieTentamen Chemische Binding NWI-MOL056 Prof. dr. ir. Gerrit C. Groenenboom, HG00.304/065, 17:30-20:30/21:30, 6 feb 2014
Tentamen Chemische Binding NWI-MOL056 Prof. dr. ir. Gerrit C. Groenenboom, HG00.304/065, 17:30-20:30/21:30, 6 feb 2014 Vraag 1: Moleculaire orbitalen diagram voor NO 1a. MaakeenMOdiagramvoorNO,inclusiefdecoreMOs.
Nadere informatieLineaire vergelijkingen II: Pivotering
1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2
wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatie