Wrijvingsidentificatie van een 1-DOF systeem

Transcriptie

1 Wrijvingsidentificatie van een 1-DOF systeem M.N. de Beukelaar DCT Traineeship report Coach(es): Supervisor: J. Scholtes ir. D.W.J van Raaij Prof.dr.ir. M. Steinbuch Technische Universiteit Eindhoven Department Mechanical Engineering Dynamics and Control Technology Group Eindhoven, October, 2008

2 Inhoudsopgave 1 Inleiding De Opstelling Doelstelling Opbouw van het verslag Wrijvingseffecten en Wrijvingsmodellen Wrijvingseffecten Klassieke wrijvingsmodellen Dynamische wrijvingsmodellen Wrijvingsidentificatie Constante snelheid experiment Break-away krachten rechtstreeks uit het systeem bepalen Hysterese lus Wrijvingscompensatie 15 5 Conclusie en Aanbevelingen 18 Appendix 1: Gegeneraliseerde Maxwell-slip model 19 Referenties 21 2

3 Symbolenlijst en eenheden Symbool Betekenis Eenheid F w totale wrijvingskracht N F n normaalkracht N F s break-away kracht N F c Coulombse wrijvingskracht N F v viskeuze wrijvingskracht N µ c Coulombse wrijvingscoëfficiënt - B viskeuze wrijvingscoëfficiënt Ns/m B m micro-viskeuze wrijvingscoëfficiënt Ns/m v snelheid m/s v s Stribeck snelheid m/s d s Stribeck vormingsparameter - α vormingsparameter van Dahl - σ 0 gemiddelde stijfheid tegen afschuiven N/m F i heersende kracht in wrijvingselement i N W i break-away kracht in wrijvingselement i N k i stijfheid van het wrijvingselement i N/m α i maximale wrijvingskracht parameter - C vormingsparameter N/s Tabel 1: Lijst met gebruikte symbolen 3

4 1 Inleiding Bij haptische systemen is het belangrijk om als gebruiker goede krachtterugkoppeling te krijgen van het systeem. Overmatige stoorfactoren zoals wrijving zijn dan ongewenst. Aan de hand van wat de gebruiker voelt, kan hij zijn handelingen aanpassen. Nu hebben bijna alle mechanische systemen te maken met wrijving. Om deze weg te werken kan men het systeem opnieuw gaan ontwerpen, maar vaak is dat niet wenselijk. Een alternatief is om de wrijving in het systeem te bepalen en deze dan met een wrijvingsmodel te compenseren. De wrijving is dan nog wel aanwezig, maar wordt niet meer waargenomen door de gebruiker. 1.1 De Opstelling In dit project wordt er gekeken naar de wrijving in de master opstelling van een haptisch 1-DOF master-slave systeem. Een master-slave systeem bestaat uit twee opstellingen. Als een gebruiker één opstelling (de master) in beweging zet, moet de andere deze beweging nadoen (de slave). Als de slave bij een haptisch master-slave systeem in een bepaalde richting een weerstandskracht ondervindt, dan moet de gebruiker de weerstand waarnemen via de master. Het gebruikte systeem, weergegeven in figuur 1, is vrij in een roterende beweging. Het ontwerp komt van ir. R. Hendrix. In dit project wordt de laagfrequente regelaar gebruikt, die ontworpen is door J. Scholtes. Meer informatie over dit systeem is terug te vinden in [2]. Figuur 1: 1-DOF setup 4

5 Het systeem bevat twee hoofdzaken die wrijving met zich voortbrengen. 1. De lagering van de arm 2. De lagering van de actuator. De gebruiker voelt met name de wrijving in de actuatoras vanwege de twee overbrengingen. De eerste is een roterende overbrenging van de actuatoras naar naar de arm. De tweede roterende overbrenging bevindt zich tussen de lagering van de arm en het uiteinde van de arm. 1.2 Doelstelling Het hoofddoel van dit project is om meer inzicht te krijgen in de soorten wrijving die in het systeem aanwezig zijn door een literatuurstudie naar verschillende mogelijke soorten wrijving en door het experimenteel vast te leggen van de wrijving. Een bijkomend doel is het maken van een goed wrijvingsmodel voor realtime wrijvingscompensatie. 1.3 Opbouw van het verslag Het verslag bestaat uit 5 hoofdstukken. Hoofdstuk 1 Inleiding Dit hoofdstuk bevat een kleine introductie over de gebruikte opstelling en verwachtingen van de aanwezige wrijvingscomponenten. Ook wordt er de doelstelling van het project gedefinieerd en de te behandelen thema s per hoofdstuk. Hoofdstuk 2 Wrijvingseffecten en Wrijvingsmodellen Om de wrijving te kunnen bepalen dient men eerst te weten waarvan wrijving afhankelijk is. Ook zijn er verschillende methoden om de wrijving te benaderen. In dit hoofdstuk wordt een literatuurstudie over de verschillende wrijvingseffecten en wrijvingsmodellen besproken. Ook wordt er al een kleine selectie wrijvingsprofielen gekozen om mee verder te werken in het project. Hoofdstuk 3 Wrijvingsidentificatie In hoofdstuk drie worden er drie experimenten uitgelegd en uitgevoerd die nodig zijn om de wrijving te kunnen identificeren. Hoofdstuk 4 Wrijvingscompensatie In dit hoofdstuk worden de wrijvingsmodellen in een realtime simulatie getest. De verwachting hierbij is dus dat de wrijving nog nauwelijks waarneembaar is. Hoofdstuk 5 Conclusie Aan de hand van de gevonden resultaten uit hoofdstuk 3 en 4, kunnen er conclusies worden getrokken over de wrijvingsidentificatie en wrijvingsmodellen. 5

6 2 Wrijvingseffecten en Wrijvingsmodellen 2.1 Wrijvingseffecten Om wrijving te kunnen modelleren of te reduceren, moet men weten waarvan de wrijving afhankelijk is. Zo kunnen er een aantal soorten wrijvingseffecten onderscheiden worden. Maar er zijn ook andere factoren die op een bepaald moment kunnen optreden en invloed uit oefenen op de wrijving. Een aantal wrijvingsfenomenen zijn ([1], [3]): Statische wrijving en de break-away kracht: Statische wrijving is de wrijving die optreed wanneer het systeem in rust is. De statische wrijvingskracht is de kracht die men kan aanbrengen op het systeem zonder dat er beweging optreed. De kracht die nodig is om deze statische wrijving te overwinnen en een beweging te creëren wordt de break-away kracht genoemd en is dus gelijk aan de maximale statische wrijvingskracht. De break-away kracht is afhankelijk van de stijging van toegevoegde kracht. Een langzaam stijgende kracht geeft een andere break-away kracht dan een snel stijgende kracht. Coulombse wrijving: Verschijnsel dat optreedt bij het langs elkaar schuiven van twee droge oppervlakken. Wrijving is alleen afhankelijk van de richting van de snelheid. De Coulombse wrijving wordt berekend met de volgende vergelijking. F c = sign(v)f n µ c (1) In de vergelijking is F c [N] de Coulombse wrijvingskracht, F n [N] de normaal kracht op de bewegende oppervlakken, µ c [ ] de Coulombse wrijnvingscoëfficiënt en v [m/s] de relatieve snelheid van tussen de twee oppervlakken. Viskeuze wrijving: Bij viskeuze wrijving bevindt of lijkt het alsof er een vloeistof tussen de twee bewegende oppervlakken. Deze wrijvingskracht F v [N] is in tegenstelling tot de Coulombse wrijving afhankelijk van de grootte van de snelheid v [m/s]. In de onderstaande vergelijking is B [Ns/m] de viskeuze wrijvingscoëfficiënt. F v = Bv (2) Stribeck effect: Het Stribeck effect wordt veroorzaakt door smering. De afschuifkrachten van het smeermiddel zijn vaak groter voor lage snelheden dan bij hogere snelheden. Hierdoor verkleind de wrijving als men de snelheid verhoogt vanuit rust. Als de dikte van de smering groot genoeg is om de contactoppervlakken van elkaar te scheiden, zal de wrijving weer toenemen, omdat dan de hydrodynamische effecten gaan domineren. Het Stribeck effect kan beschreven worden zoals in vergelijking 3. ( ) d F w = F c + (F s F c ) exp v s v s (3) De vergelijking is een combinatie van de Coulombse wrijving F c [N], de break-away kracht F s [N] en het Stribeck effect. In de vergelijking is v s [m/s] de Stribeck snelheid en d s [ ] de vormingsparameter (Stribeck parameter). De invloed van de extra parameters v s [m/s] en d s [ ] wordt weergegeven in figuur 2. 6

7 Figuur 2: De invloed van de extra parameters d s [ ] en v s [m/s] Het Stribeck effect kan echter niet afzonderlijk beschreven worden. Het is een extra toevoeging op het Coulombse en viskeuze wrijvingsmodel. Presliding effect: Als de toegevoegde kracht kleiner is dan de break-away kracht, heeft de relatie tussen de statische wrijvingskracht en de verplaatsing een karakteristiek van een veer. Waarbij de verplaatsing echter microscopisch is. Frictional Lag: Bij het omkeren van de snelheid, kan de wrijvingskracht de beweging niet direct volgen en ontstaat er een achterstand van de wrijvingskracht op de beweging. Dit veroorzaakt een hysterese lus als de kracht wordt uitgezet tegen de positie. De wrijvingskrachten die in een systeem voorkomen, kunnen tevens afhankelijk zijn van tijd, temperatuur, positie en/of richting. Wrijving kan in de tijd veranderen door het verdwijnen van smering of slijtage van de contactoppervlakken. Veelvuldig gebruik, zorgt meestal voor een temperatuurverhoging die ook de wrijvingskrachten beïnvloeden. Positie afhankelijke wrijving is vaak het resultaat van een plaatsafhankelijke belasting of niet homogene contactgeometrie. Bijvoorbeeld door een wisselende ruwheid van het contactoppervlak of door de onrondheid van de assen door slijtage. Richtingsafhankelijke wrijving wordt ook vaak geconstateerd. In theorie zou dit zijn oorzaak kunnen vinden in de anisotropie van het materiaal of geometrie, maar een echte grondige verklaring is er nog niet. 2.2 Klassieke wrijvingsmodellen Klassieke wrijvingsmodellen hebben een algebraïsche afhankelijkheid van de snelheid en worden daarom vaak statische wrijvingsmodellen genoemd. Ze bestaan vaak uit combinaties van de statische, Coulombse en viskeuze wrijving en het Stribeck effect. Effecten zoals presliding, varying break-away of frictional lag kunnen niet gemodelleerd worden met een statische model. Figuur 3 toont enkele wrijvingscurven, voor enkele klassieke wrijvingsmodellen, waarin de wrijvingskracht is uitgezet tegen de snelheid. Figuur 3(d) bevat alle klassieke wrijvingsfenomenen. Een nadeel van zuivere Coulombse wrijving is de stap bij de nuldoorgang. Deze zorgt voor een discon- 7

8 Figuur 3: Verschillende curves om de wrijvingseffecten te modelleren. (a) Alleen Coulombse wrijving. (b) Alleen viskeuze wrijving. (c) Combinatie van Coulombse en viskeuze wrijving. (d) Combinatie Coulombse en viskeuze wrijving plus de break-away kracht en het Stribeck effect tinuïteit in de curve. Deze discontinuïteit geeft vooral problemen bij het implementeren en simuleren. De helling in de stap is oneindig groot, waardoor deze dus niet differentieerbaar is. De Coulombse wrijving kan echter wel benaderd worden door een continue arctan-functie. Dit model heeft echter het nadeel dat het alleen de Coulombse wrijving kan modelleren. F w = 2 π F c arctan(α v) (4) α is bepalend voor de helling in het nulpunt. Het is dus enerzijds gewenst om deze zo groot mogelijk te kiezen en anderzijds rekening te houden dat een te steile helling, teveel de stapfunctie gaat benaderen wat wederom numerieke problemen kan opleveren tijdens de simulatie. Een veelgebruikte vergelijking om toch het Stribeck effect en de statische wrijving ook te modelleren is een combinatie van vergelijking 2 met vergelijking 3. ( ) d F w = F c + (F s F c ) exp v s + Bv (5) Er zijn nog andere modellen die ook het Stribeck effect kunnen beschrijven. Zoals het model van Armstrong. In dat model worden twee vergelijkingen gebruikt welke beide een ander deel van de Stribeck curve beschrijven. Één van de vergelijkingen is bedoeld om de statische wrijving te bepalen, de andere wordt gebruikt voor de wrijving vanaf de break-away kracht te beschrijven. Ook Karnopp kwam met een model dat gebruik maakt van een interval rond de snelheid gelijk aan nul. In het interval mag de snelheid groter zijn dan nul, maar de uitgaande kracht moet nul blijven. Een nadeel van dit model is dat het sterk afhankelijk is van de dynamica van het hele systeem en dus ook van soms onbekende externe krachten die erop werken. Ook geeft het model niet de juist wrijving voor het interval. In dit verslag wordt vergelijking 5 gebruikt, omdat deze geen extra vergelijking nodig heeft. Ook wordt vergelijking 5 in een aantal dynamische modellen gebruikt. v s 8

9 2.3 Dynamische wrijvingsmodellen Dynamische modellen bevatten naast de statische fenomenen ook de dynamische fenomenen zoals pre-sliding, friction lag en varying break-away. Daarom worden ze vaak gebruikt voor het beschrijven van wrijving rond snelheid v = 0 [m/s]. Zoals bij de statische modellen zijn er ook een talrijk aantal dynamische modellen [1], [3]: Dahl model Dit model is gebaseerd op de spanning-rek curve van materialen. Het nadeel is dat het alleen de Coulombse wrijving modelleerd. Het model maakt gebruik van een differentiaal vergelijking om een betere nuldoorgang te krijgen, maar is niet bruikbaar voor systemen waar statische wrijving of het Stribeck effect van groot belang zijn. Vergelijking 6 is de differentiaal vergelijking van Dahl. In de vergelijking is σ 0 [N/m] de gemiddelde stijfheid van het systeem tegen afschuiven en α [ ] is een vormingsparameter. df dt = σ 0 1 F sign(v) F s Bliman en Sorine model α ( sign 1 F ) sign(v) F s Dit is een uitbreiding op het Dahl model naar een tweede orde wrijvingsmodel door er de statische wrijving aan toe te voegen. Het model maakt gebruik van een plaatsvariabele s [m] waarvoor vergelijking 7 geldt. s = Vergelijking 8 geeft het model van Bliman en Sorine weer. df dt = F ) ds F = v s dt s = σ 0 (v v FFc Borstelmodel t 0 (6) v(τ) dτ (7) Het borstelmodel is een benadering voor het gedrag van de macroscopische contactpunten tussen de twee oppervlakken. Ieder contactpunt wordt gezien als een verbinding met een zekere stijfheid. Als er een afschuifkracht optreed, gaan de verbindingen eerst weerstand bieden, maar als de afschuifkracht groter wordt, gaan de oppervlakken schuiven. Als de afschuifkracht niet veel groter is dan de weerstandskracht van de borstels, is het mogelijk dat het presliding effect optreed, doordat er nieuwe verbindingen ontstaan met nieuwe stijfheden. Ondanks dat dit model het niet-lineaire gedrag van de wrijving redelijk goed kan weergeven, is het echter te complex om te gebruiken voor realtime simulaties. In vergelijking 9 is b i [m] de positie waar contactpunt i ontstaat, x i [m] de relatieve positie van het contactpunt tijdens belasting en σ 0 [N/m] de gemiddelde stijfheid van alle verbindingen. σ 0 [N/m] is in deze vergelijking gelijk aan die van het Dahl model. LuGre model F = (8) N σ 0 (x i b i ) (9) i=1 Het LuGre model is ook gebaseerd op het Dahl model, maar bevat ook de borstel interpretatie gecombineerd met smering. Het behandelt alle bovengenoemde wrijvingsfenomenen, maar is 9

10 ook weer minder geschikt voor rekenprogramma s vanwege de hoge stijfheid in het pre-sliding regime. Het model is een functie van de snelheid v [m/s] en een toestandsvariabele z. F w = σ 0 z + B m dz dt + B (10) Bijkomende vergelijkingen die nodig zijn voor het oplossen zijn de vergelijkingen 11 en 12. Waarin g(v) overeenkomt met de vergelijking 3. ( dz dt = v 1 σ ) 0z g(v) ( ( )) d g(v) = sign(v) F c + (F s F c ) exp v s σ 0 [N/m] is ook hier de gemiddelde stijfheid van de verbindingen. B m [Ns/m] en B [Ns/m] zijn respectievelijk de micro-viskeuze wrijvingscoëfficiënt en de viskeuze wrijvingscoëfficiënt. Gegeneraliseerde Maxwell-slip model (GMS) Dit model beschouwt de wrijving als parallel geschakelde wrijvingselementen. Elk element heeft een eigen stijfheid k i [N/m] en een maximale weerstandskracht W i [N] tegen het schuiven. Het model beschrijft, net zoals het LuGre model, alle wrijvingsfenomenen. GMS krijgt de voorkeur omdat het de presliding beter beschrijft. v s (11) (12) F w (t) = F i (t) + Bv(t) (13) Hierin is F i [N] de kracht die het wrijvingselement i bijdraagt aan de totale wrijvingskracht F w [N]. Waarbij het dynamisch gedrag voor het blijven plakken (W i > F i ) voor ieder element beschreven kan worden met de vergelijking: df i dt = k iv (14) Voor het schuiven van de oppervlakken (W i F i ) geldt voor ieder element: ( df i dt = sign(v)c α i F ) i g(v) Waarin g(v) overeenkomt met de vergelijking 3 en 12. Met de parameter C [N/s] kan frictional lag tot de eerste orde benaderd worden. Door een hoge C [N/s] te kiezen zal de totale wrijving snel op g(v) gaan lijken. α i is de maximale wrijvingskracht parameter en bepaalt samen met g(v), de maximale wrijvingskracht W i [N]. Hieruit volgt dan dat W i [N] afhankelijk is van de snelheid. (15) W i = α i g(v) (16) 10

11 3 Wrijvingsidentificatie Uit het vorige hoofdstuk blijkt dat er verschillende methoden zijn om de wrijving te modelleren. Het Gegeneraliseerde Maxwell-slip model lijkt het meest complete model van de behandelde modellen te zijn met de minste nadelen. Uit ervaringen in de literatuuur blijkt dat het LuGre model problemen heeft bij het implementeren bij snelheid v = 0 [m/s]. Een goed alternatief is het gegeneraliseerde Maxwell-slip model, omdat het pre-sliding effecten aan boord heeft. Daarom zal het verder verloop van het project in teken staan van dit model. Voor dit model moeten er bepaalde gegevens uit het systeem worden gehaald. Dit gebeurt aan de hand van drie experimenten: 1. Constante snelheid experiment: In dit experiment wordt de wrijving bij diverse constante snelheden bepaald. 2. Break-away kracht bepalen: Door een oplopende kracht op het systeem te zetten kan de breakaway kracht gevonden worden. 3. Hysterese lus: Een oplopende kracht wordt tot net boven de break-away kracht aangebracht. Vervolgens wordt de kracht omgekeerd om zo hysterese in het pre-sliding regime te bepalen. 3.1 Constante snelheid experiment Dit experiment heeft als doel een beter inzicht te krijgen over de invloed van de snelheid op de wrijving. Voor het systeem is de volgende bewegingsvergelijking van toepassing. In vergelijking 17 is F w [N] de wrijvingskracht en u [N] de uitgaande kracht van de regelaar. Als de snelheid constant is, valt de versnellingsterm weg en is de wrijvingskracht gelijk aan de actuatorkracht u [N]. mẍ + F w = u (17) Door de wrijvingskracht te bepalen voor meerdere snelheden en in beide richtingen, kan men deze tegen elkaar uitzetten in een grafiek, de Stribeck curve. In MATLAB kan de functie lsqcurvefit.m in combinatie met vergelijking 5 uit hoofdstuk 2 gebruikt worden om de Coulombse en de viskeuze wrijvingskrachten bepalen, maar ook de Stribeck effect en de break-away kracht. De MATLAB functie gebruikt de Coulombse en viskeuze wrijvingskrachten, de break-away kracht, Stribeck snelheid en de extra Stribeck vormingsparameter dan als de te optimaliseren variabelen, zodat deze een goede fit doorheen de datapunten geven. De fit wordt voor de twee richtingen afzonderlijk bepaald. In figuur 4 zijn de datapunten en de gevonden fits per richting weergegeven. De linkse figuur betreft de negatieve richting en de rechtse de positieve. De fit is van redelijk slechte kwaliteit bij lage snelheden. De oorzaak hiervan kan het tijdsafhankelijkheid zijn van de wrijving. De meetdata voor de lage snelheden is namelijk over meerdere dagen vergaard. De gevonden waarden voor de variabelen zijn opgenomen in tabel 2. Wat opvalt is dat deze in de twee richtingen niet hetzelfde zijn. Vooral de Coulombse wrijving en de Break-away kracht verschillen sterk. De wrijving in het systeem is dus richtingsafhankelijk. Ieder punt van de figuur is bepaald door de arm gedurende een bepaalde tijd met constante snelheid te laten bewegen. De uitgaande kracht van de regelaar en de positie van de arm worden voor ieder tijdstip als een koppel opgeslagen. De meetdata wordt daarna gefilterd zodat enkel de kracht overblijft tussen 11

12 +0.01 [m] en 0.01 [m]. Een tweede filter wordt toegepast op de meetdata voor beide richtingen te scheiden. Daarna wordt er een gemiddelde genomen van de overgebleven krachten uit de meetdata. Het doel van het filteren is een betere gemiddelde kracht te verkrijgen rond het werkpunt (positie x = 0 [m]). Als men alleen op x = 0 [m] het gemiddelde gaat berekenen kan dit een fout beeld creëren. Figuur 4: Meetdata en de gefitte wrijvingscurve voor beide richtingen. (a): negatieve snelheden. (b): positieve snelheden Positieve richting F c = [N] F s = [N] B = [Ns/m] v s = [m/s] d s = [ ] Negatieve richting F c = [N] F s = [N] B = [Ns/m] v s = [m/s] d s = [ ] Tabel 2: Benadering van de wrijvingsparameters Naast de gevonden parameters kunnen er nog andere eigenschappen uit het systeem te voorschijn komen. Zo blijkt dat de wrijvingskracht voor lage snelheden, richting hun maximale positie, wat meer toeneemt (figuur 5). Naargelang de snelheid toeneemt, wordt dit verschijnsel kleiner. Maar bij hogere snelheden wordt dan weer het transient gedrag bij het omkeren van de beweging zichtbaar. 12

13 Figuur 5: De wrijvingskracht uitgezet tegen de positie. Links: lage snelheden. Rechts: hoge snelheden. De cirkel met de pijl geeft aan hoe de grafiek doorlopen wordt. 3.2 Break-away krachten rechtstreeks uit het systeem bepalen Het doel van dit experiment is het bepalen van de break-away kracht. In het eerste experiment is deze via extrapolatie gefit, maar het is ook mogelijk om de break-away kracht direct uit het systeem te halen. Het experiment wordt zonder regelaar in open loop uitgevoerd. Er wordt van een langzaam stijgende kracht gebruikt als ingangssignaal. De kracht stijgt met 0.01 [N/s] en het systeem vertrekt uit horizontale positie (x = 0 [m]). Zodra de toegevoegde kracht even groot is als de break-away kracht zal de arm ineens uitslaan. De break-away kracht komt dus overeen met de kracht die de eerste grote verplaatsing realiseert. Het experiment wordt voor beide richtingen herhaald en dan gemiddeld. De helling is zo klein mogelijk gekozen zodat er zo groot mogelijke break-away kracht gevonden kan worden. Figuur 6 geeft het verloop van de kracht en de positie weer van een experiment in positieve richting. Ook het presliding effect is duidelijk waarneembaar. De break-away kracht in positieve en negatieve richting zijn respectievelijk [N] en [N]. Dit is redelijk in de buurt van de berekende waarde uit het eerste experiment. Dit is dus een goed experiment om de formule 3 in hoofdstuk 2 te controleren. Figuur 6: Experimentdata voor de positieve richting. Boven: De oplopende kracht. Onder: De positie van de arm 13

14 3.3 Hysterese lus In dit laatste experiment wordt er gekeken naar wat er gebeurt bij het omkeren van de snelheid binnen het presliding regime. In principe is dit hetzelfde experiment als voor de break-away krachten. Alleen neemt de toegevoegde kracht toe tot net boven de break-away kracht in een richting. Daarna wordt de kracht omgekeerd om dan net boven de break-away kracht in de andere richting te stijgen. Dit wordt herhaaldelijk uitgevoerd zodat er een hysteresis lus ontstaat zoals in figuur 7. Uit deze hysterese lus kunnen rechtstreeks de stijfheid k i en de parameter α i voor het GMS model bepaald worden. (zie tabel 3) Figuur 7: Hysterese lus Element i k i α i [N/m] 0.72 [ ] [N/m] 0.15 [ ] [N/m] 0.13 [ ] Tabel 3: Maxwellparameters k i en α i 14

15 4 Wrijvingscompensatie In dit hoofdstuk wordt er gekeken naar de wrijvingsreductie in het systeem door het gegeneraliseerde Maxwell-slip model toe te passen. De gebruikte broncode om het gegeneraliseerde Maxwell-slip model in MATLAB te implementeren komt uit [3]. Figuur 8 toont het top-level structuur van het Simulink model. RTI Data Model-based Friction Master Waveform: sine Amplitude: 30e-3/1 [m] Freq.: 0.25 [Hz] e_m 5595(s+12.6) (s+313.5) Controller Fc_M Fa_M Fa_M [N] Fa_S [N] Fm_M [N] x_m [m] x_s [m] Fm_S [N] x_m t: (30e-3/20e-3)*[ ] y: 30e-3*[ ] Ff Ff MasterSlave 0 GMS_sfcn du/dt butter Gain: 0 [-] S-Function Order: 4 [-] Freq: 2*pi*30 [rad/s] Figuur 8: Top level sructuur van het simulink model met wrijvingscompensatie. In figuur 9 is de wrijvingskracht voor het systeem weergegeven. Figuur 9a toont de wrijving voor het systeem zonder wrijvingscompensatie en figuur 9b het systeem met wrijvingscompensatie. In figuur 9a is duidelijk te zien dat de wrijvingskracht bij een bepaalde snelheid anders is voor de heengaande en teruggaande beweging. Dit wijst op het dynamisch gedrag van de wrijving. Figuur 9b toont aan dat gevonden parameters voor het gegeneraliseerde Maxwell-slip model de wrijving goed compenseren voor hoge snelheden, maar ze zijn minder geschikt voor het modelleren van lage snelheden en het presliding regime. Figuur 9: De totale wrijving in het systeem afhankelijk van de snelheid. (a): zonder compensatie. (b): met compensatie 15

16 Figuur 10 toont de hysterese lus voor de beide gevallen van het systeem. Ook hier is te zien dat het model slecht de nuldoorgang modelleert. Er is aangenomen dat voor de hysterese lus voor de heengaande en de teruggaande beweging dezelfde stijfheden k i [N/m] en wrijvingskracht paramenters α i [ ] gelden. Uit figuur 10b blijkt dit niet te kloppen. Met verschillende waarden voor k i [N/m] en α i [ ] voor beide richtingen, zou de piek bij de maximale positie (x = 0.03 [m]) verkleinen. Ook zou de piek in figuur 9b kleiner worden. Bij het omkeren van de snelheid is het systeem overgecompenseerd. Dit komt doordat het model enkel geldig is voor het moment zelf, omdat het systeem mechanisch teveel verandert in de tijd. De overcompensatie wordt aangetoond in figuur 10b. Figuur 10: Hysterese lus voor de twee situaties. De cirkel met de pijl geeft aan hoe de grafiek doorlopen wordt.(a): Het systeem zonder compensatie. (b): Het systeem met compensatie. Figuren 11 en 12 tonen hoe het systeem een sinusvormig referentie-signaal volgt. De wrijvingscompensatie vertoont een verbetering van het volgen van het signaal. De top (x = 0.03 [m]) is wel afgevlakt. Dit zou ook verbeteren wanneer k i [N/m] en α i [ ] richtingsafhankelijk zouden zijn. Figuur 13 toont de volgfout voor beide situaties. Figuur 11: Vergelijking tussen de referentie en werkelijke positie zonder wrijvingscompensatie 16

17 Figuur 12: Vergelijking tussen de referentie en werkelijke positie met wrijvingscompensatie Figuur 13: De volgfout voor het systeem met en zonder wrijvingscompensatie 17

18 5 Conclusie en Aanbevelingen Uit dit project blijkt dat er veel verschillende modellen zijn om wrijving te modelleren en te compenseren. Toch zijn de modellen nog niet volledig, omdat het presliding gedrag moeilijk te beschrijven is. Van de onderzochte modellen blijkt het gegeneraliseerde Maxwell-slip model het meest efficiënt, omdat het model ook de presliding effecten benadert. Het model is makkelijk te implementeren in tegenstelling tot het LuGre model. De belangrijkste wrijvingsparameters, zoals Coulombse en viskeuze wrijving en de break-away kracht en het Stribeck effect, kunnen met eenvoudige experimenten uit het systeem geschat worden. Een constante snelheid aanbrengen op het systeem. Door het experiment voor verschillende snelheden te herhalen, kan zo een wrijvingscurve gemaakt worden en de wrijvingsparameters via extrapolatie geschat worden. De break-away kracht kan ook rechtstreeks uit het systeem geschat worden door een langzaam toenemende kracht op het systeem aan te brengen. Met het hysterese lus experiment kunnen de laatste parameters voor het gegeneraliseerde Maxwellslip model afgeschat worden. Uit de hysterese lus komt ook de Coulombse wrijving terug naar voren. Uit de experimenten valt direct op dat de wrijving richtingsafhankelijk is. Zo verschillen de Coulombse en viskeuze wrijving en de break-away kracht en het Stribeck effect voor beide richtingen van het 1-DOF systeem. De waarden voor k i [N/m] en α i [ ] zijn richtingsonafhankelijk genomen. Dit is echter niet het geval en resulteert daarom in een minder goede wrijvingscompensatie in één richting. Door wel richtingsafhankelijke k i [N/m] en α i [ ] te gebruiken, zal vrijwel zeker een beter resultaat gevonden worden. Met name in de richting waarvoor de huidige k i [N/m] en α i [ ] niet opgaan. De plaatsafhankelijkheid van de wrijving is goed zichtbaar bij lage snelheden, maar wordt minder naargelang de snelheid stijgt. De plaatsafhankelijke wrijving is echter niet in te brengen in het gegeneraliseerde Maxwell-slip model. Daarnaast is de wrijving in het systeem tijds- en omgevingsplaatsafhankelijk. Zo kan slijtage en een temperatuurverhoging door veelvuldig gebruik de wrijving veranderen. Hierdoor gelden de gevonden wrijvingsparameters niet meer en kunnen effecten zoals overcompensatie optreden. Om dit te verhinderen zouden in theorie de wrijvingsparameters steeds aangepast moeten worden. De meeste problemen bij het modelleren van wrijving doen zich voor rond v = 0 [m/s]. Dit komt vooral doordat de Coulombse wrijving en de presliding effecten moeilijk te modelleren zijn, maar ook omdat het gegeneraliseerde Maxwell-slip model zich enkel op snelheidsterugkoppeling baseert. Een terugkoppeling van de kracht zou voor haptische systemen een verbetering van de resultaten opleveren, omdat effecten zoals overcompensatie gereduceerd worden. Hiervoor moet er een ander model gekozen worden. De volgfout is gereduceerd door het toevoegen van de wrijvingscompensatie, maar toch blijft de fout relatief hoog bij het omkeren van de snelheid vanwege de moeilijkheden bij het implementeren van de kracht rond snelheid v = 0 [m/s]. 18

19 Appendix 1: Gegeneraliseerde Maxwell-slip model Dit model beschouwt de wrijving als parallel geschakelde, eenvoudige wrijvingselementen (figuur 1). De elementen hebben elk een eigen stijfheid k i [N/m] en een maximale weerstandskracht W i [N] tegen schuiven. Figuur 1: Gegeneraliseerde Maxwell-slip model F w (t) = F i (t) + Bv(t) (1) F i [N] is de kracht die het wrijvingselement heerst bij een totale wrijvingskracht F w [N] over alle element samen. Waarbij het dynamisch gedrag voor de blijven plakken (W i > F i ) voor ieder element beschreven kan worden door: df i dt = k iv (2) Voor het schuiven van de oppervlakken (W i F i ) geldt voor ieder element: ( df i dt = sign(v)c α i F ) i g(v) Met de parameter C [N/s] kan frictional lag tot de eerste orde benaderd worden. Door een hoge C [N/s] te kiezen zal de totale wrijving snel op g(v) gaan lijken. α i [ ] is de maximale wrijvingskracht parameter en bepaalt samen met g(v), de maximale wrijvingskracht W i [N]. Hieruit volgt dan dat W i [N] afhankelijk is van de snelheid. ( ( g(v) = sign(v) F c + (F s F c ) exp v ds)) (4) vs (3) W i = α i g(v) (5) Voor het bepalen van α i [ ] en k i [N/m], wordt er gebruik gemaakt van de hysterese lus. Er wordt aangenomen dat de totale kracht, in de uiterste punten (F (0), x (0) ) en (F (N), x (N) ), gelijk is aan F c [N] en er net geen beweging optreedt. In dit punt zijn de verlengingen in ieder wrijvingselement maximaal. F c [N] is de gemiddelde Coulombse wrijving en wordt gebruikt om de kracht F = 0 [N] in het middel te leggen van de minimale en maximale Coulombse krachten (zie figuur 2). Voor de uiterste punten geldt: F c = N i=1 k i z max i = k 1 z max 1 + k 2 z max k N z max N (6) 19

20 Figuur 2: Hysterese lus verleggen Voor ieder element geldt dan: met F c = N α i F c = α 1 F c + α 2 F c α N F c (7) i=1 k i z max i = α i F c (8) z max i = x i x 0 2 In de breekpunten van de hysterese lus gaat er steeds een wrijvingselement glijden. Hierdoor wordt de stijfheid van het systeem kleiner er wordt de helling minder. De wrijvingskracht kan beschreven worden als: Dit kan veralgemeend worden voor elk data punt q: F 1 f = α 1 F c + k 2 z k 3 z k N z 1 N + F bias (10) F 2 f = α 1 F c + α 2 F c + k 3 z k N z 2 N + F bias (11) F N f = α 1 F c + α 2 F c α N F c + F bias (12) F q f = F q 1 c α i + α q F c + i=1 N i=q+1 (9) k i z q i + F bias (13) De eerste bevat alle elementen die aan het glijden zijn. De tweede term is het element dat kritisch staat en de derde term bevat alle elementen waarvan de kracht nog kleiner is dan W i [N] en dus niet gaan glijden. Waarin z q i berekend wordt met de volgende vergelijking. z q i = zmax i + (x q x 0 ) = z max i + 2z max q (14) De kracht F bias [N] is de offset om de minimale en de maximale Coulomse wrijving even groot te maken. F bias = F min c + F c = F max c F c (15) De vergelijkingen 8 en 13 vormen samen 2N vergelijkingen met 2N onbekenden en kan geschreven worden in de vorm A (2N 2N) x (2N 1) = b (2N 1). 20

21 Referenties [1] P. Lischinksy, C. Canudas-de Wit, H. Olsson, K.J. Aström, and M. Gäfvert, Friction models and friction compensation, [2] J. Scholtes, Controle of a 1-dof haptic system, [3] T.A.C. Verschuren, Friction compensation for a haptic manipulator: The hapticmaster,