Peter van der Straten

Transcriptie

1 Werkcollege Quantum Mechanica Ψ( r, t) i h t = h2 2m 2 Ψ( r, t) + V ( r)ψ( r, t) Peter van der Straten Bachelor Natuur- en Sterrenkunde Universiteit Utrecht

2 Inhoudsopgave A Inleiding 3 B Golffuncties 6 C Schrödingervergelijking en Deeltje in een doosje 9 D Harmonische oscillator 11 E Vrij deeltje 14 F Potentiaal verstrooiing 16 G Formalisme van de QM-I 17 H Formalisme van de QM-II 20 J Quantum-mechanica in drie dimensies 23 K Impulsmoment 24 L Waterstofatoom 26 M Spin 30 N Identieke deeltjes 33 O Periodieke systeem van elementen 34 P Vaste stoffen 37 Q Storings-rekening 38 R Variatie-rekening 39 S Herhaling 40 Deze bundel bevat de opgaven voor het verplichte majorgebonden vak van de bachelor opleiding Natuur- en Sterrenkunde aan de Universiteit Utrecht. De opgaven zijn door de jaren door verschillende docenten bijeengebracht. In veel gevallen wordt verwezen naar opgaven uit het boek Introduction to Quantum Mechanics van David J. Griffiths, 2 de editie. Tussen haken staan de nummers van de opgaven uit de 1 ste editie vermeld.

3 Werkcollege QME1 A Inleiding A Inleiding In het eerste werkcollege houden we ons bezig met de vraag waarom er een nieuwe theorie zoals quantum-mechanica moest komen. Wat was het probleem? Welke verschijnselen kunnen niet goed met de oude natuurkunde worden beschreven? Maar als herinnering beginnen we met oefeningen over complexe getallen en waarschijnlijkheid, omdat die in de QM heel belangrijk worden. A1 Complexe getallen Complexe getallen z kan je op twee manieren schrijven - een cartesische vorm en een polaire vorm. a) Maak een geometrische illustratie. Geef de twee vormen expliciet aan en toon hoe je een uit de andere kan berekenen. b) Hoe worden twee complexe getallen in het algemeen vermenigvuldigd? Gebruik beide vormen uit a). Wat is (2 + 2i)(1 i)? Bereken de complexe derdemachtswortel(s) van 1. c) Wat is het complex geconjugeerde z in cartesische en polaire vorm? Wat is z z en (z )? Beschouw de functies f(x) = exp(±ikx) en g(x) = exp(±κx) d) Maak een grafiek van de plaatsafhankelijkheid van beide functies voor zowel het reële en imaginaire deel, als ook voor de amplitude en de fase. A2 Dobbelstenen a) Wat zijn de mogelijke uitkomsten en bijbehorende kansen van een eerlijke normale dobbelsteen? b) Wat is de verwachtingswaarde bij één worp, gedefiniëerd als de som van alle uitkomsten maal de bijbehorende kans: n = n P (n). n c) Wat is de kans dat je de verwachtingswaarde gooit? Is dat (niet) raar? d) Wat is de kans dat je iets gooit wat minder dan 1 van de verwachtingswaarde afwijkt? En minder dan 2? e) De spreiding σ 2 (variance) is gedefiniëerd als het verschil tussen de verwachtingswaarde van het kwadraat en het kwadraat van de verwachtingswaarde. Welke is altijd groter dan de ander? Bereken de spreiding in de uitkomsten van de dobbelsteen. f) Bereken de standaarddeviatie σ. 3

4 A Inleiding Werkcollege QME1 A3 Twee spleten-experimenten In deze opgave doen we een aantal gedachten-experimenten. Een grote hoeveelheid kogeltjes valt op een plaat waarin twee smalle spleten zijn gemaakt. De spleten zijn breed genoeg om een kogeltje door te laten. Onder de plaat is een opvangbak gemaakt bestaande uit meerdere compartimenten. a) Teken de opstelling en geef aan hoe de verdeling van de kogeltjes in de compartimenten van de opvangbak zal zijn. In een bak water bevindt zich een rechtopstaande plaat met twee smalle spleten erin. Aan de ene kant van de bak worden watergolven gemaakt. b) Teken de opstelling, geef aan hoe het golfpatroon aan beide zijden van de plaat eruitziet. Geef ook aan waar op de wand tegenover de golfbron de amplitude van de golven het hoogst is. Een lichtbundel schijnt op een plaat met twee smalle spleten erin en valt op een scherm daarachter. c) Teken de opstelling en geef aan hoe het lichtpatroon op het scherm eruit zal zien. Vergelijk dit met de vorige twee experimenten. Wat concludeer je over de aard van licht? Tenslotte voeren we hetzelfde experiment uit met een bundel elektronen: een elektronenkanon schiet een bundel tegen een plaat met twee smalle spleten, waarachter een scherm staat. d) Wat verwacht je te zien als je er vanuit gaat dat elektronen kleine deeltjes zijn? A4 Deeltjes met golflengtes Uit berekeningen blijkt dat de golflengte van een elektronenbundel nauw samenhangt met de impuls van de deeltjes. De bijbehorende formule is genoemd naar de Franse prins Louis de Broglie en luidt λ = h/p. Met deze formule kun je voorspellen of je in een bepaalde situatie rekening moet houden met de golfachtigheid van deeltjes. Als de golflengte groot genoeg is, zodat golf-effecten zoals buiging zichtbaar worden, wordt het golfkarakter belangrijk. a) Bereken de golflengte van een voetbal (bedenk zelf een realistische massa en snelheid). Waarmee moet je deze golflengte vergelijken om te bepalen of die groot genoeg is? Blijkt uit je vergelijking dat het golfkarakter van een voetbal in een normale situatie belangrijk is? Is dat wat je verwacht? Als de massa hetzelfde blijft, wat moet de snelheid van de voetbal dan zijn opdat het golfkarakter belangrijk wordt? (Kan dat?) b) Bereken de golflengte van een elektron in de beeldbuis van een tv (versnel-spanning in de orde van kv). Vergelijk die golflengte met een geschikte lengtemaat (welke?). Is het golfkarakter van de elektronenbundel hier belangrijk? Is dat wat je verwacht? Hoe moeten de omstandigheden veranderen om het dominante karakter te veranderen? 4

5 Werkcollege QME1 A Inleiding A5 Het foto-elektrisch effect Licht dat op een metalen oppervlak schijnt, kan elektronen uit dat oppervlak losmaken. a) Hoe varieert het aantal losgemaakte elektronen met de intensiteit van het licht van een UV-lamp? Leg kort uit (kwalitatief) hoe je dat kunt begrijpen. Ga ervanuit dat licht een golfverschijnsel is. b) Wat verwacht je dat er gebeurt als de UV-lamp wordt vervangen door een felle lamp die zichtbaar licht uitzendt maar geen UV? Waarom verwacht je dat? c) Wat gebeurd er in werkelijkheid? Waarom is dit moeilijk te begrijpen als je licht beschouwt als een golfverschijnsel? d) Hoe kun je het gedrag bij verandering van de frequentie verklaren als je licht beschouwt als een stroom deeltjes? A6 Golven met energie-pakketjes Voor het foto-elektrisch effect kan je veronderstellen, dat licht (elektromagnetische straling) met een golflengte λ opgebouwd uit licht-quanta (fotonen) met een energie, die gegeven wordt door E = hν = hc/λ Afhankelijk van de grootte van de energie-pakketjes en de eigenschappen van de omgeving, is het deeltjes-karakter van het licht meer of minder belangrijk. a) Wat moet er gelden voor de grootte van de energie-pakketjes, opdat je de deeltjesachtigheid van straling opmerkt? b) Wat is de grootte van de energie-pakketjes van groen licht? c) Wat is de grootte van de energie-pakketjes van FM-radiogolven? d) Wat is de grootte van de energie-pakketjes van (harde) gammastraling? Licht kun je waarnemen doordat atomen worden aangeslagen of zelfs geïoniseerd. e) Vergelijk de grootte van de energie-pakketjes uit de vorige drie onderdelen van deze opgave met een typische energieschaal van ionisatie-energie van atoom. Wat is je conclusie? A7 Vaste-stoffen en gassen Maak opgave 1.18 (-) uit Griffiths. 5

6 B Golffuncties Werkcollege QME1 B Golffuncties Vorige keer hebben we gezien dat energie soms uit pakketjes lijkt te bestaan, en dat deeltjes als elektronen zich soms golfachtig gedragen. In dit tweede werkcollege gaan we wat nader in op de beschrijving van golven in de klassieke natuurkunde, en het verband met de quantum-mechanica. De laatste opgaven zijn berekeningen met golffuncties. B1 Golven en golfvergelijkingen Hieronder zie je een aantal voorbeelden van klassieke golfvergelijkingen. De vergelijking voor geluidsgolven: 2 ξ t 2 = K ρ 2 ξ, (1) de vergelijking voor elektromagnetische golfen in vacuüm: ɛ 0 µ 0 2 E t 2 = 2 E, (2) en de vergelijking voor transversale golfen langs een snaar: 2 x t = F 2 x 2 µ z, (3) 2 a) Wat zijn de overeenkomsten tussen de voorbeelden? De algemene golfvergelijking in 3 dimensies is 2 ψ = 1 v 2 2 ψ t 2 b) Waar zie je de snelheid van de golf in de vergelijkingen (1), (2) en (3)? c) Wat golft er? d) Wat zijn mogelijke oplossingen van de golfvergelijkingen (1), (2) en (3)? B2 Theorema van Ehrenfest Om de bewegingen van klassieke objecten zoals voetballen, planeten, auto s, mensen en koffiekopjes te beschrijven werkt de klassieke mechanica erg goed. We zijn nu bezig een nieuwe mechanica van quantumobjecten te leren, die in allerlei opzichten niet lijkt op de klassieke mechanica. Maar om vertrouwen in de nieuwe theorie te krijgen, willen we wel graag dat deze nieuwe theorie aansluit op de oude vertrouwde en bovendien goed werkende klassieke mechanica. Het theorema van Ehrenfest laat zien dat er op een bepaalde manier een aansluiting is. Het luidt: d p = V. dt x 6

7 Werkcollege QME1 B Golffuncties a) Gebruik de Schrödingervergelijking om dit te bewijzen. b) Wat betekent dit theorema? Is het belangrijk dat er verwachtingswaardes staan? Zal je ook dp/dt kunnen schrijven in plaats van d p /dt? c) Praat erover met je mede-student en schrijf in een paar zinnen op, hoe dit theorema voor een aansluiting tussen klassieke en quantum-mechanica zorgt. B3 Golven en superpositie Je hebt de één-dimensionale golfvergelijking: 1 ω 2 2 ξ t 2 = 1 k 2 2 ξ z 2. a) Laat zien dat ξ(z, t) = f(ωt kz) een oplossing is, met f(x) een (nader te specificeren) functie. Wat is het verband tussen f (x) en ξ/ z en ξ/ t? Waaraan moet f(x) voldoen? De harmonische golf ξ = A cos(ωt kz) is een bijzondere periodieke oplossing. b) Hoe ziet de superpositie van twee harmonische golven met dezelfde amplitude maar verschillende frequentie en golfgetal eruit? Kan je dat herschrijven als een product van twee periodieke functies? Hoe kan je dat begrijpen? c) Iedere van deze twee periodieke functies heeft een snelheid. Hoe bepaal je die? Onder welke voorwaarden zijn de twee snelheiden gelijk? B4 Rekenen met golf functies 1 Maak opgave 1.5 (1.8) uit Griffiths. B5 Rekenen met golf functies 2 Maak opgave 1.9 (1.14) uit Griffiths. B6 Rekenen met golf functies 3 We beschouwen een deeltje waarvan de golffunctie op t = 0 gegeven wordt door: 0 : x a Ψ(x, 0) = A a 2 x 2 : a < x 0 B exp( x 2 /2b 2 ) : x > 0 Alle constanten zijn reëel en positief. Onderstaande vragen gaan over de functie op t = 0. a) Geef een verband tussen A en B zodat de functie continu is. b) Normaliseer de golffunctie. 7

8 B Golffuncties Werkcollege QME1 c) Schets de golffunctie. d) Wat is de meest waarschijnlijke waarde van x? e) Wat is de verwachtingswaarde x? f) Onder welke voorwaarde is de kans om het deeltje links van x = 0 te vinden 50%? Wat is in dat geval de verwachtingswaarde x? 8

9 Werkcollege QME1 C Schrödingervergelijking en Deeltje in een doosje C Schrödingervergelijking en Deeltje in een doosje In hoofdstuk 2 gaan we voor een aantal speciale gevallen de Schrödingervergelijking oplossen. We beginnen deze week met wat algemene eigenschappen van de vergelijking en de oplossingen. Verder wordt een deeltje in een oneindig diepe potentiaalput ( doosje ) beschouwd als één van de eenvoudigste systemen in de quantum-mechanica, die voorspellende werking heeft voor meer complexere systemen. We oefenen daarom eerst met een deeltje in een doosje, voordat we realistische systemen beschouwen. C1 Scheiding van variabelen De Schrödingervergelijking (SV) is gegeven door: i h h2 Ψ(x, t) = t 2m 2 Ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t). x2 We beginnen ermee alleen oplossingen te bekijken van de vorm Ψ(x, t) = ψ(x)ϕ(t). a) Gebruik scheiding van variabelen om de SV om te schrijven naar twee vergelijkingen: een voor ψ(x) en een voor ϕ(t). Beide vergelijkingen kun je zien als eigenwaardevergelijkingen voor dezelfde eigenwaarde. b) Wat is de fysische betekenis van deze constante? De tijdsafhankelijkheid van een oplossing van deze vorm is heel eenvoudig: eigenlijk verandert er niets. Daarom noemen we dit stationaire oplossingen. c) Wat wordt bedoeld met eigenlijk verandert er niets? De functie Ψ(x, t) verandert toch? Een algemene oplossing van de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking kunnen we schrijven als een superpositie van stationaire oplossingen (met elk hun eigen tijdafhankelijkheid): Ψ(x, t) = ψ n (x)ϕ n (t). n d) Waarom kan er nu wél echte tijdsafhankelijkheid optreden? C2 Eigenschappen van de tijdsonafhankelijke SV Maak opgave 2.1 uit Grifiths. C3 Energie en potentiaal Maak opgave 2.2 uit Griffiths. C4 De oneindige potentiaalput als benadering voor een atoom? Teken de elektrische potentiaal in een atoom. Vergelijk die met een oneindige potentiaalput. 9

10 C Schrödingervergelijking en Deeltje in een doosje Werkcollege QME1 a) Welke verschillen zie je? b) Welke overeenkomsten? c) Waarom wordt een deeltje in een oneindige potentiaalput ook wel een deeltje in een doosje genoemd? d) Waarom is dit een redelijke benadering van een elektron in een atoom? Wat deugt er wel en niet aan? C5 Eigenschappen van een deeltje in een doosje Maak opgave 2.4 (2.5) uit Griffiths. C6 Deeltje in een doosje Een deeltje in een doosje is op t = 0 in de toestand Ψ(x, 0) = A [ψ 1 (x) + ψ 3 (x)] a) Bepaal A uit de normalisatie van Ψ(x, 0). Toon expliciet dat dan ook Ψ(x, t) genormaliseerd is. b) Wat is de verwachtingswaarde x? Hoe hangt x van de tijd af? c) Bereken p en H. Zijn deze tijdsafhankelijk? C7 Rekenen met het deeltje in een doosje 1 Maak opgave 2.7 (-) uit Grifiths. C8 Rekenen met het deeltje in een doosje 2 Maak opgave 2.38 (-) uit Griffiths. 10

11 Werkcollege QME1 D Harmonische oscillator D Harmonische oscillator De harmonische oscillator is één van de weinige systemen in quantum-mechanica, die we exact kunnen oplossen. Tegelijkertijd speelt de harmonische oscillator een belangrijke rol in het vibrereren en roteren van moleculen, het elektro-magnetische veld en andere systemen, zodat de resultaten direct toepasbaar zijn. D1 Een andere harmonische oscillator Maak opgave 2.14 (-) uit Griffiths. D2 Harmonische oscillator en klassiek verboden gebied Maak opgave 2.15 (2.15) uit Griffiths. D3 Toestanden van de harmonische oscillator a) Schrijf de golffuncties voor de twee laagste toestanden (ψ 0 en ψ 1 ) van de harmonische oscillator met hulp van de Hermite polynomen en ψ n (x) = ( ) mω 1/4 1 π h 2n n! H n(ξ)e ξ2 /2. b) Bereken x, p, x 2, p 2 voor ψ 0 en ψ 1 door integratie. c) Toets de onzekerheidsrelatie. d) Bereken de verwachtingswaarden van de kinetische energie en de potentiaal. Vergelijk de som met je verwachtingen. D4 Verwachtingswaarden van een harmonische oscillator Maak opgave 2.12 (-) van Griffiths. D5 Superpositie van een harmonische oscillator We bekijken een deeltje in een harmonische oscillator-potentiaal. Op t = 0 bevindt het deeltje zich in de volgende toestand: Ψ(x, 0) = A (3ψ 0 (x) + 4ψ 1 (x)) a) Bepaal de normeringsconstante A. b) Bepaal Ψ(x, t) en Ψ(x, t) 2. c) Bereken de verwachtingswaarde van x en p, en merk op dat ze oscilleren. Hoe verandert de oscillatie-frequentie als ψ 1 door ψ 2 wordt vervangen? 11

12 D Harmonische oscillator Werkcollege QME1 d) Controleer of deze toestand voldoet aan de stelling van Ehrenfest. e) Als je de energie van dit deeltje zou meten, welke waarden zou je dan kunnen krijgen? En met welke kansen? D6 Discrete energieniveaus Een van de opvallendste eigenschappen van de quantum-mechanica is het bestaan van discrete energieniveaus voor gebonden toestanden. Als voorbeelden hiervan hebben we de toegestane energieën van een deeltje in een doosje en van een harmonische oscillator gevonden. a) Schrijf (nog eens) de energieniveaus van deze twee systemen op. b) Bereken voor beide systemen de relatieve afstand tussen twee opeenvolgende energieniveaus. c) Welke energieën zijn mogelijk voor een klassiek deeltje in een doosje en voor een klassiek deeltje in een harmonische potentiaal? d) Wat gebeurt er met de relatieve afstand tussen de quantum-energienieveaus als de energie erg groot wordt? Waarom is dat een klassieke limiet? D7 Een halve harmonische oscillator Bekijk de potentiaal V (x) = a) Maak een tekening van de potentiaal. { 1 / 2 mω 2 x 2 : x > 0 : x < 0 b) Bedenk hoe de toegestane golffuncties eruitzien en schets er een paar in je tekening. c) Wat zijn de energieniveaus van een deeltje in deze potentiaalput? D8 Vergelijken van deeltje in doosje en harmonische oscillator We bekijken in deze opgave de potentiaal van een harmonische oscillator met parameters m, ω en de potentiaal van een deeltje in een doosje met parameters m, a. a) Schrijf de formules van deze twee potentialen op. b) Vind het verband tussen a en ω zodat de grondtoestanden van de twee systemen bij dezelfde energie zitten. c) Wat is die energie? En wat is n voor die toestanden? d) Wat zijn de volgende energieniveaus voor beide systemen (als functie van n)? e) Waaraan moeten de golffuncties bij deze potentialen voldoen? D.w.z: hoe ziet de (tijdsonafhankelijke) Schrödingervergelijking eruit, en wat zijn de randvoorwaarden? 12

13 Werkcollege QME1 D Harmonische oscillator f) Schrijf deze golffuncties op. (Je hoeft ze nu niet af te leiden.) g) Teken met de hand en toch netjes in één figuur de twee potentialen, de eerste drie energieniveaus van het deeltje in een doosje en zoveel van de harmonische oscillator als er in passen. h) Teken in dezelfde figuur bij elk energieniveau kwalitatief de bijbehorende golffunctie. Let hierbij op eventuele symmetrie, nulpunten en randvoorwaarden. D9 Numerieke integratie van de Schrödinger vergelijking In deze opgave gaan we de Schrödinger vergelijking oplossen voor de harmonische oscillator door numerieke integratie. Voor numerieke integratie is het vaak handig om met dimensieloze variabelen te werken. Gebruik voor numerieke integratie je favoriete pakket (Mathematica, Matlab, C, fortran, python, etc.) en maak hiermee duidelijke plaatjes voorzien van variabelen en waarden op de assen. a) Schrijf de Schrödinger vergelijking op voor de harmonische oscillator met dimensieloze variabelen. Geef duidelijk aan, hoe je de variabelen geschaald hebt. We willen de numerieke integratie uitvoeren door te starten vanuit het midden van de potentiaal. b) Welke randvoorwaarden moet je gebruiken voor een even oplossing van de vergelijking? En welke randvoorwarden voor een oneven oplossing? c) Bereken numeriek de golffuncties voor de vier laagste toestanden door gebruik te maken van de juiste waarden voor de (geschaalde) energie. Maak van deze oplossingen een duidelijk plaatje. We willen nu onderzoeken, waarom we alleen voor de juiste waarden van de energie oplossingen vinden. d) Neem een waarde voor de energie, die iets hoger en iets lager is dan de juiste energie voor één van de vier laagste toestanden en bereken numerieke oplossingen van de Schrödinger vergelijking. Maar ook hiervan een duidelijk plaatje. Vergelijk je antwoord met de oplossing voor de juiste energie. Waar zie je duidelijke verschillen tussen de oplossingen? e) Beredeneer, waarom deze numerieke oplossingen geen goede oplossingen vormen van de Schrödinger vergelijking. 13

14 E Vrij deeltje Werkcollege QME1 E Vrij deeltje We kijken in dit onderdeel nauwkeuriger naar een vrij deeltje, dat beweegt zonder externe potentiaal. E1 Staande en lopende golven Maak opgave 2.18 (2.19) uit Griffiths. E2 Behoud van dichtheid Maak opgave 1.14a (1.9a) uit Griffiths. E3 Waarschijnlijkheidsstroom Bereken de waarschijnlijkheidstroom J(x, t) = i h ( ) Ψ Ψ Ψ Ψ 2m x x voor een stationaire toestand van het vrij deeltje. E4 Gebonden en verstrooide deeltjes Een eenvoudige tijdsonafhankelijke potentiaal, zoals we er al een aantal zijn tegengekomen, leidt in veel gevallen tot twee verschillende typen toestanden, nl. gebonden en verstrooide toestanden (zie het begin van 2.5 van Griffiths). In sommige gevallen is er maar één type toestand mogelijk. Om te beginnen kijken we naar een klassiek voorbeeld: het zonnestelsel. a) Hoe ziet de gravitatiepotentiaal in een zonnestelsel eruit? (Kijk voor het gemak alleen naar de zwaartekracht van de zon zelf.) b) Objecten die dicht genoeg in de buurt van de zon komen, kunnen in gebonden of verstrooide toestanden voorkomen. Noem een paar voorbeelden van zulke objecten, minstens één in elk van de twee typen toestanden, en teken bij elk voorbeeld de baan van dat object. c) Hoe ziet de baan van een vrij deeltje er eigenlijk uit? En wat is het verschil tussen de vorm van een gebonden en een verstrooide baan? d) Wat kun je opmerken over de energie van een object in de twee typen toestanden? Nu gaan we terug naar de quantum-mechanica. e) In de quantum-mechanica worden objecten niet beschreven door hun baan, maar door de golffunctie. Hoe krijg je fysisch relevante informatie uit zo n golffunctie? Waarom kun je aan een quantumdeeltje geen baan toekennen, zoals aan een planeet? 14

15 Werkcollege QME1 E Vrij deeltje f) Hoe ziet de golffunctie van een gebonden deeltje er typisch uit? Teken een potentiaalput en in dezelfde figuur enkele bijbehorende golffuncties. Schrijf er de formule voor zo n golffunctie bij maak je niet druk over voorfactoren en andere constanten. g) Hoe ziet de golffunctie van een vrij deeltje eruit? Teken zo n golffunctie en schrijf de formules erbij, zowel voor een naar rechts bewegend deeltje als voor een naar links bewegende. h) We hebben ons nog niet gewaagd aan het bepalen van golffuncties van verstrooide deeltjes, maar we kunnen er toch al wel iets over zeggen. Stel dat de potentiaal waaraan het deeltje verstrooid wordt maar in een beperkt gebied ongelijk is aan 0. Hoe verwacht je dat de golffunctie er (vergeleken met gebonden en vrije golffuncties) ver weg van de potentiaal uit ziet? En hoe in het gebied van de potentiaal? Vergelijk je antwoord met onderdeel c). E5 Een golfpakket Maak opgave 2.22 (2.22) uit Griffiths. E6 Een vrij deeltje We bekijken een vrij deeltje met de begintoestand: Ψ(x, 0) = Ae a x met A en a reële positieve constantes. a) Bepaal A uit de eis dat de golffunctie genormeerd is. b) Gebruik vergelijking [2.103] ([2.86]) uit Griffiths om φ(k) te berekenen. c) Discusseer de limieten a heel groot en heel klein. d) Schrijf Ψ(x, t) op in de vorm van een integraal. 15

16 F Potentiaal verstrooiing Werkcollege QME1 F Potentiaal verstrooiing We kijken in dit onderdeel naar deeltjes, die verstrooien aan een potentiaal. De verschillende aspecten, die in de verstrooiings-fysica aan bod komen, zullen hier op vereenvoudigde wijze behandeld worden. Daarmee moeten de concepten van de verstrooiings-fysica helder worden. F1 Rekenen met deltafuncties Maak opgave 2.23 (2.23) uit Griffiths. F2 Rekenen met deltafuncties 2 Maak opgave 2.24 (-) uit Griffiths. F3 De deltafunctie Fourier-transformeren Maak opgave 2.26 (2.25) uit Griffiths. F4 Een dubbele deltapotentiaal Maak opgave 2.27 (2.26) uit Griffiths. F5 Stationaire toestanden in het algemeen a) Hoe kan je in het algemeen aantonen dat een functie χ(x) een stationaire toestand met energie E voor een systeem met potentiaal V (x) is? b) Wat is p voor een gebonden stationaire toestand in een tijdsonafhankelijk potentiaal? c) Geef p 2 aan voor een deeltje in een doosje met een constante potentiaal V = V 0 in het doosje. F6 Stappotentiaal Maak opgave 2.34 (2.33) uit Griffiths. F7 Verstrooiing aan een klif Maak opgave 2.35 (-) uit Griffiths. F8 S-matrix Maak opgave 2.52 (-) uit Griffiths. F9 Dubbel put Maak opgave 2.47 (2.44) uit Griffiths. 16

17 Werkcollege QME1 G Formalisme van de QM-I G Formalisme van de QM-I De quantum-mechanica is te omschrijven als een wiskundige theorie die over meetuitkomsten van natuurkundige experimenten gaat. Hoofdstuk 3 van Griffiths richt zich op de formele, wiskundige kant van deze theorie. N.B. De verschillen tussen de twee edities zijn in dit hoofdstuk vrij groot. De stof wordt gedefiniëerd door de inhoud van de tweede editie. G1 Algebra en quantum-mechanica Schrijf van de volgende begrippen uit de quantum-mechanica op welke algebraïsche termen ermee corresponderen. a) toestand/golffunctie b) observabele c) mogelijke meetuitkomsten d) verwachtingswaarde van een meetuitkomst G2 Hermitische operatoren In de wiskunde van de quantum-mechanica spelen Hermitische operatoren een belangrijke rol. a) Welke rol is dat? Door welke eigenschap(pen) van Hermitische operatoren zijn ze daar zo geschikt voor? Leg uit. b) Laat zien dat de som van twee Hermitische operatoren zelf ook Hermitisch is. c) Laat ˆQ een Hermitische operator zijn en α een complex getal. Onder welke voorwaarde is α ˆQ dan Hermitisch? d) Wanneer is het produkt van twee Hermitische operatoren zelf ook Hermitisch? e) Laat zien dat de plaatsoperator en de Hamiltoniaan beide Hermitische operatoren zijn. f) Leg uit waarom de uitkomsten van de onderdelen b) e) natuurkundig goed te begrijpen zijn. G3 Orthogonale eigenfuncties Een van de eigenschappen van Hermitische operatoren is, dat de eigenfuncties van zo n operator de Hilbertruimte opspannen: je kunt de verzameling van eigenfuncties dus gebruiken als basis voor de Hilbertruimte. Het is vaak handig als zo n basis orthonormaal is. a) Wat betekent het als een basis orthonormaal is? Waarom is dat handig? b) Laat zien dat als f(x) en g(x) eigenfuncties zijn van de operator ˆQ met eigenwaarde q, dat dan elke lineaire combinatie van f(x) en g(x) ook een eigenfunctie is van ˆQ met dezelfde eigenwaarde. 17

18 G Formalisme van de QM-I Werkcollege QME1 c) Laat zien dat f(x) = exp(x) en g(x) = exp( x) eigenfuncties zijn van de operator d 2 /dx 2, met dezelfde eigenwaarde. d) Als je een basis wilt construeren van eigenfuncties van d 2 /dx 2, waarom heb je dan zowel f(x) als g(x) nodig? e) Construeer twee lineaire combinaties van f(x) en g(x) die orthonormaal zijn op het interval [ 1, 1]. G4 Bra s en kets In de quantum-mechanica wordt vaak de Dirac-notatie gebruikt, ook wel bra-ket -notatie genoemd. De ket φ stelt de toestand (Engels: state ) van een systeem voor. Afhankelijk van het systeem kun je de toestand expliciet schrijven als een complexe kolomvector, voor een systeem met een eindig (of aftelbaar oneindig) aantal onafhankelijke toestanden een complexe functie, voor een systeem met een (overaftelbaar) oneindig aantal onafhankelijke toestanden De volgende vragen gaan over deze notatie. a) Geef één of meer voorbeelden van systemen met een aftelbaar aantal onafhankelijke toestanden, en van systemen met een oneindig aantal onafhankelijke toestanden. b) Behalve kets zijn er ook bra s. Met behulp van de bra χ maak je het inprodukt χ φ. Hoe kun je, in de twee bovenstaande gevallen, zo n bra expliciet schrijven? c) We definiëren A = φ χ. Wat krijg je als je A met een toestand α vermenigvuldigt? Wat voor een soort object is A dus? d) Gebruik twee-dimensionale vectoren om zo een object expliciet te construeren. Klopt dit met je verwachting? e) We bekijken een vector ψ met ψ ψ = 1 en het object P = ψ ψ. Is P een operator? Heeft het eigenvectoren? Zo ja, wat zijn die, en wat zijn de bijbehorende eigenwaarden? Hoe zou je de werking van P beschrijven? f) Controleer je antwoorden bij e) expliciet voor het geval van twee-dimensionale vectoren. G5 Knutselen met de volledigheidsrelatie We beschouwen een drie-dimensionale vectorruimte met een orthonormale basis 1, 2 en 3. De vectoren (kets) α en β worden gegeven door α = i , β = i

19 Werkcollege QME1 G Formalisme van de QM-I In het algemeen geldt voor een N-dimensionale vectorruimte met orthonormale basisvectoren j (met j = 1, 2,..., N) dat de eenheidsoperator geschreven kan worden als N 1 = j j. (4) j=1 Dit wordt wel de volledigheidsrelatie genoemd. a) Bepaal N j=1 j j k om te controleren of dit inderdaad de eenheidsoperator (of identiteit) is. b) Construeer met behulp van vergelijking (4) de bra s α en β in termen van de duale basis 1, 2 en 3. c) Bepaal α β en β α, en controleer of β α = α β. d) Construeer de matrix α β in deze basis. Is die Hermitisch? G6 Dirac-notatie en verwachtingswaarde Stel we hebben een toestand ψ = α ψ 1 + β ψ 2 + γ ψ 3, waarbij de ψ i orthonormale eigentoestanden van een observabele A met eigenwaarden a i zijn. a) Waaraan moeten α, β, γ voldoen? b) Bepaal ψ ψ 1, ψ 2 ψ 1 en ψ 3 ψ. We meten de observabele A aan de toestand ψ. c) Welke uitkomsten zijn mogelijk? Met welke kansen? d) Gebruik je antwoord bij c) om de verwachtingswaarde A te berekenen e) Reken de A nu op de formele manier uit met behulp van je antwoord bij b). Begin dus met A = ψ A ψ =... 19

20 H Formalisme van de QM-II Werkcollege QME1 H Formalisme van de QM-II Vervolg van onderdeel G. H1 Commutatoren Maak opgave 3.13 (3.41) uit Griffiths. H2 Onzekerheidsprincipe Maak opgave 3.14 (3.39) uit Griffiths. H3 Tijdsafgeleide van verwachtingswaardes Maak opgave 3.17 (3.43) uit Griffiths. H4 Viriaal theoreem Maak opgave 3.31 (3.53) uit Griffiths. H5 Neutrino-oscillaties Elektron- en muon-neutrino s kunnen in elkaar overgaan: dat noemt men neutrino-oscillaties (zie bv Dit proces gaan we quantum-mechanisch beschrijven. De twee toestanden elektron-neutrino en muon-neutrino nemen we als basisvectoren van de toestandsruimte: ( ( 1 0 ν e = en ν µ = 0) 1) Een algemene toestand van een neutrino ziet er dan uit als Ψ = a ν e + b ν µ met a 2 + b 2 = 1 a) Stel je kunt meten van welk type een neutrino is. Er is dus een observabele die de verschillende neutrino s als eigentoestanden met verschillende eigenwaarden kent. Geef een observabele die je daarvoor kunt gebruiken. Schrijf de operator door middel van projectieoperatoren op de eigentoestanden. Hoe ziet die eruit als matrix t.o.v. de basis die we hierboven hebben gedefinieerd? b) Wat is de kans om bij een neutrino in de toestand Ψ te meten dat het om een elektronneutrino gaat? De Hamiltoniaan voor dit systeem is ( ) E0 Ω H = Ω E 0 met E 0 en Ω constanten. 20

21 Werkcollege QME1 H Formalisme van de QM-II c) Laat zien dat E 0 en Ω reëel moeten zijn. d) Wat zijn de energie-eigenwaarden van dit systeem? Wat zijn de bijbehorende genormeerde eigentoestanden? De tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking is H Ψ = i h d dt Ψ. e) Stel dat op tijd t = 0 het systeem in toestand ν e zit: het is een elektron-neutrino. Laat zien dat de toestand op tijdstip t dan gegeven wordt door: ( ) Ψ(t) = e ie 0t/ h cos (Ωt/ h). i sin (Ωt/ h) Verklaar het woord neutrino-oscillatie. H6 Verwachtingswaardes in plaats- en impulsrepresentatie In hoofdstuk 1 kwam de volgende algemene formule voor het berekenen van een verwachtingswaarde aan de orde: ( Q(x, p) = Ψ ˆQ x, h ) Ψ dx. (5) i x a) Wat is het verschil tussen Q en ˆQ? Geef het recept voor het berekenen van de verwachtingswaarde in woorden. In hoofdstuk 2, bij de behandeling van het vrije deeltje, zijn we de Fourier-getransformeerde van de golffunctie φ(k) tegengekomen: φ(k) = 1 2π Ψ(x, 0)e ikx dx. b) Laat zien dat dit in essentie, afgezien van de tijdsafhankelijkheid, dezelfde functie is als de golffunctie in impulsrepresentatie, Φ(p, t) = 1 2π h Ψ(x, t)e ipx/ h dx. c) Alle informatie over de toestand van het deeltje zit in de golffunctie Ψ die dat deeltje beschrijft. Waarom moet dit dan ook voor Φ gelden? d) Het moet dus mogelijk zijn om verwachtingswaarden uit te rekenen met behulp van de golffunctie in de impulsruimte, zonder die eerst om te rekenen naar de gewone golffunctie in de plaatsruimte. 21

22 H Formalisme van de QM-II Werkcollege QME1 Laat zien dat de verwachtingswaarde van de plaats in termen van de impulsruimtegolffunctie gegeven is door ( x = Φ h ) Φ dp i p e) Wat betekent het bovenstaande resultaat voor de plaatsoperator ˆx in de impulsruimte? Vergelijk je antwoord met de impulsoperator in de plaatsruimte. Kun je nu begrijpen dat ( Q(x, p) = Φ ˆQ h ) i p, p Φ dp de impulsruimte-variant van vergelijking (5) is? H7 Twee-niveau systeem Maak opgave 3.23 (-) uit Griffiths. 22

23 Werkcollege QME1 J Quantum-mechanica in drie dimensies J Quantum-mechanica in drie dimensies We leven in een wereld met drie ruimtelijke dimensies en in dit hoofdstuk worden de vergelijkingen in het tweede hoofdstuk gegeneraliseerd van één naar drie dimensies. Daarmee kunnen we realistische systemen beschouwen, zoals het waterstof atoom. J1 Commutatie relaties, Ehrenfest en onzekerheidsrelatie Maak opgave 4.1 (4.1) uit Griffiths. J2 De harmonische oscillator in 3D Maak opgave 4.38 (4.39) uit Griffiths. J3 Bolfuncties Maak opgave 4.5 (4.5) uit Griffiths. J4 Radiaalvergelijking Maak opgave 4.8 (4.8) uit Griffiths. J5 Een deeltje in een tweedimensionaal doosje a) Zoek de stationaire oplossingen en de bijbehorende energieen van de tweedimensionale oneindige put met: V (x, y) = 0 voor 0 < x < a en 0 < y < a, V = anders. Gebruik scheiding van variablen. Het is handig de deeltoestanden in iedere dimensie separaat te normeren. b) Maak een lijst van de laagste energieen E i (tenminste 6). Sommige van deze energieen zijn gedegenereerd. Wat betekent dat? Kijk naar de energie E 18. Hoe groot is de degeneratie? Wat maakt het verschil voor deze energie? 23

24 K Impulsmoment Werkcollege QME1 K Impulsmoment Klassiek in roterende systemen speelt het impulsmoment een grote rol, omdat het een behouden grootheid is, als er geen externe krachten op het systeem werken. Dat geldt ook in de quantum-mechanica, maar met de extra conditie, dat het impulsmoment gequantiseerd is. In dit onderdeel zullen we gevolgen van de quantisatie onderzoeken. K1 Ladderoperatoren Maak opgave 4.18 (4.19) uit Griffiths. K2 Commutatoren Maak opgave 4.19 (4.20) uit Griffiths. K3 Ehrenfest theorema voor rotaties Maak opgave 4.20 (4.21) uit Griffiths. K4 Ladder-operator voor impulsmomenten Maak opgave 4.22 (4.22) uit Griffiths. Hint: Maak bij deel (c) iteratief gebruik van: K5 π 0 sin n (ax) dx = n 1 n π Een draaiend potlood als quantumsysteem 0 sin (n 2) (ax) dx We bekijken een starre staaf van lengte a en massa M. De staaf kan vrijelijk roteren (in drie dimensies) om zijn zwaartepunt, maar er is geen zwaartepuntsbeweging, het midden van de staaf blijft dus op z n plaats. We beginnen klassiek: het traagheidsmoment van de staaf is I = 1 / 12 Ma 2. a) Hoe hangen het impulsmoment L en de rotatie-energie E af van I en de hoeksnelheid ω? Schrijf E als functie van L, M en a. In de quantum-mechanica is het impulsmoment gequantiseerd. b) Welke waarden zijn er quantum-mechanisch gezien mogelijk voor L 2? c) Laat zien dat de mogelijke waarden voor de rotatie-energie gegeven zijn door E n = 6 h2 n(n + 1) Ma 2 met n = 0, 1, 2,... d) Wat zijn toegestane waarden voor de hoeksnelheid ω? e) Wat zijn de energie-eigentoestanden ψ nm (θ, φ) van dit systeem? 24

25 Werkcollege QME1 K Impulsmoment f) Wat is de degeneratiegraad van de energieniveaus E n? g) Als je een potlood ronddraait, merk je niets van het bestaan van een discreet spectrum van toegestane hoeksnelheden. Geef een schatting hoe klein je potlood moet zijn om dat wel te merken: bij welke grootte van M en a zie je quantumeffekten? Aanvullende informatie over de klassieke achtergrond van deze opgave: Het traagheidsmoment van een lichaam met volume V is gedefineerd als: I V r 2 ρ dv Het traagheidsmoment van een staaf is dan I = 1 / 12 Ma 2. Het impulsmoment is L = Iω en de rotatie-energie E = 1 / 2 Iω 2. 25

26 L Waterstofatoom Werkcollege QME1 L Waterstofatoom Eén van de grootste triomfen van de quantum-mechanica is de beschrijving van het waterstof-atoom, waarvoor exacte oplossingen gevonden kunnen worden. Dat deze resultaten in volledige overeenstemming zijn met de experimenten ten tijde van de ontwikkeling van de quantum-mechanica, was één van de belangrijkste redenen voor de fysici om de quantum-mechanica te accepteren, ondanks zijn totaal nieuwe beschijving van de fysische werkelijkheid. L1 Verwachtingswaarden in het waterstofatoom Maak opgave 4.13 uit Griffiths. L2 Muonische atomen In hoofdstuk 4 hebben we de toestanden van het elektron in een waterstofatoom berekend. Karakteristiek voor de grootte van een atoom is de zogenaamde Bohr-straal a. a) Wat verandert er als we kijken naar een atoom met één elektron maar met ladingsgetal Z > 1 voor de kern (dus geen waterstof)? b) Wat verandert er in een waterstofatoom als er in plaats van een elektron de zware broer (of zus?) van het elektron (het muon) zit, dat ongeveer 200 keer zwaarder is? Zo n atoom heet een muonisch atoom. c) Bereken de kans om het elektron in de grondtoestand in een waterstofatoom bij r < r 0 te vinden. Hoe groot is die kans als je voor r 0 de straal van de kern (r m) kiest? Toon aan dat je de kans voor r 0 a kan benaderen door: P (r < r 0 ) 4 3 (r 0/a) 3. d) Kijk nu naar een muonisch atoom met een kern van uraan (A = 238, Z = 92, de straal van een kern met een bepaalde waarde van A is r r 0 A 1/3 ). Hoe groot is de kans het muon in de kern te vinden? Kan je nu de benadering uit onderdeel c) gebruiken? e) Klopt de berekening voor het extreme geval uit d) eigenlijk nog? Denk ook aan de potentiaal binnen de kern. (Neem aan dat de lading in de kern regelmatig verdeeld is.) Geef een redenering waarom de potentiaal die we voor het waterstofatoom hebben gebruikt voor dit geval goed is, maar niet van toepassing is voor ons muonische atoom van uraan. f) In feite worden muonische atomen gebruikt om de grootte van kernen te meten! De energieën van de laagste toestanden zijn voor een eindig grote kern anders dan voor een puntlading, en uit het verschil kan je de grootte van de kern bepalen. Hoe verwacht je (kwalitatief) dat de energieniveaus door dit effect veranderen als de kern groter wordt? g) Deze correctie door het volume-effect kan (voor muonisch atomen bij zware kernen) groter dan 1 MeV zijn. Vergelijk dit met de energie van de (ongecorrigeerde) grondtoestand. 26

27 Werkcollege QME1 L Waterstofatoom L3 Grondtoestand in het waterstofatoom Wat is de meest waarschijnlijke waarde voor r in de grondtoestand van waterstof? Hint: zoek eerst naar de waarschijnlijkheid het elektron tussen r en r + dr te vinden. L4 Waterstof in een superpositie van stationaire toestanden We bekijken een waterstofatoom dat op t = 0 in een lineaire combinatie van twee stationaire toestanden zit, met quantumgetallen n = 2, l = 1, m = 1 resp. n = 2, l = 1, m = 1. D.w.z. dat geldt Ψ(r, 0) = 1 2 (ψ ψ ). a) Construeer de complete golffunctie Ψ(r, t) en vereenvoudig die zo veel mogelijk. b) Bereken de verwachtingswaarde r. c) Bereken de verwachtingswaarde van de potentiële energie V. Hangt die van de tijd af? Geef ook een numerieke waarde aan. d) Vergelijk V met V ( r ). Verklaar de verschillen. L5 Waterstof golffunkties voor n=3 Enkele van de waterstof golffunkties voor de n=3 toestand van waterstof zijn gegeven door: ψ 300 (r, θ, φ) = 1 ( 3 1 2r ) 3π 3 + 2r2 exp( r/3), 27 ψ 310 (r, θ, φ) = 2 ( r ) r exp( r/3) cos θ, π 6 1 ψ 320 (r, θ, φ) = 81 6π r2 exp( r/3) ( 3 cos 2 θ 1 ). a) Bepaal het aantal radiële knoopvlakken voor elk van deze golffunkties. Hoe groot is het totaal aantal knoopvlakken? b) Bij welke golffunktie is de waarschijnlijkheid om het elektron aan te treffen bij r=0 het grootst? Maak voor deze golffunktie een schatting van de kans om het elektron in de kern aan te treffen, als gegeven is dat de straal van de kern m is. c) Bepaal voor één van de golffunkties de verwachtingswaarde r voor de afstand r? Bepaal tevens de meest waarschijnlijke afstand r mp om het elektron aan te treffen voor deze golffunktie. Verklaar eventuele verschillen tussen r en r mp. Een waterstof atoom bevindt zich op t=0 in een willekeurige lineaire superpositie van bovenstaande golffunkties. 27

28 L Waterstofatoom Werkcollege QME1 d) Bevindt het atoom zich op t=0 in een eigenfunktie van de operator H, L 2 en/of L z? Argumenteer voor alle drie operatoren uw antwoord. L6 Circulaire toestanden De oplossingen van de radiële golfvergelijking van de gebonden toestanden van waterstof worden gegeven door R nl (r) = N n ρ l e ρ/2 v(ρ), met v(ρ) = a k ρ k, k=0 ρ = 2r/na 0 en N n een normeringsconstante. De coëfficiënten a k worden gegeven door de recurrente betrekking k + l + 1 n a k+1 = (k + 1)(k + 2l + 2) a k. a) Bewijs dat voor l = n 1 de radiële golffunctie reduceert tot b) Bepaal de normeringsconstante N n. R n n 1 (r) = N nr n 1 e r/na 0. c) Bepaal het aantal radiële knopen n r voor deze toestanden. d) Bepaal de verwachtingswaarde van r en r 2 voor deze toestanden. e) Bewijs dat de spreiding in de straal σ r = (r r ) 2 gegeven wordt door σ r = r / 2n + 1. Bespreek het resultaat in fysische termen. f) Bepaal in welke opzichten deze toestanden voor grote n overeenkomen met het Bohrse model van de atoombouw, waarin het elektron zich beweegt in een circulaire baan rond de kern. Bepaal ook in welke opzichten deze toestanden hiermee niet overeenkomen. L7 Twee-deeltjes systemen Als voorbeelden voor twee-deeltjes systemen beschouwen we de volgende systemen: (i) (ii) (iii) 2 H; deuteron met een elektron 4 He + ; enkelvoudige geïoniseerd helium positronium; positron (m = m e ) en een elektron (iv) mesonium; proton en een negatief geladen µ meson (m 207m e ) Gebruik voor de massa van de kernen, dat 1 a.m.u. (atomaire massa eenheid) ongeveer 1823m e is. Bepaal voor al deze systemen het volgende: 28

29 Werkcollege QME1 L Waterstofatoom a) De energie van de grondtoestand. b) De effectieve straal r eff voor de grondtoestand, gedefineerd als r eff = ψ 100 r ψ 100. c) De (n=2) (n=1) overgangsfrekwentie. d) Het aantal gebonden toestanden. L8 Waterstof atoom Het waterstof atoom bevindt zich in de volgende toestand: Ψ(r) = R 21 (r) ( 1 3 Y 10(Ω)α Y 11(Ω)β ). a) Als het baanimpulsmoment L 2 gemeten wordt, wat zijn de mogelijke uitkomsten en wat zijn de waarschijnlijkheden voor elk van de mogelijke uitkomsten. b) Doe hetzelfde voor de projectie L z hiervan op de z-as. c) Doe hetzelfde voor de spin S 2. d) Doe hetzelfde voor de projectie S z hiervan op de z-as. Het totale impulsmoment J wordt gegeven door J = L + S. e) Als het totale impulsmoment J 2 gemeten wordt, wat zijn de mogelijke uitkomsten en wat zijn de waarschijnlijkheden voor elk van de mogelijke uitkomsten. f) Doe hetzelfde voor de projectie J z hiervan op de z-as. g) Wat is de waarschijnlijkheid om het elektron met spin-up aantetreffen op positie (r, θ, φ). L9 Golffunktie van het waterstof atoom De golffunktie van een waterstof atoom op t = 0 is gegeven door ψ( r, 0) = 1 3/ πa 2 0 [ e r/a 0 2 a) Bereken de normalisatie constante A. ( ) r ( + A e r/2a 0 i sin θe iφ + sin θe iφ + 7 cos θ )]. a0 b) Wat zijn de mogelijke uitkomsten, als we op t = 0 een meting doen van L 2? En hoe groot is de waarschijnlijkheid voor elke uitkomst? c) Bepaal ψ( r, t) uit ψ( r, 0). d) Veranderen de waarschijnlijkheden, zoals die onder b) berekent zijn voor t = 0, als een funktie van de tijd t? Licht uw antwoord toe. e) Bepaal ψ( r, t) als gegeven is, dat op t = 0 een meting van L z de waarde h heeft opgeleverd. f) Bepaal ψ( r, t) als gegeven is, dat op t = 0 een meting van L z de waarde 0 heeft opgeleverd. 29

30 M Spin Werkcollege QME1 M Spin Spin speelt een belangrijke rol in de beschrijving van elementaire deeltjes. Zonder spin zal het periodiek systeem der elementen er totaal anders uitzien, en zal er geen verschillen meer zijn tussen metalen, isolatoren en halfgeleiders. Het rekenen met spin in de quantummechanica vereist echter speciale regels, die we hier zullen gaan oefenen. M1 Spin en tollen Er wordt wel gezegd dat een elektron of een ander deeltje met spin te vergelijken is met een ronddraaiende tol. Is dat zo? In deze opgave verkennen we de verbanden tussen de verschillende klassieke en quantum-mechanische impulsmomenten, die hieronder schematisch staan weergegeven. De verbanden kun je er in de loop van de opgave zelf in aangeven. Klassiek Quantum Baanimpulsmoment L = r p Impulsmoment L Tol-impulsmoment Spin S a) Geef aan op welke manier het tol-impulsmoment samenhangt met het klassieke baanimpulsmoment. Hint: kijk naar een klein stukje van de tol. b) Geef een overeenkomst tussen het quantum-mechanisch impulsmoment en spin. Is er een zelfde soort verband als tussen het klassieke baanimpulsmoment en tol-impulsmoment? c) Is er een verband tussen het klassieke en het quantum-mechanische baanimpulsmoment? d) Is er een verband tussen het tol-impulsmoment en spin? Maak hiervoor opgave 4.25 (4.26) van Griffiths. (Het traagheidsmoment van een bol is: I = 2 / 5 mr 2.) M2 Spin in het algemeen a) Welke eigenschappen definïeren een spin-operator? b) Als we naar een systeem met spin s kijken, hoeveel eigentoestanden zijn er dan? Welke mogelijke waardes van m kan je vinden? c) Hoe werkt Ŝ± op een eigentoestand s, m? d) Als je de s, m als basis kiest, wat is dan de betekenis van s, m Ŝ± s, m? Bereken s, m Ŝ± s, m. e) Bereken de numerieke waardes van s, m Ŝ± s, m voor s = 1 en schrijf de matrixrepresentatie van Ŝ± op. f) Schrijf voor dit geval Ŝx, Ŝy en Ŝz als matrices op. M3 Rekenen met spin 1 Maak opgave 4.27 (4.28) uit Griffiths. 30

31 Werkcollege QME1 M Spin M4 Rekenen met spin 2 Maak opgave 4.28 (4.29) uit Griffiths. M5 Metingen aan spin Gegeven is een elektron in de spintoestand 1 2 ( + ) a) We meten de x-component van de spin, S x. Welke waarde(n) kunnen we vinden? Met welke kans(en)? Wat is de toestand van het elektron direct na de meting als de meetwaarde h/2 was? b) Nu meten we de y-component van de spin, S y. Welke waarde(n) kunnen we vinden? Met welke kans(en)? Wat is de toestand van het elektron direct na de meting als de meetwaarde h/2 was? c) Tenslotte meten we weer de x-component van de spin, S x. Welke waarde(n) kunnen we nu vinden? Met welke kans(en)? M6 Spin Maak opgave 4.29 (4.30) uit Griffiths. M7 Toestanden van samengestelde spin Maak opgave 4.34 (4.35) uit Griffiths. M8 Quarks en de spin van samengestelde deeltjes Maak opgave 4.35 (4.36) uit Griffiths. M9 Samentellen van impulsmoment 1 Maak opgave 4.36 (4.37) uit Griffiths. M10 Samentellen van impulsmoment 2 Maak opgave 4.55 (4.48) uit Griffiths. M11 Electron in een magnetisch veld We beschouwen een enkel electron in rust in een magnetisch veld in x-richting. a) Wat is de Hamiltoniaan voor dit systeem? b) Wat zijn de eigentoestanden en de eigenwaarden van de Hamiltoniaan? 31

32 M Spin Werkcollege QME1 c) Schrijf de algemene oplossing χ(t) van de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking op. Kies de coefficiënten dat de toestand voor t = 0 overeenkomt met de eigentoestand van Ŝ z met eigenwaarde + h/2. d) Bereken de waarschijnlijkheid om voor het electron op tijd t de waarde S x = + h/2 of S x = h/2 te meten. e) Bereken de waarschijnlijkheid om voor het electron op tijd t de waarde S z = + h/2 of S z = h/2 te meten. f) Geef de verwachtingswaarden χ(t) Ŝx χ(t) en χ(t) Ŝz χ(t) aan. g) Hoe verandert de verwachtingswaarde χ(t) Ŝx χ(t) als de toestand voor t = 0 overeenkomt met de eigentoestand van Ŝx met eigenwaarde + h/2? M12 Larmor-precessie Maak opgave 4.32 (4.33) uit Griffiths. M13 Spin Maak opgave 4.29 (4.30) uit Griffiths. 32

33 Werkcollege QME1 N Identieke deeltjes N Identieke deeltjes De wereld bestaat uit bosonen en fermionen. Bij lage temperaturen wordt de statistiek van de deeltjes belangrijk en gedragen de bosonen en fermionen zich volstrekt verschillend. N1 Gereduceerde massa Maak opgave 5.2 uit Griffiths. N2 Identieke deeltjes Maak opgave 5.7 (5.6) uit Griffiths. N3 Identieke deeltjes Maak opgave 5.5 (5.4) uit Griffiths. N4 Bose-Einstein condensatie Maak opgave 5.29 (5.26) uit Griffiths. 33

34 O Periodieke systeem van elementen Werkcollege QME1 O Periodieke systeem van elementen De opbouw van het periodieke systeem van elementen vond plaats in de scheikunde, waarbij door een vergelijking van de reactiviteit de verschillende elementen in groepen konden worden ondergebracht. Met de ontwikkeling van de quantum-mechanica kon dit systeem volledig opgebouwd worden aan de hand van fysische principes. O1 Grondtoestand van zirconium De grondtoestand van zirconium (Zr, element 40) is gegeven door [Kr](5s 2 4d 2 ) 3 F 2. Aan de hand van het Aufbau-principe willen we deze configuratie bepalen. a) Geef een korte omschrijving van het Aufbau-principe. b) Geef aan de hand van het Aufbau-principe de totale elektronen configuratie van alle 40 elektronen van Zr. c) Wat is het spinimpulsmoment S, het baanimpulsmoment L en het totale impulsmoment J van de grondtoestand van Zr. d) Bepaal de mogelijke waarden voor de spin S door het optellen van de spins s i van alle elektronen. Volgens de eerste regel van Hund heeft de grondtoestand met de hoogste waarde van S de laagste energie. e) Voldoet de grondtoestand van Zr aan de eerste regel van Hund? Beargumenteer uw antwoord! f) Bepaal de mogelijke waarden voor de spin L door het optellen van de baanimpulsmomenten l i van alle elektronen. g) Bepaal de mogelijke waarden voor het totale impulsmoment J door koppeling van L en S. Volgens de tweede regel van Hund heeft de grondtoestand met de laagste waarde van J de laagste energie, als de valentieschil voor minder dan de helft gevuld is. Is deze schil voor meer dan de helft gevuld, dan heeft de hoogste waarde van J de laagste energie. h) Voldoet de grondtoestand van Zr aan de tweede regel van Hund? Beargumenteer uw antwoord! O2 Het periodieke systeem De opbouw van het periodieke systeem wordt beschreven door het Aufbau principe. De eerste twee rijen van het periodieke systeem worden gegeven door 34

35 Werkcollege QME1 O Periodieke systeem van elementen Z Element Configuratie Term 1 H He Li Be B C N O F Ne a) Beschrijf de werking van het Aufbau principe. b) Gebruik het Aufbau principe om de elektronen configuratie van de eerste 10 elementen te bepalen. Voor de koppeling van de impulsmomenten van de elektronen maken we gebruik van LS-koppeling. c) Bepaal de term 2S+1 L J voor de eerste 4 elementen van het periodieke systeem. Licht uw resultaten toe. Voor de overige elementen kan de koppeling van de impulsmomenten van de elektronen tot verschillende termen leiden. d) Bepaal alle mogelijke termen voor het vijfde element boron (B) en het zesde element koolstof (C). Voor het bepalen van de grondtoestand met de laagste energie heeft Hund empirische regels opgesteld. e) Geef de eerste twee regels van Hund. Als derde regel stelde Hund, dat als de schil niet meer dan voor de helft gevuld is, dat dan de laagste J waarde de laagste energie heeft. f) Gebruik deze drie regels om de term van de grondtoestand van boron en koolstof te bepalen. O3 Aufbau-principe a) Geef een korte beschrijving van het Aufbau principe voor de bepaling van de grondtoestand van atomen met meerdere elektronen. Bespreek kort de gevolgen van dit principe voor de opbouw van atomen. b) Bepaal m.b.v. het Aufbau principe de volgorde voor de energie van de volgende toestanden nl: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s, 4p, 4d, 4f. c) Bepaal de elektronische configuratie (1s 2 2s 2... ) van de grondtoestand van het element Na (Z=11). Wat is de totale ontaarding van deze toestand? Bepaal voor deze toestand de waarde van L, S en J en geef de daarbij behorende spectroscopische notatie. 35