Schrödinger vergelijking. Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013

Transcriptie

1 Schrödinger vergelijking Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013

2 Inhoud presentatie Algemene opmerkingen Aannemelijk maken van de vergelijking Oplossingen van de vergelijking

3 De situatie rond 1925 Stand van zaken Electromagnetisme (Maxwell ±1865) Quantisatie van energie (Planck 1900) Relativiteit (Einstein 1905) Golf/deeltje dualisme (Einstein 1905, De Broglie 1924) Spectraallijnen waterstof (Balmer 1885, Lyman ±1910, Paschen 1908) Oude quantum theorie : Bohr atoom, gequantiseerde banen

4 De situatie rond Heisenberg ( ) zocht een consistent quantum-atoommodel formuleerde en publiceerde in 1925 de basis van de moderne quantummechanica. observabelen zijn (niet-commuterende) operatoren werkend op toestandsvectoren. herkende zijn formalisme niet als matrix mechanics maar Max Born wel. het magische artikel, de basis van de moderne quantum mechanica, staat tot op de dag van vandaag bekend als tamelijk ondoorgrondelijk. kreeg in 1933 de 1932-Nobelprijs:. for the creation of quantum mechanics...

5

6 De situatie rond Schrödinger ( ) formuleerde in 1925 en publiceerde in 1926 een toegankelijker formulering van QM, op basis van een (soort) golfvergelijking Formalisme werd bekend als wave mechanics. de concepten die Schrödinger hanteerde werden beter herkend door de toenmalige fysici. liet in 1926 zien dat WM mathematisch equivalent was aan MM. kreeg samen met Dirac de 1933-Nobelprijs voor natuurkunde: "for the discovery of new productive forms of atomic theory"...

7

8 Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (1) De Schrödinger vergelijking komt uit de geest van Schrödinger en de enige justificatie ervoor is dat hij werkt (Feynman). deeltjes gedragen zich als golven we zoeken dus een golfvergelijking, iets als lineaire vergelijking (dus: superpositie) energievergelijking: E totaal = E kin + E potentieel E = p2 2m + V met V een potentiaal zodat F = V x

9 Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (2) complexe golf: Ψ x, t = e i(kx ωt) ω is de hoekfrequentie ω = 2πf en k is het golfgetal k = 2π/λ de Broglie: λ = h / mv = h / p dus p = h /λ = ħk partiële afgeleide naar x: Ψ x = ikψ nogmaals partiële afgeleide naar x : 2 Ψ x 2 = k2 Ψ = p2 ħ 2 Ψ EΨ = p2 ħ2 Ψ + VΨ geeft EΨ = 2 Ψ + VΨ 2m 2m x 2 (TISE)

10 Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (3) EΨ = ħ2 2 Ψ + VΨ 2m x 2 of met Hamiltonian H: HΨ = EΨ (TISE) We kunnen nog een stapje verder gaan: Planck/Einstein E = hf = ħω partiële afgeleide naar t: Ψ t = iωψ EΨ = ħωψ = iħ Ψ t Invullen: iħ Ψ = ħ2 2 Ψ + VΨ t 2m x 2 (TDSE)

11 Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (4) in 3 dimensies: iħ Ψ(x,y,z,t) t één spinloos deeltje in potentiaal V = ħ2 2m 2 Ψ x, y, z, t + V(x, y, z, t) Ψ(x, y, z, t) meerdere deeltjes: meerdere (gekoppelde) vergelijkingen Ψ moet een complexe functie zijn Niet helemaal een golfvergelijking: eerste afgeleide naar de tijd i.p.v. tweede EM-golven: E 2 dxdydz is de elektrische energie per volume Deeltjes-golven: Ψ 2 dxdydz is de kans om een deeltje in het volume aan te treffen Normalisatie: Ψ 2 dx = 1

12 Oplossen van de Schrödinger vergelijking (1) slechts in een handvol gevallen analytisch oplosbaar, vaak met moeilijke functies Voorbeelden: Vrij deeltje (complexe golf) Delta-potentiaal (bij scattering problemen) Potentiaalputje, deeltje in een doosje, tunneling (sinus, e-macht) Bolsymmetrische potentiaal/h-atoom (spherical harmonics, Legendre polynomen) Harmonische oscillator

13 Oplossen van de Schrödinger vergelijking (2) Als je niet analytisch kunt oplossen: Benaderingen (bijvoorbeeld bij de periodieke potentiaal, bandenstructuur) Storingsrekening (kleine wijziging op analytische oplossing) Slimme tot zeer slimme wiskunde (WKB methode) Numerieke methodes (voor in de klas: APPLETs)

14 Oplossingen van de Schrödinger vergelijking (1) 1: vrij deeltje. Oplossing: Ψ x, t = e i(kx ωt) want zo hadden we de vergelijking gemaakt! 2: deeltje in een tijds-onafhankelijke potentiaal V(x) Separatie van variabelen mogelijk: Ψ x, t = ψ x f(t) Neem f t = e iet/ħ ; de vergelijking reduceert tot de TISE de separatieconstante E blijkt de energie van de stationaire oplossing te zijn omdat de Schrödingervergelijking lineair is zijn lineaire combinaties van oplossingen (ψ i, E i ) ook goed maar die zijn niet meer stationair.

15 3: Deeltje in een doos (potentiaalput)

16 4: Tunnelbarrière : V(x) = V 0 voor 0 < x < a; V(x) = 0 elders

17 5: Double slit experiment. Lijkt simpel: vlakke golf potentiaal V= overal maar V = 0 tussen (a+δ) en -(a+δ) voor zover ik heb kunnen nagaan is er géén analytische oplossing bekend het probleem is (pas) in 1979 numeriek opgelost door Hiley, Philippidis en Dewdney

18