Impulsmoment en spin: een kort resumé

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Impulsmoment en spin: een kort resumé"

Transcriptie

1 D Impulsmoment en spin: een kort resumé In deze appendix worden de relevante aspecten van impulsmoment en spin in de kwantummechanica op een rijtje gezet. Dit is een kort resumé van de stof die in het college Kwantummechanica 1 is behandeld. Impulsmomentoperatoren: de vectoroperator ˆ J heet een impulsmomentoperator als de componenten Ĵx, Ĵy en Ĵz hermitisch zijn en voldoen aan de commutatierelaties [Ĵx, Ĵy = i Ĵ z (cyclisch) ˆ J ˆ J = i ˆ J. (D.1) Met (cyclisch) wordt aangegeven dat de relatie ook geldt voor cyclische permutaties van (x, y, z). Dit houdt in dat de afzonderlijke componenten van ˆ J niet commensurabel zijn, hetgeen een puur kwantummechanisch effect is. Verder kunnen we hieruit afleiden dat ˆ J Ĵ x + Ĵ y + Ĵ z (D.) commuteert met alle componenten van ˆ J, oftewel [ ˆ J, ˆ J =. (D.3) Bewijs: [ ˆ J, Ĵx (33) ==== [ Ĵ x, Ĵx + Ĵ y [Ĵy, Ĵx + [Ĵy, ĴxĴy + Ĵz [Ĵz, Ĵx + [Ĵz, ĴxĴz (D.1) ==== i ( Ĵ y Ĵ z + ĴzĴy) + i (Ĵz Ĵ y + ĴyĴz) =. De bewijzen voor Ĵy en Ĵz gaan volledig analoog. Dit betekent automatisch dat er een simultane set eigenfuncties { jm j } van ˆ J en Ĵz moet bestaan. Voor deze eigenfuncties geldt het volgende: ˆ J jm j j(j + 1) jm j, Ĵ z jm j m j jm j, j =, 1, 1, 3, = impulsmoment kwantumgetal, (D.4) m j = j, j+1,, j 1, j = magnetisch kwantumgetal. De mogelijke meetresultaten van ˆ J en Ĵz zijn dus gekwantiseerd. Bewijs: voer de zogenaamde raising en lowering operatoren Ĵ + Ĵx + iĵy en Ĵ Ĵx iĵy = Ĵ + (D.5) in, alsmede de toestanden φ ± Ĵ± jm j. Met behulp van de identiteiten Ĵ Ĵ ± = Ĵ x +Ĵ y ± i[ Ĵ x, Ĵy (D.1),(D.) ======= ˆ J Ĵ z Ĵz en [Ĵz, Ĵ± (D.1) ==== ± Ĵ± v

2 vinden we het volgende voor de toestanden φ ± : φ ± φ ± = jm j Ĵ Ĵ± jm j = [ j(j + 1) m j (m j ± 1) jm j jm j, Ĵ z φ ± = ĴzĴ± jm j = Ĵ±(Ĵz ± ) jm j = (m j ± 1) φ ±. Uit de eerste ongelijkheid leiden we af dat m j j. Op grond van de tweede identiteit geldt verder dat het kwantumgetal m j in stappen van 1 verhoogd (verlaagd) kan worden door telkens Ĵ + (Ĵ ) op de eigentoestand jm j te laten werken. Om een conflict met de eis φ ± φ ± te voorkomen moet deze reeks aan de bovenkant stoppen omdat φ + verdwijnt en aan de onderkant omdat φ verdwijnt. Dit legt dan het spectrum in vergelijking (D.4) volledig vast. D.1 Baanimpulsmoment in de kwantummechanica Een voorbeeld van zo n impulsmomentoperator is de baanimpulsmomentoperator Bewijs: ˆ L ˆ r ˆ p. (D.6) [ˆLx, ˆL y = [ŷˆpz ẑ ˆp y, ẑˆp x ˆxˆp z (33),(36) ==== i ŷˆp x + i ˆp y ˆx (D.6) ==== i ˆL z (cyclisch). In de plaatsrepresentatie wordt dit dus ˆ L plaatsrepr. i r. Om de eigenfuncties in de plaatsrepresentatie te beschrijven gaan we over op bolcoördinaten: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, met r [, ), θ [, π, φ [, π. (D.7) Voor een golffunctie ψ(r) die niet afhangt van de hoeken θ en φ geldt dan het volgende: ˆ L ψ(r) = i r ψ(r) = i r r dψ(r) =, r dr zodat de componenten van de baanimpulsmomentoperator uitsluitend werken op het hoekgedeelte van een golffunctie. Dit houdt automatisch in dat een golffunctie ψ(r) een simultane eigenfunctie is van ˆ L en ˆ L bij de eigenwaarden. Als ˆr de operator is die een golffunctie in de plaatsrepresentatie vermenigvuldigt met r, dan geldt dus dat [ˆ L, ˆr =. (D.8) Op grond hiervan beperken we de analyse van de simultane eigenfuncties van ˆ L en ˆL z tot de ruimtelijke hoekvariabelen. Voor de genormeerde set simultane eigenfuncties Y l,ml (θ, φ) geldt het volgende: ˆ L Y l,ml (θ, φ) = l(l + 1) Y l,ml (θ, φ) (l =, 1, ), ˆL z Y l,ml (θ, φ) = m l Y l,ml (θ, φ) (m l = l, l+1,, l 1, l). (D.9) vi

3 Deze eigenfuncties, die bolfuncties worden genoemd, zijn volledig gespecificeerd door de kwantumgetallen l en m l (d.w.z. dat er geen verdere ontaarding is in de hoekvariabelen). Het baanimpulsmoment kwantumgetal l neemt alleen geheeltallige waarden aan. Dit is het gevolg van het feit dat een ruimtelijke golffunctie slechts één waarde heeft in een gegeven ruimtelijk punt, oftewel een ruimtelijke golffunctie is enkelvoudig (zie 1.6.3). In termen van de ruimtehoek-integratie dω π π dφ dθ sin θ = π 1 dφ dcos θ (D.1) 1 worden de orthonormaliteits- en volledigheidsrelaties voor de bolfuncties gegeven door dω Y l,m l (θ, φ)y l,m l (θ, φ) = δ ll δ ml m l, (D.11) l= l m l = l Y l,m l (θ, φ )Y l,ml (θ, φ) = δ(φ φ ) δ(cos θ cos θ ) δ(ω Ω ). (D.1) Een willekeurige functie f(θ, φ) in de hoekvariabelen is derhalve te schrijven als f(θ, φ) = l= l m l = l a l,ml Y l,ml (θ, φ), a l,ml = Onder pariteit transformeren de bolcoördinaten overeenkomstig dω Y l,m l (θ, φ)f(θ, φ). (D.13) r, θ, φ pariteit r, π θ, φ + π (D.14) en hebben de bolfuncties de volgende transformatie-eigenschap: Y l,ml (θ, φ) pariteit Y l,ml (π θ, φ + π) = ( 1) l Y l,ml (θ, φ). (D.15) Dus Y l,ml heeft even/oneven pariteit als l even/oneven is. D. Spin: het intrinsiek impulsmoment De spin van een elementair deeltje is een intrinsieke definiërende eigenschap van dat deeltje. Het volgt uit het relativiteitsprincipe in de relativistische QM (zie het college Kwantummechanica 3), hetgeen zegt dat alle inertiaalsystemen fysisch gezien equivalent zijn. Rotaties in de plaatsruimte worden op die manier vergezeld van een compenserende verandering in de ruimte opgespannen door de intrinsieke (d.w.z. niet-ruimtelijke) vrijheidsgraden van het systeem, zodanig dat de relativistische golfvergelijking precies dezelfde vorm heeft in beide inertiaalstelsels. In de niet-relativistische QM manifesteert de spin van een vii

4 deeltje zich via een mysterieuze additionele interactie B ˆ S met een constant magneetveld B. Uit de Stern Gerlach experimenten volgt dat de spinoperator ˆ S commuteert met de kanonieke plaats/impulsoperatoren en dat ˆ S gekwantiseerde eigenwaarden heeft in de richting van het magneetveld, hetgeen als expliciet ruimtelijke richting gevoelig is voor rotaties in de plaatsruimte. De spinoperator heeft dus de eigenschappen van een impulsmomentoperator en voldoet derhalve aan de commutatierelaties (D.1), zoals je zou verwachten op grond van het relativistische verband met de rotaties in de plaatsruimte. De eigenwaarden van de commuterende observabelen ˆ S en Ŝz worden gekarakteriseerd door de spin s =, 1, 1, 3, en het magnetisch spinkwantumgetal m s = s, s+1,, s 1, s. Het fundamentele verschil met het baanimpulsmoment kwantumgetal l is dat de spin s van een deeltje een vaste (definiërende) eigenschap is. Hoe dat precies in zijn werk gaat zal pas duidelijk worden met behulp van de relativistische QM. Op dit moment nemen we alles wat met spin te maken heeft simpelweg aan als empirische feiten. Omdat voor een gegeven deeltje de spin s dus vast ligt kunnen we een vaste (s + 1)-dimensionale spinruimte (gelabeld door de spinvariabele σ = m s ) toekennen aan deze additionele intrinsieke vrijheidsgraden. In de plaatsrepresentatie ziet dit er als volgt uit: spin : ψ( r, t) spin s : ψ( r, σ, t) = waarbij de spinvectoren (spinkets) χ s,ms ψ ms ( r, t) χ s,ms ψ +s ( r, t). ψ s ( r, t), (D.16) een basis vormen van de (s+1)-dimensionale spinruimte. De componenten van de spinoperator ˆ S werken als (s+1) (s+1) matrices op deze spinruimte. (spinbra s) χ s,m s, geldt Voor de basisvectoren χ s,ms, alsmede de bijbehorende rijvectoren ˆ S χ s,ms = s(s + 1) χ s,ms, Ŝ z χ s,ms = m s χ s,ms en χ s,m s χ s,m s = δ msm s. (D.17) Een genormeerde toestand van een spin-s deeltje moet derhalve voldoen aan ψ(t) ψ(t) ==== (D.16) χ s,m χ s,m s s d r ψm ( r, t)ψ m s s ( r, t) = d r ψ ms ( r, t) = 1. m s,m s = s De bijbehorende waarschijnlijkheidsinterpretatie van de golffuncties wordt dan ψ ms ( r, t) d r = waarschijnlijkheid om het deeltje in het volume-element d r rond r te vinden op tijdstip t met spincomponent m s langs de z-as, d r ψ ms ( r, t) = waarschijnlijkheid dat het deeltje een spincomponent m s langs de z-as heeft op tijdstip t. viii

5 Spinonafhankelijke Hamilton-operatoren: als de Hamilton-operator van het systeem niet afhangt van de spin van het beschouwde deeltje, dan mag de r - en t -afhankelijkheid buiten beschouwing worden gelaten in de spinruimte. De spintoestand van het deeltje kan dus simpelweg worden beschreven door de spinvector χ s = a ms χ s,ms, (D.18) met normering χ sχ s = m s,m s = s χ s,m s χ s,m s a m s a m s (D.17) ==== a ms = 1. (D.19) De coëfficiënt a ms is dan de waarschijnlijkheidsamplitude om het deeltje in de basisspintoestand χ s,ms te vinden. De totale golffunctie van het systeem voldoet dan in de plaatsrepresentatie aan ψ( r, σ, t) = ψ( r, t) χ s, i ψ( r, t) = Ĥ ψ( r, t). (D.) t D.3 De spinruimte voor spin-1/ deeltjes Omdat de kwantummechanica wordt overspoeld met spin-1/ deeltjes (zoals elektronen, nucleonen, etc.) zetten we de eigenschappen van de spin-1/ spinruimte even apart op een rijtje. De relevante spin-kwantumgetallen zijn s = 1/ en m s = ±1/, hetgeen leidt tot een -dimensionale spinruimte opgespannen door de basisvectoren ( ) ( ) 1 χ 1, 1 en χ 1, 1. (D.1) 1 De spinoperator ˆ S kan als volgt worden geschreven in termen van matrices: ˆ S σ (D.1) === σ k = σ k (k = x, y, z), [ σx, σ y = iσz (cyclisch). (D.) Omdat de drie matrices σ k eigenwaarden ± 1 moeten hebben, moeten ze voldoen aan Tr(σ k ) = en det(σ k ) = 1. Tevens ligt σ z vast omdat bovenstaande basisvectoren χ 1,± 1 eigenvectoren van σ z moeten zijn bij de eigenwaarden ± 1. Een oplossing die aan alle eisen voldoet wordt gegeven door de Pauli-spinmatrices σ x = ( 1 1 ), σ y = ( i i ) en σ z = ( 1 1 ). (D.3) Als we de eenheidsmatrix in de spinruimte aanduiden met I, dan gelden de volgende additionele eigenschappen voor deze Pauli-spinmatrices: σ k = I (k = x, y, z) en σ x σ y = σ y σ x = iσ z (cyclisch). (D.4) ix

6 Omdat de spinruimte -dimensionaal is zal de meest algemene spin-1/ operator  spin in de spinruimte worden gegeven door een matrix  spin =  I + Âxσ x + Ây σ y + Âz σ z  I + ˆ A σ, (D.5) waarbij  en ˆ A spinonafhankelijke operatoren zijn. Deze decompositie van een willekeurige spinoperator volgt rechtstreeks uit het feit dat de matrices I en σ een basis van matrices vormen. D.4 Optellen van impulsmomenten Een deeltje met spin geeft dus aanleiding tot twee typen van impulsmomentoperatoren: de spinoperator ˆ S en de baanimpulsmomentoperator ˆ L. De operator ˆ J = ˆ L + ˆ S heet dan de totale-impulsmomentoperator van het deeltje. Aangezien ˆ L alleen werkt op de ruimtelijke hoekvariabelen en ˆ S alleen op de spinvariabelen, moeten beide vectoroperatoren commuteren: [ˆLk, Ŝl = (k, l = x, y, z), (D.6) en voldoet ˆ J automatisch aan de commutatierelaties (D.1) van een impulsmomentoperator. De simultane eigenwaarden van ˆ J en Ĵz worden gegeven door (D.4), waarbij het totale-impulsmoment kwantumgetal j de volgende waarden kan doorlopen: j = l s, l s +1,, l+s 1, l+s. (D.7) Voorbeeld: beschouw een deeltje met spin 1/. In dat geval doorloopt het totale-impulsmoment kwantumgetal de waarden j = 1/ als l = en j = l ± 1/ als l. Op dezelfde wijze kunnen de impulsmomenten van meerdere deeltjes bij elkaar worden opgeteld. Hierbij wordt gebruik gemaakt van het feit dat operatoren die betrekking hebben op verschillende deeltjes onderling commuteren. Zo wordt de totale-impulsmomentoperator van een N-deeltjessysteem gegeven door ˆ J = N ˆ J k = N (ˆ Lk + ˆ ) Sk ˆ L + ˆ S. (D.8) k =1 k =1 Voorbeeld: beschouw een -deeltjessysteem. Dan geldt ˆ J = ˆ J1 + ˆ J en heeft het kwantumgetal j het bereik j = j 1 j, j 1 j +1,, j 1 +j 1, j 1 +j. De zogenaamde Clebsch Gordan coëfficiënten j 1 j m j1 m j jm j beschrijven de basisovergang van de set eigenfuncties { jm j } van ˆ J en Ĵz naar de set eigenfuncties { j 1 j m j1 m j } van ˆ J 1, ˆ J, Ĵ 1z en Ĵ z. x

A Fourier-reeksen en Fourier-integralen

A Fourier-reeksen en Fourier-integralen A Fourier-reeksen en Fourier-integralen In dit dictaat wordt op een aantal plaatsen gebruik gemaakt van Fourier-decomposities. De relevante aspecten van deze decomposities worden hier kort op een rijtje

Nadere informatie

Opgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 14

Opgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 14 Opgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 14 Opgave 29: De elektromagnetische golfvergelijking: relativiteitsprincipe en spin Beschouw de vrije elektromagnetische golfvergelijking A µ (x) µ( ν A

Nadere informatie

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020

Nadere informatie

Commutatie-relaties voor impulsmoment

Commutatie-relaties voor impulsmoment Commutatie-relaties voor impulsmoment Inleiding De operatoren voor impulsmoment in de quantum-mechanica zijn gedefiniëerd door de volgende commutatierelaties: i, j = i hε ijk k, 1) met ε ijk het evi-civita

Nadere informatie

7 Wisselwerking tussen kwantumsystemen en straling/externe velden (geen tentamenstof)

7 Wisselwerking tussen kwantumsystemen en straling/externe velden (geen tentamenstof) 7 Wisselwerking tussen kwantumsystemen en straling/externe velden (geen tentamenstof) In dit hoofdstuk zal een eerste stap worden gedaan in de beschrijving van de interacties tussen elektromagnetische

Nadere informatie

Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van interacties tussen elementaire deeltjes.

Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van interacties tussen elementaire deeltjes. Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van interacties tussen elementaire deeltjes. Interacties zullen plaats grijpen voor zover ze kinematisch toegelaten

Nadere informatie

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 3: 6 oktober 2016

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 3: 6 oktober 2016 Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 3: 6 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020

Nadere informatie

Elementaire Deeltjesfysica

Elementaire Deeltjesfysica Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 17 November, 2008 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie

Nadere informatie

Index. α-verval, 101 α-deeltje, 101 β-verval, 115

Index. α-verval, 101 α-deeltje, 101 β-verval, 115 Index α-verval, 101 α-deeltje, 101 β-verval, 115 absorptie, 109, 138, 180 absorptie emissie cyclus, 109 actie, 30, 33 adiabatische benaderingen, 116 128 adiabatische limiet, 113 adiabatische processen,

Nadere informatie

Tentamen Quantum Mechanica 2

Tentamen Quantum Mechanica 2 Tentamen Quantum Mechanica 9 juni 5 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 9 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer.. (a) (5 punten)

Nadere informatie

Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van

Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip van interacties ti tussen elementaire deeltjes. Interacties ti zullen plaats grijpen voor zover ze kinematisch toegelaten

Nadere informatie

Tentamen Quantum Mechanica 2

Tentamen Quantum Mechanica 2 Tentamen Quantum Mechanica 9 juni 5 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 9 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer.. (a) (5 punten)

Nadere informatie

Tentamen QCB juni 2007, 9:00-12:00 uur, A. van der Avoird

Tentamen QCB juni 2007, 9:00-12:00 uur, A. van der Avoird Aantal pagina s: 6 1 Tentamen QCB 3 27 juni 2007, 9:00-12:00 uur, A. van der Avoird Vraagstuk 1 1a. Teken een MO energieschema (correlatiediagram) van het molecuul O 2, uitgaande van de atomaire niveau

Nadere informatie

Dictaat bij het college Kwantummechanica 2. W.J.P. Beenakker

Dictaat bij het college Kwantummechanica 2. W.J.P. Beenakker Dictaat bij het college Kwantummechanica 2 W.J.P. Beenakker Jaargang 2015 2016 Inhoud van het college: 1) Principes van de niet-relativistische kwantummechanica 2) Veeldeeltjessystemen 3) De Wentzel Kramers

Nadere informatie

Dictaat bij het college Kwantummechanica 3: de kwantummechanica van veeldeeltjessystemen. W.J.P. Beenakker

Dictaat bij het college Kwantummechanica 3: de kwantummechanica van veeldeeltjessystemen. W.J.P. Beenakker Dictaat bij het college Kwantummechanica 3: de kwantummechanica van veeldeeltjessystemen W.J.P. Beenakker Jaargang 2016 2017 Inhoud van het college: 1) Bezettingsgetalrepresentatie en tweede kwantisatie

Nadere informatie

-- I HOOFDSTUK I INLEIDING TOT ENKELE QUANTUMMECHANISCHE BEGRIPPEN

-- I HOOFDSTUK I INLEIDING TOT ENKELE QUANTUMMECHANISCHE BEGRIPPEN -- I - 1 - HOOFDSTUK I INLEIDING TOT ENKELE QUANTUMMECHANISCHE BEGRIPPEN Inleiding Op basis van de klassieke mechanica kunnen het bestaan van stabiele atomen en de vorming van moleculen niet verklaard

Nadere informatie

Tentamen Quantum Mechanica 2

Tentamen Quantum Mechanica 2 Tentamen Quantum Mechanica mei 16 Het tentamen bestaat uit 4 opgaven, waarmee in totaal 6 punten zijn te verdienen. Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam, voorletters en studentnummer. 1. (a) (4 punten)

Nadere informatie

Deeltentamen Quantummechanica

Deeltentamen Quantummechanica 1 Deeltentamen Quantummechanica 30 januari 009 Bij het tentamen mag gebruik gemaakt worden van een A4-blad, dubbelzijdig beschreven, met eigen aantekeningen. Beantwoord de vragen kort en bondig. Geef geen

Nadere informatie

Opgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 9

Opgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 9 Opgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 9 Je kan dit keer kiezen uit twee sets van twee opgaven. Opgaven 16 en 18. Deze opgaven hebben betrekking op de kernfysicatoepassing die in 2.5.4 van het

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Quantumchemie (MST1171)

Tentamen Inleiding Quantumchemie (MST1171) Datum: 3 April 7 Tentamen Inleiding Quantumchemie (MST1171) *** Schrijf duidelijk je naam, je Leidse studienummer en studierichting op je antwoordblad *** *** Het tentamen bestaat uit vijf opgaven. Maak

Nadere informatie

Tentamen. Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April Tijd/tijdsduur: 3 uur

Tentamen. Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April Tijd/tijdsduur: 3 uur Tentamen Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April 2014 Tijd/tijdsduur: 3 uur Docent(en) en/of tweede lezer: Dr. F.C. Grozema Prof. dr. L.D.A. Siebbeles Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven:

Nadere informatie

Weyl die Theorie der Eichinvarianz sehr schön ist en fysische argumenten voor het ijkprincipe. Pim van Oirschot

Weyl die Theorie der Eichinvarianz sehr schön ist en fysische argumenten voor het ijkprincipe. Pim van Oirschot Weyl die Theorie der Eichinvarianz sehr schön ist en fysische argumenten voor het ijkprincipe Pim van Oirschot Inhoudsopgave 1 Voorwoord en onderzoeksvraag 2 2 Theoretische achtergrond 3 2.1 Chiraliteit

Nadere informatie

-- V HOOFDSTUK V STORINGSREKENING

-- V HOOFDSTUK V STORINGSREKENING -- V - 1 - HOOFDSTUK V STORINGSREKENING Storingsrekening is een in eerste benadering goedkopere methode dan variatierekening. Indien de storingsreeks convergeert, is het in principe net zo exact als variatierekening.

Nadere informatie

Quantummechanica. P.J. Mulders

Quantummechanica. P.J. Mulders Quantummechanica P.J. Mulders Afdeling Natuurkunde en Sterrenkunde, Faculteit der Exacte Wetenschappen, Vrije Universiteit Amsterdam De Boelelaan 1081, 1081 HV Amsterdam email: mulders@few.vu.nl December

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides

Nadere informatie

-- IX (q)e - ie 2 t/h

-- IX (q)e - ie 2 t/h -- IX - -- HOOFDSTUK IX TIJDSAFHANKELIJKE PROCESSEN Dit oofdstuk is bedoeld om enig inzict te geven in de manier waarop de intensiteiten van de lijnen in een spectrum berekend kunnen worden. Omdat een

Nadere informatie

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 8 JUNI e +" 1 = 1. e (" )=(k BT )

ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 8 JUNI e + 1 = 1. e ( )=(k BT ) ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN 8 JUNI ) (Andere antwoorden zijn niet noodzakelijk (geheel) incorrect) (a) Volgens het Pauli-principe kunnen fermionen zich niet in dezelfde quantumtoestand

Nadere informatie

Qubits Een andere invalshoek voor kwantummechanica in het secundair onderwijs

Qubits Een andere invalshoek voor kwantummechanica in het secundair onderwijs Qubits Een andere invalshoek voor kwantummechanica in het secundair onderwijs Mark Fannes Hans Bekaert Geert Verschoren Mieke De Cock woensdag 28 oktober 2015 Specifieke Lerarenopleiding Natuurwetenschappen:

Nadere informatie

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 5: 3 november 2016

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 5: 3 november 2016 Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 5: 3 november 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf

Nadere informatie

Deeltentamen Quantum mechanics

Deeltentamen Quantum mechanics page 1/2 1 Deeltentamen Quantum mechanics 1 February 28 Students are allowed to use one A4-page (double sided) with notes. Give short answers. Do not give additional answers. If you give correct and wrong

Nadere informatie

MOLECULAIRE QUANTUMMECHANICA

MOLECULAIRE QUANTUMMECHANICA MOLECULAIRE QUANTUMMECHANICA P.E.S. Wormer en A. van der Avoird Theoretische Chemie KU Nijmegen ii VOORWOORD Dit dictaat behoort bij het keuzecollege moleculaire quantummechanica dat jaarlijks wordt gegeven

Nadere informatie

LIEGROEPEN OPGAVEN. Gerard t Hooft

LIEGROEPEN OPGAVEN. Gerard t Hooft LIEGROEPEN OPGAVEN Gerard t Hooft Spinoza Instituut Postbus 80.195 3508 TD Utrecht e-mail: g.thooft@phys.uu.nl internet: http://www.phys.uu.nl/~thooft/ Opgaven behorende bij het college Liegroepen 003.

Nadere informatie

Quantum Chemie II 2e/3e jaar

Quantum Chemie II 2e/3e jaar Quantum Chemie II e/3e jaar Universiteit Utrecht Faculteit Bèta Wetenschappen Departement Scheikunde Vakgroep Theoretische Chemie 008 Het college Quantumchemie wordt met wisselende omvang en naam, al sinds

Nadere informatie

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm

5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm 5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f

Nadere informatie

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 17 oktober

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 17 oktober Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 17 oktober 2013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 0620 539 484 / 020 592

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 2011 van 14u00-17u00

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 2011 van 14u00-17u00 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 30 juni 20 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk

Nadere informatie

Relativistische quantummechanica

Relativistische quantummechanica Chapter 6 Relativistische quantummechanica 6. De Klein-Gordon vergelijking 6.. Afleiding van de Klein-Gordon vergelijking In het voorgaande hebben we gezien dat we een klassieke bewegingsvergelijking kunnen

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur

Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

1 OPGAVE. 1. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier

1 OPGAVE. 1. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier OPGAVE. Opgave. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier : ρ = φ φ, waarin φ de Klein-Gordonfunctie is. De stroom j van kansdichtheid wor in Schrödingers

Nadere informatie

Relevante vragen , eerste examenperiode

Relevante vragen , eerste examenperiode Relevante vragen 2006 2007, eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 14 april 2011 van 9u00-12u00

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 14 april 2011 van 9u00-12u00 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 4 april 20 van 9u00-2u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk

Nadere informatie

3 QUANTUMMECHANICA 70

3 QUANTUMMECHANICA 70 3 QUANTUMMECHANICA 70 3 QUANTUMMECHANICA 3.1 Inleiding en wiskundig intermezzo Er zijn vele manieren om quantummechanica te leren: historisch, empirisch, Hamiltonisch, axiomatisch enz. We kiezen hier de

Nadere informatie

Verstrooiing aan potentialen

Verstrooiing aan potentialen Verstrooiing aan potentialen In deze notitie zullen we verstrooiing beschouwen aan model potentialen, d.w.z. potentiaal stappen, potentiaal bergen en potentiaal putten. In de gebieden van de potentiaal,

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

Quantum theorie voor Wiskundigen. Velden en Wegen in de Wiskunde

Quantum theorie voor Wiskundigen. Velden en Wegen in de Wiskunde Quantum theorie voor Wiskundigen door Peter Bongaarts (Rotterdam) bij het afscheidssymposium Velden en Wegen in de Wiskunde voor Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam,

Nadere informatie

1 De Hamilton vergelijkingen

1 De Hamilton vergelijkingen 1 De Hamilton vergelijkingen Gegeven een systeem met m vrijheidsgraden, geparametriseerd door m veralgemeende coördinaten q i, i {1,, m}, met lagrangiaan L(q, q, t). Nemen we de totale differentiaal van

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

De Dirac vergelijking

De Dirac vergelijking De Dirac vergelijking Alexander Sevrin 1 Inleiding Deze nota s geven een korte inleiding tot de Dirac vergelijking en haar eigenschappen. Kennis van de Dirac vergelijking is onontbeerlijk bij de studie

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

Vraag 1: Ne-He en Ne-He +

Vraag 1: Ne-He en Ne-He + Uitwerking tentamen chemische binding, MOL056, 4 januari 01 1 (Uitwerking versie 4 januari 01, dr. ir. Gerrit C. Groenenboom) Vraag 1: Ne-e en Ne-e + De elektronenconfiguratie van e is 1s en die van Ne

Nadere informatie

Tentamen Elektromagnetisme (NS-103B)

Tentamen Elektromagnetisme (NS-103B) Tentamen Elektromagnetisme (NS-03B) woensdag april 00 5:00 8:00 uur Het gebruik van literatuur of een rekenmachine is niet toegestaan. U mag van onderstaande algemene gegevens gebruik maken. Bij de opgaven

Nadere informatie

0.1 Voorwoord Inhoud van het vak Onderwijsvorm Tijdsbesteding Tentaminering Assistentie...

0.1 Voorwoord Inhoud van het vak Onderwijsvorm Tijdsbesteding Tentaminering Assistentie... Inhoudsopgave 0.1 Voorwoord............................... 5 0.1.1 Inhoud van het vak...................... 5 0.1. Onderwijsvorm........................ 5 0.1.3 Tijdsbesteding........................ 5

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je

Nadere informatie

-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema:

-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema: -- III - 1 - HOOFDSTUK III VARIATIEREKENING Alleen voor enele zeer eenvoudige systemen an de Schrödinger Vergeliing exact worden opgelost, in alle andere gevallen moeten benaderingen worden toegepast.

Nadere informatie

Moleculaire Modelering - Mogelijke theorievragen - december 2005

Moleculaire Modelering - Mogelijke theorievragen - december 2005 1 ste Masterjaar Burgerlijk Scheikundig Ingenieur. Moleculaire Modelering - Mogelijke theorievragen - december 2005 0.0.1 Hoofdstuk 1 : Spin Opgave 1. Spin (a) Schets het historisch experiment waarin men

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

In de hoge-energiefysica werken we met deeltjes die hoge snelheden bezitten, soms zeer dicht bij de

In de hoge-energiefysica werken we met deeltjes die hoge snelheden bezitten, soms zeer dicht bij de In de hoge-energiefysica werken we met deeltjes die hoge snelheden bezitten, soms zeer dicht bij de lichtsnelheid c (in vacuüm). De fysische wetten die de interacties tussen deze deeltjes beschrijven mogen

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een

Nadere informatie

Tentamen Chemische Binding NWI-MOL056 Prof. dr. ir. Gerrit C. Groenenboom, HG00.068, 30 aug 2013

Tentamen Chemische Binding NWI-MOL056 Prof. dr. ir. Gerrit C. Groenenboom, HG00.068, 30 aug 2013 Tentamen Chemische Binding NWI-MOL056 Prof. dr. ir. Gerrit C. Groenenboom, HG00.068, 30 aug 013 Vraag 1: Valence bond theorie voor CH In de grondtoestand heeft het methyleen radicaal CH een H-C-H bindingshoek

Nadere informatie

Inhoud college Quantumfysica I

Inhoud college Quantumfysica I Inhoud college Quantumfysica I Docent: Erik Verlinde Overzicht door: Lodewijk Koopman 0 mei 005 E-mail: lkoopman@science.uva.nl 1 College 1: 9 februari 005 onderscheid klassieke en kwantummechanica: klassiek

Nadere informatie

Studiewijzer Deeltjesfysica 1

Studiewijzer Deeltjesfysica 1 Studiewijzer Deeltjesfysica 1 Atomen, molekulen en kernen Januari 000 Docent: Dr. W. Ubachs Vrije Universiteit Amsterdam Informatie over tijd en plaats van hoorcollege, werkcollege en tentamen Het college

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 9 januari 2008 van 9:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Stralingsfysica (3D100) d.d. 9 januari 2008 van 9:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D d.d. 9 januari 8 van 9: : uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Hoofdstuk 2. Aanduiding 1: Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook

Hoofdstuk 2. Aanduiding 1: Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook Hoofdstuk 2 Aanduiding 1: X ij Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook ± a Formule 5: X nieuw = bx oud betekent t X nieuw = X oud/b betekent

Nadere informatie

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 2: September 29, 2016

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 2: September 29, 2016 Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 2: September 29, 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 /

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt). 76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Nucleaire Wigner distributies: een maatstok voor kwantumeffecten in de coördinaten- en impulsruimte

Nucleaire Wigner distributies: een maatstok voor kwantumeffecten in de coördinaten- en impulsruimte Faculteit Wetenschappen Vakgroep Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 2017-2018 Nucleaire Wigner distributies: een maatstok voor kwantumeffecten in de coördinaten- en impulsruimte Tamas Gommers Promotor:

Nadere informatie

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 10 oktober 2013. jo@nikhef.nl

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 10 oktober 2013. jo@nikhef.nl Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 10 oktober 2013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 0620 539 484 / 020 592

Nadere informatie

Quantum Mechanica. Peter van der Straten Universiteit Utrecht. Peter van der Straten (Atom Optics) Quantum Mechanica November 20, / 14

Quantum Mechanica. Peter van der Straten Universiteit Utrecht. Peter van der Straten (Atom Optics) Quantum Mechanica November 20, / 14 Quantum Mechanica Peter van der Straten Universiteit Utrecht Peter van der Straten (Atom Optics) Quantum Mechanica November 20, 2012 1 / 14 Spectroscopie van waterstof Tabel van overgangen in waterstof

Nadere informatie

1 Het principe van d Alembert

1 Het principe van d Alembert 1 Het principe van d Alembert Gegeven een systeem, bestaande uit n deeltjes, elk met plaatscoördinaat r i en massa m i, i {1,, n}. Uit de tweede wet van Newton volgt onmiddellijk: p i F t i + f i, 1.1

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 2012 van 14u00-17u00

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 2012 van 14u00-17u00 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 202 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk

Nadere informatie

IMPULSDISTRIBUTIES VOOR ATOMAIRE KERNEN

IMPULSDISTRIBUTIES VOOR ATOMAIRE KERNEN FACULTEIT WETENSCHAPPEN VAKGROEP FYSICA EN STERRENKUNDE Academiejaar 4 5 IMPULSDISTRIBUTIES VOOR ATOMAIRE KERNEN Jarrick NYS Promotor: Prof. dr. J. Ryckebusch Begeleider: Camille Colle Scriptie voorgedragen

Nadere informatie

Tentamen Klassieke Mechanica, 29 Augustus 2007

Tentamen Klassieke Mechanica, 29 Augustus 2007 Tentamen Klassieke Mechanica, 9 Augustus 7 Dit tentamen bestaat uit vijf vragen, met in totaal negen onderdelen. Alle onderdelen, met uitzondering van 5.3, zijn onafhankelijk van elkaar te maken. Mocht

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

APPENDIX - LINEAIRE ALGEBRA

APPENDIX - LINEAIRE ALGEBRA A APPENDIX - LINEAIRE ALGEBRA 241 A APPENDIX - LINEAIRE ALGEBRA A.1 Vectorrekening over de reële ruimte A.1.1 Scalaren en vectoren We onderscheiden scalaren (of scalaire grootheden): door een getal bepaalde

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Opgaven Hilbert-ruimten en kwantummechanica (2006)

Opgaven Hilbert-ruimten en kwantummechanica (2006) Opgaven Hilbert-ruimten en kwantummechanica (2006) Altijd: Opgave 1 is om te oefenen (niet om in te leveren), Opgave 2 is de inleveropgave, Opgave 3 is de bonusopgave (inleveren niet verplicht maar wel

Nadere informatie

11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm :

11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm : 11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm : L[y] := [p(x)y ] + q(x)y = µr(x)y + f(x), < x < 1 (1) a 1 y() + a 2 y () =, b 1 y(1)

Nadere informatie

(vi) Als u een stelling, eigenschap,... gebruikt, formuleer die dan, toon aan dat de voorwaarden vervuld zijn, maar bewijs die niet.

(vi) Als u een stelling, eigenschap,... gebruikt, formuleer die dan, toon aan dat de voorwaarden vervuld zijn, maar bewijs die niet. Examen Functieruimten - Deel theorie 15 januari 2016, 08:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven; geen

Nadere informatie

Peter van der Straten

Peter van der Straten Werkcollege Quantum Mechanica 1 2012 2013 Ψ( r, t) i h t = h2 2m 2 Ψ( r, t) + V ( r)ψ( r, t) Peter van der Straten Bachelor Natuur- en Sterrenkunde Universiteit Utrecht Inhoudsopgave A Inleiding 3 B Golffuncties

Nadere informatie