Syllabus Numerieke Analyse I en II
|
|
- Philomena Maas
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Syllabus Numerieke Analyse I en II P. de Groen Abstract Deze syllabus omvat hoofdstukken over een aantal onderwerpen die in de cursus behandeld worden: Afrondfouten, Fast Fourier Transformatie, interpolatie, approximatie door polynomen, spline-approximatie en numerieke integratie, Totale Kleinste Kwadraten, Geconjungeerde gradienten en Newton-methoden. Voor het hoofdstuk Numerieke Lineaire Algebra wordt verwezen naar de cursus van het tweede jaar Bachelor en het standaardwerk: G.H. Golub & C.F. Van Loan, Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, USA, 2 de druk, Andere goede referentiewerken voor Numerieke Analyse zijn: R. Bulirsch & J. Stoer, Introduction to Numerical Analysis, Springer Verlag, Berlin, (Ook verkrijgbaar in een goedkope duitstalige pocketeditie). D. Kincaid & W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks & Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, USA, 1991; 2de druk,
2 CONTENTS 1 Contents 0 Foutenanalyse 3 0.a Elementaire definities b Voorstelling van reële getallen en floating-point aritmetiek c Voorbeelden van een afrondfoutenanalyse Interpolatie en Approximatie 8 1.a Lagrange interpolatie b Alternatieven voor het representeren en uitrekenen van een interpolatiepolynoom c Polynoomapproximatie d Approximaties op deelintervallen e Kubische Splines f Praktisch rekenen met kubische splines Fourier analyse en de Fast Fourier Transform 21 3 Numerieke Integratie 25 3.a Probleemstelling b Gauss-integratie c Samengestelde integratieformules d Romberg integratie e Voorbeeld van het Rombergschema f Integratie met veranderlijke stapgrootte g Numerieke stabiliteit h De sommatieformule van Euler-McLaurin en de trapeziumregel B-splines 40 4.a Definities en elementaire eigenschappen b Het rekenen met B-splines c Bézier-polynomen en controlepunten d B-spline-krommen en controlepunten Totale kleinste kwadraten 49 5.a Beste benadering in IR b Lineaire regressie in IR c Lineaire regressie van x op y d De totale kleinste-kwadratenbenadering e Regressie in meer dan twee dimensies f De normaalvergelijkingen in IR m g Oplossing via de singuliere-waardenontbinding h Totale kleinste kwadraten in IR n i Een alternatieve benadering voor totale kleinste kwadraten in IR n Geconjungeerde gradienten 59 7 Stelsels niet-lineaire vergelijkingen en minimalisatieproblemen 72 7.a Probleemstelling in één dimensie b Intervalhalvering of binaire search c Successieve substitutie d Newton-Raphson e Problemen in verscheidene dimensies f Een aangepaste (gedempte) Newtonmethode g De methode van de steilste helling (steepest descent) Oefeningen Numerieke Analyse 82 8.a Fouriertransformatie b Approximatie c Orthogonale polynomen d Een spline-benadering e Numerieke integratie f Lineaire Algebra
3 CONTENTS 2 8.g Matrixalgoritmen h De Cholesky-ontbinding i Givensrotaties etc j Niet-lineaire problemen Enige recente schriftelijke examens voor Numerieke Analyse I a Examen Numerieke Analyse, juni b Examen Numerieke Analyse, april c Examen Numerieke Analyse, september
4 0 FOUTENANALYSE 3 0 Foutenanalyse 0.a Elementaire definities Gegeven is een grootheid X en haar benadering X. De absolute en relatieve fouten in de benadering X worden gegeven door: absolute fout in X : F X := X X zodat X = X + F X, relatieve fout in X : f X := X X X zodat X = X(1 + f X ) (mits X 0). Het begrip absolute fout heeft in principe niets te maken met absolute waarden; absoluut staat slechts in tegenstelling tot relatief. De absolute fout heeft dezelfde dimensies (bv. lengte, gewicht, tijd) als de grootheid zelf, terwijl de relatieve fout dimensieloos is. Opgave 1: laat zien, dat voor de absolute en relatieve fouten in de twee grootheden X en Ỹ geldt: F X+Y = F X + F Y en f X Y = f X + f Y + f X f Y. Als we de (absolute of relatieve) fout in een (gemeten of berekende) grootheid X kennen, dan kennen we ook de grootheid zelf! Helaas zijn we bijna nooit in deze situatie en kennen we alleen een bovengrens voor de absolute waarde van de fout. In het gangbare spraakgebruik spreken we gewoonlijk over de fout in een grootheid terwijl we zo n bovengrens bedoelen (of nog erger, terwijl we de spreiding in de stochastische fluctuaties rond de exacte waarde bedoelen). Dus, bij een gegeven benadering X van een grootheid X definiëren we: (0.1) X is (een bovengrens voor) de absolute fout in X als X X X, δ X is (een bovengrens voor) de relatieve fout in X X X als X δ X. (0.2) Opgave 2: Bewijs de volgende rekenregels voor de fouten in de grootheden X en Ỹ : X±Y X + Y XY Y X + X Y + X Y, δ X±Y X δ X + Y δ Y X ± Y δ XY δ X + δ Y + δ X δ Y. (0.3) N.B. Lees deze regels alsvolgt: Als X en Y bovengrenzen zijn voor de fouten in X resp. Y, dan is er een bovengrens X±Y voor de fout in X ± Y waarvoor geldt X±Y X + Y. Hieruit volgt dus dat X + Y een bovengrens voor de fout in X ± Y is, etc. Wat zijn de overeenkomstige rekenregels voor de absolute en relatieve fouten (bovengrenzen) in het quotiënt X/Y? 0.b Voorstelling van reële getallen en floating-point aritmetiek Om een groot dynamisch bereik mogelijk te maken voor reële getallen worden deze in een computer opgeslagen in de vorm mantisse maal exponent. Hiertoe wordt een grondtal β (meestal 2, soms 8 (vroeger op CDC) of 16 (IBM)) gekozen. Een x IR kan dan worden voorgesteld door een paar (m, e) met x = m β e, (0.4) waarin m de mantisse is en e de exponent. Omdat het paar (m β, e 1 ) hetzelfde getal voorstel kunnen we de mantisse normaliseren, b.v. door 1/β m < 1. Het spreekt vanzelf dat we in de
5 0 FOUTENANALYSE 4 praktijk een eindige representatie willen hebben en dus het aantal β-tallige cijfers in mantisse en exponent zullen beperken. De IEEE-standaard voor 64-bits REALs is een tweetallige representatie (β = 2) met 53 resp. 10 bits voor de absolute waarden van mantisse en exponent en twee tekenbits. Omdat een genormaliseerde binaire mantisse altijd begint met een 1 (ga na!), hoeft dit eerste bit niet opgeslagen te worden. Met 10 bits is ook de grootte van de exponent aan een maximum gebonden. Getallen die een exponent groter dan 2 10 of kleiner dan 2 10 vragen (waarvan de absolute waarde dus kleiner dan (ongeveer) of groter dan is), kunnen dus niet gerepresenteerd worden; we spreken dan van over- of underflow. De IEEE-standaard geeft de mogelijkheid om by underflow een getal op nul te zetten, en bij overflow een NaN (Not a Number) te genereren zodat er een soepele foutenopvang mogelijk is. Een reëel getal binnen het bereik zal in het algemeen niet exakt gerepresenteerd kunnen worden. Voor een gegeven x IR (binnen het bereik) noteren we met fl(x) het meest naburige wel repesenteerbare getal (machinegetal). Het verschil x fl(x) is dan de afrondfout. Stelling. Als voor een machinegetal een β-tallige representatie wordt gekozen met t bits in de mantisse, dan geldt voor de relatieve afrondfout bij afronding naar het dichtstbijzijnde machinegetal (behoudens over- en underflow): x fl(x) x η maar ook x fl(x) fl(x) η met η := 1 2 β1 t. (0.5) De grootheid η heet de machineprecisie. Opgave 3: Bewijs deze stelling. Ga ook na, dat er (behoudens over- en underflow) getallen ε 1 en ε 2 zijn bij iedere aritmetische operatie {+,,, /} tussen twee machinegetallen x en y, zodat fl(x y) = (x y)(1 + ε 1 ) = x y 1 + ε 2 met ε 1 η en ε 2 η. (0.6) Opmerking. We kunnen η ook definiëren als het grootste reële getal, zodat fl(1 + η) = 1, ga na! Opgave 4: De reeksontwikkeling van de exponentiaal is: e x x k = k! Hoeveel termen heb je nodig om e 5 te berekenen met een relatieve fout kleiner dan 10 3? Kun je dit doen met een computer, waarin de variabelen van het type IR een mantisse van 4 decimalen hebben? Is er een betere manier om e 5 te berekenen met zo n computer? Opgave 5: Laat f een voldoend gladde reële funktie (b.v. f(x) = sin(x)) zijn met max f (x) M. x De afgeleide van f in x kunnen we dan benaderen met de centrale differentie D h f(x) := Laat zien, dat voor de afbreekfout in D h f geldt: f(x + h) f(x h) 2h f(x + h) f(x h)) 2h k=0. = f (x) + h2 6 f (x + ϑh) met ϑ 1. (0.7) Veronderstel, dat er voor de berekening van f een procedure beschikbaar is, die bij iedere waarde van x een resultaat aflevert met een relatieve fout kleiner dan of gelijk aan 2η. Geef dan een (goede) bovengrens voor de relatieve fout in de berekende waarde van D h f als funktie van h en schets een grafiek van (een bovengrens voor) de totale fout (afbreek- plus afrondfout) in deze berekende waarde.
6 0 FOUTENANALYSE 5 0.c Voorbeelden van een afrondfoutenanalyse Gevraagd te berekenen x = ϕ(a). Met een algoritme voor het berekenen van ϕ(a) vinden we ten gevolge van afrondfouten de berekende waarde: fl(x). In een foutenanalyse proberen we fouten δ x, δ a of ε a en ε x te vinden, zodat fl(x) = x + δ x voorwaartse foutenanalyse = ϕ(a + δ a ) achterwaartse foutenanalyse = ϕ(a + ε a ) + ε x gemengde foutenanalyse Definitie: We noemen de algoritme numeriek stabiel als we kunnen bewijzen: δ x of ε x van de grootteorde van de onvermijdelijke fout, δ a of ε a van de grootteorde van de machineprecisie. Voorbeeld 1: Er is een ε met ε η (= machineprecisie ) zodat a + b + ε (a + b) voorwaarts fl(a + b) = ã + b met ã := a(1 + ε) en b := a(1 + ε) achterwaarts Voorbeeld 2: Er zijn ε 1 en ε 2 ( met ε i η ) zodat fl(1 x 2 ) = (1 x x (1 + ε 1 )) (1 + ε 2 ) = (1 x 2 ) (1 + ε 2 ) met x := x 1 + ε 1 gemengd. Voorbeeld 3: Geef een schatting van de afrondfout in de berekende waarde van de positieve wortel van de vierkantsvergelijking bij gebruik van de formule a 2x c x 2 met a 0 en c 0 x := a c c onder de aanname betreffende de afrondfout in de berekende waarde van de vierkantswortel fl( x) = x(1 + ε x ) met ε x η voor iedere x. Antwoord: Er bestaan ε 1, ε 2 en ε 3 met ε i η, zodat fl( 1 + a c) = (1 + a c(1 + ε 1 ))(1 + ε 2 ) (1 + ε 3 ) = 1 + ãc(1 + ξ 1 ) met ξ 1 := 1 + ε 2 (1 + ε 3 ) 1 en ã := a(1 + ε 1 ) Bijgevolg zijn er ξ 2 en ξ 3, ( ξ i η ) zodat: fl(x) = ã c(1 + ξ 1 ) (1 + ξ 2 )(1 + ξ 3 ) c = ã c c De tweede term is groot t.o.v. x als ac 1. Alternatieve (numeriek stabiele) rekenwijze voor deze wortel: x := (1 + ξ 2 )(1 + ξ 3 ) + ξ ãc c a a c.
7 0 FOUTENANALYSE 6 Voorbeeld 4: Afrondfout in de berekende waarde van het inprodukt S := x i y i berekend met algoritme: S := 0; for i := 1 to n do S := S + x i y i Voor de berekende waarde van S vinden we getallen ξ i en η i met ξ i, ε i η, i = 1 n: fl(s) = x 1 y 1 (1 + ξ 1 )(1 + ε 2 ) (1 + ε n ) + x 2 y 2 (1 + ξ 2 )(1 + ε 2 ) (1 + ε n ) + + x n 2 y n 2 (1 + ξ n 2 )(1 + ε n 2 ) (1 + ε n ) + x n 1 y n 1 (1 + ξ n 1 )(1 + ε n 1 )(1 + ε n ) + x n y n (1 + ξ n )(1 + ε n ) zodat met S fl(s) = x i y i ζ i ζ i := 1 (1 + ξ i )(1 + ε i ) (1 + ε n ) en ζ i (n i + 2)η als nη 0.1. Bijgevolg geldt voor de voorwaartse fout: S fl(s) S (n + 1)η S x i y i (n + 1)η x 2 y 2 x T y Voorbeeld 5: Bereken x n uit de vergelijking a = x i y i, a, x 1 x n 1, y 1 y n gegeven, en bepaal de afrondfout in de berekende waarde van x n. S := a; Algoritme: for i := 1 to n 1 DO S := S x i y i ; x n := S / y n Voor de berekende waarden van S en x n vinden we voor zekere ξ i en η i met ξ i, ε i η : en fl(s) = a(1 + ε 1 ) (1 + ε n 1 ) x 1 y 1 (1 + ξ 1 )(1 + ε 1 ) (1 + ε n 1 ) x 2 y 2 (1 + ξ 2 )(1 + ε 2 ) (1 + ε n 1 ) x n 2 y n 2 (1 + ξ n 2 )(1 + ε n 2 )(1 + ε n 1 ) x n 1 y n 1 (1 + ξ n 1 )(1 + ε n 1 ) x n := fl(x n ) = fl(s)/(y n (1 + ξ n ))
8 0 FOUTENANALYSE 7 Deling door (1 + ε 1 ) (1 + ε n 1 ) geeft de achterwaartse foutschatting: met a = x 1 y 1 (1 + ξ 1 ) + x 2 y ξ ε 1 + = + x n 1 y n ξ n 1 (1 + ε 1 ) (1 + ε n 2 ) + x n y n 1 + ξ n (1 + ε 1 ) (1 + ε n 1 ) n 1 x i y i (1 + δ i ) x n y n (1 + δ n ) δ i := 1 + ξ i (1 + ε 1 ) (1 + ε i 1 ) 1, zodat δ i (i + 1)η als n η < 0.1. Conclusie: De berekende waarde x n is de oplossing van een naburige vergelijking a = x j ỹ j, ỹ j := y j (1 + δ j ). j=1 Opgave 6: Voor de standaardafwijking S bestaan in de statistiek twee formules die wiskundig (in exacte reële arithmetiek) gelijkwaardig zijn : S 2 = 1 n n 1 ( x 2 i n g 2 ) en S 2 = 1 n 1 (x i g) 2 met g het gemiddelde: g := 1 x i. n Welke van de twee zou je gebruiken in een numeriek programma en waarom?
9 REFERENCES 112 References [1] M. Hestenes & E. Stiefel, Methods of conjugate gradients for solving linear systems, J. Research NBS, 49, pp , [2] C. Lanczos, An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators, J. Research NBS, 45, pp , [3] J.K. Reid, On the method of conjugate gradients for the solution of large sparse systems of linear equations, Proc. Conf. on Large Sparse Sets of Linear Equations, Academic Press, New York, [4] J.A. Meijerink and H.A. van der Vorst, An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix, Math.of Comp., 31, pp , [5] G.H. Golub & C.F. Van Loan, Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, USA, 1 ste druk, 1983, 2 de druk, 1988, 3 de druk, [6] R. Bulirsch & J. Stoer, Introduction to Numerical Analysis, Springer Verlag, Berlin, (Ook verkrijgbaar in een goedkope duitstalige pocketeditie). [7] D. Kincaid & W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks & Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, USA, 1991; 2de druk, 1996.
2 Fourier analyse en de Fast Fourier Transform
2 FOURIER ANALYSE EN DE FAST FOURIER TRANSFORM 21 2 Fourier analyse en de Fast Fourier Transform Zij f een continue 2π-periodieke funktie op IR (eventueel met complexe waarden), dan kunnen we f ontwikkelen
Nadere informatie1 Interpolatie en Approximatie
1 INTERPOLATIE EN APPROXIMATIE 8 1 Interpolatie en Approximatie In dit hoofdstuk bespreken we methoden om een gegeven functie van een veranderlijke te benaderen met een (gemakkelijk berekenbare) functie
Nadere informatieSyllabus Numerieke Analyse I en II
Syllabus Numerieke Analyse I en II P. de Groen Abstract Deze syllabus omvat hoofdstukken over een aantal onderwerpen die in de cursus behandeld worden: Afrondfouten, Fast Fourier Transformatie, interpolatie,
Nadere informatieRelatieve fout, maximum relatieve fout, absolute fout en maximum absolute fout. γ < ε X X X. = γ X
2 oct 95 Inhoud foutenanalyse interpolatie, approximatie, splines FFT numerieke integratie numerieke lineaire algebra (niet te vinden in de cursus, wel kopiekes bij ig) Stelsels niet lineaire vergelijkingen
Nadere informatie7 Stelsels niet-lineaire vergelijkingen en minimalisatieproblemen
7 STELSELS NIET-LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN MINIMALISATIEPROBLEMEN 72 7 Stelsels niet-lineaire vergelijkingen en minimalisatieproblemen 7.a Probleemstelling in één dimensie Bepaal de oplossing van de volgende
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieOefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor
Nadere informatie5 Totale kleinste kwadraten
5 TOTALE KLEINSTE KWADRATEN 49 5 Totale kleinste kwadraten 5a Beste benadering in IR Als we de verzameling punten V := {, 2,, m } in IR hebben gegeven en we vragen welk punt z het dichtst bij al deze punten
Nadere informatie4 B-splines. 4.a Definities en elementaire eigenschappen 4 B-SPLINES 40
4 B-SPLINES 4 4 B-splines 4.a Definities en elementaire eigenschappen In plaats van de bereening van een spline-benadering via een loale-polynoomrepresentatie per deelinterval, unnen we oo een basis iezen
Nadere informatieOpdrachten numerieke methoden, week 1
Opdrachten numerieke methoden, week Opdracht : De potentiaal in een diode. [Bewijs dat ψ = u T arcsinh D 2n i ) ] ) ) D = n p = n i e ψ u T e ψ u ψ T = 2n i sinh u T ) D ψ = u T arcsinh 2n i.2 [Conditiegetal
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatieNumerieke Methoden voor Differentiaalvergelijkingen
Numerieke Methoden voor Differentiaalvergelijkingen Numerieke Methoden voor Differentiaalvergelijkingen C. Vuik P. van Beek F. Vermolen J. van Kan VSSD iv VSSD Eerste druk 2006 Uitgegeven door: VSSD Leeghwaterstraat
Nadere informatieDe wiskunde van computerberekeningen. Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam.
De wiskunde van computerberekeningen Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam 04 november 2015 Pluto en Charon New Horizons, launch date 19 January, 2006, speed
Nadere informatie6 Geconjungeerde gradienten
6 GECONJUNGEERDE GRADIENTEN 59 6 Geconjungeerde gradienten Laat A IR n n een symmetrische positief definiete matrix zijn, d.w.z. A T = A en er is een γ > 0 zodat x T Ax γ x T x voor alle x IR n, (6.1)
Nadere informatieInhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1
Inhoud Aan de student V Studiewijzer Aan de docent VII IX Over de auteurs XI Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Leereenheid 0.1 Elementaire algebra 3 0.1.1 Verzameling van getallen en het symbool 4 0.1.2 Merkwaardige
Nadere informatieExamen Numerieke Analyse I, 1 lic Info, 5 juni 2000
1 Examen Numerieke Analyse I, 1 lic Info, 5 juni 2000 deel 1 1. Laten u =(u 1,,u n ) T en v =(v 1,,v n ) T twee reële vektoren zijn en S := u T v het inprodukt ervan, berek met de algoritme S := 0; for
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Eamen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 10 juni 2014 1. In de oefeninglessen hebben we gezien dat we de machine-epsilon bekomen bij het berekenen van ( 4 1) 1. Beschouw
Nadere informatie5 Afronden en afkappen
WIS5 1 5 Afronden en afkappen 5.1 Floor en ceiling Floor en ceiling Conversiefuncties van reële getallen naar gehele getallen. x = het grootste gehele getal et x x = het kleinste gehele getal et x Uitspraak:
Nadere informatieUtrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Nadere informatieHoofdstuk 1. Illustratie 2
Hoofdstuk 1 Numerical Methods College 2 A. Floating-point representatie (Hoofdstuk 1) B. Matlab A.A.N. Ridder Twee belangrijke onderwerpen die moeten leiden tot een beter begrip van de numerieke problematiek:
Nadere informatieslides12.pdf December 14, 2001 1
Onderwerpen Inleiding Algemeen 12 Getallen Getallen Representaties Rekenen Problemen Piet van Oostrum 12 dec 2001 INL/Alg-12 1 X INL/Alg-12 1 X Getallen Soorten getallen Wat is een getal? Experiment: met
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 28 januari 2014,
Tentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 8 januari 04, 3.30 6.30. Zet op ieder vel dat je inlevert je naam en op et eerste vel bovendien nog je studentnummer.. Je mag et dictaat gebruiken, de uitwerkingen
Nadere informatieINLEIDING TOT DE NUMERIEKE WISKUNDE
INLEIDING TOT DE NUMERIEKE WISKUNDE MN Spijker en JA van de Griend april 2008 MATHEMATISCH INSTITUUT UNIVERSITEIT LEIDEN INLEIDING TOT DE NUMERIEKE WISKUNDE MN Spijker en JA van de Griend copyright c
Nadere informatieNUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING. Docent: Karel in t Hout. Studiepunten: 3
NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING Docent: Karel in t Hout Studiepunten: 3 Over deze opgave dien je een verslag te schrijven waarin de antwoorden op alle vragen zijn verwerkt. Richtlijnen
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieTussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011
Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieEen Inleiding in de Numerieke Lineaire Algebra
Een Inleiding in de Numerieke Lineaire Algebra P. de Groen In deze cursusnota s bij de cursus Numerieke Lineaire Algebra van het tweede jaar bachelor in de wiskunde worden de standaard algoritmen behandeld
Nadere informatieAiryfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos
LaTeX opdracht Bewijzen en Redeneren 1ste fase bachelor in Fysica, Wiskunde Werk de volgende opdracht individueel uit. U moet hier alleen aan werken. Geef ook geen files door aan anderen. Ingediende opdrachten
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieExamenvragen Numerieke Wiskunde 2012
Examenvragen Numerieke Wiskunde 2012 Dennis Frett, Karel Domin, Jonas Devlieghere 3 oktober 2014 1 Inhoudsopgave 1 Programma verschil, verklaar afwijking 4 2 Matrix met dominante eigenwaarde 6 3 Functiewaarden
Nadere informatieWiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen
FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar 2013-2014 Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieWiskunde curriculum voor Bachelor fase N
Wiskunde curriculum voor Bachelor fase N 1. Inleiding wiskunde (5 sp, kwartiel 1.1) - Rekenvaardigheden: algebraïsche rekenvaardigheden, differentiëren, integreren, goniometrie, functie onderzoek etc (herhaling
Nadere informatie8 Oefeningen Numerieke Analyse
8 OEFENINGEN NUMERIEKE ANALYSE 82 8 Oefeningen Numerieke Analyse 8.a Fouriertransformatie 1. Een complexwaardige functie f op de reële rechte en zijn Fouriergetransformeerde g voldoen aan de volgende relaties:
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatie(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Nadere informatieTweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003
Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 I Doelstelling en testcase In deze programmeeropgave zullen we een drietal numerieke integratiemethoden
Nadere informatieNumerieke Analyse - Week 03
Numerieke Analyse - Week 3 Jan Brandts Woensdag 21 september 211 1. Samenvatting en opgaven We zoeken een polynoom p P k (I) waarvan de functiewaarden in k + 1 verscillende punten x,..., x k I overeenstemmen
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott Overzicht Literatuur Calculus, a complete course, Robert
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentamen Numeriee Wisunde WISB51 Maa één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelij je naam en studentnummer. Laat duidelij zien hoe je aan de antwoorden omt. Onderstaande formules mag je zonder
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 Inleverdatum 30 maart 207, uiterlijk :5 uur Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de theorie gebruiken die op het college
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieSteeds betere benadering voor het getal π
Wiskunde & Onderwijs 38ste jaargang (2012 Steeds betere benadering voor het getal π Koen De Naeghel Samenvatting. We bespreken een oplossing voor de (veralgemeende opgave Noot 4 uit Wiskunde & Onderwijs
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatieHertentamen 8D040 - Basis beeldverwerking
Hertentamen 8D040 - Basis beeldverwerking 6 augustus 203, 4:00-7:00 Opmerkingen: Maak elke opgave op een apart vel. Antwoord op vraag 4 mag gewoon in het Nederlands. Een gewone rekenmachine is toegestaan.
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieVU University Amsterdam 2018, Maart 27
Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.
Nadere informatieBouwstenen voor PSE. Datatypes en Datastructuren
Bouwstenen voor PSE Datatypes en Datastructuren Definitie Datatype Klasse van dataobjecten tesamen met operaties om ze te construeren, te manipuleren en te verwijderen. Een datatype omvat een specificatie
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieN3 LINEAIRE INTERPOLATIE
N3 LINEAIRE INTERPOLATIE 3.18 Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een functie f en toch de waarde van de functie y = f(x) in een bepaald
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen in het kerstpakket
Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven versie.0, 3 december 00 De TU/e viert een feestje
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieUitwerkingen tentamen 8C080 - april 2011
Uitwerkingen tentamen 8C8 - april 211 Opgave 1. Mutual information Gegeven zijn twee 3D datasets van dezelfde patient, nl. een CT scan en een MRI scan van het hoofd. Grid im1 RandomInteger 1, 4, 5, 5,
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (2Y490) op 15 augustus 2003
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (Y49) op 5 augustus 3 VGF: Bij de vraagstukken zullen ook Veel Gemaakte Fouten (VGF) worden
Nadere informatieMeten en experimenteren
Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieExamenvragen en -antwoorden
KU Leuven Verzameling Examenvragen en -antwoorden Numerieke Wiskunde [G0N90B] Auteur: Tom Sydney Kerckhove Professor: Professor M. Van Barel Met dank aan: Dennis Frett Karel Domin Jonas Devlieghere Gestart:
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieReferentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen
Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door
Nadere informatieNumerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder
Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Department EOR Vrije Universiteit Amsterdam Huispagina: http://personal.vu.nl/a.a.n.ridder/numprog/default.htm 4 oktober 2016
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 3 mei 23. Implementeer de functie x n+ = mod(2x n, ) waarbij je gebruik maakt van een voorstelling met reële getallen. Zorg er
Nadere informatieOefeningen Numerieke Wiskunde
Oefeningen Numerieke Wiskunde Oefenzitting 2: Foutenanalyse, Conditie en Stabiliteit Vereiste voorkennis Foutenanalyse van de som De begrippen conditie en stabiliteit 1 Oefeningen 1.1 Foutenanalyse van
Nadere informatieDe pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =
Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix
Nadere informatieSTEEDS BETERE BENADERING VOOR HET GETAL π
STEEDS BETERE BENADERING VOOR HET GETAL KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. We bespreken een oplossing voor de (veralgemeende) opgave Noot 4 uit Wiskunde & Onderwijs nr.139. Onze inspiratie halen we uit het
Nadere informatieWISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 4 1.2.2 Definitie
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieStatistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn
Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie Met spreiding willen we in één getal uitdrukken hoe verspreid de gegevens zijn: in hoeveel
Nadere informatieWiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -
Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, hours.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, 14.00-17.00 hours. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatie