2 Fourier analyse en de Fast Fourier Transform
|
|
- Dina Pauwels
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 2 FOURIER ANALYSE EN DE FAST FOURIER TRANSFORM 21 2 Fourier analyse en de Fast Fourier Transform Zij f een continue 2π-periodieke funktie op IR (eventueel met complexe waarden), dan kunnen we f ontwikkelen in een Fourier-reeks, f(x) = + k= f k e ikx, (2.1) Zonder bewijs vermelden we: f k := ( f, eikx ) e ikx 2 2 = 1 2 π 2π Stelling. Als f C(IR), en f(x + 2π) = f(x), x IR, dan geldt: (i) f n k= n f k e ikx 2 0 als n, 0 f(x) e ikx dx. (2.2) (ii) Een partiële som Σ n k= n f k e ikx is de beste benadering van f in L 2 -zin in de deelruimte van trigonometrische polynomen van graad n (dit is de ruimte opgespannen door { e ikx k Z, k n} ). (iii) De rij van CESARO-sommen 1 N N. Nn=0 nk= n f k e ikx convergeert uniform naar f voor (iv) Als f C m (IR), dan dalen de Fourier-coëfficiënten van f minstens met de m-de macht van 1/k, f k k m f (m). (2.3) We kunnen de transformatie (2.2) discretiseren met behulp van de trapeziumregel, b a f(x) dx = b a 2 (f(a) + f(b)) + (b a)3 12 f (ξ). Door het interval [0, 2π] te verdelen in n deelintervallen van lengte 2π/n en de trapeziumregel op ieder deelinterval toe te passen, vinden we 1 2π f(x) e ikx dx = 1 f(0) + f(2jπ/n) e 2ikjπ/n + f(2π) + Rest (2.4) 2π n = 1 n j=1 f(2jπ/n) e 2ikjπ/n + Rest. Daar f periodiek is met het integratie-interval als periode, kunnen we bewijzen, dat de rest van orde O(n m f (m) ) is als f C m (IR), zie het hoofdstuk over integratie. Als we de funktiewaarden f(2πj/n) vervangen door x j, de j-de komponent van de vektor x IR n, en de discrete Fouriercoëfficiënten y k noemen, de k-de komponent van de vektor y IR n, dan kunnen we de discrete Fouriertransformatie F n op n punten neerschrijven als (F n y) j := x j := y k e 2ikjπ/n. (2.5) F n is een transformatie van C n naar C n, waarvoor geldt:
2 2 FOURIER ANALYSE EN DE FAST FOURIER TRANSFORM 22 Stelling. n 1 2 F n is een unitaire transformatie van C n en voor de inverse van F n geldt: y k = (F n x) k = 1 n x j e 2ikjπ/n. (2.6) Bewijs. De bewering volgt onmiddellijk uit de orthogonaliteit van de collectie vektoren {e k k = 0,, n 1} met componenten e kj := e 2ikjπ/n t.o.v. het discrete inprodukt (x, y) := x j y j (2.7) en uit het feit dat deze vektoren lengte n hebben. Fourier-transformatie wordt zeer veel gebruikt voor spektrale analyse van (bijna) periodieke verschijnselen en wordt in vele vakgebieden op grote schaal toegepast. Een van de redenen hiervoor ligt in het bestaan van een zeer snel algoritme voor het berekenen van zo n transformatie voor het geval dat n een macht van twee is, namelijk de Fast Fourier Transform (FFT) van Cooley & Tuckey. We zullen hier een afleiding geven van deze algoritme (voor een standaard sequentiële processor). Laat het aantal punten n van F n even zijn, zeg n = 2m, dan kunnen we de discrete Fourier-som (2.6) x j = 2m 1 y k e ikjπ/m, (2.8a) verdelen in een som over de termen met even index en een som over de termen met oneven index, x j = m 1 m 1 y 2k e 2ikjπ/m + e ijπ/m y 2k+1 e 2ikjπ/m. (2.8b) Hiermee is het probleem (2.7a) met 2m punten gesplitst in twee problemen met m punten. D.w.z. als u de vektor van komponenten met even index is en v de vektor van komponenten met oneven index (u, v C m en y C 2m ), dan geldt (ga na!) voor j = 0,, m 1 : x j = F 2m y) j = (F m u) j + (F m v) j e ijπ/m x j+m = (F 2m y) j+m = (F m u) j (F m v) j e ijπ/m (2.9) Het aantal arithmetische operaties, dat nodig is om F 2m y uit te rekenen, is dus gelijk aan tweemaal het aantal operaties voor F m u plus m maal (een vermenigvuldiging plus een evaluatie van een e- macht plus twee optellingen). Als n een tweemacht is, n = 2 t, dan is het totale aantal dus gelijk aan (2 t +2 2 t 1 + ) maal de basiseenheid (1 V + 1 E + 2 O) (= n 2 log n maal de basiseenheid). Om met de reduktieformules (2.9) een nette algoritme neer te schrijven, herschrijven we de opdracht maak een 2n-punts Fouriertransformatie (n is een macht van 2) van de het (complexe) array y[p] y[p + 2n 1] in de recursieve procedure
3 2 FOURIER ANALYSE EN DE FAST FOURIER TRANSFORM 23 procedure F2T( var x : vector; p, m : integer ); ( overschrijf het deelarray x[p p + 2 m 1] met zijn 2 m punts Fourier-getransformeerde ) var y : vector; j : integer; begin ( splits array in twee stukken; elementen met even index vooraan en oneven achteraan ) ( Verwisselingsstap ) y[p + j] := x[p + 2 j]; y[p + m + j] := x[p + 2 j + 1]; if m > 2 then ( FT op beide delen apart ) F2T(y, p, m div 2); F2T(y, p + m, m div 2); end ( Assemblagestap ) x[p + j] := y[p + j] + exp(ijπ/m) y[p + m + j]; x[p + m + j] := y[p + j] exp(ijπ/m) y[p + m + j]; De recursieve algoritme bestaat dus uit een verwisselingsstap, gevolgd door een recursieve oproep van FT op beide helften. Na terugkeer uit deze recursie volgt een assemblagestap. Op het diepere recursieniveau is dit hetzelfde. In het totaal worden dus eerst alle verwisselingen gedaan op steeds meer steeds kortere deelarrays, totdat de recursie is aangekomen op het niveau n = 2. Daarna volgen alle assemblagestappen, te beginnen met deelarrays van lengte 2. De verwijdering van de recursiviteit leidt dus tot de volgende algoritme: procedure FFT( var x : vector; n : integer ); ( overschrijf het array x[0.. n] met zijn n punts Fourier-getransformeerde. ) var y : vector; j, m, p : integer; begin m := n 2; while m > 1 do ( splits alle deelarrays van lengte 2 m ) y[p + j] := x[p + 2 j]; y[p + m + j] := x[p + 2 j + 1]; x := y ; m := m 2; while m < n do ( assembleer deelarrays van lengte m ) y[p + j] := x[p + j] + exp(ijπ/m) x[p + m + j]; y[p + m + j] := x[p + j] exp(ijπ/m) x[p + m + j]; x := y ; m := m 2; Bij een verwisselingsstap worden de elementen met even index naar de eerste helft verplaatst en die met oneven index naar de tweede helft. De binaire representatie van een even getal (van p binaire cijfers) eindigt met een nul en de binaire representatie van een element in de eerste helft (van 0 2 p 1) begint met een nul; evenzo eindigt de binaire representatie van een oneven getal met een een en die van een element van de tweede helft begint met een een. Een verwisselingsstap op een array van 2 p elementen (met indices 0 2 p 1) betekent dus, dat ieder element een nieuwe plaats krijgt met een index, die we eenvoudig uit de binaire representatie van de oude kunnen afleiden door het laaste bit vooraan te plaatsen. In de volgende verwisselingsstap op het diepere recursieniveau werken we met array van halve lengte en gebruiken we dus alleen de
4 2 FOURIER ANALYSE EN DE FAST FOURIER TRANSFORM 24 laatste p 1 bits. Het p-de bit wordt op het diepere niveau dus niet meer veranderd. De uitkomst van alle verwisselingen tesamen is dus, dat ieder element verplaatst wordt naar een positie met een index, waarvan de binaire representatie het gespiegelde is van de oorspronkelijke index. We hoeven het array dus maar één keer te doorlopen om alle verwisselingen te doen. In het geval, dat ons uitgangsarray lengte 8 heeft, kunnen we alle verwisselingsstappen alsvolgt tekenen: Figure 1: Verwisselingspatroon voor een array van lengte 8. De indices zijn binair uitgeschreven. We zien, dat het bitpatroon van alle indices precies wordt omgedraaid. Bij het uitvoeren van alle assemblagestappen kunnen we tenslotte een hoop werk uitsparen op het berekenen van de exponenten door alle assemblages, waarin exp(ijπ/n) gebruikt wordt, tegelijk te doen en door de beide for-lussen te verwisselen en exp(ijπ/n) in de j-de slag te berekenen als de exponent van de vorige slag maal de basisexponent exp(iπ/n). Dit geeft de efficiëntere algoritme: procedure FFT( var x : vector; n : integer ); ( overschrijf het array x[0.. n 1] met zijn n punts Fourier-getransformeerde. ) var j, m, p : integer; E, Z, W,: real begin for p := 0 to n 1 do j := gespiegelde(p); if j > p then verwissel(x[j ], x[p]) end m:=1; while m < n do ( assembleer deelarrays van lengte m ) E := exp(iπ/n); Z := 1; W := Z x[p + m + j]; x[p + m + j] := x[p + j] W; x[p + j] := x[p + j] + W; Z = Z E; m := m 2; Opgave 2.1: Analoog aan de hier afgeleide FFT op N punten met N = 2 t een tweemacht, welke gebaseerd is op herhaalde tweedeling, kunnen we ook een snel algoritme afleiden op basis van driedeling als N een macht van 3 is. Leid hiervoor de algoritme af.
5 REFERENCES 112 References [1] M. Hestenes & E. Stiefel, Methods of conjugate gradients for solving linear systems, J. Research NBS, 49, pp , [2] C. Lanczos, An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators, J. Research NBS, 45, pp , [3] J.K. Reid, On the method of conjugate gradients for the solution of large sparse systems of linear equations, Proc. Conf. on Large Sparse Sets of Linear Equations, Academic Press, New York, [4] J.A. Meijerink and H.A. van der Vorst, An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix, Math.of Comp., 31, pp , [5] G.H. Golub & C.F. Van Loan, Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, USA, 1 ste druk, 1983, 2 de druk, 1988, 3 de druk, [6] R. Bulirsch & J. Stoer, Introduction to Numerical Analysis, Springer Verlag, Berlin, (Ook verkrijgbaar in een goedkope duitstalige pocketeditie). [7] D. Kincaid & W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks & Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, USA, 1991; 2de druk, 1996.
Syllabus Numerieke Analyse I en II
Syllabus Numerieke Analyse I en II P. de Groen Abstract Deze syllabus omvat hoofdstukken over een aantal onderwerpen die in de cursus behandeld worden: Afrondfouten, Fast Fourier Transformatie, interpolatie,
Nadere informatie1 Interpolatie en Approximatie
1 INTERPOLATIE EN APPROXIMATIE 8 1 Interpolatie en Approximatie In dit hoofdstuk bespreken we methoden om een gegeven functie van een veranderlijke te benaderen met een (gemakkelijk berekenbare) functie
Nadere informatie5 Totale kleinste kwadraten
5 TOTALE KLEINSTE KWADRATEN 49 5 Totale kleinste kwadraten 5a Beste benadering in IR Als we de verzameling punten V := {, 2,, m } in IR hebben gegeven en we vragen welk punt z het dichtst bij al deze punten
Nadere informatie7 Stelsels niet-lineaire vergelijkingen en minimalisatieproblemen
7 STELSELS NIET-LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN MINIMALISATIEPROBLEMEN 72 7 Stelsels niet-lineaire vergelijkingen en minimalisatieproblemen 7.a Probleemstelling in één dimensie Bepaal de oplossing van de volgende
Nadere informatie4 B-splines. 4.a Definities en elementaire eigenschappen 4 B-SPLINES 40
4 B-SPLINES 4 4 B-splines 4.a Definities en elementaire eigenschappen In plaats van de bereening van een spline-benadering via een loale-polynoomrepresentatie per deelinterval, unnen we oo een basis iezen
Nadere informatie6 Geconjungeerde gradienten
6 GECONJUNGEERDE GRADIENTEN 59 6 Geconjungeerde gradienten Laat A IR n n een symmetrische positief definiete matrix zijn, d.w.z. A T = A en er is een γ > 0 zodat x T Ax γ x T x voor alle x IR n, (6.1)
Nadere informatieSyllabus Numerieke Analyse I en II
Syllabus Numerieke Analyse I en II P. de Groen Abstract Deze syllabus omvat hoofdstukken over een aantal onderwerpen die in de cursus behandeld worden: Afrondfouten, Fast Fourier Transformatie, interpolatie,
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieDerde college complexiteit. 7 februari Zoeken
College 3 Derde college complexiteit 7 februari 2017 Recurrente Betrekkingen Zoeken 1 Recurrente betrekkingen -1- Rij van Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... Vanaf het derde element: som van de voorgaande
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatieHet uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,
Nadere informatie. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieDEC SDR DSP project 2017 (2)
DEC SDR DSP project 2017 (2) Inhoud: DSP software en rekenen Effect van type getallen (integer, float) Fundamenten onder DSP Lezen van eenvoudige DSP formules x[n] Lineariteit ( x functie y dus k maal
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieSTEEDS BETERE BENADERING VOOR HET GETAL π
STEEDS BETERE BENADERING VOOR HET GETAL KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. We bespreken een oplossing voor de (veralgemeende) opgave Noot 4 uit Wiskunde & Onderwijs nr.139. Onze inspiratie halen we uit het
Nadere informatieWISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 4 1.2.2 Definitie
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatiecompact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieHertentamen 8D040 - Basis beeldverwerking
Hertentamen 8D040 - Basis beeldverwerking 6 augustus 203, 4:00-7:00 Opmerkingen: Maak elke opgave op een apart vel. Antwoord op vraag 4 mag gewoon in het Nederlands. Een gewone rekenmachine is toegestaan.
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde
Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieNumerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder
Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Department EOR Vrije Universiteit Amsterdam Huispagina: http://personal.vu.nl/a.a.n.ridder/numprog/default.htm 4 oktober 2016
Nadere informatieDiscrete Fourier transformatie
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 7/8 Les Discrete Fourier transformatie We hebben in de vorige lessen gezien hoe we met behulp van de Fourier transformatie voor een in het tijdsdomein gegeven signaal
Nadere informatieGroepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Nadere informatie1. Trapeziumregel en Rechthoekregel
bij N5.4-7 Num.Integratie blz 1 Maart 1994 vervangt N5.4-6 NUMERIEKE INTEGRATIE Inleiding Er zijn twee omstandigheden waarbij we een integraal zouden willen berekenen maar dat niet kunnen, met de tot nu
Nadere informatieExamen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
Nadere informatieOpgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
Nadere informatieExamen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 2014)
Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 204). Maclaurin reeksen. Geef met bewijs de Maclaurin reeksontwikkeling van de logaritmische functie ln( + x). Geef ook het convergentie-interval van
Nadere informatieDivide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatieControle structuren. Keuze. Herhaling. Het if statement. even1.c : testen of getal even of oneven is. statement1 statement2
Controle structuren De algemene vorm: 1 bloks door middel van indentatie Keuze Herhaling if expressie :...... In de volgende vorm is het else gedeelte weggelaten: if expressie :... Het if keuze- of conditioneel
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In
Nadere informatie2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?
Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen
Nadere informatieRelatieve fout, maximum relatieve fout, absolute fout en maximum absolute fout. γ < ε X X X. = γ X
2 oct 95 Inhoud foutenanalyse interpolatie, approximatie, splines FFT numerieke integratie numerieke lineaire algebra (niet te vinden in de cursus, wel kopiekes bij ig) Stelsels niet lineaire vergelijkingen
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieDEC DSP SDR 5 Dicrete Fourier Transform
DEC DSP SDR 5 Dicrete Fourier Transform Familie van Fourier transformaties Fourier Transform Fourier Series Discrete Time Fourier Transform Discrete Fourier Transform Berekening van een frequentie spectrum
Nadere informatieNaam: Studierichting: Naam assistent:
Naam: Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 4 november
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieBeeldcompressie. VWO Masterclass 08. 21 oktober 2008
Beeldcompressie VWO Masterclass 08 21 oktober 2008 1 Voorbereiding In dit practicum doen we hetzelfde als in het hoorcollege (Fourier-transformatie op geluid), maar dan voor plaatjes. Jullie werken in
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006
1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie
Nadere informatieVermenigvuldigen van grote getallen en het Schönhage-Strassen Algoritme
Vermenigvuldigen van grote getallen en het Schönhage-Strassen Algoritme Inleiding door Theo Kortekaas Vermenigvuldigen doen we allang niet meer uit ons hoofd. Vaak wordt het voor ons gedaan. Denk aan de
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieONDERDRUKKEN VAN LEK NAAR ZIJLOBBEN BIJ HET BEREKENEN VAN AUTO- EN KRUISSPECTRA M.B.V. PAST FOURIER TRANSFORMS
ONDERDRUKKEN VAN LEK NAAR ZIJLOBBEN BIJ HET BEREKENEN VAN AUTO- EN KRUISSPECTRA M.B.V. PAST FOURIER TRANSFORMS G. Klopman Waterloopkundig Laboratorium 24 februari 1989 1. Inleiding Bij het bepalen van
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieLineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Nadere informatieZesde college complexiteit. 19 maart Mergesort, Ondergrens sorteren Quicksort, Shellsort
College 6 Zesde college complexiteit 19 maart 2019 Mergesort, Ondergrens sorteren Quicksort, Shellsort 1 Vorige keer Voor sorteeralgoritmen gebaseerd op arrayvergelijkingen, waarbij per arrayvergelijking
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieZevende college complexiteit. 7 maart Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort)
College 7 Zevende college complexiteit 7 maart 2017 Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort) 1 Inversies Definitie: een inversie van de permutatie A[1],A[2],...,A[n] is een paar (A[i],A[j]) waarvoor
Nadere informatieZevende college Algoritmiek. 6 april Verdeel en Heers
Zevende college Algoritmiek 6 april 2018 Verdeel en Heers 1 Algoritmiek 2018/Backtracking Programmeeropdracht 2 Puzzel 2: D O N A L D G E R A L D + R O B E R T Elke letter stelt een cijfer voor (0,1,...,9)
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatie5 Afronden en afkappen
WIS5 1 5 Afronden en afkappen 5.1 Floor en ceiling Floor en ceiling Conversiefuncties van reële getallen naar gehele getallen. x = het grootste gehele getal et x x = het kleinste gehele getal et x Uitspraak:
Nadere informatieAlgoritmiek. 15 februari Grafen en bomen
Algoritmiek 15 februari 2019 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices) en E een verzameling van
Nadere informatieSpeciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieAchtste college complexiteit. 2 april Polynoomevaluatie Matrixvermenigvuldiging Euler- en Hamiltonkringen
College 8 Achtste college complexiteit 2 april 2019 Polynoomevaluatie Matrixvermenigvuldiging Euler- en Hamiltonkringen 1 Polynoomevaluatie Zij p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 een polynoom
Nadere informatieUniversiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14
Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het
Nadere informatieSteeds betere benadering voor het getal π
Wiskunde & Onderwijs 38ste jaargang (2012 Steeds betere benadering voor het getal π Koen De Naeghel Samenvatting. We bespreken een oplossing voor de (veralgemeende opgave Noot 4 uit Wiskunde & Onderwijs
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieen-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,
Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatie6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 21 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Vectorruimte
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 21 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Lichaam Lichaam (Körper, Field):
Nadere informatieThesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)
Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen
Nadere informatieRecursion. Introductie 37. Leerkern 37. Terugkoppeling 40. Uitwerking van de opgaven 40
Recursion Introductie 37 Leerkern 37 5.1 Foundations of recursion 37 5.2 Recursive analysis 37 5.3 Applications of recursion 38 Terugkoppeling 40 Uitwerking van de opgaven 40 Hoofdstuk 5 Recursion I N
Nadere informatieZevende college algoritmiek. 23/24 maart Verdeel en Heers
Zevende college algoritmiek 23/24 maart 2017 Verdeel en Heers 1 Algoritmiek 2017/Backtracking Tweede Programmeeropdracht 0 1 2 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 Algoritmiek 2017/Backtracking Tweede Programmeeropdracht
Nadere informatierecursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie
Hoofdstuk 5 Recursion I N T R O D U C T I E Veel methoden die we op een datastructuur aan kunnen roepen, zullen op een recursieve wijze geïmplementeerd worden. Recursie is een techniek waarbij een vraagstuk
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatie8 Oefeningen Numerieke Analyse
8 OEFENINGEN NUMERIEKE ANALYSE 82 8 Oefeningen Numerieke Analyse 8.a Fouriertransformatie 1. Een complexwaardige functie f op de reële rechte en zijn Fouriergetransformeerde g voldoen aan de volgende relaties:
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieEnkele bedenkingen bij het examen Complexe Analyse
Enkele bedenkingen bij het examen Complexe Analyse De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Eerst een paar algemene opmerkingen. Vele antwoorden zijn slordig opgeschreven wat het lezen
Nadere informatieTentamen 8D040 - Basis beeldverwerking
Tentamen 8D040 - Basis beeldverwerking 6 augustus 2008, 14.00-17.00 uur Vraag 1. (1.5 punten) Gegeven het binaire beeld Components (figuur 1). De componenten in dit beeld moeten automatisch gesegmenteerd
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatie