Antwoorden Taal van wiskunde 1

Transcriptie

1 Antwoorden Taal van wiskunde Juli 00 W.v.Ravenstein Inhoudsopgave Antwoorden Taal van wiskunde... Inhoudsopgave... Hoofdstuk Inleiding... Hoofdstuk Getallen en letters... Hoofdstuk Vergelijkingen oplossen... 6 Hoofdstuk Kwadraatafsplitsen en de ABC-formule... 8 Hoofdstuk 5 Wortels en machten... 9 Hoofdstuk 6 Logaritmen... 0 Hoofdstuk 7 Het oplossen van vergelijkingen... EINDE... Laatst bijgewerkt op dinsdag 0 oktober 0

2 Hoofdstuk Inleiding Opdracht Het gaat hier om punt in de betekenis van plek of plaats. Opdracht Balk, ruit, verhouding, graaf, oplossing, functie, ongelijkheid, ellips, parabool, hyperbool Opdracht Opdracht 6 Opdracht d. 5 e. 9 7 f. 80 g. h. 9 5 i. 9 j. 8 De stelling van Pythagoras!. Wordt er bedoeld de kans op totaal vijf ogen of dat je een vijf gooit?. Er staat niet dat je gokt, dus kan je er niets zinnigs over zeggen.. Je weet niet waar de grens ligt voor een voldoende. De uitspraak is niet waar. Opdracht 8 Het zijn vernielde stoelen De uitdrukking gaat over een kat en t is niet nou maar nauw. 'Gebeurt' moet hier met een 't' en dan is iets met de tijd van begrijpen. of Het gebeurde wel vaker dat je eerst iets niet begreep. Wordt moet zonder t. In deze zin zit geen fout Opdracht 9 De rector heeft de leerling op spijbelen betrapt en een berisping gegeven. Onder samentrekking verstaan we het verschijnsel dat in een samengestelde zin een gemeenschappelijk zinsdeel maar eenmaal wordt genoemd als gevolg van taalspaarzaamheid. Het zinsdeel 'de leerling' is samengetrokken: 'de leerling' hoort immers ook achter 'en' gedacht te worden. Deze samentrekking is fout, omdat 'de leerling' in het eerste geval een lijdend voorwerp is en in het tweede geval een meewerkend voorwerp. De dames en heren worden verzocht niet te roken. Onder incongruentie verstaan we ongelijkheid in getal en persoon tussen onderwerp en persoonsvorm. 'De dames en heren' wordt als onderwerp gezien. Het onderwerp is echter 'niet te roken'. Het verzoek niet te roken wordt gericht aan de dames en heren. Een aantal leerlingen hebben het huiswerk niet gemaakt. Een aantal is enkelvoud. Het moet heeft zijn.

3 Tot dusver hebben wij niet eerder met dergelijke problemen te maken gehad. In de tautologie wordt tweemaal hetzelfde gezegd met andere woorden. Met Tot dusver en niet eerder zeg je twee keer hetzelfde. Hij kan helaas niet komen. Want hij is ziek. Het is niet correct om een bijzin los te koppelen van de zin waarbij hij hoort. Opdracht 0 Bij het boomdiagram zijn de kansen bij de verschillende takken niet even groot. De zes mogelijkheden hebben dus niet dezelfde kans. P( rood, groen) = = 9 Opdracht Dit is niet fout, maar wel een beetje onhandig. Opdracht 5 beesten hebben in ieder geval 5 = 70 poten. Voor de konijnen blijven er dan nog extra poten over. Dat zijn dan konijnen en kippen.

4 Hoofdstuk Getallen en letters Opdracht Wat is een functie? Zie b? 9x y = y = 9x + y = 9x y = x Plotten? Dat is met de GR. Opdracht ( a + b) ( a b) a b = = a b als a + b 0 a + b a + b a = niet waar... a + ab ab a a = = als a 0 a + ab a + b + b ( ) a( a + b) a + ab = = a als a + b 0 a + b a + b ( a ) ( a ) ( ) ( ) a a + a = = als a 0 a a + a a + d. Bergparabool e. (0, -) Opdracht Optellen : A, B en C : D : E Vermenigvuldigen : A : B : C : D 5: E, F, G en H Machtsverheffen : A : B, C en D : E Neem a =, b = en c =. De formule geeft ² + ² - ² = = Neem a =, b = en c = 5. De formule geeft ² + 5² - ² = = Neem a = n, b = n+ en c = n +. De formule geeft n² + (n + )² - (n + )² =

5 Opdracht 6 Neem H: hoogte van de 'hele' piramide Inhoud afgeknotte piramide = 55 Neem H: hoogte van de 'hele' piramide Inhoud afgeknotte piramide = 77 h Opdracht 7 Een 9-hoek heeft 7 diagonalen en een 0-hoek heeft 5 diagonalen Een 50-hoek heeft 75 diagonalen en een 000-hoek heeft diagonalen. A(n) = n ( n ) Opdracht 8 De vader is 6, de zoon is en de dochter is 6. Opdracht 9 c = b ± a Opdracht 0 x = y x = y Opdracht f(x) = sin(x) f(x) = x, f(x) = x,... f(x) = x x 6x Enz... 5

6 Hoofdstuk Vergelijkingen oplossen Opdracht x= x=- of x= x=0 of x= d. x= of x=- Opdracht p = p = of p = 0 x = x = Opdracht klopt 9 klopt niet 6 x = x = klopt niet klopt! 5 klopt niet + 5 klopt! x x + x 87 + x 87 + x x 87 + x 87 + x x : 7 Opdracht 6 x = of x = Opdracht 7 x=0 of x=00 Opdracht 8 x = of x = + x = 6 x=0 of x= x = 9 x = - of x = Opdracht 9 x = of x = Opdracht 0 x = of x = - x = x = of x = 0 x = 0 of x = -6 x = of x = d. x = - of x = - 6

7 Opdracht x=7 of x=- x=0 of x=7 of x=- x=0 of x= of x=- d. x = - of x = e. x = f. x = 8 of x = 6 g. x = 6 of x = 7 h. x = -5 of x = Opdracht (x )(x + ) (x )(x + ) (x )(x + ) d. (x ) e. (x )(x ) 7

8 Hoofdstuk Kwadraatafsplitsen en de ABC-formule Opdracht Dat gaat niet. x = - Dat gaat niet. Opdracht = = ( ) = x = 5-7 of x = x = - of x = + Geen oplossing Opdracht Top (-,-) Top (, ) Top (, ) ( ) ( ) = = = ( ) Klopt Opdracht 6 x² - x + =0 x = of x = d. x = of x = g. x = of x = geen oplossing e. x = 0 of x = 8 h. x = 0 ( -) = 6 ( -) = 6 ( ) = 6 = 6 Klopt! x = 0 of x = x = + 0 f. x = i. Voor p = 6 Opdracht 7 ax + bx + c = 0 b c x + x + = 0 a a (x x )(x x ) = 0 Zodat : b b x + x = x + x = a a c x x = a 8

9 Hoofdstuk 5 Wortels en machten Opdracht x = of x = Opdracht 68 = = = 0 98 = 70 Opdracht 6 6 = = en = = = = 0 0 Opdracht = = = Opdracht = = = en 6 6 = = 8 Opdracht 8 5 y = x = = Opdracht 9 x 5 x 5 Opdracht 0 x = d. x = 5 x = geen oplossingen 9

10 Hoofdstuk 6 Logaritmen Opdracht 5 7 = = = :6 = : = = 8 56 = = = 6 Opdracht x = x = x =,06,0099 d., Opdracht x = x = x = Opdracht,665,5 Opdracht Opdracht 7 Opdracht Opdracht 9 log(6),585 log(6),6 log(6) 0,778 Opdracht 0 g log(x) = 0 x = (,0) J x 0 g lim log(x) = 0

11 Hoofdstuk 7 Het oplossen van vergelijkingen Opdracht gebroken vergelijking d. exponentiele vergelijking g. vergelijking met absolute waarde vierdegraads vergelijking e. kwadratische vergelijking h. goniometrische vergelijking wortelvergelijking f. logaritmische vergelijking x = x = d. = 5 x = x = x = x = e. t x = 6 x = 6 8 g. h. x x = π + k π met k Z Opdracht x = x = x = Opdracht x = = = = x = π + k πmetk Z i. logaritmische vergelijking geenoplossing f. x = + 7 i. x = 66 x = 66 x = π + k π x = π + k πmetk Z x = 9 x = 6 x x 6 x x = x = x = d. x = x = x = x = ± 5 x = 7 Opdracht 6 x = 5 x = x = 7 Opdracht 7 α = π + k π met k Z x = β = π + k π β = π + k π 6 6 d. x = 6 γ = π + k π met k Z d. α = π + k π α = π + k π Opdracht 8 α = k π α = π + k π 5 5 e. Zie α = π + k π f. α = k sin α + sin α = 0...en dan?: ) π EINDE

12 Voorwoord Inhoudsopgave Voorwoord... Hoofdstuk Bewijzen met volledige inductie... Hoofdstuk Inleiding in de getaltheorie... Hoofdstuk Bewijzen... 6 Hoofdstuk 5 De grafische rekenmachine... 7 Hoofdstuk 7 Verzamelingen... 7 Hoofdstuk 8 Waarheidstabellen en omkeerbare stellingen... 9 Hoofdstuk 9 Logica, bewijzen en valkuilen... Laatst bijgewerkt op dinsdag 0 oktober 0 Hoofdstuk Bewijzen met volledige inductie Opdracht Opdracht = k k = Schrijf een stukje uit! n n n n n n a + a b + a b a b + ab + b = n n 0 n n n n 0 n n k k a b + a b + a b a b + a b + a b = a b = k k = 00 k= 0 k = k= = = = k 6 k = = 00 = π = 0 π k= 0

13 Tebewijzen: n = n n+ Stap:neemn = ( ) = en ( + ) = Klopt voorn = Stap:neemn n + (n + ) = n+ n+ + n ( n+ ) + (n + ) = ( n+ ) ( n+ ) ( n+ ) { n + ( n+ ) } = ( n+ ) ( n+ ) ( n+ ) { n + n + } = ( n+ ) ( n+ ) ( n ) ( + n+ ) = ( n+ ) ( n+ ) Klopt! Opdracht Tebewijzen: n = n Stap:neemn = = en = klopt voorn = Stap:neemn + ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) n + (n + ) = n+ n + (n + ) = n+ n + n + = n+ n + n + = n+ Klopt! + n+ n n+ n n+ n+ n Te bewijzen: + is deelbaar door 7 Stap:neemn = + = + = 8is deelbaar door 7.Klopt voorn =. Stap:neemn + ( n+ ) + ( n+ ) + is deelbaar door 7 + is deelbaar door is deelbaar door 7 n+ n is deelbaar door 7 ( ) n+ n+ n is deelbaar door 7 Klopt!

14 Hoofdstuk Inleiding in de getaltheorie Opdracht De delers van 7: en De delers van 00:, 7,,, 77, 9, en De delers van 0:,,, 8, 6,, 6, 8, 56, 5 en De delers van 60:,,,, 5, 6, 8, 9, 0,, 5, 8, 0,, 0, 6, 0, 5, 60, 7, 90, 0, 80 en 60. Opdracht : = rest 9 : 6 = 7 rest : = rest 0 m = 5 en n = 5 5 = = m = 00 en n = 6 00 = = = = + 0 m = en n = = 7 + = + = + 0 Met het algoritme kan je de grootste gemene deler bepalen.

15 Opdracht Ggd(0, 78) = niet relatief priem Ggd(56, ) =, dus relatief priem Ggd(00, 5) = 5, dus niet relatief priem d. Ggd(6, ) =, dus niet relatief priem e. Ggd(00, 00) = dus relatief priem f. Ggd(, ) =, dus niet relatief priem = 9 9 mod = Aankomsttijd: uur. Opdracht 6 Is deelbaar door 9? +++=0 nee niet deelbaar door 9 Is deelbaar door 9? Nee. Is 897 = 078? (mod 9) 8 (mod 9) = 0 (mod 9). Dat klopt niet. d. En is 5 5 = 67975? Nee, toch niet. De negenproef geeft geen garantie als het goed is. Wel zekerheid als het fout is. Opdracht 7 Je moet 5 vermenigvuldigen met om (modulo 7) te krijgen. Je moet vermenigvuldigen met 6 om (modulo 7) te krijgen. De vermenigvuldigingstabel van modulo Bovengenoemde eigenschappen kloppen hier niet meer. Je moet 5 vermenigvuldigen met om (modulo 6) te krijgen. Je kunt geen getal vinden waarmee je kan vermenigvuldigen om (modulo 6) te krijgen. Je kunt bij modulo 6 niet altijd terug rekenen. 6 is geen priemgetal. Opdracht 8 Bereken het Kgv van: Kgv(, )=56 Kgv(8, 0) = 0 Kgv(98, 0) = 66 5

16 Opdracht 9 Waarom werkt de som van de cijfers bij deelbaarheid door 9? Voorbeeld!? Waarom is deelbaar door 9? Omdat +++=9 en dat is deelbaar door 9, dus is ook deelbaar door 9. betekent = Reken modulo 9 dan staat er links: (mod 9) + (mod 9) + En rechts staat 0 modulo 9 Waarom werkt het algoritme voor de deelbaarheid door? mod = 0 mod = - 00 mod = 000 mod = mod = mod =- Enz Opdracht = Aantal delers = 9 = 8 Opdracht Noemdit getalg. Omdat5 = 5geldt: G = p q Neemp = enq = G = Hoofdstuk Bewijzen Opdracht Bijn = + + is zeker deelbaar door Ja nee Opdracht Onderzoeken of deelbaar is door,, 5, 7,,,. Of gebruik een algebra-programma: DERIVE: 6 PRIME( ) TRUE 6

17 Als a = n -m, b = nm en c = n + m a + b = c ( n -m ) + ( nm) = ( n + m ) n n m + m + n m = n + n m + m n n m + m n m = n m Klopt! + n m = n + n m + m Hoofdstuk 5 De grafische rekenmachine Opdracht 6 = = 6 Bij een breuk kan je teller en noemer delen door hetzelfde getal. Vereenvoudig 6 + = 6 + = Opdracht De functie f(x) = 6 x 8x heeft als asymptoot x=0. Hijgebruikt log(x )inplaats van log(x ) Hoofdstuk 7 Verzamelingen Opdracht Wat staat hier? {x Z x + 6 = } { } {x Z x 6 = } {x R x = x} { 0,} d. {x Q x = } e. N Z Q R C N is een deelverzameling van Z is een deelverzameling van Q is een deelverzameling van R is een deelverzameling van C 7

18 Opdracht Je kunt niet schrijven als een breuk. Zie verderop voor het bewijs. N' N waar + Opdracht Z N waar N waar { } d. {0,,,} {,6,9,} = niet waar het moet zijn. e N waar f. R waar g. N\ N' = {0} waar 6 8

19 Hoofdstuk 8 Waarheidstabellen en omkeerbare stellingen Opdracht Toon aan: ( A B) = A B Opdracht Is 'A B' hetzelfde als ' A B'? Nee: Is 'A B' hetzelfde als 'B A'? Nee. Is 'A B' hetzelfde als ' B A'? Ja! 9

20 Nee, uit x²=9 volgt x= of x=-. Nee, uit ab>50 volgt niet a>0 en b>5. Nee, uit (a= en b=) of (a= en b=) volgt niet a+b= en ab=. Ik kan net zo goed afleiden dat: a-b = en a b =a Maar dat is heel iets anders dan dat er stond... Dus (a+b=) a b= (a= b=) (a= b=) klopt. Maar (a= b=) (a= b=) (a+b=) a b= dat is echt onzin. Opdracht Het gaat er dus niet om of bij 'A B' het 'mogelijk' waar zou kunnen zijn, maar of uit A ook 'echt' B volgt. Je kan dat makkelijk controleren als je er van uit gaat dat je alleen A weet. Had je dan zonder B te weten kunnen 'bedenken' wat er bij B staat? In dit geval gaat dat echt niet lukken denk ik... Als je maar lui genoeg bent dan word je vanzelf een goed wiskundige? Nee dus. Je kunt ook op andere manieren schade toebrengen aan je omgeving. Een vierkant is wel altijd een ruit, maar een ruit is niet altijd een vierkant. A B is waar (gegeven!) Daar wordt niets over gezegd... Je hebt dan niet opgelet. d. Daar wordt niets over gezegd... Opdracht 6 ( A B) A B is waar ( ) (( ) ( )) ( ) (( ) ( )) (( ) ) ( ) ( ) isniet waar (( ) ) ( ) isniet w ( ( )) (( ) ( A C) ) i A B B C A C is waar A B C B A C B is waar d. A B A B e. A B C A C f. A B C A B aar s waar 0

21 Hoofdstuk 9 Logica, bewijzen en valkuilen Opdracht Niet waar. De echte delers van zijn,, en 6 en dat is samen 5 en 5 is groter dan. De stelling klopt niet. Opdracht Neem twee getallen die verschillen, bijvoorbeeld n en n+. Dan is n(n+)+=n +n+=(n+). Dit laatste is een kwadraat. 0 Als log rationaal is dan: 0 p log = metpenq(p,q N)waarbijdebreukniet verderkan q worden vereenvoudigd. p 0 p q p q p q 0 ( ) log = 0 = 0 = 5 = q Maar dat gaat niet lukken!(waarom niet?) Tegenspraak! log is irrationaal! Opdracht De rode en groene driehoek hebben helemaal niet dezelfde helling. Kijk maar naar de richtingscoëfficiënt. Het verschil is precies hokje verdeeld over de hele lengte... Deze puzzel heeft ook iets te maken met de rij van Fibonacci. Moraal: tekeningen kunnen misleidend zijn! Als Klaas de waarheid spreekt, dan liegt Piet, maar dan spreekt Jan de waarheid en dat kan niet want als Klaas de waarheid spreekt dan liegen Piet en Jan beide. Als Jan de waarheid spreekt dan liegt Piet. In dat geval spreekt Klaas de waarheid, maar dat kan niet want dan zou Jan moet liegen en we gingen er nu juist van uit dat Jan de waarheid sprak. Als Piet de waarheid spreekt dan liegt Klaas. Dus Jan en Piet liegen niet allebei en dat klopt want Jan liegt en Piet spreekt de waarheid. Conclusie: Piet spreekt de waarheid. Moraal: dit is vanuit een oogpunt van formele logica lastig omdat er uitspraken gedaan worden over uitspraken... Zou je hier een tabel bij kunnen maken? Ik denk 't wel... maar soms is (een beetje gestructureerd) 'hypothese: opstellen, toetsen en (wel of niet) verwerpen' ook een goede methode.

22 Opdracht 6 Vouten schrijft je met een 'f' en de '' is fout, want er zit maar één fout in de zin... o nee... dus toch twee... dus klopt het toch... of juist niet? Maar is het nu waar of niet...!? 't Is een voorbeeld van zelfverwijzing... en dat leidt tot een paradox. Moraal: zelfverwijzing leidt makkelijk tot onverwarbare paradoxen... uitkijken! Opdracht 7 Uit (a-c)²=(b-c)² volgt niet noodzakelijk dat a-c=b- Denk maar aan: (-)²=² betekent niet dat -=.

23 Antwoorden bij reader taal van de wiskunde Willem van Ravenstein februari 009 Hoofdstuk Opdracht Opdracht V = n n > 7 n Opdracht Ja, ja Allemaal aftelbaar Hoofdstuk Opdracht D = R enb = R f + f = R f = R0 D enb + + f = R0 f = R0 D enb d. D = R enb = [,] f e. D = R\ { 0} enb = R\ { 0 } f f f f Opdracht f injectie surjectie bijectie f(x)=x+ ja ja ja f(x)= nee nee nee f(x)=x nee nee nee f(x)=x sin(x) nee ja nee f(x)=(x-) ja ja ja x = y x = y Niet mogelijk Opdracht e is fout, e is juist. Voor x>0 is y=ln(x) een bijectie. x=- x= x = π + k π x = π + k πmetk Z Opdracht 6 D = R\ { } enb = R\ { } f x = eny = P(,) y + d. Ja, x = y f

24 Hoofdstuk Opdracht Opdracht Je deelt factoren weg die inderdaad naar nul toe gaan, maar die factoren zijn niet nul. f'(x) = x + x + 8 Hoofdstuk 5 α = π + k πof α = π + k π α = π + k π α = π + k π d. α = π + k π Opdracht α = π + k π α = π + k πof α = π + k πof α = π + k π α = π + k π d. α = π + k π Hoofdstuk Opdracht x + 6 lim = 0 x x x + lim = 0 x x + x x lim x (x ) x d. lim = x (x ) Opdracht Goed Fout Goed d. Goed e. Goed f. Goed g. Fout h. Goed Voor alle epsilon groter dan nul is er een delta groter dan nul zodat als de absolute waarde van x-a groter dan nul en kleiner dan delta is dan is f(x)-b kleiner dan epsilon. Opdracht Klopt. Opdracht 6 Formule van Euler 5 beroemde constanten en hoofdbewerkingen. Opdracht 7 Geen idee

25 Hoofdstuk 6 Geen antwoorden, maar wel wat aanwijzingen. Opdracht Eigenschappen waar je aan kan denken: Een lijn die twee evenwijdige lijnen snijdt, maakt daarmee gelijke F-hoeken. De som van de hoeken in een driehoek is 80. Opdracht Eigenschappen waar je aan kan denken: In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk. De som van de hoeken in een driehoek is 80 Als je twee gelijke F-hoeken hebt dan zijn de lijnen evenwijdig. Als twee driehoeken gelijkvormig zijn dan bestaat er een vaste verhouding tussen de overeenkomstige zijden. Bij een verhoudingstabel kan je van alles uitrekenen. Het gaat hier om de manier waarop variabelen een rol spelen. Opdracht 7 Bij de eerste vraag gebruikt de leerling een niet bestaand begrip en bij de tweede vraag lijkt diagionaalvlak een soort van vlakheid!? Kortom: de leerling weet waarschijnlijk niet wat er wordt bedoeld. Opdracht 8 In het stukje tenslotte onder de vraag staat wel een soort aanwijzing. Hoofdstuk 7 Opdracht Er is een standaard oplossing en een handige oplossing. Opdracht Waarschijnlijk is dit anders dan je zou verwachten. Richt je ter voorbereiding van deze bijeenkomst vooral op de proeftoets. februari 009 december 00 Opdracht Let op woorden die verwijzen naar een wiskundig begrip. Meestal zijn dat woorden die een hele andere betekenis hebben in normaal Nederlands. Eén van de dingen klopt niet. Opdracht 6 Let vooral op wiskundige begrippen zoals je die rondom functies en grafieken tegen komt.