8 Vermoedens en bewijzen. bladzijde a C = C!ADC!BEC (hh) ADC = BEC = 90 Uit!ADC!BEC volgt AC DC

Transcriptie

1 8 Vermoedens en bewijzen badzijde 7 40 a =!!E (hh) = E = 90 Uit!!E vogt = dus E =. E b EF = F = 90 FE = F (overstaande hoeken)!ef!f (hh) Uit!EF!F vogt F EF = dus F F = F EF. F F Gemengde opgaven 5

2 4 a * b F 4 E G te E = x. EF = F dus E = 4 (geijkbenige driehoek) E = x 4 = x = 4 (overstaande hoeken) = x E F = 80 (hoekensom driehoek) F + F = 80 (gestrekte hoek) F = dus F = (geijkbenige driehoek) F + + = 80 (hoekensom driehoek) + + = 80 (gestrekte hoek) F = E + 4 F = x = x = F + = x + x G = 4x us G = 4 E c = 4x = x = x us = E ofwe E =. 4 a Vermoeden: e baan van N is de cirke met middeijn M. b Gegeven: Een cirke met middepunt M, en punt binnen de cirke. e ijn door snijdt de cirke in en. Het midden van is N. N igt op de cirke met middeijn M. N M M = M N = N!MN!MN (ZZZ) MN = MN dus MN = MN MN + MN = 80 (gestrekte hoek) MN = MN = 90 MN = MN = 90 dus igt N op de cirke met middeijn M (Thaes). 4 a Vermoeden: QR is een paraeogram. b Gegeven: Vierhoek met de diagonaen en. is midden van, Q het midden van, R het midden van en het midden van., Q, R en iggen niet op één ijn. QR is een paraeogram. Q = =!Q! (zhz) = Uit!Q! vogt Q =, dus Q // (F-hoeken). Op dezefde manier kun je bewijzen dat R //, // en QR //. Q // R // Q // R QR is een paraeogram // // QR QR // 5 Gemengde opgaven

3 badzijde 7 44 EF = E (overstaande hoeken) = = 90 = + = = 89, dus = 7!EF!E (hh) F E = E! is een vergroting van!e met factor, dus E = = 7 = 8 en E = = 5 = 7. E = - E = 7-8 = 8 F E = geeft F E 4 8 = 7 F = = a Gegeven: e cirkes c en c met middepunten M en M die ekaar raken in het punt, de ijn die c raakt in het punt en c raakt in het punt Q. e gemeenschappeijke raakijn in snijdt Q in T., Q en iggen op één cirke met middepunt T. Teken, M,, en M. = = 90 (raakijn) = (geijkbenige driehoek) = dus T = T (geijkbenige driehoek) Op dezefde manier bewijs je QT = T. us T = QT = T en hieruit vogt dat, Q en op één cirke iggen met middepunt T. c M M T Q c b Gegeven: zie a. TM is een koordenvierhoek. M T = 90 (raakijn) M T = 90 (raakijn) M T + M T = 80 dus TM is een koordenvierhoek (omgekeerde koordenvierhoeksteing) M c T M c Q Gemengde opgaven 5

4 c Gegeven: Zie a en verder middeijn QR., en R iggen op één ijn. Uit a vogt dat op de cirke met middeijn Q dus Q = 90 (omgekeerde steing van Thaes) QR is middeijn dus QR = 90 (omgekeerde steing van Thaes) us, en R iggen op één ijn. R = 80 M c T R M c Q badzijde 7 46 Gegeven: Zie de figuur hiernaast. //, = en = e raakijnen aan de spiege in en staan oodrecht op ekaar. Teken //. // en //, dus is een paraeogram en hieruit vogt + = = 60 (twee gestrekte hoeken) + = = 80 = = = 80 + = 80, dus + = 90 = = 90 (hoekensom driehoek) us de raakijnen in en staan oodrecht op ekaar. 47 a k c M M M e middepunten iggen op, want de cirkes raken c in. e middepunten iggen op de bissectrices k en, want de cirkes raken k en, dus de middepunten van de cirkes hebben geijke afstanden tot k en. 54 Gemengde opgaven

5 b k c M x = 90 (Thaes) dus ook = 90. = 90 (raakijn) M = 80 - M = 80 - x = = x = 90 - x = 90 - = 90 - (90 - x) = x = M = 80 - x - x = 80 - x = 80 - = 80 - (80 - x) = x = = 80 - x - (90 - x) = 90 - x = = 80 - x - 90 = 90 - x c Gegeven: Zie figuur G.. = = M = 90 - M (zie b) = 90 - M (zie b)! is geijkbenig dus =. = M (zie b) dus!m is geijkbenig dus = M. = M = = = M badzijde Q is een koordenvierhoek dus Q + Q = 80. Q = 80 - Q = = 90 is een koordenvierhoek dus + = 80. = 80 - = = 90 Q = Q + = = 80 dus igt op Q. 49 a Vermoeden: e omgeschreven cirke van gaat door de raakpunten van c en c en c en c. b Gegeven: c Zie figuur G.4. E is een koordenvierhoek. c d E c M d M Gemengde opgaven 55

6 c c d E c M d M M = M E M = M = straa c + d = E (geijkbenige driehoek) M = M M M E = M M!M E!M (zhz) dus = E + E = 80 (gestrekte hoek) E = + E = 80 = Uit + E = 80 vogt E is een koordenvierhoek (omgekeerde koordenvierhoeksteing). c E is een koordenvierhoek, dus E op de cirke door, en.,,, en E op één cirke. is een koordenvierhoek (bewijs zoas bij b), dus op de cirke door, en. 56 Gemengde opgaven