UITWERKINGEN. Wiskunde. voor het hoger onderwijs. Deel A. Sieb Kemme Wim Groen Harmen Timmer Chris Ultzen Jan Walter. Gewijzigde vijfde editie

Transcriptie

1 UITWERKINGEN Dl A Wiskun voor t or onrwijs Si Kmm Wim Gron Harmn Timmr Cris Ultzn Jan Waltr Gwijzi vij iti

2

3 Wiskun voor t or onrwijs Dl A Uitwrkinn

4

5 Wiskun voor t or onrwijs Dl A Uitwrkinn Si Kmm Wim Gron Carolin Kooln To van Plt Harmn Timmr Cris Ultzn Jan Waltr Erst ruk Nooro Uitvrs Groninn/Houtn

6 Colopon Ontwrp omsla: Rokt Inustris, Groninn Omslal: Gtty Imas Opmaak n tknwrk: Euativ Avizn Kmm BV Evntul op- n aanmrkinn ovr z o anr uitavn kunt u ritn aan: Nooro Uitvrs v, Alin Hor Onrwijs, Antwoornummr, 9700 VB Groninn, -mail: ino@nooro.nl Dz uitav is rukt op FSC-papir. / 009 Nooro Uitvrs v Groninn/Houtn, T Ntrlans. Bouns in o kratns Auturswt van 9 stl uitzonrinn ma nits uit z uitav worn vrvlvoui, opslan in n automatisr vnsstan o opnaar maakt, in ni vorm o op ni wijz, tzij lktronis, manis, oor otokopiën, opnamn o ni anr manir, zonr vooraaan sritlijk tostmmin van uitvr. Voor zovr t makn van rprorais vrvlvouiinn uit z uitav is tostaan op ron van artikl 6 Auturswt 9 int mn aarvoor vrsuli vroinn t volon aan Stitin Rprort (postus 060, 0 KB Hooorp, Voor t ovrnmn van lt(n) uit z uitav in lomlzinn, rars n anr ompilatiwrkn (artikl 6 Auturswt 9) kan mn zi wnn tot Stitin PRO (Stitin Puliati- n Rproutirtn Oranisati, postus 060, 0 KB Hooorp, All rits rsrv. No part o tis puliation may rprou, stor in a rtrival systm, or transmitt, in any orm or y any mans, ltroni, manial, potoopyin, rorin, or otrwis, witout t prior writtn prmission o t pulisr. ISBN (ook) ISBN

7 Voorwoor Dit uitwrkinnok vat uitwrkinn van all oninn n ontotsn ij l A van sri Wiskun voor t or onrwijs. Elk sri lijksoorti oninn int mt n stl volli uitwrkinn. Van voln oninn wort an alln t antwoor vn. Mr ompl opavn zijn onsqunt volli uitwrkt. Ht oook Ht oook van sri Wiskun in t or onrwijs, l A vat tori n oninn. D linkrpaina s zijn onsqunt rsrvr voor tori n rtrpaina s voor ijorn oninn. Tori n oninn staan altij irt ij lkaar. Dit maakt n zlstani n ativ manir van sturn molijk. Sommi oostukkn vattn n asluitn pararaa mt Topassinn. Aan t in van lk oostuk staat n pararaa Hoozakn. Daarin staan onrwrpn i aan t in van t oostuk paraat motn zijn. Mt n Tots ovr t l oostuk kan zlstani worn naaan in ovrr sto aawrklijk rst wort. Onrstunin mt ICT En inloo t toan tot wsit waarop tra oninn mt antwoorn t vinn zijn. Dz tra sto is ol om no snl vn t onn, ijvoorl kort voor n tntamn. D sri Wiskun voor t or onrwijs D niuw sri Wiskun voor t or onrwijs is opouw uit ln A n B. Dl A is stm voor ovran van avo/mo naar t HBO n vat noi lmntair wiskuni knnis n vaarin i noi zijn om mt sus aan n stui op t HBO t innn. Dl B it, naast n uitriin van t wiskuni arsnaal, n stvir wiskuni asis, uitwrkt in praktis topassinn.

8 Inou Hoostuk : Alra. Haakjs wwrkn 6. D vrmnivulital 7. Mrkwaari proutn 9.4 Envoui vrlijkinn. Ontinn in atorn n vrlijkinn oplossn 4.6 Brukvormn.7 Rknrls voor matn 6.8 Grokn matn 7.9 Omwrkn van ormuls 9 Tots 0 Hoostuk : Funtis. Wat is n unti?. Formul, tal, raik. Domin n rik.4 Knmrkn van n raik 7. Vranrinn Tots Hoostuk : Linair untis. y a + 4. p + qy + r 0. Formul opstlln 6.4 Vrsuivn 7. Vrtiaal vrmnivulin 8.6 Snijpuntn rknn 9.7 Linair onlijkn 40.8 Invrs 4.9 Topassn 4 Tots 4 Hoostuk 4: Kwaratis untis 4. Almn vorm Kwaraat asplitsn Uitrst waarn Nulpuntn 4. D isriminant 4.6 Dri ormulvormn Vrsuivn 4.8 Vrmnivulin Snijpuntn rknn Onlijkn 9 4. Topassn 6 Tots 6 Hoostuk Grokn untis. Ortoonal yproln 66. Vrmnivulin n suivn 68. Tw ormulvormn 69.4 Funtivoorsrit opstlln 70. Snijpuntn van lijn n yprool 7.6 Onlijkn 7.7 Topassn 78 Tots 8 Hoostuk 6: Matsuntis 6. Matsuntis Vltrmuntis 8 6. Wortluntis Invrsn van wortluntis Vrsuivn Vrtiaal vrmnivulin Funtivoorsrit opstlln Vrlijkinn Onlijkn Topassn 96 Tots 98 Hoostuk 7 Dirntiërn 7. Vranrin op n intrval Lokal vranrin Tru naar raik D ali unti Rls voor t irntiërn () Rls voor t irntiërn () D kttinrl Stijn, aln, trm waarn Topassn 0 Tots

9 Hoostuk 8: Mtkun 8. Hokn 4 8. Zijn n okn 8. Brkninn in riokn D sinusrl n osinusrl 7 8. Vtorn Brkninn mt vtorn Inwni prout 8.8 Omtrk n opprvlakt 8.9 Inou Tots Hoostuk 9: Goniomtris untis 9. D nisirkl 7 9. Raialn n oolntn 9 9. Omrknn Sinusuntis 9. Cosinusuntis 9.6 Prio, amplitu, vnwit 9.7 Vrsuivn Vrmnivulin Tannsuntis D ali 4 Tots 4 Hoostuk 0: Goniomtris ormuls 0. Formuls 4 0. Somormuls n vrsilormuls Sinusvrlijkinn Cosinus- n tannsvrlijkinn 0. Onlijkn() 0.6 Onlijkn() Topassn 60 Tots 6 Hoostuk : Eponntiël untis. Eponntiël untis 64. D roiator 66. Bwrkinn mt raikn 67.4 Funtivoorsrit opstlln 69. Vrlijkn 7.6 Onlijkn 7.7 Topassn 7 Tots 7 Hoostuk : Loaritmis untis. D loaritm 77. Loaritmis untis 78. Formuls 80.4 Transormatis 8. Funtivoorsrit opstlln 8.6 Vrlijkinn 8.7 Onlijkn 88.8 Topassn 9 Tots 9 Hoostuk : Intrrn. Opprvlakt 96. D oostllin van intraalrknin 97. D opprvlakt tussn tw raikn 98.4 Onpaal intraln 0. Topassn 0 Tots 04

10 6 Hoostuk Alra Alra. Haakjs wwrkn. D vrmnivulital. Mrkwaari proutn.4 Envoui vrlijkinn. Ontinn in atorn n vrlijkinn oplossn.6 Brukvormn.7 Rknrls voor matn.8 Grokn matn.9 Omwrkn van ormuls Tots. Haakjs wwrkn a ( + ) : (6 + ) : (6 ) 8 : ( 6) 4 : :,4 0,4 i (4( + 7) (6 4)) (4() (6 4)) (4() 4) (48 4) (4) 7 j a () + () () + ().4 + ().4 0 ( ()) ( (6)) ( + 6) (7) ( 0,) (,), 6, ( ) + 4 ( 7 ) i 9 4 a 0, 0,, 0, 0, 4 0, 0, 9,7 0, 0, 0, 0, 0, 4 0, + 4 0, Nooro Uitvrs v

11 Hoostuk Alra 7 4 0, 4 6 0, , 4 ( 0 ) , 4a ( p + 6) p + 8 4(a ) a 8 ( 4) 4 6(4 + 7 ) ( 4) 64 (4 ) ( ) + ( + 4) 0 i s( s ) s + s j (8 4 m) 8+ 4m a 8( a+ ) a (8a+ 8 ) a 8a+ 8a ( + p)(p) ( p)(p) p+ p (( + p)(p)) ( p p ) p + p pq( r s t) pqr pqs pqt ( + y) + ( y+ 7 z) + y+ y+ z + 6y+ z ( + y+ 7 z) + 6y+ z ( uw ( ( v)) ( uw ( + v)) uw u + uv ( y( z)) ( y+ yz) y + yz 6a ( ) ( ) + Gruik t antwoor ij a: ( ( )) Gruik t antwoor ij : ( ( ( ))) ( ) Gruik t antwoor ij : ( ( ( ( )))) Gruik t antwoor ij : ( ( ( ( ( ))))) ( ) 4. D vrmnivulital a (u + v) (a ) a + u au u au +u v av v av v au +u+av v Nooro Uitvrs v

12 8 Hoostuk Alra a ( y) ( + y z) y z + 6y z +6yz y y y yz yy +yz y +7yz+yz a ( n 7)( n+ ) n + n 7n n 4n ( p+ )( q) p pq+ 4 q ( )( ) (7 s)( s+ ) 7s + s s s + s+ ( 7)( + 7) a ( + 4)( 6) ( y)( + y) 4 + y y y 4 y ( + y) ( + y)(+ y) 4 + 6y + 6y + 9y 4 + y + 9y ( y) ( y)( y) 4 6y 6y + 9y 4 y + 9y (a )(+ a) 6a+ 9a 4 6a 9a 4 ( v 7)(+ 4) ( v 7)(7) 7v 49 ( + 8)( + ) ( + 4 a)( a+ ) a+ 6+ 4a + 8a 4a + a+ 6 i ( + 9) ( + 9)( + 9) j ( t 4) ( t 4)( t 4) t 4t 4t+ 6 t 8t+ 6 p (p+ 4) 6p + 8p (t )(t+ ) 4t + 0t 6t 4t + 4t (q + p)( q p) q pq + pq p i (p+ q)( q+ p) 0 pq + 4 p q + 0 pq q + 4 p j ( 6)( + ) ( + 6 )( + ) Nooro Uitvrs v

13 Hoostuk Alra 9 a ( + + y)( + ) y+ y + + y+ + y p( p+ q) p+ p pq ( )( + + ) + + ( + t)( t t ) t t + t t t t t ( y )( + y) + 9y y y 6y + 8y y 6y (pq )( p + q) pq p q + pq + p q ( + s + t)( s t) s t+ s s st+ t st t s st t (m n+ q)( m+ n q) m + mn 4mq+ mn n + 6nq mq+ nq q m + mn mq n + 7nq q i ( + y+ z) ( + y+ z)( + y+ z) + y + z + y + y + yz + z + yz + z + y + z + y + yz + z j ( a + ) ( a + )( a + ) a a + a a a a + a + + a a + a a a ( )( + ) + ( )( + + ) ( )( ) ( )( ) Mrkwaari proutn a ( + y) + y + y + y + y + y ( y) y y + y y + y ( y)( + y) + y y + y y ( + p) ( + q) + p + q+ p q + (p + q) + p q Nooro Uitvrs v

14 0 Hoostuk Alra a i j ( + 4)( 6) 4 ( y)( + y) 4 y ( + y) 4 + y+ 9y ( y) 4 y+ 9y ( y)(y+ ) 9 4y (t )(t ) 4t 6t+ (q + p)(q p) 9q 4p 4 ( s + t) s + 0s t+ t 4 (p+ q)( q+ p) 4p q ( u+ w+ ) u + uw+ w + u+ w+ a a + 4a+ 4 ( a+ ) + 0 t+ t ( + t) ( ) 9 6+ st s t ( s t) 4w + 6vw+ 4v 4( w+ v) 9 0y + y ( y) ( + ) 4 q q q a 8 6a ( a 4 ) i p p+ ( p ) 4a a 4 4 a ( a)( + a) a ( a )( a + ) ( a )( a + )( a + ) 4 4 ( a )( a+ )( a + )( a + ) w w w ( w )( w+ ) ( n+ ) n n+ (+ ) ( + ) (+ + + )(+ ) ( + )( )) 6 t (4t+ ) (4t+ 4t+ )(4t 4 t ) (8t+ ) + + ( + )( + ) s + st + t s + t s + t 4 ( 7 )( 6 ) p p p p 4 ( 7)( + 6) q q q q + 4 ( + 7)( 6) r r ( r+ 7)( r) 4a + a ( a+ )(a ) Nooro Uitvrs v

15 Hoostuk Alra 6a i j 6 ( 4)( + 4) 0 y y y y + ( + 4)( ) 0 t t t t t t + ; + ( + )( ) 0 a a a a ( )( + ) 0 p p p p + 40 ( + 8)( ) 0 y 8y+ 6 y 9 ; y 0y+ ( y ) ; 0 4 ( 0 ) + + ( 7)( ) 0 q q q q q q q ; 84 ( )( + 7) 0 8 ; 6 0 ( 0) + ( )( + ) 0 y y y y y y y y ; 6 + ( + ) ( y ).4 Envoui vrlijkinn a 7 y y+ 4y 6 y 4 (7s ) + 7 7s 7 s n+ ( n+ ) n+ n + n t 9 t 9 t ( + ) ( t+ ) + ( + ) 9( t+ ) ( t+ ) 9t+ 9 t+ 4 t t ( 4 p) + (6 p 6) 0 4+ p+ 6p 6 p 0 p Nooro Uitvrs v

16 Hoostuk Alra a ( ) 6 6 ( ) ; ( ) 0 a ( p )( + p) 0 p, p (p )( + 4 p) 0, p p 4 ( )( + ) 0 p p p, p 4 ( )( + ) 0 p p p, p p 6, p 0 4a ( ) ( ) ( ) Los apart op: ( ) ( ) n ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )( ) ; ( ) ; ; 0 ;( + )( ) 0,, Nooro Uitvrs v

17 Hoostuk Alra a 6a r 0 r ± r 4 0 r ± ( r ) 4 0 r ± r o r ( r ) 4 0 r ± r o r r ± ( s ) s s s s s s ± t 6t t 6t+ 0 ( u+ ) u 6 4 u+ u ( ) 4 u + u+ u ( 6 9) 4 u + u+ u t t+ 4 0 D 8 4 < 0 Gn oplossin D 4 6< 0 Gn oplossin ( v ) v 4 8 Vrmnivuli rst links n rts mt 6. ( v ) v v v v 4v 6v+ 0 v, ( ) 6± ± 0 ± u + u+ 7a + ( + ) ( 0 + ) ( )( ) 0 o o 0 Zi onin Nooro Uitvrs v

18 4 Hoostuk Alra. Ontinn in atorn n vrlijkinn oplossn a a a a a + 8 ( + 8) t 7t t( t ) + 48 ( + 4 ) ( ) 9p 7p 9 p( p 8) (4+ ) 8q+ 8( q+ 4) ( + 4) i 8s 6 (4s+ ) j ( + 6 ) a a a a a ( ) 8t 6t t(9t 8) + 66 ( + 6 ) 4 ( 4) 8p + 7p 8 p( p+ 9) (4 + ) 8q+ 6 8(7 q) y 4 y y( y 9 ) i rs t + 9r st + rst rst(4s + r + t) j ( y) + y( y) ( y)( + y) a 40mn 6n 8 n(m n) y( z) + ( z) ( z)(y+ z) 4 + ( ) + ( + )( ) pqr + qrs + rst r( pq + qs + st) i j ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( w+ ) ( w+ ) ( w+ ) ( w+ ) ( w+ ) ( w+ ) a+ (a+ ) (a+ )( (a+ ) ) (a+ )( a )( + a+ ) (a+ )( a )(a+ 4) 4(a+ )( a+ )( a+ ) a + a + a a( a+ + a) + pq + pq + + pq + pq + + pq + ( ) ( ) ( )( ) r + 0r+ (r+ ) 4a i + 6 ( + 6) 0; 0, ( ) 0; 0, n + 7n n( n+ 9) 0; n 0, n 9 t t t t+ t t 8 ( 8) 0; 0, 8 0 ( 4) 0; 0, 4 4 ( ) 0; 0, r 9r r( r) 0; r 0, r y 4y y(9 y) 0; y 0, y 9 + r r r r r r + ( + ) 0; 0, Nooro Uitvrs v

19 Hoostuk Alra a i j 9 ; 9 0; ( 9) 0; 0, ;0 8 0;4 ( ) 0; 0, n n;n + n 0; n( n+ 7) 0; n 0, n 7 t t ; t + t 0 ; t( t+ ) 0 ; t 0, t + 7y 6y 0; 7 y( y 8) 0; y 0 ( + ) + ;( + ) ( + ) 0;( + )( + ) 0;, ( w) + w ; w+ w + w 0; w w 0; ww ( ) 0; w 0, w ( ) ; ( ) ( ) 0; p p p p ( p)( + p) 0 ; ( p)( + p) 0 ;, p p r r r ; r( r ) ( r ) 0 ; ( r )( r ) 0 ( r )( r+ )( r ) 0; r, r t t t t t + 0;,.6 Brukvormn a , 0,6 6 0,4 4, ,0 a a a a a a a a y zyz y yz z a + a+ a ( a ) a aa ( ) ( y) ( y) y y y 4 yz y yz z Nooro Uitvrs v

20 6 Hoostuk Alra a + + a + + a a a a a a a a a p+ pq p( + q) p + p q q q a ay ay az z a a a( a ) a a a p p p(p p) p (p ) p p p p p 4a a a a a a a a + a + + a a a a a a a 0 + a+ a + + a 4a 60a y y y + y y + + y y y y + ( ) ( ) ( ) ( ) a a a( a ) a a + + a ( a) ( a ) ( a ) ( a ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ).7 Rknrls voor matn a ( ) (7 ) (4 6 ) Nooro Uitvrs v

21 Hoostuk Alra 7 a 7 6 a a a a ( ) 7 4 yz 8 y 4 z 6 6 ( pq) ( pq) p q 0 a a 4 0 pqr pqr p q r p r 6 8 pr q r p q r q a 0 ( a ) z z z z a y y y 0 a a ( y) ( ) y 6 i j k a a a p a m p+ q+ p q p+ p+ 4 p a a a pm m m p 4 a p+ a p+ p+ 9 ( a ) a p a 4 p a ( ) 4 a p 6p 4a D snli van t lit is m/s: 0 8 D massa van n stoltj is 0, k: 7, ( 0 ) (6 0 ) (7 0 ) ( 0 ) ( 0 ),0 0 (6, 0 ) (, 4 0 ) (8, 0 ), ,96 * 0 0 :,976 * 0 4,8 0 kr zwaarr..8 Grokn matn a ( ) Nooro Uitvrs v

22 8 Hoostuk Alra a a a Kan nit vrr rli worn a a a pq pq pq a + a+ ( a+ ) a+ a a a 4 a 7( ) a a a s s s s s pq 7 r 4 yz p q r y z p pq p p q q q 6 p q p q r p q r 4 0,6 a ( a ) 7 4 0, 4 a a Nooro Uitvrs v

23 Hoostuk Alra 9.9 Omwrkn van ormuls 4 V r V r 4 r V 4 + v v v v v v + R + R R R R R R v R R Rv R + R 4a 00 R m+ R m+ 00 R R 00 R 00 m R R( ) 4 00 R m+ R m ( + R) 00 R m + R 00 R ( 00) R m m R 00 m R ( ) a a a a ( ) a ( ) a ( ) a a ( ) a M H P vm ( + m ) P v( M + m) M H P vm + P vm M H Pv m M H Pv M M H Pv M m Pv M H M Pv P U I n U I R P I R I I R R R I ; I P P E E z k m m v v v Omat massa m uit vrlijkin is vrwnn. Nooro Uitvrs v

24 0 Hoostuk Alra Tots a a (4 + 7 y) 6y + 6y+ 49y 4 ( r )( r+ )( r + 9) ( r 9)( r + 9) r 8 ( + p)( p)( 4 p ) ( 4 p )( 4 p ) p + 6 p ( + )( ) 6 ( t 6) t t + 6 ( a ) ( a ) 6( a ) 9 a + 4a+ 4 6a ( )( ) 4 y 64 y y ( y + 64) 4t+ 49 t ( 7 t) 9a+ a + 4 a a(9a + a+ 4 ) a(a+ ) 7 6 s s s s 4 ( 7)( + ) 4 t t + t t + t t t t+ t 9 8 ( 8 9 ) (9 )( ) 4 p q p q p + q p q p+ q p + q ( )( ) ( )( )( ) a + a + a( ) + ( ) ( a + )( ) a 4 y ( y) y y yy ( ) y y y y( y ) y y + y yy ( + ) y+ ( y) + y y+ y + y y y+ y y y y y + y y y + y y + y ( )( ) (0 ) (0 0) 0 Nooro Uitvrs v

25 Hoostuk Alra a ( ) ( ) 9 7 a a a ( a ) ( a ) a a ( a ) a 6a 7a 8a a a 7( a ²) a a ( )( + 6) 0, 6 80 w w 9w 80 w 9 p 0 p+ 0 ( p )( p ) 0 p, p r r r r r r ( r+ 6)( r ) 0 r, r 6 + ( + ) ( ) ( )( ) ( ) 4, 4+ ( )( 4) ( 4) r is n oplossin. 9 ( a ) ( a ) a a a a a a a( ) a Nooro Uitvrs v