FACULTEIT DER ECONOMISCHE WETENSCHAPPEN EN ECONOMETRIE

Transcriptie

1 FACULTEIT DER ECONOMISCHE WETENSCHAPPEN EN ECONOMETRIE Afdeling Kwantitatieve Economie Tentamen Leven Bedrifsanalyse en Embedded Value, 20 uni 2005, uur. [Tidens het tentamen mag de uitgereikte formulesyllabus worden gebruikt.] In de syllabus is de bepaling van de winst over een boekaar [ 1, ] met oprenting van de winst op sterfte en ontwikkeling portefeuille over het boekaar alleen uitgewerkt voor verzekeringen zonder winstdeling. In dit vraagstuk wordt gevraagd dit overeenkomstig uit te werken voor verzekeringen die delen in de winst overeenkomstig het contributiesysteem, waarbi we er eenvoudshalve van uitgaan dat er geen afkoop, royement, conversie en verwachte mutatie optreedt en verder dat voor iedere [t, t+dt] We(t )dν o (t)0. Verder delen de verzekeringnemers in de intrestwinst en de sterftewinst; de kostenwinsten en -verliezen komen voor rekening van de verzekeraar. De verzekeringen zin afgesloten tegen premie- of koopsombetaling. De balansvergeliking van de verzekeraar op tidstip t is LI(t)+BE(t)+RC(t)E(t)+νV(t)+νWF(t). Theoretisch gedeelte a. Laat uitgaande van bovenvermelde balansvergeliking zien dat de winst voor een portefeuille verzekeringen ν vermeerderd met de wiziging van de waarde van de winstfondsen gelik is aan de(t)+dνwf(t)di(t)+ds(t) dνv(t). (1) b. Geef afzonderlike formules in differentiaalvorm voor di(t), ds(t) endνv(t) voor dit geval. Voor di(t) gaat het om de splitsing van de intrest over eigen vermogen, voorzieningen en winstfondsen. In ds(t) nu ook winstuitkeringen op te nemen. c. Geef tevens een volledige verbale omschriving van di(t) ends(t), geheel overeenkomstig Hoofdstuk 2 van het leerboek. d. Substitueer de onder b opgestelde formules in het rechterlid van (1) en vereenvoudig de opgestelde formule zoveel mogelik door tegen elkaar wegvallende posten te schrappen en overeenkomstige posten naast elkaar op te nemen. Tenslotte dient in het laatste lid de termen betreffende de winst op sterfte en ontwikkeling portefeuille (vóór winstdeling) te worden vervangen door de term dwsm(t). De gelikheid uit dit onderdeel aan te duiden met (2). e. Er zin nu twee relaties verkregen voor de som de(t)+dνwf(t), te weten (1) en (2). Stel op grond hiervan een formule op voor dwsm(t), de winst op sterfte en mutaties voor winstdeling. f. Om de methodiek van oprenting van de winst op sterfte en ontwikkeling portefeuille te kunnen toepassen moet een geldstroom dsv(t) worden gedefinieerd, zodanig dat geldt dwsm(t)νdpi(t)+dsv(t) dνv(t). Bepaal dsv(t) door gelikstelling van de formules voor dwsm(t) uit e en f, en substitutie van de onder b opgestelde formule voor ds(t).

2 g. Toon uitgaande van de onder f vermelde formule voor dwsm(t) aan dat WSM[ 1, ] 1 1 e δ( t) dwsm(t) e δ( t) dsv(t)+e δ νv( 1) νv(). h. Bepaal overeenkomstig het leerboek de winst op intrest WIN[ 1, ] en de winst op kosten WKO[ 1, ]. Herleid de formule voor de winst op intrest tot WIN[ 1, ] 1 νdiv(t) (e δ 1)νV( 1) 1 (e δ( t) 1)dX(t), hierbi dx(t) zelf te bepalen. i. Hoe luidt de balans op t voor de verzekeraar voor het geval van embedded value berekeningen. Beschrif in woorden hoe de embedded value van een levensverzekeringsmaatschappi wordt berekend. Geef tevens aan waarom emdedded value berekeningen worden verricht.. Geef de verschillen tussen het hier beschreven contributiesysteem en het in het leerboek omschreven systeem van Contractuele Overrente Deling, indien verder gegeven is dat de verzekeraar slechts gemengde verzekeringen tegen premie afsluit. k. (vervolg op ) Voor een verzekering die blift lopen tot expiratiedatum is de uitkering bi in leven zin tezamen met het winstfonds gelik aan νu(νt e )+νwu(νt e ) νt i νt e D(t + ) D(νt e ) dy(t), hierin dy(t) zelf te bepalen als uitdrukking van differentialen van verzekeringsfuncties; een bewis hoeft niet te worden geleverd. Cifermatig deel We beschouwen een verzekeraar, zoals hiervoor omschreven over het kalenderaar [ 1,], waarbi aanvullende cifermatige gegevens worden verstrekt. Enkele onderstellingen worden aangepast, onder meer wat betreft de winstdeling, zie hierna. Verzekeringen worden slechts aangegaan tegen premiebetaling. De balans is op 1 anuari van het aar [ 1, ] als volgt samengesteld: Activa Passiva BE( 1) νv( 1) LI( 1) νwf( 1) RC( 1) E( 1) totaal totaal

3 Beleggingsportefeuille: De beleggingen bestaan op 1 anuari van het aar [ 1, ] uit obligaties, nominale waarde , met een intrest van 8% per aar, uit te keren in halfaarlikse terminen, op 1 april en 1 oktober. De balanswaarde van de beleggingen is gelik aan de nominale waarde, vermeerderd met de nog te vorderen intrest, die evenredig met de tid wordt berekend. Op 1 april wordt afgelost op de bestaande beleggingen en worden voor nieuwe obligaties gekocht. Deze obligaties hebben weer coupondata 1 april en 1 oktober, echter een nominale intrest van 6%. Op 1 oktober wordt afgelost op de 8% obligaties en wordt belegd in nieuwe 6% obligaties met coupondata 1 april en 1 oktober. De kosten van administratie en beheer van de beleggingen worden ondersteld nihil te zin. Verzekeringsportefeuille: Alle verzekeringen zin gesloten tegen aarpremie met vervaldag 1 april of 1 oktober. Op 1 anuari van het aar [ 1, ] bedraagt de stand van de aarpremie met vervaldag 1 april en de stand van de aarpremie met vervaldag 1 oktober eveneens Op 1 september worden enige verzekeringen beëindigd met de volgende uitkeringen: uitkering wegens expiratie: verzekerd kapitaal winstfonds uitkering wegens overliden: verzekerd kapitaal winstfonds De vervaldag van de aarpremie voor deze verzekeringen is 1 april, zodat de premie in het aar [ 1, ] nog betaald is. Voorts gaan op 1 oktober nieuwe verzekeringen in met een totale aarpremie van die voor het eerst verschuldigd is op 1 oktober van het aar [ 1, ], waardoor de totale op 1 oktober te ontvangen premie bedraagt. De in het aar [ 1, ] gemaakte kosten bedragen De voorziening verzekeringsverplichtingen op 31 december van het aar [ 1, ] bedraagt en is berekend volgens de netto methode. De batepremie (de netto aarpremie) bedraagt steeds 90% van de bruto aarpremie. De voorziening is berekend met een rekenrente van 4% per aar. De gemaakte winst over [ 1, ] wordt aan het eind van het aar verdeeld over het eigen vermogen en de winstfondsen van de verzekeringen die dan nog bestaan. De verdeling wordt nader toegelicht bi vraag n. Bi beëindiging van een verzekering in de loop van het aar wordt het op de voorafgaande balansdatum aanwezige winstfonds uitgekeerd.

4 Vragen: l. 1) Bereken de geldstroom 1 2) Bereken de in het aar ontvangen geldstroom ds(t) die in het aar beschikbaar komt uit de verzekeringen. 1 dbli(t) uit de beleggingen. 3) Bereken de balanswaarde van de beleggingen op 31 december van het aar, inclusief de te vorderen intrest. 4) Bereken de beleggingsopbrengst over het aar 1 di(t). 5) Het saldo van het Rekening Courantboek bedraagt op 31 december RC() (te vorderen). Bereken het saldo van de liquiditeitenrekening. m. 1) Stel de balans per 31 december van het aar samen, met als sluitpost het eigen vermogen plus de winstfondsen. 2) Controleer de toename van het eigenvermogen en de winstfondsen met behulp van de vergeliking 1 [de(t) +dνwf(t)] 1 [di(t)+ ds(t) dνv(t)]. (Zie onderdeel a) 3) Bepaal de winst vóór winstverdeling door de toename van het eigen vermogen en de winstfondsen te vermeerderen met de reeds uitgekeerde winstfondsen ten bedrage van Deze winst wordt nader geanalyseerd bi vraag n. n. 1) Bereken de winst op kosten. Er vindt geen oprenting van de kosten, resp. kostendekking plaats. 2) Bereken de winst op sterfte en ontwikkeling portefeuille met oprenting naar het eind van het aar op basis van de rekenrente. (Zie onderdeel g.) De daarbi te gebruiken oprentingsfactoren zin: 1 april tot 31 december: 1, september tot 31 december: 1, oktober tot 31 december: 1, ) Bereken de winst op intrest vóór winstverdeling en inclusief de aan het eigen vermogen toe te rekenen intrest. 4) Controleer de som van 1), 2), en 3) met de bi m3 berekende winst. o. Voor de verdeling van de winst over het aar gelden de volgende regels: Uit de totale intrestwinst wordt eerst het eigen vermogen, dat zoals eerder vermeld, op 1 anuari bedroeg, met 8% verhoogd.daarna worden de winstfondsen met 4% verhoogd, echter alleen voorzover de desbetreffende verzekeringen nog bestaan. Vervolgens wordt het restant te beschouwen als de overrente over voorziening en winstfondsen op de volgende wize verdeeld: 80% aan de winstfondsen en 20% aan het eigen vermogen. In aansluiting op onderdeel k wordt het resultaat op sterfte en ontwikkeling portefeuille toegevoegd aan de winstfondsen van de verzekeringen die zin bliven bestaan. Het kostenresultaat wordt toegevoegd aan het eigen vermogen. Bepaal tenslotte het eigen vermogen en het bedrag van de winstfondsen na de winstverdeling op tidstip.

5 Uitwerking tentamen Leven Bedrifsanalyse en Embedded Value d.d. 20 uni 2005 a. Het nemen van de differentiaal van linker- en rechterlid van de balansvergeliking en vervolgens substitutie hierin van geeft dli(t)dsli(t)+dbli(t) dbe(t)di(t) dbli(t) en drc(t)ds(t) dsli(t) de(t)+dνwf(t)di(t)+ds(t) dνv(t). (1) b. di(t)die(t)+νdiv(t)+νdiwf(t) ds(t)νdpb(t)+νdkb(t) do (t) νdu(t) udν o (t) Wu(t )[dν o (t)+dν ae (t)] dνv(t)νdpi(t) νdpr(t)+νdkb(t)+νdpb(t) νdu(t) νdo α (t) νdo β (t) Vdν o (t) c. We hebben di(t) dbe(t) + dbli(t) waarin BE(t)mBE(t)+mJ(t). dbe(t) stelt voor de waardeverandering van de beleggingen inclusief de te vorderen intrest. Deze kasstroom dbli(t) omvat de volgende onderdelen (ontvangst positief, uitgave negatief): ontvangen intrest, dividend en huur; ontvangen aflossing (hier staat wiziging in BE(t) tegenover); ontvangen voor verkochte beleggingen inclusief lopende rente; besteed voor nieuwe beleggingen inclusief lopende rente; gemaakte kosten voor administratie en beheer beleggingen. ds(t) is de verschuldigd geworden kasstroom over [t, t+dt], dus de som van de verschuldige premies en koopsommen verminderd met de verschuldigde kosten en uitkeringen over dit interval. d. de(t)+dνwf(t) die(t)+νdiv(t)+νdiwf(t) νdpb(t)+νdkb(t) do (t) νdu(t) udν o (t) Wu(t )[dν o (t)+dν ae (t)] [νdpi(t) νdpr(t)+νdkb(t)+νdpb(t) νdu(t) νdo α (t) νdo β (t) Vdν o (t)]

6 die(t)+νdiwf(t) Wu(t )[dν o (t)+dν ae (t)] + νdiv(t) νdpi(t) udν o (t)+vdν o (t)+νdpr(t) do α (t)+νdo α (t) do β (t)+νdo β (t) die(t)+νdiwf(t) Wu(t )[dν o (t)+dν ae (t)] + νdiv(t) νdpi(t) +dwsm(t) e. dwsm(t) do α (t)+νdo α (t) do β (t)+νdo β (t) (2) ds(t)+wu(t )[dν o (t)+dν ae (t)] +do α (t) νdo α (t)+do β (t) νdo β (t) +νdpi(t) dνv(t) f. Er moet gelden dwsm(t) νdpi(t) + dsv(t) dνv(t), zodat m.b.v. e en de formule voor ds(t) volgt dsv(t) ds(t)+wu(t )[dν o (t)+dν ae (t)] +do α (t) νdo α (t)+do β (t) νdo β (t) νdpb(t)+νdkb(t) νdu(t) udν o (t) νdo α (t) νdo β (t). Dus dsv(t) bevat geen winstuitkeringen en de kosten betreffen de kosten zoals opgenomen in de voorziening. g. Vermenigvuldiging van linker- en rechterlid van dwsm(t)νdpi(t)+dsv(t) dνv(t) met e δt levert

7 e δt dwsm(t) e δt dsv(t)+e δt δνv(t)dt e δt dνv(t) e δt dsv(t) νv(t)de δt e δt dνv(t) e δt dsv(t) d[ e δt νv(t)] Integratie over [ 1, ], gevolgd door vermenigvuldiging met e δ levert WSM[ 1, ] h. WIN[ 1, ] 1 1 e δ( t) dwsm(t) e δ( t) dsv(t)+e δ νv( 1) νv(). 1 Substitutie van νdiv(t) 1 νdpi(t) 1 (e δ( t) 1)dWSM(t) [A] e δ( t) dwsm(t) en 1 1 e δ( t) dsv(t)+e δ νv( 1) νv() νdpi(t)+ 1 dsv(t) 1 dνv(t) 1 dwsm(t) 1 in [A] geeft WIN[ 1, ] 1 νdiv(t) (e δ 1)νV( 1) 1 dus dx(t) dsv(t). (e δ( t) 1)dSV(t) Verder is WKO[ 1, ] 1 1 do α (t)+ 1 do β (t)+ 1 νdo α (t) νdo β (t) Let op: in dit geval WKO[ 1, ] 1 ds(t) 1 dsv(t) i. LI(t)+BE(t)+RC(t)EE(t)+N(t)+νV(t)+νWF(t). De embedded value wordt berekend als som van het vrie eigen vermogen en de contante waarde (op basis van de opbrengstintensiteit ζ) van de toekomstig uitkeerbare winsten uit de bestaande verzekeringsportefeuille. De embedded value wordt berekend om inzicht te verkrigen in de financiële ontwikkeling van het bedrif. Zie verder INTERMEZZO I op p. 206 van het leerboek.

8 . Bi het COD-systeem zin de spaarpremies aarliks gelik. Verder vindt belegging plaats in fictieve spaarcerticaten in plaats van in reële beleggingen. Geen winstdeling bi overliden bi het hier omschreven contributiesysteem. Tenslotte is er nog de extra uitkering bi overliden in het CODsysteem. k. dy(t)dνpb(t) dνpr(t) dνo α (t) dνo β (t) Cifermatig deel: l 1) 2) 1 1 ds(t) dbli(t) (4% van % van ) ) mbe() % obligaties %-obligaties ; mj() 2% van ,5% van BE() ) 1 di(t) 1 0 kwartaal 2% van en 3 0 kwartaal (2% van ,5% van )+ 4 0 kwartaal (2% van ,5% van Controle: 1 di(t) 1 dbli(t) 1 dbe(t) ( ) ) drc(t) +dli(t) ds(t) +dbli(t) 1 drc(t) + 1 dli(t) 1 ds(t) + 1 dbli(t) linkerlid RC() RC( 1) + LI() LI( 1) LI() LI() Rechterlid waaruit volgt LI()

9 m 1) Activa BE() LI() RC() totaal Passiva νv() E() +νw() totaal ) 1 [de(t) +dνwf(t)] 1 [di(t) +ds(t) dνv(t)] Toename E(t) + νwf(t) is ) De winst de(t)+νdwb(t)+νdiwf(t) de(t) +dνwf(t) + Wu(t )[dν o (t)+ dν ae (t)] is gelik aan n 1) Kostendekking: 10% van de bruto premie, dat is 0,1 [ ] Gemaakte kosten Resultaat op kosten (verlies). 2) Geldstroom SV over [ 1, ] 1 dsv(t) reservepremie 0, uitkeringen Met oprenting à 4% 1 1,04 t dsv(t) 0, , , ,9 [ ] 1, ,04 t dwsm(t) 1,04 νv( 1) + 1,04 t dsv(t) νv() ) De benodigde intrest is 0,04 νv( 1) De beleggingsopbrengst is ; de totale intrestwinst is dus ) Totaal 1) +2) +3)

10 o De totale intrestwinst is Af: 8% over Af: 4% over Resteert ; hiervan 80%, dat is voor de winstfondsen en 20%, dat is toevoeging aan het eigen vermogen. Bovendien wordt het resultaat op sterfte en ontwikkeling portefeuille van toegevoegd aan de winstfondsen. Het resultaat op kosten van wordt toegevoegd aan het eigen vermogen. Hierna is het bedrag van de winstfondsen , terwil het eigen vermogen Controle: eigen vermogen plus winstfondsen Dit bedrag stemt overeen met het bedrag berekend onder m1.