FACULTEIT DER ECONOMISCHE WETENSCHAPPEN EN ECONOMETRIE

Transcriptie

1 FACULTEIT DER ECONOMISCHE WETENSCHAPPEN EN ECONOMETRIE Afdeling Kwantitatieve Economie Tentamen Leven Bedrifsanalyse en Embedded Value, 25 anuari 2005, uur. [Tidens het tentamen mag de uitgereikte/gedownloade formulesyllabus worden gebruikt.] Een verzekeraar sluit slechts verzekeringen af overeenkomstig het in het leerboek omschreven contractuele overrentedelingssysteem. De verzekeringen zin dus beperkt tot winstdelende gemengde verzekeringen, die alle tegen aarlikse prenumerando gelikblivende premiebetaling worden afgesloten. Royement, conversie en verwachte mutatie wordt geacht niet voor te komen. Voor iedere verzekering ν wordt een netto voorziening berekend, die gelik aan de voorziening νvs(t) voor een met de gemengde verzekering corresponderende zuivere spaarverzekering met een aarliks gelik spaarbedrag. Voor een verzekering met duur n en verzekerd kapitaal νk hebben we dus als spaarpremie νps = νka n / ä n = νk / s n. We gaan uit van een rekenrente r, dus δ = n(1+r). Verder leggen we vast dνps(t)=νps d t νt i, dan geldt voor t νt i dνvs(t)=δνvs(t)dt +dνps(t) dνu(t); [1] voor t νt e leidt dit tot νvs(t)= νt i t e δ(t s) dνps(s). In verband met de winstanalyse wordt [1] voor willekeurige t herschreven als dνvs(t)=dνpi(t) dνpr(t)+dνpb(t) dνu(t) dνo β (t). [Hierbi te bedenken dat dνpi(t)=δνvs(t)dt en dνps(t)=dνpb(t) dνo β (t) dνpr(t); de discontinuïteiten van de functies νps(t), νpr(t), νo β (t) vallen alle samen met die van de functie νpb(t); de uitkering bi leven geschiedt in [νt e, νt e +0); verder νvs(νt i ) = 0, tevens dνo α (t) 0.] Het overrente-aandeel νoa(t) wordt voor νt i t νt e vastgelegd door νoa(t)=νsc(t) νvs(t), waarin de grootheid νsc(t) de totale waarde van de spaarcerticaten voor post ν voorstelt νsc(t)= t p t k max(t i,t p 5) νsc(t k, t); voor nadere details zie Hoofdstuk 8 van uw formulesyllabus. Het overrente-aandeel νoa(t) is te vergeliken met het winstfonds νwf(t) uit het boek.

2 De uitkeringsfunctie bi overliden is νu o (t) en de functie voor de winstuitkering bi overliden νwu o (t)=νeu o (t), waarbi de laatste functie voor νt p t < νt p +1 wordt vastgelegd door νeu o (t)=νoa(νt p ) (1+r) νt e νtp. De uitkeringsfuncties bi in leven zin νu(t) en νwu(t); deze laatste functie wordt vastgelegd als tredefunctie met een discontinuïteit gelik aan het overrente-aandeel νoa(νt e ) over [νt e, νt e +0); bi afkoop worden de betreffende uitkeringsfuncties vastgelegd door νu af (t) enνwu af (t). De gezamenlike activa op tidstip t worden weer vastgelegd door BE(t) en de decresfunctie D(t) door dd(t) = di(t). D(t + ) BE(t ) Overige onderstellingen als in het leerboek. De gehele opzet van het vraagstuk likt sterk op die van het contributiesysteem. a. Schrif de balansvergeliking op voor de verzekeraar met de gebruikelike actiefposten; aan de passiefkant het eigen vermogen op te nemen en verder beide posten νvs(t) en νoa(t). De post geaccumuleerde winst lopend boekaar wordt geacht te zin opgenomen onder het eigen vermogen. b. Laat uitgaande van de balansvergeliking uit a. zien dat de winst van de verzekeraar (toename eigen vermogen) gelik is aan de(t)=di(t)+ds(t) dνvs(t) dνoa(t). [2] Dit is dus de winst ná winstdeling, echter zonder winstanalyse. c. Geef afzonderlike formules in differentiaalvorm voor di(t) ends(t). Voor di(t) gaat het om de splitsing van de intrest over het eigen vermogen en gezamenlik de voorziening voor de zuivere spaarcontracten en de overrente-aandelen. In ds(t) nu ook de winstuitkeringen op te nemen. d. Bepaal dνvs(t) op basis van het voorafgaande, naar analogie van de wiziging van de totale voorziening over [t, t+dt] uit het boek. e. In het boek is de wiziging van het overrente-aandeel over een boekaar gegeven. Voor een interval [t, t+dt] kunnen we voor post ν schriven dνoa(t)=dνisc(t) dνpi(t), waarin dνisc(t) voorstelt de totale door de verzekeraar vergoede infinitesimale intrest over de voor verzekering ν op t bestaande spaarcertificaten. Geef een wiskundige formule voor dνisc(t). f. Bepaal vervolgens dνoa(t) naar analogie van de bepaling van dνvs(t) uit onderdeel d.

3 g. Bepaal de winst ná winstdeling voor de verzekeraar na winstanalyse over [t, t+dt] door substitutie van uw antwoorden voor di(t), ds(t), dνvs(t) endνoa(t) in [2]. Overeenkomstige termen te schrappen, bi elkaar horende termen naast elkaar op te nemen. h. De winst vóór winstdeling voor de verzekeraar over [t, t+dt] is gelik aan de(t)+νdoa(t)+[wudν o (t) OAdν o (t)+wudν af (t) OAdν af (t)]. [3] Constateer dat dan onmiddellik volgt de(t)+νdoa(t)+[wudν o (t) OAdν o (t)+wudν af (t) OAdν af (t)] =de(t)+dνoa(t)+[wudν o (t)+wudν af (t)+νdwu(t)]. [4] Demonstreer wiskundig dat op grond van g. de winst vóór winstdeling over [t, t+dt] dan gelik is aan de som van de intrest-, sterfte-, afkoop- en kostenwinst over [t, t+dt] (alles exclusief winstdeling). Uw formule aan te duiden met [5]. i. [extra, geen verplicht onderdeel van het tentamen; het maximaal te behalen cifer blift een 10.] Voor het contractuele overrentedelingssysteem kan op contractniveau voor post ν een accresfunctie νa(t) worden gedefinieerd, zodanig dat geldt voor a νt i t<νt e νsc(t)=νsc(a) νa(t) + νa(a) a t νa(t) dνps(s). νa(s + ) Hoe moet νa(t) dan worden gedefinieerd? Bepaal tevens de intrestwinst voor de verzekeraar voor post ν over [t, t+dt]. Cifermatig deel We beschouwen een verzekeraar, zoals hiervoor omschreven, over het kalenderaar [,], waarbi aanvullende cifermatige gegevens worden verstrekt. Enkele onderstellingen worden aangepast, zie hierna. De balans is op 1 anuari van het aar [, ] als volgt samengesteld: Activa Passiva BE() = νvs() = LI() = νoa() = RC() = -- E() = totaal = totaal = Beleggingsportefeuille: De beleggingen bestaan op 1 anuari van het aar [, ] uit obligaties, nominale waarde , met een intrest van 7% per aar, aarliks uit te keren op 1 uli. De balanswaarde van de beleggingen is gelik aan de nominale waarde, vermeerderd met de nog te vorderen intrest, die evenredig met de tid wordt berekend. Op 1 uli wordt voor nieuwe obligaties gekocht (dit bedrag is dan nog exclusief de

4 bi te betalen te vorderen intrest). Deze obligaties hebben coupondata 1 april en 1 oktober en een nominale intrest van 6%. Op 1 oktober wordt eveneens belegd in nieuwe 6% obligaties met coupondata 1 april en 1 oktober. De kosten van administratie en beheer van de beleggingen worden ondersteld nihil te zin. Verzekeringsportefeuille: Alle verzekeringen zin gesloten tegen aarpremie met vervaldag 1 mei of 1 oktober. Op 1 anuari van het aar [, ] bedraagt de stand van de bruto aarpremie met vervaldag 1 mei en de stand van de bruto aarpremie met vervaldag 1 oktober eveneens Op 1 september worden enige verzekeringen beëindigd met de volgende uitkeringen: uitkering wegens expiratie: verzekerd kapitaal overrente-aandeel uitkering wegens overliden: verzekerd kapitaal (voorziening ) winstuitkering (overrente-aandeel ) De vervaldag van de aarpremie voor beide beëindigde verzekeringen is 1 mei, zodat de premie in het aar [, ] nog betaald is. Voorts gaan op 1 oktober nieuwe verzekeringen in met een totale bruto aarpremie van die voor het eerst verschuldigd is op 1 oktober van het aar [, ], waardoor de totale op 1 oktober te ontvangen bruto premie bedraagt. De in het aar [, ] gemaakte kosten bedragen De voorziening verzekeringsverplichtingen op 31 december van het aar [, ] bedraagt (afgerond bedrag) en is gelik aan de opgerente waarde van de spaarpremies. De netto aarpremie bedraagt 90% van de bruto aarpremie. De voorziening is berekend met een rekenrente van 4% per aar. ds(t) die in het aar beschikbaar komt uit de verzeke- Vragen:. 1) Bereken de gecumuleerde kasstroom ringen. 2) Bereken de in het aar ontvangen kasstroom dbli(t) uit de beleggingen. 3) Bereken de balanswaarde van de beleggingen op 31 december van het aar, inclusief de te vorderen intrest. 4) Bereken de beleggingsopbrengst over het aar: di(t). 5) Het saldo van het Rekening Courantboek bedraagt op 31 december RC() = 0. Bereken het saldo van de liquiditeitenrekening.

5 k. 1) Stel de balans per 31 december van het aar samen, met als sluitpost het eigen vermogen plus het overrente-aandeel. 2) Controleer de toename van het eigen vermogen en het overrente-aandeel met behulp van de vergeliking [de(t) +dνoa(t)] = [di(t)+ ds(t) dνvs(t)]. (Zie onderdeel b.) 3) Bepaal de winst vóór winstverdeling door de toename van het eigen vermogen en het overrenteaandeel te vermeerderen met winstuitkeringen (zie onderdeel h, formule [4]). Deze winst wordt nader geanalyseerd bi vraag l. l. 1) Bereken de winst op kosten. Er vindt geen oprenting van de kosten, resp. kostendekking plaats. 2) Bereken de winst op sterfte (en ontwikkeling portefeuille) met oprenting naar het eind van het aar op basis van de rekenrente. (Zie onderdeel h, uw formule [5] en de overeenkomstige formule uit de formulebundel over het boekaar. Hierbi νv( ) te vervangen door νvs( )). De bi uw berekening te hanteren kasstroom dsv(t) bevat geen winstuitkeringen. De daarbi te gebruiken oprentingsfactoren zin: 1 mei tot 31 december: 1, september tot 31 december: 1, oktober tot 31 december: 1, ) Bereken de winst op intrest vóór winstdeling inclusief de aan het eigen vermogen toe te rekenen intrest. 4) Controleer de som van 1), 2), en 3) met de bi k3. berekende winst. m. Resteert de verdeling van de intrestwinst. Hiervoor is additioneel gegeven dat de som van de spaarpremies op de beide premievervaldagen gelik is aan 80% van de bruto premies. Verder bedraagt de hoogte van de te vergoeden spaarrente voor alle spaarcerticaten 5 1/2% per aar (er mag worden gerekend met enkelvoudige intrest). Bepaal dan de verdeling van de intrestwinst over verzekerden en verzekeraar. Bepaal tenslotte rechtstreeks νoa() en E(), en controleer vervolgens uw uitkomsten met de balanswaarde νoa() + E() uit k1. Puntenwaardering: theoretisch deel: cifermatig deel: a 5 f b 5 g 10 k 10 c 10 h 10 l 10 d 5 (i 10) m 10 e 5 totaal 60 (+10) + 40

6 Uitwerking tentamen Leven Bedrifsanalyse en Embedded Value d.d. 25 anuari 2005 a. De balansvergeliking is LI(t)+BE(t)+RC(t)=E(t)+νVs(t)+νOA(t). b. Optelling van de 3 formules levert dli(t)= dsli(t)+ dbli(t) (zie (2.29)) dbe(t) = di(t) dbli(t) (zie (2.26)) drc(t)= ds(t) dsli(t) (zie (2.28)) d[li(t) + BE(t) + RC(t)] = di(t) + ds(t). (3.3) zodat met behulp van a. resulteert de(t)=di(t)+ds(t) dνvs(t) dνoa(t). [2] c. di(t)= BE(t ) dd(t) D(t + ) = [νvs(t )+νoa(t )+E(t )] dd(t), D(t + ) leidend tot die(t)= E(t ) dd(t) D(t + ) en νdi(t)= [νvs(t )+νoa(t dd(t) )]. D(t + ) Verder is d. dνvs(t) ds(t)=νdpb(t) do (t) νdu(t) νdwu(t) u(dν o +dν af )(t) Wu(dν o +dν af )(t). = νdvs(t)+ Vsdν(t) = νdpi(t) νdpr(t)+νdpb(t) νdu(t) νdo β (t) Vsd[ν o (t)+ν af (t)], omdat Vsdν i (t) =Vsdν ae (t) =0. t e. dνisc(t)= δ(t k ) νsc(t k, t)dt, met δ(t p ) = n(1+ur(t p )). t k max(t i, t 5)

7 f. dνoa(t) = νdoa(t)+oadν(t) = νdisc(t) νdpi(t) νdwu(t) OAd[ν o (t)+ν af (t)]. g. Winst ná winstdeling, na winstanalyse: de(t) =die(t)+νdi(t) +νdpb(t) do (t) νdu(t) νdwu(t) u(dν o +dν af )(t) Wu(dν o +dν af )(t) [ νdpi(t) νdpr(t)+νdpb(t) νdu(t) νdo β (t) Vsd[ν o (t)+ν af (t)]] [ νdisc(t) νdpi(t) νdwu(t) OAd[ν o (t)+ν af (t)]] =die(t) + νdi(t) νdisc(t) + νdpr(t) udν o (t)+vsdν o (t) + OAdν o (t) Wudν o (t) udν af (t)+vsdν af (t) + OAdν af (t) Wudν af (t) + νdo β (t) do (t). h. Uit g. volgt door herschriven: de(t)+ νdisc(t) νdpi(t)+[oadν o (t) Wudν o (t)+oadν af (t) Wudν af (t)] =die(t) + νdi(t) νdpi(t) + νdpr(t) udν o (t)+vsdν o (t) udν af (t)+vsdν af (t) + νdo β (t) do (t). [5] Het gestelde volgt dan uit [3] en relatie νdoa(t) = νdisc(t) νdpi(t), zie opgave e.

8 i. We leggen νf(t) overeenkomstig (7.9) voor t νt i vast door νf(t)= νt i t dνisc(s) = νt i t dνa(s) νsc(s ) νa(s ) met als intrest dνisc(s) over de vigerende spaarcertificaten als door u vastgelegd in uw uitwerking onder opgave e. Omdat we als startwaarde willen hebben νa(νt i ) = 1 kiezen we νsc(νt i )= νsc(νt i +0) = νps. Dit leidt tot een continue functie νf(t), zodat de oplossing van νa(t) overeenkomstig (7.24) wordt vastgelegd door νa(t)=e νf(t). De intrestwinst voor post ν is over [t, t+dt] gelik aan [νvs(t )+νoa(t )][ dd(t) + dνd(t) ], D(t + ) νd(t + ) hierbi is νd(t)= 1/νA(t).. 1) ds(t) = ( ) ( ) ( ) = ) dbli(t) = 7% van ( ,5% van ) + 3% van = = ) BE() = ,5% van ,5% van = = ) di(t) = 7% van % van ,5% van = = Controle: dbli(t) = = di(t)+ dbe(t) = = ) drc(t) dli(t)= ds(t)+ linkerlid: LI() LI() = LI() dbli(t) rechterlid: = waaruit volgt: LI() = =

9 k. 1) Activa Passiva BE() = νvs() = LI() = νoa()+e() = RC() = -- totaal = totaal = ) [de(t)+dνoa(t)] = ( ) = [di(t)+ds(t) dνvs(t)] = ( ) = klopt! 3) [{de(t)+dνoa(t)+[wudνo (t)+νdwu(t)} = = l. 1) Winst op kosten: Beschikbaar: 10% bruto premie, dat is 0,1 * = Gemaakte kosten Resultaat op kosten: = ) Kasstroom dsv(t)=νdpb(t) νdu(t) udν o (t) νdo β (t). dsv(t) = 0,9 * ,9 * = Oprenting met 4% intrest 1,04 t dsv(t) = 0,9 * * 1, ,9 * * 1, * 1, * 1,0316 = ,04 t dwsm(t) = 1,04 νvs() νvs()+ = 1,04 * ,04 t dsv(t) = ) De gemaakte intrest is De benodigde intrest is 0,04 νvs() + (1,04 t 1)dSV(t) = =

10 Intrestwinst: = ) Totaal 1) + 2) + 3) = = , klopt met k3. m. Intrest over de spaarcertificaten: 0,055 *[νoa() + νvs() * 0,8 * 8/ * 0,8 * 3/12 ( ) * 4/12] = Dus intrestwinst verzekeraar = = νoa() =νoa() = (zie f.) E()=E() verlies op kosten + intrestwinst verzekeraar verlies op sterfte = = E() +νoa() = = (in balans, zie k1.: ).