6,1. Werkstuk door een scholier 3940 woorden 25 juni keer beoordeeld. Wiskunde B

Transcriptie

1 Werkstuk door een scholier 3940 woorden 25 juni ,1 354 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Definitie van de Gulden Snede De Gulden Snede is een populaire benaming voor een speciaal verhoudingsgetal, waarover veel verhalen de ronde doen. Zo zou het menselijk oog een voorkeur hebben voor voorwerpen die, qua onderlinge verhoudingen zoals lengte : breedte, in verhouding staan met de Gulden Snede. De Gulden Snede heeft, net als het getal p, oneindig veel cijfers. Een andere overeenkomst met het getal p is, dat de Gulden Snede ook een eigen symbool heeft, namelijk de j. Dit spreek je uit al "fie", het is de Griekse letter phi. Het exacte getal phi op een aantal decimalen j = 1, Het is natuurlijk veel makkelijker en exacter om het getal op zijn wiskundige manier te noteren, en niet af te ronden. ½(1+Ö5) "GULDEN SNEDE (ook gouden snede, sectio aurea, sectio divina) of verdeling in uiterste en middelste reden, noemt men een zodanige verdeling van een lijnsegment AB in twee delen AP en PB, dat het grootste stuk AP middenevenredig is tussen het kleinste stuk BP en de gehele lijn AB en derhalve AP²=AB x BP, uit welke de deelverhouding ½(-1+v5) voortvloeit. De oude Grieken bestudeerden deze deelverhouding (waaraan zij een bijzondere esthetische en mystieke waarde toekenden) met grote belangstelling en ook in later eeuwen hebben vele wiskundigen zich er mede beziggehouden. De gulden snede is ontleend aan de verhoudingen van het menselijk lichaam, ook aan die in dieren, bloemen, planten, kristallen enz." Bron: Algemene Encyclopedie Winkler-Prins Eerste berekening van de Gulden Snede In Griekenland was het altijd al gebruikelijk om, met name de tempels, via een bepaald meetkundig systeem te bouwen. Toen de wiskunde zich beter ontwikkelde, werden ook deze meetkundige systemen steeds ingewikkelder. Tempels werden altijd al gebouwd met een bepaalde lengte : breedte verhouding, maar gaandeweg de 4e eeuw voor Christus werd deze verhouding vastgelegd. Dit deed men niet direct met getallen, dus niet lengte : breedte is 5 : 3 of iets dergelijks. Men had daar een heel mooi systeem voor gevonden. Dit is de ideale rechthoek. Zijn lengte is de diameter van een halve cirkel, en zijn breedte is de zijde van de ingeschreven (grootst Pagina 1 van 11

2 mogelijke) vierkant in deze halve cirkel. Hoe bereken je nu de verhouding tussen deze lengte en breedte? Stel, je tekent deze rechthoek en cirkel uit, en benoemt de onbekende zijden als volgt: Het zou nu fantastisch zijn als je een verhouding tussen a en b zou kunnen formuleren. Gelukkig was er de Griek Eudoxus, die in de 4e eeuw voor Christus aan Plato s Academie studeerde, en een verhoudingsgetal tussen a en b wist te definiëren. Zie hier: dezelfde tekening, maar met een klein verschil: door tussen de punten AB en BC een lijn te trekken, zijn er twee gelijkvormige driehoeken ontstaan. Ü ABD ~ Ü BCD AB ~ BC AD ~ BD BD ~ DC AD = a + b BD = b DC = a AD : BD = BD : DC (a+b) : b = b : a Je kan ook zeggen: totaal : grote deel = grote deel : kleine deel totaal : M = M : m Stel b = 1 (a+1) : 1 = 1 : a Na kruislings vermenigvuldigen geeft dit (a + 1) * a = 1 * 1 a² + a = 1 a² + a - 1 = 0 Hierop laten we de ABC-formule los. ABC-formule A * x² + B * x + C = 0 D = B² - 4AC x = (B+ÖD) : 2A of x = (B-ÖD) : 2A a² + a - 1 = 0 A = 1, B = 1 en C = -1 D = 1² - (4 * 1 * -1) = 1 - (-4) = 5 a = (1 + Ö5) : 2 * 1 = ½ (1+Ö5) of a = (1 - Ö5) : 2 * 1 = ½ (1-Ö5) Pagina 2 van 11

3 De volgende dingen zijn later bekend komen te staan als de Gulden Snede: ten eerste de verhoudingsformule M : m = totaal : M en ten tweede het getal zelf ½ (1+Ö5) = 1,618 De Gulden Lijn Stel: Wanneer je een lijn van 1 meter lengte verdeelt in 2 stukken, een kleiner stuk van precies 38,2 cm en een groter stuk van 61,8 cm, dan is de verhouding tussen het kleine stuk (m) en het grote stuk (M) precies dezelfde als de verhouding tussen het grote stuk en de totale lijn. Deze verhouding komt overeen met het getal phi. 100 cm : 61,8 = 1,618 61,8 : 38,2 = 1,618 ½(1+Ö5) = 1,618 Als de Gulden Snede verhouding zou kloppen, dan zou kleine "helft" : grote "helft" = grote "helft" : hele lijn AP : PB = PB : AB De hele lijn is slechts een optelsom van de twee "helften". AB = AP + PB Nu heb je dus: AP : PB = PB : (AP + PB) Stel: AP = x PB = y Nu heb je dus: x : y = y : (x+y) Stel: x = 1 Nu heb je dus: 1 : y = y : (1 + y) Als je kruislings vermenigvuldigt, krijg je: 1(1+y) = y*y y²=1+y -y² + y + 1=0 Met de ABC-formule kun je nu het getal y berekenen. -y² + y + 1 = 0 A = -1 B = 1 C = 1 D= 1²- 4*-1*1 = 1 - (-4) = = 5 y= (1 + Ö5) : 2*1 = ½ (1 + Ö5) Pagina 3 van 11

4 of y = (1-Ö5) : 2*1 = ½ (1 - Ö5) En laat dat getal, ½ (1 + Ö5), nou toevallig net het getal phi zijn. De Gulden Rechthoek Als je van een grote rechthoek (ABCD) een vierkantje afhaalt (ABEF), moet de verhouding lengte : breedte van de grote rechthoek (ABCD) dezelfde zijn als lengte : breedte van de kleine rechthoek. Dan is deze verhouding overeenkomstig met het getal phi, en is er sprake van een Gulden Rechthoek. lengte grote rechthoek : breedte grote rechthoek = lengte kleine rechthoek : breedte kleine rechthoek In dit vierkant is dat dus: AD : AB = EF : DE Omdat AB = EF = AE en AD = AE + DE, kun je ook schrijven (AB + DE) : AB = AB : DE Stel AB = x DE = y dan kan je de formule herschrijven als (x+y) : x = x : y Stel, x = 1 Dan ziet de formule er als volgt uit: (1 + y) : 1 = 1 : y Na kruislings vermenigvuldigen geeft dat y * (1 + y) = 1 * 1 y + y² = 1 y² + y - 1 = 0 Hierop kun je de ABC-formule loslaten. A = 1 B = 1 C = -1 D = 1² - 4 * 1 * -1 = 1 - (-4) = 5 y = (1 + Ö5) : 2 = ½ (1 + Ö5) of y = (1 - Ö5) : 2 = ½ (1 - Ö5) Pagina 4 van 11

5 En weer komen we het getal phi tegen, als uitkomst van y, ½ (1 + Ö5) Als deze verhoudingen precies kloppen volgens de Gulden Snede, kun je het proces van delen van de rechthoeken eindeloos herhalen. Het bovenstaande plaatje is een voorbeeld van deze oneindige delingsreeks in de Gulden Rechthoek. Als je deze reeks volgt, krijg je een zogenaamde logaritmische spiraal. Deze spiraal zie je veel terug in de natuur, zoals bijvoorbeeld in schelpen. Wat is Fibonacci s reeks? In 1202 schreef de wiskundige Leonardo Pisano (beter bekend als Fibonacci; later meer over hem) een boek ("Liber Abaci" - Boek van het Telraam), waarin hij allerlei wiskundige problemen oplost. Hij behandelt o.a. het "konijntjesprobleem", ook bekend als de rij van Fibonacci. Stel dat een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar op de wereld zet, en dat na 2 maand ook dit paar geslachtsrijp is en elk maand een jong paar voortbrengt. Als ze allemaal in leven blijven, krijg je het volgende beeld. Aantal Maand Aantal Konijnenparen 1 Maand 1 Paren 2 Maand 1 Paren 3 Maand 2 Paren 4 Maand 3 Paren 5 Maand 5 Paren 6 Maand 8 Paren 7 Maand 13 Paren 8 Maand 21 Paren 9 Maand 34 Paren 10 Maand 55 Paren Tussen de getallen in deze reeks is een opmerkelijk verband te ontdekken: Elk getal is namelijk de som van de twee voorgaande getallen. Aantal Maand Som Aantal Konijnenparen 1 Maand 1 Paren 2 Maand 1 Paren 3 Maand 2 Paren 4 Maand = 3 3 Paren 5 Maand = 5 5 Paren 6 Maand = 8 8 Paren 7 Maand = Paren 8 Maand = Paren 9 Maand = Paren 10 Maand = Paren Pagina 5 van 11

6 Zo kun je de reeks oneindig voortzetten: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, enz. Aan de getallen uit de reeks van Fibonacci worden, evenals aan de Gulden Snede op zich, bepaalde magische eigenschappen toegeschreven. Dit komt vooral doordat de reeks van Fibonacci in verband staat met de Gulden Snede. Op welke manier dat is, daarop komen we zo dadelijk terug. Verband tussen Fibonacci s reeks en Gulden Snede De rij van Fibonacci en de Gulden Snede staan op een aparte manier met elkaar in verband. Als je twee opeenvolgende getallen van Fibonacci s reeks door elkaar deelt, evenaart dit quotiënt het getal phi, de Gulden Snede. Aantal Maand Aantal Paren Deling 1 Maand 1 Paren 2 Maand 1 Paren 3 Maand 2 Paren 4 Maand 3 Paren 5 Maand 5 Paren 5 : 3 = 1, Maand 8 Paren 8 : 5 = 1, Maand 13 Paren 13 : 8 = 1, Maand 21 Paren 21 : 13 = 1, Maand 34 Paren 34 : 21 = 1, Maand 55 Paren 55 : 34 = 1,61765 Ter vergelijking: het getal phi op 5 decimalen is 1,61803 Hoe verder je de Fibonacci-reeks volgt, hoe beter het quotiënt klopt met het getal phi. Kleine feitjes over de Gulden Snede Architectuur: het Parthenon De Grieken kenden het magische verschijnsel van de Gulden Snede al. De Griekse wiskundige Euclides noemde het in zijn geschriften, al deed hij geen verwijzingen naar de architectuur. Toch is het waarschijnlijk dat de Grieken de Gulden Snede veel toepasten in hun architectuur en beeldhouwkunst. Het bekendste voorbeeld hiervan is het Parthenon. Note: het is niet zeker dat de Grieken de Gulden Snede expres gebruikten. Er zijn voor- en tegenstanders van deze theorie, en aangezien wij er nou niet bepaald verstand van hebben, zijn we er voor het gemak maar even vanuit gegaan dat het de bedoeling was. Bovendien zegt het boek dat "de ontwerper de verhouding van de Gulden Snede vaak heeft gebruikt", dus dat nemen we dan maar aan. Het expres gebruik van de Gulden Snede in de architectuur is pas zeker vanaf de ontwerpen van Le Corbusier, maar daarover later meer. Het Parthenon is een oude Griekse tempel, gewijd aan Athena, Godin van de wijsheid en beschermster van de stad Athene. Het staat op de Akropolis, de tempelberg in Athene. Het Parthenon is ontworpen volgens wiskundige principes door Iktinos en Kallikrates. Pagina 6 van 11

7 De bouw duurde van 477 tot 438 voor Christus. De tempel is gebouwd in Dorische stijl, en heeft een grondoppervlak van 69,5 bij 30,5 meter. De zuilen zijn 10,4 meter hoog en 1,9 meter in diameter. Tot eind 6e eeuw werd het Parthenon gebruikt als tempel voor Athena Parthenos, de Godin Athena als maagd. Rond deze tijd (eind 6e eeuw) werd Griekenland christelijk, en daarmee werd het Parthenon veranderd in een christelijke kerk. In 1458 werd Athene ingenomen door de Turken en ging de voormalige tempel dienst doen als moskee. Volgens wilde verhalen zou er o.a. ook een harem van de Turkse bevelhebber in gehuisd hebben. Toen de Venetianen in 1678 Athene aanvielen, werd het Parthenon gebruikt als opslagplaats voor munitie. Een groot deel van het Parthenon werd vernietigd door een voltreffer van diezelfde Venetianen, en hedentendage staat de ruïne van het Parthenon open voor bezoekers, op de Akropolis. Bijvoorbeeld: Stel dat je aan de onderkant van de tempel, langs de ingang, cijfers zou neerzetten. Neem nummer 1 als de uiterst linkse kant, nummer 2 als de linkerkant van de ingang (links van zuil nummer 4), nummer 3 als de rechterkant van de ingang (rechts van zuil nummer 5), en nummer 4 als de uiterst rechtse kant. Merk even op dat lengte 12 even lang is als lengte 34, en dat lengte 13 even lang is als lengte 24. Je kan nu stellen dat 23 : 12 = 12 : 13 en 34 : 13 = 13 : 14 Anders gezegd: m : M = M : totaal Dit is zo ongeveer de letterlijke definitie van de Gulden Snede. Een ander voorbeeld: Kijk naar de lijnverdeling aan de rechterkant van de tekening. Je ziet daar dat de lengte van de tempel is opgedeeld in twee stukken: een grotere onderkant (M) van beneden tot aan de bovenkant van de zuilen, en een kleinere bovenkant (m) van de zuilen tot aan de top. m : M = M : totaal Je ziet dat alweer de Gulden Snede is toegepast. De Gulden Snede verhouding is o.a. ook herkenbaar in de verhoudingen tussen de vakjes in de fries. Architectuur: Le Corbusier Charles-Eduard Jeanneret, beter bekend als Le Corbusier, was een Franse architect uit begin 20e eeuw. Hij was zowel binnen- als buitenhuisarchitect, en ontwikkelde een bepaald systeem waarmee hij de Gulden Snede in zijn ontwerpen verwerkte. In alle voorgaande gevallen van het gebruik van de Gulden Snede in de architectuur (zoals het Parthenon) kunnen we niet met zekerheid zeggen of deze expres is gebruikt, of dat het voorkomen is gebaseerd op puur toeval. Pagina 7 van 11

8 Le Corbusier was de eerste architect van wie we met zekerheid weten dat hij de Gulden Snede met opzet heeft gebruikt in zijn ontwerpen. De goede man heeft een onderzoek gedaan naar het menselijk lichaam, dat hij verdeelde in een aantal delen. De verhouding van deze delen is in verhouding met de Gulden Snede. Het diagram waarin hij dit laat zien, heet de Modulor. Le Corbusier is begonnen met de lengte van de gemiddelde de man te nemen. Dit kun je zien bij het hoofd. Het getal 1829 verwijst naar deze gemiddelde lengte, namelijk 1,829 meter, oftewel 1829 mm. De volgende stap was het verdelen van het lichaam in 2 helften bij de navel. Als je dit doet volgens de Gulden Snede verhouding, is de verdeling de volgende: m = = 699 mm M = 1130 mm totaal = 1829 M : m = totaal : M M : m = 1130 : 699 = 1,617 totaal : M = 1829 : 1130 = 1,619 Je ziet dat deze getallen het getal phi benaderen. Verder zijn de verhoudingen bovenbeen : knie (698 : 432 = 1,616) navel : bovenbeen (1130 : 698 = 1,619) arm : borst (2260 : 1397 = 1,618) ook in verhouding met de Gulden Snede. Le Corbusier gebruikte zijn Modulor in zijn ontwerpen. Hij probeerde zijn huizen zo efficiënt mogelijk te bouwen en in te richten. Maten als de hoogte van de stoelen, grootte van de gangen en bijvoorbeeld hoogte van het plafond paste hij aan dit systeem aan. Omdat de Modulor bestaat uit voornamelijk Gulden Snede verhoudingen, zijn dit soort ontwerpen zowel praktisch efficiënt als harmonisch aandoenend. De Gulden Snede in de Natuur De Gulden Snede verhouding komt veel voor in de natuur. Zoals Le Corbusier al stelde, is het menselijk lichaam volledig in te delen volgens Gulden Snede verhoudingen. Er zijn een aantal aanhangers van deze theorie geweest, die het diagram verder hebben uitgewerkt. Hieronder zie je een schets, waarin de Gulden Snede verhoudingen van een menselijke arm zijn weergegeven. Neem bijvoorbeeld de getallen die vlak onder de hand staan. 3, 5, 8 en 13 zijn getallen die letterlijk uit de rij van Fibonacci komen, en dus een onderlinge verhouding hebben van j. Een aantal andere voorbeelden van het voorkomen van de Gulden Snede in de natuur: Pagina 8 van 11

9 Veel planten dragen hun zaden in prachtig slingerende, spiraalvormige patronen. Dit is vooral mooi te zien in rijpe zonnebloemen. Wat heeft deze spiraal te maken met de Gulden Snede? Belangrijke delen van bloemen, zoals bloemblaadjes, zaden en kelkbladeren, groeien uit kleine stukjes plantenweefsel. In het groeiproces ontstaat nieuw weefsel, dat uitgroeit tot nieuwe delen van een plant. Deze stukjes weefsel (primordia) ontstaan op vaste plaatsen, en de hoek tussen opeenvolgende primordia ligt rond de 137,5. Deze hoek vind je ook terug bij de spiralen in de zonnebloem: zaden die uit opeenvolgende primordia groeien liggen met een hoek van 137,5 uit elkaar. Je kan hoeken meten op twee manieren, de interne en de externe hoek. De verhouding tussen deze twee hoeken verklaart het verband tussen de zonnebloemzaadjes en de Gulden Snede. Als de interne hoek 137,5 is, dan is de externe hoek: ,5 = 222,5. externe hoek : interne hoek = M : m 222,5 : 137,5 = 1,618 Een hoek van 137,5 wordt daarom een Gulden Hoek genoemd. De natuur heeft er goede reden voor om voor de Gulden Snede te kiezen. Bij het gebruik van de Gulden Snede groeperen primordia zich zeer efficiënt, vrijwel alle beschikbare ruimte wordt goed benut. Zo krijg je een stevige en compacte zaadbol. Bepaalde schelpen delen hun kamers in met de j-verhouding. De schelp Nautilus pompilius is hier een goed voorbeeld van. Naarmate het dier groter wordt, maakt het steeds grotere kamers in zijn schelp, terwijl het de kleinere kamers afsluit. De relatieve volumes van de opeenvolgende kamers verhouden zich volgens de Gulden Verhouding. De schelp heeft de vorm van een logaritmische spiraal. Deze spiraal hebben we ook al teruggezien in de Gulden Rechthoek. De schelp Nautilus pompilius Een laatste voorbeeld van het voorkomen van de Gulden Snede in de natuur: Net zoals bij de mens, kun je ook het dierenlichaam indelen volgens de Gulden Snede. Dit kunnen we laten zien met de volgende diagrammen: Je kan zien dat zowel koeien als paarden een lichaamsbouw hebben, die gedefinieerd kan worden aan de hand van de Gulden Snede. We zien een dergelijke lichaamsbouw ook terug bij andere dieren, waaronder natuurlijk de mens (Modulor), maar bijvoorbeeld ook vissen en vlinders. Bij de vis is het zo dat de lengte m van neus tot achter de vin B, zich verhoudt tot de lengte M van achter vin B tot aan de staart. Stel Neus = A, Vin = B en Staart = C AB = m, BC = M en AC = totaal M : m = totaal : M = j Pagina 9 van 11

10 In het lichaam van de vlinder is twee keer duidelijk de Gulden Snede verhouding aan te wijzen. Het borststuk verhoudt zich tot het achterlijf, zoals het achterlijf zich verhoudt tot het totale lichaam. Een duidelijk geval van M : m = totaal : M. Als je de toppen van de vleugels als punt A neemt, het hoofd als punt B en het achterlijf als punt C, krijg je eenzelfde formule als bij de vis. AB = m, BC = M en AC = totaal M : m = totaal : M = j Dit zijn slechts enkele voorbeelden van hoe de Gulden Snede in de natuur te vinden is. Ook in dingen als dennenappels, zeesterren en bloemblaadjes kan men de Gulden Snede terugvinden. Het pentagram en de Gulden Snede Het pentagram is een van de bekendste voorbeelden van de Gulden Snede in beeld. Met behulp van enkele berekeningen zullen wij laten zien hoe het pentagram in verband staat met de Gulden Snede. Even een stukje van het pentagram uitlichten. Stel dat de regelmatige vijfhoek ABC.., waarin het pentagram ligt, een zijde van 1 heeft. AB = BC = 1 Omdat ABC.. een regelmatige vijfhoek is, zijn alle vijf hoeken gelijk, namelijk 108. Ý ABC = 108. De gefingeerde lijn BT deelt Ý ABC precies in tweeën. Ý ABT = ½ a ABC Ý ABT = ½ * 108 = 54 Doordat Ü ABT een rechthoekige driehoek is, kun je zijde AC uitrekenen. Ý ATB = 90 Ý ABT = 54 sin Ý ABT = AT : AB sin 54 = AT : 1 sin 54 = AT AT = 0,809 AT = ½ AC 0,809 = ½ AC 2 * 0,809 = AC AC = 1,618 Je ziet dat, als de zijde van de vijfhoek precies 1 is, de zijde van het pentagram j is. De verhouding "zijde vijfhoek : zijde pentagram" is dus evenredig met de Gulden Snede. Een ander voorbeeld: Dit is Ü ABD, rechtsboven uit het pentagram. AB is een zijde van de vijfhoek, dus AB = 1 Je kan een zandloperfiguur maken met de binnenste vijfhoek en Ü ADB. Hieruit kun je afleiden dat Ý ADB = 108. Doordat Ü ADB een gelijkbenige driehoek is, met ÝD als tophoek, kun je ÝA en ÝB berekenen. Pagina 10 van 11

11 Ü ADB = gelijkbenig Ý D = tophoek Ý A = Ý B = basishoeken Alle drie hoeken = 180 Tophoek = basishoeken samen = = 72 1 basishoek = 72 : 2 = 36 Doordat Ü APD een rechthoekige driehoek is, kun je nu zijde AD gaan uitrekenen. cos Ý A = AP : AD AP = ½ AB AB = 1 AP = ½ * 1 = ½ cos 36 = ½ : AD ½ : cos 36 = AD AD = 0,618 Doordat je nu alle maten weet of makkelijk kan berekenen, zijn ook de verhoudingen snel berekenbaar. AC = AD + DC 1,618 = 0,618 + DC DC = 1 DC : AD = AC : DC M : m = totaal : M Dus ook in de kruisingen tussen de lijnen in het pentagram vinden we de Gulden Snede terug. Het is dan ook niet verwonderlijk dat de Grieken het pentagram als een perfecte vorm zagen, en het aanbidden als heilig symbool. Tegenwoordig wordt het pentagram nog steeds gebruikt in modernheidense religies, o.a. om zijn verband met de Gulden Snede. Kleine feitjes over de Gulden Snede Op het eind leek het ons wel leuk om nog een aantal kleine feitjes op te noemen over andere toepassingen van de Gulden Snede. De verdeling tussen goede en slechte eigenschappen bij de hoofdpersonen in de sprookjes van Grimm is evenredig met de Gulden Snede. Het kruis van Christus was ontworpen volgens de Gulden Snede. In de boekdrukkunst wordt de lengte en de breedte van een bladzijde (bladspiegel) bepaald in verhouding tot de grootte van het bedrukte gedeelte (zetspiegel). Ook hier speelt de Gulden Snede een rol. Nog even willen wij zeggen dat het niet zo is dat de mens een Gulden Snede verhouding verkiest als esthetisch ideaal. Uit onderzoek is gebleken dat de mens, als op het op onderlinge verhouding aankomt, het meest gevoelig is voor symmetrie, een verhouding van 1 : 1 dus. De Gulden Snede verhouding doet echter wel altijd harmonisch aan, en is dus een geliefd gezicht. Pagina 11 van 11