4.9. Boekverslag door K woorden 3 december keer beoordeeld. 1. Wat is de Gulden Snede?
|
|
- Frank Pieters
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Boekverslag door K woorden 3 december keer beoordeeld Vak CKV 1. Wat is de Gulden Snede? De Gulden Snede is een getal die zorgt voor een verhouding die een beeld weergeeft wat lijkt alsof alles klopt. Als je dit na gaat rekenen is dit ook zo, maar hierop kom ik later terug. De Grieken ontwierpen al gebouwen gebaseerd op de Gulden Snede. Later kwam de Gulden Snede ook terug in de Renaissance en ook vandaag de dag zijn er nog genoeg kunstenaars en architecten die de Gulden Snede toepassen. De wiskunde eigenschappen van de Gulden Snede zijn hieronder op een rijtje gezet: 1. De Gulden Snede leidt tot een gelijkvormige vlakverdeling 2. De Gulden Snede blijkt voor te komen in figuren met vijfvoudige symmetrie. 3. De Gulden Snede is de verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonnaci. 4. De Gulden Snede heeft een unieke representatie als voortgezette breuk. De Gulden Snede is dus een getal dat met een formule uitgerekend kan worden. De Gulden Snede wordt aangegeven met de Griekse letter φ(phi). Deze letter staat gelijk aan het getal Dit getal wordt ook later nog weer uitgelegd. 2. De mens als duimstok Tijdens de Renaissance is de bloei van het natuurwetenschappelijk onderzoek 1 van de belangrijkste kenmerken geworden. Al vanaf de prehistorie heeft de mens zich beziggehouden met vormen en vormgeving. Van daaruit is het zo doorgegroeid dat de mens het ideale beeld zocht in de natuur. Door alle volken van de oudheid heen werd, onafhankelijk van elkaar, een maatsysteem gehanteerd dat gebaseerd was op het menselijk lichaam. 3. Wat heeft de Gulden Snede voor invloed op de kunst? De Gulden Snede speelt een belangrijke rol in de kunst. Neem als voorbeeld de oude Egyptenaren, zij bouwden vroeger een piramide als graf voor hun farao, dit duurde meestal een aantal jaren. De meeste piramides zijn door de loop der jaren al verwoest, maar bij sommige is nog wiskundig onderzoek kunnen doen. Uit dat onderzoek bleek dat er bij sommige van de piramides gebruik werd gemaakt van de Gulden Snede. Één van deze piramides is de grote piramide is Gizeh, deze werd rond 2500 voor Christus. Bij deze piramide zijn de meningen van de wetenschappers over verdeeld. Een ander voorbeeld is het Parthenon. De Griek Euclides heeft hierbij zeker gebruik gemaakt van de Pagina 1 van 6
2 Gulden Snede, want hierover heeft hij geschreven in de geschriften. De Gulden Snede is door de Grieken vaak toegepast in hun bouwwerken en steenhouwwerk. Het Parthenon is een oude Griekse tempel. Er is nu niet veel meer van over, op een ruïne na. Deze tempel is ontworpen door Callicrates en gemaakt onder leiding van Phidias (hiernaar is dan ook Phi naar vernoemd) de Gulden Snede is hier op verschillende plaatsen terug te vinden. Maar niet alleen de Grieken hebben de Gulden Snede ontdekt, er zijn nog veel meer kunstenaars geweest die de Gulden Snede hebben gebruikt voor de verhoudingen in hun kunst. En dit dan voornamelijk in de Renaissance, omdat er toen veel aandacht aan de details werd besteed, dus ook aan de verhouding. In de Renaissance zie je veel horizontale lijnen in de gebouwen waardoor ze er massief en gesloten uitzien. Na de Renaissance kwam er een nieuwe stroming in de kunst, de Romantiek. In de Romantiek kreeg de Gulden Snede pas echt haar naam. (1835) Men kon de Gulden Snede overal in herkennen. Er zijn dan ook kunstenaars die hun inspiratie opdeden aan de Gulden Snede. Bij de voorgaande kunstenaars weten we niet of ze bewust de Gulden Snede hebben gebruikt of dat dit bij toeval is gebeurd. Daarentegen heeft Le Corbusier, ofwel Charles Edouard Jeanneret, weldegelijk bewust gekozen voor het gebruik van de Gulden Snede. Hij heft het modulair systeem ontworpen, gebaseerd op de maten van het menselijk lichaam in de Gulden Snede. Volgens hem zou de navel het menselijk lichaam in tweeën splitsen die dan weer als verhouding de Gulden Snede hebben. 4. Tempietto van Bramante Tot de 15e eeuw was er geen enkel gebouw, dat meer aan de Gulden Snede voldeed dan dit tempeltje. Het stond in de kloostertuin van de San Pietro in Rome. Het is rond 1500 gebouwd op de plek waar Petrus gekruisigd is. De naam van dit tempeltje is De Tempietto. Als we gaan kijken naar de Gulden Snede is dit gebouw is het goed te zien dat het op verschillende punten is toegepast: De hoogte, breedte en diepte zijn perfect op elkaar afgestemd. De diepte en breedte zijn gelijk omdat het tempeltje rond is. Maar als je goed kijkt naa de hoogte in verhouding tot de breedte zie je op het eerste oog dat het gewoon klopt. Als je verder gaat kijken zie je dat door de verhouden 2:3:5 van de hoogte het er heel mooi uitziet. Het koepeltje is het laagste en zo wordt het van boven naar beneden steeds iets groter, wat ook weer een vorm is van piramidebouw. Doordat de zuilen Dorisch zijn, zorgt dit er al voor dat het strak oogt. De zuilen staan op een kleine verhoging waardoor ze even hoog staan als de beneden verdieping en ze even lang zijn. 5. De Gulden Snede in de schilderkunst Maar uiteraard is de Gulden Snede niet alleen terug te vinden in de architectuur, ook in de schilderkunst is vaak de Gulden Snede terug te vinden. Volgens wetenschappers is dit niet altijd expres gedaan, het blijkt ook een soort natuurlijke voorkeur te zijn. Dit is bijvoorbeeld zo in de Mona Lisa(rechts hieronder) en in de Nachtwacht(links hieronder). Hier is goed de Gulden Snede-verhouding te zien(net iets over de helft). Maar 1 van de bekendste Gulden snede-verhoudingen is toch wel die van Leonardo da Vinci. Leonardo Pagina 2 van 6
3 Da Vinci heeft deze tekening gebaseerd op Romeinse militair en architect Marcus Vitruvius Pollio, hij is vooral bekend doordat hij de auteur is van een standaardwerk over de bouwkunst. Leonardo Da Vinci heeft zijn stellingen (dat zowel lengte, breedte, hoogte en de diepte van een gebouw de menselijke maat ofwel de verhoudingen van het menselijk lichaam dienen te weerspiegelen) overgenomen in deze tekening genaamd Uomini universali. Uit deze tekening blijkt dat het menselijk lichaam zowel in een cirkel als in een vierkant past. De verhoudingen van de gulden snede zijn hier duidelijk te zien: de afstand tussen het hoofd en het middel verhoudt zich tot de afstand van het midden tot de voeten zoals deze zich verhoudt tot de totale lichaamslengte. Voor de renaissance, toen de mens als maat van alle dingen werd opgevat, was deze weergave van een getalsverhouding typerend. De tekening hieronder wijkt enigszins af van die van Leonardo da Vinci, deze heeft namelijk de tekening zo gemaakt dat de mens in zowel een cirkel als in een vierkant staat (Homo ad circulem et quadratum). Hier staat de man in een pentragram. Maar Leonardo da Vinci heeft vraagtekens gezet bij deze tekening. Vooral bij de lente van de voet, die volgens de metrologische conventie van de antieken 1/6 van de lichaamshoofte bedraagt. Hij stelde zelf de maat namelijk op 1/7 en liet daarmee de conventies van Vitrivius twaalftallige stelsel los. Voor het middenpunt naam hij voor de homo ad circulum de navel maar voor de homo ad quadratum de schaamstreek. De Vitruviusman van Leonarde wordt vaak gebruikt om de Gulden Snede aan te duiden, er is geen bewijs dat Leonardo zich ook daadwerkelijk bewust was van de relatie tussen het pentagon/pentagram en de gulden snede. De pentagramverwijzing is mogelijkerwijs een verwarring met de pentagram-man van Agrippa. 6. Piet Mondriaan Mondriaans gebruik van weinig kleur en zijn op het eerste oog eenvoudig lijkende schilderijen bewijzen zelf als je beter kijkt het tegendeel. Bij 1 van zijn sterkste, meest uitdagende werken is dan ook Fox trot A. In dit schilderij is geen symmetrie, maar een evenwicht en wel het evenwicht van de Gulden Snede. Het effect wordt gelegd door drie rechte zwarte lijnen op een witte ondergrond. Het lijkt een zo simpel schilderwerk, maar hoe langer je kijkt hoe complexer het werk wordt. Het lijkt namelijk of de drie zwarte lijnen onder de rand van het schilderij door lopen. Dit doordat ze deze rand snijden. Maar ook het feit dat de lijnen niet alle drie even breed zijn zet je aan het denken. Maar als je dan beter kijkt zie je dat het evenwicht wordt bereikt door o.a. de rechter verticale lijn, die de diagonale randen in tweeën deelt. Doordat er geen middelpunt in dit schilderij is, verzwakt het ook niet naar buiten toe, wat weer zorgt voor een soort speciaals effect als je er beter naar kijkt. Charles Bouleau heeft de verborgen interne structuur van vele tientallen schilderijen vanaf de Middeleeuwen tot heden bestudeerd. In zijn boek 'Charpentes, la géométrie secrète des peintres' (Edition du Seuil, 1963) besteedt hij op de Pagina 3 van 6
4 laatste bladzijden ook aandacht aan Mondriaan. Bouleau heeft drie composities van Mondriaan onderzocht op de gulden-snede-verhouding. Ik neem hieruit enkele afbeeldingen over. Bij Tableau 1 construeert Bouleau in het vierkant ABCD (zie figuur 1) op de diagonaal AC het punt S zodat SC : AS = AS : AC. Met AS als zijde construeert hij een nieuw vierkant en past daar dezelfde verdeling toe op de diagonaal. Na 45 draaien en in elkaar schuiven vindt hij de rechts afgebeelde constructie. Hij merkt nog op dat de diktes van de zwarte lijnen zich verhouden als 3, 4 en 5 Het tweede doek dat hij onderzoekt geeft Bouleau de naam Compositie met twee lijnen, dat in het Stedelijk Museum in Amsterdam zou moeten hangen. Dit schilderij komt echter niet voor in de grote overzichtscatalogus van Vermoedelijk bedoelt Bouleau Compositie met twee zwarte lijnen, 1931, dat wel in Amsterdam hangt. Bouleau heeft het, heel onzorgvuldig, in spiegelbeeld afgedrukt. Het doek wordt gevormd door vierkant ABCD. Hierin tekent Bouleau de middenparallellen (zie figuur 2). Het lijnstuk AE is het grootste segment van een gulden-snede-verhouding, het kleinste is EF. Hij construeert een vierkant met zijde A'F met de lengte A'E' ( = AE) + E'F. Als we de twee vierkanten over elkaar schuiven vinden we volgens Bouleau het ontwerp van Mondriaans compositie. Hij suggereert dat Mondriaan ook zo gewerkt heeft, want in zijn uitleg zegt hij: "Om het tweede vierkant in het eerste te plaatsen legt Mondriaan de gulden sneden E' en E'' op de diagonalen van het grote vierkant (...). Hij heeft dan zijn schema vastgelegd.". Een grote vergissing! Het derde schilderij is de Broadway Boogie Woogie. Door op het vierkant zowel horizontaal als verticaal zes maal achter elkaar de gulden-snede verhouding uit te zetten (Phi) vindt hij een raster dat de basis zou kunnen zijn voor deze compositie, het laatste voltooide werk van Mondriaan (zie figuur 3). Het onderzoek van Bouleau getuigt van veel volharding en inventiviteit. Het kan ons attenderen op verborgen, mathematische schoonheid in het kunstwerk. Het bedenkelijke aan zo'n studie is dat de suggestie gewekt wordt, dat de kunstenaars zelf hun werk ook zo geconstrueerd hebben. Mondriaan noemt zijn werk composities en niet constructies, en dat is veelzeggend. 7. Fibonnaci s reeks Fibonacci s reeks staat ook wel bekend als het konijntjesprobleem. Dit is voor het eerst aan bod gekomen toen de wiskundige Leonardo Pisano in 1202 een boek schreef ( Liber Abaci ofwel Boek van het Telraam), waarin hij allerlei wiskundige problemen oplost waaronder dus het konijntjesprobleem. Dit gaat als volgt: Stel dat een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar op de wereld zet, en dat na 2 maanden ook dit paar geslachtsrijp is en ook hun elke maand een jong paar voortbrengen.. Als we ervan uitgaan dat ze allemaal blijven leven krijg je de volgende tabel: Pagina 4 van 6
5 Maand Aantal paren (1+2) dus 3 5 (2+3) dus 5 6 (3+5) dus 8 7 (5+8) dus 13 8 (8+13) dus 21 9 (13+21) dus (21+34) dus 55 Er is een heel simpel verband hierin te leggen, iedere maand is het namelijk zo dat het aantal paren de som is van de voorgaande 2. Dit kun je al zien in de bovenstaande tabel, de schuinsgedrukte optellingen zijn telkens de twee voorgaande getallen en de som van deze twee getallen maakt dan iedere keer het volgende antwoord. Als je gaat kijken naar de getallen die je optelt tijdens de voorgaande reeks is het volgende verband met de Gulden Snede te vinden: Maand Aantal paren :3= 1, :5= 1, :8= 1, :13= 1, :21= 1, :34= 1,61765 De hierboven dikgedrukte getallen zijn opvallend omdat de grote Phi op 5 decimalen afgerond 1,61803 en hoe verder deze reeks van Fibonnaci gevolgd wordt des te meer gaat het kloppen met de grote Phi. 8. De Gulden Lijn Als je het lijnstuk hierboven wilt verdelen op zo n manier dat je de Gulden Snede zult verkrijgen moet op de volgende manier: Ofwel: Pagina 5 van 6
6 De verhouding tussen a en b wordt aangeduid met φ (Phi). Na het voorgaande volgt φ=1+1/ φ, oftewel de vierkantsvergelijking φ² - φ - 1 = 0, hieruit komt de positieve oplossing; (naast de positieve oplossing is er ook altijd de negatieve oplossing en wel door -1/ φ) 9. De Gulden Rechthoek Maar niet alleen door middel van een lijnstuk kun je de verhouding φ construeren, het kan ook door middel van een vierkant. We nemen het vierkant ABCD. Door het midden van dit vierkant doen we een verticale lijn (EF). Als je nu een cirkel tekent (met je passer) met als middelpunt E en als straal EC dan komt er een 7e punt bij die het verlengde van lijn AEB is, hierop komt punt G. Dit is het snijpunt van je passer. Nu lijkt te gelden: Als je dan verder rekent krijg je het onderstaande: Pagina 6 van 6
Het irrationaal getal phi (φ)
Het irrationaal getal phi (φ) De gulden snede Het irrationaal φ is ongeveer 1,6180339887 Dit getal is terug te vinden in veel maten en verhoudingen van lengtes van oude Griekse beeldhouwwerken, architectuur
Nadere informatieWerkstuk Wiskunde Fibonacci: getallen en gulden snede
Werkstuk Wiskunde Fibonacci: getallen en gulden snede Werkstuk door een scholier 2464 woorden 15 december 2004 5,8 108 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding Dit werkstuk wordt gemaakt door vier personen.
Nadere informatieObject 1:
Project Wiskunde & Schoonheid Wat is schoonheid? En waarom vinden we bepaalde dingen mooi? Wat is de Gulden Snede? En wat heeft die te maken met de Fibonacci-rij? Wat heeft wiskunde met schoonheid te maken?
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B Gulden snede
Praktische opdracht Wiskunde B Gulden snede Praktische-opdracht door een scholier 4220 woorden 12 mei 2003 7,5 159 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inhoudsopgave Inleiding Wat is de gulden snede? Wat is
Nadere informatieDE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN
HET NUT VAN DE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN In dit hoorcollege ga ik het hebben over mijn onderzoek naar de gulden snede met betrekking tot web design. De gulden snede fascineert me al van jongs af aan en
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B De gulden snede
Praktische opdracht Wiskunde B De gulden snede Praktische-opdracht door een scholier 5855 woorden 25 mei 2006 7,4 48 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 De Gulden Snede 3 De betekenis
Nadere informatieHet geheim van de gulden snede
Het geheim van de gulden snede De gulden snede duikt op allerlei onverwachte plaatsen op, zoals in de architectuur, bij de lengte van je vingerkootjes, bij een bloemkool, bij Tom Cruise of bij Shakira.
Nadere informatieWerkstuk Wiskunde B Gulden snede
Werkstuk Wiskunde B Gulden snede Werkstuk door een scholier 1937 woorden 28 januari 2004 6,1 28 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Werkstuk Wiskunde: De Gulden Snede (a)laat zien hoe de verhouding van de gulden
Nadere informatie6,1. Werkstuk door een scholier 3940 woorden 25 juni keer beoordeeld. Wiskunde B
Werkstuk door een scholier 3940 woorden 25 juni 2001 6,1 354 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Definitie van de Gulden Snede De Gulden Snede is een populaire benaming voor een speciaal verhoudingsgetal, waarover
Nadere informatieHeilige Geometrie. Gulden Snede-verhouding weergegeven in een tekening.
Heilige Geometrie De Heilige geometrie is een soort van paraplu waaronder onder andere de Gulden Snede valt, die ik hier ga uitleggen. Het is een verhouding. Een verhouding die de blauwdruk vormt voor
Nadere informatie1 - Geschiedenis van de Algebra
1 - Geschiedenis van de Algebra De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: A1 - Maak 5 van de 19 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 5 verspreid over de 19. A2
Nadere informatie2.5 Regelmatige veelhoeken
Regelmatige veelhoeken 81 2.5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een figuur met zijden die allemaal even lang en hoekendieallemaalevengrootzijn. Wezijneraleenpaartegengekomen: de regelmatige
Nadere informatieZoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen.
De rij van Fibonacci Leonardo di Pisa (/ ca. 1170, artiestennaam Fibonacci, invoerder van de Indische cijfers in Europa), zat in 1202 met het volgende zware wiskundige probleem: Stel: een boer koopt op
Nadere informatieGriekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK
Griekenland Zoals Berlinghoff schrijft, was de Griekse wiskunde sterk op de meetkunde gericht. We zullen daarom vooral naar de meetkunde kijken. Eerst zullen we twee van de drie klassieke problemen (Berlinghoff
Nadere informatieDe bouw van kathedralen
De bouw van kathedralen Van ongeveer 1050 tot 1400 was er een explosie in de bouw van kathedralen. De kathedraal van Amiëns is gebouwd van 1220 tot 1280. Men heeft er dus 60 jaar over gedaan. Niet verwonderlijk
Nadere informatieSchaduwopgaven Verhoudingen
Schaduwopgaven Verhoudingen bij 5 Een vierkant wordt verknipt in zeven driehoeken, zoals hiernaast. Het grijze driehoekje gooien we weg. Wat is de verhouding van de oppervlakte van de andere zes? na 10
Nadere informatieKopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci
1 1 3,14 4 Kopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci Grote Rekendag 26 www.rekenweb.nl 71 1 1 3,14 4 72 www.rekenweb.nl Grote Rekendag 26 1 1 3,14 4 Het konijnenprobleem Een familie konijnen kan heel
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatie1 De Gulden snede wordt ook wel divina proportione (goddelijke verhouding) of sectione aurea (gouden verdeling) genoemd. Het is eigenlijk één
De Gulden snede Inhoudsopgave 1. De Gulden snede 2. Hoe verkrijg ik de Gulden snede? 3. Pythagoras en het pentagram 4. De vijf regelmatige veelvlakken 5. Fibonacci 6. Leonardo da Vinci en de Gulden snede
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieDe renaissance!! Waarschijnlijk heb je al eens van deze term gehoord bij het bezoeken van museums of tijdens lessen geschiedenis.!
De renaissance Waarschijnlijk heb je al eens van deze term gehoord bij het bezoeken van museums of tijdens lessen geschiedenis. Deze term betekent letterlijk de wedergeboorte, en is een kunststroming uit
Nadere informatieEuclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk?
Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk? 28-6-2014 Universiteit Utrecht Jeroen Nagtegaal (0441872) 2 INHOUDSOPGAVE 0. INLEIDING... 4 HOE MOET JE DIT BOEKJE LEZEN?...
Nadere informatieHet benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012
Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),
Nadere informatie6.5. Praktische-opdracht door een scholier 6127 woorden 15 maart keer beoordeeld. Wiskunde B
Praktische-opdracht door een scholier 6127 woorden 15 maart 2006 6.5 108 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding De term wiskunde is al eeuwen lang niet meer weg te denken uit ons leven. Wiskunde is de
Nadere informatieDe Wonderlijke Zonnebloem
De Wonderlijke Zonnebloem Brecht Verstappen Student SLO wiskunde KU Leuven Wiskunde en de natuur. Op het eerste zicht zijn dat twee aparte werelden, maar schijn bedriegt: de natuur zit vol met wiskundige
Nadere informatieA R S E T M A T H E S I S D A G 1 9 9 9
september/oktober 1999 A R S E T M A T H E S I S D A G 1 9 9 9 UITNODIGING voor de Ars et Mathesisdag 1999: Plaats en tijd: De jaarlijkse Ars et Mathesis-dag wordt dit jaar gehouden op zaterdag 6 NOVEMBER
Nadere informatieDe vijfhoek in klas 9
De vijfhoek in klas 9 B. Geels januari 09 Vijf punten op de cirkelrand Als je vijf punten, niet per se regelmatig, op een cirkelrand tekent dan kan je in eerste instantie lijnstukken tekenen. Bij het tekenen
Nadere informatieAardse Stellingen met hemelse bewijzen en Stellingen om van te smullen met (on)verteerbare bewijzen. Zaterdag 16 februari 2019
Aardse Stellingen met hemelse bewijzen en Stellingen om van te smullen met (on)verteerbare bewijzen Zaterdag 16 februari 2019 Deze presentatie is gegroeid uit mijn jaarlijkse les over, Abstraheren en Structureren
Nadere informatieBewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen
Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen 1540 1610 Margot Rijnierse Inleiding In de tijd van Ludolph van Ceulen hadden de meetkundige geleerden belangstelling voor de geschriften van de oude Grieken,
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatiejaar Wiskundetoernooi Estafette n = 2016
992 993 2000 994 999 995 997 998 996 200 2002 2003 204 205 206 202 203 2004 20 200 2005 2009 2007 2006 2008 jaar Wiskundetoernooi Estafette 206 Opgave 206 is een driehoeksgetal: er bestaat een geheel getal
Nadere informatieDag van de wiskunde 22 november 2014
WISKUNDIGE UITDAGINGEN MET DE TI-84 L U C G H E Y S E N S VRAGEN/OPMERKINGEN/ peter.vandewiele@telenet.be TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Opstarten programma en naamgeven! Peter Vandewiele 1 TOEPASSING 1:
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatieDe vergelijking van Antoine
De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De
Nadere informatieHP Prime: Meetkunde App
HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Meetkunde App Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl De Meetkunde-App op de HP Prime Meetkunde is een van de oudste wetenschappen op aarde,
Nadere informatieCijfers en letters 1 niveau 1 en 2
Cijfers en letters 1 niveau 1 en 2 Los de twaalf vergelijkingen op. Het antwoord stelt een letter in het alfaet voor. X = 3 is een C, de derde letter. X = -5 is een V, de vijfde letter van achter. De oplossing
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 Vier van de volgende figuren zijn het beeld van minstens één andere figuur door een draaiing in het vlak Voor één figuur is dit niet het geval Welke?
Nadere informatieMededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn. Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993
Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993 De tentoonstelling Ruimte en Reliëf in Kasteel Groeneveld te Baarn, waar Popke
Nadere informatie5,7. Profielwerkstuk door een scholier 2227 woorden 8 april keer beoordeeld. Wie was Pythagoras?
Profielwerkstuk door een scholier 2227 woorden 8 april 2005 5,7 186 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wie was Pythagoras? Pythagoras was een Griekse wijsgeer die rond 575 voor Christus leefde. Zijn vader was
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieDe Griekse Bouwkunst
De Oude Grieken De Oude Grieken Het land Griekenland ligt in het zuidoosten van Europa. Het bestaat uit een groot stuk vastland en een heleboel kleine eilandjes. Griekenland bestond uit allerlei staatjes.
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Junior Wiskunde Olympiade 008-009: tweede ronde ( 7) = (A) 7 (B) 7 (C) 7 of + 7 (D) 7 (E) onbepaald Beschouw de rij opeenvolgende natuurlijke getallen beginnend met en eindigend met Wat is het middelste
Nadere informatieGeschiedenis van getallen
Geschiedenis van getallen Bart Zevenhek 30 december 2007 1 Inleiding Dit hoofdstuk bevat materiaal voor een serie van ongeveer tien lessen over de geschiedenis van getallen. Enerzijds wordt de leerling
Nadere informatieRakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde
Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als
Nadere informatiea. De hoogte van een toren bepalen met behulp van een stok
Gelijkvormigheid in de 17 de - en 18 de -eeuwse landmeetkunde Heb jij enig idee hoe hoog dat gebouw of die boom is die je uit het raam van je klaslokaal ziet? Misschien kun je de hoogte goed schatten,
Nadere informatieZOEKEN NAAR DE VOLMAAKTE VORM NIVEAU ++
NIVEAU ++ /5 Deze leskaart gaat over het zoeken naar de volmaakte vorm. Dat klinkt misschien wat verheven, maar je zult ontdekken dat deze zoektocht in de kunstgeschiedenis erg belangrijk is geweest. Piet
Nadere informatie1 Coördinaten in het vlak
Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem
Nadere informatieDe arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken
Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Doel Het construeren van bijzondere vierhoeken: parallellogram, ruit, vierkant. Constructies 1. Parallellogram (eerste constructie) We herhalen
Nadere informatieEscher in Het Paleis. Wiskundepakket. Oneindigheid
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Oneindigheid Oneindigheid Wiskundigen hebben weinig moeite met het begrip oneindigheid. Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel getallen, een lijn is oneindig lang en oneindig
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieUitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 4.4.1 Basis Lijnen en hoeken 1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit: 4 3 2 1 l k -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 n m -4 - Hieruit volgt: a Lijn k en
Nadere informatieTEKENEN MET EEN DRIELUIK
PERSPECTIEFTEKENEN AFLEVERING 1 Evenwijdige lijnen worden op een foto zelden evenwijdig afgebeeld. Wat zit hier achter? Kunnen we begrijpen wat er op een foto met evenwijdige lijnen gebeurt? Het blijkt
Nadere informatieTweepuntsperspectief I
1 G Tweepuntsperspectief I 1. We verlaten even het perspectief en bekijken een vierkant ABCD op ware grootte. M is het middelpunt van het vierkant. PQ is een horizontale lijn door M. Zeg dat P en Q de
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatiePROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder
Nadere informatieAfsluitende Opdrachten
Afsluitende Opdrachten A Scheve lijnen We weten hoe we het perspectiefbeeld op het tafereel moeten tekenen van een horizontale lijn. Hoe zit dat als de lijn niet horizontaal is? Daarover gaat deze opdracht.
Nadere informatieZOEKEN NAAR DE VOLMAAKTE VORM NIVEAU ++
NIVEAU ++ /5 Deze leskaart gaat over het zoeken naar de volmaakte vorm. Dat klinkt misschien wat verheven, maar je zult ontdekken dat deze zoektocht in de kunstgeschiedenis erg belangrijk is geweest. Piet
Nadere informatieRekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A
Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk
Nadere informatiePassermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni. Mascheroni DICK KLINGENS. aaaaa
- 1 Passermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni Mascheroni DICK KLINGENS 1. Probleemstelling Stelling. Iedere constructie in het euclidische vlak die met passer en liniaal mogelijk is,
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatie6) Aan welke periode uit de bouwkunst van de jaren 20 van de 20e eeuw doet dit denken? 18e, 19de en 20-eeuwse bouwkunst.
Tentoonstelling door een scholier 1931 woorden 8 december 2003 5 20 keer beoordeeld Vak CKV 2) Berlage 1) Tot welke stroming behoorde Berlage? Neo-gotiek of de neo-renaissance. 2) Wanneer is het gebouw
Nadere informatieEstafette. 36 < b < 121. Omdat b een kwadraat is, is b een van de getallen 49, 64, 81 en 100. Aangezien a ook een kwadraat is, en
26 e Wiskundetoernooi Estafette 2017 Uitwerking opgave 1 Noem het getal dat gevormd wordt door de laatste twee cijfers van het geboortejaar van rnoud a en de leeftijd van rnoud b. Dan is a + b = 2017 1900
Nadere informatieCaspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag
Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieLeonardo da Vinci (Italiaans kunstenaar en wetenschapper 1452-1519) tekende de mens volgens oude Griekse ideale schoonheidsverhoudingen.
De mens Leonardo da Vinci (Italiaans kunstenaar en wetenschapper 1452-1519) tekende de mens volgens oude Griekse ideale schoonheidsverhoudingen. In de Renaissance tijd herleefde het gedachtegoed van Pythagoras
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieuuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur
4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de
Nadere informatieMeetkundige constructies Leerlingmateriaal
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een
Nadere informatieRuimtelijke oriëntatie: plaats en richting
Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en
Nadere informatieArchimedes en de cirkel
Niveau ooo Archimedes en de cirkel De verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel heet π en is ongeveer gelijk aan 3,1415965359. Wat je je misschien niet realiseert is dat daar eigenlijk
Nadere informatieEstafette. De langste zijde wordt in twee ongelijke stukken verdeeld. Laat x de lengte van het ene stuk zijn, dan is het andere stuk 25 x.
7 e Wiskundetoernooi Estafette 08 Uitwerking opgave e langste zijde wordt in twee ongelijke stukken verdeeld. Laat x de lengte van het ene stuk zijn, dan is het andere stuk 5 x. x 5 x at de twee rechthoeken
Nadere informatieR. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE KUN Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTFETTE KUN 2000 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Maak sommige vakjes zwart, zó dat voor elk vakje het getal dat erin staat precies aangeeft
Nadere informatieZESDE KLAS MEETKUNDE
ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer
Nadere informatie2 Lijnen en hoeken. De lijn
1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B Fibonacci
Praktische opdracht Wiskunde B Fibonacci Praktische-opdracht door een scholier 3442 woorden 24 mei 2006 6,9 59 keer beoordeeld Vak Wiskunde B 1 Inleiding Na wat research hebben we besloten dat wij De Fibonacci
Nadere informatieStelling van Pythagoras
1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -
Nadere informatieTussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken
Nadere informatie1 Cartesische coördinaten
Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatiePenrose-betegelingen met Cabri Geometry
[1] Er bestaan veelhoeken waarmee geen regelmatige betegelingen (vlakverdelingen) [1,2] gemaakt kunnen worden. Bekende veelhoeken met die eigenschap zijn de zogenoemde Penrose-tegels, naar Roger Penrose
Nadere informatiegelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek
gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn
Nadere informatieMEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
Nadere informatieWiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
Nadere informatieCompositie op basis van geometrische vormen
Om goed heen en weer te kunnen springen tussen dia en afbeeldingen moet je dit bestand openen met Acrobat Reader. Voor het bekijken van de voorbeelden klik je op de blauwe link. Om terug te keren naar
Nadere informatieOPLOSSINGEN. Wallabie Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
OPLOSSINGEN Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Juist antwoord Geen antwoord Fout antwoord Wedstrijdduur Rekentoestel 5 punten 1 punt 0 punten 75 minuten niet toegelaten 1. Correct antwoord: A Alswegewoondeurenoptellen,vindenwe:17+17=34.Hetisdus34uur,
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 9 juni 3.30 6.30 uur 20 02 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 6 vragen.
Nadere informatie44 De stelling van Pythagoras
44 De stelling van Pythagoras Verkennen Pythagoras Uitleg Je kunt nu lezen wat de stelling van Pythagoras is. In de applet kun je de twee rode punten verschuiven. Opgave 1 a) Verschuif in de applet punt
Nadere informatieLeonardo da Vinci (Italiaans kunstenaar en wetenschapper ) tekende de mens volgens oude Griekse ideale schoonheidsverhoudingen.
De mens Leonardo da Vinci (Italiaans kunstenaar en wetenschapper 1452-1519) tekende de mens volgens oude Griekse ideale schoonheidsverhoudingen. In de Renaissance tijd herleefde het gedachtegoed van Pythagoras
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II
ppervlakte Gegeven is de functie f ( x) x. De lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt (0, 3). Zie figuur. figuur y k f x 5p Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van k. De grafiek
Nadere informatie0.25x. Het buitengebied - vanuit elk punt kun je twee raaklijnen tekenen - bevat twee oplossingen. De parabool zelf staat voor één oplossing.
Uitwerkingen opgaven Zichtbaar maken van discriminantkrommen Opgave 1.1 a. Het binnengebied van de dalparabool oplossingen. y 0.5x, het holle deel, bevat geen Het buitengebied - vanuit elk punt kun je
Nadere informatieEindexamen vmbo gl/tl wiskunde 2011 - I
OVERZICHT FORMULES: omtrek cirkel = diameter oppervlakte cirkel = straal 2 inhoud prisma = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud kegel = 1 3 oppervlakte grondvlak
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen VMBO-GL en TL 2011 tijdvak 1 maandag 23 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift
Nadere informatieMEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
Nadere informatieHoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni uur
wiskunde B,2 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 88 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieZeepvliezen PO. door M. van den Bosch- Knip Meetkunde Presentatie WiskundeCongres
Zeepvliezen PO door M. van den Bosch- Knip mirjamvdbk@gmail.com Meetkunde Presentatie 16-11-2016 WiskundeCongres Uw spreker Ir Mirjam van den Bosch- Knip RBA MSc MSc TU Twente: Chemische Technologie Rabobank:
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatie