1 De Gulden snede wordt ook wel divina proportione (goddelijke verhouding) of sectione aurea (gouden verdeling) genoemd. Het is eigenlijk één

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1 De Gulden snede wordt ook wel divina proportione (goddelijke verhouding) of sectione aurea (gouden verdeling) genoemd. Het is eigenlijk één"

Transcriptie

1 De Gulden snede

2 Inhoudsopgave 1. De Gulden snede 2. Hoe verkrijg ik de Gulden snede? 3. Pythagoras en het pentagram 4. De vijf regelmatige veelvlakken 5. Fibonacci 6. Leonardo da Vinci en de Gulden snede 7. De Gulden snede in de architectuur 8. Penrose-betegeling 9. Conclusie 10. Bronnen

3 1 De Gulden snede wordt ook wel divina proportione (goddelijke verhouding) of sectione aurea (gouden verdeling) genoemd. Het is eigenlijk één getalletje: ongeveer 0,618 (of de verhouding 1:0,618). Het wordt ook wel aangegeven met de Griekse letter φ (phi). Op het eerste gezicht lijkt het een gewoon getal, maar als je je erin verdiept, dan zal je erachter komen dat dit gewone getalletje in allerlei verschillende vormen terugkomt. Zo vind je deze verhouding heel vaak terug in de vrije natuur. Maar ook de mensen gebruiken dit getal of deze verhouding heel vaak, bewust of onbewust. Zo zie je de Gulden snede vaak terug in de kunst en in de architectuur. Ook werd aan de Gulden snede en bijvoorbeeld vormen als het pentagram, die de Gulden snede in zich hebben, speciale krachten toegekend. En dat al duizenden jaren! De Gulden snede is namelijk al bekend sinds de klassieke oudheid. De eerste persoon waarvan wij weten dat hij zich bewust met de Gulden snede bezig hield was de beroemde wiskundige Pythagoras. Dit was al in de zesde eeuw voor Christus! Pas rond 1835 krijgt het getal echter de naam Gulden Snede. Maar daarvoor bleek de Gulden snede ook gebruikt te zijn, alleen dan waarschijnlijk niet bewust. Zo werd deze verhouding al bij heel oude Griekse tempels gebruikt. Toen vonden de mensen dit blijkbaar al een mooie verhouding. Later kwam men pas achter de wiskunde die achter dit getal zit. Ondertussen hebben vele wiskundigen de Gulden snede onderzocht en hebben vele kunstenaars zich door dit getalletje laten inspireren. Sommige mensen menen zelfs dat de Gulden snede in beurskoersen voorkomt.

4 2

5 3 Pythagoras was een beroemde wiskundige. Hij was vooral beroemd omdat hij de zogenaamde stelling van Pythagoras zou hebben bedacht. Er wordt echter ook wel gezegd dat de Babyloniërs deze al eerder hadden bedacht. Hij was de eerste die een zogenaamde Gulden rechthoek tekende. Pythagoras leefde van 575 voor Christus tot 500 voor Christus. Er is maar weinig informatie over hem bekend. Hij was geboren in Samos. Zijn vader, Mnesarchus, was een koopman. Hij reisde veel met zijn vader. Waarschijnlijk had hij twee broers. Er waren drie mensen die eraan hebben bijgedragen dat hij zoveel interesse had voor wiskunde en astrologie: Pherekydes, Thales en Anaximander. Thales raadde Pythagoras aan om naar Egypte te reizen, om zo meer over wiskunde te leren. Rond 535 voor Christus reisde hij daarom naar Egypte. In 525 brak er oorlog uit en werd hij gevangen genomen. Wanneer hij vrijkwam is niet bekend, maar men weet wel dat hij rond 520 voor Christus terugkeerde naar Samos. Hierna reisde hij nog naar Italië, wanneer precies weet men niet. In Italië stichtte Pythagoras een soort wetenschapsgeloof. De mensen die bij dit genootschap kwamen, werden pythagoreërs genoemd. Het geloof ging ervan uit dat na de dood de ziel bleef leven en daarom moest men reinheid van de ziel proberen te bereiken en behouden. Om dat te doen moest men eerbied hebben voor alles wat leefde, maar die reinheid kon ook bereikt worden door het beoefenen van wetenschap (vooral door kennis van eigenschappen van het getal ). Met het getal bedoelde hij: de juiste verhoudingen. Deze verhoudingen zouden het hele heelal beheersen en moest daarom ook de mensheid beheersen. Het leuke hieraan is dat de Gulden Snede zo vaak terugkomt in de natuur, het lijkt wel alsof dit de juiste verhouding is, het getal dat de natuur beheerst! Maar de Gulden Snede zie je niet alleen in de natuur. In allerlei vormen kan je de Gulden Snede terugvinden. Een voorbeeld hiervan is het pentagram. Een pentagram is een stervormige regelmatige vijfhoek. Hij wordt gevormd door de lijnen van een regelmatige vijfhoek door te trekken. Het pentagram wordt ook wel pentalpha of drudenvoet genoemd. In dit figuur kan je de Gulden Snede ook terugvinden. Het pentagram was ook het herkenningsteken van de pythagoreërs. Tot nu toe wordt het ook als herkenningsteken voor vele andere groepen gebruikt, misschien wel omdat

6 het teken de verhouding van de gulden snede in zich heeft. Het pentagram werd dan ook (en wordt nog steeds) als een soort heilig figuur gezien. Hieronder zie je een pentagram met de Gulden snede die daarin zit, aangegeven.

7 4 De meeste dobbelstenen die we kennen hebben zes vlakken, het zijn kubussen. Ook bestaan er dobbelstenen met vier, acht, twaalf of zelfs twintig vlakken. Dit zijn dan ook meteen alle vijf de verschillende soorten platonische lichamen. Andere namen voor deze lichamen zijn: het regelmatige viervlak (tetraëder, piramide), zesvlak (kubus), achtvlak (octaëder), twaalfvlak (dodecaëder) en het twintigvlak (icosaëder). Platonische lichamen is een andere benaming voor veelvlakken. Een veelvlak is een ruimtelijke figuur die begrensd wordt door regelmatige veelhoeken (driehoeken, vierhoeken, enz.). Regelmatige veelvlakken hebben mooie eigenschappen die samenhangen met symmetrie. tetraëder {3,3} - kubus {4,3} - octaëder {3,4} - dodecaëder {5,3} - icosaëder {3,5} Al in de Griekse oudheid was er grote fascinatie voor symmetrie, niet alleen van vlakke figuren, zoals driehoeken, maar ook van ruimtelijke figuren. In de 'Timaeus' worden door Plato deze vijf lichamen beschreven. Hier komt dan ook de naam 'platonisch' vandaan. Volgens Plato is alles waar 'platonisch' voor staat een bestanddeel van een hogere, volgens hem de enige echte, realiteit. Een wereldse kubus is een gebrekkige, nagemaakte kubus. Het origineel bevindt zich in een hogere wereld. Maar gelukkig kun je de platonische lichamen wel downloaden! In het platonische wereldbeeld dienen de regelmatige veelvlakken als basiseenheid voor de vijf elementen: vuur, water, aarde, lucht en ether. Wanneer je op ieder vlak van de kubus een punt in het centrum plaatst en deze punten onderling verbindt, dan ontstaat een ander (het duale) platonische lichaam, namelijk het octaëder. Iets dergelijks is van toepassing op het tetraëder. Er bestaat een notatiesysteem voor platonische lichamen, bijvoorbeeld (3,3) voor de tetraëder betekent: aan ieder hoekpunt van het lichaam grenzen precies 3 vlakken, die ieder 3 zijden tellen. Het is mogelijk een veelvlak van tien gelijkzijdige driehoeken te samen te stellen. Johan Kepler realiseerde zich als eerste dat 12 pentagrammen op twee manieren in paren langs aan de randen aan elkaar vastgemaakt kunnen worden tot een vorm. Als vijf pentagrammen bij elke hoek bij elkaar komen, krijg je het figuur "kleine, stervormige dodecaëder. Als drie pentagrammen aan elke hoek bij elkaar komen, krijg je het figuur "grote stervormige dodecaëder. De (misschien) verassende reden voor deze namen zullen snel duidelijk worden. Twee eeuwen later, in 1809, ontdekte Louis Poinsot nog twee niet-bolvormige regelmatige vormen: de grote dodecaëder en de grote icosaëder. De twaalf zijden

8 van de grote dodecaëder zijn pentagrammen (net zoals bij de gewone dodecaëder), maar die elkaar kruisen. Net zo zijn de zijden van de grote icosaëder de 20 driehoeken van de normale icosaëder, maar kruisen elkaar. De grote dodecaëder is een erg plezierig en intrigerende vorm, het geeft de illusie van een pentagram-ster die bij elk pentagram uitsteekt; elke ster deelt een van zijn armen met een andere, zodat de ene ster verdwijnt als je op een andere let! kleine stervormige dodecaëder - grote stervormige dodecaëder

9 5 Leonardo Fibonacci was een beroemd wiskundige. Leonardo Pisano Bigollo Fibonacci werd geboren rond 1170 in het Italiaanse stadje Pisa. Fibonacci komt van filius Bonacci, wat zoon van Bonacci betekende. Zijn vader was Guilielmo Bonacci, een secretaris van de Republiek Pisa en later verantwoordelijk voor een handelskolonie van Pisa in Algerije. Een tijdje nadat zijn vader verantwoordelijk gesteld was voor de handelkolonie, werd Fibonacci door zijn vader meegenomen naar Algerije. Zijn vader wilde dat hij een koopman zou worden en daarom zorgde hij ervoor dat Leonardo leerde rekenen, ook in Arabische cijfers, die toen nog niet in Europa gebruikt werden. Daarna regelde zijn vader een baan voor hem en hij werd op reis gestuurd naar vele verschillende plekken: Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en Provence. Hij leerde in elk gebied weer iets nieuws over wiskunde. Rond 1200 keerde hij terug naar Pisa om aan zijn eigen wiskundige werken te werken. Deze werken zijn ons bekend: Liber abbaci, Practica geometriae, Flos en Liber quadratorum. Hij heeft er ongeveer 25 jaar over gedaan om deze boeken te schrijven. Toen hij leefde, was hij al zo n bekend wiskundige dat hij werd gevraagd om voor een publiek te laten zien wat hij kon. Er is vrijwel niet bekend van zijn leven na 1228, behalve dat hij een soort prijs heeft gekregen. Hij is na 1940 overleden, waarschijnlijk in Pisa. Toe ik de naam Leonardo Fibonacci zag, moest ik denken aan een boek. In het boek kruistocht in spijkerbroek van Thea Beckman komt ook een Leonardo Fibonacci uit Pisa voor. In dat boek is hij ook op reis. Hierin leert hij van de hoofdpersoon de Arabische cijfers. Maar wat heeft Fibonacci nou eigenlijk te maken met de Gulden Snede? Het verband tussen deze twee is een rijtje getallen:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, enz. Dit zijn de getallen van Fibonacci. Je krijgt deze cijfers door de twee laatste cijfers bij elkaar op te tellen, bijvoorbeeld: 1+1=2 1=2=3 2+3=5 3+5=8 enz.. Hoe kwam hij aan deze getallen? Rond 1202 raakte hij geinteresseerd in de voortplanting van konijnen. Hij bedacht de volgende situatie in verband met de konijnen: 1. Je begint met één mannelijk en een vrouwelijk konijn. Deze zijn net geboren. 2. Een konijn is na een maand geslachtsrijp. 3. De draagtijd van een konijn is één maand. 4. Als zij vruchtbaar is, zal een vrouwtje elke maand bevallen. 5. Een vrouwelijk konijn zal altijd bevallen van één mannetje en één vrouwtje. 6. Konijnen gaan nooit dood. Als je van deze situatie uitgaat, krijg je voor elke maand het volgende getal van Fibonacci. Kijk maar eens: Maand #0: er is één paar konijnen. Maand #1: na één maand hebben de konijnen wel gepaard, maar het vrouwtje is nog niet bevallen. Er is nog steeds één paar konijnen. Maand #2: het vrouwtje bevalt van één nieuw paar, er zijn nu dus twee paartjes. Maand #3: het eerste paar bevalt weer, het tweede paar paart. Er zijn nu dus drie paartjes. Zo kunnen we nog een hele tijd doorgaan. Op deze manier is Fibonacci dus aan zijn getallenrij gekomen.

10 Om te weten te komen of een bepaalde waarde in dit rijtje thuishoort, zou je alle voorgaande getallen moeten weten. Bij heel grote getallen is dit heel onhandig. Er is echter nog een manier om daar achter te komen. In 1843 vond Jacques Philippe Marie Binet een formule om te weten te komen of een cijfer bij de getallen van Fibonacci hoort. Deze formule luidt: Hierin is x het zoveelste nummer in de rij van Fibonacci (x=5 zou betekenen dat je het vijfde nummer uit de rij van Fibonacci berekent). Maar wat is nu precies het verband tussen de getallen van Fibonacci en de Gulden snede? Het verband tussen deze twee zijn de verhoudingen. Als je kijkt naar de verhoudingen van de getallen van Fibonacci zie je het volgende: v(1) = 1 / 1 = 1 v(2) = 2 / 1 = 2 v(3) = 3 / 2 = 1.5 v(4) = 5 / 3 = 1.67 v(5) = 8 / 5 = 1.6 v(6) = 13 / 8 = v(7) = 21 / 13 = Het valt op dat de verhoudingen van deze getallen steeds meer gaan lijken op de verhouding van de Gulden snede. Zo is de verhouding vande Gulden snede ongeveer 1:1,618 en in het bovenstaande rijtje zie je dat bij de laatste de verhouding tussen de getallen 1:1,618 is. Hoe groter de getallen van Fibonacci, hoe meer de verhoudingen op elkaar gaan lijken! Deze verhoudingen zullen natuurlijk nooit hetzelfde worden, omdat de Gulden snede geen uitkomst heeft; je kan er hoogstens een benadering van maken.

11 Nu zie je het verband wel in de getallen, maar je komt het verband ook tegen in bijvoorbeeld een Gulden rechthoek. Hieronder zie je een Gulden rechthoek met daarin een Gulden spiraal getekend. Hieronder zie je een rechthoek, verdeeld volgens de getallen van Fibonacci, met een Fibonacci-spiraal erin getekend. Als je de twee spiralen nu over elkaar heenlegt zie je het volgende: Je ziet dat de lijnen elkaar enkele malen kruisen, daaraan zie je dat de verhoudingen niet precies hetzelfde zijn. Maar hoe verder naar buiten je gaat, hoe meer de twee lijnen één lijken te worden. Hieraan zie je dus ook dat het verschil steeds kleiner wordt.

12 6 Een gulden rechthoek is een rechthoek, dat bestaat uit een rechthoek en een vierkant. De verhouding tussen de kleine rechthoek en de grote rechthoek is de gulden snede. De gulden rechthoek wordt voorgesteld als de beste van alle rechthoeken. Daarom worden de gulden rechthoek en de gulden snede al duizenden jaren gebruikt in kunst en architectuur. De bekendste toepassingen van de gulden rechthoek in de kunst zijn ontworpen door de Italiaanse kunstenaar, uitvinder en wiskundige Leonardo da Vinci. De Mona Lisa, da Vinci's bekendste schilderij, zit vol met gulden rechthoeken. Als je en rechthoek tekent met de breedte van de rechter pols tot aan de linker elleboog en je maakt daar een lengte bij tot aan het hoofd, heb je een gulden rechthoek. Als je dan een horizontale lijn trekt onder de kin die van de ene zijde tot aan de andere zijde van de rechthoek loopt, heb je de eerste verdeling. Als je daarna een verticale lijn trekt recht door het rechteroog, krijg je de tweede verdeling. Dan een horizontale onder de ogen, een verticale links van de neus, een horizontale boven de mond en een verticale aan de andere kant van de neus. Het is ook opvallend dat de houding van Lisa te vergelijken is met een driehoek, waarbij de armen de basis zijn en het hoofd de top. Het hoofd wordt veel opvallender, doordat de lijnen van die driehoek daar naartoe wijzen. Men denkt dan Leonardo da Vinci, als wiskundige, expres deze lijnen en verhoudingen in dit schilderij voegden om zo de wiskunde en de kunst te combineren. Da Vinci's bekendste studie van de afmetingen van de mens, "The Vetruvian Man", zit ook vol met gulden rechthoeken. Niet zoals bij de Mona Lisa, waarbij de verhoudingen en lijnen verstopt zitten, zijn bij "The Vetruvian Man" een aantal van die lijnen wel weergegeven. Er zijn drie delen met de gulden rechthoek in deze tekening: een deel met het gehele hoofd, een deel met de romp, en een met de benen. Om het eerste deel te vinden, het deel met het hoofd, moet je een rechthoek tekenen met de zijden van de ene schouder tot aan de andere schouder. De bovenkant van de rechthoek moet de bovenkant van z'n hoofd raken.

13 Nu heb je de eerste gulden rechthoek. Als je een vierkant tekent vanaf de linkerkant om het hoofd, krijg je aan de andere kant van het vierkant een gulden rechthoek. Dit kan ook met de rechterkant van het hoofd. Het tweede deel van de rechthoeken is op een vergelijkbare manier te vinden: teken een rechthoek die loopt van de ene elleboog tot aan de andere en van de nek tot aan het middel. Als je dan op dezelfde manier als bij het eerste deel deze rechthoek verdeelt, krijg je ook weer nieuwe gulden rechthoeken. Om het derde en laatste deel te vinden, teken je weer een rechthoek van het middel tot aan de tenen van de uiterste voeten. Deze rechthoek verdeel je weer op dezelfde manier als bij de twee andere delen.

14 7 Zoals al eerder gezegd, komt de Gulden snede ook vaak voor in de architectuur. Het oudste voorbeeld dat we kennen, zijn de Egyptenaren. Bij de tempel van Gizeh werd de Gulden snede al gebruikt. Later zien we de Gulden snede vooral terug in Griekse en Romeinse bouwwerken (bijvoorbeeld een van de beroemdste tempels, het Parthenon) en in architectuur uit de Renaissance. Dat laatste is natuurlijk logisch, als je bedenkt dat men in de Renaissance een voorbeeld nam aan de Klassieken en probeerden een perfect evenwicht te vinden. Piramides werden door de oude Egyptenaren gebruikt als begraafplaats voor de farao. De farao werd in zijn eigen piramide begraven en nam veel van zijn rijkdom mee het graf in. De bouw van deze piramides nam jaren in beslag. Bijna alle piramides zijn gebouwd tussen 2700 en 1700 v. Chr. Een aantal piramides is nog overgebleven en deze zijn dan ook een gewild onderzoeksobject voor wetenschappers. Naast de schat aan historisch materiaal, bieden ze ook mogelijkheden tot wiskundig onderzoek. Zo blijkt ook de Gulden Snede een rol te spelen in de architectuur van sommige piramides. Een goed voorbeeld daarvan is de Grote Piramide in Gizeh, gebouwd rond 2500 v. Chr. De hellingshoek die de schuine vlakken van deze piramide maken, is 51,85 graden. Wanneer we een dwarsdoorsnede van de piramide maken, op deze manier: dan krijgen we de volgende driehoek: Hierin is α 51,85 graden. Wanneer we nu een schuine zijde lengte 1 geven, dan kun je uitrekenen dat de horizontale zijde dat is de halve breedte van de piramide lengte y heeft. De gulden snede komt dus terug in het ontwerp van de piramides in Egypte. Men weet echter niet of men zich bewust was van deze verhoudingen of dat dit toeval was. Is dit toeval? Daarnaar kunnen we natuurlijk alleen raden. Er zijn wetenschappers die denken dat wanneer deze manier van bouwen werd gebruikt, de piramides beter bestand waren tegen aardbevingen. Het kan heel goed zijn dat deze piramide daarom bewaard is gebleven. Men weet dus niet of de Egyptenaren de Gulden snede kent, maar van de oude Grieken weet men wel dat zij deze kennen. De Gulden Snede is door de Grieken toegepast in hun bouwwerken, zoals het Partehon. Het Parthenon is een oude Griekse Tempel. Er is nu nog een ruïne van over. De tempel is ontworpen door Ictinus en Callicrates, volgens wiskundige principes. Het beeldhouwwerk is gemaakt onder leiding van Phidias. Hij is degenen naar wie de

15 Gulden Snede (Phi) genoemd is. Het is gebouwd van 477 tot 438 voor Chr. De afmetingen van de tempel zijn ongeveer 30m bij 70 m. Hieronder zie je een simpele schets met daarop de verhoudingen van de Gulden snede getekend. In het volgende plaatje zie je dat de voorkant van het Parthenon is ingedeeld volgens de Gulden Rechthoek: Na de ontdekking van de Gulden Snede door de Grieken zijn er nog velen geweest, die de Gulden Snede als verhouding in hun kunstwerken gebruikt hebben. Zo ook de architecten van de Renaissance. In de Renaissance (wedergeboorte) werd de Gulden snede heel vaak gebruikt. Aan de verhoudingen (hoogte, lengte en breedte) werd veel aandacht besteed.

16 8 De Fibonacci getallenreeks en de gulden snede zie je ook terug in de kunst. Zo vind je het bijvoorbeeld in muziekstukken, muziekinstrumenten, foto's en schilderijen. Dit is een voorbeeld van de Fibonacci getallenreeks in de muiziek: 13 noten scheiden elk octaaf van 8 noten in een toonladder, waarvan de 5de en 3de noten de ondergrond vormen van alle akkoorden, en zijn gebaseerd op hele tonen die 2 stappen van de hoofdtoon verwijderd ligt, die de 1ste noot is van de toonladder. Ook is de piano verdeeld in 13 toetsen, waarvan er 8 wit zijn en 5 zwart, gegroepeerd in sets van 3 en 2. Enkele voorbeelden van de gulden snede in schilderijen en foto's: Dit is een foto van een tentoonstelling over abstracte kunstwerken, de foto zelf is ook een soort kunstwerk. Zo staan de vazen op de foto precies op een plaats zodat ze in de verhouding van de gulden snede staan. Bij dit schilderij is duidelijk de verhouding van voorste rand van de vissenkom en het totale schilderij te zien. Verder staat de vissenkom precies in het midden van de breedte van het schilderij. Dit kunstwerk is met computer getekend. De verhouding van de middenlijn van een bal en de totale hoogte van een bal is gelijk aan de gulden snede. Ook het midden van de voorste bal en de lengte van het totale kunstwerk staat in die verhouding. Dit is een foto die is bijgewerkt op de computer. Het midden van het meisje staat in de verhouding met de lengte van de totale foto als de gulden snede. Ook het meisje zelf staat in die verhouding. (van het hoofd tot het middel en van het middel tot de voeten)

17 9 Roger Penrose (1931) is hoogleraar wiskunde aan de Universiteit van Oxford en tevens hoogleraar geometrie aan het Gresham College in Londen. Hij studeerde aan de University College School en University College in Londen en promoveerde aan St. John's College in Cambridge. Hij had verschillende hoge posities in de wetenschap en ontving een groot aantal prijzen en onderscheidingen. Zo kreeg hij in 1988 samen met Stephen Hawking de Wolf Prize voor zijn kennis en onderzoek van het heelal. Ook kreeg hij de Albert Einsteinprijs. In 1989 werd zijn boek 'The Emperor's New Mind' een bestseller en won het de Science Book Prize. Zijn meest recente boeken zijn 'The Nature of Space and Time' (1996) dat hij samen met Stephen Hawking schreef en 'The Large, the Small and the Human Mind' (1997). Hij heeft belangstelling voor vele onderwerpen van de geometrie en heeft veel meegeholpen aan onderzoek naar de relativiteitstheorie en de quantumtheorie. Al dertig jaar probeert hij, door een eigen theorie, de quantummechanica samen te voegen met de relativiteitstheorie. In 1994 werd hij geridderd voor zijn bijdragen aan de wetenschap. Wat zijn Penrose betegelingen? Een Penrose betegeling is een soort van mozaïek van slechts 2 verschillende figuren. Deze figuren kunnen elke vorm hebben die je zelf wilt, maar de oppervlaktes van de twee figuren moeten in de verhouding 1 : 0,618 zijn. Vaak worden twee figuren gebruikt die allebei een ruit zijn, de hoeken van de ene figuur zijn dan 36 en 144 graden (fig. A) en de hoeken van de andere zijn dan 72 en 108 graden (fig. B). Deze figuren worden zo tegen elkaar aangelegd, dat ze een sluitende betegeling vormen. Maar het belangrijkste bij een Penrose betegeling is, dat het patroon van ruiten zich nergens herhaalt. Het is wel mogelijk dat delen van het patroon zich herhalen, maar als je dan één ruit erbij neemt, is dat vaak al niet meer het geval. Deze techniek wordt al jaren door verschillende wetenschappers en nietwetenschappers bestudeerd. Er zijn al vele computerprogramma's ontworpen, die je helpen bij het tekenen van zo'n mozaïek. Deze Penrose betegeling heb we zelf hebben gemaakt: (het is niet zo groot want anders zou het te moeilijk worden)

18 10 Conclusie De gulden snede blijft toch dat ene getalletje 0,618 (wel al duizenden jaren een héél mooi getalletje). Nu weten wij alleen wel dat je het echt overal terug kunt vinden. Dat is misschien wel een van de problemen als je de Gulden snede onderzoekt; je kan eigenlijk overal de Gulden snede in vinden als je maar lang genoeg zoekt.

19 Bronnen 10 Websites: Boeken: Afwegingen over de Gulden snede J. Kuijper De Gulden snede - Wim Kleijne en Ton Konings De Gulden snede - C.J. Snijders De ontstelling van Pythagoras Albert van der Schoot

Het irrationaal getal phi (φ)

Het irrationaal getal phi (φ) Het irrationaal getal phi (φ) De gulden snede Het irrationaal φ is ongeveer 1,6180339887 Dit getal is terug te vinden in veel maten en verhoudingen van lengtes van oude Griekse beeldhouwwerken, architectuur

Nadere informatie

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische

Nadere informatie

1 - Geschiedenis van de Algebra

1 - Geschiedenis van de Algebra 1 - Geschiedenis van de Algebra De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: A1 - Maak 5 van de 19 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 5 verspreid over de 19. A2

Nadere informatie

4 - Stelling van Pythagoras

4 - Stelling van Pythagoras 4 - Stelling van Pythagoras De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: D1 - Maak de 5 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. D2 - Maak een powerpoint over de stelling van

Nadere informatie

Heilige Geometrie. Gulden Snede-verhouding weergegeven in een tekening.

Heilige Geometrie. Gulden Snede-verhouding weergegeven in een tekening. Heilige Geometrie De Heilige geometrie is een soort van paraplu waaronder onder andere de Gulden Snede valt, die ik hier ga uitleggen. Het is een verhouding. Een verhouding die de blauwdruk vormt voor

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

Object 1:

Object 1: Project Wiskunde & Schoonheid Wat is schoonheid? En waarom vinden we bepaalde dingen mooi? Wat is de Gulden Snede? En wat heeft die te maken met de Fibonacci-rij? Wat heeft wiskunde met schoonheid te maken?

Nadere informatie

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi... Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,

Nadere informatie

Kopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci

Kopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci 1 1 3,14 4 Kopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci Grote Rekendag 26 www.rekenweb.nl 71 1 1 3,14 4 72 www.rekenweb.nl Grote Rekendag 26 1 1 3,14 4 Het konijnenprobleem Een familie konijnen kan heel

Nadere informatie

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen.

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen. De rij van Fibonacci Leonardo di Pisa (/ ca. 1170, artiestennaam Fibonacci, invoerder van de Indische cijfers in Europa), zat in 1202 met het volgende zware wiskundige probleem: Stel: een boer koopt op

Nadere informatie

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing

Nadere informatie

Bouwen met veelhoeken

Bouwen met veelhoeken Bouwen met veelhoeken Opdrachtbladen Jantine Bloemhof Inhoud De vormen........................ 1 Veelhoeken samenvoegen: van klein naar groot........... 2 Tegelpatronen....................... 6 Platonische

Nadere informatie

Veelvlak. Begrippenlijst

Veelvlak. Begrippenlijst Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen

Nadere informatie

Schaduwopgaven Verhoudingen

Schaduwopgaven Verhoudingen Schaduwopgaven Verhoudingen bij 5 Een vierkant wordt verknipt in zeven driehoeken, zoals hiernaast. Het grijze driehoekje gooien we weg. Wat is de verhouding van de oppervlakte van de andere zes? na 10

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

DE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN

DE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN HET NUT VAN DE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN In dit hoorcollege ga ik het hebben over mijn onderzoek naar de gulden snede met betrekking tot web design. De gulden snede fascineert me al van jongs af aan en

Nadere informatie

Pythagoras van Samos (+- 565 v Chr., +- 497 v. Chr.)

Pythagoras van Samos (+- 565 v Chr., +- 497 v. Chr.) Pythagoras van Samos (+- 565 v Chr., +- 497 v. Chr.) Pythagoras was een Griekse filosoof en in mindere mate ook een wiskundige Over het geboortejaar van Pythagoras bestaat heel wat onzekerheid. Wat vaststaat,

Nadere informatie

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Ab van der Roest Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het

Nadere informatie

Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016

Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016 Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016 Wiskunde is een wetenschap waarin precies geredeneerd wordt over getallen, figuren in de ruimte, of formele structuren in het algemeen. In

Nadere informatie

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016 In het juninummer zagen we hoe we met behulp van de piramidemethode en invarianten ruimtelijke figuren binnenstebuiten kunnen keren. Aan de invarianten stelden we voorwaarden, zoals dat alle vlakken zoveel

Nadere informatie

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN 93 5.0 INTRO 1 Op het werkblad vind je vier bouwplaten. Knip ze uit en zet ze in elkaar. Je krijgt drie piramides en een kubusvormige doos zonder deksel. a De drie piramides passen precies in de doos.

Nadere informatie

Regelmaat in de ruimte

Regelmaat in de ruimte Regelmaat in de ruimte . Regelmaat in de ruimte A.K. van der Vegt VSSD iv VSSD Eerste druk 1991, tweede druk 2002 Uitgave van: VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel. +31 15 27 82124,

Nadere informatie

Collegeweek 2: De Gulden Snede. Wiskunde door de eeuwen heen, De Gulden Snede

Collegeweek 2: De Gulden Snede. Wiskunde door de eeuwen heen, De Gulden Snede Collegeweek 2: 1 Inhoud I. De regelmatige veelvlakken II. Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken III. Van Paciola tot Escher IV. De regelmatige vijfhoek V. Een bijzonder verhoudingsgetal VI. Penrose-betegelingen

Nadere informatie

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt]

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] [Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] Inleiding 1.1. Waar gaat het over? Vraag je aan iemand om een veelvlak te noemen,

Nadere informatie

in een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde

in een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde Stellingenboekje in een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde Laat het kind met de latjes voor de geometrie een paars, lichtbruin en een geel latje pakken en hiermee een driehoek

Nadere informatie

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn. Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn. Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993 Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993 De tentoonstelling Ruimte en Reliëf in Kasteel Groeneveld te Baarn, waar Popke

Nadere informatie

Ontdek Polydron en Polydron Frameworks

Ontdek Polydron en Polydron Frameworks Ontdek Polydron en Polydron Frameworks Bob Ansell Contactgegevens Polydron Site E,Lakeside Business Park Broadway Lane South Cerney Cirencester Gloucestershire GL7 5XL Tel: +44 (0)1285 863980 Email: headoffice@polydron.com

Nadere informatie

2.5 Regelmatige veelhoeken

2.5 Regelmatige veelhoeken Regelmatige veelhoeken 81 2.5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een figuur met zijden die allemaal even lang en hoekendieallemaalevengrootzijn. Wezijneraleenpaartegengekomen: de regelmatige

Nadere informatie

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET...

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET... In dit artikel laten we zien hoe je een kubus, een rombendodecaëder en een afgeknotte octaëder kunt omvormen tot een. Om de constructie zelf uit te voeren, heb je de bouwtekeningen nodig die bij dit artikel

Nadere informatie

TEKENEN. beeldende vorming. Vlakvullingen. hoofdstuk 13: vlakvulling

TEKENEN. beeldende vorming. Vlakvullingen. hoofdstuk 13: vlakvulling Vlakvullingen Tekeningen zoals hierboven heb je vast weleens eerder gezien, bijvoorbeeld op één van de posters in de wiskundelokalen. Het is het werk van Escher.Je kent hem misschien ook wel van de onmogelijke

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 VBO en MAVO Klas 3 en 4 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

Examen VBO-MAVO-D Wiskunde

Examen VBO-MAVO-D Wiskunde Examen VBO-MAVO-D Wiskunde Voorbereidend Beroeps Onderwijs Middelbaar Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 13.30 15.30 uur 20 01 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen;

Nadere informatie

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Onmogelijke figuren Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Je hebt vast wel eens een stripboek

Nadere informatie

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Gemaakt door: Harm Bakker Peter Vaandrager April 2002. Met dank aan mevr.o. De Meulemeester van KSO Glorieux uit Ronse in België. Geschiedenis

Nadere informatie

Aanzichten en inhoud. vwo wiskunde C, domein G: Vorm en ruimte

Aanzichten en inhoud. vwo wiskunde C, domein G: Vorm en ruimte Aanzichten en inhoud vwo wiskunde C, domein G: Vorm en ruimte 1 Verantwoording 2015, SLO (nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling), Enschede Dit lesmateriaal is ontwikkeld in het kader van de nieuwe

Nadere informatie

a 2 +b 2 =c 2 www.stocs.nl patent pending / rights reserved / info@stocs.nl

a 2 +b 2 =c 2 www.stocs.nl patent pending / rights reserved / info@stocs.nl Bouwen met touwen spelend leren a 2 +b 2 =c 2 Met S TOCS kunnen kinderen spelenderwijs kennis maken met wiskunde, techniek en architectuur. STOCS bouwwerken bestaan uit lijnen, vlakken en hoeken. Wat zijn

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Viervlakken. Op een tafel vóór je staan vier viervlakken V 1, V 2, V 3 en V 4. Op elk grensvlak

Nadere informatie

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige.

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige. Artikel uit Euclides, maart 2010, jrg. 85, no. 5, Tijdschrift van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met

Nadere informatie

By Tom Straub, : het visitekaartje van Jezus Christus een wiskundeboekje voor jonge denkers

By Tom Straub, : het visitekaartje van Jezus Christus een wiskundeboekje voor jonge denkers By Tom Straub, 1984 153: het visitekaartje van Jezus Christus De rij der rijen De sleutel tot het vinden van de rij der rijen is te vinden achterin het evangelie van Johannes, waarin wordt gesproken over

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

Geschiedenis hoofdstuk 3

Geschiedenis hoofdstuk 3 Geschiedenis hoofdstuk 3 Romeinse rijk 500 v Christus 500 na Christus Rome de eeuwige stad : deze stad bestaat al eeuwenlang. De tijdlijn Het Romeinse rijk begint 500v Chr. En eindigt 500 na Christus.

Nadere informatie

Een hecatonicosachoron op het Kottenpark

Een hecatonicosachoron op het Kottenpark Een hecatonicosachoron op het Kottenpark Afgeknotte Hecatonicosachoron Deze schaduw van deze 4-dimensionale polytoop bestaat uit 120 afgeknotte dodecaëders en 600 tetraëders Gebouwd op 30 januari 2010

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

De renaissance!! Waarschijnlijk heb je al eens van deze term gehoord bij het bezoeken van museums of tijdens lessen geschiedenis.!

De renaissance!! Waarschijnlijk heb je al eens van deze term gehoord bij het bezoeken van museums of tijdens lessen geschiedenis.! De renaissance Waarschijnlijk heb je al eens van deze term gehoord bij het bezoeken van museums of tijdens lessen geschiedenis. Deze term betekent letterlijk de wedergeboorte, en is een kunststroming uit

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Op het werkblad staat de uitslag van een kijkdoos, die omstreeks 1980 als doos gebruikt is om gebak bij een bakker in te pakken.

Op het werkblad staat de uitslag van een kijkdoos, die omstreeks 1980 als doos gebruikt is om gebak bij een bakker in te pakken. 1 Een kijkdoos Op het werkblad staat de uitslag van een kijkdoos, die omstreeks 1980 als doos gebruikt is om gebak bij een bakker in te pakken. Knip de uitslag uit. Breng op de aangegeven plaatsen gleuven

Nadere informatie

wizsmart 2016 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 50 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizsmart 2016 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 50 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl www.education.ti.com wizsmart 206 Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe rekenmachine is niet toegestaan je hebt 50 minuten de tijd www.smart.be

Nadere informatie

Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets:

Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets: Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen Instap Een opgave uit de oefentoets: Van welke verpakkingen is de vorm een prisma? A. Pak spaghetti blikje chocomel doosje

Nadere informatie

De Cantitruncated 600 cel

De Cantitruncated 600 cel De Cantitruncated 600 cel Afgeknotte icosahedrische prismatohexacosihecatonicosachoron Paul van de Veen info@vandeveen.nl januari 2013 I. De 5 Platonische lichamen In één dimensie bestaan alleen maar lijnen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

1 Wiskunde, zeker. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. duimstok Timmerman Hoe lang iets is.

1 Wiskunde, zeker. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. duimstok Timmerman Hoe lang iets is. 1 2 1 Wiskunde, zeker duimstok Timmerman Hoe lang iets is. Blokhaak: Timmerman Of een hoek haaks is. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. Zeven munten: een van 1-eurocent, twee van 2-eurocent,

Nadere informatie

Hendrick Avercamp, de winterschilder

Hendrick Avercamp, de winterschilder Hendrick Avercamp, de winterschilder Hendrick Avercamp werd in 1585 geboren in Amsterdam. Hij was een zoon van Berent Avercamp en Beatrix Vekemans. In 1586 verhuisde het gezin naar Kampen. Zijn vader kreeg

Nadere informatie

wiskunde C pilot vwo 2017-I

wiskunde C pilot vwo 2017-I De formule van Riegel en kilometertijden De marathonloper Pete Riegel ontwikkelde een eenvoudige formule om te voorspellen welke tijd een hardloper nodig zou hebben om een bepaalde afstand af te leggen,

Nadere informatie

1 Meetkunde en Algebra

1 Meetkunde en Algebra 1 Meetkunde en Algebra Het eerste deel van dit hoofdstuk is een bewerking van Meetkunde met coördinaten, Blok Redeneren met vormen, getallen en formules van Aad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma

Nadere informatie

A. 54e B. 55e C. 56e D. 57e

A. 54e B. 55e C. 56e D. 57e Opgave 1 De Internationale Wiskunde Olympiade (IWO) is een jaarlijkse wiskundewedstrijd voor middelbare scholieren. Het is de oudste internationale wetenschapsolympiade. De eerste IWO werd gehouden in

Nadere informatie

Griekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK

Griekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK Griekenland Zoals Berlinghoff schrijft, was de Griekse wiskunde sterk op de meetkunde gericht. We zullen daarom vooral naar de meetkunde kijken. Eerst zullen we twee van de drie klassieke problemen (Berlinghoff

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTFETTE 2014 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 00 1 (20 punten) Gegeven zijn drie aan elkaar rakende cirkels met straal 1. Hoe groot is de (donkergrijze) oppervlakte

Nadere informatie

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde vmbo gl/tl 2009 - I OVERZICHT FORMULES: omtrek cirkel = π diameter. oppervlakte cirkel = π straal 2

Eindexamen wiskunde vmbo gl/tl 2009 - I OVERZICHT FORMULES: omtrek cirkel = π diameter. oppervlakte cirkel = π straal 2 OVEZICHT FOMULES: omtrek cirkel = π diameter oppervlakte cirkel = π straal 2 inhoud prisma = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud kegel = 1 3 oppervlakte grondvlak

Nadere informatie

Dat akelige rekenen. Mario M. Montessori. Een herdruk uit AMI Communications AMI 1960 Gepubliceerd met toestemming; als eerbetoon aan Kit Steenberghe

Dat akelige rekenen. Mario M. Montessori. Een herdruk uit AMI Communications AMI 1960 Gepubliceerd met toestemming; als eerbetoon aan Kit Steenberghe Dat akelige rekenen Mario M. Montessori Een herdruk uit AMI Communications AMI 1960 Gepubliceerd met toestemming; als eerbetoon aan Kit Steenberghe Is rekenen eigenlijk wel zo akelig? Lees dit eens. Het

Nadere informatie

tafel, inclusief de speelruimte, te plaatsen, volgens het advies van de leverancier afgerond 31 m 2 is.

tafel, inclusief de speelruimte, te plaatsen, volgens het advies van de leverancier afgerond 31 m 2 is. Tafeltennistafel Op de foto hiernaast staat een betonnen tafeltennistafel voor buiten. De tafel bestaat uit 2 onderdelen: een cilindervormige poot en een blad dat hierop bevestigd is. Het massieve blad

Nadere informatie

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R

Nadere informatie

Wiskunde C vwo. Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal. Programma

Wiskunde C vwo. Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal. Programma Wiskunde C vwo Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal Programma 1. Vorm en ruimte in Getal & Ruimte 2. Logisch redeneren in Getal & Ruimte 1. Examenprogramma

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 HAVO en VWO Klas 3, 4 en 5 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

wiskunde CSE GL en TL

wiskunde CSE GL en TL Examen VMBO-GL en TL 2010 tijdvak 2 dinsdag 22 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten

Nadere informatie

METHODISCH SCHETSEN. Taken multimedia. TAAK 1 Rechten tekenen met de vrije hand.

METHODISCH SCHETSEN. Taken multimedia. TAAK 1 Rechten tekenen met de vrije hand. TAAK 1 Rechten tekenen met de vrije hand. Maak een mooie asymmetrische compositie met rechthoeken en vierkanten en vul deze met vertikale lijnen. (Zorg dat je grote en kleine vlakken combineert. ze mogen

Nadere informatie

Optische illusies : wat je ziet is niet altijd de werkelijkheid!

Optische illusies : wat je ziet is niet altijd de werkelijkheid! Optische illusies : wat je ziet is niet altijd de werkelijkheid! Deze tekst is aanvullende stof bij hoofdstuk 10. Sommige illusies zijn te verklaren aan de hand van de theorie met betrekking tot selectie,

Nadere informatie

wizbrain 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizbrain 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe rekenmachine is niet toegestaan je hebt 75 minuten de tijd www.smart.be

Nadere informatie

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. Redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BL Baarn. Jaargang 6 Nummer 3 September 1992

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. Redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BL Baarn. Jaargang 6 Nummer 3 September 1992 Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis Redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BL Baarn Jaargang 6 Nummer 3 September 1992 Op zaterdag 24 oktober wordt de tentoonstelling WISKUNSTIGE SCHOONHEID geopend

Nadere informatie

WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5. Arnout Van Vaerenbergh

WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5. Arnout Van Vaerenbergh WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5 Arnout Van Vaerenbergh vorige oefening: 1/ contextsimulatie - Muziekles van Vermeer 2/ exacte input - objecten tekenen in perspectief 3/ exacte output -

Nadere informatie

De Griekse Bouwkunst

De Griekse Bouwkunst De Oude Grieken De Oude Grieken Het land Griekenland ligt in het zuidoosten van Europa. Het bestaat uit een groot stuk vastland en een heleboel kleine eilandjes. Griekenland bestond uit allerlei staatjes.

Nadere informatie

Robomop. De robomop kan 60 m 2 vloer per uur vegen.

Robomop. De robomop kan 60 m 2 vloer per uur vegen. Robomop Een robomop veegt de vloer automatisch schoon. In het midden van de robomop zit een bal die rolt. Door het rollen van de bal verplaatst de robomop zich en veegt stof op. 3p 1 De robomop kost normaal

Nadere informatie

Oplossing zoeken kwadratisch verband vmbo-kgt34

Oplossing zoeken kwadratisch verband vmbo-kgt34 Auteur VO-content Laatst gewijzigd Licentie Webadres 23 May 2016 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/74207 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken van Kennisnet. Wikiwijs

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2008 tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.

Nadere informatie

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam W I N G O = W I S K U N D E - B I N G O W I N G O 17 15 π

Nadere informatie

A 1 Welke vorm? tent tennisbal beker notitieblok ijshoorntje baksteen. Voorwerpen uit de omgeving

A 1 Welke vorm? tent tennisbal beker notitieblok ijshoorntje baksteen. Voorwerpen uit de omgeving A Welke vorm? ** Voorwerpen uit de omgeving ekijk de afgebeelde voorwerpen. Welke geometrische (meetkundige) vormen kun je ontdekken? Zet de juiste letters in de tabel. Welk woord ontstaat er? U U J K

Nadere informatie

De hele noot Deze noot duurt 4 tellen

De hele noot Deze noot duurt 4 tellen HERHALING KLAS 1. In de eerste klas heb je geleerd hoe je een melodie of een ritme moet spelen. Een ritme is een stukje muziek dat je kunt klappen of op een trommel kunt spelen. Een ritme bestaat uit lange

Nadere informatie

SketchUp L. 2.1 2D tekenen

SketchUp L. 2.1 2D tekenen 2.1 2D tekenen Inmiddels kunnen we ons zelf bewegen in SketchUp. De volgende stap is dat we wel iets in SketchUp moeten hebben om ons rond te bewegen. We moeten dus iets gaan tekenen. Voordat je ook maar

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1,2 Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde

Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Florine Meijer, Wisknutsels Inleiding Creativiteit en wiskunde, gaat dat samen? Kan je wiskunde doen en tegelijk knippen en plakken, of haken, breien en borduren?

Nadere informatie

Thema: Ruimtelijke figuren vmbo-b34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie.

Thema: Ruimtelijke figuren vmbo-b34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. Auteur VO-content Laatst gewijzigd 13 April 2016 Licentie CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Webadres http://maken.wikiwijs.nl/74196 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken van Kennisnet.

Nadere informatie

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder B136 De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak Het twaalfvlak of dodecaëder Een dodecaëder ligt besloten tussen 6 paren van evenwijdige vlakken. Als die

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Antwoorden van PQRS / 4Q Nationale Wiskunde Dagen 2017

Antwoorden van PQRS / 4Q Nationale Wiskunde Dagen 2017 Antwoorden van PQRS / 4Q Nationale Wiskunde Dagen 2017 1a Notenveelvraat Chantek heeft 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Hij neemt eerst 8 noten, waar dat kan 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 Vervolgens

Nadere informatie

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 530

WISKUNDE-ESTAFETTE RU Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 530 WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 530 1 (20 punten) De herhaling. De intensiteit van een zeker kosmisch verschijnsel kan alleen gemeten worden

Nadere informatie

Mens- en wereldbeeld - HV 12. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/61301

Mens- en wereldbeeld - HV 12. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/61301 Auteur VO-content Laatst gewijzigd 25 June 2015 Licentie CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie Webadres http://maken.wikiwijs.nl/61301 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Inleiding. M.C. Escher en Wiskunde. De wiskunde educatie van Escher in Het Paleis

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Inleiding. M.C. Escher en Wiskunde. De wiskunde educatie van Escher in Het Paleis Escher in Het Paleis Wiskundepakket Inleiding M.C. Escher en Wiskunde De wiskunde educatie van Escher in Het Paleis M.C. Escher en Wiskunde Hieronder volgt de inleiding van de wiskunde educatie voor middelbare

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen 1 We proberen alle mogelijkheden van klein naar groot: p = 1 is uitgesloten: dan zou elke dag hetzelfde resultaat geven. p = 2 is uitgesloten: dan zouden dag 1 en

Nadere informatie

Sterrenwerk. Rekenen. voor 9-11 jaar. combineren en visualiseren 2

Sterrenwerk. Rekenen. voor 9-11 jaar. combineren en visualiseren 2 Sterrenwerk Rekenen voor 9-11 jaar combineren en visualiseren 2 2 Hexomino s 1 Die dekselse figuren van zes! Deze figuren bestaan uit zes vierkanten die elkaar met ten minste een zijde raken. Ze heten

Nadere informatie

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen. Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de

Nadere informatie