1 - Geschiedenis van de Algebra

Transcriptie

1 1 - Geschiedenis van de Algebra De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: A1 - Maak 5 van de 19 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 5 verspreid over de 19. A2 = B2 - Maak een prototype (in word of in een tekenprogramma) van een tijdsbalk van ca v.chr. tot Nu, met daarin duidelijke periodes die te maken hebben met de ontwikkeling van de wiskundige wetenschap (gebruik de theorie uit de hoofdstukken 1 en 2). Maak ook 12 kaarten met daarop illustraties/formules/namen/jaartallen/tekst/opgaven of een cryptische omschrijving. Plaats deze kaarten op de juiste plek in de tijdsbalk. Het prototype moet zodanig zijn, dat een grotere uitvoering ervan in je wiskundelokaal kan hangen Opgaven Gekozen is voor de opdrachten 2, 8, 12, 13, 14 en Opdracht 2 bereken onderstaande sommen op de manier waarop de oude Egyptenaren dat deden a = erbij tot erbij tot erbij tot erbij tot 2300 optellen 1862 Geschiedenis van de Wiskunde 9

2 1.1.1.b = 56 4 erbij tot erbij tot erbij tot erbij tot erbij tot erbij tot optellen c 7 * 17 = / 2 0 = 1 1 * 17 = 17 / 2 1 = 2 2 * 17 = 34 / 2 2 = 4 4 * 17 = = = 7 dus de met / aangegeven bewerkingen dienen gevolgd te worden. 17 moet 2 keer verdubbeld worden = 68 vervolgens moeten de machten van de drie te gebruiken sommen vermenigvuldigd worden met 17: (0 * 17) + (1 * 17) + (2 * 17) = = d 5 * 21 = / 2 0 = 1 1 * 21 = = 2 / 2 2 = 4 4 * 17 = = = 5 dus de met / aangegeven bewerkingen dienen gevolgd te worden. 21 moet 2 keer verdubbeld worden = 84 vervolgens moeten de machten van de twee te gebruiken sommen vermenigvuldigd worden met 21: (0 * 21) + (2 * 21) = = 105 Geschiedenis van de Wiskunde 10

3 1.1.1.e 1250 / 25 = 1 * 25 = 25 2 * 25 = 50 4 * 25 = * 25 = * 25 = * 25 = x verdubbelen geeft = x verdubbelen geeft = 50 2 x verdubbelen geeft = = / 25 = f 1120 / 80 = 1 * 80 = 80 2 * 80 = * 80 = * 80 = * 80 = * 80 = x verdubbelen geeft = x verdubbelen geeft = x verdubbelen geeft = = / 80 = 14 Geschiedenis van de Wiskunde 11

4 Opdracht 8 De meeste details over Diophantus leven zijn te vinden in een raadsel uit een raadselboek dat werd samengesteld door Metrodorus omstreeks 500: zijn jeugd duurde deel van zijn leven, hij trouwde na nog eens deel, zijn baard groeide na weer deel en zijn zoon werd 5 jaar daarna geboren; die zoon leefde de helft van zijn vaders leven en de vader stierf 4 jaar na de zoon. Mijn boerenverstand zegt me meteen dat de leeftijd van Diophantus een veelvoud van zowel 6 als 7 als 12 moet zijn, en een even getal moet zijn, aangezien zijn zoon de helft van zijn leeftijd behaalde. 12 x 7 = 84, wat weer een veelvoud van 6 is. Uitgaande van 84 komen we tot het volgende; zijn jeugd duurde deel van 84 = 14 jaar hij trouwde na 14 + ( * 84) = 26 jaar zijn baard begon te groeien na 26 + ( * 84) = 33 jaar 5 jaar later werd zijn zoon geboren = 38 jaar zijn zoon werd = 42 jaar Diophantus overleed 4 jaar daarna; = = Opdracht 12 Los het probleem van de geknapte bamboestengel van Bhaskara op, aan de hand van de stelling van Pythagoras. Geschiedenis van de Wiskunde 12

5 stel: a = 16 b + c = Opdracht 13 Het volgende probleem komt uit het boek Lilavati van Bhaskara. Los dit probleem op. Rekenkundig probleem (uit Lilavati) Wat is het getal dat als je het vermenigvuldigt met 5, daar het derde deel van het product vanaf treft, de rest deelt door 10, daarna een derde, een kwart en de helft van het oorspronkelijke getal bij optelt, 2 minder dan 70 is? De formule van deze opgave luidt; 5x x x 1 4 x 1 2 x 70 2 x x 1 4 x 1 2 x 68 x x 1 4 x 1 2 x x 1 3 x 1 4 x 1 2 x x 4 12 x x 6 12 x x 68 x 48 Geschiedenis van de Wiskunde 13

6 Opdracht 14 Wat is het verband tussen de rij van Fibonacci en de Gulden Snede? Fibonacci, de afkorting van Filius Bonacci, wat weer zoon van de goedzak betekent, heette eigenlijk Leonardo Pisano. Deze in 1175 geboren zoon van een koopman schreef in 1202 een opmerkelijk boek, getiteld Liber Abbaci (lett. vertaald de rekentafel). Hierin Behandelde Leonardo het konijnenprobleem, zoals beschreven in de tekst. De rij die voorkwam uit dit probleem is 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, Elk getal is een optelling van de twee voorgaande getallen. Deze reeks getallen wordt de reeks van Fibonacci genoemd. Wat nu zo opvallend is aan deze reeks, is dat de verhouding van de twee opeenvolgende getallen de waarde 0,618 nadert: 1 : 2 = 0,500 2 : 3 = 0,667 3 : 5 = 0,600 5 : 8 = 0,625 8 : 13 = 0, : 21 = 0, : 34 = 0,618 etc. De Gulden Snede nu, is allereerst een verhouding. (Sectio Divinia.) Deze Gulden Snede ontstaat enerzijds in kunstwerken van de mens (een viool van de hand van Stradivarius, papierformaten, de logaritmische spiraal van bijvoorbeeld beeldhouwer en architect Phidias uit de vijfde eeuw voor Chr., de triomfboog van Constantijn te Rome) en anderzijds in de natuur (de reeks van Fibonacci komt in vele plantensoorten voor, met als verklaring dat celdeling net zo verloopt als het konijnenprobleem) en in de proporties van vlinders en schelpen e.d.). Geschiedenis van de Wiskunde 14

7 Kort gezegd is de Gulden Snede de verhouding van bijvoorbeeld een lijnstukmet lengte 1 (ab in de afbeelding) in een grootste stuk x (a in de afbeelding) en een kleinste stuk ( x 1) (b in de afbeelding), zo dat 1-x : x x : x x 2 x 2 x Hieruit volgt, aangezien x positief moet zijn, dat x = 0, Opdracht 15 Schrijf het decimale getal 1023,25672 op de wijze van Simon Stevin Tijdbalk Zie Tijdbalk Geschiedenis van de Wiskunde 15

8 Geschiedenis van de Wiskunde 16